Наибольшее и наименьшее значения функции — ПриМат
Для функции, непрерывной на отрезке по первой теореме Вейерштрасса существует точка, в которой функция принимает наибольшее значение и точка, в которой функция принимает наименьшее значение.
Функция принимает наибольшее значение на отрезке в точке , если и :
Аналогично функция принимает наименьшее значение на отрезке в точке , если и :
Примеры:
1.Найти наибольшее и наименьшее значения функции на сегменте .
Решение:
Найдем производную функции . Найдем точки, в которых производная равна нулю: . Значение принадлежит сегменту . Находим значения функции в полученной стационарной точке и на концах промежутка:
- ;
- ;
- .
Таким образом:
;
.
2.Найти отношение радиуса основания к высоте цилиндра , если при заданном объеме площадь полной поверхности является наименьшей.
Решение:
Пусть — фиксированный объем цилиндра, площадь полной поверхности , тогда , где — площадь основания цилиндра .
Тогда . Найдем производную : . Найдем стационарные точки: . Получим: .
Вывод: цилиндр при заданном объеме имеет наименьшую площадь полной поверхности, если его высота в 2 раза больше радиуса, т.е в случае, когда осевое сечение — квадрат.
Список литературы:
Наибольшее и наименьшее значения функции
Лимит времени: 0
Информация
Тест на тему «Наибольшее и наименьшее значения функций».
Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.
Тест загружается…
Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.
Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:
Правильных ответов: 0 из 4
Ваше время:
Время вышло
Вы набрали 0 из 0 баллов (0)
| Средний результат |
|
| Ваш результат |
|
| Место | Имя | Записано | Баллы | Результат |
|---|---|---|---|---|
| Таблица загружается | ||||
| Нет данных | ||||
- С ответом
- С отметкой о просмотре
Таблица лучших: Наибольшее и наименьшее значения функции
| Место | Имя | Записано | Баллы | Результат |
|---|---|---|---|---|
| Таблица загружается | ||||
| Нет данных | ||||
Поделиться ссылкой:
Похожее
ib.mazurok.com
Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке
Пусть на отрезке задана непрерывная функция , достигающая на данном отрезке своего наибольшего и наименьшего значений. Это может произойти как внутри отрезка, так и на его кон-цах. Отсюда вытекает способ нахождения точек, в которых функция приобретает наибольшее и наименьшее значение на отрезке :
1) найти критические точки функции;
2) вычислить значение функции в критических точках, которые принадлежат отрезку, и на концах отрезка;
3) наибольшее (наименьшее) значение среди образованного множества и будет наибольшим (наименьшим) значением функции, заданной на отрезке .
Пример 1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке .
Решение. Находим стационарные точки. Для этого найдем производную:
Приравнивая эту производную к нулю и решая уравнение
,
получаем стационарные точки: . Точек, в которых функция не существует, нет.
Вычисляем значение функции в точках , а также на концах отрезка, т.е. в точках :
Итак, наибольшее значение , наименьшее есть .
Интервалы выпуклости и вогнутости кривой, точки перегиба
График функции может быть выпуклым или вогнутым.
Определение 1.График функции называется выпуклым на интервале , если он расположен ниже ее любой касательной на этом интервале.
Определение 2.График функции называется вогнутым на интервале , если он расположен выше ее любой касательной на этом интервале.
Интервалы выпуклости и вогнутости находят с помощью следующей теоремы:
Теорема 1. Если функция во всех точках интервала имеет отрицательную вторую производную, т.е. , то график в этом интервале выпуклый. Если – график вогнутый.
Определение 3.Точка, при переходе через которую кривая изменяет выпуклость на вогнутость или наоборот, называется точкой перегиба.
Для нахождения точек перегиба графика функции используется следующая теорема:
Теорема 2. Если вторая производная при переходе через точку , в которой она равна нулю или не существует, меняет знак, то точка графика с абсциссой есть точка перегиба.
Пример 1. Найти интервалы вогнутости, выпуклости и точки перегиба кривой, заданной уравнением .
Решение. Найдем производные первого и второго порядков:
.
Приравняем к нулю:
,
отсюда находим корни:
.
Решая неравенство с помощью метода интервалов, имеем: ,
таким образом, на интервалах производная , кривая вогнута, а на интервале кривая выпукла.
Точки есть точки перегиба кривой.
Асимптоты
Определение 1. Асимптотой кривой называют прямую, к которой неограниченно приближается точка кривой при неограниченном удалении ее от начала координат. Различают вертикальные, наклонные и горизонтальные асимптоты.
Определение 2. Вертикальной асимптотой графика функции называют прямую , когда , или , или .
Определение 3. Наклонной асимптотой графика функции при называют прямую , если функцию можно изобразить в виде , где , когда ( ).
Если , то . Тогда – уравнение горизонтальной асимптоты.
Пример 1. Найти асимптоты графика функции .
Решение. Функция определена и непрерывна в интервалах и . Ось функция пересекает в точке . С осью точек пересечения нет. Найдем асимптоты графика функции:
1) , т.е. — вертикальная асимптота;
2) ,
,
итак,
– наклонная асимптота;
3) , таким образом, горизонтальной асимптоты нет.
Правило Лопиталя
Правило Лопиталя-Бернулли является эффективным средством нахождения пределов функции при раскрытии неопределенностей.
Раскрытие неопределенностей типа или .
Если функции и :
1) непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки , за исключением, возможно, самой точки , причем в этой окрестности;
2) функции и есть одновременно или бесконечно малыми, или бесконечно большими при ;
3) существует конечный предел , тогда:
.
Раскрытие неопределенностей типа: .
1) Неопределенность когда сводится к неопределенности или таким образом:
2) Неопределенность когда сводится к неопределенности или .
Так, например, преобразив разность функций и в виде , имеем неопределенность .
3) Неопределенности типа сводятся к виду с помощью логарифмирования функции вида или представляя функцию в виде .
Пример 1. Вычислить .
Решение. Если , то имеем неопределенность .
Прологарифмируем:
.
Если , то , а . Тогда:
.
Тогда .
Пример 2. Вычислить предел .
Решение. Проверим выполнение условий теоремы Лопиталя.
Пусть . Будем рассматривать полуинтервал , где
.
Находим производные: для любого , поэтому
Выполняются все три условия теоремы Лопиталя. Поэтому
infopedia.su
найти наибольшее и наименьшее значение функции на заданном отрезке
для того, чтобы найти точки экстремума функции, нужно найти нули ее производной. рассмотрев значения в них и на концах отрезка вы найдете все экстремальные значения — максимумы и минимумы. например y=x^4 => y’ = (x^4)’ = 4x^3 = 0 => x=0 x=-1,y=1; x=2, y=16; x=0, y=0. значит минимум функции на данном отрезке y=0 в точке x=0, а максимум y=2^4=16 в точке x=2
{x1,x2}: 1)dy/dx = 0 2)y(x1),y(x2) 3)max=max{1),2)} min=min{1),2)}
алгоритм: считаешь значения на концах промежутка у (х1) у (х2) берешь производную, приравниваешь к нулю ищешь точки, где производная меняет знак … из найденных точек выбираешь те, что входят в промежуток (если таковые есть) и считаешь значеия ф-ции в них у (х3) …у (х4) … выбираешь из всех найденных значений У минимальный и максимальный … ВСЁ!
touch.otvet.mail.ru