Формула сокращенного умножения для 5 степени: Сумма пятой степени | Формулы с примерами

правила применения формул сокращенного умножения Формулы сокращенного умножения

Формулы сокращенного умножения (ФСУ) применяются для возведения в степень и умножения чисел и выражений. Часто эти формулы позволяют произвести вычисления более компактно и быстро.

В данной статье мы перечислим основные формулы сокращенного умножения, сгруппируем их в таблицу, рассмотрим примеры использования этих формул, а также остановимся на принципах доказательств формул сокращенного умножения.

Впервые тема ФСУ рассматривается в рамках курса «Алгебра» за 7 класс. Приведем ниже 7 основных формул.

Формулы сокращенного умножения

1. формула квадрата суммы: a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2
2. формула квадрата разности: a — b 2 = a 2 — 2 a b + b 2
3. формула куба суммы: a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3
4. формула куба разности: a — b 3 = a 3 — 3 a 2 b + 3 a b 2 — b 3
5. формула разности квадратов: a 2 — b 2 = a — b a + b
6. формула суммы кубов: a 3 + b 3 = a + b a 2 — a b + b 2
7. формула разности кубов: a 3 — b 3 = a — b a 2 + a b + b 2

Буквами a, b, c в данных выражениях могут быть любые числа, переменные или выражения. Для удобства использования лучше выучить семь основных формул наизусть. Сведем их в таблицу и приведем ниже, обведя рамкой.

Первые четыре формулы позволяют вычислять соответственно квадрат или куб суммы или разности двух выражений.

Пятая формула вычисляет разность квадратов выражений путем произведения их суммы и разности.

Шестая и седьмая формулы — соответственно умножение суммы и разности выражений на неполный квадрат разности и неполный квадрат суммы.

Формула сокращенного умножения иногда еще называют тождествами сокращенного умножения. В этом нет ничего удивительного, так как каждое равенство представляет собой тождество.

При решении практических примеров часто используют формулы сокращенного умножения с переставленными местами левыми и правыми частями. Это особенно удобно, когда имеет место разложение многочлена на множители.

Дополнительные формулы сокращенного умножения

Не будем ограничиваться курсом 7 класса по алгебре и добавим в нашу таблицу ФСУ еще несколько формул.

Во-первых, рассмотрим формулу бинома Ньютона.

a + b n = C n 0 · a n + C n 1 · a n — 1 · b + C n 2 · a n — 2 · b 2 + . . + C n n — 1 · a · b n — 1 + C n n · b n

Здесь C n k — биномиальные коэффициенты, которые стоят в строке под номером n в треугольнике паскаля. Биномиальные коэффициенты вычисляются по формуле:

C n k = n ! k ! · (n — k) ! = n (n — 1) (n — 2) . . (n — (k — 1)) k !

Как видим, ФСУ для квадрата и куба разности и суммы — это частный случай формулы бинома Ньютона при n=2 и n=3соответственно.

Но что, если слагаемых в сумме, которую нужно возвести в степень, больше, чем два? Полезной будет формула квадрата суммы трех, четырех и более слагаемых.

a 1 + a 2 + . . + a n 2 = a 1 2 + a 2 2 + . . + a n 2 + 2 a 1 a 2 + 2 a 1 a 3 + . . + 2 a 1 a n + 2 a 2 a 3 + 2 a 2 a 4 + . . + 2 a 2 a n + 2 a n — 1 a n

Еще одна формула, которая может пригодится — формула формула разности n-ых степеней двух слагаемых.

a n — b n = a — b a n — 1 + a n — 2 b + a n — 3 b 2 + . . + a 2 b n — 2 + b n — 1

Эту формулу обычно разделяют на две формулы — соответственно для четных и нечетных степеней.

Для четных показателей 2m:

a 2 m — b 2 m = a 2 — b 2 a 2 m — 2 + a 2 m — 4 b 2 + a 2 m — 6 b 4 + . . + b 2 m — 2

Для нечетных показателей 2m+1:

a 2 m + 1 — b 2 m + 1 = a 2 — b 2 a 2 m + a 2 m — 1 b + a 2 m — 2 b 2 + . . + b 2 m

Формулы разности квадратов и разности кубов, как вы догадались, являются частными случаями этой формулы при n = 2 и n = 3 соответственно. Для разности кубов b также заменяется на — b .

Как читать формулы сокращенного умножения?

Дадим соответствующие формулировки для каждой формулы, но сначала разберемся с принципом чтения формул. Удобнее всего делать это на примере. Возьмем самую первую формулу квадрата суммы двух чисел.

a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2 .

Говорят: квадрат суммы двух выражений a и b равен сумме квадрата первого выражения, удвоенного произведения выражений и квадрата второго выражения.

Все остальные формулы читаются аналогично. Для квадрата разности a — b 2 = a 2 — 2 a b + b 2 запишем:

квадрат разности двух выражений a и b равен сумме квадратов этих выражений минус удвоенное произведение первого и второго выражения.

Прочитаем формулу a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3 . Куб суммы двух выражений a и b равен сумме кубов этих выражений, утроенного произведения квадрата первого выражения на второе и утроенного произведения квадрата второго выражения на первое выражение.

Переходим к чтению формулы для разности кубов a — b 3 = a 3 — 3 a 2 b + 3 a b 2 — b 3 . Куб разности двух выражений a и b равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе, плюс утроенное произведение квадрата второго выражения на первое выражение, минус куб второго выражения.

Пятая формула a 2 — b 2 = a — b a + b (разность квадратов) читается так: разность квадратов двух выражений равна произведению разности и суммы двух выражений.

Выражения типа a 2 + a b + b 2 и a 2 — a b + b 2 для удобства называют соответственно неполным квадратом суммы и неполным квадратом разности.

С учетом этого, формулы суммы и разности кубов прочитаются так:

Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений на неполный квадрат их разности.

Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений на неполный квадрат их суммы.

Доказательство ФСУ

Доказать ФСУ довольно просто. Основываясь на свойствах умножения, проведем умножение частей формул в скобках.

Для примера рассмотрим формулу квадрата разности.

a — b 2 = a 2 — 2 a b + b 2 .

Чтобы возвести выражение во вторую степень нужно это выражение умножить само на себя.

a — b 2 = a — b a — b .

Раскроем скобки:

a — b a — b = a 2 — a b — b a + b 2 = a 2 — 2 a b + b 2 .

Формула доказана. Остальные ФСУ доказываются аналогично.

Примеры применения ФСУ

Цель использования формул сокращенного умножения — быстрое и краткое умножение и возведение выражений в степень. Однако, это не вся сфера применения ФСУ. Они широко используются при сокращении выражений, сокращении дробей, разложении многочленов на множители. Приведем примеры.

Пример 1. ФСУ

Упростим выражение 9 y — (1 + 3 y) 2 .

Применим формулу суммы квадратов и получим:

9 y — (1 + 3 y) 2 = 9 y — (1 + 6 y + 9 y 2) = 9 y — 1 — 6 y — 9 y 2 = 3 y — 1 — 9 y 2

Пример 2. ФСУ

Сократим дробь 8 x 3 — z 6 4 x 2 — z 4 .

Замечаем, что выражение в числителе — разность кубов, а в знаменателе — разность квадратов.

8 x 3 — z 6 4 x 2 — z 4 = 2 x — z (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x — z 2 x + z .

Сокращаем и получаем:

8 x 3 — z 6 4 x 2 — z 4 = (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x + z

Также ФСУ помогают вычислять значения выражений. Главное — уметь заметить, где применить формулу. Покажем это на примере.

Возведем в квадрат число 79 . Вместо громоздких вычислений, запишем:

79 = 80 — 1 ; 79 2 = 80 — 1 2 = 6400 — 160 + 1 = 6241 .

Казалось бы, сложное вычисление проведено быстро всего лишь с использованием формул сокращенного умножения и таблицы умножения.

Еще один важный момент — выделение квадрата двучлена. Выражение 4 x 2 + 4 x — 3 можно преобразовать в вид 2 x 2 + 2 · 2 · x · 1 + 1 2 — 4 = 2 x + 1 2 — 4 . Такие преобразования широко используются в интегрировании.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Формулы сокращенного умножения.

Изучение формул сокращенного умножения: квадрата суммы и квадрата разности двух выражений; разности квадратов двух выражений; куба суммы и куба разности двух выражений; суммы и разности кубов двух выражений.

Применение формул сокращенного умножения при решении примеров.

Для упрощения выражений, разложения многочленов на множители, приведения многочленов к стандартному виду используются формулы сокращенного умножения. Формулы сокращенного умножения нужно знать наизусть .

Пусть а, b R. Тогда:

1. Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

2. Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

(a — b) 2 = a 2 — 2ab + b 2

3. Разность квадратов двух выражений равна произведению разности этих выражений и их суммы.

a 2 — b 2 = (a -b) (a+b)

4. Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго плюс куб второго выражения.

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

5. Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго минус куб второго выражения.

(a — b) 3 = a 3 — 3a 2 b + 3ab 2 — b 3

6. Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы первого и второго выражения на неполный квадрат разности этих выражений.

a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 — ab + b 2)

7. Разность кубов двух выражений равна произведению разности первого и второго выражения на неполный квадрат суммы этих выражений.

a 3 — b 3 = (a — b) (a 2 + ab + b 2)

Применение формул сокращенного умножения при решении примеров.

Пример 1.

Вычислить

а) Используя формулу квадрата суммы двух выражений, имеем

(40+1) 2 = 40 2 + 2 · 40 · 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681

б) Используя формулу квадрата разности двух выражений, получим

98 2 = (100 – 2) 2 = 100 2 — 2 · 100 · 2 + 2 2 = 10000 – 400 + 4 = 9604

Пример 2.

Вычислить

Используя формулу разности квадратов двух выражений, получим

Пример 3.

Упростить выражение

(х — у) 2 + (х + у) 2

Воспользуемся формулами квадрата суммы и квадрата разности двух выражений

(х — у) 2 + (х + у) 2 = х 2 — 2ху + у 2 + х 2 + 2ху + у 2 = 2х 2 + 2у 2

Формулы сокращенного умножения в одной таблице:

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a — b) 2 = a 2 — 2ab + b 2

a 2 — b 2 = (a — b) (a+b)
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a — b) 3 = a 3 — 3a 2 b + 3ab 2 — b 3
a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 — ab + b 2)
a 3 — b 3 = (a — b) (a 2 + ab + b 2)

В предыдущих уроках мы рассмотрели два способа разложения многочлена на множители: вынесение общего множителя за скобки и способ группировки .

В этом уроке мы рассмотрим еще один способ разложения многочлена на множители с применением формул сокращённого умножения .

Рекомендуем каждую формулу прописать не менее 12 раз. Для лучшего запоминания выпишите все формулы сокращённого умножения себе на небольшую шпаргалку .

Вспомним, как выглядит формула разности кубов.

a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2)

Формула разности кубов не очень проста для запоминания, поэтому рекомендуем использовать специальный способ для её запоминания.

Важно понимать, что любая формула сокращённого умножения действует и в обратную сторону .

(a − b)(a 2 + ab + b 2) = a 3 − b 3

Рассмотрим пример. Необходимо разложить на множители разность кубов.

Обратим внимание, что «27а 3 » — это «(3а) 3 », значит, для формулы разности кубов вместо «a » мы используем «3a ».

Используем формулу разности кубов. На месте «a 3 » у нас стоит «27a 3 », а на месте «b 3 », как и в формуле, стоит «b 3 ».

Применение разности кубов в обратную сторону

Рассмотрим другой пример. Требуется преобразовать произведение многочленов в разность кубов, используя формулу сокращенного умножения.

Обратите внимание, что произведение многочленов «(x − 1)(x 2 + x + 1) » напоминает правую часть формулы разности кубов «», только вместо «a » стоит «x », а на месте «b » стоит «1 ».

Используем для «(x − 1)(x 2 + x + 1) » формулу разности кубов в обратную сторону.

Рассмотрим пример сложнее. Требуется упростить произведение многочленов.

Если сравнить «(y 2 − 1)(y 4 + y 2 + 1) » с правой частью формулы разности кубов
«a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2) », то можно понять, что на месте «a » из первой скобки стоит «y 2 , а на месте «b » стоит «1 ».

Формулы или правила сокращенного умножения используются в арифметике, а точнее — в алгебре, для более быстрого процесса вычисления больших алгебраических выражений. Сами же формулы получены из существующих в алгебре правил для умножения нескольких многочленов.

Использование данных формул обеспечивает достаточно оперативное решение различных математических задач, а также помогает осуществлять упрощение выражений. Правила алгебраических преобразований позволяют выполнять некоторые манипуляции с выражениями, следуя которым можно получить в левой части равенства выражение, стоящее в правой части, или преобразовать правую часть равенства (чтобы получить выражение, стоящее в левой части после знака равенства).

Удобно знать формулы, применяемые для сокращенного умножения, на память, так как они нередко используются при решении задач и уравнений. Ниже перечислены основные формулы, входящие в данный список, и их наименование.

Квадрат суммы

Чтобы вычислить квадрат суммы, необходимо найти сумму, состоящую из квадрата первого слагаемого, удвоенного произведения первого слагаемого на второе и квадрата второго. В виде выражения данное правило записывается следующим образом: (а + с)² = a² + 2ас + с².

Квадрат разности

Чтобы вычислить квадрат разности, необходимо вычислить сумму, состоящую из квадрата первого числа, удвоенного произведения первого числа на второе (взятое с противоположным знаком) и квадрата второго числа.

В виде выражения данное правило выглядит следующим образом: (а — с)² = а² — 2ас + с².

Разность квадратов

Формула разности двух чисел, возведенных в квадрат, равна произведению суммы этих чисел на их разность. В виде выражения данное правило выглядит следующим образом: a² — с² = (a + с)·(a — с).

Куб суммы

Чтобы вычислить куб суммы двух слагаемых, необходимо вычислить сумму, состоящую из куба первого слагаемого, утроенного произведения квадрата первого слагаемого и второго, утроенного произведения первого слагаемого и второго в квадрате, а также куба второго слагаемого. В виде выражения данное правило выглядит следующим образом: (а + с)³ = а³ + 3а²с + 3ас² + с³.

Сумма кубов

Согласно формуле, приравнивается к произведению суммы данных слагаемых на их неполный квадрат разности. В виде выражения данное правило выглядит следующим образом: а³ + с³ = (а + с)·(а² — ас + с²).

Пример. Необходимо вычислить объем фигуры, которая образована сложением двух кубов. Известны лишь величины их сторон.

Если значения сторон небольшие, то выполнить вычисления просто.

Если же длины сторон выражаются в громоздких числах, то в этом случае проще применить формулу «Сумма кубов», которая значительно упростит вычисления.

Куб разности

Выражение для кубической разности звучит так: как сумма третьей степени первого члена, утроенного отрицательного произведения квадрата первого члена на второй, утроенного произведения первого члена на квадрат второго и отрицательного куба второго члена. В виде математического выражения куб разности выглядит следующим образом: (а — с)³ = а³ — 3а²с + 3ас² — с³.

Разность кубов

Формула разности кубов отличается от суммы кубов лишь одним знаком. Таким образом, разность кубов — формула, равная произведению разности данных чисел на их неполный квадрат суммы. В виде разность кубов выглядит следующим образом: а 3 — с 3 = (а — с)(а 2 + ас + с 2).

Пример. Необходимо вычислить объем фигуры, которая останется после вычитания из объема синего куба объемной фигуры желтого цвета, которая также является кубом. Известна лишь величина стороны маленького и большого куба.

Если значения сторон небольшие, то вычисления довольно просты. А если длины сторон выражаются в значительных числах, то стоит применить формулу, озаглавленную «Разность кубов» (или «Куб разности»), которае значительно упростит вычисления.

Проектная работа по теме: «Обобщённые формулы сокращённого умножения»

Министерство образования и науки Российской Федерации

МБОУ «Средняя общеобразовательная школа №59»

ПРОЕКТНАЯ РАБОТА

по теме:

«Обобщённые формулы сокращённого умножения»

Ученика 7 «Б» класса

Жальских Тимура

Руководитель:

Шахов Денис Эдуардович

учитель математики

г. Новосибирск, 2020

СОДЕРЖАНИЕ

Введение……………………………………………………………………………..3

Основная часть………………………………………………………………………4

Заключение…………………………………………………………………………..9

Список литературы…………………………………………………………………10

Введение

Тема «Формулы сокращённого умножения» является традиционной для изучения в курсе алгебры 7 класса. Соответствующие формулы находят широкое применение при упрощении алгебраических выражений, при решении текстовых задач, при рационализации вычислений и т.д.

Однако, эти формулы распространяются только на случаи второй и третьей степеней: соотношения со степенями, начиная с четвёртой, либо не изучаются вообще, либо рассматриваются только на занятиях математического кружка с учащимися, проявляющими повышенный интерес к математике. В то же время эти формулы часто оказываются полезными при решении разнообразных задач, а выводятся они совсем несложно. Их можно часто встретить, например, при решении олимпиадных задач по теории делимости.

Таким образом, обобщение традиционных школьных формул для произвольных степеней является весьма актуальным.

Цель работы: вывести формулы сокращённого умножения для произвольной натуральной степени.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1) Вывести формулы сокращённого умножения до пятой степени путём стандартного перемножения многочленов;

2) Выдвинуть гипотезу относительно общих формул;

3) Составить общие формулы и доказать их справедливость

Основная часть

Исторические сведения

Некоторые правила сокращенного умножения были известны еще около 4 тыс. лет назад. Их знали вавилоняне, греки и некоторые другие народы древности. Начиная с VI века до н. э., у древнегреческих математиков встречаются общие утверждения о преобразовании многочленов, применении формул и правил, которые установил древнегреческий ученый Пифагор, живший в 6 в. до н.э.

Тогда было принято все алгебраические утверждения выражать в геометрической форме. У древних греков величины обозначались не числами или буквами, а отрезками прямых. Они говорили не «а», а «квадрат на отрезке а», не «аb», а «прямоугольник, содержащийся между отрезками а и b».

Много полезного узнали греческие ученые у вавилонян. Но история математики сложилась так, что эти открытия стали потом приписывать грекам. Например, одно из самых замечательных утверждений во всей геометрии до сих пор называют именем греческого математика – теоремой Пифагора. Оно формулировалось так: “Для любого прямоугольного треугольника площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах”. Многое из Вавилона ушло потом в другие восточные страны, в том числе в Индию. И в одной из древних индийских рукописей сохранился чертеж, взглянув на который можно убедиться в справедливости теоремы Пифагора.

Первым ученым, который отказался от геометрических способов выражения и перешел к алгебраическим уравнениям, был древнегреческий ученый-математик, живший в III веке до н. э. Диофант Александрийский. В своей книге «Арифметика» Диофант формулы квадрата суммы, квадрата разности и разности квадратов рассматривал уже с арифметической точки зрения. Ну а современную символику алгебраические тождества получили благодаря двум математикам, а именно Виету и Декарту.

Также вопросами исследования многочленов занимался и иранский поэт, математик, астроном, философ, живший в XI-XII вв. в Персии Омар Хайям. Ученые предполагают, что Хайям открыл формулу возведения двучлена a+b в степень n. (К сожалению, результаты работы математиков Востока были неизвестны в Европе до XVII в., поэтому их пришлось открывать заново).

Формулы сокращённого умножения, изучаемые в школе, и их применение

Как уже было сказано, в школьном курсе математики традиционно изучаются формулы сокращённого умножения для второй и третьей степеней. Формулы эти выводятся путём стандартного перемножения многочленов с использованием определения степени с натуральным показателем. Выведем эти формулы.

(a + b)2 = (a + b) (a + b) = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2

Формула (a — b)2 = a2 – 2ab + b2 выводится аналогично предыдущей

(a + b)3 = (a + b)2 (a + b) = (a2 + 2ab + b2) (a + b) = a3 + 2a2b + ab2 + a2b + 2ab2 +b3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Формула (a — b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 выводится аналогично предыдущей

(a + b) (a – b) = a2 + ab – ab – b2 = a2 – b2

(a + b) (a2 – ab + b2) = a3 – a2b +ab2 + a2b – ab2 + b3 = a3 + b3

Формула (a – b) (a2 + ab + b2) = a3 – b3 выводится аналогично предыдущей

        Выведенные формулы наиболее часто применяются при упрощении алгебраических выражений.

Примеры

1) Выполнить преобразование по соответствующей формуле

        

        

        

        

        

        

        

2) Сократить дробь

Обобщённые формулы сокращённого умножения: наблюдения и гипотеза

        Изучим структуру формул разности одинаковых натуральных степеней. Пока будем получать эти формулы искусственно, опираясь на известные.

        

        

        

Предположим, что формула для разности пятых степеней имеет вид

Формула верна, что очень легко проверяется непосредственно.

Наблюдения показывают, что общая формула должна иметь вид:

Формула эта также проверяется непосредственным перемножением выражений, стоящих в скобках.

        Теперь рассмотрим формулу суммы кубов и выдвинем гипотезу об общей формуле суммы одинаковых нечётных степеней.

Первая формула известна из школьного курса, а вторая опять-таки проверяется непосредственным перемножением многочленов.

Гипотеза об общей формуле:

Доказательство формулы аналогично предыдущим.

        Теперь рассмотрим формулы возведения суммы и разности двух величин в натуральную степень. Начнём с известных формул:

Начнём искусственно выводить формулы для более высоких степеней и постараемся найти закономерность:

        

        

        

Выпишем коэффициенты из первых полученных формул в виде треугольника:

1

1    1    

1    2    3

1    3    3    1

1    4    6    4    1

1    5    10    10    5    1

Наблюдаем следующие свойства этих коэффициентов:

1) Крайние коэффициенты равны единице;

2) Второй и предпоследний коэффициенты равны показателю степени бинома;

3) Коэффициенты каждой из строк треугольника расположены симметрично относительно её центра;

4) Второй коэффициент равен сумме первого и второго коэффициентов предыдущей строки, третий коэффициент равен сумме второго и третьего коэффициентов предыдущей строки и т. д.

Тогда, продолжая треугольник ещё на несколько строк, получим:

1

1    1    

1    2    3

1    3    3    1

1    4    6    4    1

1    5    10    10    5    1

1    6    15    20    15    6    1

1    7    21    35     35    21    7    1

1    8    28    56    70    56    28    8    1

Изучая переход от степени  к степени , видим, что эта закономерность сохраняется.

Формулы для возведения разности в степень получаются аналогичными, но знаки их коэффициентов чередуются. Например:        

                

                

Заключение

Итак, в ходе данной работы:

1) Выведены формулы сокращённого умножения до пятой степени путём стандартного перемножения многочленов;

2) Выдвинута гипотеза относительно общих формул;

3) Составлены общие формулы и доказана их справедливость.

Таким образом, можно считать, что цель работы достигнута.

Список использованной литературы

1. Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике, Москва, 1958
2. Галицкий М.Л и др. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов: Учеб. пособие для учащихся школ. И классов с углубл. изучением математики/ М.Л. Галицкий, А.М.Гольдман, Л.И Звавич. 2-е изд.- М.: Просвещение 1994.- 271с., с.7-8, с.53
3. Глейзер Г.И. История математики в школе 7-8 кл. Пособие для учителей.- М.: Просвещение, 1982.
4. Задачник «Кванта»: Математика. Часть 3./ Под ред. Н.Б.Васильева. – М.: Бюро Квантум, 1997, с 47-56
5. Математика в школе. Научно – методический журнал, № 6. М. – «Педагогика». 1989г, с. 136.
6. Материал из Википедии — свободной энциклопедии, тема: Формулы сокращённого умножения многочленов
7. Материалы заочной математической олимпиады «Атомных станций», московская школа «Авангард» 2011г.
8. Миракова Т.Н. Развивающие задачи на уроках математики в 5-8 классах: пособие для учителя. – Львов, журнал «Квантор» №3, 1991год, с. 20-21

Как решить полиномиальное уравнение энной степени

спросил 10 лет, 2 месяца назад

Изменено 2 года, 1 месяц назад

Просмотрено 151 тысяч раз

$\begingroup$

Типичный подход к решению квадратного уравнения заключается в поиске корней 9{n-1} + \dots + a_n = 0$$

• полиномы

$\endgroup$

5

$\begingroup$

На этот вопрос нет идеального ответа. Для многочленов до степени 4 существуют явные формулы решения, аналогичные формулам для квадратного уравнения (формулы Кардано для уравнений третьей степени, см. здесь, и формула Феррари для степени 4, см. здесь). 9n — a$), формулы решения существуют, но они не обобщаются на все многочлены. На самом деле известно, что лишь очень малая часть многочленов степени $\ge 5$ допускает формулу решения с использованием перечисленных выше операций.

Тем не менее, найти решения полиномиальных формул достаточно просто с помощью численных методов, например, метода Ньютона. Эти методы не зависят от степени многочлена.

$\endgroup$

9

$\begingroup$

Я хотел бы показать вам эту блок-схему, которая обобщает все методы решения полиномов до четвертой степени вручную:

$\endgroup$

2

$\begingroup$

Теорема Абеля о невозможности утверждает, что не существует алгебраических решений полиномиальных уравнений пятой степени или выше

Но Джордан показал, что любое алгебраическое уравнение можно решить с помощью модульных функций. Существуют явные формулы без необходимости использования Чирнхаузена или других преобразований. Однако применение этой теоремы на практике очень затруднено из-за сложности соответствующих гиперэллиптических интегралов и тета-функций высших родов. (Общие формулы см. здесь) 9\nu+c=0$$ (см. здесь и здесь)

$\endgroup$

1

$\begingroup$

Если я правильно понял вопрос: не существует общего выражения для нахождения корней многочленов степени 5 и выше. См. здесь

Для степеней 3 и 4 статьи в Википедии довольно хороши.

$\endgroup$

2

$\begingroup$

Статья «Аналитический метод нахождения корней многочленов» была опубликована в 2015 году. В ней описывается решение полиномиальных уравнений с использованием аналитических рядов в бесконечных степенях.

$\endgroup$

$\begingroup$

Однако мне было интересно, как решить уравнение, если степень x равна n.

Это зависит от информации, которую вы хотите. Для многих приложений тот факт, что «$\alpha$ является решением этого уравнения», является всей необходимой информацией, поэтому решение уравнения тривиально.

Возможно, вам также захочется узнать, сколько существует реальных решений. Для этого подходит правило знаков Декарта. Также см. теорему Штурма.

Иногда вам нужна информация о числовом значении. Обычно вам не нужно много: «$\alpha$ — единственное решение этого уравнения, которое лежит между 3 и 4», например. Довольно легко получить приблизительную информацию с помощью специальных средств. Метод Ньютона можно использовать для улучшения оценок, а определение количества возможных решений может помочь убедиться, что вы нашли все.

$\endgroup$

$\begingroup$

Существует очень продвинутый способ приближенного решения полиномиальных уравнений. Это метод Вейерштрасса, также известный как метод Дюрана-Кернера. Чтобы понять этот метод, требуется знание нескольких разделов продвинутой алгебры. Этот метод изучается в разделе «Численный анализ» и объясняется для полиномов четвертой степени, но обобщается на полиномы более высокой степени. Еще один продвинутый метод принадлежит Дженкинсу-Траубу. Эти два численных решения, метод Дюрана-Кернера и метод Дженкинса-Трауба, можно найти в Википедии. Возник вопрос: как решить многочлен степени n. Знание того, где найти решение, является ответом на поставленный вопрос. В общем случае точных решений для решения полиномов в радикалах, то есть в терминах квадратных корней, кубических корней и т. д., для полиномов пятой степени и выше не существует, и решения являются приближенными. Существуют точные решения в терминах радикалов, но только для частных случаев полиномиальных коэффициентов. Численное решение любой степени аппроксимации многочлена степени n путем построения алгоритмов, основанных на алгебраических процедурах, например двух упомянутых выше методов, будет изучаться специалистами в этих областях в области информатики и численного анализа.

$\endgroup$

$\begingroup$

Лучшее общее и понятное описание того, как обращаться с полиномами в целом, можно найти в соответствующей главе книги Уилфа «Математика для физических наук» (Dover, 2006). Текст несколько устарел, так как это переиздание книги, существовавшей до того, как компьютеры стали повсеместными, и есть дальнейшие разработки.

Первым делом ищем рациональные нули, если они есть, делим их на множители.

Для некоторых специальных форм многочленов можно получить нули, приведя их к более низким степеням или с известными нулями. До 4-й степени есть формулы в терминах алгебраических операций (сложение, умножение, корни), для 5-й степени и выше их нет. Кроме того, если имеется несколько нулей, они являются общими для многочлена и его производной, поэтому вычисление наибольшего общего делителя многочлена и его производной является первым шагом.

Даже при наличии явных формул для степеней 3 и 4 они громоздки, часто бывает полезнее получить численное приближение. 9n$ должно быть равно $1$.

$\endgroup$

$\begingroup$

Подход, который сразу приходит на ум, состоит в том, чтобы сначала установить связь (как правило, нелинейную) между каждым корнем полинома (предполагаемым, комплексным) и коэффициентами степенного ряда, а затем решить полученный набор $n $ уравнений для $n$ переменных, т. е. корней, с использованием итеративного численного алгоритма (скажем, Ньютона-Рафсона, расширенного до $n$ уравнений с $n$ переменных), вычисленных в комплексной области (для обеспечения сходимости).
Довольно хороший подход к получению коэффициентов степенного ряда — использование дискретной свертки для полиномиального умножения (см. здесь).

Однако мне было интересно, как решить уравнение, если степень $x$ равна $n$.

Единственное, что сейчас стоит между вами и вашими решениями (всех их $n$) — это компьютерная программа.

$\endgroup$

Алгебра — многочлены

Показать мобильное уведомление Показать все примечания Скрыть все примечания

Мобильное уведомление

Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана ( т. е. вы, вероятно, используете мобильный телефон). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в ландшафтном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку вашего устройства (должна быть возможность прокрутки, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 1.4: Многочлены

9{23}}\hspace{0.5in} & \hspace{0. m}\). Степень каждого слагаемого полинома от двух переменных равна сумме показателей степени каждого слагаемого и 93} + 3x — 11y & \hspace{0.5in} & {\mbox{степень: 14}}\end{выравнивание*}\]

В полиномах такого типа не каждый член должен иметь в себе как \(x\), так и \(y\), на самом деле, как мы видим в последнем примере, им не нужно иметь какие-либо члены которые содержат как \(x\), так и \(y\). Кроме того, степень полинома может быть получена из условий, включающих только одну переменную. Также обратите внимание, что несколько терминов могут иметь одинаковую степень.

Мы также можем говорить о многочленах от трех переменных, четырех переменных или столько переменных, сколько нам нужно. Подавляющее большинство полиномов, которые мы увидим в этом курсе, являются полиномами от одной переменной, поэтому большинство примеров в оставшейся части этого раздела будут полиномами от одной переменной.

Далее нам нужно разобраться с терминологией. Одночлен — это многочлен, состоящий ровно из одного члена. Бином — это многочлен, состоящий ровно из двух членов. Наконец, трехчлен — это многочлен, состоящий ровно из трех членов. Мы будем использовать эти термины время от времени, так что вы, вероятно, должны быть хотя бы немного знакомы с ними.

Теперь нужно поговорить о сложении, вычитании и умножении многочленов. Вы заметите, что мы пропустили деление многочленов. Это будет обсуждаться в следующем разделе, где мы будем довольно часто использовать деление многочленов.

Перед тем, как начать это обсуждение, нам нужно вспомнить дистрибутивное право. Это будет неоднократно использоваться в оставшейся части этого раздела. Вот распределительный закон.

\[а\влево( {b + c} \вправо) = ab + ac\]

Мы начнем со сложения и вычитания многочленов. Это, вероятно, лучше всего сделать с парой примеров.

Пример 1 Выполните указанную операцию для каждого из следующих.