Формулы геометрической прогрессии: Геометрическая прогрессия — урок. Алгебра, 9 класс.

{2}=b_{1} \cdot b_{3}=16 \cdot 4=64 \)

откуда получаем, что искомый член геометрической прогрессии

\(\ b_{2}=8 \)

Ответ

\(\ b_{2}=8 \)

Физика

166

Реклама и PR

Педагогика

Психология

Социология

Астрономия

Биология

Культурология

Экология

Право и юриспруденция

Политология

Экономика

Финансы

История

Философия

Информатика

Право

Информационные технологии

Экономическая теория

Менеджент

719

Математика

338

Химия

Микро- и макроэкономика

Медицина

Государственное и муниципальное управление

География

542

Информационная безопасность

Аудит

Безопасность жизнедеятельности

Архитектура и строительство

Банковское дело

Рынок ценных бумаг

Менеджмент организации

Маркетинг

238

Кредит

Инвестиции

Журналистика

Конфликтология

Этика

Формулы дифференцирования Формулы арифметической прогрессии Коэффициент подобия треугольников Признаки равенства треугольников Катет прямоугольного треугольника

Узнать цену работы

Узнай цену

своей работы

Имя

Выбрать тип работыЧасть дипломаДипломнаяКурсоваяКонтрольнаяРешение задачРефератНаучно — исследовательскаяОтчет по практикеОтветы на билетыТест/экзамен onlineМонографияЭссеДокладКомпьютерный набор текстаКомпьютерный чертежРецензияПереводРепетиторБизнес-планКонспектыПроверка качестваЭкзамен на сайтеАспирантский рефератМагистерскаяНаучная статьяНаучный трудТехническая редакция текстаЧертеж от рукиДиаграммы, таблицыПрезентация к защитеТезисный планРечь к дипломуДоработка заказа клиентаОтзыв на дипломПубликация в ВАКПубликация в ScopusДиплом MBAПовышение оригинальностиКопирайтингДругое

Принимаю Политику конфиденциальности

Подпишись на рассылку, чтобы не пропустить информацию об акциях

Содержание

Алгебра: Арифметическая и геометрическая прогрессии

Арифметическая и геометрическая прогрессии

Теоретические сведения

Теоретические сведения

Определение	Арифметической прогрессией a_n называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом d (d — разность прогрессий)	Геометрической прогрессией b_n называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и тоже число q (q — знаменатель прогрессии)
Рекуррентная формула	Для любого натурального n a_{n + 1} = a_n + d	Для любого натурального n b_{n + 1} = b_n ∙ q, b_n ≠ 0
Формула n-ого члена	a_n = a₁ + d ( n – 1)	b_n = b₁ ∙ q^{n — 1}, b_n ≠ 0
Характеристическое свойство
Сумма n-первых членов

Примеры заданий с комментариями

Задание 1

В арифметической прогрессии (a_n ) a₁ = -6, a₂ = -8. Найдите двадцать второй член прогрессии.

Решение

По формуле n-ого члена:

a₂₂ = a₁ + d (22 — 1) = a₁ + 21 d

По условию:

a₁ = -6, значит a₂₂ = -6 + 21 d.

Необходимо найти разность прогрессий:

d = a₂ – a₁ = -8 – (-6) = -2

a₂₂ = -6 + 21 ∙ (-2) = — 48.

Ответ: a

22 = -48.

Задание 2

Найдите пятый член геометрической прогрессии: -3; 6;….

Решение

1-й способ (с помощью формулы n -члена)

По формуле n-ого члена геометрической прогрессии:

b₅ = b₁ ∙ q^{5 — 1} = b₁ ∙ q⁴ .

Так как b₁ = -3,

2-й способ (с помощью рекуррентной формулы)

Так как знаменатель прогрессии равен -2 (q = -2), то:

b₃ = 6 ∙ (-2) = -12;

b₄ = -12 ∙ (-2) = 24;

b₅ = 24 ∙ (-2) = -48.

Ответ: b₅ = -48.

Задание 3

В арифметической прогрессии (a_n ) a₇₄ = 34; a₇₆ = 156. Найдите семьдесят пятый член этой прогрессии.

Решение

Для арифметической прогрессии характеристическое свойство имеет вид .

Из этого следует:

Подставим данные в формулу:

Ответ: 95.

Задание 4

В арифметической прогрессии (a_n ) a_n = 3n — 4. Найдите сумму семнадцати первых членов.

Решение

Для нахождения суммы n-первых членов арифметической прогрессии используют две формулы:

Какую из них в данном случае удобнее применять?

По условию известна формула n-ого члена исходной прогрессии (a_n ) a_n = 3n — 4. Можно найти сразу и a₁ , и a₁₆ без нахождения d. Поэтому воспользуемся первой формулой.

Ответ: 368.

Задание 5

В арифметической прогрессии(a_n ) a₁ = -6; a₂ = -8. Найдите двадцать второй член прогрессии.

Решение

По формуле n-ого члена:

a₂₂ = a₁ + d (22 – 1) = a₁ + 21d.

По условию, если a₁ = -6, то a₂₂ = -6 + 21d. Необходимо найти разность прогрессий:

d = a₂ – a₁ = -8 – (-6) = -2

a₂₂ = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.

Ответ: a₂₂ = -48.

Задание 6

Записаны несколько последовательных членов геометрической прогрессии:

Найдите член прогрессии, обозначенный буквой x.

При решении воспользуемся формулой n-го члена b_n = b₁ ∙ q^{n — 1} для геометрических прогрессий. Первый член прогрессии. Чтобы найти знаменатель прогрессии q необходимо взять любой из данных членов прогрессии и разделить на предыдущий. В нашем примере можно взять и разделить на. Получим, что q = 3. Вместо n в формулу подставим 3, так как необходимо найти третий член, заданной геометрической прогрессии.

Подставив найденные значения в формулу, получим:

Ответ: .

Задание 7

Из арифметических прогрессий, заданных формулой n-го члена, выберите ту, для которой выполняется условие a₂₇ > 9:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Так как заданное условие должно выполняться для 27-го члена прогрессии, подставим 27 вместо n в каждую из четырех прогрессий. В 4-й прогрессии получим:

Ответ: 4.

Задание 8

В арифметической прогрессии a₁ = 3, d = -1,5. Укажите наибольшее значение n, для которого выполняется неравенство a_n > -6.

Решение

Воспользуемся формулой n-го члена.

a_n = a₁ + d (n – 1) > -6.

Подставим данные в условии значения в формулу:

3 – 1,5n + 1,5 > -6

6 + 4,5 > 1,5n

n < 7

Ответ: Наибольшее значение n = 6.

Задание 9

В геометрической прогрессии сумма первого и второго членов равна 108, а третьего и четвертого — 168,75. Найдите первых три члена прогрессии.

Решение

Составим систему уравнений:

Подставим b₁ во второе уравнение:

Тогда:

Задание 10

Произведение первого и пятого членов геометрической прогрессии равно 4, а частное от деления пятого члена на седьмой равно 9. Найдите четвертый член этой прогрессии.

Решение

Составим систему уравнений:

При .

При получим те же значения: .

При .

При получим те же значения .

Геометрическая прогрессия — определение, формулы и примеры с решениями

Тема “Геометрическая прогрессия” (ГП) изучается в самом начале 9 класса. Задания же на данную тематику могут встретиться как в ОГЭ, так и в ЕГЭ. Однако в школьной программе совершенно не предусмотрено повторение изученного теме после 9 класса. Из-за этого, школьники, не понявшие материал в 9 классе, могут не знать тему до самого ЕГЭ. Однако на самом деле, материал крайне прост в изучении, и сейчас мы это докажем.

Содержание

Определение геометрической прогрессии
Сумма первых n членов прогрессии
Нахождение первого члена
Убывающие прогрессии

Определение геометрической прогрессии

Геометрической прогрессией называется последовательность чисел, в которой каждое последующая цифра, больше предыдущей в какое-то фиксированное количество раз.

Так, конечная формула выглядит следующим образом:

bn = b1 x q^n-1

Важно сразу запомнить, что любая последовательность бесконечна, и для того, чтобы разобраться в теме, в первую очередь необходимо определиться с тем, что значит каждая из переменных:

b1— это самое первая цифра в ряду.
n — это порядковый номер числа, которое нужно необходимо найти. Важно, что “n” может быть только натуральное число, то есть любое, кроме нуля.
q — это знаменатель ГП, он является как раз показателем того, во сколько каждое предыдущее число меньше последующего.

Для лучшего понимания можно разобрать самый банальный пример:

b3 = 5 x 3^3-1

В данном случае “n” будет равен 3, так как в задании необходимо найти третий член. Как первое число b(1) мы взяли пять. Далее достаточно просто решить простейшее уравнение:

b3 = 5 x 3^3-1

b3 = 5 x 3³

b3 = 5 x 9

b3 = 45

В конечном итоге мы узнали, что третьим членом будет являться число 45.

Сделать это проще в одной из специализированных программ по типу Microsoft Excel (табл.1).

Таблица 1. Данные геометрической прогрессии

Сумма первых n членов прогрессии

Научившись находить n-ый член, можно переходить к изучению свойств суммы некоторого количества элементов. Суммой ГП называют сумму некоторого количества его первых цифр. n)}{1-q} ]

Однако чаще в школьном курсе математики можно встретить формулу нахождения суммы по любому n-ому члену:

[ Sn= frac{b_{n}xq-b_{1}}{q-1} ]

Чтобы проверить, работает ли способ, можно подставить значения из прошлой задачи. Тогда, соответственно, получится:

[ S_{3}=frac{45×3-5}{3-1} ]

[ S_{3}=frac{130}{2} ]

[ S_{3}=65 ]

Суммой первых 3 членов ГП будет равняться число 65. Чтобы проверить правильность вычислений, можно отдельно сложить b1, b2, b3. Получаем:

[ 5+15+45=65=frac{45×3-5}{3-1} ]

Таким же образом можно испытать и обосновать формулу нахождения суммы по первому члену в числовом ряду.

Нахождение первого члена

Исходя из формулы нахождения n-ого числа, можно легко вывести способ вычисления первого числа:

b1 из bn=b1 x q^n-1

Для нахождения первого члена необходимо использовать уравнение:

[ b_{1}=frac{b_{n}}{q} ]

Используя все те же цифры, можно снова проверить, работает ли данный способ решения:

[ b_{1}=frac{45}{3^3} ]

[ b_{1}=frac{45}{9} ]

[ b_{1}=5 ]

Так как ответы сходятся, можно сделать вывод, что уравнение является рабочим.

Убывающие прогрессии

Помимо возрастающих прогрессий, существуют и убывающие. Убывающей называют такую ГП, у которой q<1.

Важно! Знаменатель ГП может быть и отрицательным числом, однако это не применяется на практике.

Существует 2 простых варианта выяснить, как отличить и посчитать убывающую ГП. Во-первых заметить это можно, если начертить прогрессию на координатной плоскости (рис.1). Убывающая — должна изображаться линией, направленной в правый нижний угол.

Рис. 1. График убывающей прогрессии

Также можно составить таблицу характеристик, по которой будет заметно, что каждое последующее значения “x” будет меньше предыдущего.

Важно! Убывающий числовой ряд при написании отличаются лишь переменной q. В случае убывающей прогрессии важным условием является то, что “q” всегда будет отрицательной.

Решив несколько шаблонных заданий, можно полностью изучить рассмотренную в статье тему. Материал является крайне простым для изучений, а те несколько баллов, которые вы получаете на правильном решении задачи, связанной с этой темой, возможно, помогут вам при поступлении в университет.

В предложенном ниже видео смотрите еще больше примеров решения задач по формулам ГП.

Предыдущая

МатематикаДеление в столбик — подробное описание алгоритма решения задач, примеры

Следующая

МатематикаПараллельные прямые — основные свойства, доказательства теорем с видео

геометрических прогрессий | Brilliant Math & Science Wiki

Содержание

Описание геометрических прогрессий

Суммы геометрических прогрессий
Суммы бесконечных геометрических прогрессий
Решение проблем
Смотрите также

Важная терминология

Начальный член: В геометрической прогрессии первое число называется «начальным членом».
Общее отношение: Отношение между элементом в последовательности и членом перед ним называется «общее отношение».

Рекурсивная формула

Мы можем описать геометрическую последовательность с помощью рекурсивной формулы, которая определяет, как каждый член относится к предыдущему. Поскольку в геометрической прогрессии каждый член задается произведением предыдущего члена и знаменателя, мы можем написать рекурсивное описание следующим образом:0019

Срок = Предыдущий срок × Общий коэффициент. \text{Термин} = \text{Предыдущий термин} \times \text{Общее соотношение}. Срок = Предыдущий срок × Общий коэффициент.

Более кратко, с обыкновенным отношением rrr мы имеем

an=an−1×r.a_n=a_{n-1} \times r.an=an−1×r.

Явная формула

Хотя приведенная выше рекурсивная формула позволяет нам описать взаимосвязь между членами последовательности, часто полезно иметь возможность написать явное описание членов в последовательности, что позволило бы нам найти любой срок.

Если мы знаем начальный член, следующие члены связаны с ним повторным умножением обыкновенного отношения. Таким образом, явная формула выглядит следующим образом:

Термин = Исходный термин × Общее отношение × ⋯ × Общее отношение⏟Количество шагов от начального члена. \text{Термин} = \text{Начальный член} \times \underbrace{\text{Общее отношение} \times \dots \times \text{Общее отношение}}_{\text{Число шагов от начального члена}} . Срок = Начальный срок × Количество шагов от начального срока Общее отношение × ⋯ × Общее отношение. 9{n} 5⋅5n

Что из следующего является явной формулой геометрической прогрессии

5,10,20,40,…? 5, 10, 20, 40, \точки? 5,10,20,40,…?

Иногда нам нужно найти сумму некоторых членов геометрической прогрессии. Когда количество терминов, которые мы хотим добавить, велико, может быть сложно добавить их все по одному. Приведенная ниже задача иллюстрирует метод, который можно превратить в общую методику:

Найдите сумму первых 101010 членов следующей геометрической прогрессии: 9{10}-3}{4}. \ _\площадь \end{массив}A5AA(1−5)−4AA=3+3⋅5+3⋅52=0+3⋅5+3⋅52=3+0 +0=3−3⋅510=43⋅510 −3. □+⋯+3⋅59+⋯+3⋅59+⋯+0+3⋅510−3⋅510

В приведенном выше примере мы умножили сумму геометрической прогрессии на ее знаменатель, а затем вычли результат из исходной суммы, обнаружив, что все члены сокращаются, кроме первого и последнего. Теперь мы можем использовать тот же подход, чтобы найти общую формулу для суммы.

Для геометрической прогрессии с начальным членом a aa и знаменателем r,r,r сумма первых nnn членов равна 9n -1 } { r — 1 } \right) && \text{для }r \neq 1 \\ a \cdot n && \text{для }r = 1.\end{массив} \end{cases} Sn ={a⋅(r−1rn−1)a⋅nдля r=1для r=1.

Предположим, мы хотим сложить первые nnn членов геометрической прогрессии. Если r=1 r = 1 r=1, то у нас есть постоянная последовательность, и, следовательно, сумма равна na n a na. Теперь предположим, что r≠1, r \neq 1, r=1, тогда мы получим
Sn=a+a⋅r+a⋅r2+⋯+a⋅rn−2+a⋅rn−1. {n-1}. \qquad (1)Sn=a+a⋅r+a⋅r2+⋯+a⋅rn−2+a⋅rn−1.(1) 9{63}-1263−1
Девушка кладет 111 зерен риса на первую клетку шахматной доски 8 на 8. В последующем квадрате она кладет вдвое больше, чем в предыдущем квадрате, и продолжает, пока не заполнит все квадраты.
Сколько всего зерен ей нужно?
95464\dfrac{95}{464}46495 563191\dfrac{563}{191}191563 46396\dfrac{463}{96}96463 46593\dfrac{465}{93}93465
Найдите сумму геометрической прогрессии 23,−1,32,…\frac{2}{3}, -1,\frac{3}{2} ,…32,−1,23,… до 777 терминов.
Теперь, когда мы знаем, как найти сумму конечного числа членов, давайте перейдем к нахождению суммы бесконечного числа членов геометрической прогрессии. Это делается аналогичным образом, и сначала мы делаем пример.
Вычислить следующий геометрический ряд:
5+53+59+527+⋯ . 5+ \dfrac 53 +\dfrac 59 +\dfrac{5}{27}+\cdots.5+35+95+275+⋯.
Пусть данная сумма будет S,S,S, тогда
S=5+53+59+527+⋯ .(1)S=5+ \dfrac 53 +\dfrac 59 +\dfrac{5}{27}+\cdots. \qquad (1)S=5+35+95+275+⋯.(1)
Умножая SSS на 13\frac 1331, получаем
13S=53+59+527+581+⋯ .(2)\dfrac 13 S= \dfrac 53 +\dfrac 59 +\dfrac{5}{27}+\dfrac{5}{81}+\cdots. \qquad (2)31S=35+95+275+815+⋯.(2)
Взятие (1)−(2)(1)−(2)(1)−(2) дает
S=5+53+59+527+⋯13S=0+53+59+527+581+⋯S(1−13)=5+0+0+0+0+⋯S⋅23=5S=152 . □ \begin{массив} {rlllllllll} S&=5+ \dfrac 53& +\dfrac 59& +\dfrac{5}{27}&+\cdots \\ \dfrac 13 S&=0+ \dfrac 53& +\dfrac 59& +\dfrac{5}{27}&+\dfrac{5}{81}&+\cdots \\ \hline S\left(1-\dfrac 13 \right)& =5+0&+0&+0&+0&+ \cdots \\ S \cdot \dfrac 23&=5\\ S&={\dfrac{15}{2}}. \ _\площадь \end{array}S31SS(1−31)S⋅32S=5+35=0+35=5+0=5=215. □+95+95+0+275+275+0+⋯+815+0+⋯+⋯
Обратите внимание, что мы используем тот же прием умножения на обыкновенное отношение и вычитания! На самом деле этот прием можно использовать для нахождения общей формулы суммы бесконечных членов геометрической прогрессии. Итак:
Для геометрической прогрессии с начальным членом a a a и знаменателем rrr, удовлетворяющим условию ∣r∣<1, |r| < 1 ,∣r∣<1, сумма бесконечных членов геометрической прогрессии равна
S∞=a1−r. S_{\infty} = \frac{a} {1-r}. S∞=1−ra. 9п ) } { 1-r } = \ frac { a} { 1-r }. \ _\square S∞=n→∞limSn=n→∞lim1−ra(1−rn)=1−ra. □
Геометрическое доказательство :
Мы также можем думать об этой формуле визуально. Если SSS является суммой ряда, а начальный член равен aaa, мы можем построить квадрат и треугольник следующим образом:
Мы видим, что большой треугольник и перевернутый треугольник в левой части квадрата подобны. Следовательно, по подобию
Sa=aa-ar.\frac{S}{a} = \frac{a}{a-ar}.aS=a-ara.
Решая SSS, получаем
S=a1−r. □S = \frac{a}{1-r}. \ _\квадрат S=1−ra. □
После удара об пол ваш теннисный мяч отскакивает на две трети высоты, с которой он упал. Какое полное расстояние по вертикали он пройдет до остановки при падении с высоты 100 м?100 \text{ м}?100 м?
Пусть hhh — высота (в метрах), с которой падает мяч, и eee — такое число, что 0
Так как нам дано h=100h=100h=100 и e=23,e=\frac23,e=32,
S=(1+231−23)100=500 (м). □S=\left( \dfrac{1+\frac 23}{1-\frac 23} \right) 100=500 \text{ (м)}. \ _\squareS=(1−321+32)100=500 (м). □
Найдите сумму геометрического ряда
5−103+209−4027+⋯ .5 — \frac{10}{3} + \frac{20}{9} — \frac{40}{27} +\cdots .5−310+920 −2740+⋯.
Заметим, что данный ряд представляет собой геометрическую прогрессию с начальным членом a=5a= 5a=5 и знаменателем r=−23. r=\frac{-2}{3}.r=3−2. Тогда, поскольку −1
Если первые три члена геометрической прогрессии равны 2+1,1,2−1, \sqrt2+1,1,\sqrt2-1, 2+1,1,2−1, найти сумма до бесконечности всех его членов.
Если ответ представлен в виде a+bcd \frac{a+b\sqrt c}d da+bc для положительных целых чисел a,b,c,a,b,c,a,b,c, и ddd с ccc без квадратов, найдите минимальное значение a+b+c+da+b+c+da+b+c+d.
Если каждый член бесконечной геометрической прогрессии в три раза больше суммы следующих за ним членов, то каково знаменательное отношение геометрической прогрессии?
Коди начал хорошо организованно бегать. Он бежит 100 м100 \text{ м}100 м на восток, затем поворачивает налево и бежит еще 10 м10 \text{ м}10 м на север, поворачивает налево и пробегает 1 м,1\text{м},1 м, снова поворачивает налево и пробегает 0,1 м, 0,1 \text{ м}, 0,1 м, а на следующем повороте 0,01 м, 0,01 \text{ м}, 0,01 м и так далее.
Предполагая, что Коди может работать в этом шаблоне бесконечно, смещение от его начального положения может быть записано как ab\frac{a}{\sqrt{b}}ba, где aaa и bbb — положительные целые числа, а bbb — квадрат- свободно.
Каково значение a×b? а \раз b?a×b?
(-8,1](-8, 1](-8,1] (0,2)(0,2)(0,2) [1,8)[1,8)[1,8) [−4,1][-4, 1][−4,1]
Если бесконечная ОП действительных чисел имеет второй член ххх и сумму 4,4,4, то где ххх?
Арифметические прогрессии
Решение задач на арифметические и геометрические прогрессии
Процитировать как: Геометрические прогрессии. Brilliant.org . Извлекаются из https://brilliant.org/wiki/geometric-progressions/
Геометрическая прогрессия — определение, формулы, решенные примеры
Геометрическая прогрессия (ГП) — это особый тип прогрессии или последовательности, в которой производится каждый следующий член прогрессии путем умножения предыдущего члена на фиксированное число, и это фиксированное число называется общим отношением. Подобно арифметической прогрессии, геометрическая прогрессия также имеет определенный шаблон, который полезен при решении вопросов общей практики. Обычное отношение и первый член ГП всегда ненулевое число.
Пример: 3, 6, 12, 24, 48 и т. д. — это GP с первым членом 3 и общей разностью 2.
Что такое геометрическая прогрессия?
Геометрическая последовательность — это последовательность, в которой отношение между двумя последовательными элементами является постоянным. Это отношение известно как обыкновенное отношение, обозначаемое ‘r’, где r ≠ 0. Пусть элементы последовательности обозначаются как:
a ₁ , a ₂ , a _3, a ₄ , …, a _n
Данная последовательность является геометрической последовательностью, если:
A ₂ /A ₁ = A ₃ /A ₂ =… = A _N /A _N-1 = R (Common Ratio)
7. DADESE DADENCE DADENCE DADENCE DADENCE DADENCE DADENGENCE
6. DADENCE DADENCE DADE DADENGENCE DADENCE DADE DADENGENCE). записывается как:
a, ar, ar ² , ar ³ , … , ar ^n-1
определяется как:
r = последующий термин/предыдущий термин = ar ^n-1 / ar ^n-2
Типы геометрической прогрессии
Геометрическая прогрессия далее классифицируется на основе того, заканчиваются ли они или продолжаются бесконечно. Итак, ВП далее подразделяется на две части:
Конечная геометрическая прогрессия (Конечная ВП)
Бесконечная геометрическая прогрессия (Бесконечная ВП)
Два типа ВП более подробно описаны ниже в этой статье
Конечная Геометрическая прогрессия
Конечная О.П. представляет собой последовательность, которая содержит конечные члены в последовательности и может быть записана как a, ar, ar ² , ар ³ ,……ар ^н-1 , ар ^н .
Примеры конечной GP: 1, 2, 4, 8, 16,……512
Бесконечная геометрическая прогрессия
Бесконечная GP. представляет собой последовательность, которая содержит бесконечные элементы в последовательности и может быть записана как a, ar, ar ² , ar ³ ,……ar ^n-1 , ar ⁿ ……, т. е. это последовательность что никогда не кончается.
Примеры Infinite GP:
1, 2, 4, 8, 16,……..
1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16,………
Формулы геометрической прогрессии
Ниже приведен список формул, связанных с GP, которые помогут в решении различных типов задач. Общая форма терминов ГП — это a, ar, ar2, ar3 и т. д. Здесь a — первое слагаемое, r — обыкновенное отношение.
N ^TH Термин A GP IS T _N = AR ^N-1
Общее соотношение = R = T _N / T _N-1
. из первых n членов ЗП определяется как:
S _n = a[(r ⁿ – 1)/(r – 1)], если r ≠ 1 и r > 1
S _n = a[(1 – r ^{n )/} (1 – r)] если r ≠ 1 и r < 1
n ^й член с конца ГП с последним членом l и знаменателем r = l/ [r(n – 1)]
Сумма бесконечности, т. е. сумма ЗП с бесконечными членами равна S _∞ = a/(1 – r) такой, что 0 < r < 1.
Для трех величин в ЗП средняя величина называется средним геометрическим из двух других терминов. Если a, b и c — три величины в GP, то и b — среднее геометрическое a и c, тогда
Теперь, b ² = ac или b =√(ac)
Если a — первый член, а r — обыкновенное отношение конечной ГП с n членами соответственно. Тогда k ^-й-й член с конца ГП будет T _k = ar ^n-k .
N
^th Член геометрической прогрессии
Чтобы найти n-й член геометрической прогрессии, если данный ряд имеет вид a, ar, ar ² , ar ³ , ар ⁴ ………. затем
Термин n ^th обозначается a _n. Таким образом, для обнаружения NTH-члена геометрической последовательности будет:
A _N = AR ^N-1
ДЕРИВАНИЯ ФОРМУЛА
DAD DAD DAD TRMP GP GP GP
777777777777 гг. , a ₂ , a ₃ , a ₄ , …, a _n , выражая все эти слагаемые согласно первому слагаемому a ₁. ²
a ₄ = a ₃ r = (a ₁ r ² )r = a ₁ r ³
…
a _m = a ₁ r ^{m −1}
…
Аналогично,
a _n = a ₁ r ^{n – 1}
a _N = AR ^{N — 1}
Где,
A ₁ = первый термин,
a ₂ = второй термин
A _{N ₂ = второй термин
A _N = 3 -й термин. a _m = any term before the last term}
n ^th term from the last term is given by:
a _n = l/r ^n-1
где,
l последний член
Сумма первых n членов геометрической прогрессии
Сумма первых n членов геометрической прогрессии определяется как: – r) , если r < 1
S _n = a(r ⁿ -1)/(r – 1) , если r > 1
Вывод формулы
Сумма 90 геометрическая прогрессия (известная как геометрическая прогрессия) определяется как
S = a ₁ + a ₂ + A ₃ +… + A _N
S = A ₁ + A ₁ R + A ₁ R ² + A ₁ R ^{+ A ₁ 1}
+ 9027 I 9027.
a ₁ r ⁿ⁻¹ ….уравнение (1)
Умножьте обе части уравнения (1) на r (общее отношение), и мы получим
S × r= a ₁ r + a ₁ r ² + ^{a ₁ r ³ + a ₁ r ⁴ + … + a ₁ r ⁿ ….уравнение (2)}
Вычесть уравнение (2) из уравнения (1)
S – Sr = a ₁ – a ₁ r ⁿ
(1 – 1 r)S = a ₁ – a (1 – r ⁿ )
S _n = a ₁ (1 – r ⁿ )/(1 – r), если r<1
Теперь вычтем уравнение (1) из уравнения (1) (2) даст
Sr – S = a ₁ r ⁿ – ^{a ₁}
(r – 1)S = a ₁ (r ⁿ -1)
Отсюда
S _n = a ₁ (r ⁿ -1)/(r – 1), если r > 1
9005
Количество членов в бесконечной геометрической прогрессии будет стремиться к бесконечности (n = ∞). Сумма бесконечной геометрической прогрессии может быть определена только в диапазоне |r| < 1.
S = a(1 – r ⁿ )/(1 – r)
S = (a – ar ⁿ )/(1 – r)
S = a/(1 – r) – ar ⁿ /(1 – r)
При n -> ∞ величина (ar ⁿ )/(1 – r) → 0 при |r| < 1,
Таким образом,
S _∞ = a/(1-r), где |r| < 1
Вывод суммы бесконечной геометрической прогрессии
Возьмем геометрическую последовательность a, ar, ar ² , …, которая имеет бесконечные члены. S _∞ обозначает сумму бесконечных членов этой последовательности, тогда
S _∞ = a + ar + ar ² + ar ³ + … + ar ⁿ +..(1)
Умножить обе части на r,
rS _∞ = ar + ar ^{2 1 2} (2)
subtracting eq (2) from eq (1),
S _∞ – rS _∞ = a
S _∞ (1 – r) = a
S _∞ = a / (1 – r)
Таким образом, по вышеприведенной формуле находится сумма бесконечных членов бесконечной ЗП,
Примечание : Эта формула работает, только если |r| <1
Свойства геометрической прогрессии
A ² _K = A _K-1 × A _K+1
A ₁ ° K+1
A _{7 1} ° K+1
A _{7 1} × A
A _{7 1} × A
A _{7 1 _{° K+1}}
A _{1 _{° K+1}}
A _n-1 =…= a _k × a _n-k+1
Если мы умножим или разделим ненулевую величину на каждый член ВП, то результирующая последовательность также будет в ВП с такая же общая разница.
Обратное значение всех членов ГП также образует ГП.
Если все члены ГП возвести в одну степень, то новый ряд также входит в ГП.
Если y ² = xz, то три ненулевых члена x, y и z находятся в GP.
Рекурсивная формула
Рекурсивная формула определяет члены последовательности по отношению к предыдущему значению. В отличие от явной формулы, которая определяет его по отношению к термину число.
В качестве простого примера рассмотрим последовательность: 1, 2, 4, 8, 16, 32
Схема состоит в многократном умножении 2. Таким образом, рекурсивная формула:
термин (n) = термин (n – 1) × 2
Обратите внимание, чтобы найти любой термин, вы должны знать предыдущий. Каждый член является произведением обыкновенного отношения и предыдущего члена.
term(n) = term(n – 1) × r
Пример: Напишите рекурсивную формулу для следующей геометрической последовательности: 8, 12, 18, 27, …
9 Решение:
Первый член равен 6. Обычное отношение можно найти, разделив второй член на первый член.
r = 12/8 = 1,5
Подставим знаменатель в рекурсивную формулу для геометрических последовательностей и определим a ₁
term(n) = term(n – 1) × r 1) × 1,5 для n>=2
a ₁ = 6
Решенный пример геометрической прогрессии
Пример 1. Предположим, что первый член GP равен 4, а знаменатель равен 5, тогда первое пять сроков ГП?
Решение:
Первый член, a = 4
Обычное отношение, r = 5
Теперь первые пять членов GP равны
a, ar, ar ² , 1 ar 90 , 1 ar ^{3 4}
a = 4
AR = 4 × 5 = 20
AR ² = 4 × 25 = 100
AR ³ = 4 × 125 = 500
AR ⁴ = 4 × 625 = 2500
, так. первые пять членов ГП с первым членом 4 и знаменателем 5:
4, 20, 100, 500 и 2500
Пример 2. Найдите сумму GP: 1, 2, 4, 8 и 16.
Решение:
Даны GP 1, 2, 4, 8 и 16
Первый член, a = 1
Обычное отношение, r = 2/1 = 2 > 1
Количество слагаемых, n = 5
Сумма GP определяется выражением;
S _n = a[(r ⁿ – 1)/(r – 1)]
S ₅ = 1[(2 ⁵ – 1)/(2 – 1)]
= 1[ (32 – 1)/1]
= 1[31/2]
= 1 × 15,5
= 15,5
Пример 3: Если 3, 9, 27,…., является ВП, то найдите его 9-й член.
Решение:
n-й член ГП определяется как:
a _n = ar ^n-1 ,
6 дано, 9,
дано,
6
Здесь, a = 3 и r = 9/3 = 3
Следовательно,
A ₉ = 3 x 3 ^{9 — 1}
= 3 × 6561
= 19683
Пример 4: Найти 6
. th член и сумма 6 членов Последовательности: 1, 2, 4, 8, 16, 32
Решение:
Данная последовательность, 1, 2, 4, 8, 16, 32
Общее отношение r = 2/1 = 2
первый член = 1
6-й член в последовательности = ar-^{n 1} = 1,2 ^6-1 = 63
Сумма первых 6 членов = a(r ⁿ -1)/(r – 1) = 1(2 ⁶ -1)/(2-1) = 63
Пример: Дана геометрическая последовательность с ₁ = 3 и ₄ = 24. Найдите ₅
Решение:
Последовательность может быть записана в терминах начального члена и знаменателя r.
Запишите четвертый член последовательности через a ₁ и r. Замените 24 на _4. Решите обыкновенное отношение.
a _n = a ₁ × r ^n-1
a ₄ = 3r ³
24 = 3r ³
8 = r ³
r = 2
Найдите второй член, умножив первый член на знаменатель.
A ₅ = _{A ₁ × r ^N-1}
= 3 × 2 ^5-1
= 3 × 16. 48
_{77719 = 3 × 16. 48}
_{7777719 = 3 × 16. 48}
_{77777777777711. : Что такое геометрическая прогрессия?}
Ответ:
Геометрическая прогрессия (ГП) представляет собой особый тип последовательности, в которой каждый последующий член получается путем умножения каждого предыдущего члена на фиксированную константу, которая называется обыкновенным отношением (r) .
Например, 1, 3, 9, 27, 81, …….
Вопрос 2: Что вы подразумеваете под общим соотношением в GP?
Ответ:
Общее кратное между каждым последующим членом в GP называется обыкновенным отношением. Это константа, которая умножается на каждый термин, чтобы получить следующий термин в GP. Если a — первый член, а ar — следующий член, то обыкновенное отношение равно:
ar/a = r
Вопрос 3: Напишите общую форму GP.
Ответ:
Общая форма геометрической прогрессии (GP)-A, AR, AR ², AR ³, AR ⁴,…, AR ^N-
,…, AR ^N-1
,…, AR ^N-1
, AR ^N-
, AR ^{. = Первый член
r = обыкновенное отношение
ar ^n-1 = n-й член}
Вопрос 4: Какова формула суммы GP?
Ответ:
Предположим, что данная ВП есть a, ar, ar ² , ar ³ ,……ar ^n-1 , то формула для нахождения суммы GP:
Sn = a + ar + ar ² + ar ³ +…+ ar ^n-1
Sn = a[(r ⁿ – 1)/(r – 1)]
где r ≠ 1 и r > 1

Явные формулы для геометрических последовательностей
Результаты обучения
Запишите последовательность рекурсивных чисел.
Даны два члена геометрической последовательности, найдите третий.
Решите прикладную задачу, используя геометрическую последовательность.
Использование рекурсивных формул для геометрических последовательностей
Рекурсивная формула позволяет нам найти любой член геометрической последовательности, используя предыдущий член. Каждый член является произведением обыкновенного отношения и предыдущего члена. Например, предположим, что обыкновенное отношение равно 9. Тогда каждый член в девять раз больше предыдущего. Как и в любой рекурсивной формуле, должен быть задан начальный член.
Общее примечание: рекурсивная формула для геометрической последовательности
Рекурсивная формула для геометрической последовательности со знаменателем [latex]r[/latex] и первым членом [latex]{a}_{1}[/latex] имеет вид
[latex]{a}_{n}=r\cdot{a}_{n — 1},n\ge 2[/latex]
Как: Имея первые несколько членов геометрической последовательности, запишите ее рекурсивная формула.
Укажите начальный срок.
Найдите обыкновенное отношение, разделив любой член на предыдущий.
Подставить знаменатель в рекурсивную формулу геометрической прогрессии.
Пример: использование рекурсивных формул для геометрических последовательностей
Напишите рекурсивную формулу для следующей геометрической последовательности.
[латекс]\влево\{6,9,13.5,20.25,\точки\вправо\}[/латекс]
Показать решение
Вопросы и ответы
Нужно ли делить второй член на первый, чтобы найти обыкновенное отношение?
Нет. Мы можем разделить любой член последовательности на предыдущий член. Однако чаще всего второй член делят на первый, потому что часто это самый простой способ найти обыкновенное отношение.
Попробуйте
Напишите рекурсивную формулу для следующей геометрической прогрессии. 9{n — 1}[/latex]
Пример: запись терминов геометрических последовательностей с использованием явной формулы
Дана геометрическая последовательность с [latex]{a}_{1}=3[/latex] и [latex]{ a}_{4}=24[/latex], найдите [латекс]{a}_{2}[/латекс].
Показать решение
Попробуйте
Для заданной геометрической последовательности с [латекс]{a}_{2}=4[/латекс] и [латекс]{а}_{3}=32[/латекс] найдите [латекс]{ а}_{6}[/латекс].
Показать раствор
Пример: Написание явной формулы для
n -й член геометрической последовательности
Напишите явную формулу для члена [latex]n\text{th}[/latex] следующей геометрической последовательности.
[латекс]\влево\{2,10,50,250,\точки\вправо\}[/латекс]
Показать решение
Попробуйте
Напишите явную формулу для следующей геометрической прогрессии.
[латекс]\влево\{-1,3,-9,27,\точки\вправо\}[/латекс]
Показать решение
В реальных сценариях, связанных с арифметическими последовательностями, нам может понадобиться использовать начальный термин [latex]{a}_{0}[/latex] вместо [latex]{a}_{1}[/latex] .
No related posts.