Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, т.2
Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, т.2
ОглавлениеПРЕДИСЛОВИЕ К ДЕВЯТОМУ ИЗДАНИЮГЛАВА XIII.  (n) = f(x)§ 18. Некоторые типы дифференциальных уравнений второго порядка, приводимых к уравнениям первого порядка. Задача о второй космической скорости § 19. Графический метод интегрирования дифференциального уравнения второго порядка § 20. Линейные однородные уравнения. Определения и общие свойства § 21. Линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами § 22. Линейные однородные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами § 23. Неоднородные линейные уравнения второго порядка § 24. Неоднородные линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами § 25. Неоднородные линейные уравнения высших порядков § 26. Дифференциальное уравнение механических колебаний § 27. Свободные колебания. Векторное и комплексное изображение гармонических колебаний § 28. Вынужденные колебания § 29. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений § 30. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами § 31.  Понятие о теории устойчивости Ляпунова. Поведение траектории дифференциального уравнения в окрестности особой точки§ 32. Приближенное решение дифференциальных уравнений первого порядка методом Эйлера § 33. Разностный метод приближенного решения дифференциальных уравнений, основанный на применении формулы Тейлора.. Метод Адамса § 34. Приближенный метод интегрирования систем дифференциальных уравнений первого порядка Упражнения к главе XIII ГЛАВА XIV. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ § 2. Вычисление двойного интеграла § 3. Вычисление двойного интеграла (продолжение) § 4. Вычисление площадей и объемов с помощью двойных интегралов § 5. Двойной интеграл в полярных координатах § 6. Замена переменных в двойном интеграле (общий случай) § 9. Момент инерции площади плоской фигуры § 10. Координаты центра масс площади плоской фигуры § 11. Тройной интеграл § 12. Вычисление тройного интеграла § 13. Замена переменных в тройном интеграле § 14.  Момент инерции и координаты центра масс тела§ 15. Вычисление интегралов, зависящих от параметра Упражнения к главе XIV ГЛАВА XV. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ИНТЕГРАЛЫ ПО ПОВЕРХНОСТИ § 2. Вычисление криволинейного интеграла § 3. Формула Грина § 4. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования § 5. Поверхностный интеграл § 6. Вычисление поверхностного интеграла § 7. Формула Стокса § 9. Оператор Гамильтона. Некоторые его применения Упражнения к главе XV ГЛАВА XVI. РЯДЫ § 1. Ряд. Сумма ряда § 2. Необходимый признак сходимости ряда § 3. Сравнение рядов с положительными членами § 4. Признак Даламбера § 5. Признак Коши § 6. Интегральный признак сходимости ряда § 7. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница § 8. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость § 9. Функциональные ряды § 10. Мажорируемые ряды § 11. Непрерывность суммы ряда § 12. Интегрирование и дифференцирование рядов § 13.  Степенные ряды. Интервал сходимости§ 14. Дифференцирование степенных рядов § 15. Ряды по степеням x-a § 16. Ряды Тейлора и Маклорена § 17. Примеры разложения функций в ряды § 18. Формула Эйлера § 19. Биномиальный ряд § 20. Разложение функции ln(1+x) в степенной ряд. Вычисление логарифмов § 21. Вычисление определенных интегралов с помощью рядов § 22. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов § 23. Уравнение Бесселя § 24. Ряды с комплексными членами § 26. Решение дифференциального уравнения первого порядка методом последовательных приближений (метод итераций) § 27. Доказательство существования решения дифференциального уравнения. Оценка погрешности при приближенном решении § 28. Теорема единственности решения дифференциального уравнения Упражнения к главе XVI ГЛАВА XVII. РЯДЫ ФУРЬЕ § 2. Примеры разложения функций в ряды Фурье § 3. Одно, замечание о разложении периодической функции в ряд Фурье § 4.  Ряды Фурье для четных и нечетных функций§ 5. Ряд Фурье для функции с периодом 2l § 6. О разложении непериодической функции в ряд Фурье § 7. Приближение в среднем заданной функции с помощью тригонометрического многочлена § 8. Интеграл Дирихле § 9. Сходимость ряда Фурье в данной точке § 10. Некоторые достаточные условия сходимости ряда Фурье § 11. Практический гармонический анализ § 12. Ряд Фурье в комплексной форме § 13. Интеграл Фурье § 14. Интеграл Фурье в комплексной форме § 15. Ряд Фурье по ортогональной системе функций § 16. Понятие о линейном функциональном пространстве. Аналогия между разложением функций в ряд Фурье и разложением векторов Упражнения к главе XVII ГЛАВА XVIII. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ § 1. Основные типы уравнений математической физики § 2. Вывод уравнения колебаний струны. Формулировка краевой задачи. Вывод уравнений электрических колебаний в проводах § 3. Решение уравнения колебаний струны методом разделения переменных (методом Фурье) § 4.  Уравнение распространения тепла в стержне. Формулировка краевой задачи§ 5. Распространение тепла в пространстве § 6. Решение первой краевой задачи для уравнения теплопроводности методом конечных разностей § 8. Задачи, приводящие к исследованию решений уравнения Лапласа. Формулировка краевых задач § 9. Уравнение Лапласа в цилиндрических координатах. Решение задачи Дирихле для кольца с постоянными значениями искомой функции на внутренней и внешней окружностях § 10. Решение задачи Дирихле для круга § 11. Решение задачи Дирихле методом конечных разностей Упражнения к главе XVIII ГЛАВА XIX. ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ И НЕКОТОРЫЕ ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ § 1. Начальная функция и ее изображение § 2. Изображение функций … § 3. Изображение функции с измененным масштабом независимой переменной. Изображение функций sin at, cos at § 4. Свойство линейности изображения § 5. Теорема смещения § 6. Изображение функций … § 7.  Дифференцирование изображения§ 8. Изображение производных § 9. Таблица некоторых изображений § 10. Вспомогательное уравнение для данного дифференциального уравнения § 11. Теорема разложения § 12. Примеры решения дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений операционным методом § 13. Теорема свертывания § 14. Дифференциальные уравнения механических колебаний. Дифференциальные уравнения теории электрических цепей § 15. Решение дифференциального уравнения колебаний § 16. Исследование свободных колебаний § 17. Исследование механических и электрических колебаний в случае периодической внешней силы § 18. Решение уравнения колебаний в случае резонанса § 19. Теорема запаздывания § 20. Дельта-функция и ее изображение Упражнения к главе XIX ГЛАВА XX. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ § 1. Случайное событие. Относительная частота случайного события. Вероятность события. Предмет теории вероятностей  Классическое определение вероятности и непосредственный подсчет вероятностей§ 3. Сложение вероятностей. Противоположные случайные события § 4. Умножение вероятностей независимых событий § 5. Зависимые события. Условная вероятность. Полная вероятность § 6. Вероятность гипотез. Формула Байеса § 7. Дискретная случайная величина. Закон распределения дискретной случайной величины § 8. Относительная частота и вероятность относительной частоты при повторных испытаниях § 9. Математическое ожидание дискретной случайной величины § 10. Дисперсия. Среднеквадратичное отклонение. Понятие о моментах § 11. Функции от случайных величин § 12. Непрерывная случайная величина. Плотность распределения непрерывной случайной величины. Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал § 13. Функция распределения, или интегральный закон распределения. Закон равномерного распределения вероятностей § 14. Числовые характеристики непрерывной случайной величины § 15.  Нормальный закон распределения. Математическое ожидание нормального распределения§ 16. Дисперсия и среднеквадратичное отклонение случайной величины, подчиненной нормальному закону распределения § 17. Вероятность попадания значения случайной величины в заданный интервал. Функция Лапласа. Интегральная функция распределения для нормального закона § 18. Вероятное (срединное) отклонение или срединная ошибка § 19. Выражение нормального закона распределения через срединное отклонение. Приведенная функция Лапласа § 20. Правило трех сигм. Шкала вероятностей распределения ошибок § 21. Среднеарифметическая ошибка § 22. Мера точности. Соотношение между характеристиками распределения ошибок § 23. Двумерная случайная величина § 24. Нормальный закон распределения на плоскости § 26. Вероятность попадания двумерной случайной величины в эллипс рассеивания § 27.  Задачи математической статистики. Статистический материал§ 28. Статистический ряд. Гистограмма § 29. Определение подходящего значения измеряемой величины § 30. Определение параметров закона распределения. Теорема Ляпунова. Теорема Лапласа Упражнения к главе XX ГЛАВА XXI. МАТРИЦЫ. МАТРИЧНАЯ ЗАПИСЬ СИСТЕМ И РЕШЕНИЙ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ § 1. Линейные преобразования. Матрица § 2. Общие определения, связанные с понятием матрицы § 3. Обратное преобразование § 4. Действия над матрицами. Сложение матриц § 5. Преобразование вектора в другой вектор с помощью матрицы § 6. Обратная матрица § 7. Нахождение матрицы, обратной данной § 8. Матричная запись системы линейных уравнений § 9. Решение системы линейных уравнений матричным методом § 10. Ортогональные отображения. Ортогональные матрицы § 11. Собственный вектор линейного преобразования § 12. Матрица линейного преобразования, при котором базисные векторы являются собственными векторами § 13.  Преобразование матрицы линейного преобразования при переходе от одного базиса к другому§ 14. Квадратичные формы и их преобразования § 15. Ранг матрицы. Существование решений системы линейных уравнений § 16. Дифференцирование и интегрирование матриц § 17. Матричная запись системы дифференциальных уравнений и решений системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами § 18. Матричная запись линейного уравнения n-го порядка § 19. Решение систем линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами методом последовательных приближений с использованием матричной записи Упражнения к главе XXI ПРИЛОЖЕНИЯ |
Как найти вероятность A и B (с примерами)
Для двух событий, A и B, «найти вероятность A и B» означает найти вероятность того, что событие A и событие B оба произойдут .
Обычно мы записываем эту вероятность одним из двух способов:
- P (A и B) — Письменная форма
- P (A ∩ B) — форма обозначения
То, как мы вычисляем эту вероятность, зависит от того, являются ли события A и B независимыми или зависимыми.
Если A и B независимы , то формула, которую мы используем для вычисления P(A∩B), выглядит просто:
Independent Events: P(A∩B) = P(A) \* P(B)
Если A и B зависимы , то формула, которую мы используем для вычисления P(A∩B):
Dependent Events: P(A∩B) = P(A) \* P(B|A)
Обратите внимание, что P(B|A) — это условная вероятность наступления события B, учитываяпроисходит событие А.
Следующие примеры показывают, как использовать эти формулы на практике.
Примеры P(A∩B) для независимых событийВ следующих примерах показано, как вычислить P(A ∩ B), когда A и B являются независимыми событиями.
Пример 1: Вероятность того, что ваша любимая бейсбольная команда выиграет Мировую серию, равна 1/30, а вероятность того, что ваша любимая футбольная команда выиграет Суперкубок, равна 1/32. Какова вероятность того, что обе ваши любимые команды выиграют свои соответствующие чемпионаты?
Решение: В этом примере вероятность каждого события не зависит от другого.
Таким образом, вероятность того, что они оба произойдут, рассчитывается как:
P(A∩B) = (1/30) * (1/32) = 1/960 = 0,00104.
Пример 2: Вы бросаете кости и одновременно подбрасываете монету. Какова вероятность того, что на кубике выпадет 4, а на монете выпадет решка?
Решение: В этом примере вероятность каждого события не зависит от другого. Таким образом, вероятность того, что они оба произойдут, рассчитывается как:
P(A∩B) = (1/6) * (1/2) = 1/12 = 0,083333.
Примеры P(A∩B) для зависимых событийВ следующих примерах показано, как вычислить P(A∩B), когда A и B являются зависимыми событиями.
Пример 1: В урне 4 красных и 4 зеленых шара. Вы случайным образом выбираете один шар из урны. Затем без замены вы выбираете другой шар. Какова вероятность того, что каждый раз вы выбираете красный шар?
Решение: В этом примере цвет мяча, который мы выбираем в первый раз, влияет на вероятность выбора красного мяча во второй раз.
Таким образом, эти два события являются зависимыми.
Определим событие А как вероятность выбора красного шара в первый раз. Эта вероятность равна P(A) = 4/8. Далее нам нужно найти вероятность снова выбрать красный шар, если первый шар был красным. В этом случае осталось выбрать только 3 красных шара и всего 7 шаров в урне. Таким образом, P(B|A) равно 3/7.
Таким образом, вероятность того, что мы каждый раз выбираем красный шар, будет рассчитываться как:
P(A∩B) = P(A) * P(B|A) = (4/8) * (3/7) = 0,214.
Пример 2: В одном классе 15 мальчиков и 12 девочек. Предположим, мы поместили имена каждого ученика в мешок. Мы случайным образом выбираем одно имя из мешка. Затем без замены выбираем другое имя. Какова вероятность того, что оба имени мальчики?
Решение: В этом примере имя, которое мы выбираем в первый раз, влияет на вероятность выбора имени мальчика во время второго розыгрыша. Таким образом, эти два события являются зависимыми.
Определим событие А как вероятность первого выбора мальчика. Эта вероятность равна P(A) = 15/27. Далее мы должны найти вероятность того, что снова выберем мальчика, учитывая , что первое имя было мальчиком. В этом случае осталось выбрать только 14 мальчиков и всего 26 имен в мешочке. Таким образом, P(B|A) равно 14/26.
Таким образом, вероятность того, что мы каждый раз выбираем имя мальчика, будет рассчитываться как:
P(A∩B) = P(A) * P(B|A) = (15/27) * (14/26) = 0,299.
Объяснение урока: Зависимые и независимые события
В этом объяснении мы узнаем, как рассчитать вероятности зависимых и независимых событий и как проверить, являются ли два события независимыми.
Начнем с напоминания следующего определения.
Определение: независимые и зависимые события
События 𝐴 и 𝐵 являются независимыми, если появление 𝐴 не влияет на вероятность появления 𝐵. То есть,
𝑃(𝐵∣𝐴)=𝑃(𝐵),
где 𝑃(𝐵∣𝐴) представляет вероятность события 𝐵 при условии, что событие 𝐴 произошло.
Если условие выше не выполняется, то мы говорим, что 𝐴 и 𝐵 являются зависимыми событиями. Например, если мы дважды бросаем игральную кость, то выпадение четного числа при первом броске и выброс 4 при втором броске являются независимыми событиями, потому что тот факт, что мы бросили четное число при первом броске, не увеличивает и не уменьшает вероятность выпадения. прокатка 4 во втором броске. С другой стороны, выпадение четного числа и выпадение 4 в одном и том же броске являются зависимыми событиями, поскольку выпадение четного числа удваивает вероятность того, что мы выкинули 4.
Рассмотрим несколько сценариев в первом примере и проверим, описывают ли они зависимые или независимые события, используя определение.
Пример 1: определение сценариев, представляющих независимые события
В каком из следующих сценариев 𝐴 и 𝐵 независимые события?
- Ученик выходит из дома по дороге в школу. Событие 𝐴 означает, что они вовремя прибывают на автобусную остановку, чтобы успеть на автобус, а событие 𝐵 означает, что они вовремя приходят в школу.
- Игральная кость брошена. Событие 𝐴 выбрасывает четное число, а событие 𝐵 — простое число.
- Бросается игральная кость и подбрасывается монета. Событие 𝐴 — выпадение 6 на кубике, а событие 𝐵 — выпадение монеты один на один.
- Ребенок берет наугад две конфеты из мешочка, в котором лежат жевательные и хрустящие леденцы. Событие 𝐴 означает, что сначала они берут жевательную конфету, а событие 𝐵 — то, что они берут хрустящую конфету во вторую очередь.
- Учитель случайным образом выбирает двух учеников из группы, состоящей из пяти мальчиков и пяти девочек. Событие 𝐴 — учитель сначала выбирает мальчика, а событие 𝐵 — учитель выбирает девочку во вторую очередь.
Ответ
Напомним, что события 𝐴 и 𝐵 независимы, если появление 𝐴 не влияет на вероятность появления 𝐵. Чтобы установить, являются ли 𝐴 и 𝐵 независимыми или зависимыми, мы должны проверить, изменяется ли вероятность 𝐵, когда мы предполагаем, что 𝐴 уже произошло. Рассмотрим каждый сценарий, используя определение.
- Событие 𝐴 означает, что учащийся приходит на автобусную остановку вовремя, чтобы успеть на автобус, а событие 𝐵 — это то, что учащийся приходит в школу вовремя. Можно предположить, что вероятность прийти в школу вовремя значительно возрастает, если ученик успевает на автобус, поскольку вероятность опоздания ученика в школу выше, если он опоздает на автобус. Таким образом, возникновение события 𝐴 влияет на вероятность возникновения события 𝐵, а это означает, что эти два события являются зависимыми.
- Событие 𝐴 выбрасывает четное число {2,4,6}, а 𝐵 выбрасывает простое число {2,3,5}. Вероятность выпадения простого числа равна 𝑃(𝐵)=12, потому что есть 3 простых числа из 6 равновероятных исходов. С другой стороны, если мы предположим, что уже выбросили четное число, то выпадение должно быть 2, чтобы оно было простым числом. Другими словами, событие 𝐵 при задании 𝐴 равнозначно получению 2 из {2,4,6}. Итак, 𝑃(𝐵∣𝐴)=13. Поскольку 𝑃(𝐵∣𝐴)≠𝑃(𝐵), эти два события зависимы.
- Событие 𝐴 — это выпадение 6 на кубике, а событие 𝐵 — выпадение монеты один на один. Скажем, мы уже выбросили 6 на кубике. Изменяется ли вероятность выпадения монеты орлом вверх? Нет, вероятность такого события по-прежнему равна 12 независимо от того, что мы получим при броске кубика. Таким образом, 𝐴 и 𝐵 независимы.
- Событие 𝐴 – ребенок первым берет жевательную конфету, а событие 𝐵 – ребенок берет хрустящую конфету вторым. Чтобы определить, являются ли два события независимыми, нам нужно знать, отличается ли вероятность того, что событие 𝐵 произойдет, в зависимости от того, произошло ли уже событие 𝐴. Допустим, пакет начинается с одной жевательной конфеты и одной хрустящей конфеты. Если ребенок берет жевательную конфету при первом выборе, то мы говорим, что произошло событие 𝐴. Поскольку они не будут класть эту конфету в пакет и будут выбирать из того, что осталось в пакете, они обязательно выберут хрустящие конфеты при втором выборе, поэтому 𝑃(𝐵∣𝐴)=1. Если ребенок первым берет хрустящую конфету, то мы говорим, что событие 𝐴 не произошло, и в этом случае он не может взять хрустящую конфету вторым, потому что в мешочке осталась только жевательная конфета, поэтому 𝑃( 𝐵∣𝐴)=0. Поскольку вероятность возникновения 𝐵 различна, когда 𝐴 произошло, и когда 𝐴 не произошло, то событие 𝐵 зависит от события 𝐴. 𝐴 и 𝐵 не являются независимыми событиями.
- Этот сценарий аналогичен сценарию D, и вероятность выбора девочки второй зависит от того, мальчик или девочка были выбраны первыми, так как состав группы, оставшейся для второго выбора, будет разным в зависимости от того, мальчик или девочка был выбран первым. Если произошло событие 𝐴, то для второго выбора будет доступно 4 мальчика и 5 девочек, а 𝑃(𝐵∣𝐴)=59. Однако, если событие 𝐴 не произошло, то для второго выбора будет доступно 5 мальчиков и 4 девочки, а 𝑃(𝐵∣𝐴)=49. Эти два события являются зависимыми.
Следовательно, правильный ответ C.
В следующем примере мы будем использовать диаграмму дерева вероятностей, чтобы решить, являются ли события независимыми.
Пример 2. Использование диаграмм дерева вероятностей для определения независимости событий
В мешочке 5 красных и 4 синих конфеты. Я беру один наугад, отмечаю его цвет и ем. Затем я делаю то же самое для другой конфеты. На рисунке ниже показано дерево вероятностей, связанное с этой проблемой. Являются ли события «получение синей конфеты первым» и «получение красной конфеты вторым» независимыми?
Ответ
Напомним, что события 𝐴 и 𝐵 независимы, если появление 𝐴 не влияет на вероятность появления 𝐵. Чтобы установить, являются ли 𝐴 и 𝐵 независимыми, мы должны проверить, изменяется ли вероятность 𝐵 в зависимости от результата 𝐴.
Если мы сначала возьмем синюю конфету, вероятность получения красной конфеты второй определяется нижними ветвями диаграммы дерева вероятностей.
Тогда у нас есть, 𝑃(∣)=58.получение красной конфеты второй получение синей конфеты первой
С другой стороны, вероятность получить красную конфету второй, независимо от того, что было выбрано первой, такая же, как и вероятность получить красную конфету первой. Это связано с тем, что порядок выбора не влияет на его вероятность, если только мы не принимаем условие из предыдущего выбора. Вероятность получить красную конфету первой указана ниже.
Это равно вероятности получить красную конфету в секунду, поэтому мы имеем 𝑃()=59.gettingaredcandysecond
Это дает нам 𝑃(∣)≠𝑃().получениекраснойконфетывтороеполучениесинейконфетыпервогополучениекраснойконфетысекунды
Поскольку вероятность «получить красную конфету второй» изменяется, когда мы предполагаем, что сначала получаем синюю конфету, эти два события не являются независимыми.
Напомним, что условная вероятность вычисляется по уравнению
| 𝑃(𝐵∣𝐴)=𝑃(𝐴∩𝐵)𝑃(𝐴). | (1) |
Мы также знаем, что 𝑃(𝐵∣𝐴)=𝑃(𝐵) для независимых мероприятий. Подставляя это в уравнение выше и переставляя, мы получаем 𝑃(𝐴)×𝑃(𝐵)=𝑃(𝐴∩𝐵).
Это приводит к следующей теореме.
Теорема: Правило умножения для независимых событий
События 𝐴 и 𝐵 независимы тогда и только тогда, когда
где 𝐴∩𝐵 — событие, при котором события 𝐴 и 𝐵 происходят одновременно.
В следующем примере мы воспользуемся этой теоремой, чтобы показать, что любые два взаимоисключающих события с ненулевыми вероятностями не могут быть независимыми.
Пример 3: Взаимоисключающие события и независимые события
Если 𝑃(𝐴)=0,3 и 𝑃(𝐵)=0,25 и 𝐴∩𝐵=∅, являются ли 𝐴 и 𝐵 независимыми?
Ответ
Напомним, что если 𝐴 и 𝐵 независимые события, то 𝑃(𝐴∩𝐵)=𝑃(𝐴)×𝑃(𝐵).
Нам дано, что 𝐴∩𝐵=∅, а это значит, что они взаимоисключающие. Другими словами, два события не могут произойти одновременно. Напомним, что вероятность пустого множества равна нулю, поэтому 𝑃(𝐴∩𝐵)=𝑃(∅)=0.
С другой стороны, мы можем вычислить 𝑃(𝐴)×𝑃(𝐵)=0,3×0,25=0,075.
Поскольку 𝑃(𝐴∩𝐵)≠𝑃(𝐴)×𝑃(𝐵), 𝐴 и 𝐵 зависимы.
Приведенный выше пример демонстрирует более общий факт: два взаимоисключающих события с ненулевыми вероятностями не могут быть независимыми. Эвристически это имеет смысл, потому что если 𝐴 и 𝐵 являются взаимоисключающими событиями, то 𝐴 и 𝐵 не могут происходить одновременно. Итак, если мы предположим, что событие 𝐴 уже произошло, то это исключает возможность того, что 𝐵 может произойти. Другими словами, результат 𝐴 влияет на результат 𝐵, делая их зависимыми.
В следующем примере мы будем использовать вероятности, данные на диаграмме Венна, чтобы решить, являются ли два события независимыми.
Пример 4. Использование вероятностей на диаграмме Венна для определения независимости событий
В пространстве выборок 𝑆 показаны вероятности возникновения комбинаций событий 𝐴 и 𝐵. Являются ли 𝐴 и 𝐵 независимыми событиями?
Ответ
Напомним, что события 𝐴 и 𝐵 независимы, если 𝑃(𝐴∩𝐵)=𝑃(𝐴)×𝑃(𝐵).
Вероятность пересечения 𝐴∩𝐵 отмечена ниже.
Это дает нам 𝑃(𝐴∩𝐵)=519.
Вероятность 𝐴 определяется как сумма двух вероятностей, отмеченных ниже.
Это дает нам 𝑃(𝐴)=419+519=919.
Наконец, мы можем рассчитать вероятность 𝐵, найдя сумму двух вероятностей, отмеченных ниже.
Это дает нам
𝑃(𝐵)=519+519=1019.
Используя эти значения, мы можем проверить условие 𝑃(𝐴∩𝐵)=𝑃(𝐴)×𝑃(𝐵): 𝑃(𝐴)×𝑃(𝐵)=919×1019=
Значит, нет; 𝐴 и 𝐵 не являются независимыми событиями.
В нашем следующем примере мы применяем правило умножения для независимых событий, чтобы вычислить вероятность пересечения.
Пример 5. Определение вероятности пересечения независимых событий
В банке с шариками находятся 4 синих, 5 красных, 1 зеленый и 2 черных шарика. Из банки случайным образом выбирается шарик. После его замены выбирается второй шарик. Найдите вероятность того, что первый будет синим, а второй красным.
Ответ
Нам нужно найти вероятность того, что первый шарик синий, а второй красный. Пусть 𝐴 — событие, что первый шарик синий, а 𝐵 — событие, что второй — красный. Используя обозначение вероятности, нам нужно определить 𝑃(𝐴∩𝐵).
Обратите внимание, что первый шарик заменяется перед тем, как будет выбран второй шарик. Это означает, что условие выбора второго шарика идентично условию выбора первого шарика. Исход первого выбора не влияет на вероятность второго выбора, поэтому события 𝐴 и 𝐵 независимы. Нарисуем древовидную диаграмму, описывающую этот пример.
Заметим, что второй набор ветвей имеет те же вероятности, что и соответствующий первый набор ветвей. Это связано с тем, что первый выбранный шарик помещается обратно в пул до того, как будет выбран второй, восстанавливая исходное значение пространства вероятностей.
Напомним, что если 𝐴 и 𝐵 — независимые события, правило умножения утверждает, что 𝑃(𝐴∩𝐵)=𝑃(𝐴)×𝑃(𝐵).
Найдем 𝑃(𝐴) и 𝑃(𝐵) из дерева вероятностей.
Итак, мы получаем 𝑃(𝐴)=412=13 и 𝑃(𝐵)=512. Мы можем применить правило умножения, чтобы получить 𝑃(𝐴∩𝐵)=𝑃(𝐴)×𝑃(𝐵)=13×512=536.
Следовательно, вероятность того, что первый шарик синий, а второй красный, равна 536.
Если 𝐴 и 𝐵 являются зависимыми событиями, то применяется немного другая версия правила умножения. Мы можем получить эту версию, переписав уравнение (1).
Теорема: Общее правило умножения
Если 𝐴 и 𝐵 являются зависимыми событиями, то 𝑃(𝐴∩𝐵)=𝑃(𝐵∣𝐴)×𝑃(𝐴).
В нашем последнем примере мы применим общее правило умножения для вычисления вероятности пересечения.
Пример 6. Определение вероятности пересечения двух зависимых событий
В мешке 18 белых и 9 черных шаров. Какова вероятность того, что второй шар будет черным, а первый белым, если последовательно вынуть 2 шара без замены?
Ответ
Нам нужно найти вероятность того, что первый шар белый, а второй черный. Пусть 𝐴 — событие, что первый шар белый, а 𝐵 — событие, что второй — черный. Используя обозначение вероятности, нам нужно определить 𝑃(𝐴∩𝐵).
Заметим, что второй шар выбран без замены первого шара. В связи с этим условие для
выбор второго мяча отличается от выбора первого. Иными словами, результат
первое событие влияет на распределение вероятностей второго события. Итак, события 𝐴 и
𝐵 зависимы.
Напомним, что если 𝐴 и 𝐵 являются зависимыми событиями, общее правило умножения гласит, что 𝑃(𝐴∩𝐵)=𝑃(𝐵∣𝐴)×𝑃(𝐴).
Найдем 𝑃(𝐴) и 𝑃(𝐵∣𝐴).
В начале в банке 18 белых шаров из 27, поэтому вероятность выбрать первым белый шар равна 𝑃(𝐴)=1827=23.
Далее рассмотрим 𝑃(𝐵∣𝐴). Если мы предположим, что произошло 𝐴, мы предполагаем, что белый шар был взят из мешка до того, как был выбран второй шар. Остается 17 белых шаров и 9черные шары в мешке для второго выбора. Затем, 𝑃(𝐵∣𝐴)=926.
Мы можем нарисовать диаграмму дерева вероятностей с этими двумя значениями.
Применяя общее правило умножения, вероятность пересечения равна 𝑃(𝐴∩𝐵)=𝑃(𝐵∣𝐴)×𝑃(𝐴)=926×23=313.
Заметим, что при использовании древовидных диаграмм вероятность пересечения может быть найдена путем умножения вдоль ветвей соответствующих событий независимо от того, являются ли события независимыми.
Следовательно, вероятность того, что первый шар белый, а второй черный, равна 313.
Подытожим несколько важных моментов из объяснения.
Ключевые точки
- События 𝐴 и 𝐵 являются независимыми, если появление 𝐴 не влияет на вероятность появления 𝐵.
- В обозначении вероятности события 𝐴 и 𝐵 независимы, если 𝑃(𝐵∣𝐴)=𝑃(𝐵).
- События 𝐴 и 𝐵 независимы тогда и только тогда, когда 𝑃(𝐴∩𝐵)=𝑃(𝐴)×𝑃(𝐵).
- Если 𝐴 и 𝐵 зависимые события, то 𝑃(𝐴∩𝐵)=𝑃(𝐵∣𝐴)×𝑃(𝐴).
- Любые два взаимоисключающих события с ненулевыми вероятностями не могут быть независимыми.
НЕЗАВИСИМЫЕ И ЗАВИСИМЫЕ СОБЫТИЯ; УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ Обзор устройства В этом модуле вы определите, являются ли события взаимоисключающими или включающими, а также вычислите вероятности зависимых и независимых событий, а также условные вероятности. Использование сложения с вероятностью Включающие события — это события, которые могут произойти одновременно. Например, человек может состоять более чем в одном клубе одновременно. Взаимоисключающие события — это события, которые не могут произойти одновременно. Например, если вы подбрасываете монету, вы не можете одновременно получить орел и решку.
Дополнение события A состоит из всех исходов в выборочном пространстве, не входящих в A, и обозначается как A c . Таким образом, P(A) + P( A c ) = 1 Для проверки воспользуемся результатами опроса, приведенными в примере 1. Пусть А — событие «благосклонность». Убедитесь, что P(A) + P( A c ) = 1 верно.
Определение вероятности Составные события Вероятность сложных событий Стоп! Перейдите к вопросам № 1–12 по этому разделу, затем вернитесь, чтобы перейти к следующему разделу. Независимые события Два события являются независимыми , если возникновение (или ненаступление) одного события не влияет на вероятность возникновения другого события. Например, бросая кубик и выбирая шарик из мешка. Совместная вероятность: понимание шансов (06:24) Зависимые события Зависимое событие — это вероятность наступления второго события в зависимости от исхода первого события. Давайте воспользуемся формулой условной вероятности, чтобы проверить решения приведенного выше примера. Для следующих задач укажите, являются ли события независимыми или зависимыми. Зависимый, человек не может быть одновременно победителем и призером. «Нажмите здесь», чтобы проверить ответ. Бросьте кубик и закрутите спиннер. Независимый. Два события не влияют друг на друга. «Нажмите здесь», чтобы проверить ответ. Независимый. Подбрасывание монеты не влияет на результаты дополнительных подбрасываний монеты. «Нажмите здесь», чтобы проверить ответ. Возьмите карту из колоды карт, а затем возьмите другую карту. Зависимый. Выбор первой карты влияет на результат выбора второй карты. |