Формулы куба сокращенного умножения: Перечислите формулы сокращённого умножения. — ответ на Uchi.ru

2+m-1)}{m}=\frac{2 (m-1)}{m}

Ответ: \displaystyle \frac{2 (m-1)}{m}

Еще по теме:

Разность квадратов,

Примеры для закрепления формул сокращенного умножения (ФСУ)

Содержание

Как разложить куб суммы. Формулы сокращенного умножения

Формулы сокращенного умножения.

Изучение формул сокращенного умножения: квадрата суммы и квадрата разности двух выражений; разности квадратов двух выражений; куба суммы и куба разности двух выражений; суммы и разности кубов двух выражений.

Применение формул сокращенного умножения при решении примеров.

Для упрощения выражений, разложения многочленов на множители, приведения многочленов к стандартному виду используются формулы сокращенного умножения. Формулы сокращенного умножения нужно знать наизусть .

Пусть а, b R. Тогда:

1. Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

(a — b) 2 = a 2 — 2ab + b 2

3. Разность квадратов двух выражений равна произведению разности этих выражений и их суммы.

a 2 — b 2 = (a -b) (a+b)

4. Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго плюс куб второго выражения.

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

5. Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго минус куб второго выражения.

(a — b) 3 = a 3 — 3a 2 b + 3ab 2 — b 3

6. Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы первого и второго выражения на неполный квадрат разности этих выражений.

a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 — ab + b 2)

7. Разность кубов двух выражений равна произведению разности первого и второго выражения на неполный квадрат суммы этих выражений.

a 3 — b 3 = (a — b) (a 2 + ab + b 2)

Применение формул сокращенного умножения при решении примеров.

Пример 1.

Вычислить

а) Используя формулу квадрата суммы двух выражений, имеем

(40+1) 2 = 40 2 + 2 · 40 · 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681

б) Используя формулу квадрата разности двух выражений, получим

98 2 = (100 – 2) 2 = 100 2 — 2 · 100 · 2 + 2 2 = 10000 – 400 + 4 = 9604

Пример 2.

Вычислить

Используя формулу разности квадратов двух выражений, получим

Пример 3.

Упростить выражение

(х — у) 2 + (х + у) 2

Воспользуемся формулами квадрата суммы и квадрата разности двух выражений

(х — у) 2 + (х + у) 2 = х 2 — 2ху + у 2 + х 2 + 2ху + у 2 = 2х 2 + 2у 2

Формулы сокращенного умножения в одной таблице:

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a — b) 2 = a 2 — 2ab + b 2
a 2 — b 2 = (a — b) (a+b)
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a — b) 3 = a 3 — 3a 2 b + 3ab 2 — b 3
a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 — ab + b 2)
a 3 — b 3 = (a — b) (a 2 + ab + b 2)

Формулы сокращенного умножения (ФСУ) применяются для возведения в степень и умножения чисел и выражений. Часто эти формулы позволяют произвести вычисления более компактно и быстро.

В данной статье мы перечислим основные формулы сокращенного умножения, сгруппируем их в таблицу, рассмотрим примеры использования этих формул, а также остановимся на принципах доказательств формул сокращенного умножения.

Впервые тема ФСУ рассматривается в рамках курса «Алгебра» за 7 класс. Приведем ниже 7 основных формул.

Формулы сокращенного умножения

формула квадрата суммы: a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2
формула квадрата разности: a — b 2 = a 2 — 2 a b + b 2
формула куба суммы: a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3
формула куба разности: a — b 3 = a 3 — 3 a 2 b + 3 a b 2 — b 3
формула разности квадратов: a 2 — b 2 = a — b a + b
формула суммы кубов: a 3 + b 3 = a + b a 2 — a b + b 2
формула разности кубов: a 3 — b 3 = a — b a 2 + a b + b 2

Буквами a, b, c в данных выражениях могут быть любые числа, переменные или выражения. Для удобства использования лучше выучить семь основных формул наизусть. Сведем их в таблицу и приведем ниже, обведя рамкой.

Первые четыре формулы позволяют вычислять соответственно квадрат или куб суммы или разности двух выражений.

Пятая формула вычисляет разность квадратов выражений путем произведения их суммы и разности.

Шестая и седьмая формулы — соответственно умножение суммы и разности выражений на неполный квадрат разности и неполный квадрат суммы.

Формула сокращенного умножения иногда еще называют тождествами сокращенного умножения. В этом нет ничего удивительного, так как каждое равенство представляет собой тождество.

При решении практических примеров часто используют формулы сокращенного умножения с переставленными местами левыми и правыми частями. Это особенно удобно, когда имеет место разложение многочлена на множители.

Дополнительные формулы сокращенного умножения

Не будем ограничиваться курсом 7 класса по алгебре и добавим в нашу таблицу ФСУ еще несколько формул.

Во-первых, рассмотрим формулу бинома Ньютона.

a + b n = C n 0 · a n + C n 1 · a n — 1 · b + C n 2 · a n — 2 · b 2 + . . + C n n — 1 · a · b n — 1 + C n n · b n

Здесь C n k — биномиальные коэффициенты, которые стоят в строке под номером n в треугольнике паскаля. Биномиальные коэффициенты вычисляются по формуле:

C n k = n ! k ! · (n — k) ! = n (n — 1) (n — 2) . . (n — (k — 1)) k !

Как видим, ФСУ для квадрата и куба разности и суммы — это частный случай формулы бинома Ньютона при n=2 и n=3соответственно.

Но что, если слагаемых в сумме, которую нужно возвести в степень, больше, чем два? Полезной будет формула квадрата суммы трех, четырех и более слагаемых.

a 1 + a 2 + . . + a n 2 = a 1 2 + a 2 2 + . . + a n 2 + 2 a 1 a 2 + 2 a 1 a 3 + . . + 2 a 1 a n + 2 a 2 a 3 + 2 a 2 a 4 + . . + 2 a 2 a n + 2 a n — 1 a n

Еще одна формула, которая может пригодится — формула формула разности n-ых степеней двух слагаемых.

a n — b n = a — b a n — 1 + a n — 2 b + a n — 3 b 2 + . . + a 2 b n — 2 + b n — 1

Эту формулу обычно разделяют на две формулы — соответственно для четных и нечетных степеней.

Для четных показателей 2m:

a 2 m — b 2 m = a 2 — b 2 a 2 m — 2 + a 2 m — 4 b 2 + a 2 m — 6 b 4 + . . + b 2 m — 2

Для нечетных показателей 2m+1:

a 2 m + 1 — b 2 m + 1 = a 2 — b 2 a 2 m + a 2 m — 1 b + a 2 m — 2 b 2 + . . + b 2 m

Формулы разности квадратов и разности кубов, как вы догадались, являются частными случаями этой формулы при n = 2 и n = 3 соответственно. Для разности кубов b также заменяется на — b .

Как читать формулы сокращенного умножения?

Дадим соответствующие формулировки для каждой формулы, но сначала разберемся с принципом чтения формул. Удобнее всего делать это на примере. Возьмем самую первую формулу квадрата суммы двух чисел.

a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2 .

Говорят: квадрат суммы двух выражений a и b равен сумме квадрата первого выражения, удвоенного произведения выражений и квадрата второго выражения.

Все остальные формулы читаются аналогично. Для квадрата разности a — b 2 = a 2 — 2 a b + b 2 запишем:

квадрат разности двух выражений a и b равен сумме квадратов этих выражений минус удвоенное произведение первого и второго выражения.

Прочитаем формулу a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3 . Куб суммы двух выражений a и b равен сумме кубов этих выражений, утроенного произведения квадрата первого выражения на второе и утроенного произведения квадрата второго выражения на первое выражение.

Переходим к чтению формулы для разности кубов a — b 3 = a 3 — 3 a 2 b + 3 a b 2 — b 3 . Куб разности двух выражений a и b равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе, плюс утроенное произведение квадрата второго выражения на первое выражение, минус куб второго выражения.

Пятая формула a 2 — b 2 = a — b a + b (разность квадратов) читается так: разность квадратов двух выражений равна произведению разности и суммы двух выражений.

Выражения типа a 2 + a b + b 2 и a 2 — a b + b 2 для удобства называют соответственно неполным квадратом суммы и неполным квадратом разности.

С учетом этого, формулы суммы и разности кубов прочитаются так:

Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений на неполный квадрат их разности.

Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений на неполный квадрат их суммы.

Доказательство ФСУ

Доказать ФСУ довольно просто. Основываясь на свойствах умножения, проведем умножение частей формул в скобках.

Для примера рассмотрим формулу квадрата разности.

a — b 2 = a 2 — 2 a b + b 2 .

Чтобы возвести выражение во вторую степень нужно это выражение умножить само на себя.

a — b 2 = a — b a — b .

Раскроем скобки:

a — b a — b = a 2 — a b — b a + b 2 = a 2 — 2 a b + b 2 .

Формула доказана. Остальные ФСУ доказываются аналогично.

Примеры применения ФСУ

Цель использования формул сокращенного умножения — быстрое и краткое умножение и возведение выражений в степень. Однако, это не вся сфера применения ФСУ. Они широко используются при сокращении выражений, сокращении дробей, разложении многочленов на множители. Приведем примеры.

Пример 1. ФСУ

Упростим выражение 9 y — (1 + 3 y) 2 .

Применим формулу суммы квадратов и получим:

9 y — (1 + 3 y) 2 = 9 y — (1 + 6 y + 9 y 2) = 9 y — 1 — 6 y — 9 y 2 = 3 y — 1 — 9 y 2

Пример 2. ФСУ

Сократим дробь 8 x 3 — z 6 4 x 2 — z 4 .

Замечаем, что выражение в числителе — разность кубов, а в знаменателе — разность квадратов.

8 x 3 — z 6 4 x 2 — z 4 = 2 x — z (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x — z 2 x + z .

Сокращаем и получаем:

8 x 3 — z 6 4 x 2 — z 4 = (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x + z

Также ФСУ помогают вычислять значения выражений. Главное — уметь заметить, где применить формулу. Покажем это на примере.

Возведем в квадрат число 79 . Вместо громоздких вычислений, запишем:

79 = 80 — 1 ; 79 2 = 80 — 1 2 = 6400 — 160 + 1 = 6241 .

Казалось бы, сложное вычисление проведено быстро всего лишь с использованием формул сокращенного умножения и таблицы умножения.

2\right)\]

Комплексные числа: умножение

Алгебраическое умножение. Комплексное умножение — более сложная операция для понимания как с алгебраической, так и с геометрической точки зрения. Давайте сначала сделаем это алгебраически и возьмем определенные комплексные числа для умножения, скажем, 3 + 2 i и 1 + 4 i. В каждом из них по два слагаемых, поэтому, умножив их, мы получим четыре слагаемых:

(3 + 2 i )(1 + 4 i ) = 3 + 12 и + 2 и + 8 и ² .

Теперь 12 i + 2 i упрощается до 14 i, , конечно. А как насчет 8 i ²? Помните, мы ввели i как сокращение от √1, квадратного корня из 1. Другими словами, i — это число, квадрат которого равен 1. Таким образом, 8

i ² равняется 8. Следовательно, произведение (3 + 2 i )(1 + 4 i ) равно 5 + 14 i.

Если вы обобщите этот пример, вы получите общее правило умножения

( x + yi )( u + vi ) = ( xu yv ) + ( xv + yu ) i .

Помните, что ( xu yv ), действительная часть произведения есть произведение действительных частей минус произведение мнимых частей, но ( xv + yu ), мнимая часть произведения, представляет собой сумму двух произведений одной действительной части и другой мнимой части.

Давайте рассмотрим некоторые частные случаи умножения.

Умножение комплексного числа на действительное число. В приведенной выше формуле для умножения, если v равно нулю, тогда вы получите формулу для умножения комплексного числа

x + yi и действительного числа u вместе:

( x + yi ) u = сюй + юй я .

Другими словами, вы просто умножаете обе части комплексного числа на действительное число. Например, 2 умножить на 3 + i — это просто 6 + 2 i. Геометрически, когда вы удваиваете комплексное число, просто удваивайте расстояние от начала координат, 0. Точно так же, когда вы умножаете комплексное число z на 1/2, результат будет на полпути между 0 и г. Умножение на 2 можно рассматривать как преобразование, которое растягивает комплексную плоскость C в 2 раза от 0; и умножение на 1/2 как преобразование, которое сжимает C до 0.

Умножение и абсолютное значение. Несмотря на то, что мы рассмотрели только один случай умножения, достаточно предположить, что абсолютное значение

zw  (т. е. расстояние от 0 до zw  ) может быть абсолютным значением z раз больше абсолютного значения w. Это было, когда w было реальным числом u чуть выше. На самом деле, это верно в целом:

| ЗВ | = | из | | с |

Проверка этого тождества является упражнением в алгебре. Чтобы доказать это, мы докажем, что это верно для квадратов, чтобы нам не приходилось иметь дело с квадратными корнями. Мы покажем | ЗВ | ² = | г | ² | с

| ² . Пусть z будет x + yi, и пусть w будет u + vi. Тогда по формуле умножения zw  равно ( xu yv ) + ( xv + yu ) i. Напомним из раздела об абсолютных значениях, что

| из | ² = х ² + г ²

Точно так же у нас есть

| с | ² = u ² + v ²

и, поскольку zw  = ( xu yv ) + ( xv + yu ) i,

| wz | ² = ( xu yv ) ² + ( xv + yu ) ²

Итак, чтобы показать | ЗВ | ² = | из | ² | с | ² , все, что вам нужно сделать, это показать, что

( Xu YV ) ² + ( XV + Yu ) ² = ( x ² + Y ²) ( U 9008 ^{9008 +} 2 ) ( U 9008 ^{9008 +} + ²) ( U 9008 ^{9008 +} + ²) ( U 9008 ^{2 9008 + ²) ( U 9008 2 9008 + ²) ( U} ²) ( U ²). v ² )

и это прямое упражнение в алгебре.

Полномочия i. Для нашего следующего частного случая умножения рассмотрим различные степени мнимой единицы i. Мы начали с предположения, что i ² = 1. Как насчет i ³ ? Это просто i ² умножить на и , и это 1 умножить на i. Следовательно, i ³ = i. Вот интересно: куб и есть собственное отрицание. Далее рассмотрим я ⁴ . Это квадрат i ² , то есть квадрат 1. Таким образом, i ⁴ = 1. Другими словами, i является корнем четвертой степени из 1. Вы можете показать, что i является еще одним корнем четвертой степени из 1. А так как 1 и 1 являются квадратными корнями из 1, теперь мы знаем все четыре корня четвертой степени из 1, а именно, 1, i, 1 и i. Это наблюдение связано с основной теоремой алгебры, поскольку уравнение z ⁴ = 1 — уравнение четвертой степени, поэтому оно должно иметь ровно четыре корня.

Высшие полномочия I легко найти сейчас, когда мы знаем I ⁴ = 1. Например, I ⁵ — I Time I ⁴, и это только я. Вы можете уменьшить мощность i на 4 и не изменить результат. Другой пример: i ¹¹ = i ⁷ = i ³ = i.

Как насчет отрицательных сил и ? Чему равно число i, ? то есть i ¹ ? По той же причине, по которой вы можете вычесть 4 из степени i и не изменить результат, вы также можете прибавить 4 к степени i. Это означает i ¹ = i ³ = i. Таким образом, обратное число i это i. Представьте себе число, обратное значение которого является его собственным отрицанием! Конечно, легко проверить, что i раз i равно 1, так что, конечно, i и i обратны.

Корни единства. Различные корни из 1 называются корнями из единицы. В общем, по основной теореме алгебры число n корней из единицы равно n, , так как имеется n корни уравнения n -й степени z ^u 1 = 0. Квадратные корни из единицы равны 1 и 1. Четвертые корни составляют ± 1, ± i, , как отмечалось ранее в разделе об абсолютном значении. Кроме того, в этом разделе упоминалось, что ±√2/2 ± i √2/2 были квадратными корнями из i и i, , а теперь с помощью формулы умножения это легко проверить. Следовательно, восемь восьмикореней из единицы равны ±1, ± i, и ±√2/2 ± i √2/2. Обратите внимание, как эти восемь корней единства равномерно распределены по единичному кругу.

Мы можем использовать геометрию, чтобы найти некоторые другие корни из единицы, в частности кубические корни и корни из единицы в шестой степени. Но давайте немного подождем их.

Умножение комплексного числа на i. В нашей цели найти геометрическую интерпретацию комплексного умножения, давайте рассмотрим следующее умножение произвольного комплексного числа z = x + yi на i.

z i = ( x + yi ) i = y + xi .

Давайте интерпретируем это утверждение геометрически. Точка z в C расположена на х единиц правее мнимой оси и на y единиц выше действительной оси. Точка з i расположено на и единиц левее и на x единиц выше. Произошло то, что умножение на i привело к повороту к точке z 90° против часовой стрелки вокруг начала координат к точке z i. Говоря короче, умножение на дает поворот на 90° против часовой стрелки около 0.

Таким же образом можно проанализировать, что делает умножение на i . Вы найдете это умножение на i дает поворот на 90° по часовой стрелке относительно 0. Когда мы не указываем против часовой стрелки или по часовой стрелке при обращении к поворотам или углам, мы будем следовать стандартному соглашению, согласно которому предполагается вращение против часовой стрелки. Тогда мы можем сказать, что умножение на i дает поворот на 90° относительно 0 или, если хотите, поворот на 270° относительно 0.

Геометрическая интерпретация умножения. Чтобы полностью оправдать то, что мы собираемся увидеть, необходима тригонометрия, и это делается в необязательном разделе. А пока мы увидим результаты без обоснования. Мы видели два особых случая умножения, один на вещественные числа, что приводит к масштабированию, другой на 9.0007 i , что приводит к вращению. Общий случай представляет собой комбинацию масштабирования и поворота.

Пусть z и w — точки комплексной плоскости C . Нарисуйте линии от 0 до z и от 0 до w . Длины этих линий являются абсолютными значениями | из | и | w | соответственно. Мы уже знаем, что длина строки от 0 до zw  будет абсолютным значением | ЗВ | что равно | г | | с |. (На диаграмме | z | составляет около 1,6, а | w | составляет около 2,1, поэтому | zw  | должно быть около 3,4. Обратите внимание, что единичный круг заштрихован.) Что мы не делаем знать направление линии от 0 до zw.

Ответ: «углы складываются». Мы будем определять направление линии от 0 до z по определенному углу, называемому аргументом of z , иногда обозначаемым arg( з ). Это угол, вершина которого равна 0, первая сторона — положительная действительная ось, а вторая сторона — линия от 0 до z. Другая точка w angle arg( w ). Тогда произведение zw  будет иметь угол, являющийся суммой углов arg( z ) + arg( w ). (На диаграмме arg( z ) составляет около 20°, а arg( w ) составляет около 45°, поэтому arg( zw  ) должно быть около 65°. )

Таким образом, у нас есть два уравнения, которые определяют, где zw  находится в C :

| ЗВ | = | из | | с |

arg( zw ) = arg( z ) + arg( zw )

Следующий раздел: Углы и полярные координаты

Предыдущий раздел: Абсолютное значение

Содержание

Электронная почта: djoyce@clarku.edu

Эти страницы расположены по адресу http://www.clarku.edu/~djoyce/complex/

Шпаргалки и формулы shram.kiev.ua

Студенту, школьнику… Шпаргалка и формула…

Основные формулы ЕГЭ
Математика к ЕГЭ
Формулы для 11 класса
Советская шпаргалка
Элементарная математика
Производные функций
Таблица антиподов
Тригонометрия и площадь фигур
Геометрия на ЕГЭ по математике
Стереометрия
Классическая стереометрия
Алгебра
Сокращенное умножение
Тригонометрические формулы
Прогресс
Степени и корни
Логарифмы
Пределы
Производная таблица
Решения онлайн-уравнений

N Щелкните изображение для просмотра в полном размере n

Тригонометрический круг

Синус, косинус, тангенс.

Формулы тригонометрии

Геометрия. Квадрат фигур

Высоты, медианы, биссектрисы

Параллелограмм, ромб, квадрат и их свойства

Касательная к окружности

Центральные и вписанные углы

Вписанные и описанные треугольники

объем и площадь поверхности

Чертежи в задачах стереометрии

Основы стереометрии. Часть 1

Основы стереометрии. Часть 2

Стереометрия: векторы и координаты

Как построить прямоугольную систему координат

Таблица производных

Графики функции преобразования. Задача C5

Квадрат суммы:
(A + b ) ² = a ² + 2 ab + b ²

Квадрат разности:
(А — б) ² = а ² — 2 ab + b ²

Количество кубов:
(A + b ) ³ = a ³ + 3 a ² b + 3 b ² a + b ³

Разность кубов:
(A — b ) ³ = a ³ — 3 a ² b + 3 b ² a — b ³

Формула Бинома-Ньютона:
(A + b) ⁿ = C ₀ ⁿ a ⁿ + C ₁ ⁿ a ^{n — 1} b + .