Формула x1 2 по алгебре: Частный случай нахождения корней квадратного уравнения — урок. Алгебра, 8 класс.

Общая формула корней квадратного уравнения.

Формула корней квадратного уравнения

Содержание

• Определение квадратного уравнения
• Дискриминант квадратного уравнения
• Формула корней квадратного уравнения
• Задачи
• Полезный материал
• Тест
• Самостоятельная работа

Определение квадратного уравнения.

Опр. 1. Квадратным уравнением называется уравнение вида ах 2 + b х + с = 0 , где х –переменная, а , b и с — некоторые числа, причем а  0 .

Числа а , b и с — коэффициенты квадратного уравнения. Число а называют первым коэффициентом, b – вторым коэффициентом и с – свободным членом.

Дискриминант квадратного уравнения

Опр. 2. Дискриминантом квадратного уравнения ах 2 + b х + с = 0 называется выражение b 2 – 4ac . Его обозначают буквой D , т.е. D= b 2 – 4ac .

Возможны три случая:

• D  0
• D  0
• D  0

Если D  0

В этом случае уравнение ах 2 + b х + с = 0 имеет два действительных корня:

Если D = 0

В этом случае уравнение

ах 2 + b х + с = 0

имеет один действительный корень:

Если D  0

Уравнение ах 2 + b х + с = 0 не имеет действительных корней.

Ответ:нет корней

Формула корней квадратного уравнения

Обобщив рассмотренные случаи получаем

формулу корней квадратного уравнения

ах 2 + b х + с = 0 .

К тесту

Задачи

• Решить уравнение 2x 2 — 5x + 2 = 0 .
• Решить уравнение 2x 2 — 3x + 5 = 0 .
• Решить уравнение x 2 — 2 x + 1 = 0 .

 0 , то уравнение имеет два корня. Найдем их по формуле то есть x 1  = 2 и x 2  =  0,5 — корни заданного уравнения. К задачам «

Решить уравнение 2x 2 — 5x + 2 = 0

Здесь a = 2, b = -5, c = 2 .

Имеем D = b 2 — 4ac = (-5) 2 — 4  2  2 = 9 .

Так как D  0 , то уравнение имеет два корня.

Найдем их по формуле

то есть x

1  = 2 и x 2  =  0,5 — корни заданного уравнения.

К задачам

2x 2 — 5x + 2 = 0 ; x 1  = 2 , x 2  =  0,5

Решить уравнение 2x 2 — 3x + 5 = 0

З десь a = 2, b = -3, c = 5 .

На йдем дискриминант D = b 2 — 4ac =

= (-3) 2 — 4·2·5 = -31 , т. к . D  , то уравнение не имеет д ействительных корней.   

К задачам

Решить уравнение

x 2 — 2 x + 1 = 0

З десь a =  1 , b = — 2 , c =  1 .

Получаем D = b 2 — 4ac =  (-2) 2 — 4 · 1 · 1= 0, поскольку D=0

Получили один корень х = 1.

К задачам

Полезный материал

• Определение квадратного уравнения
• Определение приведенного квадратного уравнения
• Определение дискриминанта
• Формула корней квадратного уравнения
• Коэффициенты квадратного уравнения

Определение приведенного квадратного уравнения

Опр.

3. Приведенным квадратным уравнением называется квадратное уравнение, первый коэффициент которого равен 1.

х 2 + b х + с = 0

Тест

1. Вычислите дискриминант уравнения х 2 -5х-6=0.

-6

-5

1

0

49

25

Следующий вопрос

2. Сколько корней имеет уравнение, если D 0 ?

Корней не имеет

Один корень

Три корня

Два корня

Следующий вопрос

3. Выберите корни уравнения 2у 2 -9у+10=0 .

у 1 =2; у 2 =-2,5

у 1 =2; у 2 =2,5

у

1 =-2; у 2 =-2,5

Корней не имеет

Самостоятельная работа

Вариант 1.

№ 1. Решите уравнения:

а) х 2 +7х-44=0 ;

б) 9у 2 +6у+1=0 ;

в) –2 t 2 +8t+2=0;

г) а+3а 2 = -11.

№ 2. При каких

значениях х равны значения многочленов:

( 2-х )( 2х+1 ) и ( х-2 )( х+2 )?

Вариант 2.

№ 1. Решите уравнения:

а) х 2 -10х-39=0 ;

б) 4у 2 -4у+1=0 ;

в) –3 t 2 -12 t+ 6 =0;

г) 4а 2 +5= а.

№ 2. При каких

значениях

х равны значения многочленов:

( 1-3х )( х+1 ) и ( х-1 )( х+1 )?

• Молодцы!

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике — Алгебра

Справочник по математике

Алгебра

Квадратный трехчлен и квадратные уравнения

Решение неполных квадратных уравнений

Выделение полного квадрата

Дискриминант

Разложение квадратного трехчлена на множители

Формула для корней квадратного уравнения

Прямая и обратная теоремы Виета

      Квадратным трёхчленом относительно переменной   x   называют многочлен

ax2 + bx + c ,

(1)

где a, b и c – произвольные вещественные числа, причем

      Квадратным уравнением относительно переменной   x   называют уравнение

ax2 + bx + c = 0,

(2)

где a, b и c – произвольные вещественные числа, причем

      Полным квадратным уравнением относительно переменной   x   называют уравнение

ax² + bx + c = 0,

где a, b и c – произвольные вещественные числа, отличные от нуля.

      Неполными квадратными уравнениями называют квадратные уравнения следующих типов:

Решение неполных квадратных уравнений

      Покажем, как решаются неполные квадратные уравнения на примерах.

      Пример 1. Решить уравнение

5x² = 0 .

      Решение.

      Ответ: 0 .

      Пример 2. Решить уравнение

2x2 + 3x= 0 .

(3)

      Решение. Вынося в левой части уравнения (3) переменную   x   за скобки, перепишем уравнение в виде

x (2x+ 3) = 0 .

(4)

      Поскольку произведение двух сомножителей равно нулю тогда и только тогда, когда, или первый сомножитель равен нулю, или второй сомножитель равен нулю, то из уравнения (4) получаем:

      Ответ: .

      Пример 3. Решить уравнение

2x² – 5 = 0 .

      Решение.

      Ответ: .

      Пример 4. Решить уравнение

3x2 + 11 = 0 .

(5)

      Решение. Поскольку левая часть уравнения (5) положительна при всех значениях переменной   x, а правая часть равна 0, то уравнение  решений не имеет.

      Ответ: .

Выделение полного квадрата

      Выделением полного квадрата называют представление квадратного трёхчлена (1) в виде:

(6)

      Для того, чтобы получить формулу (6), совершим следующие преобразования:

      Формула (6) получена.

Дискриминант

      Дискриминантом квадратного трёхчлена (1) называют число, которое обозначается буквой   D   и вычисляется по формуле:

D = b2 – 4ac.

(7)

      Дискриминант квадратного трёхчлена играет важную роль, и от того, какой знак он имеет, зависят различные свойства квадратного трёхчлена.

      Используя дискриминант, формулу (6) можно переписать в виде

(8)

Разложение квадратного трёхчлена на множители

      Утверждение. В случае, когда , квадратный трёхчлен (1) разлагается на линейные множители. В случае, когда   D < 0, квадратный трехчлен нельзя разложить на линейные множители.

      Доказательство. В случае, когда   D = 0, формула (8) и является разложением квадратного трехчлена на линейные множители:

(9)

      В случае, когда   D > 0, выражение, стоящее в квадратных скобках в формуле (8), можно разложить на множители, воспользовавшись формулой сокращенного умножения «Разность квадратов»:

      Таким образом, в случае, когда   D > 0, разложение квадратного трехчлена (1) на линейные множители имеет вид

(10)

      В случае, когда  D < 0, выражение, стоящее в квадратных скобках в формуле (8), является суммой квадратов и квадратный трёхчлен на множители не раскладывается.

      Замечание. В случае, когда  D < 0, квадратный трехчлен всё-таки можно разложить на линейные множители, но только в области комплексных чисел, однако этот материал выходит за рамки школьного курса.

Формула для корней квадратного уравнения

      Из формул (9) и (10) вытекает формула для корней квадратного уравнения .

      Действительно, в случае, когда   D = 0, из формулы (9) получаем:

      Следовательно, в случае, когда   D = 0, уравнение (1) обладает единственным корнем, который вычисляется по формуле

(11)

      В случае, когда   D > 0, из формулы (10) получаем:

      Таким образом, в случае, когда   D > 0, уравнение (1) имеет два различных корня, которые вычисляются по формулам

	(12)
	(13)

      Замечание 1. Формулы (12) и (13) часто объединяют в одну формулу и записывают так:

(14)

      Замечание 2. В случае, когда   D = 0, обе формулы (12) и (13) превращаются в формулу (11). Поэтому часто говорят, что в случае, когда   D = 0, квадратное уравнение (1) имеет два совпавших корня, вычисляемых по формуле (11), а саму формулу (11) переписывают в виде:

(15)

      Замечание 3. В соответствии с материалом, изложенным в разделе «Кратные корни многочленов», корень (11) является корнем уравнения (1) кратности 2.

      В случае, когда   D = 0, разложение квадратного трехчлена на линейные множители (9) можно переписать по-другому, воспользовавшись формулой (15):

ax2 + bx + c = = a (x – x1)2.

(16)

      В случае, когда   D > 0, разложение квадратного трехчлена на линейные множители (10) с помощью формул (12) и (13) переписывается так:

ax2 + bx + c = = a (x – x1) (x – x2) .

(17)

      Замечание 4. В случае, когда   D = 0, корни   x₁ и   x₂ совпадают, и формула (17) принимает вид (16).

Прямая и обратная теоремы Виета

      Раскрывая скобки и приводя подобные члены в правой части формулы (17), получаем равенство

ax² + bx + c =
= a (x – x₁) (x – x₂) =
= a [x² – (x₁ + x₂) x + x₁x₂] =
= ax² – a(x₁ + x₂) x + ax₁x₂ .

      Отсюда, поскольку формула (17) является тождеством, вытекает, что коэффициенты многочлена

ax² + bx + c

равны соответствующим коэффициентам многочлена

ax² – a (x₁ + x₂) x + a x₁x₂ .

      Таким образом, справедливы равенства

следствием которых являются формулы

(18)

      Формулы (18) и составляют содержание теоремы Виета (прямой теоремы Виета).

      Словами прямая теорема Виета формулируется так: — «Если числа   x₁ и   x₂ являются корнями квадратного уравнения (1), то они удовлетворяют равенствам (18)».

      Обратная теорема Виета формулируется так: — «Если числа   x₁ и   x₂ являются решениями системы уравнений (18), то они являются корнями квадратного уравнения (1)».

      Для желающих ознакомиться с примерами решений различных задач по теме «Квадратные уравнения» мы рекомендуем наше учебное пособие «Квадратный трехчлен».

      Графики парабол и решение с их помощью квадратных неравенств представлены в разделе «Парабола на координатной плоскости. Решение квадратных неравенств» нашего справочника.

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

Квадратные уравнения – формулы, методы и примеры

Квадратные уравнения представляют собой алгебраические выражения второй степени и имеют форму ax ² + bx + c = 0. Термин «квадратичное» происходит от латинского слова «quadratus», означающего квадрат, который относится к тому факту, что переменная x в уравнении возведена в квадрат. Другими словами, квадратное уравнение — это «уравнение второй степени». Существует множество сценариев, в которых используется квадратное уравнение. Знаете ли вы, что когда ракета запускается, ее траектория описывается квадратным уравнением? Кроме того, квадратное уравнение имеет множество приложений в физике, технике, астрономии и т. д.

Квадратные уравнения имеют максимум два решения, которые могут быть действительными или комплексными числами.

Эти два решения (значения x) также называются корнями квадратных уравнений и обозначаются как (α, β). Мы узнаем больше о корнях квадратного уравнения в нижеследующем содержании.

1.	Что такое квадратное уравнение?
2.	Корни квадратного уравнения
3.	Квадратичная формула
4.	Природа корней квадратного уравнения
5.	Формулы, относящиеся к квадратным уравнениям
6.	Методы решения квадратных уравнений
7.	Решение квадратных уравнений методом факторизации
8.	Способ заполнения квадрата
9.	График квадратного уравнения
10.	Квадратные уравнения, имеющие общие корни
11.	Максимальное и минимальное значение квадратного выражения
12.	Часто задаваемые вопросы о квадратных уравнениях

Что такое квадратное уравнение?

Квадратное уравнение — это алгебраическое уравнение второй степени относительно x. Квадратное уравнение в стандартной форме имеет вид ax ² + bx + c = 0, где a и b — коэффициенты, x — переменная, а c — постоянный член. Важным условием того, чтобы уравнение было квадратным, является то, что коэффициент при x ² является ненулевым членом (a ≠ 0). Для записи квадратного уравнения в стандартной форме сначала записывается член x ² , затем член x и, наконец, записывается постоянный член.

Далее, в реальных математических задачах квадратные уравнения представляются в разных формах: (x — 1)(x + 2) = 0, -x

2 = -3x + 1, 5x(x + 3) = 12х, х ³ = х(х ² + х — 3). Все эти уравнения необходимо преобразовать в стандартную форму квадратного уравнения перед выполнением дальнейших операций.

Корни квадратного уравнения

Корни квадратного уравнения — это два значения x, которые получаются путем решения квадратного уравнения. Эти корни квадратного уравнения также называют нулями уравнения. Например, корни уравнения x ² — 3x — 4 = 0 равны x = -1 и x = 4, поскольку каждое из них удовлетворяет уравнению. т. е.

• При x = -1, (-1) ² — 3(-1) — 4 = 1 + 3 — 4 = 0
• При x = 4, (4) ² — 3(4) — 4 = 16 — 12 — 4 = 0

Существуют различные методы нахождения корней квадратного уравнения. Использование квадратичной формулы является одним из них.

Квадратичная формула

Квадратная формула — самый простой способ найти корни квадратного уравнения. Есть некоторые квадратные уравнения, которые нелегко разложить на множители, и здесь мы можем удобно использовать эту квадратную формулу, чтобы найти корни самым быстрым способом. Два корня в квадратной формуле представлены как одно выражение. Положительный знак и отрицательный знак могут быть альтернативно использованы для получения двух различных корней уравнения.

Квадратная формула: Корни квадратного уравнения ax ² + bx + c = 0 равны x = [-b ± √(b ² — 4ac)]/2a.

Эта формула также известна как формула Шридхарачарьи.

Пример: Найдем корни того же уравнения, которое упоминалось в предыдущем разделе x ² — 3x — 4 = 0, используя квадратичную формулу.

а = 1, б = -3 и с = -4.

х = [-b ± √(b ² — 4ас)]/2а
= [-(-3) ± √((-3) ² — 4(1)(-4))]/2(1)
= [3 ± √25] / 2
= [3 ± 5] / 2
= (3 + 5)/2 или (3 — 5)/2 90 157 = 8/2 или -2/2 90 157 = 4 или -1 являются корнями.

Доказательство квадратной формулы

Рассмотрим произвольное квадратное уравнение: ax ² + bx + c = 0, a ≠ 0

Для определения корней этого уравнения поступим следующим образом:

ax ^{2 9000 4 + bx = -c ⇒ x 2 + bx/a = -c/a}

Теперь представим левую часть в виде полного квадрата, введя новый член (b/2a) ² с обеих сторон:

x ² + bx/a + (b/2a) ² = -c/a + (b/2a) ²

Левая часть теперь представляет собой полный квадрат:

(x + b/2a) ² = -c/a + b ² /4a ² ⇒ (x + b/2a) ² = (b ² — 4ac)/4a ²

Это хорошо для нас, потому что теперь мы можем извлекать квадратные корни, чтобы получить:

x + b/2a = ±√(b ² — 4ac)/2a

x = (-b ± √(b ² — 4ac))/2a

Таким образом, заполнив квадраты, мы удалось выделить x и получить два корня уравнения.

Природа корней квадратного уравнения

Корни квадратного уравнения обычно представляются символами альфа (α) и бета (β). Здесь мы узнаем больше о том, как найти природу корней квадратного уравнения без фактического нахождения корней уравнения.

Природа корней квадратного уравнения может быть найдена без фактического нахождения корней (α, β) уравнения. Это возможно, взяв значение дискриминанта, которое является частью формулы для решения квадратного уравнения. Величина b ² — 4ac называется дискриминантом квадратного уравнения и обозначается буквой ‘D’. На основе значения дискриминанта можно предсказать характер корней квадратного уравнения.

Дискриминант: D = b

² — 4ac

• D > 0, корни вещественные и различные
• D = 0, корни вещественные и равные.
• D < 0, корни не существуют или корни мнимые.

Теперь проверьте формулы, чтобы найти сумму и произведение корней уравнения.

Сумма и произведение корней квадратного уравнения

Коэффициент при x ² , член x и постоянный член квадратного уравнения ax ^{2 + bx + c = 0 полезны при определении суммы и произведения корней квадратного уравнения. Сумма и произведение корней квадратного уравнения могут быть вычислены непосредственно из уравнения, без фактического нахождения корней квадратного уравнения. Для квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0 сумма и произведение корней следующие.}

• Сумма корней: α + β = -b/a = — Коэффициент x/ Коэффициент x ²
• Произведение корней: αβ = c/a = постоянный член/ коэффициент x ²

Написание квадратных уравнений с использованием корней

Квадратное уравнение также может быть составлено для заданных корней уравнения. Если α, β являются корнями квадратного уравнения, то квадратное уравнение выглядит следующим образом.

x ² — (α + β)x + αβ = 0

Пример: Какое квадратное уравнение имеет корни 4 и -1?

Решение: Дано, что α = 4 и β = -1. Соответствующее квадратное уравнение находится по формуле:

x ² — (α + β)x + αβ = 0
х ² — (α + β)x + αβ = 0
х ² — (4 — 1)х + (4)(-1) = 0
х ² — 3х — 4 = 0

Формулы, относящиеся к квадратным уравнениям

Следующий список важных формул полезен для решения квадратных уравнений.

• Квадратное уравнение в стандартной форме: ax ² + bx + c = 0
• Дискриминант квадратного уравнения равен D = b ² — 4ac
  • При D > 0 корни вещественны и различны.
  • При D = 0 корни вещественные и равные.
  • При D < 0 действительные корни не существуют или корни мнимые.
• Формула для нахождения корней квадратного уравнения: x = [-b ± √(b ² — 4ас)]/2а.
• Сумма корней квадратного уравнения равна α + β = -b/a.
• Произведение корня квадратного уравнения равно αβ = c/a.
• Квадратное уравнение, корни которого равны α, β, равно x ² — (α + β)x + αβ = 0,
• Условие для квадратных уравнений х + с ₂ = 0 с одинаковыми корнями (a ₁ b ₂ — a ₂ b ₁ ) (b ₁ c ₂ — b _{2 903 39 с 1 ) = (а 2 с 1 — а 1 с 2 ) ² .}
• Когда a > 0, квадратное выражение f(x) = ax ² + bx + c имеет минимальное значение при x = -b/2a.
• Когда a < 0, квадратное выражение f(x) = ax ² + bx + c имеет максимальное значение при x = -b/2a.
• Область определения любой квадратичной функции — это множество всех действительных чисел.

Методы решения квадратных уравнений

Можно решить квадратное уравнение, чтобы получить два значения x или два корня уравнения. Существует четыре различных метода нахождения корней квадратного уравнения. Четыре метода решения квадратных уравнений заключаются в следующем.

• Факторизация квадратного уравнения
• Используя квадратичную формулу (которую мы уже видели)
• Метод завершения квадрата
• Графический метод поиска корней

Давайте подробно рассмотрим каждый из вышеперечисленных методов, чтобы понять, как использовать эти методы, их приложения и способы их использования.

Решение квадратных уравнений методом факторизации

Факторизация квадратного уравнения выполняется в несколько этапов. Для общей формы квадратного уравнения ax ² + bx + c = 0 нам нужно сначала разделить средний член на два члена, чтобы произведение членов было равно постоянному члену. Далее мы можем взять общие слагаемые из имеющегося слагаемого, чтобы окончательно получить искомые множители следующим образом:

• x ² + (a + b)x + ab = 0
• x ² + топор + bx + ab = 0
• х(х + а) + Ь(х + а)
• (х + а) (х + б) = 0

Вот пример для понимания процесса факторизации.

• х ² + 5х + 6 = 0
• х ² + 2х + 3х + 6 = 0
• х(х + 2) + 3(х + 2) = 0
• (х + 2) (х + 3) = 0

Таким образом, два полученных множителя квадратного уравнения равны (x + 2) и (x + 3). Чтобы найти его корни, просто установите каждый множитель равным нулю и найдите x. т. е. x + 2 = 0 и x + 3 = 0, что дает x = -2 и x = -3. Таким образом, x = -2 и x = -3 являются корнями x ² + 5x + 6 = 0.

Далее есть еще один важный метод решения квадратного уравнения. Метод заполнения квадрата квадратного уравнения также полезен для нахождения корней уравнения.

Метод завершения квадрата

Метод завершения квадратного уравнения заключается в алгебраическом возведении в квадрат и упрощении для получения требуемых корней уравнения. Рассмотрим квадратное уравнение ax ² + bx + c = 0, a ≠ 0. Чтобы определить корни этого уравнения, упростим его следующим образом:

• топор ² + Ьх + с = 0
• топор ² + Ьх = -с
• x ² + bx/a = -c/a

Теперь представим левую часть в виде полного квадрата, введя новый член (b/2a) ² с обеих сторон:

• x ² + bx/a + (b/2a) ² = -к/а + (б/2а) ²
• (х + b/2а) ² = -с/а + b ² /4а ²
• (х + б/2а) ² = (б ² — 4ас)/4а ²
• х + b/2а = + √(b ² — 4ас)/2а
• х = — б/2а + √(б ² — 4ас)/2а
• х = [-b ± √(b ² — 4ac)]/2a

Здесь знак «+» соответствует одному корню, а знак «-» соответствует другому корню квадратного уравнения. Как правило, этого подробного метода избегают, и для получения требуемых корней используется только квадратичная формула.

График квадратного уравнения

График квадратного уравнения ax ² + bx + c = 0 можно получить, представив квадратное уравнение в виде функции y = ax ² + bx + c. Далее, решая и подставляя значения для x, мы можем получить значения y, мы можем получить множество точек. Эти точки можно представить на оси координат, чтобы получить график в форме параболы для квадратного уравнения. Для получения подробной информации о построении графика квадратичной функции нажмите здесь.

Точки, в которых график пересекает горизонтальную ось х (обычно точки пересечения х), являются решением квадратного уравнения. Эти точки также можно получить алгебраически, приравняв значение y к 0 в функции y = ax ² + bx + c и найдя x.

Квадратные уравнения, имеющие общие корни

Рассмотрим два квадратных уравнения с общими корнями a ₁ x ² + b ₁ x + c ₁ = 0 и a ₂ x ² + b ₂ x + c ₂ = 0. Решим эти два уравнения, чтобы найти условия, при которых эти уравнения имеют общий корень. Два уравнения решаются относительно x ² и x соответственно.

(x ² )(b ₁ c ₂ — b ₂ c ₁ ) = (-x)/(a ₁ c 9033 8 2 — а ₂ в ₁ ) = 1/(а ₁ б ₂ — а ₂ б ₁ )

x ² = (б ₁ в ₂ — б ₂ в ₁ ) / (а _{1 903 39 б 2 — а 2 б 1 )}

х = (а ₂ в ₁ — а ₁ в ₂ ) / (а ₁ б ₂ — а _{2 9 0339 b 1 )}

Отсюда, упрощая выше двух выражений мы имеем следующее условие для двух уравнений, имеющих общий корень.

( ₁ б ₂ — а ₂ б ₁ ) (б ₁ в ₂ — б ₂ в _{1 9033 9 ) = (а 2 в 1 — а 1 с 2 ) ²}

Максимальное и минимальное значение квадратного выражения

Максимальное и минимальное значения квадратичной функции F(x) = ax ² + bx + c можно увидеть на графиках ниже. При положительных значениях a (a > 0) квадратное выражение имеет минимальное значение при x = -b/2a, а при отрицательном значении a (a < 0) квадратное выражение имеет максимальное значение при x = -b /2а. x = -b/2a — координата x вершины параболы.

Максимальное и минимальное значения квадратного выражения помогают найти диапазон квадратного выражения: Диапазон квадратного выражения также зависит от значения a. Для положительных значений a(a > 0) диапазон составляет [ F(-b/2a), ∞), а для отрицательных значений a ( a < 0) диапазон составляет (-∞, F(-b/ 2а)].

Для a < 0, диапазон: (-∞, f(-b/2a)]

Обратите внимание, что областью определения квадратичной функции является множество всех действительных чисел, т. е. (-∞, ∞).

Советы и рекомендации по квадратным уравнениям:

Некоторые из приведенных ниже советов и рекомендаций по квадратным уравнениям помогают упростить решение квадратных уравнений.

• Квадратные уравнения обычно решаются с помощью факторизации. Но в случаях, когда она не может быть решена факторизацией, используется квадратичная формула.
• Корни квадратного уравнения также называют нулями уравнения.
• Для квадратных уравнений с отрицательными значениями дискриминанта корни представлены комплексными числами.
• Сумму и произведение корней квадратного уравнения можно использовать для нахождения высших алгебраических выражений, включающих эти корни.

☛Похожие темы:

• Калькулятор корней
• Калькулятор квадратичного факторинга
• Калькулятор корней квадратного уравнения

Cuemath — одна из ведущих в мире платформ для обучения математике, которая предлагает онлайн-уроки по математике в режиме реального времени один на один для классов K-12. Наша миссия — изменить то, как дети изучают математику, чтобы помочь им преуспеть в школе и на конкурсных экзаменах. Наши опытные преподаватели проводят 2 или более живых занятий в неделю в темпе, соответствующем потребностям ребенка в обучении.

 

Примеры квадратных уравнений

1. Пример 1: Джеймс занимается фитнесом и каждое утро ходит на пробежку. Парк, в котором он бегает, имеет прямоугольную форму и имеет размеры 12 х 8 м. Группа защитников окружающей среды планирует обновить парк и решает построить дорожку вокруг парка. Это позволит увеличить общую площадь до 140 кв.м. Какова будет ширина дорожки?

   Решение:

   Обозначим ширину пути через x.

   Тогда длина и ширина внешнего прямоугольника равны (12+2x) м и (8+2x) м.

   Учитывая, что площадь = 140

   (12 + 2x)(8 + 2x) = 140

   2(6 + x) 2(4 + x) = 140

   (6 + x)(4 + x) = 35

   24 + 6x + 4x + x ² = 35

   x ² + 10x -11 = 0

   x ² + 11x — x — 1 1 = 0

   х(х + 11) — 1(х + 11) = 0

   (х + 11)(х — 1) = 0

   (х + 11) = 0 и (х — 1) = 0

   х = -11 и х = 1

   Поскольку длина не может быть отрицательной, примем x = 1.

   Ответ: Следовательно, ширина дорожки равна 1 м.

2. Пример 2: Рита бросает мяч вверх с платформы, находящейся на высоте 20 м над землей. Высота мяча над землей в момент времени «t» обозначается буквой «h». Предположим, что h = -4t ² + 16t + 20. Найдите максимальную высоту, на которую поднялся мяч.

   Решение:

   Мы можем переставить члены квадратного уравнения

   h = -4t ² + 16t + 20

   таким образом, чтобы максимальное значение этого уравнения было легко найти.

   h = -4t ² + 16t + 20

   = -4t ² + 16t + 20

   = -4(t ² — 4t — 5) 900 05

   = -4((т — 2 ) ² — 9)

   = -4(t — 2) ² + 36

   Мы должны сохранить значение (t — 2) ² минимальным, чтобы найти максимальное значение h.

   Итак, минимальное значение (t — 2) ² может принять 0.

   Ответ: Следовательно, максимальная достигнутая высота составляет 36 метров.

3. Пример 3: Найдите квадратное уравнение, имеющее корни 5 и 8 соответственно.

   Решение:

   Квадратное уравнение, имеющее корни α, β, x ² — (α + β) x + αβ = 0.

   , данный α = 5 и β = 8.

   Следовательно квадратное уравнение:

   x ² — (5 + 8)x + 5×8 = 0

   x ² — 13x + 40 = 0

   Ответ: Следовательно, искомое квадратное уравнение равно x ² — 13x + 40 = 0

4. Пример 4: Квадратное уравнение 2x ² + 9x + 7 = 0 имеет корни α, β. Найдите квадратное уравнение, имеющее корни 1/α и 1/β.

   Решение:

   Метод 1:

   Квадратное уравнение, корни которого обратны корням уравнения ось ² + bx + c = 0, is cx ² + bx + a = 0,

   Данное квадратное уравнение имеет вид 2x ² + 9x + 7 = 0,

   Следовательно, искомое уравнение, имеющее обратные корни, имеет вид 7x ² + 9x + 2 = 0.

   Метод 2: Из данного уравнения

   α + β = -9/2 и α β = 2/7.

   Корни нового уравнения должны быть 1/α и 1/β.

   Их сумма = 1/α + 1/β = (α + β) / α β = -9/7
   Их произведение = 1/α β = 2/7
   Таким образом, искомое уравнение:
   х ² — (1/α + 1/β)x + 1/α β = 0
   х ² — (-9/7)х + 2/7 = 0
   Умножение обеих сторон на 7,
   7x ² + 9x + 2 = 0

   Ответ: Следовательно, уравнение 7x ² + 9x + 2 = 0,

перейти к слайдуперейти к слайдуперейти к слайдуперейти к слайду

Разбивайте сложные концепции с помощью простых визуальных средств.

Математика больше не будет сложным предметом, особенно когда вы понимаете концепции с помощью визуализаций.

Записаться на бесплатный пробный урок

Практические вопросы по квадратному уравнению

 

перейти к слайдуперейти к слайду

Часто задаваемые вопросы о квадратном уравнении

Что такое определение квадратного уравнения?

квадратное уравнение в математике представляет собой уравнение второй степени вида ax ² + bx + c = 0. Здесь a и b — коэффициенты, c — постоянный член, а x — переменная. Поскольку переменная x имеет вторую степень, у этого квадратного уравнения есть два корня или ответа. Корни квадратного уравнения можно найти либо путем факторизации, либо с помощью квадратной формулы.

Что такое квадратичная формула?

Формула квадратного уравнения для решения уравнения ax ² + bx + c = 0: x = [-b ± √(b ² — 4ac)]/2a. Здесь мы получаем два значения x, применяя символы плюс и минус в этой формуле. Отсюда два возможных значения x: [-b + √(b ² — 4ac)]/2a и [-b — √(b ² — 4ac)]/2a.

Как решить квадратное уравнение?

Существует несколько методов решения квадратных уравнений, но наиболее распространенными являются факторизация, использование квадратной формулы и завершение квадрата.

• Факторинг включает в себя нахождение двух чисел, которые при умножении равны постоянному члену c и в сумме дают коэффициент при x, b.
• Квадратичная формула используется, когда факторизация невозможна, и определяется как x = [-b ± √(b ² — 4ac)]/2a.
• Чтобы составить квадрат, нужно переписать квадратное уравнение в другой форме, которая позволяет легко найти x.

Что такое определитель в квадратной формуле?

Значение b ² — 4ac называется дискриминантом и обозначается как D. Дискриминант является частью квадратичной формулы. Дискриминанты помогают нам найти природу корней квадратного уравнения, фактически не находя корней квадратного уравнения.

Каковы некоторые реальные приложения квадратных уравнений?

Квадратные уравнения используются для нахождения нулей параболы и ее оси симметрии. Есть много реальных приложений квадратных уравнений.

• Их можно использовать в задачах на время бега для оценки скорости, расстояния или времени во время путешествия на машине, поезде или самолете.
• Квадратные уравнения описывают взаимосвязь между количеством и ценой товара.
• Точно так же расчеты спроса и затрат также считаются задачами с квадратными уравнениями.
• Также можно отметить, что форма спутниковой антенны или телескопа-рефлектора определяется квадратным уравнением.

Чем квадратные уравнения отличаются от линейных уравнений?

Линейная степень — это уравнение одной степени и одной переменной, а квадратное уравнение — это уравнение двух степеней и одной переменной. Линейное уравнение имеет форму ax + b = 0, а квадратное уравнение имеет форму ax ² + bx + c = 0. Линейное уравнение имеет один корень, а квадратное уравнение имеет два корня или два ответа. Кроме того, квадратное уравнение является произведением двух линейных уравнений.

Каковы 4 способа решения квадратного уравнения?

Ниже приведены четыре способа решения квадратного уравнения.

• Метод факторизации
• Метод вычисления корней квадратного уравнения
• Способ заполнения квадратов
• Графический метод

Как решить квадратное уравнение, составив квадрат?

Квадратное уравнение решается методом завершения квадрата по формуле (a + b)^2 = a 92 = а ² — 2аб + б ² .

Как найти значение дискриминанта?

Значение дискриминанта в квадратном уравнении можно найти из переменных и постоянных членов стандартной формы квадратного уравнения ax ² + bx + c = 0. Значение дискриминанта D = b ² — 4ac, и это помогает предсказать природу корней квадратного уравнения, фактически не находя корней уравнения.

Как решать квадратные уравнения с помощью графиков?

Квадратное уравнение можно решить аналогично линейному равенству с помощью графика. Возьмем квадратное уравнение ax ² + bx + c = 0, поскольку y = ax ² + bx + c. Здесь мы берем набор значений x и y и строим график. Две точки, где этот график встречается с осью x, являются решениями этого квадратного уравнения.

Насколько важен дискриминант квадратного уравнения?

Дискриминант очень нужен, чтобы легко найти природу корней квадратного уравнения. Без дискриминанта нахождение природы корней уравнения — долгий процесс, так как сначала нужно решить уравнение, чтобы найти оба корня. Следовательно, дискриминант является важной и необходимой величиной, которая помогает легко найти природу корней квадратного уравнения.

Где найти программу решения квадратных уравнений?

Чтобы получить программу решения квадратных уравнений, щелкните здесь. Здесь мы можем ввести значения a, b и c для квадратного уравнения ax ² + bx + c = 0, тогда оно даст вам корни вместе с пошаговой процедурой.

Какая польза от дискриминантов в квадратичной формуле?

Дискриминант (D = b ² — 4ac) полезен для предсказания природы корней квадратного уравнения. При D > 0 корни действительны и различны, при D = 0 корни действительны и равны, а при D < 0 корни не существуют или являются мнимыми комплексными числами. С помощью этого дискриминанта и с наименьшими вычислениями мы можем найти природу корней квадратного уравнения.

Как решить квадратное уравнение, не используя квадратную формулу?

Существует два альтернативных метода квадратичной формулы. Один метод заключается в решении квадратного уравнения с помощью факторизации, а другой метод заключается в завершении квадратов. Всего существует три метода нахождения корней квадратного уравнения.

Как вывести квадратную формулу?

Алгебраическая формула (a + b) ² = a ² + 2ab + b ² используется для решения квадратного уравнения и вывода квадратной формулы. Эта алгебраическая формула используется для управления квадратным уравнением и получения квадратной формулы для нахождения корней уравнения.

Алгебра: Формула расстояний

• Главная

• Узнать

• Алгебра

• Что такое алгебра
• Алгебра в повседневной жизни
• Основные алгебраические термины
• Методы решения по алгебре
• Линейные, нелинейные уравнения
• Алгебра Формулы
• Коммутативные Ассоциативные законы
• Формула расстояния
• Метод фольги
• Формула средней точки
• Скобки Правила
• Квадратичное уравнение
• Квадратичная формула
• Полиномиальные операции
• Полиномиальное сложение
• Полиномиальное вычитание
• Полиномиальное умножение
• Многочлен длинного деления
• Графики полиномиальных функций

Формула расстояния

, как следует из ее названия, используется для измерения кратчайшего (прямолинейного) расстояния между двумя точками.

No related posts.