Формулы окружностей: Формулы круга и окружности, формулы для расчета площади и периметра круга и окружности

2). Формулы радиусов окружности

а). равносторонний треугольник б). прямоугольный треугольник

.

в). разносторонний треугольник

13

1). Свойство медианы в прямоугольном треугольнике:

медиана в прямоугольном треугольнике равна половине гипотенузы.

CM = AB или CM = AM = MB

2). Свойство высоты в равнобедренном прямоугольном треугольнике:

высота в равнобедренном прямоугольном треугольнике равна половине гипотенузы.

( т. к. высота в равнобедренном треугольнике является и медианой)

3). Свойство биссектрисы треугольника:

биссектриса треугольника делит противоположенную сторону на

отрезки, пропорциональные боковым сторонам.

Если , то

14

4). Свойство площадей треугольников с равными углами:

Площади треугольников с равными углами относятся как произведение прилежащих сторон.

Если , то

5). Свойство площадей треугольников с одинаковыми высотами:

площади треугольников с одинаковыми высотами относятся как основания.

Если , то

6). Свойство медианы треугольника:

медиана треугольника делит его на два равновеликих.

Если BM –медиана, то =

7). Свойство точки пересечения медиан:

медианы точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.

8). Свойство треугольников, образованных при пересечении трех медиан треугольника:

треугольники, образованные при пересечении трех медиан в треугольнике — равновелики.

Если — медианы, то

9). Свойство прямой, проведенной параллельно стороне треугольника:

прямая, параллельная стороне треугольника, отсекает треугольник, подобный данному.

B

P K

C

A

Если PK║ AC, то Δ PBK Δ ABC и

Четырехугольники

1. Свойства фигур.

1). Параллелограмм.

Определение: параллелограмм – четырехугольник, у которого стороны попарно параллельны.

Свойство: а). противоположенные стороны и углы равны

б). диагонали в точке пересечения делятся пополам.

в). углы, прилежащие к одной стороне, в сумме дают 180°

AB = CD, BC = AD,

A = C, B = D,

AO = OC, BO = OD,

A + D = 180°, A + B = 180°

2). Прямоугольник.

Определение: прямоугольник – это параллелограмм, у которого все углы прямые.

Свойство: диагонали равны.

AC = BD.

3). Ромб

Определение: ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны.

Свойства: а). диагонали перпендикулярны,

б). диагонали являются биссектрисами углов.

AC BD,

4). Квадрат.

Определение: квадрат – это параллелограмм, у которого все углы прямые и все стороны равны.

Свойства: диагонали равны,

точкой пересечения делятся пополам,

перпендикулярны,

делят углы пополам.

AC = BD, AC BD, AO = OC, BO = OD,

5). Трапеция.

Определение: трапеция — это четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две — нет.

равнобедренная трапеция – у которой боковые стороны равны.

Свойство равнобедренной трапеции: а). диагонали равны

б). углы при основании равны.

B C

A D

Е сли AB = CD, то AC = BD и A = B.

Свойство средней линии трапеции: средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полу сумме.

MN – средняя линия трапеции

MN ║ BC║ AD

MN =

c++ — Поиск рациональной универсальной формулы для нахождения координат центров окружностей, вписанных в квадрат

Универсальной формулы для размещения центров окружностей нет, это открытая проблема.

Вы поставили задачу так: определить какое максимальное количество окружностей радиуса r можно поместить в квадрат размера a без пересечений. Оказывается что ответ зависит только от отношения r/a. Не умаляя общности положим a = 1: вписываем окружности в единичный квадрат.

Обозначим максимальное число окружностей через m(r). Это монотонно убывающая целочисленная функция. Чтобы её задать достаточно вычислить r(n) = max{r|m(r) = n}. Именно в такой формулировке этой задачей занимаются математики. Значения r(n), n <= 20 можно найти в этой статье.

r(n) можно вычислить приближенно. Один из подходов такой: бросаем n случайных точек в единичный квадрат. Затем начинаем двигать их случайным образом в цикле. Перед движением точки вычисляется минимум из расстояний от неё до сторон квадрата и половинок расстояний до других точек. Такой же минимум вычисляется после движения. Если новый минимум меньше старого движение отменяется. Это грубый аналог броуновского движения под действием внешней силы: точки отталкиваются друг от друга и от сторон квадрата.

Хотя это прототип, он способен получить 17 из 20 конфигураций из статьи за несколько минут. Чтобы получить более серьёзные результаты нужно оптимизировать математическую модель и программу.

Прототип на Python:

import itertools
import matplotlib.pyplot as plt
import random
import sys
def cycle(a):
    return a + a[:1]
def dist(a, b):
    return ((a[0] - b[0]) ** 2 + (a[1] - b[1]) ** 2) ** 0.5
def get_radius(centers, i, cc):
    def gen():
        yield cc[0]
        yield 1 - cc[0]
        yield cc[1]
        yield 1 - cc[1]
        for j, c in enumerate(centers):
            if j != i:
                yield dist(cc, c) / 2
    return min(gen())
def get_common_radius(centers):
    def gen():
        for c in centers:
            yield c[0]
            yield 1 - c[0]
            yield c[1]
            yield 1 - c[1]
        for i, j in itertools.
  combinations(range(len(centers)), 2):
            yield dist(centers[i], centers[j]) / 2
    return min(gen())
def plot_circles(centers):
    radius = get_common_radius(centers)
    poly = ((0, 0), (1, 0), (1, 1), (0, 1))
    circles = [plt.Circle(c, radius, fill=False) for c in centers]
    ax = plt.gca()
    ax.set_aspect('equal', adjustable='box')
    for c in circles:
        ax.add_artist(c)
    plt.plot(*zip(*cycle(poly)))
    plt.show()
def shake(centers, step, r):
    for i, c in enumerate(centers):
        radius = get_radius(centers, i, c)
        new_c = tuple(v + step * (2 * r.random() - 1) for v in c) 
        new_radius = get_radius(centers, i, new_c)
        if radius < new_radius:
            centers[i] = new_c
def main():
    n = int(sys.argv[1])
    r = random.Random()
    centers = [(r.random(), r.random()) for _ in range(n)]
    for p in range(0, 10):
        step = 0.5 ** p
        for _ in range(10 * 2 ** p):
            shake(centers, step, r)
    plot_circles(centers)
main()

Калькулятор формул круга

Автор Luis Hoyos

Отзыв от Wojciech Sas, PhD

Последнее обновление: 02 февраля 2023 г. Пример

Другие полезные инструменты, такие как калькулятор формулы круга

Часто задаваемые вопросы

Калькулятор формулы круга позволяет легко выполнять вычисления круга. Продолжайте читать, чтобы узнать такие вещи, как:

• Формула для расчета диаметра круга по его радиусу или наоборот.
• По какой формуле вычисляется длина окружности.
• Какова формула площади круга.

Формулы окружности

Хотя использование калькулятора формул окружности является самым быстрым способом вычисления окружностей, очень важно знать формулы , чтобы лучше понять процесс.

Формула для расчета диаметра круга по его радиусу и наоборот

Формула диаметра круга является самой простой из уравнений и говорит, что диаметр ( d ) равен удвоенному радиусу ( r ) :

d = 2r
r = r /2

Формулы вычисления длины окружности и площади круга более сложны. Посмотрите на уравнения в следующих разделах.

Формула для вычисления длины окружности

Формула для вычисления длины окружности ( c ) можно выразить через радиус, диаметр и площадь ( A ):

c = 2πr
c = πd
c = 2√(049) для вычисления площади круга

Мы можем выразить формулу для вычисления площади круга через радиус, диаметр и длину окружности:

A = πr²
A = πd²/4
A = c²/(4π)

Как использовать формулу площади и длины окружности? Пример

Предположим, у вас есть круг радиусом 3 см. Если вы хотите рассчитать его площадь и окружность, вы можете сделать это, выполнив следующие действия:

1. Введите радиус в формулу площади круга:
A = π × (3 см)² = 28,2743 см² .
2. Также введите радиус в формулу длины окружности:
c = 2π × (3 см) = 18,8496 см .
3. Проверьте свои результаты с помощью калькулятора формулы окружности . Результаты также должны быть 28,2743 см² и 18,8496 см для площади и окружности.

Другие полезные инструменты, такие как калькулятор формулы окружности

Теперь, когда вы знаете, как рассчитать формулу длины окружности и площади круга, взгляните 👀 на другие калькуляторы:

• Расчет окружности: найдите c, d, a, r ;
• Калькулятор измерения окружности;
• Калькулятор отношения длины окружности к диаметру;
• Калькулятор радиуса окружности;
• Калькулятор длины окружности;
• Калькулятор длины окружности и площади круга;
• Калькулятор диаметра круга;
• Калькулятор периметра круга;
• Квадратные метры кругового калькулятора; и
• Квадратный дюйм калькулятора круга.

Часто задаваемые вопросы

Какова формула периметра полукруга?

π (пи) умножить на радиус p половина = πr. Формула периметра полукруга — это та же формула для длины окружности, разделенная на два. Это приводит к произведению π (пи) и радиуса.

Каков радиус круга диаметром 3,65 дюйма?

1,825 в . Формула диаметра круга гласит, что диаметр в два раза больше радиуса. Чтобы найти радиус, просто разделите диаметр на два: r = 3,65 дюйма / 2 = 1,825 дюйма .

Luis Hoyos

Radius (r)

Diameter (d)

Circumference (c)

Area (A)

Check out 23 similar 2d geometry calculators 📏

AreaArea of ​​a rectangleArea of ​​crescent… 20 еще

3. Круг | Площадь круга

Формулы окружности:

Площадь окружности

Диаметр окружности

Длина окружности

Прежде чем мы перейдем к различным формулам для круга. Давайте быстро определим, что такое круг на самом деле и почему это важно. Открытый справочник по математике определяет круг как;

«Линия, образующая замкнутый контур, каждая точка которого находится на фиксированном расстоянии от центральной точки».

Однако, если бы вы поискали вокруг, вы бы обнаружили различные исследования и определения, которые затрудняют понимание того, как точно определить круг. Мы разбираем различные определения в нашей статье Что такое круг? Мы можем упростить приведенное выше определение круга до;

Окружность представляет собой набор точек, равных по радиусу (радиусу) от фиксированной точки (центральной точки) на плоскости.

Теперь, когда у нас есть заданное определение круга, давайте быстро определим переменные, участвующие в формулах круга.

Площадь круга (переменная: A ) — площадь внутри круга.

Окружность (переменная: C ) — это периметр круга.

Пи (переменная: π ) — это расстояние от центра круга до любой точки на окружности.

Радиус (переменная: r ) — это расстояние от центра окружности до любой точки на окружности.

Диаметр (переменная: d ) — это расстояние, проходящее через центр окружности, от любой точки окружности до другой противоположной точки окружности, или, другими словами, равно удвоенному радиусу окружности. .

С этим фундаментальным пониманием мы теперь можем решать различные формулы круга.

а. Формулы круга

Площадь круга

Формула площади круга может быть выражена следующим образом:

А = π г 2

Определение площади круга — полезный инструмент для измерения пространства внутри окружности круга. Разобьем уравнение и определим переменные. Площадь круга представлена ​​как A . С другой стороны уравнения имеем π (Пи), умноженное на r 2 (радиус) в квадрате.

Обычная мнемоника для запоминания этой формулы, которую вы выучили в школе: "Пирог квадратной формы" . Повторите это несколько раз, чтобы убедиться, что вы можете быстро вспомнить его, чтобы вычислить площадь круга в следующем тесте!

Пример того, как найти радиус ( r ) в области формулы круга, можно найти в нашем уроке Основы алгебры - 5. Формулы и буквенные уравнения.

Диаметр круга

Формула диаметра круга может быть выражена следующим образом:

Д = 2 р

Как упоминалось выше, диаметр круга просто в два раза больше длины радиуса круга. Это самое длинное расстояние между двумя точками на окружности.

Окружность круга

Формула длины окружности может быть выражена следующим образом:

С = 2 π г

Длину окружности можно найти, умножив в 2 раза π умножить на радиус r . Окружность так же важна, как и площадь уравнения окружности в реальной жизни. Представьте, что вы стоите на краю круглого катка, вы можете прокатиться от края к центру катка, чтобы найти радиус, и, продолжая движение к противоположному краю, вы можете найти диаметр. Теперь, зная, что число Пи есть константа π = 3,14, вы можете решить все формулы круга и найти площадь, диаметр и длину катка.

Теперь мы можем перейти к более сложным формулам окружности.

Центр в начале координат

xy(0, 0)(r, 0)rОткрыть изображение на новой странице

Окружность, центр (0, 0), радиус r .

Окружность с центром (0, 0) и радиусом r имеет уравнение:

х ² + у ² = r ²

Это означает, что любая точка ( x , y ) на окружности даст квадрат радиуса при подстановке в уравнение окружности.

Центр не в начале координат

xy(h, k)rОткрыть изображение на новой странице

Окружность, центр ( h , k ), радиус r .

Окружность с центром ( h , k ) и радиусом r имеет уравнение:

( x − h ) ² + ( y − k ) ² = r ²⁸

Эти формулы являются прямым следствием формулы Пифагора для длины гипотенузы прямоугольного треугольника.

Нужна миллиметровка?

Значок миллиметровки

Загрузить миллиметровку

Пример 1

Эскиз окружности x ² + y ² = 4.

Сначала найдите центр и радиус.

Ответить

Уравнение имеет вид x ² + y ² = r ² , поэтому у нас есть круг с центром (0, 0) и радиусом `r=sqrt4=2`.

12-1-212-1-2xyОткрыть изображение на новой странице

Окружность, центр (0, 0), радиус 2.

Пример 2

Нарисуйте круг ( x − 2) ² + ( y − 3) ² = 16

Сначала найдите центр и радиус.

Ответить

Уравнение имеет вид ( x − h ) ² + ( y − k ) ² = r ^{8 , 3) и радиус `r=sqrt(16)=4`.}

123456-1-2-312345678-1xy(2, 3)r = 4Открыть изображение на новой странице

Окружность, центр (2, 3), радиус 4.

Пример 3

Нарисуйте круг ( x + 4) ² + ( y − 5) ² = 36

Ответить

Уравнение имеет вид ( x − h ) ² + ( y − k ) ² = r 4 8 9.

У нас есть круг с центром в точке (−4, 5) и радиусом `r=sqrt(36)=6`.

-5-10510xy(−4, 5)r = 6Открыть изображение на новой странице

Окружность, центр (−4, 5), радиус 6.

Будьте осторожны с положительным и отрицательным и - ценности в этой работе!

б. Общая форма круга

Уравнение, которое можно записать в следующем виде (с константами D , E , F ), представляет собой окружность :

х ² + у ² + Dx + Ey + F = 0

Это называется общей формой круга .

Пример 4

Найти центр и радиус окружности

x ² + у ² + 8 x + 6 у = 0

Нарисуйте круг.

Ответить

Пожалуйста, пересмотрите Завершение Квадрат сначала...

Наша цель - привести уравнение к виду: ( 92`

Теперь это в нужном нам формате, и мы можем определить центр и радиус круга.

Таким образом, центр круга равен (−4, −3), а радиус равен 5 единицы измерения.

2-2-4-6-8-1024-2-4-6-8xy(−4, −3)r = 5Открыть изображение на новой странице

Окружность, центр (−4, −3), радиус 5.

Обратите внимание, что окружность проходит через (0, 0). Это логично, так как:

1. Круг имеет радиус 5
2. Рассматривая прямоугольный треугольник, образованный точками (−4, −3), (0, −3) и (0, 0), мы можем применить теорему Пифагора и получить: (−4) 92`

   Нет необходимости расширять это, так как это наиболее полезная форма уравнения.

   2. Определите центр и радиус, а затем нарисуйте окружность:

   3 х ² + 3 у ² - 12 х + 4 = 0

   Ответить

   Мы завершаем квадрат , как мы это делали в предыдущем примере выше.

   No related posts.