Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ: Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ-ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ β€” ВикипСдия

Π‘ΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Π½ΠΈΠ΅

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ-ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ — это… Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ-ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ?

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ-ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ (ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠ½Ρ†ΠΈΠΏ Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ-ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ) β€” комбинаторная Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°, ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΡŽΡ‰Π°Ρ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΌΠΎΡ‰Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ объСдинСния ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ числа ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½Ρ‹Ρ… мноТСств, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π² ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΌ случаС ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°Ρ‚ΡŒΡΡ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ с Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΌ.

Π‘Π»ΡƒΡ‡Π°ΠΉ Π΄Π²ΡƒΡ… мноТСств

НапримСр, Π² случаС Π΄Π²ΡƒΡ… мноТСств Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ-ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π²ΠΈΠ΄:

Π’ суммС элСмСнты пСрСсСчСния ΡƒΡ‡Ρ‚Π΅Π½Ρ‹ Π΄Π²Π°ΠΆΠ΄Ρ‹, ΠΈ Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ΅Π½ΡΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ это ΠΌΡ‹ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π΅ΠΌ ΠΈΠ· ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΠΉ части Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹. Π‘ΠΏΡ€Π°Π²Π΅Π΄Π»ΠΈΠ²ΠΎΡΡ‚ΡŒ этого рассуТдСния Π²ΠΈΠ΄Π½Π° ΠΈΠ· Π΄ΠΈΠ°Π³Ρ€Π°ΠΌΠΌΡ‹ Π­ΠΉΠ»Π΅Ρ€Π°-Π’Π΅Π½Π½Π° для Π΄Π²ΡƒΡ… мноТСств, ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π½Π° рисункС справа.

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΆΠ΅ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ ΠΈ Π² случаС мноТСств процСсс нахоТдСния количСства элСмСнтов объСдинСния состоит Π²ΠΎ Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ всСго, Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ лишнСго, Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΎΡˆΠΈΠ±ΠΎΡ‡Π½ΠΎ ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈ Ρ‚Π°ΠΊ Π΄Π°Π»Π΅Π΅, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π² ΠΏΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΌ Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΈ ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ. ΠžΡ‚ΡΡŽΠ΄Π° ΠΈ происходит Π½Π°Π·Π²Π°Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹.

Π’ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Π΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ-ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΎΠΏΡƒΠ±Π»ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°Π» ΠΏΠΎΡ€Ρ‚ΡƒΠ³Π°Π»ΡŒΡΠΊΠΈΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊ Π”Π°Π½ΠΈΡΠ»ΡŒ Π΄Π° Бильва (

Π°Π½Π³Π».) Π² 1854 Π³ΠΎΠ΄Ρƒ [1]. Но Π΅Ρ‰Π΅ Π² 1713 Π³ΠΎΠ΄Ρƒ Николай Π‘Π΅Ρ€Π½ΡƒΠ»Π»ΠΈΒ (Π°Π½Π³Π».) использовал этот ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ для Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ ΠœΠΎΠ½ΠΌΠΎΡ€Π°Β (Π°Π½Π³Π».), извСстной ΠΊΠ°ΠΊ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π° ΠΎ встрСчах (Ρ„Ρ€. Β«Le problΓ¨me des rencontresΒ»)[2], частным случаСм ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ являСтся Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π° ΠΎ бСспорядках. Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ-ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ ΡΠ²ΡΠ·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ с ΠΈΠΌΠ΅Π½Π°ΠΌΠΈ французского ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° Абрахама Π΄Π΅ ΠœΡƒΠ°Π²Ρ€Π°[источник нС указан 1272 дня] ΠΈ английского ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° Π”ΠΆΠΎΠ·Π΅Ρ„Π° Π‘ΠΈΠ»ΡŒΠ²Π΅ΡΡ‚Ρ€Π° [3]. Π’ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ вСроятностСй Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ ΠΏΡ€ΠΈΠ½Ρ†ΠΈΠΏΠ° Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ-ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ извСстСн ΠΊΠ°ΠΊ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° ΠŸΡƒΠ°Π½ΠΊΠ°Ρ€Π΅[1].

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΈΡ€ΠΎΠ²ΠΊΠ°

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ-ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΡ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π² Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Ρ… Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ….

Π’ Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Π°Ρ… мноТСств

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ β€” ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½Ρ‹Π΅ мноТСства. Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ-ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π°Π΅Ρ‚:

ΠŸΡ€ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ для Π΄Π²ΡƒΡ… мноТСств, ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΡƒΡŽ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅.

Π’ Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Π°Ρ… свойств

ΠŸΡ€ΠΈΠ½Ρ†ΠΈΠΏ Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ-ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ часто приводят Π² ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ Π°Π»ΡŒΡ‚Π΅Ρ€Π½Π°Ρ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΈΡ€ΠΎΠ²ΠΊΠ΅

[4]. ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ Π΄Π°Π½ΠΎ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠ΅ мноТСство , состоящСС ΠΈΠ· элСмСнтов, ΠΈ ΠΏΡƒΡΡ‚ΡŒ имССтся Π½Π°Π±ΠΎΡ€ свойств . ΠšΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ элСмСнт мноТСства ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΎΠ±Π»Π°Π΄Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π΅ ΠΎΠ±Π»Π°Π΄Π°Ρ‚ΡŒ Π»ΡŽΠ±Ρ‹ΠΌ ΠΈΠ· этих свойств. ΠžΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡ΠΈΠΌ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· количСство элСмСнтов, ΠΎΠ±Π»Π°Π΄Π°ΡŽΡ‰ΠΈΡ… свойствами (ΠΈ, ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ, Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΌΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌΠΈ). Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡ΠΈΠΌ количСство элСмСнтов, Π½Π΅ ΠΎΠ±Π»Π°Π΄Π°ΡŽΡ‰ΠΈΡ… Π½ΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΌ ΠΈΠ· свойств . Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ мСсто Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°:

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΈΡ€ΠΎΠ²ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΈΠ½Ρ†ΠΈΠΏΠ° Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ-ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ Π² Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Π°Ρ… мноТСств эквивалСнтна Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΈΡ€ΠΎΠ²ΠΊΠ΅ Π² Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Π°Ρ… свойств. Π”Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Ссли мноТСства ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ подмноТСствами Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ мноТСства , Ρ‚ΠΎ Π² силу ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ» Π΄Π΅ ΠœΠΎΡ€Π³Π°Π½Π° (Ρ‡Π΅Ρ€Ρ‚Π° Π½Π°Π΄ мноТСством β€” Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² мноТСствС ), ΠΈ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ-ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊ:

Если Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ вмСсто «элСмСнт ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ мноТСству Β» Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΡŒ «элСмСнт ΠΎΠ±Π»Π°Π΄Π°Π΅Ρ‚ свойством Β», Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΈΡ€ΠΎΠ²ΠΊΡƒ ΠΏΡ€ΠΈΠ½Ρ†ΠΈΠΏΠ° Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ-ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ Π² Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Π°Ρ… свойств, ΠΈ Π½Π°ΠΎΠ±ΠΎΡ€ΠΎΡ‚.

ΠžΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡ΠΈΠΌ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· количСство элСмСнтов, ΠΎΠ±Π»Π°Π΄Π°ΡŽΡ‰ΠΈΡ…

Π² точности свойствами ΠΈΠ· Π½Π°Π±ΠΎΡ€Π° .Π’ΠΎΠ³Π΄Π° Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ-ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ Π² ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ Π·Π°ΠΌΠΊΠ½ΡƒΡ‚ΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅Β (Π°Π½Π³Π».)

Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ

БущСствуСт нСсколько Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ-ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ.

По ΠΈΠ½Π΄ΡƒΠΊΡ†ΠΈΠΈ

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ-ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΠΎ ΠΈΠ½Π΄ΡƒΠΊΡ†ΠΈΠΈ [1] [5].

ΠŸΡ€ΠΈ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ-ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ Ρ‚Ρ€ΠΈΠ²ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Π°:

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° Π²Π΅Ρ€Π½Π° для , Π΄ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ Π΅Π΅ для .

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ элСмСнт мноТСства ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΎΠ±Π»Π°Π΄Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π΅ ΠΎΠ±Π»Π°Π΄Π°Ρ‚ΡŒ Π»ΡŽΠ±Ρ‹ΠΌ ΠΈΠ· свойств . ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ-ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ для свойств :

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ для свойств ΠΊ мноТСству ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚ΠΎΠ², для ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΎ свойство :

НаконСц, ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ для ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ свойства ΠΊ совокупности , ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚ΠΎΠ², ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π½Π΅ ΠΎΠ±Π»Π°Π΄Π°ΡŽΡ‚ свойствами :

ΠšΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½ΠΈΡ€ΡƒΡ выписанныС Ρ‚Ρ€ΠΈ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ-ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ для свойств . Π§Ρ‚ΠΎ ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΠΎΠ²Π°Π»ΠΎΡΡŒ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ.

ΠšΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ΅ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ

Рассмотрим ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ элСмСнт ΠΈ подсчитаСм, сколько Ρ€Π°Π· ΠΎΠ½ учитываСтся Π² ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΠΉ части Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ-ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ[4].

Если элСмСнт Π½Π΅ ΠΎΠ±Π»Π°Π΄Π°Π΅Ρ‚ Π½ΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΌ ΠΈΠ· свойств , Ρ‚ΠΎ Π² ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΠΉ части Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΎΠ½ учитываСтся Ρ€ΠΎΠ²Π½ΠΎ 1 Ρ€Π°Π· (Π² Ρ‡Π»Π΅Π½Π΅ ).

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ элСмСнт ΠΎΠ±Π»Π°Π΄Π°Π΅Ρ‚ Π² точности свойствами, скаТСм . Он Π΄Π°Π΅Ρ‚ ΠΏΠΎ 1 Π² Ρ‚Π΅Ρ… слагаСмых суммы , для ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Π΅ΡΡ‚ΡŒ подмноТСство , ΠΈ 0 для ΠΎΡΡ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ…. Число Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… подмноТСств ΠΏΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ Π΅ΡΡ‚ΡŒ число сочСтаний . Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Π²ΠΊΠ»Π°Π΄ элСмСнта Π² ΠΏΡ€Π°Π²ΡƒΡŽ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ Ρ€Π°Π²Π΅Π½

ΠŸΡ€ΠΈ числа сочСтаний Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ Π½ΡƒΠ»ΡŽ. ΠžΡΡ‚Π°Π²ΡˆΠ°ΡΡΡ сумма Π² силу биномиальной Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹ Ρ€Π°Π²Π½Π°

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, правая Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ-ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ элСмСнт, Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‰ΠΈΠΉ ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… свойств Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎ ΠΏΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌΡƒ Ρ€Π°Π·Ρƒ, Π° ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ элСмСнт, ΠΎΠ±Π»Π°Π΄Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠΉ хотя Π±Ρ‹ ΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΌ ΠΈΠ· свойств β€” Π½ΡƒΠ»ΡŒ Ρ€Π°Π·. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΠΎΠ½Π° Ρ€Π°Π²Π½Π° количСству элСмСнтов, Π½Π΅ ΠΎΠ±Π»Π°Π΄Π°ΡŽΡ‰ΠΈΡ… Π½ΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΌ ΠΈΠ· свойств , Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ . Π§Ρ‚ΠΎ ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΠΎΠ²Π°Π»ΠΎΡΡŒ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ.

Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ ΠΈΠ½Π΄ΠΈΠΊΠ°Ρ‚ΠΎΡ€Π½Ρ‹Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ β€” ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅

(Π½Π΅ ΠΎΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½Ρ‹Π΅) мноТСства, ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ΡΡ подмноТСствами Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ мноТСства , ΠΈ ΠΏΡƒΡΡ‚ΡŒ β€” ΠΈΠ½Π΄ΠΈΠΊΠ°Ρ‚ΠΎΡ€Π½Ρ‹Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ (ΠΈΠ»ΠΈ, эквивалСнтно, свойств ).

Π˜Π½Π΄ΠΈΠΊΠ°Ρ‚ΠΎΡ€Π½Ρ‹Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈΡ… Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹

Π° индикаторная функция пСрСсСчСния Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ:

Раскрывая скобки Π² ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΠΉ части ΠΈ Π΅Ρ‰Π΅ Ρ€Π°Π· ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ Ρ‚ΠΎΡ‚ Ρ„Π°ΠΊΡ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ индикаторная функция пСрСсСчСния мноТСств Ρ€Π°Π²Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡŽ ΠΈΡ… ΠΈΠ½Π΄ΠΈΠΊΠ°Ρ‚ΠΎΡ€Π½Ρ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ

Π­Ρ‚ΠΎ ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ β€” ΠΎΠ΄Π½Π° ΠΈΠ· Ρ„ΠΎΡ€ΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠ½Ρ†ΠΈΠΏΠ° Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ-ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ. Оно Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ°Π΅Ρ‚ собой логичСскоС тоТдСство[1] ΠΈ Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎ для ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… мноТСств . Π’ случаС ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½Ρ‹Ρ… мноТСств (ΠΈ, соотвСтствСнно, Π² ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ конСчности мноТСства ), просуммировав это ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎ всСм ΠΈ Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Ρ‚Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ для ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ подмноТСства Π΅Π³ΠΎ ΠΌΠΎΡ‰Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ€Π°Π²Π½Π°

ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΈΡ€ΠΎΠ²ΠΊΡƒ ΠΏΡ€ΠΈΠ½Ρ†ΠΈΠΏΠ° Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ-ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ Π² Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Π°Ρ… мощностСй мноТСств (ΠΈΠ»ΠΈ Π² Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Π°Ρ… свойств).

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° ΠΎ бСспорядках

Основная ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΡ:

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° ΠΎ бСспорядках

ΠšΠ»Π°ΡΡΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ использования Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ-ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ β€” Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π° ΠΎ бСспорядках [4]. ВрСбуСтся Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ число пСрСстановок мноТСства Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… Ρ‡Ρ‚ΠΎ для всСх . Π’Π°ΠΊΠΈΠ΅ пСрСстановки Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ бСспорядками.

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ β€” мноТСство всСх пСрСстановок ΠΈ ΠΏΡƒΡΡ‚ΡŒ свойство пСрСстановки выраТаСтся равСнством . Π’ΠΎΠ³Π΄Π° число бСспорядков Π΅ΡΡ‚ΡŒ . Π›Π΅Π³ΠΊΠΎ Π²ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ β€” число пСрСстановок, ΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΡ… Π½Π° мСстС элСмСнты , ΠΈ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ сумма содСрТит ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹Ρ… слагаСмых. Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ-ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ Π΄Π°Π΅Ρ‚ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ для числа бСспорядков:

Π­Ρ‚ΠΎ ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΊ Π²ΠΈΠ΄Ρƒ

НСтрудно Π²ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π² скобках являСтся частичной суммой ряда . Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, с Ρ…ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠ΅ΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ число бСспорядков составляСт долю ΠΎΡ‚ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π³ΠΎ числа пСрСстановок:

ВычислСниС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π­ΠΉΠ»Π΅Ρ€Π°

Π”Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ примСнСния Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ-ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ β€” Π½Π°Ρ…ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ явного выраТСния для Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π­ΠΉΠ»Π΅Ρ€Π° [6].

Для Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ функция Π­ΠΉΠ»Π΅Ρ€Π° Π΄Π°Π΅Ρ‚ количСство чисСл ряда , Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠ½ΠΎ простых с . НайдСм явноС Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ для Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π­ΠΉΠ»Π΅Ρ€Π°.

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ каноничСскоС Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ числа Π½Π° простыС ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π²ΠΈΠ΄

Число Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠ½ΠΎ просто с Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π°, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π½ΠΈ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈΠ· простых Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ Π½Π΅ Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ . Если Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ свойство ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ , Ρ‚ΠΎ количСство чисСл Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠ½ΠΎ простых с Π΅ΡΡ‚ΡŒ .

ΠšΠΎΠ»ΠΈΡ‡Π΅ΡΡ‚Π²ΠΎ чисСл, ΠΎΠ±Π»Π°Π΄Π°ΡŽΡ‰ΠΈΡ… свойствами Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ , ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ .

По Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅ Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ-ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ

Π­Ρ‚Π° Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° прСобразуСтся ΠΊ Π²ΠΈΠ΄Ρƒ:

Π’Π°Ρ€ΠΈΠ°Ρ†ΠΈΠΈ ΠΈ обобщСния

ΠŸΡ€ΠΈΠ½Ρ†ΠΈΠΏ Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΡ-ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΡ для вСроятностСй

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ β€” вСроятностноС пространство. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° для ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… событий справСдлива Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° [1] [5] [7]

Π­Ρ‚Π° Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ°Π΅Ρ‚ ΠΏΡ€ΠΈΠ½Ρ†ΠΈΠΏ Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ-ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ для вСроятностСй. Π•Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈΠ· ΠΏΡ€ΠΈΠ½Ρ†ΠΈΠΏΠ° Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ-ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ Π² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅ ΠΈΠ½Π΄ΠΈΠΊΠ°Ρ‚ΠΎΡ€Π½Ρ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ:

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ β€” события вСроятностного пространства , Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ . Π’ΠΎΠ·ΡŒΠΌΠ΅ΠΌ матСматичСскоС ΠΎΠΆΠΈΠ΄Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΡ‚ ΠΎΠ±Π΅ΠΈΡ… частСй этого ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ, ΠΈ, Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Π²ΡˆΠΈΡ… Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ матСматичСского оТидания ΠΈ равСнством для ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ события , ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΡ-ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΡ для вСроятностСй.

ΠŸΡ€ΠΈΠ½Ρ†ΠΈΠΏ Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ-ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ Π² пространствах с ΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠΉ

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ β€” пространство с ΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠΉ. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° для ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΡ‹Ρ… мноТСств ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ мСсто Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ-ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ:

ΠžΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, ΠΏΡ€ΠΈΠ½Ρ†ΠΈΠΏ Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ-ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ для вСроятностСй ΠΈ для мощностСй ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½Ρ‹Ρ… мноТСств ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ частными случаями этой Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹. Π’ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΌ случаС ΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠΉ являСтся, СстСствСнно, вСроятностная ΠΌΠ΅Ρ€Π° Π² ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΌ вСроятностном пространствС: . Π’ΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ случаС Π² качСствС ΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ бСрСтся ΠΌΠΎΡ‰Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ мноТСства: .

ВывСсти ΠΏΡ€ΠΈΠ½Ρ†ΠΈΠΏ Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ-ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ для пространств с ΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠΉ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ для ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… частных случаСв, ΠΈΠ· тоТдСства для ΠΈΠ½Π΄ΠΈΠΊΠ°Ρ‚ΠΎΡ€Π½Ρ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ:

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ β€” ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΡ‹Π΅ мноТСства пространства , Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ . ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌ ΠΎΠ±Π΅ части этого равСнства ΠΏΠΎ ΠΌΠ΅Ρ€Π΅ , Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌΡΡ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»Π° ΠΈ ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ , ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ-ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ для ΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹.

ВоТдСство максимумов ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠΎΠ²

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ-ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Ρ€Π°ΡΡΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ частный случай тоТдСства максимумов ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠΎΠ²:

Π­Ρ‚ΠΎ ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ справСдливо для ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл . Π’ частном случаС, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ ΠΎΠ΄Π½Ρƒ ΠΈΠ· Ρ„ΠΎΡ€ΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠ½Ρ†ΠΈΠΏΠ° Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ-ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ. Π’ самом Π΄Π΅Π»Π΅, Ссли ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ , Π³Π΄Π΅ β€” ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ элСмСнт ΠΈΠ· , Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ для ΠΈΠ½Π΄ΠΈΠΊΠ°Ρ‚ΠΎΡ€Π½Ρ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ мноТСств:

ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠœΡ‘Π±ΠΈΡƒΡΠ°

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ β€” ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠ΅ мноТСство, ΠΈ ΠΏΡƒΡΡ‚ΡŒ β€” ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½Π°Ρ функция, опрСдСлСнная Π½Π° совокупности подмноТСств ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°ΡŽΡ‰Π°Ρ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ значСния. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ:

Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ мСсто ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π°Ρ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° обращСния[8] [9]:

Π­Ρ‚ΠΎ ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся частным случаСм ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ обращСния ΠœΡ‘Π±ΠΈΡƒΡΠ° для Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹ инцидСнтности (Π°Π½Π³Π».) совокупности всСх подмноТСств мноТСства , частично упорядочСнных ΠΏΠΎ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡŽ Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΡ .

ПокаТСм, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈΠ· этой Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ слСдуСт ΠΏΡ€ΠΈΠ½Ρ†ΠΈΠΏ Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΡ-ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΡ для ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½Ρ‹Ρ… мноТСств. ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ Π΄Π°Π½ΠΎ сСмСйство подмноТСств ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ мноТСства , ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡ΠΈΠΌ β€” мноТСство индСксов. Для ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ Π½Π°Π±ΠΎΡ€Π° индСксов ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ ΠΊΠ°ΠΊ число элСмСнтов, входящих

Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π² Ρ‚Π΅ мноТСства , для ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… . ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈ это ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊ:

Π’ΠΎΠ³Π΄Π° функция , опрСдСлСнная Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΎΠΉ

Π΄Π°Π΅Ρ‚ количСство элСмСнтов, ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Π²Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ Π²ΠΎ всС мноТСства , , ΠΈ, Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚, Π΅Ρ‰Π΅ Π² Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅. Π’ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ

Π—Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΌ Π΄Π°Π»Π΅Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ β€” количСство элСмСнтов, Π½Π΅ ΠΎΠ±Π»Π°Π΄Π°ΡŽΡ‰ΠΈΡ… Π½ΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΌ ΠΈΠ· свойств:

Π‘ ΡƒΡ‡Π΅Ρ‚ΠΎΠΌ сдСланных Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π½ΠΈΠΉ запишСм Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ обращСния ΠœΡ‘Π±ΠΈΡƒΡΠ°:

Π­Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π² точности Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ-ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ для ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½Ρ‹Ρ… мноТСств, Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π² Π½Π΅ΠΉ Π½Π΅ сгруппированы слагаСмыС, относящиСся ΠΊ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹ΠΌ значСниям .

Π‘ΠΌ. Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π½ΠΈΡ

  1. ↑ 1 2 3 4 5 Π ΠΈΠΎΡ€Π΄Π°Π½ Π”ΠΆ. Π’Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ‚ΠΎΡ€Π½Ρ‹ΠΉ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ· = An Introduction to Combinatorial Analysis.Β β€” М.: Изд-Π²ΠΎ иностранной Π»ΠΈΡ‚Π΅Ρ€Π°Ρ‚ΡƒΡ€Ρ‹, 1963.Β β€” Π‘.Β 63-66.Β β€” 289 с.
  2. ↑ Weisstein, Eric W. DerangementΒ (Π°Π½Π³Π».) Π½Π° сайтС Wolfram MathWorld.
  3. ↑ Π Ρ‹Π±Π½ΠΈΠΊΠΎΠ² К. А. Π’Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ‚ΠΎΡ€Π½Ρ‹ΠΉ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·.Β β€” 2-Π΅ ΠΈΠ·Π΄.Β β€” М.: Изд-Π²ΠΎ ΠœΠ“Π£, 1985.Β β€” Π‘.Β 264.Β β€” 309 с.
  4. ↑ 1 2 3 Π₯ΠΎΠ»Π» М. ΠšΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ‚ΠΎΡ€ΠΈΠΊΠ° = Combinatorial Theory.Β β€” М.: Β«ΠœΠΈΡ€Β», 1970.Β β€” Π‘.Β 18-20.Β β€” 424 с.
  5. ↑ 1 2 Π Ρ‹Π±Π½ΠΈΠΊΠΎΠ² К. А. Π’Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ‚ΠΎΡ€Π½Ρ‹ΠΉ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·.Β β€” 2-Π΅ ΠΈΠ·Π΄.Β β€” М.: Изд-Π²ΠΎ ΠœΠ“Π£, 1985.Β β€” Π‘.Β 69-73.Β β€” 309 с.
  6. ↑ Π Ρ‹Π±Π½ΠΈΠΊΠΎΠ² К. А. Π’Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ‚ΠΎΡ€Π½Ρ‹ΠΉ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·.Β β€” 2-Π΅ ΠΈΠ·Π΄.Β β€” М.: Изд-Π²ΠΎ ΠœΠ“Π£, 1985.Β β€” Π‘.Β 266.Β β€” 309 с.
  7. ↑ Π‘ΠΎΡ€ΠΎΠ²ΠΊΠΎΠ², А. А. ВСория вСроятностСй.Β β€” 2-Π΅ ΠΈΠ·Π΄.Β β€” М.: «Наука», 1986.Β β€” Π‘.Β 24.Β β€” 431 с.
  8. ↑ Π₯ΠΎΠ»Π» М. ΠšΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ‚ΠΎΡ€ΠΈΠΊΠ° = Combinatorial Theory.Β β€” М.: Β«ΠœΠΈΡ€Β», 1970.Β β€” Π‘.Β 30-31.Β β€” 424 с.
  9. ↑ Π‘Ρ‚Π΅Π½Π»ΠΈ Π . ΠŸΠ΅Ρ€Π΅Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ‚ΠΎΡ€ΠΈΠΊΠ° = Enumerative Combinatorics.Β β€” М.: Β«ΠœΠΈΡ€Β», 1990.Β β€” Π‘.Β 103-107.Β β€” 440 с.

Бсылки

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ-ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ ВикипСдия

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ-ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ (ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠ½Ρ†ΠΈΠΏ Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ-ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ) β€” комбинаторная Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°, ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΡŽΡ‰Π°Ρ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΌΠΎΡ‰Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ объСдинСния ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ числа ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½Ρ‹Ρ… мноТСств, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π² ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΌ случаС ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°Ρ‚ΡŒΡΡ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ с Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΌ. Π’ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ вСроятностСй Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ ΠΏΡ€ΠΈΠ½Ρ†ΠΈΠΏΠ° Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ-ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ извСстСн ΠΊΠ°ΠΊ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° ΠŸΡƒΠ°Π½ΠΊΠ°Ρ€Π΅[1].

Π‘Π»ΡƒΡ‡Π°ΠΉ Π΄Π²ΡƒΡ… мноТСств

НапримСр, Π² случаС Π΄Π²ΡƒΡ… мноТСств A , B {\displaystyle A,B} Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ-ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π²ΠΈΠ΄:

| A βˆͺ B | = | A | + | B | βˆ’ | A ∩ B | . {\displaystyle |A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|.}

Π’ суммС | A | + | B | {\displaystyle |A|+|B|} элСмСнты пСрСсСчСния A ∩ B {\displaystyle A\cap B} ΡƒΡ‡Ρ‚Π΅Π½Ρ‹ Π΄Π²Π°ΠΆΠ΄Ρ‹, ΠΈ Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ΅Π½ΡΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ это ΠΌΡ‹ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π΅ΠΌ | A ∩ B | {\displaystyle |A\cap B|} ΠΈΠ· ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΠΉ части Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹. Π‘ΠΏΡ€Π°Π²Π΅Π΄Π»ΠΈΠ²ΠΎΡΡ‚ΡŒ этого рассуТдСния Π²ΠΈΠ΄Π½Π° ΠΈΠ· Π΄ΠΈΠ°Π³Ρ€Π°ΠΌΠΌΡ‹ Π­ΠΉΠ»Π΅Ρ€Π°-Π’Π΅Π½Π½Π° для Π΄Π²ΡƒΡ… мноТСств, ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π½Π° рисункС справа.

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΆΠ΅ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ ΠΈ Π² случаС n > 2 {\displaystyle n>2} мноТСств процСсс нахоТдСния количСства элСмСнтов объСдинСния A 1 βˆͺ A 2 βˆͺ … βˆͺ A n {\displaystyle A_{1}\cup A_{2}\cup \ldots \cup A_{n}} состоит Π²ΠΎ Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ всСго, Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ лишнСго, Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΎΡˆΠΈΠ±ΠΎΡ‡Π½ΠΎ ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈ Ρ‚Π°ΠΊ Π΄Π°Π»Π΅Π΅, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π² ΠΏΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΌ Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΈ ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ. ΠžΡ‚ΡΡŽΠ΄Π° ΠΈ происходит Π½Π°Π·Π²Π°Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹.

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈ ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ — 7 Июля 2016 — ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΎ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠ΅ мноТСство А. Число Π΅Π³ΠΎ элСмСнтов ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡ΠΈΠΌ n(А). НайдСм сколько элСмСнтов содСрТится Π² мноТСствС А βˆͺ Π’. Основная Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° нахоТдСния числа элСмСнтов суммы Π΄Π²ΡƒΡ… мноТСств

n(А βˆͺ Π’) = n(А) + n(Π’) – n(А ∩ Π’)Β Β Β Β Β  Β Β (1)

Π”Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, n(А βˆͺ Π’) β€” это сумма числа элСмСнтов мноТСств А ΠΈ Π’, Π½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ подсчСтС элСмСнты, ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΠΈΠ΅ А ∩ Π’ ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Ρ‹Π²Π°Π»ΠΈΡΡŒ Π΄Π²Π°ΠΆΠ΄Ρ‹. Π‘ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ (1) ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ для опрСдСлСния числа элСмСнтов суммы любого числа мноТСств. НапримСр,

n(А βˆͺ Π’ βˆͺ Π‘) = n(А βˆͺ (Π’ βˆͺ Π‘)) = n(А) + n(Π’ βˆͺ Π‘) – n(А ∩ (Π’ βˆͺ Π‘)) =

= n(А) + n(Π’) + n(Π‘) – n(Π’ ∩ Π‘) – n((А ∩ Π’) βˆͺ (А ∩ Π‘)) =

= n(А) + n(Π’) + n(Π‘) – n(Π’ ∩ Π‘) – (n(А ∩ Π’) + n(А ∩ Π‘) – n((А ∩ Π’) ∩ (А ∩ Π‘))) =

=n(А) + n(Π’) + n(Π‘) – n(Π’ ∩ Π‘) – n(А ∩ Π’) – n(А ∩ C) + n(А ∩ Π’ ∩ Π‘).

n(А βˆͺ Π’ βˆͺ Π‘) = n(А) + n(Π’) + n(Π‘) – n(А ∩ Π’) – n(Π’ ∩ Π‘) – n(А ∩ C) + n(А ∩ Π’ ∩ Π‘) Β Β  (2)

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ (1) ΠΈ (2) Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°ΠΌΠΈ Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈ ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ с ΠΏΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½Ρ‹ΠΌ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ.

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 1. Из 100 школьников английский Π·Π½Π°ΡŽΡ‚ 42, Π½Π΅ΠΌΠ΅Ρ†ΠΊΠΈΠΉ β€” 30, французский β€” 28, английский ΠΈ Π½Π΅ΠΌΠ΅Ρ†ΠΊΠΈΠΉ β€” 5, английский ΠΈ французский β€” 10, Π½Π΅ΠΌΠ΅Ρ†ΠΊΠΈΠΉ ΠΈ французский β€” 8, английский, Π½Π΅ΠΌΠ΅Ρ†ΠΊΠΈΠΉ ΠΈ французский β€” 3 школьника. Бколько школьников Π½Π΅ Π·Π½Π°ΡŽΡ‚ Π½ΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ языка?

РСшСниС. I способ.

ΠžΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡ΠΈΠΌ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· А β€” мноТСство школьников, Π·Π½Π°ΡŽΡ‰ΠΈΡ… английский язык; N β€” мноТСство школьников, Π·Π½Π°ΡŽΡ‰ΠΈΡ… Π½Π΅ΠΌΠ΅Ρ†ΠΊΠΈΠΉ язык; F β€” мноТСство школьников, Π·Π½Π°ΡŽΡ‰ΠΈΡ… французский язык.

Вогда n(A) = 42, n(N) = 30, n(F) = 28, n(A ∩ N) = 5,

n(A ∩ F) = 10, n(N ∩ F) = 8, n(A ∩ N ∩ F) = 3.

НайдСм с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈ ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ количСство школьников, Π·Π½Π°ΡŽΡ‰ΠΈΡ… хотя Π±Ρ‹ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈΠ· пСрСчислСнных иностранных языков.

n(A βˆͺ N βˆͺ F) = n(A) + n(N) + n(F) =

= n(A ∩ N) – n(A ∩ F) – n(N ∩ F) + n(A ∩ N ∩ F) =

= 42 + 30 + 28 – 5 – 10 – 8 + 3 = 80.

Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Π½Π΅ Π·Π½Π°ΡŽΡ‚ Π½ΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ иностранного языка:

100 – 80 = 20 школьников.

II способ.

Π­Ρ‚Ρƒ ΠΆΠ΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Ρƒ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Π΄ΠΈΠ°Π³Ρ€Π°ΠΌΠΌΡ‹ ЭйлСра–ВСнна (рис. 1).

Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ 3 языка Π·Π½Π°ΡŽΡ‚ 3 школьника, Ρ‚ΠΎ английский ΠΈ Π½Π΅ΠΌΠ΅Ρ†ΠΊΠΈΠΉ Π·Π½Π°ΡŽΡ‚ 5 – 3 = 2, английский ΠΈ французский β€” 10 – 3 = 7,

Π½Π΅ΠΌΠ΅Ρ†ΠΊΠΈΠΉ ΠΈ французский β€” 8 – 3 = 5 школьников.

Волько английский Π·Π½Π°ΡŽΡ‚ 42 –(2 + 3 + 7) = 30,

Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π½Π΅ΠΌΠ΅Ρ†ΠΊΠΈΠΉ β€” 30 – (2 + 3 + 5) = 20,

Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ французский β€” 28 – (3 + 5 + 7) = 13 школьников.

Ни ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ языка Π½Π΅ Π·Π½Π°ΡŽΡ‚ 100 – (2 + 3 + 5 + 7 + 13 + 20 + 30) = 20 школьников.

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 2. Бколько Π΄Π²ΡƒΠ·Π½Π°Ρ‡Π½Ρ‹Ρ… чисСл Π½Π΅ дСлятся Π½ΠΈ Π½Π° 2, Π½ΠΈ Π½Π° 3, Π½ΠΈ Π½Π° 5, Π½ΠΈ Π½Π° 11?

РСшСниС. ΠžΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡ΠΈΠΌ: А β€” мноТСство Π΄Π²ΡƒΠ·Π½Π°Ρ‡Π½Ρ‹Ρ… чисСл, дСлящихся Π½Π° 2;

Π’ β€” мноТСство Π΄Π²ΡƒΠ·Π½Π°Ρ‡Π½Ρ‹Ρ… чисСл, дСлящихся Π½Π° 3;

Π‘ β€” мноТСство Π΄Π²ΡƒΠ·Π½Π°Ρ‡Π½Ρ‹Ρ… чисСл, дСлящихся Π½Π° 5;

D β€” мноТСство Π΄Π²ΡƒΠ·Π½Π°Ρ‡Π½Ρ‹Ρ… чисСл, дСлящихся Π½Π° 11.

n(A βˆͺ B βˆͺ C βˆͺ D) β€” количСство Π΄Π²ΡƒΠ·Π½Π°Ρ‡Π½Ρ‹Ρ… чисСл, дСлящихся хотя Π±Ρ‹ Π½Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΈΠ· чисСл 2; 3; 5; 11.

n(A βˆͺ B βˆͺ C βˆͺ D) = n(A) + n(B) + n(C) + n(D) –

– n(A ∩ B) – n(A ∩ C) – n(A ∩ D) – n(B ∩ C) –

– n(B ∩ D) – n(C ∩ D) + n(A ∩ B ∩ C) + n(A ∩ B ∩ D) +

+ n(A ∩ C ∩ D) + n(B ∩ C ∩ D) – n(A ∩ B ∩ C ∩ D).

n(A) = 45, n(B) = 30, n(C) = 18, n(D) = 9,

n(A ∩ B) = 15, n(A ∩ C) = 9, n(A ∩ D) = 4, n(B ∩ C) = 6,

n(B ∩ D) = 3, n(C ∩ D) = 1, n(A ∩ B ∩ C) = 3,

n(A ∩ B ∩ D) = 1, n(A ∩ C ∩ D) = n(B ∩ C ∩ D) = n(A ∩ B ∩ C ∩ D) = 0.

Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, n(A βˆͺ B βˆͺ C βˆͺ D) = 45 + 30 +18 + 9 – 15 – 9 – 4 – 6 – 3 – 1 + 3 + 1Β  = 68.

Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ всСго 90 Π΄Π²ΡƒΠ·Π½Π°Ρ‡Π½Ρ‹Ρ… чисСл, Ρ‚ΠΎ чисСл, Π½Π΅ дСлящихся Π½ΠΈ Π½Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΈΠ· Π·Π°Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… чисСл:

90 – 68 = 22.

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 3. Π˜Π·Π²Π΅ΡΡ‚Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈΠ· n ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΊΠΎΠ² спортом ΡƒΠ²Π»Π΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ a ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΊΠΎΠ², ΠΏΡ€ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ b, ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΎΠΉ c, спортом ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ d, спортом ΠΈ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΎΠΉ e, ΠΏΡ€ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΈ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΎΠΉ f , спортом, ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΎΠΉ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ g ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΊΠΎΠ². Бколько ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΊΠΎΠ² увлСкаСтся Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ? Бколько ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΊΠΎΠ² увлСкаСтся Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΎΠΉ? Бколько ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΊΠΎΠ² Π½ΠΈΡ‡Π΅ΠΌ Π½Π΅ увлСкаСтся?

Π’Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚

n

a

b

c

d

e

f

g

14

70

32

21

23

8

12

4

3

Β 

РСшСниС. ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ A —мноТСство ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΊΠΎΠ², ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΡƒΠ²Π»Π΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ спортом,

B β€” ΠΏΡ€ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ, Π‘ — ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΎΠΉ.

Вогда |A| = 32, |B| = 21, |C| = 23, |A ∩ B| = 8, |A ∩ C| = 12, |B ∩ C| =4 |A ∩ B ∩ C| = 3

|(A ∩ B) βˆͺ ( B ∩ C) | = |A ∩ B| + |B ∩ C| βˆ’ |A ∩ B ∩ C| = 8 + 4 – 3 = 9

Π’ΠΎΠ³Π΄Π°, Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ занимаСтся 21 – 9 = 12 ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΊΠΎΠ².

|(A ∩ C) βˆͺ ( B ∩ C) | = |A ∩ C| + |B ∩ C| βˆ’ |A ∩ B ∩ C| = 12 + 4 – 3 = 13

Π’ΠΎΠ³Π΄Π°, Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΎΠΉ занимаСтся 23 – 13 = 10 ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΊΠΎΠ².

По Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅ Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈ ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ для Ρ‚Ρ€Ρ‘Ρ… мноТСств Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ число ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΊΠΎΠ² ΡƒΠ²Π»Π΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‰ΠΈΡ…ΡΡ спортом, ΠΏΡ€ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΎΠΉ:

|A βˆͺ B βˆͺ C| = |A| + |B| + |C| βˆ’ |A ∩ B| βˆ’ |A ∩ C| βˆ’ |B ∩ C| + |A ∩ B∩ C| = =32+21+23-8-12-4+3 = 55

Π—Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, Π½ΠΈΡ‡Π΅ΠΌ Π½Π΅ увлСкаСтся 70 βˆ’ 55 = 15 Ρ‡Π΅Π»ΠΎΠ²Π΅ΠΊ. ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: 15.

Β 

УпраТнСния

1. Π’ спортивном классС ΠΎΠ±ΡƒΡ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ 24 Ρ‡Π΅Π»ΠΎΠ²Π΅ΠΊΠ°. ΠšΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ учащийся занимаСтся хотя Π±Ρ‹ ΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΌ Π²ΠΈΠ΄ΠΎΠΌ спорта (баскСтболом ΠΈΠ»ΠΈ Π²ΠΎΠ»Π΅ΠΉΠ±ΠΎΠ»ΠΎΠΌ), ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ… баскСтболом ΠΈ Π²ΠΎΠ»Π΅ΠΉΠ±ΠΎΠ»ΠΎΠΌ Π·Π°Π½ΠΈΠΌΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ 12 Ρ‡Π΅Π»ΠΎΠ²Π΅ΠΊ. Бколько Ρ‡Π΅Π»ΠΎΠ²Π΅ΠΊ занимаСтся Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π²ΠΎΠ»Π΅ΠΉΠ±ΠΎΠ»ΠΎΠΌ, Ссли ΠΈΡ… Π² 3 Ρ€Π°Π·Π° большС, Ρ‡Π΅ΠΌ Ρ‚Π΅Ρ…, ΠΊΡ‚ΠΎ занимаСтся Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ баскСтболом?

2. Π’ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌ украинском Π³ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π΅ всС ΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ говорят Π½Π° русском ΠΈΠ»ΠΈ украинском языкС. По-украински говорят 80 % всСх ΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ, Π° ΠΏΠΎ-русски β€” 75 %. Бколько ΠΏΡ€ΠΎΡ†Π΅Π½Ρ‚ΠΎΠ² всСх ΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ говорят Π½Π° ΠΎΠ±ΠΎΠΈΡ… языках?

3. Π“Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠ° рСбят ΠΎΡ‚ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π°ΡΡŒ Π² ΠΏΠΎΡ…ΠΎΠ΄. Π‘Π΅ΠΌΠ΅Ρ€ΠΎ ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ… взяли с собой Π±ΡƒΡ‚Π΅Ρ€Π±Ρ€ΠΎΠ΄Ρ‹, ΡˆΠ΅ΡΡ‚Π΅Ρ€ΠΎ β€” Ρ„Ρ€ΡƒΠΊΡ‚Ρ‹, пятСро β€” ΠΏΠ΅Ρ‡Π΅Π½ΡŒΠ΅. Π§Π΅Ρ‚Π²Π΅- Ρ€ΠΎ рСбят взяли с собой Π±ΡƒΡ‚Π΅Ρ€Π±Ρ€ΠΎΠ΄Ρ‹ ΠΈ Ρ„Ρ€ΡƒΠΊΡ‚Ρ‹, Ρ‚Ρ€ΠΎΠ΅ β€” Π±ΡƒΡ‚Π΅Ρ€Π±Ρ€ΠΎΠ΄Ρ‹Β  ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ‡Π΅Π½ΡŒΠ΅, Π΄Π²ΠΎΠ΅ β€” Ρ„Ρ€ΡƒΠΊΡ‚Ρ‹ ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ‡Π΅Π½ΡŒΠ΅, Π° ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ β€” ΠΈ Π±ΡƒΡ‚Π΅Ρ€Π±Ρ€ΠΎΠ΄Ρ‹, ΠΈ Ρ„Ρ€ΡƒΠΊΡ‚Ρ‹, ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ‡Π΅Π½ΡŒΠ΅. Бколько рСбят пошли Π² ΠΏΠΎΡ…ΠΎΠ΄?

4. Бтароста класса, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ 40 Ρ‡Π΅Π»ΠΎΠ²Π΅ΠΊ, ΠΏΠΎΠ΄Π²ΠΎΠ΄ΠΈΠ» ΠΈΡ‚ΠΎΠ³ΠΈ ΠΏΠΎ успСваСмости Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΡ‹ Π·Π° I ΠΏΠΎΠ»ΡƒΠ³ΠΎΠ΄ΠΈΠ΅. ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ»Π°ΡΡŒ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π°Ρ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½Π°: ΠΈΠ· 40 учащихся Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ Ρ‚Ρ€ΠΎΠ΅ΠΊ ΠΏΠΎ русскому языку 25 Ρ‡Π΅Π»ΠΎΠ²Π΅ΠΊ, ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ β€” 28 Ρ‡Π΅Π»ΠΎΠ²Π΅ΠΊ, ΠΏΠΎ русскому языку ΠΈ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅- ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ β€” 16 Ρ‡Π΅Π»ΠΎΠ²Π΅ΠΊ, ΠΏΠΎ Ρ„ΠΈΠ·ΠΈΠΊΠ΅ β€” 31 Ρ‡Π΅Π»ΠΎΠ²Π΅ΠΊ, ΠΏΠΎ Ρ„ΠΈΠ·ΠΈΠΊΠ΅ ΠΈ ΠΌΠ°- Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ β€” 22 Ρ‡Π΅Π»ΠΎΠ²Π΅ΠΊΠ°, ΠΏΠΎ Ρ„ΠΈΠ·ΠΈΠΊΠ΅ ΠΈ русскому языку 16 Ρ‡Π΅Π»ΠΎΠ²Π΅ΠΊ. ΠšΡ€ΠΎΠΌΠ΅ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, 12 Ρ‡Π΅Π»ΠΎΠ²Π΅ΠΊ учатся Π±Π΅Π· Ρ‚Ρ€ΠΎΠ΅ΠΊ ΠΏΠΎ всСм Ρ‚Ρ€Π΅ΠΌ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΌΠ΅Ρ‚Π°ΠΌ. ΠšΠ»Π°ΡΡΠ½Ρ‹ΠΉ Ρ€ΡƒΠΊΠΎΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ, просмотрСв Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Ρ‹, сказал: Β«Π’ Ρ‚Π²ΠΎ- ΠΈΡ… расчСтах Π΅ΡΡ‚ΡŒ ошибка». Π‘ΠΎΡΡ‚Π°Π²ΡŒΡ‚Π΅ Π΄ΠΈΠ°Π³Ρ€Π°ΠΌΠΌΡƒ ЭйлСра–ВСнна ΠΈ ΠΎΠ±ΡŠΡΡΠ½ΠΈΡ‚Π΅, ΠΏΠΎΡ‡Π΅ΠΌΡƒ это Ρ‚Π°ΠΊ.

5. Π’ Π»Π°Π±ΠΎΡ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€ΠΈΠΈ института Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°ΡŽΡ‚ нСсколько Ρ‡Π΅Π»ΠΎΠ²Π΅ΠΊ. ΠšΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ… Π·Π½Π°Π΅Ρ‚ хотя Π±Ρ‹ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ иностранный язык. 7 Ρ‡Π΅Π»ΠΎΠ²Π΅ΠΊ Π·Π½Π°ΡŽΡ‚ английский, 7 β€” Π½Π΅ΠΌΠ΅Ρ†ΠΊΠΈΠΉ, 8 β€” французский, 5 Π·Π½Π°ΡŽΡ‚ английский ΠΈ Π½Π΅ΠΌΠ΅Ρ†ΠΊΠΈΠΉ, 4 β€” Π½Π΅ΠΌΠ΅Ρ†ΠΊΠΈΠΉ ΠΈ французский, 3 β€” французский ΠΈ английский, 2 Ρ‡Π΅Π»ΠΎΠ²Π΅ΠΊΠ° Π·Π½Π°ΡŽΡ‚ всС Ρ‚Ρ€ΠΈ языка. Бколько Ρ‡Π΅Π»ΠΎΠ²Π΅ΠΊ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π΅Ρ‚ Π² Π»Π°Π±ΠΎΡ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€ΠΈΠΈ? Бколько ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ… Π·Π½Π°Π΅Ρ‚ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ французский язык? Бколько Ρ‡Π΅Π»ΠΎΠ²Π΅ΠΊ Π·Π½Π°Π΅Ρ‚ Ρ€ΠΎΠ²Π½ΠΎ 1 язык?

6. Бколько Ρ†Π΅Π»Ρ‹Ρ… чисСл ΠΎΡ‚ 0 Π΄ΠΎ 999 Π½Π΅ дСлятся Π½ΠΈ Π½Π° 5, Π½ΠΈ Π½Π° 7, Π½ΠΈ Π½Π° 11?

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚Ρ‹: 1. 9. 2. 55 %. 3. 10. 4. Если Π½Π° Π΄ΠΈΠ°Π³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ΅ ЭйлСра– Π’Π΅Π½Π½Π° ΠΎΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ Π² Π½Π΅ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‰ΠΈΡ…ΡΡ мноТСствах класса, Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π΅ число учащихся класса получится Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΌ 42, Π° Π½Π΅ 40, ΠΊΠ°ΠΊ сказано Π² условии. 5. 12; 3; 4. 6. 376.

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΡ-ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΡ ВикипСдия

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ-ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ (ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠ½Ρ†ΠΈΠΏ Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ-ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ) β€” комбинаторная Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°, ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΡŽΡ‰Π°Ρ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΌΠΎΡ‰Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ объСдинСния ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ числа ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½Ρ‹Ρ… мноТСств, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π² ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΌ случаС ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°Ρ‚ΡŒΡΡ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ с Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΌ. Π’ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ вСроятностСй Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ ΠΏΡ€ΠΈΠ½Ρ†ΠΈΠΏΠ° Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ-ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ извСстСн ΠΊΠ°ΠΊ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° ΠŸΡƒΠ°Π½ΠΊΠ°Ρ€Π΅[1].

Π‘Π»ΡƒΡ‡Π°ΠΉ Π΄Π²ΡƒΡ… мноТСств

НапримСр, Π² случаС Π΄Π²ΡƒΡ… мноТСств A , B {\displaystyle A,B} Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ-ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π²ΠΈΠ΄:

| A βˆͺ B | = | A | + | B | βˆ’ | A ∩ B | . {\displaystyle |A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|.}

Π’ суммС | A | + | B | {\displaystyle |A|+|B|} элСмСнты пСрСсСчСния A ∩ B {\displaystyle A\cap B} ΡƒΡ‡Ρ‚Π΅Π½Ρ‹ Π΄Π²Π°ΠΆΠ΄Ρ‹, ΠΈ Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ΅Π½ΡΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ это ΠΌΡ‹ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π΅ΠΌ | A ∩ B | {\displaystyle |A\cap B|} ΠΈΠ· ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΠΉ части Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹. Π‘ΠΏΡ€Π°Π²Π΅Π΄Π»ΠΈΠ²ΠΎΡΡ‚ΡŒ этого рассуТдСния Π²ΠΈΠ΄Π½Π° ΠΈΠ· Π΄ΠΈΠ°Π³Ρ€Π°ΠΌΠΌΡ‹ Π­ΠΉΠ»Π΅Ρ€Π°-Π’Π΅Π½Π½Π° для Π΄Π²ΡƒΡ… мноТСств, ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π½Π° рисункС справа.

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΆΠ΅ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ ΠΈ Π² случаС n > 2 {\displaystyle n>2} мноТСств процСсс нахоТдСния количСства элСмСнтов объСдинСния A 1 βˆͺ A 2 βˆͺ … βˆͺ A n {\displaystyle A_{1}\cup A_{2}\cup \ldots \cup A_{n}} состоит Π²ΠΎ Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ всСго, Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ лишнСго, Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΎΡˆΠΈΠ±ΠΎΡ‡Π½ΠΎ ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈ Ρ‚Π°ΠΊ Π΄Π°Π»Π΅Π΅, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π² ΠΏΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΌ Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΈ ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ. ΠžΡ‚ΡΡŽΠ΄Π° ΠΈ происходит Π½Π°Π·Π²Π°Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹.

ΠŸΡ€ΠΈΠ½Ρ†ΠΈΠΏ Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΡ-ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΡ ВикипСдия

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ-ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ (ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠ½Ρ†ΠΈΠΏ Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ-ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ) β€” комбинаторная Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°, ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΡŽΡ‰Π°Ρ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΌΠΎΡ‰Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ объСдинСния ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ числа ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½Ρ‹Ρ… мноТСств, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π² ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΌ случаС ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°Ρ‚ΡŒΡΡ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ с Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΌ. Π’ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ вСроятностСй Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ ΠΏΡ€ΠΈΠ½Ρ†ΠΈΠΏΠ° Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ-ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ извСстСн ΠΊΠ°ΠΊ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° ΠŸΡƒΠ°Π½ΠΊΠ°Ρ€Π΅[1].

Π‘Π»ΡƒΡ‡Π°ΠΉ Π΄Π²ΡƒΡ… мноТСств

НапримСр, Π² случаС Π΄Π²ΡƒΡ… мноТСств A , B {\displaystyle A,B} Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ-ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π²ΠΈΠ΄:

| A βˆͺ B | = | A | + | B | βˆ’ | A ∩ B | . {\displaystyle |A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|.}

Π’ суммС | A | + | B | {\displaystyle |A|+|B|} элСмСнты пСрСсСчСния A ∩ B {\displaystyle A\cap B} ΡƒΡ‡Ρ‚Π΅Π½Ρ‹ Π΄Π²Π°ΠΆΠ΄Ρ‹, ΠΈ Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ΅Π½ΡΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ это ΠΌΡ‹ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π΅ΠΌ | A ∩ B | {\displaystyle |A\cap B|} ΠΈΠ· ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΠΉ части Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹. Π‘ΠΏΡ€Π°Π²Π΅Π΄Π»ΠΈΠ²ΠΎΡΡ‚ΡŒ этого рассуТдСния Π²ΠΈΠ΄Π½Π° ΠΈΠ· Π΄ΠΈΠ°Π³Ρ€Π°ΠΌΠΌΡ‹ Π­ΠΉΠ»Π΅Ρ€Π°-Π’Π΅Π½Π½Π° для Π΄Π²ΡƒΡ… мноТСств, ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π½Π° рисункС справа.

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΆΠ΅ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ ΠΈ Π² случаС n > 2 {\displaystyle n>2} мноТСств процСсс нахоТдСния количСства элСмСнтов объСдинСния A 1 βˆͺ A 2 βˆͺ … βˆͺ A n {\displaystyle A_{1}\cup A_{2}\cup \ldots \cup A_{n}} состоит Π²ΠΎ Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ всСго, Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ лишнСго, Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΎΡˆΠΈΠ±ΠΎΡ‡Π½ΠΎ ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈ Ρ‚Π°ΠΊ Π΄Π°Π»Π΅Π΅, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π² ΠΏΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΌ Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΈ ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ. ΠžΡ‚ΡΡŽΠ΄Π° ΠΈ происходит Π½Π°Π·Π²Π°Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹.

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ-ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ — Π’ΠΈΠΊΠΈ

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ-ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ (ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠ½Ρ†ΠΈΠΏ Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ-ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ) β€” комбинаторная Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°, ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΡŽΡ‰Π°Ρ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΌΠΎΡ‰Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ объСдинСния ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ числа ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½Ρ‹Ρ… мноТСств, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π² ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΌ случаС ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°Ρ‚ΡŒΡΡ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ с Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΌ. Π’ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ вСроятностСй Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ ΠΏΡ€ΠΈΠ½Ρ†ΠΈΠΏΠ° Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ-ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ извСстСн ΠΊΠ°ΠΊ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° ΠŸΡƒΠ°Π½ΠΊΠ°Ρ€Π΅[1].

Π‘Π»ΡƒΡ‡Π°ΠΉ Π΄Π²ΡƒΡ… мноТСств

НапримСр, Π² случаС Π΄Π²ΡƒΡ… мноТСств A , B {\displaystyle A,B} Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ-ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π²ΠΈΠ΄:

| A βˆͺ B | = | A | + | B | βˆ’ | A ∩ B | . {\displaystyle |A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|.}

Π’ суммС | A | + | B | {\displaystyle |A|+|B|} элСмСнты пСрСсСчСния A ∩ B {\displaystyle A\cap B} ΡƒΡ‡Ρ‚Π΅Π½Ρ‹ Π΄Π²Π°ΠΆΠ΄Ρ‹, ΠΈ Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ΅Π½ΡΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ это ΠΌΡ‹ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π΅ΠΌ | A ∩ B | {\displaystyle |A\cap B|} ΠΈΠ· ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΠΉ части Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹. Π‘ΠΏΡ€Π°Π²Π΅Π΄Π»ΠΈΠ²ΠΎΡΡ‚ΡŒ этого рассуТдСния Π²ΠΈΠ΄Π½Π° ΠΈΠ· Π΄ΠΈΠ°Π³Ρ€Π°ΠΌΠΌΡ‹ Π­ΠΉΠ»Π΅Ρ€Π°-Π’Π΅Π½Π½Π° для Π΄Π²ΡƒΡ… мноТСств, ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π½Π° рисункС справа.

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΆΠ΅ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ ΠΈ Π² случаС n > 2 {\displaystyle n>2} мноТСств процСсс нахоТдСния количСства элСмСнтов объСдинСния A 1 βˆͺ A 2 βˆͺ … βˆͺ A n {\displaystyle A_{1}\cup A_{2}\cup \ldots \cup A_{n}} состоит Π²ΠΎ Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ всСго, Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ лишнСго, Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΎΡˆΠΈΠ±ΠΎΡ‡Π½ΠΎ ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈ Ρ‚Π°ΠΊ Π΄Π°Π»Π΅Π΅, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π² ΠΏΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΌ Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΈ ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ. ΠžΡ‚ΡΡŽΠ΄Π° ΠΈ происходит Π½Π°Π·Π²Π°Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹.

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ-ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΡ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π² Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Ρ… Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ….

Π’ Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Π°Ρ… мноТСств

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ A 1 , A 2 , … , A n {\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots ,A_{n}} β€” ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½Ρ‹Π΅ мноТСства. Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ-ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π°Π΅Ρ‚:

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈ ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ β€” БтудопСдия

Часто комбинаторная конфигурация являСтся объСдинСниСм Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ…, число ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ†ΠΈΠΉ Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅. Π’ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΌ случаС трСбуСтся ΡƒΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΡΡ‚ΡŒ число ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ†ΠΈΠΉ Π² объСдинСнии.

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ А1 ΠΈ А2 – 2 ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½Ρ‹Ρ… мноТСства. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° Ссли А1ÇА2=Γ†, Ρ‚ΠΎ . ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ А1ÇА2ΒΉΓ†, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° Π² ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ элСмСнт ΠΈΠ· А1ÇА2 Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΡƒΡ‡Ρ‚Π΅Π½ Π΄Π²Π°ΠΆΠ΄Ρ‹. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ . ПослСднюю Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠ±ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° случай ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа мноТСств:

. (2)

РавСнство (2) называСтся Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΎΠΉ Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈ ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ. Π’ частности, для Ρ‚Ρ€Π΅Ρ… мноТСств эта Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π²ΠΈΠ΄:

.

ДоказываСтся Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° (1) ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ матСматичСской ΠΈΠ½Π΄ΡƒΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 6.

Бколько сущСствуСт Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл, ΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠΈΡ… 1000, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π½Π΅ дСлятся Π½ΠΈ Π½Π° 3, Π½ΠΈ Π½Π° 5, Π½ΠΈ Π½Π° 7?

ВсСго чисСл, ΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠΈΡ… тысячи, 999. Из Π½ΠΈΡ… 999:3=333 дСлятся Π½Π° 3,

999:5=199 (ост. 4) дСлятся Π½Π° 5,

999:7=142 (ост. 5) дСлятся Π½Π° 7,

999:(3Ρ…5)=66 (ост. 9) дСлятся Π½Π° 3 ΠΈ Π½Π° 5,

999:(3Ρ…7)=47 (ост. 12) дСлятся Π½Π° 3 ΠΈ Π½Π° 7,

999:(5Ρ…7)=28 (ост. 10) дСлятся Π½Π° 5 ΠΈ Π½Π° 7,

999:(3Ρ…5Ρ…7)=9 (ост. 45) дСлятся Π½Π° 3, Π½Π° 5 ΠΈ Π½Π° 7.

Π’ ΠΈΡ‚ΠΎΠ³Π΅ искомых чисСл 999-(333+199+142-66-47-28+9)=457.

БлСдствиС.ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ А – ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠ΅ мноТСство, А1, …, Аn – Π΅Π³ΠΎ подмноТСства. Π’ΠΎΠ³Π΄Π°

. (3)

Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ. ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ , Π° Γ†, Ρ‚ΠΎ . Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, . ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠ² для ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΠΉ части послСднСго равСнства Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈ ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ искомый Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 7.

Π”Π°Π½ΠΎ мноТСство А={0, 1, …, 10} ΠΈ 3 Π΅Π³ΠΎ подмноТСства:
А1={a | a – Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠ΅}, А2={a | a>6}, А3={a | 2<a<8}. Бколько элСмСнтов мноТСства А Π½Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ Π½ΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌΡƒ ΠΈΠ· этих подмноТСств?

Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅ (3) . ΠžΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ элСмСнтом являСтся 1.


Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΡ-ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΡ — ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠ°Ρ энциклопСдия

ΠŸΡ€ΠΈΠ½Ρ†ΠΈΠΏ Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΡ-ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΡ, ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΡ-ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΡ

ΠŸΡ€ΠΈΠ½Ρ†ΠΈΠΏ Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΡ-ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΡ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ Π²ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΡ… Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π°Ρ… чистой ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠΊΠ»Π°Π΄Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ. Π’ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ вСроятностСй это ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΡƒΡŽ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡƒ: ΠΏΡƒΡΡ‚ΡŒ $ A _ {1}, \ ldots, A _ {n} $ — события Π² вСроятностном пространствС ΠΈ

(a1)

\ begin {ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ *} k = 1, \ dots, n.{n — 1} S _ {n}. \ ΠšΠΎΠ½Π΅Ρ† {} ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅

Π­Ρ‚Ρƒ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡƒ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΠ½Π΄ΡƒΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ ΠΏΠΎ $ n $. Π•Ρ‰Π΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π΄Π°Π½ΠΎ с использованиСм ΠΈΠ½Π΄ΠΈΠΊΠ°Ρ‚ΠΎΡ€Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ… ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ. Π’ связи с событиСм $ A $ опрСдСляСтся $ I _ {A} = 1 $, Ссли происходит $ A $, ΠΈ $ I _ {A} = 0 $ Π² ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΠΌ случаС. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅

(a3) ​​

Ρ‚Ρ€ΡŽΠΌΠΎΠ². ΠŸΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Ρ оТидания с ΠΎΠ±Π΅ΠΈΡ… сторон, ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π°Ρ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ°.

Если ΠΊΡ‚ΠΎ-Ρ‚ΠΎ Ρ…ΠΎΡ‡Π΅Ρ‚ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π²Π΅Ρ€ΠΎΡΡ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ $ A _ {1} \ cap \ ldots \ cap A _ {n} $, Ρ‚ΠΎ сначала Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ $ \ mathsf {P} (A _ {1} \ cap \ ldots \ cap A _ {n}) = 1 — \ mathsf {P} (\ overline {A} _ {1} \ cup \ ldots \ cup \ overline {A} _ {n}) $, Π° Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ (a2) для события $ \ overline {A} _ {1}, \ dots, \ overline {A} _ {n} $.

Π­Ρ‚Ρƒ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡƒ часто ΠΏΡ€ΠΈΠΏΠΈΡΡ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ А. ΠŸΡƒΠ°Π½ΠΊΠ°Ρ€Π΅ [a8]. Однако ΠΎΠ½Π° ΡƒΠΆΠ΅ Π±Ρ‹Π»Π° извСстна А. Π”Π΅ ΠœΡƒΠ°Π²Ρ€Ρƒ [a2], ΠΈ Π΄Π°ΠΆΠ΅ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ общая Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° для вСроятности Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·ΠΎΠΉΠ΄Π΅Ρ‚ Π½Π΅ ΠΌΠ΅Π½Π΅Π΅ $ r $ событий, Π±Ρ‹Π»Π° Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½Π° с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ уравнСния r ‘,’ .. / p / p072950.htm ‘, ‘ΠŸΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ’, ‘.. / p / p073970.htm’, ‘БпрямляСмая кривая’, ‘.. / r / r080130.htm’, ‘ИзмСнСниС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ’, ‘.. / v / v096110. htm ‘) «> C. Jordan [a4]. Π‘ΠΌ. Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ [a5] для Π΄Π°Π»ΡŒΠ½Π΅ΠΉΡˆΠΈΡ… ссылок. ВсС эти Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ относятся ΠΊ Π±ΡƒΠ»Π΅Π²Ρ‹ΠΌ функциям случайных событий.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠΌ примСнСния Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ (a2) являСтся Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ классичСской ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΡ‹ совпадСний, ΠΏΡ€Π΅Π΄Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠ΅ П. Π . ΠœΠΎΠ½ΠΌΠΎΡ€Ρ‚ΠΎΠΌ [a7]: Π² ΠΊΠΎΡ€ΠΎΠ±ΠΊΠ΅ находится $ n $ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ с ΠΏΠΎΠΌΠ΅Ρ‚ΠΊΠΎΠΉ $ 1, \ dots, n $, ΠΈ всС ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ вытянуты, ΠΎΠ΄Π½Ρƒ Π·Π° Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ, Π±Π΅Π· Π·Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ‹, Π³Π΄Π΅ каТдая ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²ΡƒΡŽ Π²Π΅Ρ€ΠΎΡΡ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ; говорят, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π° Ρ€ΠΎΠ·Ρ‹Π³Ρ€Ρ‹ΡˆΠ΅ $ i $ происходит совпадСниС ΠΈΠ»ΠΈ событиС $ A_i $, Ссли вытянутая ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚Π° ΠΏΠΎΠΌΠ΅Ρ‡Π΅Π½Π° ΠΊΠ°ΠΊ $ i $; ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΠ° состоит Π² Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π²Π΅Ρ€ΠΎΡΡ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·ΠΎΠΉΠ΄Π΅Ρ‚ хотя Π±Ρ‹ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ совпадСниС (см. Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Ρƒ сопоставлСния ΠœΠΎΠ½ΠΌΠΎΡ€Ρ‚Π°).Π›Π΅Π³ΠΊΠΎ Π²ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ для любого $ 1 \ leq i _ {1} <\ ldots

\ begin {ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ *} \ mathsf {P} (A _ {i_ {1}} \ bigcap \ ldots \ bigcap A _ {i_ {k}}) = \ frac {(n — k)! } {ΠΏ! }, \ end {ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ *}

ΠΎΡ‚ΡΡŽΠ΄Π°

\ begin {ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ *} S _ {k} = \ left (\ begin {array} {c} {n} \\ {k} \ end {array} \ right) \ frac {(n — k)! } {ΠΏ! } \ end {ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ *}

ΠΈ

\ begin {ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ *} \ mathsf {P} (A _ {1} \ bigcap \ ldots \ bigcap A _ {n}) = \ sum _ {k = 1} ^ {n} (- 1) ^ { ΠΊ — 1} \ frac {1} {ΠΊ! }.\ ΠšΠΎΠ½Π΅Ρ† {ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ *}

Числа $ S _ {k} $ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΡƒΡŽ Π²Π΅Ρ€ΠΎΡΡ‚Π½ΠΎΡΡ‚Π½ΡƒΡŽ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€ΠΏΡ€Π΅Ρ‚Π°Ρ†ΠΈΡŽ: $ S _ {k} = \ mathsf {E} \ left [\ left (\ begin {array} {l} {X} \\ {k} \ end {array} \ right) \ right] $, Π³Π΄Π΅ $ X = I _ {A _ {1}} + \ ldots + I _ {A _ {n}} $, Ρ‚.Π΅. $ X $ — количСство происходящиС события. Говорят, Ρ‡Ρ‚ΠΎ $ S _ {k} $ — это $ k $ -ΠΉ Π±ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ $ X $. Для Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²Π° ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ уравнСния см., НапримСр, [a11].

БущСствуСт мноТСство практичСских ΠΏΡ€ΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ Π²Π΅Ρ€ΠΎΡΡ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ объСдинСния ΠΈΠ»ΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ Π±ΡƒΠ»Π΅Π²ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ событий.Π˜Π·Π²Π΅ΡΡ‚Π½Ρ‹ Ρ‚Π΅, ΠΊΡ‚ΠΎ занимаСтся Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠ΅ΠΉ надСТности. НапримСр, Π² сСти связи, Π³Π΄Π΅ ΠΊΠ°Π½Π°Π»Ρ‹ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°ΡŽΡ‚ случайным ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ ΠΈΠ»ΠΈ выходят ΠΈΠ· строя, ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΏΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π±ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π½Π°Π΄Π΅ΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ с двумя Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Π°Π»Π°ΠΌΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π°Π΄Π΅ΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ со всСми Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Π°Π»Π°ΠΌΠΈ. Π’ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΌ случаС Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π²Π΅Ρ€ΠΎΡΡ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ всС ссылки хотя Π±Ρ‹ Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌ ΠΏΡƒΡ‚ΠΈ, ΡΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡŽΡ‰Π΅ΠΌ Π΄Π²Π° ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½Ρ‹Ρ… ΡƒΠ·Π»Π°, Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°ΡŽΡ‚, Π° Π²ΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ случаС — Π²Π΅Ρ€ΠΎΡΡ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ всС ссылки хотя Π±Ρ‹ Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌ ΡΠ²ΡΠ·ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΌ Π΄Π΅Ρ€Π΅Π²Π΅ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°ΡŽΡ‚. Π’ ΠΎΠ±ΠΎΠΈΡ… случаях количСство случайных событий слишком Π²Π΅Π»ΠΈΠΊΠΎ для примСнСния ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΡ-Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΡ.ЀактичСски, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ нСсколько задСйствованных Π±ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ΠΎΠ². Π’ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… случаях ΠΈΡ‰ΡƒΡ‚ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ†Ρ‹. Π‘Π°ΠΌΡ‹ΠΌΠΈ простыми для вСроятности объСдинСния ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ†Ρ‹ Π‘ΠΎΠ½Ρ„Π΅Ρ€Ρ€ΠΎΠ½ΠΈ:

\ begin {ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ *} \ mathsf {P} (A _ {1} \ bigcup \ ldots \ bigcup A _ {n}) \ geq S _ {1} — S _ {2} + \ ldots + S _ {m — 1} — S _ {m} \ end {ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ *}

, Ссли $ m $ Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠ΅, ΠΈ

, Ссли $ m $ Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠ΅, Π³Π΄Π΅ $ m

ΠžΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ эффСктивный ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ ограничСния $ \ mathsf {P} (A _ {1} \ cup \ ldots \ cup A _ {n}) $ ΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… Π±ΡƒΠ»Π΅Π²Ρ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ событий Π±Ρ‹Π» Ρ€Π°Π·Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π½ А. ΠŸΡ€Π΅ΠΊΠΎΠΏΠΎΠΉ (см. [a10] ΠΈ ссылки Π² Π½Π΅ΠΌ). Π’ случаС ограничСния вСроятности объСдинСния ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ $ S _ {k} = \ mathsf {E} \ left [\ left (\ begin {array} {l} {X} \\ {k} \ end { массив} \ right) \ right] = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ left (\ begin {array} {l} {i} \\ {k} \ end {array} \ right) p _ {i} $, Π³Π΄Π΅ $ p _ {i} $ — Π²Π΅Ρ€ΠΎΡΡ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·ΠΎΠΉΠ΄Π΅Ρ‚ Ρ€ΠΎΠ²Π½ΠΎ $ i $ событий.Π—Π°Ρ‚Π΅ΠΌ, Ссли ΠΊΡ‚ΠΎ-Ρ‚ΠΎ Π·Π½Π°Π΅Ρ‚ $ S _ {1}, \ ldots, S _ {m} $, Π³Π΄Π΅ $ m

(a4)

Если ΠΈ $ P _ {\ text {max}} $ — ΠΎΠΏΡ‚ΠΈΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ значСния, ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π°ΠΌ min ΠΈ max, соотвСтствСнно, Ρ‚ΠΎ это Ρ‚ΠΎΡ‡Π½Ρ‹Π΅ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ†Ρ‹ вСроятности объСдинСния, Ρ‚. Π•.

\ begin {ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ *} P _ {\ operatorname {min}} \ leq \ mathsf {P} (A _ {1} \ bigcup \ dots \ bigcup A _ {n}) \ leq P _ {\ text { max}} \ end {ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ *}

, ΠΈ Π½Π° основС знания $ S _ {1}, \ ldots, S _ {m} $ нСльзя Π΄Π°Ρ‚ΡŒ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡Π½Ρ‹Ρ… ΠΎΡ†Π΅Π½ΠΎΠΊ.{T} $ — ΠΎΠΏΡ‚ΠΈΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π΄Π²ΠΎΠΉΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ² минимальной ΠΈ максимальной Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ соотвСтствСнно. Π‘Ρ‹Π»ΠΎ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚Ρ‹ $ \ mathbf {x} $ ΠΈ $ \ mathbf {y} $ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ΡΡ Π·Π½Π°ΠΊΠΈ, начиная с $ + $, ΠΈ $ | x _ {1} | \ geq \ ldots \ geq | x _ {m} | $, $ | y _ {1} | \ geq \ ldots \ geq | Ρƒ _ {ΠΌ} | $. ΠžΠΏΡ‚ΠΈΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ значСния ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°ΠΌΠΈ, Ссли $ m \ leq 4 $ (см. Бсылки Π² [a10]).

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° (a2) Π²Π΅Ρ€Π½Π° для любой ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎ-Π°Π΄Π΄ΠΈΡ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ мноТСства $ \ mu $, ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π½Π° Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π΅ $ \ mathcal {S} $ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… подмноТСств $ \ Omega $ (Ссли $ A \ in \ mathcal S $, Ρ‚ΠΎ $ \ overline {A} \ in \ mathcal {S} $, ΠΈ Ссли $ A, B \ in \ mathcal S $, Ρ‚ΠΎ $ A \ cup B \ in \ mathcal {S} $).Π’ частности, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Π·ΡΡ‚ΡŒ $ \ Omega $ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠ΅ мноТСство, $ \ mathcal {S} $ — всС подмноТСства $ \ Omega $ ΠΈ $ \ mu (A) = | A | $, ΠΌΠΎΡ‰Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ мноТСства $ A $. ПослСдний случай ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ мноТСство ΠΏΡ€ΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π² ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ‚ΠΎΡ€ΠΈΠΊΠ΅, особСнно Π² Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π°Ρ… пСрСчислСния. Π₯ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠΈΠΉ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·Π΅Ρ† ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ‚ΠΎΡ€Π½Ρ‹Ρ… Π·Π°Π΄Π°Ρ‡, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅-ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅, прСдставлСн Π² [a6].

Π’ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅-ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΈΠ³Ρ€Π°Π΅Ρ‚ Π²Π°ΠΆΠ½ΡƒΡŽ Ρ€ΠΎΠ»ΡŒ Π² Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ чисСл. Π—Π΄Π΅ΡΡŒ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΎΠΊΠΎΠ»ΠΎ

Π³.

Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ / ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅

Π’ 2017 Π³ΠΎΠ΄Ρƒ профСссор матСматичСского образования РошСль Π“ΡƒΡ‚ΡŒΠ΅Ρ€Ρ€Π΅Ρ написала, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Β«ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° дСйствуСт ΠΊΠ°ΠΊ Π±Π΅Π»ΠΈΠ·Π½Π°Β». Π‘Π»ΡƒΡ…ΠΈ ΠΎΠ± этом быстро Ρ€Π°ΡΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚Ρ€Π°Π½ΠΈΠ»ΠΈΡΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Ρ‹Π·Π²Π°Π»ΠΎ Ρ€Π΅Π·ΠΊΡƒΡŽ Ρ€Π΅Π°ΠΊΡ†ΠΈΡŽ нСнависти ΠΈ ΠΎΡΠΊΠΎΡ€Π±ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΠΌΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Ρ€ΠΈΠ΅Π² Π² ΡΠΎΡ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… сСтях Π“ΡƒΡ‚ΡŒΠ΅Ρ€Ρ€Π΅ΡΠ° [1]. Π­Ρ‚ΠΎΡ‚ саундбайт часто Ρ†ΠΈΡ‚ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‚ Π±Π΅Π· контСкста, Ρ‚Π°ΠΊ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²ΠΎΡ‚ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ контСкст:

Β«ΠšΡ‚ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅Ρ‚ ΠΏΡ€ΠΈΠ·Π½Π°Π½ΠΈΠ΅ Π·Π° ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Ρ€Π°Π·Π²ΠΈΡ‚ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ ΠΈ ΠΊΡ‚ΠΎ рассматриваСтся ΠΊΠ°ΠΊ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ матСматичСского сообщСства, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ, считаСтся Π±Π΅Π»Ρ‹ΠΌ.Π’ ΡˆΠΊΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ°Ρ… ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ с Π°ΠΊΡ†Π΅Π½Ρ‚ΠΎΠΌ Π½Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Ρ‹, ΠΊΠ°ΠΊ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° ΠŸΠΈΡ„Π°Π³ΠΎΡ€Π° ΠΈ ΠΏΠΈ, закрСпляСтся прСдставлСниС ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° Π±Ρ‹Π»Π° Π² Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ стСпСни Ρ€Π°Π·Π²ΠΈΡ‚Π° Π³Ρ€Π΅ΠΊΠ°ΠΌΠΈ ΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌΠΈ Π΅Π²Ρ€ΠΎΠΏΠ΅ΠΉΡ†Π°ΠΌΠΈ. Π’ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΅Ρ‰Π΅ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Π²Π°ΠΆΠ½ΠΎ, ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π½Π΅Π·Π°ΡΠ»ΡƒΠΆΠ΅Π½Π½ΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΈΠ»Π΅Π³ΠΈΡŽ Π² общСствС, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ Π‘Π΅Π»ΠΈΠ·Π½Π° Β». [2]

Π’ этом смыслС, ΠΏΠΎ ΠΊΡ€Π°ΠΉΠ½Π΅ΠΉ ΠΌΠ΅Ρ€Π΅, Π² БША, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ с ΡƒΠ²Π΅Ρ€Π΅Π½Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° дСйствуСт ΠΊΠ°ΠΊ Π±Π΅Π»ΠΈΠ·Π½Π°. Π’ этом Π±Π»ΠΎΠ³Π΅ я Ρ…ΠΎΡ‚Π΅Π» Π±Ρ‹ Π·Π°Π΄Π°Ρ‚ΡŒ вопрос: ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π»ΠΈ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° ΠΏΠΎΡΡ‚ΡƒΠΏΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈΠ½Π°Ρ‡Π΅? ΠœΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π»ΠΈ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ антирасистской?

Π’ ΠΏΡ€ΠΎΡˆΠ»ΠΎΠΌ сСмСстрС я Ρ€Π°Π·Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π» курс ΠΏΠΎΠ΄ Π½Π°Π·Π²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ НСравСнство: числа ΠΈ ΡΠΏΡ€Π°Π²Π΅Π΄Π»ΠΈΠ²ΠΎΡΡ‚ΡŒ , ΠΏΡ€Π΅Π΄Π½Π°Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ для нСосновных.Мои ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΊΠΈ Π²Π°Ρ€ΡŒΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π»ΠΈΡΡŒ ΠΎΡ‚ ΡΡ‚Π°Ρ€ΡˆΠ΅ΠΊΠ»Π°ΡΡΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ² Π΄ΠΎ ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΊΠΎΠ² мСстной срСднСй ΡˆΠΊΠΎΠ»Ρ‹, со ΡΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡΠΌΠΈ ΠΎΡ‚ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²Π° Π΄ΠΎ китайского ΠΈ ΠΊΠΎΠΌΠΏΡŒΡŽΡ‚Π΅Ρ€Π½Ρ‹Ρ… Π½Π°ΡƒΠΊ. Π­Ρ‚ΠΎ Π±Ρ‹Π»ΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ Π²ΠΎΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ курса, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ я ΠΏΡ€Π΅ΠΏΠΎΠ΄Π°Π²Π°Π» ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π»Π΅Ρ‚ Π½Π°Π·Π°Π΄, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ ΠΌΡ‹ ΠΏΡ€ΠΎΡ€Π°Π±Π°Ρ‚Ρ‹Π²Π°Π»ΠΈ ΠΈΠ΄Π΅ΠΈ ΠΈΠ· ΠΊΠ½ΠΈΠ³ΠΈ Π“ΡƒΡ‚ΡˆΡ‚Π΅ΠΉΠ½Π° ΠΈ ΠŸΠ΅Ρ‚Π΅Ρ€ΡΠΎΠ½Π° Β«ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΠΎΡΠΌΡ‹ΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ: ΠΏΡ€Π΅ΠΏΠΎΠ΄Π°Π²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΎΡ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ справСдливости с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ чисСл Β», написанной Π½Π° ΡƒΡ€ΠΎΠ²Π½Π΅ срСднСй ΡˆΠΊΠΎΠ»Ρ‹ [3]. Π’ Inequalities, я надСялся Ρ€Π°Π·Π²ΠΈΡ‚ΡŒ эти ΠΈΠ΄Π΅ΠΈ Π² курс Π½Π° ΡƒΡ€ΠΎΠ²Π½Π΅ ΠΊΠΎΠ»Π»Π΅Π΄ΠΆΠ°.

Π’ Ρ‚Π΅Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ сСмСстра ΠΌΡ‹ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π°Π»ΠΈ, ΠΊΠ°ΠΊ понятия справСдливости ΠΈ равСнства Ρ€Π°ΡΡΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ с Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ зрСния ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ ΠΈ экономики. Какими способами Π±Ρ‹Π»ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Ρ‹ эти ΠΈΠ΄Π΅ΠΈ ΠΈ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈΡ… ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Ρ€ΠΈΡ‚ΡŒ? ΠœΡ‹ рассмотрСли самыС Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Π΅ Ρ‚Π΅ΠΌΡ‹: ΠΎΡ‚ злоупотрСблСния статистикой Π΄ΠΎ ΠΌΠΎΡˆΠ΅Π½Π½ΠΈΡ‡Π΅ΡΡ‚Π²Π° ΠΈ расового ΠΊΠ°ΠΏΠΈΡ‚Π°Π»ΠΈΠ·ΠΌΠ° ΠΈ измСнСния ΠΊΠ»ΠΈΠΌΠ°Ρ‚Π°. Π’ ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π΅ ΠΊΠΎΠ½Ρ†ΠΎΠ², студСнты смогли ΠΎΡ†Π΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ справСдливости, Π³Π»ΡƒΠ±ΠΎΠΊΠΎΠ΅ нСравСнство, ΠΏΠΎΡ€ΠΎΠΆΠ΄Π°Π΅ΠΌΠΎΠ΅ ΠΊΠ°ΠΏΠΈΡ‚Π°Π»ΠΈΠ·ΠΌΠΎΠΌ, ΠΈ ΠΏΠΎΠ΄Π²Π΅Ρ€Π³Π»ΠΈ сомнСнию идСю ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° являСтся политичСски Π½Π΅ΠΉΡ‚Ρ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ.

ΠœΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π»ΠΈ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ°, особСнно Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ уровня K-12, Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ антирасистской? ΠžΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π»ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΏΠ΅Π΄Π°Π³ΠΎΠ³ΠΈΠΊΠ° критичСской ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ (ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ критичСской Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ ΠΊ матСматичСскому ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡŽ) ΠΈ Β«Π²Ρ‹ΡΡˆΠ°ΡΒ» ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° (ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° Π² Π²ΡƒΠ·Π°Ρ… ΠΈ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅)? Π‘ΠΎΡ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΡΠΏΡ€Π°Π²Π΅Π΄Π»ΠΈΠ²ΠΎΡΡ‚ΡŒ — популярноС Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π² наши Π΄Π½ΠΈ Π΄Π°ΠΆΠ΅ Π² матСматичСских ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π°Ρ…, Π½ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½ΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚? Π’ Π½Π΅Π΄Π°Π²Π½Π΅ΠΌ выпускС Β«ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° для ΡΠΎΡ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ справСдливости: рСсурсы для ΠΊΠΎΠ»Π»Π΅Π΄ΠΆΠ° Β» Ρ€Π΅Π΄Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ Π“Π·Π΅ΠΌ ΠšΠ°Ρ€Π°Π°Π»ΠΈ ΠΈ Π›ΠΈΠ»ΠΈ Π₯Π°Π΄ΠΆΠ°Π²ΠΈ ΠΎΠΏΠΈΡΡ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ эту Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρƒ ΠΊΠ°ΠΊ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ Β«Π½Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ двиТСния Π·Π° Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»ΠΎΠ² ΠΏΠΎ ΡΠΎΡ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ справСдливости Π² ΠΏΡ€Π΅ΠΏΠΎΠ΄Π°Π²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈΒ» [4].Π₯отя ΠΊΠ½ΠΈΠ³Π° прСдставляСт собой Π²Π°ΠΆΠ½ΠΎΠ΅ усилиС ΠΏΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π»Π΅Ρ‡Π΅Π½ΠΈΡŽ дискуссий ΠΎ расС, ΠΏΠΎΠ»Π΅, классС ΠΈ власти Π² класс ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ Π² ΠΊΠΎΠ»Π»Π΅Π΄ΠΆΠ΅, ΠΌΠ½Π΅ всС ΠΆΠ΅ хочСтся большСго.

ΠŸΠΎΠΏΡ‹Ρ‚ΠΊΠΈ Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ ΡΠΎΡ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ ΡΠΏΡ€Π°Π²Π΅Π΄Π»ΠΈΠ²ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π² ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΡ‹ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅, Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ, говорят ΠΎ политичСских прСдпочтСниях учитСля большС, Ρ‡Π΅ΠΌ Ρ‡Ρ‚ΠΎ-Π»ΠΈΠ±ΠΎ Π΅Ρ‰Π΅. Π’ Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ врСмя ΠΌΡ‹ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ ΠΎΠΏΠ°ΡΠ°Ρ‚ΡŒΡΡ ΠΈΠ½ΠΈΡ†ΠΈΠ°Ρ‚ΠΈΠ² разнообразия Π² ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ просто воспроизводят Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ класс ΡƒΡ‡Π΅Π½Ρ‹Ρ…, ΡƒΠ²Π΅ΠΊΠΎΠ²Π΅Ρ‡ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‰ΠΈΡ… структуры господства ΠΈ угнСтСния, вмСсто Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Ρ€Π°Π·Ρ€ΡƒΡˆΠΈΡ‚ΡŒ Π±Π΅Π»ΠΈΠ·Π½Ρƒ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π΅Ρ‚ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ°, ΠΈ ΠΏΠΎ-настоящСму ΠΏΠΎΠ΄Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²ΠΈΡ‚ΡŒ студСнтов ΠΊ ΠΌΠΈΡ€ растущСго нСравСнства ΠΈ климатичСской катастрофы.Π’ ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π΅ ΠΊΠΎΠ½Ρ†ΠΎΠ², Π±Ρ‹Π»ΠΎ Π±Ρ‹ Π»ΡƒΡ‡ΡˆΠ΅, Ссли Π±Ρ‹ Π°Ρ‚ΠΎΠΌΠ½ΡƒΡŽ Π±ΠΎΠΌΠ±Ρƒ Ρ€Π°Π·Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π»ΠΈ Π½Π΅Π±Π΅Π»Ρ‹Π΅ люди? Или Ρ‚Π΅Ρ…Π½ΠΎΠ»ΠΎΠ³ΠΈΠΈ для наблюдСния, Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΡ ΠΈ Π΄Π΅ΠΏΠΎΡ€Ρ‚Π°Ρ†ΠΈΠΈ уязвимых сообщСств?

Π­Ρ‚ΠΈ ΠΌΠ΅Π»ΠΊΠΎΠΌΠ°ΡΡˆΡ‚Π°Π±Π½Ρ‹Π΅ Ρ€Π΅Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡ‹ систСмы ΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‚ Π½Π΅Ρ‚Ρ€ΠΎΠ½ΡƒΡ‚Ρ‹ΠΌΠΈ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΊΡ€ΡƒΠΏΠ½Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΡ‹ ΠΊΠ°ΠΏΠΈΡ‚Π°Π»ΠΈΠ·ΠΌΠ°, ΠΈΠΌΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠ°Π»ΠΈΠ·ΠΌΠ° ΠΈ Π±Π΅Π»ΠΎΠ³ΠΎ прСвосходства. Как писала ΠŸΠ°ΠΉΠΏΠ΅Ρ€ Π₯. Π² Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Ρ€Π°Π½Π½Π΅ΠΌ постС,

Β«Π£ Π±ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠΈΠ½ΡΡ‚Π²Π° ΠΈΠ· нас Π½Π΅Ρ‚ Ρ…ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠΈΡ… ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ² для подраТания, ΠΊΠ°ΠΊ фСминистский Ρ„Π°ΠΊΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π΅Ρ‚ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ ΠΌΠΎΠ³ Π±Ρ‹ Π²Ρ‹Π³Π»ΡΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ. Π£ мСня Π΅ΡΡ‚ΡŒ этот Ρ€Π°Π·Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ я дСлаю, ΠΈ послС этого я часто бСспокоюсь, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π±Π΅Π»Ρ‹Π΅ ΠΌΡƒΠΆΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹ ΡΠΏΡ€Π°ΡˆΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‚ мСня, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ для Π±ΠΎΡ€ΡŒΠ±Ρ‹ с сСксизмом.Но Π½Π° самом Π΄Π΅Π»Π΅ ΠΎΠ½ΠΈ Π½Π΅ Π΄ΡƒΠΌΠ°ΡŽΡ‚ ΠΎ ΠΏΡ€Π΅ΠΊΡ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠΈ сСксизма. Они Π΄ΡƒΠΌΠ°ΡŽΡ‚ ΠΎ прогрСссС. Они хотят Π·Π½Π°Ρ‚ΡŒ, ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ прСимущСства цис-ΠΌΡƒΠΆΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹, ΠΎΠ±Π»Π°Π΄Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ Π²Π»Π°ΡΡ‚ΡŒΡŽ, ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ ΠΆΠ΅Π½Ρ‰ΠΈΠ½Π°ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΌΡ‹ Π½Π΅ чувствовали сСбя Ρ‚Π°ΠΊ ΠΏΠ»ΠΎΡ…ΠΎ, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Таловались ΠΈ вносили свой Π²ΠΊΠ»Π°Π΄ Π² Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ ΡƒΠ½Ρ‹Π»ΠΎΠ΅ число. Π­Ρ‚ΠΎ СстСствСнно, Π΄Π°ΠΆΠ΅ Ρ€Π°Π·ΡƒΠΌΠ½ΠΎ, Π½ΠΎ всС ΠΆΠ΅ сСксистски.

Π’ самом Π΄Π΅Π»Π΅, ΠΊΠ°ΠΊ фСминистка — ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€ΡΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ, антирасистская ΠΈ ΡΠΎΠ·Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ фСминистская — выглядСла Π½Π° матСматичСском Ρ„Π°ΠΊΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π΅Ρ‚Π΅?

Π”ΠΎΠ»ΠΆΠ½Π° Π»ΠΈ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ антирасистской?

ΠŸΡ€Π΅ΠΆΠ΄Π΅ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΌΡ‹ рассмотрим этот вопрос дальшС, ΠΌΡ‹ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ ΡΠΏΡ€ΠΎΡΠΈΡ‚ΡŒ, Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Π° Π»ΠΈ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡ‚ΡŒ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρƒ ΡΠΎΡ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ справСдливости.Π’Π°ΠΊΠΈΠ΅ вопросы ΡƒΠΆΠ΅ Π΄Π°Π²Π½ΠΎ Π·Π°Π΄Π°ΡŽΡ‚ Π² физичСских Π½Π°ΡƒΠΊΠ°Ρ…. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ‚Π΅ ΠΎΠ±Π½ΠΎΠ²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½ΠΈΠΆΠ΅.

Для Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΡƒΠ²Π΅Ρ€Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ, ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° ΠΏΠ΅Π΄Π°Π³ΠΎΠ³ΠΈ Π΄ΡƒΠΌΠ°Π»ΠΈ Π΄ΠΎΠ»Π³ΠΎ ΠΈ ΡƒΠΏΠΎΡ€Π½ΠΎ ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·Π΅ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ пСрСсСкаСтся с вопросами расы, ΠΏΠΎΠ»Π°, класса ΠΈ мощности, ΠΏΠΎ ΠΊΡ€Π°ΠΉΠ½Π΅ΠΉ ΠΌΠ΅Ρ€Π΅, с Π€Ρ€Π΅ΠΉΡ€ΠΎΠΌ ΠΏΠ΅Π΄Π°Π³ΠΎΠ³ΠΈΠΊΠΈ ΡƒΠ³Π½Π΅Ρ‚Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ [6]. ΠŸΡ€Π΅ΠΏΠΎΠ΄Π°Π²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ Π³Π»ΡƒΠ±ΠΎΠΊΠΎ ΡƒΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΠΈΠ»ΠΎΡΡŒ Π² ΠΏΠΎΠ»ΠΈΡ‚ΠΈΠΊΠ΅, ΠΈ ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΡ‡ΠΈΡ‚Π°ΡŽΡ‚ Ρ€Π°ΡΡΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π°Π±ΡΡ‚Ρ€Π°ΠΊΡ‚Π½ΡƒΡŽ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΡƒ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΡΡ…ΠΎΠ΄ΡΡ‰ΡƒΡŽ Π² Π²Π°ΠΊΡƒΡƒΠΌΠ΅, ΡΠΎΡ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ аспСкт матСматичСского образования ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ большоС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅.

Но ΠΊΠ°ΠΊ насчСт Π±ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠΈΠ½ΡΡ‚Π²Π° профСссоров ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ Π² ΠΊΠΎΠ»Π»Π΅Π΄ΠΆΠ°Ρ…, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΎΠ±ΡƒΡ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π½Π΅ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅, Π° ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅? Они Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎ ΡƒΡ‡Π°ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ Π² Ρ€Π°Π·Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚ΠΊΠ΅ ΡΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚Π΅ΠΉ STEM (Π½Π°ΡƒΠΊΠ°, тСхнология, инТСнСрия ΠΈ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ°) ΠΈ Π² обслуТивании структур власти Π² классах ΠΈ Π½Π° Ρ„Π°ΠΊΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π΅Ρ‚Π°Ρ… ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ ΠΊΠΎΠ»Π»Π΅Π΄ΠΆΠ΅ΠΉ. Π­Ρ‚ΠΈΡ… ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΎΠ² ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°ΡŽΡ‚ Π½Π° Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρƒ Π½Π΅ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΈΠ·-Π·Π° ΠΈΡ… пСдагогичСских способностСй, Π΄Π°ΠΆΠ΅ Π²ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΡ… Π³ΡƒΠΌΠ°Π½ΠΈΡ‚Π°Ρ€Π½Ρ‹Ρ… ΡˆΠΊΠΎΠ»Π°Ρ….

ΠœΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΠΊΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΎΠΉ ΠΈ матСматичСским ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΡΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ практичСскиС ΠΈ ΠΊΡƒΠ»ΡŒΡ‚ΡƒΡ€Π½Ρ‹Π΅ различия (допустим этот Π΄Π²ΠΎΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΠ΄ Π² цСлях обсуТдСния).МоТно ΡΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ матСматичСскоС ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ заботится ΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΈ матСматичСски Π³Ρ€Π°ΠΌΠΎΡ‚Π½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΊΠΎΠ², ΠΎ взаимодСйствии ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΡƒΠ³Π½Π΅Ρ‚Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ, Π²Π»Π°ΡΡ‚ΡŒΡŽ ΠΈ привилСгиями Π² контСкстС матСматичСского образования, особСнно Π² ΡˆΠΊΠΎΠ»Π°Ρ… Π΄ΠΎ 12 Π»Π΅Ρ‚; Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΊΠ°ΠΊ Π² ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ нас бСспокоит ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ°, часто ΠΊΠ°ΠΊ оторванная ΠΎΡ‚ ΡΠΎΡ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ (Π·Π° ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ случаСв, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° это примСняСтся ΠΊ физичСским Π½Π°ΡƒΠΊΠ°ΠΌ ΠΈ ΠΈΠ½ΠΆΠ΅Π½Π΅Ρ€Π½Ρ‹ΠΌ Π½Π°ΡƒΠΊΠ°ΠΌ). Π”Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Π² ΠΌΠΎΠ΅ΠΉ области, Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ чисСл, общСпринято Ρ…Π²Π°ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΡΡ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌ, Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… ΠΊΠ°ΠΊ ВСликая Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° Π€Π΅Ρ€ΠΌΠ°, Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ нСпосрСдствСнного практичСского примСнСния.Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, просто ΠΏΠΎΠΏΡ‹Ρ‚Π°Ρ‚ΡŒΡΡ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ Π°Π±ΡΡ‚Ρ€Π°ΠΊΡ‚Π½ΡƒΡŽ ΠΈ ΡΠΎΡ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π²ΠΎΠ²Π»Π΅Ρ‡Π΅Π½Π½ΡƒΡŽ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΡƒ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ — Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ своСго Ρ€ΠΎΠ΄Π° матСматичСскоС Π΄Π²ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠ΅ сознаниС, Π° ΠΏΠΎΠΏΡ‹Ρ‚ΠΊΠ° ΡΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ эти Π΄Π²Π° понятия — вСсьма Π½Π΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠ²ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π°.

Π’Π΅ΠΌ Π½Π΅ ΠΌΠ΅Π½Π΅Π΅, ясно ΠΎΠ΄Π½ΠΎ: Ссли ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° являСтся политичСской (Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ расовой ΠΈ Π³Π΅Π½Π΄Π΅Ρ€Π½ΠΎΠΉ), Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π½Π° сторонС справСдливости, ΠΊΠ°ΠΊ Π±Ρ‹ это Π½ΠΈ выглядСло. Π”Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌΠΈ словами, Ссли ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ антирасистской, Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊ ΠΈ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ.

На ΠΏΡƒΡ‚ΠΈ ΠΊ критичСскому исслСдованию ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ

ИсслСдования Π² области матСматичСского образования ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π»ΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€Π΅ΠΏΠΎΠ΄Π°Π²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ — это Π² Π²Ρ‹ΡΡˆΠ΅ΠΉ стСпСни политичСский Π°ΠΊΡ‚.А ΠΊΠ°ΠΊ насчСт содСрТания ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ? Π”Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌΠΈ словами, какая «чистая» ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½Π° антирасистской ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅? Π­Ρ‚ΠΎ Π²ΠΎΠΎΠ±Ρ‰Π΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ вопрос? ΠœΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π»ΠΈ абстракции унивСрситСтской ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ ΠΈ Π½Π΅ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ, ΠΈΠ΄Π΅ΠΈ, скаТСм, Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Π³ΠΎΡ€ΠΈΠΉ, Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ абстрактной Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹, ΠΎΡ‚ΠΊΡ€Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π½ΠΎΠ²Ρ‹Π΅ ΠΏΡƒΡ‚ΠΈ критичСского ΠΏΠΎΠ΄Ρ…ΠΎΠ΄Π° ΠΊ ΡΠΎΡ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌΡƒ?

Π’ Inequalities ΠΌΡ‹ обсуТдали прилоТСния Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ ΡΠΎΡ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Ρ‹Π±ΠΎΡ€Π°, мСтричСской Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ ΠΈ случайных Π±Π»ΡƒΠΆΠ΄Π°Π½ΠΈΠΉ ΠΊ Π΄ΠΆΠ΅Ρ€Ρ€ΠΈΠΌΠ°Π½Π΄Π΅Ρ€ΠΈΠ½Π³Ρƒ.НСкоторыС ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ… ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‚ Π·Π° Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚ΠΎΠΉ Π“Ρ€ΡƒΠΏΠΏΡ‹ мСтричСской Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ ΠΈ Π”ΠΆΠ΅Ρ€Ρ€ΠΈΠΌΠ°Π½Π΄Π΅Ρ€ΠΈΠ½Π³Π° ΠœΡƒΠ½Π° Π”ΡƒΡ‡ΠΈΠ½Π° (MGGG) Π² ВафтсС ΠΈ ΠœΠ°ΡΡΠ°Ρ‡ΡƒΡΠ΅Ρ‚ΡΠΊΠΎΠΌ тСхнологичСском институтС, которая выполняСт Π·Π°Ρ…Π²Π°Ρ‚Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‰ΡƒΡŽ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρƒ, особСнно с ΡƒΡ‡Π΅Ρ‚ΠΎΠΌ прСдстоящСй пСрСписи насСлСния 2020 Π³ΠΎΠ΄Π°. ΠœΡ‹ обсудили ΡΠΊΠ°Π½Π΄Π°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΡŽ Π­Π½Π΄Ρ€ΡŽ Π₯Π°ΠΊΠ΅Ρ€Π° «НуТна Π»ΠΈ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π°?Β», Π’ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ прСдлагаСтся Π·Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ ΡΡ‚Π°Π½Π΄Π°Ρ€Ρ‚Π½ΡƒΡŽ ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½ΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΡƒ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ «граТданской статистикой», которая Β«Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌΠΈΡ‚ студСнтов с числами, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΎΠΏΠΈΡΡ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ Π½Π°ΡˆΡƒ Π»ΠΈΡ‡Π½ΡƒΡŽ ΠΈ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΡΡ‚Π²Π΅Π½Π½ΡƒΡŽ Тизнь».

ΠœΡ‹ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΏΠΎΡ‚Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΠ»ΠΈ врСмя Π½Π° справСдливоС Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ — ΠΏΠΎΠ΄ΠΏΠΎΠ»Π΅ повСдСнчСской экономики, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π°Π»ΠΈ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ, Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΠΊ Π₯ьюго Штайнхаус [7], которая ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΠΎΠ»ΠΆΠ°Π΅Ρ‚ Π²Ρ‹Π·Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ интСрСс Ρƒ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΎΠ² [8].Π‘ΠΎΠ»Π΅Π΅ слоТныС Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ справСдливого дСлСния приводят ΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΠ°ΠΌ сопоставлСния Π² Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΎΠ², Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ ΠΊ Π°Π»Π³ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΠΌΡƒ Π“Π΅ΠΉΠ»Π°-Π¨Π΅ΠΏΠ»ΠΈ Π² Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π΅ ΡΡ‚Π°Π±ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π±Ρ€Π°ΠΊΠ°. ПослСдний Π±Ρ‹Π» ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ ΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΠ΅ Π²Ρ‹Π±ΠΎΡ€Π° ΡˆΠΊΠΎΠ»Ρ‹ для сопоставлСния учащихся школам, ΠΊΠ°ΠΊ описано Π² ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»Π΅ [9]. Π­Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ класса Π·Π°Π΄Π°Ρ‡, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ строят ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈ ΡΠΎΡ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ, ΠΊΠ°ΠΊ это Π΄Π΅Π»Π°ΡŽΡ‚ Π² физичСских Π½Π°ΡƒΠΊΠ°Ρ…, для Π΅Π΅ изучСния.

Π”Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ — ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠŸΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ описываСт стСпСнной Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ Π² ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈ сСксизма.МодСль ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΡƒΠΆΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹ ΠΈ ΠΆΠ΅Π½Ρ‰ΠΈΠ½Ρ‹ Π² Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠΉ стСпСни сСксистскиС, Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π½ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌΡƒ, ΠΊΠ°ΠΊ модСль сСгрСгации Π¨Π΅Π»Π»ΠΈΠ½Π³Π° ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ люди Π² Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠΉ стСпСни (Π½Π΅) расисты ΠΈ просто ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΡ‡ΠΈΡ‚Π°ΡŽΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ с сСбС ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½Ρ‹ΠΌΠΈ [10]. ΠšΡ‚ΠΎ-Ρ‚ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π²ΠΎΠ·Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ этот ΠΏΠΎΠ΄Ρ…ΠΎΠ΄ раскрываСт матСматичСскиС Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Ρ‹, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π·Π°ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‚ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΡΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ явлСния, Π½Π΅ обсуТдая, ΠΊΠ°ΠΊ внСшниС Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π²ΠΌΠ΅ΡˆΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Π² Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ. Π’ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π»ΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈ ΡΠΎΡ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… явлСний объясняли ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ расы, ΠΏΠΎΠ»Π°, класса ΠΈ Π½Π°Ρ†ΠΈΠΈ?

Π― Π½Π΅ ΠΏΡ€Π΅Ρ‚Π΅Π½Π΄ΡƒΡŽ Π½Π° ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚Ρ‹ Π½Π° вопросы, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ задаю.Π­Ρ‚Π° нСбольшая Π²Ρ‹Π±ΠΎΡ€ΠΊΠ° ΠΏΡ€Π΅Π΄Π»Π°Π³Π°Π΅Ρ‚ нСсколько возмоТностСй для ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ ΠΊΠ°ΠΊ, скаТСм, ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€ΡΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ, антирасистского ΠΈ ΡΠΎΠ·Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ фСминистского прСдприятия. Π’ любом случаС, Ссли ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΡΠΎΠ³Π»Π°ΡΠΈΡ‚ΡŒΡΡ с Ρ‚Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ Π±Π΅Π»ΠΈΠ·Π½Π°, Ρ‚ΠΎ Ρƒ нас Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΌΠΎΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π΄ΠΎΠ»Π³ ΡΠΏΡ€ΠΎΡΠΈΡ‚ΡŒ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΠΎΠ³Π»Π° Π±Ρ‹ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° Π² ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΠΌ случаС. Π•Ρ‰Π΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹. Π§Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠ³Π»ΠΈ Π±Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΈΠ΄ΡƒΠΌΠ°Ρ‚ΡŒ, Ссли Π±Ρ‹ осмСлились Π²ΠΎΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚ΡŒ, с силой нашСго объСдинСнного матСматичСского творчСства?

ОбновлСниС: (1/2/2020) Π’ ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰Π΅ΠΉ вСрсии Ρ†ΠΈΡ‚ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π»Π°ΡΡŒ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π° Π§Π°Π½Π΄Ρ‹ ΠŸΡ€Π΅ΡΠΊΠΎΠ΄-Π’Π°ΠΉΠ½ΡˆΡ‚Π΅ΠΉΠ½, которая Π΅Ρ‰Π΅ Π½Π΅ Π±Ρ‹Π»Π° ΠΎΠΏΡƒΠ±Π»ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°Π½Π°.Π― ΡƒΠ΄Π°Π»ΠΈΠ» ссылку ΠΈ извиняюсь Π·Π° ΠΎΡˆΠΈΠ±ΠΊΡƒ. Π’ΠΎΡ‚ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Π°Ρ ссылка. Π‘ΠΌ. Π—Π΄Π΅ΡΡŒ, здСсь, здСсь ΠΈ здСсь ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·Π΅Ρ† Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹, которая Π² настоящСС врСмя ΠΎΠΏΡƒΠ±Π»ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°Π½Π°. Π― с Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ ΠΏΡ€ΠΈΠ·Π½Π°ΡŽ стираниС ΠΈ Π°Π½Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅Ρ€Π½Ρ‹ΠΉ расизм, ΡΠΎΠ·Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΈ Π±Π΅ΡΡΠΎΠ·Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΡƒΠ²Π΅ΠΊΠΎΠ²Π΅Ρ‡Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ Π½Π΅Π±Π΅Π·Π³Ρ€Π°Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ людьми, Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌΠΈ ΠΊΠ°ΠΊ я, Π² Ρ‚ΠΎΠΌ числС Π² СстСствСнных Π½Π°ΡƒΠΊΠ°Ρ… ΠΈ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅, извлСкая Π²Ρ‹Π³ΠΎΠ΄Ρƒ ΠΈΠ· Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹ ΠΈ Ρ‚Ρ€ΡƒΠ΄Π° Ρ‡Π΅Ρ€Π½ΠΎΠΊΠΎΠΆΠΈΡ…. Π― Ρ…ΠΎΡ‡Ρƒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ мСня Π²Ρ‹Π·Π²Π°Π»ΠΈ ΠΈΠ·-Π·Π° этого. Π― Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΠ» Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° Ρ‚ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅ люди, Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΠΊ Π”Π°Π½ΠΈΡΠ»ΡŒ Н.Π›ΠΈ, Π‘Ρ‚Π΅Ρ„Π°Π½ΠΈ ПСйдТ, РэйчСл Бёркс ΠΈ Π”ΠΆΠ΅Π΄ΠΈΠ΄Π° Π˜ΡΠ»Π΅Ρ€ Ρ‚ΠΎΠΆΠ΅, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄Π΅Π»Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π½ΡƒΡŽ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρƒ Π² Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… областях Π½Π°ΡƒΠΊΠΈ.

Артикул:

[1] Π“ΡƒΡ‚ΡŒΠ΅Ρ€Ρ€Π΅Ρ, Π . Β«ΠŸΠΎΡ‡Π΅ΠΌΡƒ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° (ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅) ΠΎΠΏΠΎΠ·Π΄Π°Π»Π° с ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ€Π΅Π°ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ: Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ€Π΅Π²ΠΎΠ»ΡŽΡ†ΠΈΠΈΒ». Π–ΡƒΡ€Π½Π°Π» городского матСматичСского образования 10.2 (2017): 8-24.

[2] Π“ΡƒΡ‚ΡŒΠ΅Ρ€Ρ€Π΅Ρ Π . (2017b). ΠŸΠΎΠ»ΠΈΡ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠΉ conocimiento для обучСния ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅: Π·Π°Ρ‡Π΅ΠΌ учитСлям ΠΈ ΠΊΠ°ΠΊ Ρ€Π°Π·Π²ΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒ. Π’ Π‘. ΠšΠ°ΡΡ‚Π±Π΅Ρ€Π³Π΅, А.М. Вимински, А. Π›ΠΈΡˆΠΊΠ° ΠΈ Π’. БанчСс (Ρ€Π΅Π΄Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹), Π‘ΠΎΠ·Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠ΄Π΄Π΅Ρ€ΠΆΠΊΠΈ Π½Π°ΡƒΡ‡Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠΊ Π² области матСматичСских ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠ² (стр. 11–38). Π¨Π°Ρ€Π»ΠΎΡ‚Ρ‚Π°, БСвСрная ΠšΠ°Ρ€ΠΎΠ»ΠΈΠ½Π°: ΠΈΠ½Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π½Ρ‹ΠΉ Π²Π΅ΠΊ.

[3] Gutstein, E., & Peterson, B. (Eds.). (2005). ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΠΎΡΠΌΡ‹ΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ: ΠžΠ±ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΎΡ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ справСдливости числами . ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΠΎΡΠΌΡ‹ΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅ школ.

[4] ΠšΠ°Ρ€Π°Π°Π»ΠΈ Π“., & Π₯Π°Π΄ΠΆΠ°Π²ΠΈ Π›. Π‘. (2019). ΠŸΡ€ΠΈΠ³Π»Π°ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ для ΡΠΎΡ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ справСдливости. ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° для ΡΠΎΡ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ справСдливости: рСсурсы для ΠΊΠΎΠ»Π»Π΅Π΄ΠΆΠ° , 60 , 1.

[6] Π€Ρ€Π΅ΠΉΡ€Π΅, П. (2018). ПСдагогика ΡƒΠ³Π½Π΅Ρ‚Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… . Π˜Π·Π΄Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ Bloomsbury USA.

[7] Steinhaus, H. ΠŸΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΠ° справСдливого раздСлСния, Econometrica 16 (1948), 101–104.

[8] Брамс, Π‘.Π”ΠΆ., М. ΠšΠΈΠ»Π³ΡƒΡ€, ΠΈ ΠšΡ€ΠΈΡΡ‚ΠΈΠ°Π½ ΠšΠ»Π°ΠΌΠ»Π΅Ρ€. Β«Π‘ΠΏΡ€Π°Π²Π΅Π΄Π»ΠΈΠ²ΠΎΠ΅ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌΡ‹Ρ… ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ² двумя людьми: эффСктивный Π°Π»Π³ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΠΌ Π±Π΅Π· зависти». УвСдомлСния AMS 61, no. 2 (2014): 130-141.

[9] Гласс Π”ΠΆ. И ΠšΠ°Ρ€Π°Π°Π»ΠΈ Π“. (2019). БоотвСтствиС Π΄Π΅Ρ‚Π΅ΠΉ школам: ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΠ° Π²Ρ‹Π±ΠΎΡ€Π° ΡˆΠΊΠΎΠ»Ρ‹. ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° для ΡΠΎΡ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ справСдливости: рСсурсы для ΠΊΠΎΠ»Π»Π΅Π΄ΠΆΠ° , 60 , 155.

[10] Schelling, T. C. (1971). ДинамичСскиС ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈ сСгрСгации. Π–ΡƒΡ€Π½Π°Π» матСматичСской социологии , 1 (2), 143-186.

,

Π”ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠΌΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Ρ€ΠΈΠΉ

Π’Π°Ρˆ адрСс email Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΎΠΏΡƒΠ±Π»ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°Π½. ΠžΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ поля ΠΏΠΎΠΌΠ΅Ρ‡Π΅Π½Ρ‹ *