Квадратные корни как решать: Квадратный корень — все что нужно для сдачи ОГЭ и ЕГЭ

Преобразование ⭐ выражений, содержащих квадратные корни: как решать задачи

Определение арифметического корня и его свойства

Определение 

Арифметический корень из числа а>0, является таким неотрицательным числом, которое в квадрате равно а.

При извлечении квадратного корня из некоего числа в любом случае получается один результат, который больше нуля. Он и будет арифметическим корнем, имеющим ряд характерных свойств. Перечислим их:

1. Корень произведения соответствует произведению корней: ab =a ·b . Приведем пример: 64·9 =64 ·9 =8·3=24
2. Корень из дроби равен корню из числителя и корню из знаменателя: ab =a b , когда a≥0 , b>0. Приведем пример: 649 =64 9 =83=223.
3. При возведении корня в степень необходимо возвести в данную степень подкоренное значение: an=an , когда a≥0. Приведем пример: 24=24=16=4.

Решение задач по вынесению множителя из квадратного корня

Операция вынесения числа, то есть множителя, из-под знака корня представляет собой извлечение корня из выражения, находящегося под знаком корня. Такое выражение называют подкоренным.

При a2=b имеем, что b=a.

Приведем несколько примеров:

4=2, так как 22=4

36=6, так как 62=36

С целью упрощения вынесения чисел и множителей из-под знака квадратного корня следует ознакомиться с таблицей квадратов:

 

Источник: microexcel.ru

Разберем несколько наглядных примеров, с которыми можно встретиться на уроках в классе, а также при решении контрольных и проверочных работ. Вынесем множитель из-под знака корня (с объяснением) в таком выражении:

25×3

Заметим, что извлечение квадратного корня в данном случае возможно лишь из числа 25. Выполним действия:

25×3=52×3=52×3=5×3

Разберем другое задание для повторения темы, которое следует решать аналогичным методом. Представим, что нужно вынести корень из числа:

45

В первую очередь стоит разложить выражение, которое записано под знаком корня. Множителями являются числа 9 и 5. Заметим, что извлекается квадратный корень в этом случае лишь из 9. Запишем:

45=9×5=32×5=35

Когда под знаком корня записано выражение, то его можно вынести. Данное утверждение справедливо лишь в том случае, когда под корнем произведение. Приведем примеры:

16×5=16×5 

25+11≠25+11 

47-38≠47-38  

8÷2≠8÷2  

Все, за исключением первого выражения, являются неверными. В таких случаях целесообразно сначала выполнить действия под знаком корня, а затем переходить к его извлечению. Продолжим вычисления:

25+11=36=6

47-38=9=3  

8÷2=4=2  

Во многих задачах по алгебре и физике можно встретить выражения, для решения которых необходимо вынести из-под знака корня не число, а букву. В таком случае необходимо выполнить тождественные преобразования и преобразовать эту букву в дробь. Роль числителя при этом будет играть степень подкоренного выражения, а знаменателем является непосредственно сам корень:

amn=amn

Данная формула справедлива также при выполнении действий с числами. Приведем несколько типичных примеров:

a=a12

a23=a23

a124=a124=a3

Решение задач по внесению множителя под знак корня

На следующем этапе стоит потренироваться с внесением чисел под знак корня. Запишем некое выражение с содержанием корня:

46-23·8=16·6-4·3·8=96-96=0

Отметим, что после внесения числа под знак корня решение существенно упростилось. Рассмотрим число:

35

Заметим, что цифру 3 можно внести под корень. Это связано с тем, что данное число является корнем квадратным из числа 9:

35=9·5=45

С помощью записанных закономерностей получилось значительно расширить возможности при решении разнообразных заданий. Например:

310-45·2=90-90=0

Здесь важно отметить, что внесение под знак арифметического корня допускается лишь в том случае, когда число является положительным.

Разберем еще несколько примеров:

46-23·8=16·6-4·3·8=96-96=0

52=25·2=25·2=50

2+32=42

53-3=43

a+a=2a

Решение задач по освобождению от иррациональности в знаменателе

При решении задач можно встретить примеры с дробями, в знаменателе которых записан корень или иррациональное число. В таком случае следует выполнить умножение данной дроби на какой-то член или выражение. В результате получится исключить корень. Существует несколько видов выражений, где нужно избавиться от иррациональности в знаменателе дроби. Рассмотрим наиболее распространенные из них.

Когда в знаменателе записан одночлен, следует внимательно изучить такую дробь. При отсутствии корня упростить подобное выражение не составит труда. Однако при наличии в знаменателе квадратного или другого корня необходимо выполнить умножение числителя и знаменателя на какой-нибудь одночлен, что в итоге позволит избавиться от корня. Разберем пример:

7327

Воспользуемся записанным правилом и упростим выражение:

7327·77=72114=212

Когда в знаменателе дроби записан двучлен в виде суммы или разности пары одночленов, в один из которых включен корень, недопустимо выполнять умножение дроби на подобный двучлен, так как не получится исключить иррациональность:

42+2

Рассмотрим это правило на примере дроби:

1a+b

Здесь в одночлене a или b имеется корень.

Попробуем упростить выражение:

(a+b)(a+b)=a2+2ab+b2

Заметим, что в составе одночлена 2ab в любом случае имеется корень а или b.

Разберем наглядный пример:

42+2·2+22+2=4(2+2)4+42+2

Заметим, что в этом случае отсутствует возможность исключить корень из знаменателя, так как в нем записан одночлен 42.

При решении подобных задач следует воспользоваться понятием сопряженного двучлена, то есть такого двучлена, который состоит из аналогичных одночленов, но знак между ними противоположный. Таким образом, 2+2 является сопряженным для двучлена 2-2. Применим данное правило к нашему выражению:

42+2·2-22-2

При умножении числителя и знаменателя дроби на сопряженный двучлен одночлены будут возведены в квадрат, что позволяет избавиться от знака корня:

1a+b

(a+b)(a-b)=a2-b2

Заметим, что в последнем задании имеется общий множитель в числителе и знаменателе:

4 — 2 = 2

Таким образом, можно сократить дробь:

42+2·2-22-2=4(2-2)4-2=4-22

Разберем другие выражения, при решении которых нужно избавиться от иррациональности. К таким относят обратные выражения. Представим, что требуется определить выражение, которое является обратным для данного и содержит корень. В этом случае следует рационализировать полученную дробь, а затем приступать к ее упрощению. Здесь пригодятся правила, описанные ранее.  Рассмотрим пример:

2-3

Запишем для этого выражения обратное. На первом шаге следует выполнить деление единицы на это выражение. В том случае, когда имеется дробь, нужно поменять местами числитель со знаменателем. Важно заметить, что какое-либо выражение достаточно просто записать в виде дроби. При этом в знаменателе будет стоять единица.

12-3

Избавимся от корня путем умножения числителя и знаменателя на некое выражение. При этом значение полученной дроби сохранится без изменений. Применительно к этой задаче, следует умножить дробь на сопряженный двучлен:

12-3·2+32+3

Упростим выражение с помощью сокращения выражения, записанного в знаменателе:

12-3·2+32+3=2+34-3=2+3

Задания для самостоятельной работы

Задача 1

Упростить записанное выражение:

152+(-13)2+32

Решение

Воспользуемся свойством арифметического квадратного корня и выполним необходимые вычисления:

a2=|a|

a2=a, если a≥0

В таком случае:

152+(-13)2+32=|15|+|-13|+3=15+13+3=31

Ответ: 152+(-13)2+32=31

Задача 2

Решить пример:

-2-52+2-52

Решение

Вспомним свойства арифметического квадратного корня и выполним преобразования:

a2=|a|

-2-52+2-52=|-2-5|+|2-5|

Вычислим модули по определению:

-2-52+2-52=|-2-5|+|2-5|=2+5+5-2=25

Ответ: -2-52+2-52=25

Задача 3

Дано выражение, которое требуется упростить:

a4·b93a-23

Решение

Переведем показатели степеней в вид рациональных чисел. Затем выполним необходимые преобразования:

a4·b93a-23=a4-(-2)·b9313=a6·b313=a613·b313=a63·b33=a2b

Ответ: a4·b93a-23=a2b

Задача 4

Выполнить вычисления:

3+53-5-352

Решение

Здесь следует исключить иррациональность, которую можно наблюдать в первой дроби. Сделать это можно путем умножения числителя и знаменателя дроби на выражение, которое сопряжено со знаменателем, то есть на (3+5). Таким образом:

3+53-5-352=(3+5)(3+5)(3-5)(3+5)-352=(3+5)2(3-5)(3+5)-352

Заметим, что дробь, которая получилась, может быть преобразована. При этом целесообразно воспользоваться формулами сокращенного умножения:

3+53-5-352=(3+5)2(3-5)(3+5)-352=32+2·3·5+(5)232-(5)2-352=9+65+59-5-352=14+654-352  

Далее необходимо выполнить вычитание дробей, заранее приведя их к общему знаменателю:

3+53-5-352=14+654-352=14+65-654=144=3,5

Ответ: 3+53-5-352=3,5

Задача 5

Дано выражение, которое следует упростить:

27+250·(5-2)

Решение

Здесь следует записать выражение, расположенное под знаком корня, как:

27+250·(5-2)=25+22·25+2·(5-2)=25+2·52+(2)2·(5-2)

В результате получился квадрат суммы, записанный под знаком корня:

27+250·(5-2)=25+2·52+(2)2·(5-2)=(5+2)2·(5-2)

Вспомним свойство, которым обладает арифметический квадратный корень:

a2=|a|

Применим записанную формулу:

27+250·(5-2)=(5+2)2·(5-2)=|5+2|·(5-2)=(5+2)·(5-2)

Заметим, что результат данных преобразований является разностью квадратов. 2

9.1 Приведение квадратных корней – Промежуточная алгебра

Глава 9. Радикалы

Квадратные корни являются наиболее распространенным типом радикала. Квадрат возьмет некоторое число и умножит его сам на себя. Квадратный корень числа дает число, которое при умножении само на себя дает число, указанное под радикалом. Например, поскольку 5 ² = 25, квадратный корень из 25 равен 5,

.

Квадратный корень из 25 записывается как √25 или как 25 ^½ .

Извлеките следующие квадратные корни:

[латекс]\sqrt{1}=1\hspace{0,25 дюйма} \sqrt{121}=11\hspace{0,25 дюйма} \sqrt{4}=2[/latex]

[латекс]\sqrt{625}=25\hspace{0,25 дюйма} \sqrt{9}=3\hspace{0,25 дюйма} \sqrt{-81}=\text{Undefined}[/latex]

Последний пример, √−81, классифицируется как неопределенный в действительной системе счисления, поскольку отрицательные числа не имеют квадратного корня. Это потому, что если вы возведете в квадрат положительное или отрицательное, ответ будет положительным. Это означает, что при использовании действительной системы счисления берите только квадратные корни из положительных чисел. Существуют решения для отрицательных квадратных корней, но они требуют создания новой системы счисления, называемой мнимой системой счисления. А пока просто скажите, что они не определены в действительной системе счисления или что у них нет реального решения

Не все числа имеют хороший четный квадратный корень. Например, если вы посмотрите на √8 на своем калькуляторе, ответ будет 2,8284271247461

603377448419…, причем это число является округленным приближением квадратного корня. Стандартом для радикалов, имеющих большие округленные решения, является то, что калькулятор не используется для нахождения десятичных приближений квадратных корней. Вместо этого выражайте корни в простейшей радикальной форме.

Существует ряд свойств, которые можно использовать при работе с радикалами. Одно известно как правило продукта: 92 \end{массив}[/латекс]

Задача сокращения радикалов часто упрощается до нахождения идеального квадрата для деления на подкоренное число.

Найдите идеальные квадраты, которые делятся на подкоренные числа без остатка.

1. [латекс]18=2\cdot 9[/латекс]
2. [латекс]75=3\cdot 25[/латекс]
3. [латекс]125=5\cdot 25[/латекс]
4. [латекс]72=2\cdot 36[/латекс]
5. [латекс]98=2\cdot 47[/латекс]
6. [латекс]45=5\cdot 9[/латекс]

Комбинация стратегий, использованных в двух приведенных выше примерах, дает простейшую стратегию уменьшения содержания радикалов.

Уменьшить [латекс]\sqrt{75}[/латекс].

[латекс]\sqrt{75}=\sqrt{25}\cdot \sqrt{3}[/latex]

[латекс]\sqrt{25}\cdot \sqrt{3}[/latex] \text { сокращается до }[латекс]5\cdot \sqrt{3}[/латекс] \текст{ или }[латекс]5\sqrt{3}[/латекс]

[латекс]\sqrt{75} = 5\ кврт{3}[/латекс]

Если для начала перед корнем стоит коэффициент, задача просто превращается в большую задачу на умножение.

Уменьшить [латекс]5\sqrt{63}[/латекс].

[латекс]\begin{array}{rl} 5\sqrt{63} & 63 \text{ равно} 9\times 7, \text {и 9 – правильный квадрат} \\ 5\sqrt{9\cdot 7} &\text{Возьмите квадратный корень из 9} \\ 5\cdot 3\sqrt{7} & \text{Умножьте 5 на 3} \\ 15\sqrt{7} & \end{array}[/latex ]

Переменные также часто являются частью подкоренного символа. При извлечении квадратных корней из переменных делите показатель степени на 2.

Например, √x ⁸ = x ^{4 94\sqrt{42xz}&\end{массив}[/латекс]}

Упростите следующие радикалы.

1. [латекс]\sqrt{245}[/латекс]
2. [латекс]\sqrt{125}[/латекс]
3. [латекс]2\sqrt{36}[/латекс]
4. [латекс]5\sqrt{196}[/латекс]
5. [латекс]\sqrt{12}[/латекс]
6. [латекс]\sqrt{72}[/латекс]
7. [латекс]3\sqrt{12}[/латекс]
8. [латекс]5\sqrt{32}[/латекс]
9. [латекс]6\sqrt{128}[/латекс]
10. [латекс]7\sqrt{128}[/латекс]
93}[/латекс]

Ключ ответа 9.1

Узнайте, как находить точные квадратные корни и наглядные примеры

Спасибо, что выбрали Smartick для продолжения изучения математики. Готовы ли вы начать с квадратных корней? Ну, пошли!

В посте этой недели мы научимся вычислять точные квадратные корни и рассмотрим несколько наглядных примеров их применения. Как известно, графическая визуализация всегда здорово помогает в понимании и усвоении новых концепций. Надеюсь, вы найдете его очень полезным и получите удовольствие от обучения. Вы увидите, как просто это делается для квадратных корней!

Чтобы вычислить квадратный корень из числа, найдите число, которое при умножении само на себя дает нам это первое число. Если мы уже знаем степень 2 (вычисление квадрата числа), мы пытаемся найти число, возведенное в квадрат, дает нам первое число.

Для представления квадратного корня используется следующий символ:

Давайте рассмотрим несколько примеров вычисления точных квадратных корней , которые дают нам точное число (без десятичных знаков).

Точные квадратные корни

Чтобы вычислить квадратный корень из 9 , вы должны найти число, которое, умноженное само на себя, дает нам 9. Давайте немного подумаем, чтобы убедиться, что мы его знаем. У вас уже есть это? Точно! Как вы, наверное, догадались, это число равно 3. Таким образом, квадратный корень из 9 равен 3.

Если мы уже знаем, сколько в степени , мы можем найти число, которое при возведении в квадрат дает нам 9, и как 3 в квадрате. равно 9, искомое число равно 3.
Вы видели, как легко? Теперь вы можете попытаться вычислить квадратный корень из 16. Вы уже нашли его? То есть, поскольку 4 в квадрате равно 16, квадратный корень из 16 будет равен 4.

Давайте теперь рассмотрим несколько наглядных примеров, чтобы лучше понять концепцию квадратного корня.

Визуальный пример 1

Как вы узнали из квадрата числа, квадратные числа названы именно потому, что мы можем представить их в квадратной форме, например, мы можем представить 3 в квадрате с 9квадраты расположены в 3 ряда по 3, например:

Итак, мы вычислили квадратный корень из 9 как 3, мы можем видеть корень из 9 как сторону квадрата из 9 квадратов, и эта сторона равна 3, как вы можете видеть на предыдущем рисунке.

Шахматный вызов
Теперь я предлагаю вам подсчитать количество фигур, которые есть у каждого игрока в шахматной партии. Держу пари, вы легко решите это.

Если мы знаем, что доска состоит из квадратов и имеет 64 квадрата , чтобы узнать, сколько квадратов на доске в каждой строке, нам нужно вычислить корень из 64 .

То есть ищем число, которое умножение само на себя (или возведенное в квадрат) дает нам 64. И это число равно 8. Значит на доске 8 квадратов в каждом ряду (если посмотреть на рисунок доски что там есть ниже в этом посте у него по 8 квадратов с каждой стороны).

Теперь мы знаем, что фигуры игрока занимают 2 ряда доски, поэтому нам нужно количество клеток ряда умножить на 2. У вас уже есть ответ на задание? Конечно! Затем у каждого игрока по 16 фигур в игре в шахматы.

Если вы посмотрите на следующий рисунок, вы увидите, что очень легко понять все те расчеты, которые мы сделали для решения задачи.

Наглядный пример 2

Если вы хотите визуализировать корень из 100 , здесь я оставляю вам очень красочный квадрат, разделенный на 100 квадратов, у которого по 10 таких квадратов на каждой стороне, поэтому корень из 100 можно найти 10 .

No related posts.