ΠΡΠ²Π΅Ρ: \displaystyle \frac{2 (m-1)}{m}
ΠΡΠ΅ ΠΏΠΎ ΡΠ΅ΠΌΠ΅:
Π Π°Π·Π½ΠΎΡΡΡ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠΎΠ²,
ΠΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ Π΄Π»Ρ Π·Π°ΠΊΡΠ΅ΠΏΠ»Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ» ΡΠΎΠΊΡΠ°ΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ (Π€Π‘Π£)
ΠΠ°ΠΊ ΡΠ°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡΡ ΠΊΡΠ± ΡΡΠΌΠΌΡ. Π€ΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΡΠΎΠΊΡΠ°ΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ
Π€ΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΡΠΎΠΊΡΠ°ΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ.
ΠΠ·ΡΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΎΡΠΌΡΠ» ΡΠΎΠΊΡΠ°ΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ: ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ° ΡΡΠΌΠΌΡ ΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ° ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΠΈ Π΄Π²ΡΡ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ; ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠΎΠ² Π΄Π²ΡΡ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ; ΠΊΡΠ±Π° ΡΡΠΌΠΌΡ ΠΈ ΠΊΡΠ±Π° ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΠΈ Π΄Π²ΡΡ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ; ΡΡΠΌΠΌΡ ΠΈ ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΠΈ ΠΊΡΠ±ΠΎΠ² Π΄Π²ΡΡ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΎΡΠΌΡΠ» ΡΠΎΠΊΡΠ°ΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΈ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠΎΠ².
ΠΠ»Ρ ΡΠΏΡΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ, ΡΠ°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½ΠΎΠ² Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΠΈ, ΠΏΡΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½ΠΎΠ² ΠΊ ΡΡΠ°Π½Π΄Π°ΡΡΠ½ΠΎΠΌΡ Π²ΠΈΠ΄Ρ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡΡΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΡΠΎΠΊΡΠ°ΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ. Π€ΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΡΠΎΠΊΡΠ°ΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ Π·Π½Π°ΡΡ Π½Π°ΠΈΠ·ΡΡΡΡ .
ΠΡΡΡΡ Π°, b R. Π’ΠΎΠ³Π΄Π°:
1. ΠΠ²Π°Π΄ΡΠ°Ρ ΡΡΠΌΠΌΡ Π΄Π²ΡΡ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΡΠ°Π²Π΅Π½ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ³ΠΎ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠ»ΡΡ ΡΠ΄Π²ΠΎΠ΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ³ΠΎ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π½Π° Π²ΡΠΎΡΠΎΠ΅ ΠΏΠ»ΡΡ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°Ρ Π²ΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ.
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
2.
(a — b) 2 = a 2 — 2ab + b 2
3. Π Π°Π·Π½ΠΎΡΡΡ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠΎΠ² Π΄Π²ΡΡ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΡΠ°Π²Π½Π° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΠΈ ΡΡΠΈΡ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈ ΠΈΡ ΡΡΠΌΠΌΡ.
a 2 — b 2 = (a -b) (a+b)
4. ΠΡΠ± ΡΡΠΌΠΌΡ Π΄Π²ΡΡ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΡΠ°Π²Π΅Π½ ΠΊΡΠ±Ρ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ³ΠΎ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠ»ΡΡ ΡΡΡΠΎΠ΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ° ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ³ΠΎ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π½Π° Π²ΡΠΎΡΠΎΠ΅ ΠΏΠ»ΡΡ ΡΡΡΠΎΠ΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ³ΠΎ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π½Π° ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°Ρ Π²ΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠ»ΡΡ ΠΊΡΠ± Π²ΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ.
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
5. ΠΡΠ± ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΠΈ Π΄Π²ΡΡ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΡΠ°Π²Π΅Π½ ΠΊΡΠ±Ρ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ³ΠΎ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠΈΠ½ΡΡ ΡΡΡΠΎΠ΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ° ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ³ΠΎ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π½Π° Π²ΡΠΎΡΠΎΠ΅ ΠΏΠ»ΡΡ ΡΡΡΠΎΠ΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ³ΠΎ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π½Π° ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°Ρ Π²ΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠΈΠ½ΡΡ ΠΊΡΠ± Π²ΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ.
(a — b) 3 = a 3 — 3a 2 b + 3ab 2 — b 3
6. Π‘ΡΠΌΠΌΠ° ΠΊΡΠ±ΠΎΠ² Π΄Π²ΡΡ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΡΠ°Π²Π½Π° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠΌΠΌΡ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈ Π²ΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π½Π° Π½Π΅ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΠΉ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°Ρ ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΠΈ ΡΡΠΈΡ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ.
a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 — ab + b 2)
7. Π Π°Π·Π½ΠΎΡΡΡ ΠΊΡΠ±ΠΎΠ² Π΄Π²ΡΡ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΡΠ°Π²Π½Π° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈ Π²ΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π½Π° Π½Π΅ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΠΉ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°Ρ ΡΡΠΌΠΌΡ ΡΡΠΈΡ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ.
a 3 — b 3 = (a — b) (a 2 + ab + b 2)
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΎΡΠΌΡΠ» ΡΠΎΠΊΡΠ°ΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΈ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠΎΠ².
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 1.
ΠΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΡ
Π°) ΠΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ° ΡΡΠΌΠΌΡ Π΄Π²ΡΡ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ, ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ
(40+1) 2 = 40 2 + 2 Β· 40 Β· 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681
Π±) ΠΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ° ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΠΈ Π΄Π²ΡΡ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ
98 2 = (100 β 2) 2 = 100 2 — 2 Β· 100 Β· 2 + 2 2 = 10000 β 400 + 4 = 9604
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 2.
ΠΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΡ
ΠΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠΎΠ² Π΄Π²ΡΡ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 3.
Π£ΠΏΡΠΎΡΡΠΈΡΡ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅
(Ρ — Ρ) 2 + (Ρ + Ρ) 2
ΠΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΠΌΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π°ΠΌΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ° ΡΡΠΌΠΌΡ ΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ° ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΠΈ Π΄Π²ΡΡ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ
(Ρ — Ρ) 2 + (Ρ + Ρ) 2 = Ρ 2 — 2Ρ Ρ + Ρ 2 + Ρ 2 + 2Ρ Ρ + Ρ 2 = 2Ρ 2 + 2Ρ 2
Π€ΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΡΠΎΠΊΡΠ°ΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΠ΅:
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a — b) 2 = a 2 — 2ab + b 2
a 2 — b 2 = (a — b) (a+b)
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a — b) 3 = a 3 — 3a 2 b + 3ab 2 — b 3
a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 — ab + b 2)
a 3 — b 3 = (a — b) (a 2 + ab + b 2)
Π€ΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΡΠΎΠΊΡΠ°ΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ (Π€Π‘Π£) ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡΡΡΡ Π΄Π»Ρ Π²ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π² ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Ρ ΠΈ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠΈΡΠ΅Π» ΠΈ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ. Π§Π°ΡΡΠΎ ΡΡΠΈ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠΈ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ°ΠΊΡΠ½ΠΎ ΠΈ Π±ΡΡΡΡΠΎ.
Π Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΡΠ°ΡΡΠ΅ ΠΌΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠΈΡΠ»ΠΈΠΌ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΡΠ΅ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΡΠΎΠΊΡΠ°ΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ, ΡΠ³ΡΡΠΏΠΏΠΈΡΡΠ΅ΠΌ ΠΈΡ Π² ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΡ, ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΡΡΠΈΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ», Π° ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΎΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΈΠΌΡΡ Π½Π° ΠΏΡΠΈΠ½ΡΠΈΠΏΠ°Ρ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ² ΡΠΎΡΠΌΡΠ» ΡΠΎΠΊΡΠ°ΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ.
ΠΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΠ΅ ΡΠ΅ΠΌΠ° Π€Π‘Π£ ΡΠ°ΡΡΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π² ΡΠ°ΠΌΠΊΠ°Ρ ΠΊΡΡΡΠ° «ΠΠ»Π³Π΅Π±ΡΠ°» Π·Π° 7 ΠΊΠ»Π°ΡΡ. ΠΡΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅ΠΌ Π½ΠΈΠΆΠ΅ 7 ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ».
Π€ΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΡΠΎΠΊΡΠ°ΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ
- ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π° ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ° ΡΡΠΌΠΌΡ: a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2
- ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π° ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ° ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΠΈ: a — b 2 = a 2 — 2 a b + b 2
- ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π° ΠΊΡΠ±Π° ΡΡΠΌΠΌΡ: a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3
- ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π° ΠΊΡΠ±Π° ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΠΈ: a — b 3 = a 3 — 3 a 2 b + 3 a b 2 — b 3
- ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π° ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠΎΠ²: a 2 — b 2 = a — b a + b
- ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π° ΡΡΠΌΠΌΡ ΠΊΡΠ±ΠΎΠ²: a 3 + b 3 = a + b a 2 — a b + b 2
- ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π° ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΠΈ ΠΊΡΠ±ΠΎΠ²: a 3 — b 3 = a — b a 2 + a b + b 2
ΠΡΠΊΠ²Π°ΠΌΠΈ a, b, c Π² Π΄Π°Π½Π½ΡΡ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡΡ ΠΌΠΎΠ³ΡΡ Π±ΡΡΡ Π»ΡΠ±ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π°, ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΠ΅ ΠΈΠ»ΠΈ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ. ΠΠ»Ρ ΡΠ΄ΠΎΠ±ΡΡΠ²Π° ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ Π»ΡΡΡΠ΅ Π²ΡΡΡΠΈΡΡ ΡΠ΅ΠΌΡ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ» Π½Π°ΠΈΠ·ΡΡΡΡ. Π‘Π²Π΅Π΄Π΅ΠΌ ΠΈΡ Π² ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΡ ΠΈ ΠΏΡΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅ΠΌ Π½ΠΈΠΆΠ΅, ΠΎΠ±Π²Π΅Π΄Ρ ΡΠ°ΠΌΠΊΠΎΠΉ.
ΠΠ΅ΡΠ²ΡΠ΅ ΡΠ΅ΡΡΡΠ΅ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΡΡ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΡΡΡ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°Ρ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΊΡΠ± ΡΡΠΌΠΌΡ ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΠΈ Π΄Π²ΡΡ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ.
ΠΡΡΠ°Ρ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π° Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΡΠ΅Ρ ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΡ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠΎΠ² Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΠΏΡΡΠ΅ΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΈΡ ΡΡΠΌΠΌΡ ΠΈ ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΠΈ.
Π¨Π΅ΡΡΠ°Ρ ΠΈ ΡΠ΅Π΄ΡΠΌΠ°Ρ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ — ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠΌΠΌΡ ΠΈ ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΠΈ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π½Π° Π½Π΅ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΠΉ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°Ρ ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΠΈ ΠΈ Π½Π΅ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΠΉ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°Ρ ΡΡΠΌΠΌΡ.
Π€ΠΎΡΠΌΡΠ»Π° ΡΠΎΠΊΡΠ°ΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΈΠ½ΠΎΠ³Π΄Π° Π΅ΡΠ΅ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ ΡΠΎΠΆΠ΄Π΅ΡΡΠ²Π°ΠΌΠΈ ΡΠΎΠΊΡΠ°ΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ. Π ΡΡΠΎΠΌ Π½Π΅Ρ Π½ΠΈΡΠ΅Π³ΠΎ ΡΠ΄ΠΈΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ, ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ΅ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²ΠΎ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅Ρ ΡΠΎΠ±ΠΎΠΉ ΡΠΎΠΆΠ΄Π΅ΡΡΠ²ΠΎ.
ΠΡΠΈ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΏΡΠ°ΠΊΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠΎΠ² ΡΠ°ΡΡΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΡΠΎΠΊΡΠ°ΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Ρ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Π½ΡΠΌΠΈ ΠΌΠ΅ΡΡΠ°ΠΌΠΈ Π»Π΅Π²ΡΠΌΠΈ ΠΈ ΠΏΡΠ°Π²ΡΠΌΠΈ ΡΠ°ΡΡΡΠΌΠΈ. ΠΡΠΎ ΠΎΡΠΎΠ±Π΅Π½Π½ΠΎ ΡΠ΄ΠΎΠ±Π½ΠΎ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΠΌΠ΅ΡΡΠΎ ΡΠ°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½Π° Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΠΈ.
ΠΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΡΠΎΠΊΡΠ°ΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ
ΠΠ΅ Π±ΡΠ΄Π΅ΠΌ ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠΈΠ²Π°ΡΡΡΡ ΠΊΡΡΡΠΎΠΌ 7 ΠΊΠ»Π°ΡΡΠ° ΠΏΠΎ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ΅ ΠΈ Π΄ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΠΌ Π² Π½Π°ΡΡ ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΡ Π€Π‘Π£ Π΅ΡΠ΅ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΡΠΎΡΠΌΡΠ».
ΠΠΎ-ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΡ , ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ Π±ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠ° ΠΡΡΡΠΎΠ½Π°.
a + b n = C n 0 Β· a n + C n 1 Β· a n — 1 Β· b + C n 2 Β· a n — 2 Β· b 2 + . . + C n n — 1 Β· a Β· b n — 1 + C n n Β· b n
ΠΠ΄Π΅ΡΡ C n k — Π±ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΡ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΡΡΠΎΡΡ Π² ΡΡΡΠΎΠΊΠ΅ ΠΏΠΎΠ΄ Π½ΠΎΠΌΠ΅ΡΠΎΠΌ n Π² ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ΅ ΠΏΠ°ΡΠΊΠ°Π»Ρ. ΠΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΡ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΡΡΡΡΡ ΠΏΠΎ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π΅:
C n k = n ! k ! Β· (n — k) ! = n (n — 1) (n — 2) . . (n — (k — 1)) k !
ΠΠ°ΠΊ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, Π€Π‘Π£ Π΄Π»Ρ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ° ΠΈ ΠΊΡΠ±Π° ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΠΈ ΠΈ ΡΡΠΌΠΌΡ — ΡΡΠΎ ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΠΉ ΡΠ»ΡΡΠ°ΠΉ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ Π±ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠ° ΠΡΡΡΠΎΠ½Π° ΠΏΡΠΈ n=2 ΠΈ n=3ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ.
ΠΠΎ ΡΡΠΎ, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΡΠ»Π°Π³Π°Π΅ΠΌΡΡ Π² ΡΡΠΌΠΌΠ΅, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ Π²ΠΎΠ·Π²Π΅ΡΡΠΈ Π² ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Ρ, Π±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅, ΡΠ΅ΠΌ Π΄Π²Π°? ΠΠΎΠ»Π΅Π·Π½ΠΎΠΉ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π° ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ° ΡΡΠΌΠΌΡ ΡΡΠ΅Ρ , ΡΠ΅ΡΡΡΠ΅Ρ ΠΈ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΡΠ»Π°Π³Π°Π΅ΠΌΡΡ .
a 1 + a 2 + . . + a n 2 = a 1 2 + a 2 2 + . . + a n 2 + 2 a 1 a 2 + 2 a 1 a 3 + . . + 2 a 1 a n + 2 a 2 a 3 + 2 a 2 a 4 + . . + 2 a 2 a n + 2 a n — 1 a n
ΠΡΠ΅ ΠΎΠ΄Π½Π° ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π°, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠ°Ρ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ ΠΏΡΠΈΠ³ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ — ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π° ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π° ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΠΈ n-ΡΡ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Π΅ΠΉ Π΄Π²ΡΡ ΡΠ»Π°Π³Π°Π΅ΠΌΡΡ .
a n — b n = a — b a n — 1 + a n — 2 b + a n — 3 b 2 + . . + a 2 b n — 2 + b n — 1
ΠΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΠΎΠ±ΡΡΠ½ΠΎ ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π»ΡΡΡ Π½Π° Π΄Π²Π΅ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ — ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ Π΄Π»Ρ ΡΠ΅ΡΠ½ΡΡ ΠΈ Π½Π΅ΡΠ΅ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Π΅ΠΉ.
ΠΠ»Ρ ΡΠ΅ΡΠ½ΡΡ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»Π΅ΠΉ 2m:
a 2 m — b 2 m = a 2 — b 2 a 2 m — 2 + a 2 m — 4 b 2 + a 2 m — 6 b 4 + . . + b 2 m — 2
ΠΠ»Ρ Π½Π΅ΡΠ΅ΡΠ½ΡΡ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»Π΅ΠΉ 2m+1:
a 2 m + 1 — b 2 m + 1 = a 2 — b 2 a 2 m + a 2 m — 1 b + a 2 m — 2 b 2 + . . + b 2 m
Π€ΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠΎΠ² ΠΈ ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΠΈ ΠΊΡΠ±ΠΎΠ², ΠΊΠ°ΠΊ Π²Ρ Π΄ΠΎΠ³Π°Π΄Π°Π»ΠΈΡΡ, ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΠΌΠΈ ΡΡΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΠΏΡΠΈ n = 2 ΠΈ n = 3 ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ. ΠΠ»Ρ ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΠΈ ΠΊΡΠ±ΠΎΠ² b ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ΡΡΡ Π½Π° — b .
ΠΠ°ΠΊ ΡΠΈΡΠ°ΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΡΠΎΠΊΡΠ°ΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ?
ΠΠ°Π΄ΠΈΠΌ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠΈΠ΅ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»ΠΈΡΠΎΠ²ΠΊΠΈ Π΄Π»Ρ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ, Π½ΠΎ ΡΠ½Π°ΡΠ°Π»Π° ΡΠ°Π·Π±Π΅ΡΠ΅ΠΌΡΡ Ρ ΠΏΡΠΈΠ½ΡΠΈΠΏΠΎΠΌ ΡΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ». Π£Π΄ΠΎΠ±Π½Π΅Π΅ Π²ΡΠ΅Π³ΠΎ Π΄Π΅Π»Π°ΡΡ ΡΡΠΎ Π½Π° ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ΅. ΠΠΎΠ·ΡΠΌΠ΅ΠΌ ΡΠ°ΠΌΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ° ΡΡΠΌΠΌΡ Π΄Π²ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π».
a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2 .
ΠΠΎΠ²ΠΎΡΡΡ: ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°Ρ ΡΡΠΌΠΌΡ Π΄Π²ΡΡ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ a ΠΈ b ΡΠ°Π²Π΅Π½ ΡΡΠΌΠΌΠ΅ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ° ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ³ΠΎ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ, ΡΠ΄Π²ΠΎΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ° Π²ΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ.
ΠΡΠ΅ ΠΎΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΡΠΈΡΠ°ΡΡΡΡ Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡΠ½ΠΎ. ΠΠ»Ρ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ° ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΠΈ a — b 2 = a 2 — 2 a b + b 2 Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ΅ΠΌ:
ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°Ρ ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΠΈ Π΄Π²ΡΡ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ a ΠΈ b ΡΠ°Π²Π΅Π½ ΡΡΠΌΠΌΠ΅ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠΎΠ² ΡΡΠΈΡ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΡΡ ΡΠ΄Π²ΠΎΠ΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈ Π²ΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ.
ΠΡΠΎΡΠΈΡΠ°Π΅ΠΌ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3 . ΠΡΠ± ΡΡΠΌΠΌΡ Π΄Π²ΡΡ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ a ΠΈ b ΡΠ°Π²Π΅Π½ ΡΡΠΌΠΌΠ΅ ΠΊΡΠ±ΠΎΠ² ΡΡΠΈΡ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ, ΡΡΡΠΎΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ° ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ³ΠΎ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π½Π° Π²ΡΠΎΡΠΎΠ΅ ΠΈ ΡΡΡΠΎΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ° Π²ΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π½Π° ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ΅ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅.
ΠΠ΅ΡΠ΅Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΊ ΡΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ Π΄Π»Ρ ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΠΈ ΠΊΡΠ±ΠΎΠ² a — b 3 = a 3 — 3 a 2 b + 3 a b 2 — b 3 . ΠΡΠ± ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΠΈ Π΄Π²ΡΡ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ a ΠΈ b ΡΠ°Π²Π΅Π½ ΠΊΡΠ±Ρ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ³ΠΎ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠΈΠ½ΡΡ ΡΡΡΠΎΠ΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ° ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ³ΠΎ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π½Π° Π²ΡΠΎΡΠΎΠ΅, ΠΏΠ»ΡΡ ΡΡΡΠΎΠ΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ° Π²ΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π½Π° ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ΅ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΌΠΈΠ½ΡΡ ΠΊΡΠ± Π²ΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ.
ΠΡΡΠ°Ρ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π° a 2 — b 2 = a — b a + b (ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΡ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠΎΠ²) ΡΠΈΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΡΠ°ΠΊ: ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΡ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠΎΠ² Π΄Π²ΡΡ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΡΠ°Π²Π½Π° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΠΈ ΠΈ ΡΡΠΌΠΌΡ Π΄Π²ΡΡ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ.
ΠΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠΈΠΏΠ° a 2 + a b + b 2 ΠΈ a 2 — a b + b 2 Π΄Π»Ρ ΡΠ΄ΠΎΠ±ΡΡΠ²Π° Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ Π½Π΅ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΠΌ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠΎΠΌ ΡΡΠΌΠΌΡ ΠΈ Π½Π΅ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΠΌ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠΎΠΌ ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΠΈ.
Π‘ ΡΡΠ΅ΡΠΎΠΌ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ, ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΡΡΠΌΠΌΡ ΠΈ ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΠΈ ΠΊΡΠ±ΠΎΠ² ΠΏΡΠΎΡΠΈΡΠ°ΡΡΡΡ ΡΠ°ΠΊ:
Π‘ΡΠΌΠΌΠ° ΠΊΡΠ±ΠΎΠ² Π΄Π²ΡΡ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΡΠ°Π²Π½Π° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠΌΠΌΡ ΡΡΠΈΡ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π½Π° Π½Π΅ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΠΉ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°Ρ ΠΈΡ ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΠΈ.
Π Π°Π·Π½ΠΎΡΡΡ ΠΊΡΠ±ΠΎΠ² Π΄Π²ΡΡ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΡΠ°Π²Π½Π° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΠΈ ΡΡΠΈΡ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π½Π° Π½Π΅ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΠΉ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°Ρ ΠΈΡ ΡΡΠΌΠΌΡ.
ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²ΠΎ Π€Π‘Π£
ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ Π€Π‘Π£ Π΄ΠΎΠ²ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎ. ΠΡΠ½ΠΎΠ²ΡΠ²Π°ΡΡΡ Π½Π° ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π°Ρ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ, ΠΏΡΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅ΠΌ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ°ΡΡΠ΅ΠΉ ΡΠΎΡΠΌΡΠ» Π² ΡΠΊΠΎΠ±ΠΊΠ°Ρ .
ΠΠ»Ρ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ° ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ° ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΠΈ.
a — b 2 = a 2 — 2 a b + b 2 .
Π§ΡΠΎΠ±Ρ Π²ΠΎΠ·Π²Π΅ΡΡΠΈ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²ΠΎ Π²ΡΠΎΡΡΡ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Ρ Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ ΡΡΠΎ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΡ ΡΠ°ΠΌΠΎ Π½Π° ΡΠ΅Π±Ρ.
a — b 2 = a — b a — b .
Π Π°ΡΠΊΡΠΎΠ΅ΠΌ ΡΠΊΠΎΠ±ΠΊΠΈ:
a — b a — b = a 2 — a b — b a + b 2 = a 2 — 2 a b + b 2 .
Π€ΠΎΡΠΌΡΠ»Π° Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π°. ΠΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ Π€Π‘Π£ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°ΡΡΡΡ Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡΠ½ΠΎ.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΡ Π€Π‘Π£
Π¦Π΅Π»Ρ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ» ΡΠΎΠΊΡΠ°ΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ — Π±ΡΡΡΡΠΎΠ΅ ΠΈ ΠΊΡΠ°ΡΠΊΠΎΠ΅ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Π²ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π² ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Ρ. ΠΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ, ΡΡΠΎ Π½Π΅ Π²ΡΡ ΡΡΠ΅ΡΠ° ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΡ Π€Π‘Π£. ΠΠ½ΠΈ ΡΠΈΡΠΎΠΊΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡΡΡΡ ΠΏΡΠΈ ΡΠΎΠΊΡΠ°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ, ΡΠΎΠΊΡΠ°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π΄ΡΠΎΠ±Π΅ΠΉ, ΡΠ°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½ΠΎΠ² Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΠΈ. ΠΡΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅ΠΌ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 1. Π€Π‘Π£
Π£ΠΏΡΠΎΡΡΠΈΠΌ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ 9 y — (1 + 3 y) 2 .
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΡΡΠΌΠΌΡ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠΎΠ² ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ:
9 y — (1 + 3 y) 2 = 9 y — (1 + 6 y + 9 y 2) = 9 y — 1 — 6 y — 9 y 2 = 3 y — 1 — 9 y 2
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 2. Π€Π‘Π£
Π‘ΠΎΠΊΡΠ°ΡΠΈΠΌ Π΄ΡΠΎΠ±Ρ 8 x 3 — z 6 4 x 2 — z 4 .
ΠΠ°ΠΌΠ΅ΡΠ°Π΅ΠΌ, ΡΡΠΎ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΠ΅Π»Π΅ — ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΡ ΠΊΡΠ±ΠΎΠ², Π° Π² Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°ΡΠ΅Π»Π΅ — ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΡ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠΎΠ².
8 x 3 — z 6 4 x 2 — z 4 = 2 x — z (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x — z 2 x + z .
Π‘ΠΎΠΊΡΠ°ΡΠ°Π΅ΠΌ ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ:
8 x 3 — z 6 4 x 2 — z 4 = (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x + z
Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π€Π‘Π£ ΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³Π°ΡΡ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΡΡΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ. ΠΠ»Π°Π²Π½ΠΎΠ΅ — ΡΠΌΠ΅ΡΡ Π·Π°ΠΌΠ΅ΡΠΈΡΡ, Π³Π΄Π΅ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ. ΠΠΎΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ ΡΡΠΎ Π½Π° ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ΅.
ΠΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Π΅ΠΌ Π² ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°Ρ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ 79 . ΠΠΌΠ΅ΡΡΠΎ Π³ΡΠΎΠΌΠΎΠ·Π΄ΠΊΠΈΡ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠΉ, Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ΅ΠΌ:
79 = 80 — 1 ; 79 2 = 80 — 1 2 = 6400 — 160 + 1 = 6241 .
ΠΠ°Π·Π°Π»ΠΎΡΡ Π±Ρ, ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠ΅ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΎ Π±ΡΡΡΡΠΎ Π²ΡΠ΅Π³ΠΎ Π»ΠΈΡΡ Ρ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΡΠΎΡΠΌΡΠ» ΡΠΎΠΊΡΠ°ΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΈ ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΡ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ.
ΠΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π°: ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅
ΠΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π°: ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΠ»Π³Π΅Π±ΡΠ°ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅. ΠΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ β Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½Π°Ρ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΡ Π΄Π»Ρ ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΡ ΠΊΠ°ΠΊ Ρ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ°ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ, ΡΠ°ΠΊ ΠΈ Ρ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠΈ Π·ΡΠ΅Π½ΠΈΡ. ΠΠ°Π²Π°ΠΉΡΠ΅ ΡΠ½Π°ΡΠ°Π»Π° ΡΠ΄Π΅Π»Π°Π΅ΠΌ ΡΡΠΎ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ°ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈ ΠΈ Π²ΠΎΠ·ΡΠΌΠ΅ΠΌ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΡΠ΅ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π° Π΄Π»Ρ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ, ΡΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ, 3 + 2 i ΠΈ 1 + 4 i. Π ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌ ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ ΠΏΠΎ Π΄Π²Π° ΡΠ»Π°Π³Π°Π΅ΠΌΡΡ , ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ, ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ² ΠΈΡ , ΠΌΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ ΡΠ΅ΡΡΡΠ΅ ΡΠ»Π°Π³Π°Π΅ΠΌΡΡ :
Π’Π΅ΠΏΠ΅ΡΡ 12 i + 2 i ΡΠΏΡΠΎΡΠ°Π΅ΡΡΡ Π΄ΠΎ 14 i, , ΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎ. Π ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π°ΡΡΠ΅Ρ 8 i 2 ? ΠΠΎΠΌΠ½ΠΈΡΠ΅, ΠΌΡ Π²Π²Π΅Π»ΠΈ i ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠΎΠΊΡΠ°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΡ β1, ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠΎΡΠ½Ρ ΠΈΠ· 1. ΠΡΡΠ³ΠΈΠΌΠΈ ΡΠ»ΠΎΠ²Π°ΠΌΠΈ, i β ΡΡΠΎ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ, ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°Ρ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ°Π²Π΅Π½ 1. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, 8 i 2 ΡΠ°Π²Π½ΡΠ΅ΡΡΡ 8. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ (3Β +Β 2 i )(1Β +Β 4 i ) ΡΠ°Π²Π½ΠΎ 5Β +Β 14 i.
ΠΡΠ»ΠΈ Π²Ρ ΠΎΠ±ΠΎΠ±ΡΠΈΡΠ΅ ΡΡΠΎΡ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, Π²Ρ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΠ΅ ΠΎΠ±ΡΠ΅Π΅ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ
ΠΠΎΠΌΠ½ΠΈΡΠ΅, ΡΡΠΎ ( xu Β yv ), Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½Π°Ρ ΡΠ°ΡΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π΅ΡΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΠ°ΡΡΠ΅ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡΡ ΡΠ°ΡΡΠ΅ΠΉ, Π½ΠΎ ( xv Β +Β yu ), ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠ°Ρ ΡΠ°ΡΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ, ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅Ρ ΡΠΎΠ±ΠΎΠΉ ΡΡΠΌΠΌΡ Π΄Π²ΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠ°ΡΡΠΈ ΠΈ Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠΉ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠΎΠΉ ΡΠ°ΡΡΠΈ.
ΠΠ°Π²Π°ΠΉΡΠ΅ ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠ»ΡΡΠ°ΠΈ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ.
Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° Π½Π° Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ. Π ΠΏΡΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π²ΡΡΠ΅ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π΅ Π΄Π»Ρ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ, Π΅ΡΠ»ΠΈ v ΡΠ°Π²Π½ΠΎ Π½ΡΠ»Ρ, ΡΠΎΠ³Π΄Π° Π²Ρ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΠ΅ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ Π΄Π»Ρ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π°
ΠΡΡΠ³ΠΈΠΌΠΈ ΡΠ»ΠΎΠ²Π°ΠΌΠΈ, Π²Ρ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Π΅ΡΠ΅ ΠΎΠ±Π΅ ΡΠ°ΡΡΠΈ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° Π½Π° Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ. ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, 2 ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΡ Π½Π° 3 + i β ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎ 6 + 2 i. ΠΠ΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π²Ρ ΡΠ΄Π²Π°ΠΈΠ²Π°Π΅ΡΠ΅ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ, ΠΏΡΠΎΡΡΠΎ ΡΠ΄Π²Π°ΠΈΠ²Π°ΠΉΡΠ΅ ΡΠ°ΡΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠ΅ ΠΎΡ Π½Π°ΡΠ°Π»Π° ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ, 0. Π’ΠΎΡΠ½ΠΎ ΡΠ°ΠΊ ΠΆΠ΅, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π²Ρ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Π΅ΡΠ΅ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ z Π½Π° 1/2, ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°Ρ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ Π½Π° ΠΏΠΎΠ»ΠΏΡΡΠΈ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ 0 ΠΈ Π³. Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° 2 ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ°ΡΡΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²Π°ΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ΅ ΡΠ°ΡΡΡΠ³ΠΈΠ²Π°Π΅Ρ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΡ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΡ C Π² 2 ΡΠ°Π·Π° ΠΎΡ 0; ΠΈ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° 1/2 ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ΅ ΡΠΆΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ C Π΄ΠΎ 0.
Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅. ΠΠ΅ΡΠΌΠΎΡΡΡ Π½Π° ΡΠΎ, ΡΡΠΎ ΠΌΡ ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠ΅Π»ΠΈ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΡΠ»ΡΡΠ°ΠΉ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ, Π΄ΠΎΡΡΠ°ΡΠΎΡΠ½ΠΎ ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΡ, ΡΡΠΎ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ zw ββ (Ρ. Π΅. ΡΠ°ΡΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠ΅ ΠΎΡ 0 Π΄ΠΎ zw ββ ) ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡΡΠ½ΡΠΌ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ z ΡΠ°Π· Π±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ w. ΠΡΠΎ Π±ΡΠ»ΠΎ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° w Π±ΡΠ»ΠΎ ΡΠ΅Π°Π»ΡΠ½ΡΠΌ ΡΠΈΡΠ»ΠΎΠΌ u ΡΡΡΡ Π²ΡΡΠ΅. ΠΠ° ΡΠ°ΠΌΠΎΠΌ Π΄Π΅Π»Π΅, ΡΡΠΎ Π²Π΅ΡΠ½ΠΎ Π² ΡΠ΅Π»ΠΎΠΌ:
ΠΡΠΎΠ²Π΅ΡΠΊΠ° ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΎΠΆΠ΄Π΅ΡΡΠ²Π° ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠΏΡΠ°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π² Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ΅. Π§ΡΠΎΠ±Ρ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ ΡΡΠΎ, ΠΌΡ Π΄ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ, ΡΡΠΎ ΡΡΠΎ Π²Π΅ΡΠ½ΠΎ Π΄Π»Ρ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠΎΠ², ΡΡΠΎΠ±Ρ Π½Π°ΠΌ Π½Π΅ ΠΏΡΠΈΡ ΠΎΠ΄ΠΈΠ»ΠΎΡΡ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ Π΄Π΅Π»ΠΎ Ρ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΠΊΠΎΡΠ½ΡΠΌΠΈ. ΠΡ ΠΏΠΎΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ | ΠΠ | 2 Β =Β | Π³ | 2 | Ρ
Π’ΠΎΡΠ½ΠΎ ΡΠ°ΠΊ ΠΆΠ΅ Ρ Π½Π°Ρ Π΅ΡΡΡ
ΠΈ, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ zw ββ = ( xu Β Β yv )Β +Β ( xv Β +Β yu ) i,
ΠΡΠ°ΠΊ, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ | ΠΠ | 2 Β =Β | ΠΈΠ· | 2 | Ρ | 2 , Π²ΡΠ΅, ΡΡΠΎ Π²Π°ΠΌ Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ΄Π΅Π»Π°ΡΡ, ΡΡΠΎ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ, ΡΡΠΎ
ΠΈ ΡΡΠΎ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠ΅ ΡΠΏΡΠ°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ΅.
ΠΠΎΠ»Π½ΠΎΠΌΠΎΡΠΈΡ i. ΠΠ»Ρ Π½Π°ΡΠ΅Π³ΠΎ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠ΅Π³ΠΎ ΡΠ°ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ»ΡΡΠ°Ρ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΠ΅ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠΎΠΉ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΡ i. ΠΡ Π½Π°ΡΠ°Π»ΠΈ Ρ ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ, ΡΡΠΎ i 2 Β =Β 1. ΠΠ°ΠΊ Π½Π°ΡΡΠ΅Ρ i 3 ? ΠΡΠΎ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎ i 2 ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΡ Π½Π° ΠΈ , ΠΈ ΡΡΠΎ 1 ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΡ Π½Π° i. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, i 3 Β =Β i. ΠΠΎΡ ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠ½ΠΎ: ΠΊΡΠ± ΠΈ Π΅ΡΡΡ ΡΠΎΠ±ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΎΡΡΠΈΡΠ°Π½ΠΈΠ΅. ΠΠ°Π»Π΅Π΅ ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ Ρ 4 . ΠΡΠΎ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°Ρ i 2 , ΡΠΎ Π΅ΡΡΡ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°Ρ 1. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, i 4 Β =Β 1. ΠΡΡΠ³ΠΈΠΌΠΈ ΡΠ»ΠΎΠ²Π°ΠΌΠΈ, i ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΊΠΎΡΠ½Π΅ΠΌ ΡΠ΅ΡΠ²Π΅ΡΡΠΎΠΉ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ ΠΈΠ· 1. ΠΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΡΠ΅ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ, ΡΡΠΎ i ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π΅ΡΠ΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΌ ΠΊΠΎΡΠ½Π΅ΠΌ ΡΠ΅ΡΠ²Π΅ΡΡΠΎΠΉ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ ΠΈΠ· 1. Π ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ 1 ΠΈ 1 ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΠΊΠΎΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΠΈΠ· 1, ΡΠ΅ΠΏΠ΅ΡΡ ΠΌΡ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ Π²ΡΠ΅ ΡΠ΅ΡΡΡΠ΅ ΠΊΠΎΡΠ½Ρ ΡΠ΅ΡΠ²Π΅ΡΡΠΎΠΉ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ ΠΈΠ· 1, Π° ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ, 1, i, 1 ΠΈ i. ΠΡΠΎ Π½Π°Π±Π»ΡΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ²ΡΠ·Π°Π½ΠΎ Ρ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΠΎΠΉ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠΎΠΉ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΡ, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ z 4 Β =Β 1 β ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ΅ΡΠ²Π΅ΡΡΠΎΠΉ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ, ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ ΠΎΠ½ΠΎ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΡΠΎΠ²Π½ΠΎ ΡΠ΅ΡΡΡΠ΅ ΠΊΠΎΡΠ½Ρ.
ΠΡΡΡΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠΌΠΎΡΠΈΡ I Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΡΠ΅ΠΉΡΠ°Ρ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΡ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ I 4 = 1. ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, I 5 — I Time I 4 , ΠΈ ΡΡΠΎ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Ρ. ΠΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΡΠ΅ ΡΠΌΠ΅Π½ΡΡΠΈΡΡ ΠΌΠΎΡΠ½ΠΎΡΡΡ i Π½Π° 4 ΠΈ Π½Π΅ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡΡ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°Ρ. ΠΡΡΠ³ΠΎΠΉ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ: i 11 Β = i 7 Β = i 3 Β =Β i.
ΠΠ°ΠΊ Π½Π°ΡΡΠ΅Ρ ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ
ΡΠΈΠ» ΠΈ ? Π§Π΅ΠΌΡ ΡΠ°Π²Π½ΠΎ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ i, ?
ΡΠΎ Π΅ΡΡΡ i 1 ? ΠΠΎ ΡΠΎΠΉ ΠΆΠ΅ ΠΏΡΠΈΡΠΈΠ½Π΅, ΠΏΠΎ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ Π²Ρ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΡΠ΅ Π²ΡΡΠ΅ΡΡΡ 4 ΠΈΠ· ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ i ΠΈ Π½Π΅ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡΡ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°Ρ, Π²Ρ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΡΠ΅ ΠΏΡΠΈΠ±Π°Π²ΠΈΡΡ 4 ΠΊ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ i. ΠΡΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅Ρ i 1 Β = i 3 Β =Β i. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ i ΡΡΠΎ i. ΠΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²ΡΡΠ΅ ΡΠ΅Π±Π΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ, ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π΅Π³ΠΎ ΡΠΎΠ±ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΠΌ ΠΎΡΡΠΈΡΠ°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ! ΠΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎ, Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ ΠΏΡΠΎΠ²Π΅ΡΠΈΡΡ, ΡΡΠΎ i ΡΠ°Π· i ΡΠ°Π²Π½ΠΎ 1, ΡΠ°ΠΊ ΡΡΠΎ, ΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎ, i ΠΈ i ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½Ρ.
ΠΠΎΡΠ½ΠΈ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡΠ²Π°. Π Π°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΠ΅ ΠΊΠΎΡΠ½ΠΈ ΠΈΠ· 1 Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡΡΡ ΠΊΠΎΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΠΈΠ· Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΡ. Π ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΌ, ΠΏΠΎ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΠΎΠΉ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ΅ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΡ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ n ΠΊΠΎΡΠ½Π΅ΠΉ ΠΈΠ· Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΡ ΡΠ°Π²Π½ΠΎ n, , ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΡΡΡ n ΠΊΠΎΡΠ½ΠΈ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ n -ΠΉ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ z u Β Β 1Β =Β 0. ΠΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΊΠΎΡΠ½ΠΈ ΠΈΠ· Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΡ ΡΠ°Π²Π½Ρ 1 ΠΈ 1. Π§Π΅ΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ΅ ΠΊΠΎΡΠ½ΠΈ ΡΠΎΡΡΠ°Π²Π»ΡΡΡ Β± 1, Β± i, , ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΡΠΌΠ΅ΡΠ°Π»ΠΎΡΡ ΡΠ°Π½Π΅Π΅ Π² ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π»Π΅ ΠΎΠ± Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡΡΠ½ΠΎΠΌ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ. ΠΡΠΎΠΌΠ΅ ΡΠΎΠ³ΠΎ, Π² ΡΡΠΎΠΌ ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π»Π΅ ΡΠΏΠΎΠΌΠΈΠ½Π°Π»ΠΎΡΡ, ΡΡΠΎ Β±β2/2Β Β±Β i β2/2 Π±ΡΠ»ΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΠΊΠΎΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΠΈΠ· i ΠΈ i, , Π° ΡΠ΅ΠΏΠ΅ΡΡ Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠΎ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ ΠΏΡΠΎΠ²Π΅ΡΠΈΡΡ. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, Π²ΠΎΡΠ΅ΠΌΡ Π²ΠΎΡΡΠΌΠΈΠΊΠΎΡΠ΅Π½Π΅ΠΉ ΠΈΠ· Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΡ ΡΠ°Π²Π½Ρ Β±1, Β± i, ΠΈ Β±β2/2 Β±Β i β2/2. ΠΠ±ΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ ΡΡΠΈ Π²ΠΎΡΠ΅ΠΌΡ ΠΊΠΎΡΠ½Π΅ΠΉ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡΠ²Π° ΡΠ°Π²Π½ΠΎΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎ ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Ρ ΠΏΠΎ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΠΎΠΌΡ ΠΊΡΡΠ³Ρ.
ΠΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡ, ΡΡΠΎΠ±Ρ Π½Π°ΠΉΡΠΈ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ Π΄ΡΡΠ³ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΡΠ½ΠΈ ΠΈΠ· Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΡ, Π² ΡΠ°ΡΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΠΊΡΠ±ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΡΠ½ΠΈ ΠΈ ΠΊΠΎΡΠ½ΠΈ ΠΈΠ· Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΡ Π² ΡΠ΅ΡΡΠΎΠΉ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ. ΠΠΎ Π΄Π°Π²Π°ΠΉΡΠ΅ Π½Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠΆΠ΄Π΅ΠΌ ΠΈΡ
.
Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° Π½Π° i. Π Π½Π°ΡΠ΅ΠΉ ΡΠ΅Π»ΠΈ Π½Π°ΠΉΡΠΈ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΡΡ ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠΏΡΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ, Π΄Π°Π²Π°ΠΉΡΠ΅ ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠ΅Π΅ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° z Β =Β x Β +Β yi Π½Π° i.
ΠΠ°Π²Π°ΠΉΡΠ΅ ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠΏΡΠ΅ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌ ΡΡΠΎ ΡΡΠ²Π΅ΡΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈ. Π’ΠΎΡΠΊΠ° z Π² C ΡΠ°ΡΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π° Π½Π° Ρ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ ΠΏΡΠ°Π²Π΅Π΅ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠΎΠΉ ΠΎΡΠΈ ΠΈ Π½Π° y Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ Π²ΡΡΠ΅ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΎΡΠΈ. Π’ΠΎΡΠΊΠ° Π· Β i ΡΠ°ΡΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΎ Π½Π° ΠΈ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ Π»Π΅Π²Π΅Π΅ ΠΈ Π½Π° x Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ Π²ΡΡΠ΅. ΠΡΠΎΠΈΠ·ΠΎΡΠ»ΠΎ ΡΠΎ, ΡΡΠΎ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° i ΠΏΡΠΈΠ²Π΅Π»ΠΎ ΠΊ ΠΏΠΎΠ²ΠΎΡΠΎΡΡ ΠΊ ΡΠΎΡΠΊΠ΅ z Β 90Β° ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ² ΡΠ°ΡΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠΈ Π²ΠΎΠΊΡΡΠ³ Π½Π°ΡΠ°Π»Π° ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ ΠΊ ΡΠΎΡΠΊΠ΅ z Β i. ΠΠΎΠ²ΠΎΡΡ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠ΅, ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° Π΄Π°Π΅Ρ ΠΏΠΎΠ²ΠΎΡΠΎΡ Π½Π° 90Β° ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ² ΡΠ°ΡΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠΈ ΠΎΠΊΠΎΠ»ΠΎ 0.
Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΆΠ΅ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡΠΎΠ°Π½Π°Π»ΠΈΠ·ΠΈΡΠΎΠ²Π°ΡΡ, ΡΡΠΎ Π΄Π΅Π»Π°Π΅Ρ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° i . ΠΡ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅ΡΠ΅ ΡΡΠΎ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° i Π΄Π°Π΅Ρ ΠΏΠΎΠ²ΠΎΡΠΎΡ Π½Π° 90Β° ΠΏΠΎ ΡΠ°ΡΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠ΅ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ 0. ΠΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΡ Π½Π΅ ΡΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΠΌ ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ² ΡΠ°ΡΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΠΎ ΡΠ°ΡΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠ΅ ΠΏΡΠΈ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΊ ΠΏΠΎΠ²ΠΎΡΠΎΡΠ°ΠΌ ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠ³Π»Π°ΠΌ, ΠΌΡ Π±ΡΠ΄Π΅ΠΌ ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΡΡΠ°Π½Π΄Π°ΡΡΠ½ΠΎΠΌΡ ΡΠΎΠ³Π»Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ, ΡΠΎΠ³Π»Π°ΡΠ½ΠΎ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΌΡ ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°Π΅ΡΡΡ Π²ΡΠ°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ² ΡΠ°ΡΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠΈ. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΡΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ, ΡΡΠΎ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° i Π΄Π°Π΅Ρ ΠΏΠΎΠ²ΠΎΡΠΎΡ Π½Π° 90Β° ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ 0 ΠΈΠ»ΠΈ, Π΅ΡΠ»ΠΈ Ρ
ΠΎΡΠΈΡΠ΅, ΠΏΠΎΠ²ΠΎΡΠΎΡ Π½Π° 270Β° ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ 0.
ΠΠ΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠ°Ρ ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠΏΡΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΡ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ. Π§ΡΠΎΠ±Ρ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡΡΡ ΠΎΠΏΡΠ°Π²Π΄Π°ΡΡ ΡΠΎ, ΡΡΠΎ ΠΌΡ ΡΠΎΠ±ΠΈΡΠ°Π΅ΠΌΡΡ ΡΠ²ΠΈΠ΄Π΅ΡΡ, Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠ° ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡ, ΠΈ ΡΡΠΎ Π΄Π΅Π»Π°Π΅ΡΡΡ Π² Π½Π΅ΠΎΠ±ΡΠ·Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΌ ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π»Π΅. Π ΠΏΠΎΠΊΠ° ΠΌΡ ΡΠ²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΡ Π±Π΅Π· ΠΎΠ±ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ. ΠΡ Π²ΠΈΠ΄Π΅Π»ΠΈ Π΄Π²Π° ΠΎΡΠΎΠ±ΡΡ ΡΠ»ΡΡΠ°Ρ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ, ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ Π½Π° Π²Π΅ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π°, ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ ΠΊ ΠΌΠ°ΡΡΡΠ°Π±ΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ, Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠΉ Π½Π° 9.0007 i , ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ ΠΊ Π²ΡΠ°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ. ΠΠ±ΡΠΈΠΉ ΡΠ»ΡΡΠ°ΠΉ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅Ρ ΡΠΎΠ±ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°ΡΠΈΡ ΠΌΠ°ΡΡΡΠ°Π±ΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΠΈ ΠΏΠΎΠ²ΠΎΡΠΎΡΠ°.
ΠΡΡΡΡ z ΠΈ w β ΡΠΎΡΠΊΠΈ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ C . ΠΠ°ΡΠΈΡΡΠΉΡΠ΅ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ ΠΎΡ 0 Π΄ΠΎ z ΠΈ ΠΎΡ 0 Π΄ΠΎ w . ΠΠ»ΠΈΠ½Ρ ΡΡΠΈΡ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΉ ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡΡΠ½ΡΠΌΠΈ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ | ΠΈΠ· | ΠΈ | w | ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ. ΠΡ ΡΠΆΠ΅ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ, ΡΡΠΎ Π΄Π»ΠΈΠ½Π° ΡΡΡΠΎΠΊΠΈ ΠΎΡ 0 Π΄ΠΎ zw ββ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡΡΠ½ΡΠΌ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ | ΠΠ | ΡΡΠΎ ΡΠ°Π²Π½ΠΎ | Π³ | | Ρ |. (ΠΠ° Π΄ΠΈΠ°Π³ΡΠ°ΠΌΠΌΠ΅ | z | ΡΠΎΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅Ρ ΠΎΠΊΠΎΠ»ΠΎ 1,6, Π° | w | ΡΠΎΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅Ρ ΠΎΠΊΠΎΠ»ΠΎ 2,1, ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ | zw ββ | Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ Π±ΡΡΡ ΠΎΠΊΠΎΠ»ΠΎ 3,4. ΠΠ±ΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, ΡΡΠΎ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΠΉ ΠΊΡΡΠ³ Π·Π°ΡΡΡΠΈΡ ΠΎΠ²Π°Π½.) Π§ΡΠΎ ΠΌΡ Π½Π΅ Π΄Π΅Π»Π°Π΅ΠΌ Π·Π½Π°ΡΡ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ ΠΎΡ 0 Π΄ΠΎ zw.
ΠΡΠ²Π΅Ρ: «ΡΠ³Π»Ρ ΡΠΊΠ»Π°Π΄ΡΠ²Π°ΡΡΡΡ». ΠΡ Π±ΡΠ΄Π΅ΠΌ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΡΡ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ ΠΎΡ 0 Π΄ΠΎ z ΠΏΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΌΡ ΡΠ³Π»Ρ, Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΠΌΠΎΠΌΡ Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠΌ of z , ΠΈΠ½ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅ΠΌΡΠΌ arg( Π· ). ΠΡΠΎ ΡΠ³ΠΎΠ», Π²Π΅ΡΡΠΈΠ½Π° ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ°Π²Π½Π° 0, ΠΏΠ΅ΡΠ²Π°Ρ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Π° β ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½Π°Ρ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½Π°Ρ ΠΎΡΡ, Π° Π²ΡΠΎΡΠ°Ρ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Π° β Π»ΠΈΠ½ΠΈΡ ΠΎΡ 0 Π΄ΠΎ z. ΠΡΡΠ³Π°Ρ ΡΠΎΡΠΊΠ° w angle arg( w ). Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ zw ββ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΡΠ³ΠΎΠ», ΡΠ²Π»ΡΡΡΠΈΠΉΡΡ ΡΡΠΌΠΌΠΎΠΉ ΡΠ³Π»ΠΎΠ² arg( z )Β +Β arg( w ). (ΠΠ° Π΄ΠΈΠ°Π³ΡΠ°ΠΌΠΌΠ΅ arg( z ) ΡΠΎΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅Ρ ΠΎΠΊΠΎΠ»ΠΎ 20Β°, Π° arg( w ) ΡΠΎΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅Ρ ΠΎΠΊΠΎΠ»ΠΎ 45Β°, ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ arg( zw ββ ) Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ Π±ΡΡΡ ΠΎΠΊΠΎΠ»ΠΎ 65Β°. )
Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, Ρ Π½Π°Ρ Π΅ΡΡΡ Π΄Π²Π° ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΡΡ, Π³Π΄Π΅ zw ββ Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ Π² C :
arg( zw ββ) = arg( z ) + arg( zw ββ)
Π‘Π»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠΉ ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π»: Π£Π³Π»Ρ ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ½ΡΠ΅ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ
ΠΡΠ΅Π΄ΡΠ΄ΡΡΠΈΠΉ ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π»: ΠΠ±ΡΠΎΠ»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
Π‘ΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠ°Π½ΠΈΠ΅
Β© 1999.
ΠΡΠ²ΠΈΠ΄ Π. ΠΠΆΠΎΠΉΡ
ΠΠ°ΡΠ΅Π΄ΡΠ° ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠΈ ΠΈ ΠΈΠ½ΡΠΎΡΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠΈ
Π£Π½ΠΈΠ²Π΅ΡΡΠΈΡΠ΅Ρ ΠΠ»Π°ΡΠΊΠ°
ΠΡΡΡΠ΅Ρ, ΠΠ°ΡΡΠ°ΡΡΡΠ΅ΡΡ, 01610
ΠΠ»Π΅ΠΊΡΡΠΎΠ½Π½Π°Ρ ΠΏΠΎΡΡΠ°: [email protected]
ΠΡΠΈ ΡΡΡΠ°Π½ΠΈΡΡ ΡΠ°ΡΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½Ρ ΠΏΠΎ Π°Π΄ΡΠ΅ΡΡ http://www.clarku.edu/~djoyce/complex/
Π¨ΠΏΠ°ΡΠ³Π°Π»ΠΊΠΈ ΠΈ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ shram.kiev.ua
Π‘ΡΡΠ΄Π΅Π½ΡΡ, ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΡ… Π¨ΠΏΠ°ΡΠ³Π°Π»ΠΊΠ° ΠΈ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π°…
- ΠΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΡΠ΅ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΠΠΠ
- ΠΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ° ΠΊ ΠΠΠ
- Π€ΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ Π΄Π»Ρ 11 ΠΊΠ»Π°ΡΡΠ°
- Π‘ΠΎΠ²Π΅ΡΡΠΊΠ°Ρ ΡΠΏΠ°ΡΠ³Π°Π»ΠΊΠ°
- ΠΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΡΠ½Π°Ρ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ°
- ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ
- Π’Π°Π±Π»ΠΈΡΠ° Π°Π½ΡΠΈΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ²
- Π’ΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡ ΠΈ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Ρ ΡΠΈΠ³ΡΡ
- ΠΠ΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡ Π½Π° ΠΠΠ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ΅
- Π‘ΡΠ΅ΡΠ΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡ
- ΠΠ»Π°ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠ°Ρ ΡΡΠ΅ΡΠ΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡ
- ΠΠ»Π³Π΅Π±ΡΠ°
- Π‘ΠΎΠΊΡΠ°ΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅
- Π’ΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ
- ΠΡΠΎΠ³ΡΠ΅ΡΡ
- Π‘ΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ ΠΈ ΠΊΠΎΡΠ½ΠΈ
- ΠΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΡ
- ΠΡΠ΅Π΄Π΅Π»Ρ
- ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΠ°
- Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½-ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ
N Π©Π΅Π»ΠΊΠ½ΠΈΡΠ΅ ΠΈΠ·ΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π»Ρ ΠΏΡΠΎΡΠΌΠΎΡΡΠ° Π² ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠΌ ΡΠ°Π·ΠΌΠ΅ΡΠ΅ n
Π’ΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΠΊΡΡΠ³
Π‘ΠΈΠ½ΡΡ, ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡ, ΡΠ°Π½Π³Π΅Π½Ρ.
..Π€ΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΠΈ
ΠΠ΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡ. ΠΠ²Π°Π΄ΡΠ°Ρ ΡΠΈΠ³ΡΡ
ΠΡΡΠΎΡΡ, ΠΌΠ΅Π΄ΠΈΠ°Π½Ρ, Π±ΠΈΡΡΠ΅ΠΊΡΡΠΈΡΡ
ΠΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌ, ΡΠΎΠΌΠ±, ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°Ρ ΠΈ ΠΈΡ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π°
ΠΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½Π°Ρ ΠΊ ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ
Π¦Π΅Π½ΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΈ Π²ΠΏΠΈΡΠ°Π½Π½ΡΠ΅ ΡΠ³Π»Ρ
ΠΠΏΠΈΡΠ°Π½Π½ΡΠ΅ ΠΈ ΠΎΠΏΠΈΡΠ°Π½Π½ΡΠ΅ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠΈ
ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΌ ΠΈ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Ρ ΠΏΠΎΠ²Π΅ΡΡ Π½ΠΎΡΡΠΈ
Π§Π΅ΡΡΠ΅ΠΆΠΈ Π² Π·Π°Π΄Π°ΡΠ°Ρ ΡΡΠ΅ΡΠ΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΠΈ
ΠΡΠ½ΠΎΠ²Ρ ΡΡΠ΅ΡΠ΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΠΈ. Π§Π°ΡΡΡ 1
ΠΡΠ½ΠΎΠ²Ρ ΡΡΠ΅ΡΠ΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΠΈ. Π§Π°ΡΡΡ 2
Π‘ΡΠ΅ΡΠ΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡ: Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ ΠΈ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ
ΠΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠΈΡΡ ΠΏΡΡΠΌΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ
Π’Π°Π±Π»ΠΈΡΠ° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ
ΠΡΠ°ΡΠΈΠΊΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ. ΠΠ°Π΄Π°ΡΠ° C5
ΠΠ²Π°Π΄ΡΠ°Ρ ΡΡΠΌΠΌΡ:
(A + b ) 2 = a 2 + 2 ab + b 2
ΠΠ²Π°Π΄ΡΠ°Ρ ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΠΈ:
(Π — Π±) 2 = Π° 2 — 2 ab + b 2
ΠΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ ΠΊΡΠ±ΠΎΠ²:
(A + b ) 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 b 2 a + b 3
Π Π°Π·Π½ΠΎΡΡΡ ΠΊΡΠ±ΠΎΠ²:
(A — b ) 3 = a 3 — 3 a 2 b + 3 b 2 a — b 3
Π€ΠΎΡΠΌΡΠ»Π° ΠΠΈΠ½ΠΎΠΌΠ°-ΠΡΡΡΠΎΠ½Π°:
(A + b) n = C 0 n a n + C 1 n a n — 1 b + .