Серединная линия трапеции формула. Средняя линия трапеции
Понятие средней линии трапеции
Для начала вспомним, какую фигуру называют трапецией.
Определение 1
Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны.
При этом параллельные стороны называются основаниями трапеции, а не параллельные — боковыми сторонами трапеции.
Определение 2
Средняя линия трапеции — это отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции.
Теорема о средней линии трапеции
Теперь введем теорему о средней линии трапеции и докажем её вектор ным методом.
Теорема 1
Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
Доказательство.
Пусть нам дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD\ и\ BC$. И пусть $MN$ — средняя линия этой трапеции (рис. 1).
Рисунок 1. Средняя линия трапеции
Докажем, что $MN||AD\ и\ MN=\frac{AD+BC}{2}$.
Рассмотрим вектор $\overrightarrow{MN}$.
Используем далее правило многоугольника для сложения векторов. С одной стороны получим, что
С другой стороны
Сложим два последних равенства, получим
Так как $M$ и $N$ — середины боковых сторон трапеции, то будем иметь
Получаем:
Следовательно
Из этого же равенства (так как $\overrightarrow{BC}$ и $\overrightarrow{AD}$ сонаправлены, а, следовательно, коллинеарны) получаем, что $MN||AD$.
Теорема доказана.
Примеры задач на понятие средней линии трапеции
Пример 1
Боковые стороны трапеции равны $15\ см$ и $17\ см$ соответственно. Периметр трапеции равен $52\ см$. Найти длину средней линии трапеции.
Решение.
Обозначим среднюю линию трапеции через $n$.
Сумма боковых сторон равна
Следовательно, так как периметр равен $52\ см$, сумма оснований равна
Значит, по теореме 1, получаем
Ответ: $10\ см$.
Пример 2
Концы диаметра окружности удалены от его касательной соответственно на $9$ см и $5$ см.
Решение.
Пусть нам дана окружность с центром в точке $O$ и диаметром $AB$. Проведем касательную $l$ и построим расстояния $AD=9\ см$ и $BC=5\ см$. Проведем радиус $OH$ (рис. 2).
Рисунок 2.
Так как $AD$ и $BC$ — расстояния до касательной, то $AD\bot l$ и $BC\bot l$ и так как $OH$ — радиус, то $OH\bot l$, следовательно, $OH|\left|AD\right||BC$. Из этого всего получаем, что $ABCD$ — трапеция, а $OH$ — ее средняя линия. По теореме 1, получаем
Трапеция — это четырехугольник, имеющий две параллельные стороны, являющиеся основаниями и две не параллельные стороны, являющиеся боковыми сторонами.
Также встречаются такие названия, как равнобокая или равнобочная .
— это трапеция, у которой углы при боковой стороне прямые.
Элементы трапеции
a, b — основания трапеции (a параллельно b ),
m, n — боковые стороны
d 1 , d 2 — диагонали трапеции,
h — высота трапеции (отрезок, соединяющий основания и при этом перпендикулярен им),
MN
— средняя линия (отрезок, соединяющий середины боковых сторон).
{2}
.
Отношение длин отрезков и оснований
Каждый отрезок, соединяющий основания и проходящий через точку пересечения диагоналей трапеции, поделен этой точкой в отношении:
\frac{OX}{OY} = \frac{BC}{AD}
Это будет являться справедливым и для высоты с самими диагоналями.
Четырёхугольник, у которого только две стороны параллельны называются трапецией .
Параллельные стороны трапеции называются её основаниями , а те стороны, которые не параллельны, называются боковыми сторонами . Если боковые стороны равны, то такая трапеция является равнобедренной. Расстояние между основаниями называется высотой трапеции.
Средняя Линия Трапеции
Средняя линия — это отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции. Средняя линия трапеции параллельна её основаниям.
Теорема:
Если прямая, пересекающая середину одной боковой стороны, параллельна основаниям трапеции, то она делит пополам вторую боковую сторону трапеции.
Теорема:
Длина средней линии равна среднему арифметическому длин её оснований
MN || AB || DC
AM = MD; BN = NC
MN средняя линия, AB и CD — основания, AD и BC — боковые стороны
MN = (AB + DC)/2
Теорема:
Длина средней линии трапеции равна среднему арифметическому длин её оснований.
Основная задача : Доказать, что средняя линия трапеции делит пополам отрезок, концы которого лежат в середине оснований трапеции.
Средняя Линия Треугольника
Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, называется средней линией треугольника. Она параллельна третьей стороне и её длина равна половине длины третьей стороны.
AM = MC and BN = NC
=>
Применение свойств средней линии треугольника и трапеции
Деление отрезка на определённое количество равных частей.
Задача: Разделить отрезок AB на 5 равных частей.
Решение:
Пусть p это случайный луч, у которого начало это точка А, и который не лежит на прямой AB. Мы последовательно откладываем 5 равных сегментов на p AA 1 = A 1 A 2 = A 2 A 3 = A 3 A 4 = A 4 A 5
Мы соединяем A 5 с B и проводим такие прямые через A 4 , A 3 , A 2 и A 1 , которые параллельны A 5 B. Они пересекают AB соответственно в точках B 4 , B 3 , B 2 и B 1 . Эти точки делят отрезок AB на 5 равных частей. Действительно, из трапеции BB 3 A 3 A 5 мы видим, что BB 4 = B 4 B 3 . Таким же образом, из трапеции B 4 B 2 A 2 A 4 получаем B 4 B 3 = B 3 B 2
В то время как из трапеции B 3 B 1 A 1 A 3 , B 3 B 2 = B 2 B 1 .
Тогда из B 2 AA 2 следует, что B 2 B 1 = B 1 A. В заключении получаем:
AB 1 = B 1 B 2 = B 2 B 3 = B 3 B 4 = B 4 B
Ясно, что для разделения отрезка AB на другое количество равных частей, нам нужно проецировать то же самое количество равных сегментов на луч p. И далее продолжать вышеописанным способом.
Трапеция — это частный случай четырехугольника, у которого одна пара сторон является параллельной. Термин «трапеция» произошел от греческого слова τράπεζα, означающего «стол», «столик». В этой статье мы рассмотрим виды трапеции и её свойства. Кроме того, разберемся, как рассчитывать отдельные элементы этой Например, диагональ равнобокой трапеции, среднюю линию, площадь и др. Материал изложен в стиле элементарной популярной геометрии, т. е. в легкодоступной форме.
Общие сведения
Для начала давайте разберемся, что такое четырехугольник. Данная фигура является частным случаем многоугольника, содержащего четыре стороны и четыре вершины. Две вершины четырехугольника, которые не являются соседними, называются противоположными. То же можно сказать и о двух несмежных сторонах. Основные виды четырехугольников — это параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат, трапеция и дельтоид.
Итак, вернемся к трапециям. Как мы уже говорили, у этой фигуры две стороны являются параллельными.
Их называют основаниями. Две другие (непараллельные) — боковые стороны. В материалах экзаменов и различных контрольных работ очень часто можно встретить задачи, связанные с трапециями, решение которых зачастую требует от учащегося знаний, не предусмотренных программой. Школьный курс геометрии знакомит учеников со свойствами углов и диагоналей, а также средней линии равнобедренной трапеции. Но ведь, помимо этого, упомянутая геометрическая фигура имеет и другие особенности. Но о них чуть позже…
Виды трапеции
Существует много видов данной фигуры. Однако чаще всего принято рассматривать два из них — равнобедренную и прямоугольную.
1. Прямоугольная трапеция — это фигура, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям. У нее два угла всегда равны девяноста градусам.
2. Равнобедренная трапеция — это геометрическая фигура, у которой боковые стороны равны между собой. А значит, и углы у оснований также попарно равны.
Главные принципы методики изучения свойств трапеции
К основному принципу можно отнести использование так называемого задачного подхода.
По сути, нет необходимости для ввода в теоретический курс геометрии новых свойств этой фигуры. Их можно открывать и формулировать в процессе решения различных задач (лучше системных). При этом очень важно, чтобы преподаватель знал, какие задания необходимо поставить перед школьниками в тот или иной момент учебного процесса. Более того, каждое свойство трапеции может быть представлено в виде ключевой задачи в системе задач.
Вторым принципом является так называемая спиральная организация изучения «замечательных» свойств трапеции. Это подразумевает возврат в процессе обучения к отдельным признакам данной геометрической фигуры. Таким образом, учащимся легче их запоминать. Например, свойство четырех точек. Его можно доказывать как при изучении подобия, так и впоследствии с помощью векторов. А равновеликость треугольников, прилегающих к боковым сторонам фигуры, можно доказывать, применяя не только свойства треугольников с равными высотами, проведенными к сторонам, которые лежат на одной прямой, но и с помощью формулы S= 1/2(ab*sinα).
Кроме того, можно отработать на вписанной трапеции или прямоугольный треугольник на описанной трапеции и т. д.
Применение «внепрограммных» особенностей геометрической фигуры в содержании школьного курса — это задачная технология их преподавания. Постоянное обращение к изучаемым свойствам при прохождении других тем позволяет учащимся глубже познавать трапецию и обеспечивает успешность решения поставленных задач. Итак, приступим к изучению этой замечательной фигуры.
Элементы и свойства равнобедренной трапеции
Как мы уже отмечали, у данной геометрической фигуры боковые стороны равны. Еще она известна как правильная трапеция. А чем же она так примечательна и почему получила такое название? К особенностям данной фигуры относится то, у нее равны не только боковые стороны и углы у оснований, но и диагонали. Кроме того, сумма углов равнобедренной трапеции равна 360 градусам. Но и это еще не все! Из всех известных трапеций только вокруг равнобедренной можно описать окружность.
Это связано с тем, что сумма противоположных углов у этой фигуры равна 180 градусам, а только при таком условии можно описать окружность вокруг четырехугольника. Следующим свойством рассматриваемой геометрической фигуры является то, что расстояние от вершины основания до проекции противолежащей вершины на прямую, которая содержит это основание, будет равно средней линии.
А теперь давайте разберемся, как найти углы равнобедренной трапеции. Рассмотрим вариант решения этой задачи при условии, что известны размеры сторон фигуры.
Решение
Обычно четырехугольник принято обозначать литерами А, Б, С, Д, где БС и АД — это основания. В равнобедренной трапеции боковые стороны равны. Будем считать, что их размер равен Х, а размеры оснований равны Y и Z (меньшего и большего соответственно). Для проведения вычисления необходимо из угла В провести высоту Н. В результате получился прямоугольный треугольник АБН, где АБ — гипотенуза, а БН и АН — катеты. Вычисляем размер катета АН: от большего основания отнимаем меньшее, и результат делим на 2.
Запишем в виде формулы: (Z-Y)/2 = F. Теперь для вычисления острого угла треугольника воспользуемся функцией cos. Получаем следующую запись: cos(β) = Х/F. Теперь вычисляем угол: β=arcos (Х/F). Далее, зная один угол, мы можем определить и второй, для этого производим элементарное арифметическое действие: 180 — β. Все углы определены.
Существует и второе решение данной задачи. В начале опускаем из угла В высоту Н. Вычисляем значение катета БН. Нам известно, что квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов катетов. Получаем: БН = √(Х2- F2). Далее используем тригонометрическую функцию tg. В результате имеем: β = arctg (БН/ F). Острый угол найден. Далее определяем аналогично первому способу.
Свойство диагоналей равнобедренной трапеции
Сначала запишем четыре правила. Если диагонали в равнобедренной трапеции перпендикулярны, то:
Высота фигуры будет равна сумме оснований, деленной на два;
Ее высота и средняя линия равны;
Центр окружности является точкой, в которой пересекаются ;
Если боковая сторона делится точкой касания на отрезки Н и М, тогда равен квадратному корню произведения этих отрезков;
Четырехугольник, который образовался точками касания, вершиной трапеции и центром вписанной окружности — это квадрат, у которого сторона равна радиусу;
Площадь фигуры равна произведению оснований и произведению полусуммы оснований на ее высоту.
Подобные трапеции
Данная тема весьма удобна для изучения свойств этой Например, диагонали разбивают трапецию на четыре треугольника, причем прилежащие к основаниям являются подобными, а к боковым сторонам — равновеликими. Это утверждение можно назвать свойством треугольников, на которые разбита трапеция ее диагоналями. Первая часть этого утверждения доказывается через признак подобия по двум углам. Для доказательства второй части лучше воспользоваться способом, приведенным ниже.
Доказательство теоремы
Принимаем, что фигура АБСД (АД и БС — основы трапеции) разбивается диагоналями ВД и АС. Точка их пересечения — О. Получаем четыре треугольника: АОС — у нижнего основания, БОС — у верхнего основания, АБО и СОД у боковых сторон. Треугольники СОД и БОС имеют общую высоту в том случае, если отрезки БО и ОД являются их основаниями. Получаем, что разность их площадей (П) равна разности этих отрезков: ПБОС/ПСОД = БО/ОД = К. Следовательно, ПСОД = ПБОС/К. Аналогично, треугольники БОС и АОБ имеют общую высоту.
Принимаем за их основания отрезки СО и ОА. Получаем ПБОС/ПАОБ = СО/ОА = К и ПАОБ = ПБОС/К. Из этого следует, что ПСОД = ПАОБ.
Для закрепления материала учащимся рекомендуется найти связь между площадями полученных треугольников, на которые разбита трапеция ее диагоналями, решив следующую задачу. Известно, что у треугольников БОС и АОД площади равны, необходимо найти площадь трапеции. Так как ПСОД = ПАОБ, значит, ПАБСД = ПБОС+ПАОД+2*ПСОД. Из подобия треугольников БОС и АОД следует, что БО/ОД = √(ПБОС/ПАОД). Следовательно, ПБОС/ПСОД = БО/ОД = √(ПБОС/ПАОД). Получаем ПСОД = √(ПБОС*ПАОД). Тогда ПАБСД = ПБОС+ПАОД+2*√(ПБОС*ПАОД) = (√ПБОС+√ПАОД)2.
Свойства подобия
Продолжая развивать эту тему, можно доказывать и другие интересные особенности трапеций. Так, с помощью подобия можно доказать свойство отрезка, который проходит через точку, образованную пересечением диагоналей этой геометрической фигуры, параллельно основаниям. Для этого решим следующую задачу: необходимо найти длину отрезка РК, который проходит через точку О.
Из подобия треугольников АОД и БОС следует, что АО/ОС=АД/БС. Из подобия треугольников АОР и АСБ следует, что АО/АС=РО/БС=АД/(БС+АД). Отсюда получаем, что РО=БС*АД/(БС+АД). Аналогично из подобия треугольников ДОК и ДБС следует, что ОК=БС*АД/(БС+АД). Отсюда получаем, что РО=ОК и РК=2*БС*АД/(БС+АД). Отрезок, проходящий через точку пересечения диагоналей, параллельный основаниям и соединяющий две боковые стороны, делится точкой пересечения пополам. Его длина — это среднее гармоническое оснований фигуры.
Рассмотрим следующее качество трапеции, которое называют свойством четырех точек. Точки пересечения диагоналей (О), пересечения продолжения боковых сторон (Е), а также середины оснований (Т и Ж) всегда лежат на одной линии. Это легко доказывается методом подобия. Полученные треугольники БЕС и АЕД подобны, и в каждом из них медианы ЕТ и ЕЖ делят угол при вершине Е на равные части. Следовательно, точки Е, Т и Ж лежат на одной прямой. Точно так же на одной прямой располагаются точки Т, О, и Ж.
Все это следует из подобия треугольников БОС и АОД. Отсюда делаем вывод, что все четыре точки — Е, Т, О и Ж — будут лежать на одной прямой.
Используя подобные трапеции, можно предложить учащимся найти длину отрезка (ЛФ), который разбивает фигуру на две подобные. Данный отрезок должен быть параллелен основаниям. Так как полученные трапеции АЛФД и ЛБСФ подобны, то БС/ЛФ=ЛФ/АД. Отсюда следует, что ЛФ=√(БС*АД). Получаем, что отрезок, разбивающий трапецию на две подобные, имеет длину, равную среднему геометрическому длин оснований фигуры.
Рассмотрим следующее свойство подобия. В его основе лежит отрезок, который делит трапецию на две равновеликие фигуры. Принимаем, что трапеция АБСД разделена отрезком ЕН на две подобные. Из вершины Б опущена высота, которая разбивается отрезком ЕН на две части — В1 и В2. Получаем: ПАБСД/2 = (БС+ЕН)*В1/2 = (АД+ЕН)*В2/2 и ПАБСД = (БС+АД)*(В1+В2)/2. Далее составляем систему, первое уравнение которой (БС+ЕН)*В1 = (АД+ЕН)*В2 и второе (БС+ЕН)*В1 = (БС+АД)*(В1+В2)/2.
Отсюда следует, что В2/ В1 = (БС+ЕН)/(АД+ЕН) и БС+ЕН = ((БС+АД)/2)*(1+В2/ В1). Получаем, что длина отрезка, делящего трапецию на две равновеликие, равна среднему квадратичному длин оснований: √((БС2+АД2)/2).
Выводы подобия
Таким образом, мы доказали, что:
1. Отрезок, соединяющий у трапеции середины боковых сторон, параллелен АД и БС и равен среднему арифметическому БС и АД (длина основания трапеции).
2. Черта, проходящая через точку О пересечения диагоналей параллельно АД и БС, будет равна среднему гармоническому чисел АД и БС (2*БС*АД/(БС+АД)).
3. Отрезок, разбивающий трапецию на подобные, имеет длину среднего геометрического оснований БС и АД.
4. Элемент, делящий фигуру на две равновеликие, имеет длину среднего квадратичного чисел АД и БС.
Для закрепления материала и осознания связи между рассмотренными отрезками учащемуся необходимо построить их для конкретной трапеции. Он без труда сможет отобразить среднюю линию и отрезок, который проходит через точку О — пересечение диагоналей фигуры — параллельно основаниям.
А вот где будут находиться третий и четвертый? Этот ответ приведет учащегося к открытию искомой связи между средними величинами.
Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции
Рассмотрим следующее свойство этой фигуры. Принимаем, что отрезок МН параллелен основаниям и делит диагонали пополам. Точки пересечения назовем Ш и Щ. Данный отрезок будет равен полуразности оснований. Разберем это более детально. МШ — средняя линия треугольника АБС, она равна БС/2. МЩ — средняя линия треугольника АБД, она равна АД/2. Тогда получаем, что ШЩ = МЩ-МШ, следовательно, ШЩ = АД/2-БС/2 = (АД+ВС)/2.
Центр тяжести
Давайте рассмотрим, каким образом определяется этот элемент для данной геометрической фигуры. Для этого необходимо продлить основания в противоположные стороны. Что это значит? Нужно к верхнему основанию прибавить нижнее — в любую из сторон, например, вправо. А нижнее продлеваем на длину верхнего влево. Далее соединяем их диагональю. Точка пересечения этого отрезка со средней линией фигуры и есть центр тяжести трапеции.
Вписанные и описанные трапеции
Давайте перечислим особенности таких фигур:
1. Трапеция может быть вписана в окружность тольков том случае, если она равнобедренная.
2. Около окружности можно описать трапецию, при условии, что сумма длин их оснований равна сумме длин боковых сторон.
Следствия вписанной окружности:
1. Высота описанной трапеции всегда равна двум радиусам.
2. Боковая сторона описанной трапеции наблюдается из центра окружности под прямым углом.
Первое следствие очевидно, а для доказательства второго требуется установить, что угол СОД является прямым, что, по сути, также не составит большого труда. Зато знание данного свойства позволит при решении задач применять прямоугольный треугольник.
Теперь конкретизируем эти следствия для равнобедренной трапеции, которая вписана в окружность. Получаем, что высота является средним геометрическим оснований фигуры: Н=2R=√(БС*АД). Отрабатывая основной прием решения задач для трапеций (принцип проведения двух высот), учащийся должен решить следующее задание.
Принимаем, что БТ — высота равнобедренной фигуры АБСД. Необходимо найти отрезки АТ и ТД. Применяя формулу, описанную выше, это будет сделать не сложно.
Теперь давайте разберемся, как определить радиус окружности, используя площадь описанной трапеции. Опускаем из вершины Б высоту на основание АД. Так как окружность вписана в трапецию, то БС+АД = 2АБ или АБ = (БС+АД)/2. Из треугольника АБН находим sinα = БН/АБ = 2*БН/(БС+АД). ПАБСД = (БС+АД)*БН/2, БН=2R. Получаем ПАБСД = (БС+АД)*R, отсюда следует, что R = ПАБСД/(БС+АД).
Все формулы средней линии трапеции
Теперь пора перейти к последнему элементу данной геометрической фигуры. Разберемся, чему равна средняя линия трапеции (М):
1. Через основания: М = (А+Б)/2.
2. Через высоту, основание и углы:
М = А-Н*(ctgα+ctgβ)/2;
М = Б+Н*(ctgα+ctgβ)/2.
3. Через высоту, диагонали и угол между ними. К примеру, Д1 и Д2 — диагонали трапеции; α , β — углы между ними:
М = Д1*Д2*sinα/2Н = Д1*Д2*sinβ/2Н.
4. Через площадь и высоту: М = П/Н.
Сколько средних линий в трапеции
Муниципальное бюджетное образовательное учреждение
« Лицей №21»
Исследовательский проект
«Сколько средних линий в трапеции?»
выполнила ученица 9В класса
МБОУ « Лицей №21»
Тихончук Анна
учитель: Осипова А. Ю.
Дзержинск
2019-2020
Аннотация
Цель: сколько трапеция имеет средних линий, определить особенные отличия про средние линии трапеции
Предмет исследования – средние линии трапеции
Объект исследования – трапеция
Основные методы исследования:
- анализ
- синтез
- аналогии
- сравнение
- обобщение
Задачи исследования:
- подобрать данные про средние линии трапеции
- изучить особенные индивидуальности про средние линии в трапеции
- исследовать задачи про средние линии трапеции, действующие в математической литературе
- разобрать конкретные вопросы о средних линиях трапеции
Чтобы серьезно разобраться в текущем вопросе мы изучили соответствующую литературу и определили особенные индивидуальности средних линий трапеции, не изучаемые на уроках, нашли интересные заключения по проработанному материалу.
Наша работа имеет непосредственное большое использование на практике, а также теоретическую значимость.
План исследований
№ | Элементы исследования | Дата |
1 | Определение проблемы исследования, ее темы. Обоснование актуальности исследования, формулирование гипотезы, цели, задач. | сентябрь |
2 | Объектная область: | |
3 | Выбор темы: | 30.09.2019 |
4 | Формулирование гипотезы: Мы полагаем, что если непосредственно знать в совершенстве особенные индивидуальности средних линий трапеции, то их использование в свою очередь будет хорошим подспорьем ученикам в практическом направлении материала. | сентябрь |
5 | Задачи исследования: 1.Подобрать данные про средние линии трапеции 2. Изучить особенные индивидуальности про средние линии в трапеции 3. Исследовать задачи про средние линии, действующие в математической литературе 4. Разобрать конкретные вопросы о средних линиях трапеции | октябрь |
6 | Выбор методов исследования:
| октябрь |
7 | Сбор и изучение материалов исследования:
| сентябрь- ноябрь |
8 | Презентация результатов исследования | декабрь-февраль |
10 | Оформление исследовательского проекта | март |
— ru.wikipedia.org/wiki/средняя линияОглавление
Введение | 5 |
Научная статья | |
| 1. | 7 |
1.2. Особенные отличия средних линий трапеции, не изучаемые в школе | 7 |
1.3. Практическая направленность | 9 |
Заключение | 12 |
Литература | 13 |
1.Вторая средняя линия трапеции«Геометрия полна приключений,
потому что за каждой задачей скрывается приключение мысли…»
В.Произволов
Введение
Сначала разберемся в простейшей задаче: В равнобокой трапеции диагонали при пересечении образуют угол 900. Высота трапеции равна а. Найти среднюю линию трапеции. Так как диагонали AC BD⇒ прямоугольные треугольники △АОЕ= △ВОЕ, △DFO=△CFO-равнобедренные. Из △АОЕ= △ВОЕ, △DFO=△CFO.
Актуальность работы:
Стоит отметить, непосредственно особенные индивидуальности средней линии трапеции были определены при решении проблемных задач. Стоит заметить, что решение некоторых задач было не всегда понятно. Вопросы, имеющие отношение ко второй средней линией трапеции смогла найти в публикациях следующих авторов: Лидского В. Б., Прасолова В. В., Сивашинского И. Х., Шахно К. У, ну и, конечно же, на страницах интернета. Было принято соображение по текущей теме написать исследовательскую работу. Наше исследование содержит непосредственно большое практическое использование, а также теоретическую значимость.
Гипотеза: Мы полагаем, что если непосредственно знать в совершенстве особенные индивидуальности средних линий трапеции, то их использование в свою очередь будет хорошим подспорьем ученикам в практическом направлении материала.
Новизна этого исследования состоит в том, что непосредственно данное направление не рассматривалось более глубоко и основательно.
Важность этого исследования на практике заключена в том, что результатом будет заинтересованность школьников, что, непосредственно повысит их успешность в изучении.
Цель: сколько средних линий имеет трапеция, определить особенные отличия средних линий трапеции
Задачи исследования:
- подобрать данные про средние линии трапеции
- изучить особенные индивидуальности про средние линии в трапеции
- исследовать задачи про средние линии, действующие в математической литературе
- разобрать конкретные вопросы про средние линии трапеции
Предмет исследования – трапеция
Объект исследования – средние линии трапеции
Основные методы исследования:
- анализ
- синтез
- аналогии
- сравнение
- обобщение
1.1. вторая средняя линия трапеции.
Бесспорно, общеизвестна школьная трактовка: средняя линия трапеции это отрезок, который соединяет середины боковых сторон данной трапеции. Давайте соединим середины оснований, и у нас непосредственно, получится вторая средняя линия трапеции
FE
.
Общеизвестная формула средней линии трапеции ½ (AB+CD). Зарождается проблема: есть ли какая-либо взаимосвязь между боковыми сторонами и второй средней линией трапеции? Совершенно объяснимо, что вторая средняя линия трапеции не может быть равна полусумме оснований трапеции. Если нижнее основание растянуть, то длина FE не преобразится, а сумма боковых сторон трапеции останется без изменений.
рис.1
Путем доказательства мы установили в трапеции ABCD DС||АB, FE и есть вторая средняя линия (рис.1)
FE = FD + AD +AE или FE = FC + BC + BE. Найдем сумму этих равенств: 2FE = (DF + FC) +(AE+DE)+(AD+BC).FE=1/2(AD+BC).
1.2. Особенные отличия средних линий трапеции, не изучаемые на уроках геометрии.
Разберем более детально несколько интересных свойств второй средней линии трапеции.
1. В точке, в которой пересекаются две средние линии, они делятся пополам
2. Диагонали трапеции и вторая средняя линия пересекаются в одной точке
рис.
4 Дано: ВК=КС
Доказать: AS=SD
Доказательство:(накрест лежащие углы) так как ВС||AD и секущей BD (вертикальные углы) ⇒ ~, аналогично ~
⇒, BK =KC (по условию) ⇒ AS =SD ч. т. д.
3. Та прямая, частью которой эта линия является, пересекается в единой точке с теми прямыми, которые совпадают с боковыми сторонами
рис.5
Доказательство: △ВОС~△AOD(по двум углам)
ODOC, OBOA, OA =k OB, OD = k OC.
Применим формулу вычисления середины отрезка:
OK=½ (ОВ+ОС), OS=½ (OA+OD), OS=½ (k∙OB + k∙OC)=½ k (OB+ OC)=k OK OK коллинеарен OS ОFE. ч. т. д
4. Средние линии равнобедренной трапеции перпендикулярны.
рис.6
5. В равнобокой трапеции (у которой боковые стороны идут под одним углом) средняя линия пересекает основания под углом в 90 градусов;
(см. доказательство предыдущего утверждения)
6. Если средние линии трапеции равны, то ее диагонали перпендикулярны
рис.
7
1.3. Практическая направленность
Лично удалось встретить несколько задач, так или иначе имеющие связь со второй средней линией трапеции в публикациях Кушнир И. А. Рассмотрим решение некоторых задач:
Задача 1 (Кушнир И.А.)
В трапеции ABCD сумма углов при меньшем основании равна 270º. Найти длину второй средней линии, если основания равны а и в (а >в).
в треугольнике AMD
Поэтому, MN = , MF=
NF = MF – MN = (a – b)/2.
Ответ:(a-b)/2
Задача 2 (Кушнир И.А.)
Доказать, что площадь трапеции равна произведению второй средней линии на сумму перпендикуляров, проведенных к этой средней линии (или её продолжению) из двух противоположных вершин трапеции.
р
ис.9
N
Задача 3 (Кушнир И. А.)
В трапеции ABCD сумма углов при основании AD равна 90º. Докажите, что отрезок, соединяющий середины оснований, равен ½ (AD – BC)
рис.
10 Решение: AF=FD, BN=NC
º, º,
AD – гипотенуза,
MF =AF=FD=½ AD
MN =½ BC
FN = MF – MN
FN =½ AD –½ BC =½ (AD – BC) ч. т. д.
Предлагаю задачи, составленные мной:
Задача 1
Верно ли утверждение: если прямая проходит через точку пересечения диагоналей и середину одного основания трапеции, то и второе основание она делит пополам?
Решение: Верно, см. свойство 2
Задача 2
В трапеции ABCD вторая средняя линия = 4 см, основания равны 12 см и 8 см, угол между средними линиями 30º. Найти площадь трапеции.
Решение:
M O N
(соответственные), ,КН = 2 см. см².
Задача 3
Провести в трапеции вторую среднюю линию с помощью чертежной линейки.
Решение:
- соединим диагонали.
- до пересечения продолжим боковые стороны.
- проведем прямую через точку пересечения диагоналей и точку пересечения продолжений боковых сторон.
- Получили искомую вторую среднюю линию трапеции.
Задача 4
В трапеции АВСD ВС= 16 см, вторая средняя линия делится диагональю в отношении 1:2. Найдите среднюю линию трапеции АВСD
Решение:
В С
М О L
А S D
Задача 5
Вторая средняя линяя равнобокой трапеции перпендикулярна её основаниям.
△АОD и △ВОС равнобедренные. ОМ и ОК медианы этих треугольников. По свойству равнобедренного треугольника: медиана равнобедренного треугольника, опущенная на основание, является высотой треугольника. ⇒ КМ ┴ основаниям.
Заключение
Главной целью работы требовалось установить, сколько средних линий имеет трапеция, определить особенные индивидуальности средних линий трапеции.
Поставленные цели и задачи работы «Сколько средних линий в трапеции?» достигнуты.
В соответствии с результатами выполненной мною деятельности я выявила о существовании второй средней линии трапеции, о ее свойствах. Детально проанализировала решение отдельных задач, тем или иным образом имеющих отношение к средним линиям трапеции.
Стало понятно, почему вторая средняя линия трапеции применяется в решении задач достаточно редко, поэтому ее мало изучают во время школьного обучения. Но я не сожалею, что собственно затраченное время на постижение этой темы, позволило мне много нового выяснить о средних линиях трапеции, и некоторых ее интересных свойствах.
Мне представилась возможность сформировать исключительно несколько задач, связанных со второй средней линией трапеции, но я убеждена, что их количество прибавится.