Скалярное произведение векторов
Урок 6. Геометрия 11 класс ФГОС
Этот урок посвящён скалярному произведению двух векторов, в том числе правилу вычисления скалярного произведения двух векторов в координатах. Проводится анализ формулы вычисления скалярного произведения, в результате которого выделяют несколько частных случаев. Так же учащиеся вспомнят понятие скалярного квадрата вектора и правило его вычисления.
Конспект урока «Скалярное произведение векторов»
Вы уже знакомы с понятием угла между векторами в пространстве. Поэтому на этом уроке мы приступим к рассмотрению скалярного произведения векторов в пространстве.
Как и на плоскости, скалярное произведение двух векторов в пространстве равно произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.
Задание:
по рисунку определить величину угла между векторами.
Рассмотрим куб АBCDА1B1C1D1
Мы с вами выполнили задание, где нашли скалярное произведение данных пар векторов.
Можно заметить, что, если угол между векторами острый, то скалярное произведение больше нуля. А если угол между векторами тупой, то их скалярное произведение меньше нуля. И только лишь когда векторы перпендикулярны, их скалярное произведение равно нулю. В данном случае, конечно, имеется в виду, что рассматриваемые векторы ненулевые.
А сейчас попробуем разобраться, как находить скалярное произведение векторов по их координатам.
На плоскости скалярное произведение двух векторов
равнялось сумме произведений соответствующих координат. В пространстве имеет
место такая же формула.
Задание: по координатам векторов , и найти значения выражений: , , , , .
Решение:
Задание: пользуясь координатами векторов , , , выяснить, каким является угол между парами векторов: острым, прямым или тупым.
а) б) в)
Решение:
Итак, мы узнали и использовали 2 формулы скалярного произведения.
Выразив из первой формулы косинус угла между векторами, скалярное произведение можно расписать по второй формуле. А вот длины векторов запишем как корни квадратные из сумм квадратов их соответствующих координат.
Так мы получили формулу вычисления косинуса угла между векторами по их координатам.
Задание: найти угол между векторами и .
а) ,
,
б) ,
, в)
,
,
г) ,
,
д) ,
.
Решение:
Стоит отметить, что для скалярного произведения векторов в пространстве справедливы те же свойства, что и для скалярного произведения на плоскости.
Скалярный квадрат вектора всегда больше либо равен нулю.
; , если
А также можно записать переместительный, распределительный и сочетательный законы скалярного произведения. Они позволят в будущем преобразовывать выражения с векторами.
(переместительный закон)
(распределительный закон)
(сочетательный закон)
Итоги:
На этом уроке мы сформулировали определение
скалярного произведения двух векторов в пространстве, записали формулу
вычисления скалярного произведения векторов по их координатам и получили
формулу вычисления косинуса угла между двумя векторами. Помимо этого, для
скалярного произведения в пространстве имеют место те же свойства, что и на
плоскости.
Предыдущий урок 5 Угол между векторами
Следующий урок 7 Вычисление углов между прямыми и плоскостями
Получите полный комплект видеоуроков, тестов и презентаций Геометрия 11 класс ФГОС
Чтобы добавить комментарий зарегистрируйтесь или войдите на сайт
Скалярное произведение векторов — презентация онлайн
Похожие презентации:
Элементы комбинаторики ( 9-11 классы)
Применение производной в науке и в жизни
Проект по математике «Математика вокруг нас. Узоры и орнаменты на посуде»
Знакомство детей с математическими знаками и монетами
Тренажёр по математике «Собираем урожай».
Счет в пределах 10
Методы обработки экспериментальных данных
Лекция 6. Корреляционный и регрессионный анализ
Решение задач обязательной части ОГЭ по геометрии
Дифференциальные уравнения
Подготовка к ЕГЭ по математике. Базовый уровень Сложные задачи
Тема урока:
Скалярное произведение
векторов
Цели обучения:
10.4.4 знать определение и свойства скалярного произведения
векторов в пространстве;
10.4.16 знать формулу скалярного произведения векторов в
Угол между векторами
b
О
a
Угол между векторами
равен .
a b =
a
и
b
Найдите угол между векторами
a b = 300
a
a c = 1200
d
300
c
b
f
b c = 900
d c = 1800
d f = 00
Критерии оценивания:
Умеет определять скалярного
векторов в пространстве;
Знает свойства
скалярного
векторов в пространстве;
Применяет формулу скалярного
векторов в координатной форме
задач;
произведения
произведения
произведения
при решении
Определение
Скалярным произведением двух
векторов называется произведение
их длин на косинус угла между ними.
a b = a b cos(a b )
Скалярное произведение векторов – число
(скаляр).
Частный случай №1
b
a b = 900
a
a b =
a b cos 900 = 0
Скалярное произведение ненулевых
векторов равно нулю тогда и только тогда,
когда эти векторы перпендикулярны.
a b = 0
a b
Частный случай №2
a b < 900
b
a
a b =
>0
a b cos > 0
Скалярное произведение ненулевых векторов
положительно тогда и только тогда, когда угол
между векторами острый.
a b > 0 a b < 900
Частный случай №3
b
a b > 900
a
a b =
<0
a b cos < 0
Скалярное произведение ненулевых векторов
отрицательно тогда и только тогда, когда угол
между векторами тупой.
a b < 0 a b > 900
Частный случай №4
b
a b = 00
a
a b =
1
a b cos 00 = a b
b
a b = 1800
a
a b =
-1
a b cos1800 = – a b
Частный случай №5
a a = 00
a
a a =
1
a a cos 00 = a a
Скалярное произведение
a a
скалярным квадратом вектора
=
a
называется
a
и обозначается
a
2
2
Таким образом,
скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины.
a
2
=
a
2
Формула для нахождения
скалярного произведения
через координаты векторов
a = x1 i + y1 j + z 1 k
a b= ?
b = x2 i + y2 j + z 2 k
a b= (x1 i + y1 j + z1 k) (x2 i + y2 j + z2 k) =
= x1x2 + y1y2 + z1z2
a b = x1x2 + y1y2 + z1z2
Пример №1
Найти скалярное произведение векторов:
a {-6; 9; 5}
b {-1; 0; 7}
a b= x1x2 + y1y2 + z1z2
a b= -6 (-1) + 9 0 + 5 7 = 41
Пример №3
Найти скалярное произведение векторов:
a {1; 7; 9}
b {-2; 4; 0}
a b= x1x2 + y1y2 + z1z2
a b = 1 (-2) + 7 4 + 9 0 = 26
Домашняя работа
Найти скалярное произведение векторов:
1) a {7; 25; 0} b {11; 0; 54}
2) a {|-2|; 0; |3|} b {1; |-11|; 1}
3) a {-1; 2; 8}
b {5; 5; 0}
English Русский Правила
скалярных произведений двух векторов | Свойства и примеры
Скалярное произведение двух векторов
Скалярное скалярное произведение двух векторов: Скалярное произведение двух векторов.
Чтобы понять скалярное произведение двух векторов, нам нужно сначала понять, что такое проекция. Проекцию одного вектора на другой часто называют ортогональной проекцией одного вектора на другой.
Скалярное произведение двух векторов — это скалярная величина, которая вычисляется путем умножения величины одного вектора на величину другого вектора, а затем на косинус угла между ними. Скалярное произведение является мерой сходства двух векторов и используется в физике для расчета силы между двумя объектами.
Зарегистрируйтесь, чтобы получить бесплатный пробный тест и учебные материалы
+91
Подтвердите OTP-код (обязательно)
Я согласен с условиями и политикой конфиденциальности.
Скалярное произведение двух векторов — объяснение
Скалярное произведение двух векторов — это скалярное значение, которое вычисляется путем умножения компонентов каждого вектора и последующего суммирования произведений. Результатом является число, представляющее величину векторного произведения, а направление задается углом между векторами.
Скалярное произведение Определение
Скалярное произведение — это математическая операция, которая берет два вектора и умножает их вместе, чтобы получить одно скалярное значение. Скалярный продукт обозначают символом . Два вектора располагаются рядом, первый вектор слева, а второй справа. Скалярный продукт вычисляется путем умножения каждого компонента первого вектора на соответствующий компонент второго вектора, а затем сложения всех полученных продуктов вместе.
Формула скалярного произведения
Скалярное произведение — это математическая формула, которая вычисляет произведение двух векторов. Формула:
Вектор a точка Вектор b = |a| |б| cos(θ)
В этой формуле a и b — векторы, |a| является величиной a, а |b| является величиной b. θ — угол между a и b.
Определение геометрии скалярного произведения
В математике скалярное произведение — это операция, которая берет два вектора в трехмерном пространстве и возвращает одно число.
Скалярный продукт определяется как сумма произведений соответствующих компонентов векторов.
Определение алгебры скалярных произведений
Определение алгебры скалярных произведений — это математическая операция, которая вычисляет произведение двух векторов. Обозначается символом «.» и обычно рассчитывается в декартовой системе координат.
Свойства скалярного произведения двух векторов
В математике скалярное произведение — это бинарная операция, которая берет два вектора, u и v, и дает скалярную величину, часто обозначаемую 〈u, v〉, то есть произведение величина u и величина v, а также косинус угла между ними.
Скалярное произведение является дистрибутивным, т. е. 〈u, (v + w)〉 = 〈u, v〉 +
Скалярное произведение векторнозначных функций
Позвольте быть векторнозначной функцией на открытом подмножестве . Скалярное произведение и определяется как
, где норма .
Покажем, что это линейная функция. То есть для любых двух векторов и и любых действительных чисел и ,
Доказательство проводится индукцией по .
Базовый случай прост, так как
Индуктивный шаг также прост, так как
для всех векторов и всех действительных чисел.
Решенные примеры
Вопрос:
В чем разница между открытой и закрытой экономикой?
Открытая экономика – это экономика, в которой правительство позволяет иностранцам инвестировать в страну и покупать ее активы. Закрытая экономика — это экономика, в которой правительство не позволяет иностранцам инвестировать в страну и покупать ее активы.
Учебные материалы NCERT
NCERT — государственная организация, предоставляющая учебные материалы учащимся классов с I по XII. Учебный материал NCERT очень полезен для учащихся, так как помогает им лучше понять концепции, преподаваемые в школе.
Учебный материал NCERT доступен на хинди и английском языках. Он очень хорошо организован и прост для понимания. Учебный материал NCERT включает учебники, рабочие тетради, пособия для учителей и рабочие тетради.
Учебники написаны.
0085
DOT из двух векторов | Properties
DOT из двух VECTors | Pertertes
Mathers 9019 9019. СКАЛЯРНОЕ (ИЛИ ТОЧНОЕ) ПРОИЗВЕДЕНИЕ ДВУХ ВЕКТОРОВ
Векторы и скаляры Количество
Скаляр: Скалярная величина определяется как величина, которая имеет только величину.
Типичными иллюстрациями скалярных величин являются время, скорость, температура и объем. Скалярная величина или параметр не имеет направленного компонента, а имеет только величину. Например, единицы времени (минуты, дни, часы и т. д.) представляют только количество времени и ничего не говорят о направлении. Дополнительными иллюстрациями скалярных величин являются плотность, масса и энергия.
Vector: Физическая величина, которая имеет величину и определенное направление и подчиняется векторному закону сложения, называется вектором. Для иллюстрации смещения, силы, ускорения, электрического поля и крутящего момента и т. д.
Графическое представление векторов
Для работы с векторными величинами необходимо знать способ представления этих величин. Величина или «размер» вектора также называется «смещением» вектора. Его можно рассматривать как скалярную часть вектора, и он представлен длиной вектора. По определению вектор имеет как величину, так и направление.
Направление указывает, как вектор ориентирован относительно некоторой опорной оси, как показано на рисунке.
Используя опорные оси север/юг и восток/запад, вектор «А» ориентируется в северо-восточном квадранте с направлением 45° к северу от оси o EW. Придание направления скаляру «А» делает его вектором. Длина «А» представляет его величину или смещение.
Различные виды векторов
Параллельные векторы : Если два вектора имеют одинаковое направление, называемое параллельными векторами. На рисунке параллельные векторы.
Антипараллельные векторы : Два вектора имеют противоположное направление, называемое антипараллельными векторами. На рисунке показаны антипараллельные векторы.
Равные векторы : «Если два или более вектора имеют одинаковую величину и действуют в одном направлении, они называются равными векторами». Два вектора, показанные на рисунке, имеют одинаковую длину и одинаковую ориентацию.
Следовательно, они представляют собой два равных вектора, даже если они имеют конечные точки в разных начальных точках.
Отрицательный вектор: Если два вектора таковы, что имеют одинаковую величину, но противоположные направления, каждый вектор отрицателен по отношению к другому. Таким образом или .
Нулевой вектор: «Вектор нулевой величины называется нулевым вектором или нулевым вектором». Он представлен . Начальная точка и конечная точка нулевого вектора совпадают. Его направление неопределенно.
Единичный вектор: «Вектор единичной величины называется единичным вектором». Единичный вектор в направлении данного вектора получается путем деления данного вектора на его величину. Единичный вектор принято обозначать «шапкой» вместо «черты» над символом. Таким образом, если заданный вектор, единичный вектор в направлении записывается как (где читается как шапка или шляпа)
Примечание.
В правосторонней декартовой системе координат выбраны единичные векторы вдоль оси X, оси Y и оси Z соответственно.
Копланарный вектор :Векторы, лежащие в одной плоскости, называются копланарными векторами.
Некомпланарный вектор: Векторы , находящиеся в разных плоскостях, называются некомпланарными векторами.
Вектор положения: «Вектор, используемый для указания положения точки относительно некоторой фиксированной точки (скажем, начало координат ‘O’), называется вектором положения». Обозначается как .
Рассмотрим точку «А» с координатами x, y, z в декартовой системе координат. Таким образом, положение «A» может быть выражено в векторной форме как . Здесь i, j и k — единичные векторы вдоль осей X, Y и Z соответственно. Расстояние «А» от начала координат в конечном итоге становится величиной .
Смещение: Смещение — это векторная величина, величина которой равна кратчайшему расстоянию между двумя точками и направлению от начальной точки к конечной.