Формулы сложения тригонометрических функций примеры решений: доказательство, примеры, формулы сложения синусов и косинусов, tg суммы и разности

Основные тригонометрические формулы. Сумма и разность тригонометрических функций

Содержание

1. Тригонометрические функции
2. Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение
3. Основные тригонометрические формулы
4. Формулы сложения.
5. Список формул
6. Список формул сложения
7. Формулы понижения степени для квадратов тригонометрических функций
8. Сумма аргументов
9. Значения тригонометрических функций
10. Универсальная тригонометрическая подстановка
11. Вывод формул
12. Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного угла
13. Доказательство
14. Тригонометрические функции суммы и разности углов
15. Примеры применения формул суммы и разности тригонометрических функций
16. Формулы тройного угла.
17. Формулы приведения.
18. Основное тригонометрическое тождество:
19. Соотношение между косинусом и тангенсом:
20. Тригонометрические функции двойного угла
21. Формулы понижения степени для кубов синуса и косинуса

Тригонометрические функции

sin α, cos α

tg α =	sin α	, α ≠	π	+ πn, n є Z
	cos α		2

ctg α =	cos α	, α ≠ π + πn, n є Z
	sin α

sec α =	1	, α ≠	π	+ πn, n є Z
	cos α		2

cosec α =	1	, α ≠ π + πn, n є Z
	sin α

Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение

Формула	Название формулы
	Сумма синусов
	Разность синусов
	Сумма косинусов
	Разность косинусов
	Сумма тангенсов
	Разность тангенсов

Сумма синусов

Разность синусов

Сумма косинусов

Разность косинусов

Сумма тангенсов

Разность тангенсов

Основные тригонометрические формулы

sin² α + cos² α = 1

tg α · ctg α = 1

1 + tg2 α =	1
	cos2 α

1 + ctg2 α =	1
	sin2 α

Формулы сложения.

sin (α + β) = sin α · cos β + sin β · cos α

sin (α – β) = sin α · cos β – sin β · cos α

cos (α + β) = cos α · cos β – sin α · sin β

cos (α – β) = cos α · cos β + sin α · sin β

tg (α + β) = (tg α + tg β) ÷ (1 – tg α · tg β)

tg (α – β) = (tg α – tg β) ÷ (1 + tg α · tg β)

ctg (α + β) = (ctg α · ctg β + 1) ÷ (ctg β – ctg α)

ctg (α – β) = (ctg α · ctg β – 1) ÷ (ctg β + ctg α)

Список формул

Запишем формулы суммы и разности синусов и косинусов. Как Вы понимаете, их четыре штуки: две для синусов и две для косинусов.

Теперь дадим их формулировки. При формулировании формул суммы и разности синусов и косинусов угол называют полусуммой углов и , а угол – полуразностью. Итак,

• Формула суммы синусов : сумма синусов двух углов равна удвоенному произведению синуса полусуммы этих углов на косинус их полуразности.
• Формула разности синусов : разность синусов двух углов равна удвоенному произведению синуса полуразности этих углов на косинус их полусуммы.
• Сумма косинусов : сумма косинусов двух углов равна удвоенному произведению косинуса полусуммы на косинус полуразности этих углов.
• Формула разности косинусов : разность косинусов двух углов равна удвоенному произведению синуса полусуммы на синус полуразности этих углов, взятому со знаком минус.

Стоит отметить, что формулы суммы и разности синусов и косинусов справедливы для любых углов и .

Список формул сложения

Для начала перечислим все формулы сложения, и дадим их формулировки. Для удобства представим их в виде списка:

• Формула синуса суммы – синус суммы двух углов равен сумме произведений синуса первого угла на косинус второго и косинуса первого угла на синус второго.
• Синус разности двух углов – синус разности двух углов равен разности произведений синуса первого угла на косинус второго и косинуса первого угла на синус второго.
• Формула косинуса суммы – косинус суммы двух углов равен разности произведений косинусов этих углов и синусов этих углов.
• Косинус разности – косинус разности двух углов равен сумме произведений косинусов этих углов и синусов этих углов.
• Тангенс суммы .
• Тангенс разности .
• Котангенс суммы .
• Котангенс разности .

Отдавая дань краткости, формулы сложения обычно группируют две в одну, используя знаки плюс минус вида и минус плюс . В таком виде они выглядят так:

Каждая из записанных формул сложения соответствует двум формулам, перечисленным вначале этого пункта. Например, формула отвечает двум формулам: синусу суммы (когда берется верхний знак из ) и синусу разности (когда берется нижний знак из ).

Формулы сложения из таблицы называют соответственно формулами сложения для синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

В заключение этого пункта отметим, что формулы сложения для синуса и косинуса справедливы для любых углов и . А формулы сложения для тангенса и котангенса справедливы для всех и , для которых определены входящие в них тангенсы и котангенсы.

Формулы понижения степени для квадратов тригонометрических функций

Формула	Название формулы
	Выражение квадрата синуса через косинус двойного угла
	Выражение квадрата косинуса через косинус двойного угла
	Выражение квадрата тангенса через косинус двойного угла

Выражение квадрата синуса через косинус двойного угла

Выражение квадрата косинуса через косинус двойного угла

Выражение квадрата тангенса через косинус двойного угла

Сумма аргументов

MM.YYYY» data-percent-format=»10.00%» data-currency-format=»$1,000.00″ data-title=»Сложение аргументов тригонометрических функций» data-view-id=»60_48629″>

Действие	Формула
Синус суммы углов	α+β) = cos α cos β – sin α sin β‘ data-original-value=’cos (α+β) = cos α cos β – sin α sin β‘ data-cell-type=”text” data-db-index=”3″ data-y=”3″ data-x=”1″ data-cell-id=”B3″>cos (α+β) = cos α cos β – sin α sin β
Тангенс суммы углов	α+β) = (ctg α ctg β – 1) / (ctg β + ctg α)‘ data-original-value=’ctg (α+β) = (ctg α ctg β – 1) / (ctg β + ctg α)‘ data-cell-type=”text” data-db-index=”5″ data-y=”5″ data-x=”1″ data-cell-id=”B5″>ctg (α+β) = (ctg α ctg β – 1) / (ctg β + ctg α)

 

Значения тригонометрических функций

α	0
α°	0°	30°	45°	60°	90°	120°	135°	150°	180°	210°	225°	240°	270°	300°	315°	330°	360°
sin α	0				1				0				−1				0
cos α	1				0				−1				0				1
tg α	0		1		−		−1		0		1		−		−1		0
ctg α	−		1		0		−1		−		1		0		−1		−

Универсальная тригонометрическая подстановка

sin α =	2 tg (α/2)
	1 + tg2 (α/2)

cos α =	1 – tg2 (α/2)
	1 + tg2 (α/2)

tg α =	2 tg (α/2)
	1 – tg2 (α/2)

ctg α =	1 – tg2 (α/2)
	2 tg (α/2)

 

Вывод формул

Для вывода формул суммы и разности синусов можно использовать формулы сложения, в частности, формулы
синуса суммы ,
синуса разности ,
косинуса суммы и
косинуса разности .

Также нам потребуется представление углов и в виде и . Такое представление правомерно, так как и для любых углов и .

Теперь подробно разберем вывод формулы суммы синусов двух углов вида .

Сначала в сумме заменяем на , а на , при этом получаем . Теперь к применяем формулу синуса суммы, а к – формулу синуса разности:

После приведения подобных слагаемых получаем . В итоге имеем формулу суммы синусов вида .

Для вывода остальных формул нужно лишь проделать аналогичные действия. Приведем вывод формул разности синусов, а также суммы и разности косинусов:

Для разности косинусов мы привели формулы двух видов или . Они эквивалентны, так как , что следует из свойств синусов противоположных углов.

Итак, мы разобрали доказательство всех формул суммы и разности синусов и косинусов.

Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного угла

Формула	Название формулы
	Выражение синуса угла через тангенс половинного угла
	Выражение косинуса угла через тангенс половинного угла
	Выражение тангенса угла через тангенс половинного угла

Выражение синуса угла через тангенс половинного угла

Выражение косинуса угла через тангенс половинного угла

Выражение тангенса угла через тангенс половинного угла

Доказательство

Начнем с доказательства формулы косинуса разности . Она нам поможет доказать другие формулы сложения.

Перед доказательством стоит озвучить один не очень очевидный факт, который мы используем. Он заключается в следующем. Возьмем единичную окружность. Пусть точки A₁ и A₂ получены в результате поворота начальной точки A(1, 0) вокруг точки O на углы и соответственно. Тогда угол между векторами и равен либо , либо , где z – любое целое число. Другими словами, угол между указанными векторами равен либо , либо , либо отличается от этих значений на целое число полных оборотов. Приведем графическую иллюстрацию для наглядности.

Более того, формулы приведения позволяют нам записать следующие результаты и . Таким образом, косинус угла между векторами и равен косинусу угла , то есть, . Теперь можно переходить непосредственно к доказательству формулы косинуса разности.

В силу определений синуса и косинуса, точки A₁ и A₂ имеют координаты и соответственно. Тогда и (при необходимости смотрите координаты векторов через координаты точек их начала и конца). Длины этих векторов равны единице, так как они равны радиусу единичной окружности.

Теперь запишем скалярное произведение векторов и . С одной стороны имеем , а это же скалярное произведение в координатах имеет вид . Отсюда получаем равенство . Этим доказана формула косинуса разности.

Переходим к доказательству следующей формулы сложения. Формулу косинуса суммы легко доказать, используя уже доказанную формулу и представление вида . Имеем

последний переход возможен в силу свойств синуса и косинуса противоположных углов.

Из формулы косинуса разности легко получить формулу синуса суммы, достаточно лишь обратиться к формуле приведения вида . Так

в последнем переходе мы использовали формулы приведения.

А вот доказательство формулы синуса разности:

в последнем переходе использовалось свойство синуса и косинуса противоположных углов.

Переходим к доказательству формул сложения для тангенса и котангенса. Для этого достаточно вспомнить, что тангенс – это отношение синуса к косинуса, а котангенс – отношение косинуса к синусу, а также применить доказанные выше формулы.

Так . Теперь разделим числитель и знаменатель полученной дроби на , учитывая что и , имеем

после сокращения дробей получаем .
В итоге имеем .

Теперь докажем формулу тангенса разности:

Формулы сложения для котангенса доказываются аналогично формулам сложения для тангенса:

и

Тригонометрические функции суммы и разности углов

sin(α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β

sin(α – β) = sin α · cos β – cos α · sin β

cos(α + β) = cos α · cos β – sin α · sin β

cos(α – β) = cos α · cos β + sin α · sin β

tg(α + β) =	tg α + tg β
	1 – tgα · tg β

tg(α – β) =	tg α – tg β
	1 + tgα · tg β

ctg(α + β) =	ctgα · ctg β – 1
	ctg β + ctg α

ctg(α – β) =	ctgα · ctg β + 1
	ctg β – ctg α

Примеры применения формул суммы и разности тригонометрических функций

Пример. Вычислить точное значение следующего выражения:.

Решение. Так как невозможно найти точное решение ни для , ни для попробуем использовать формулу (7).

Ответ:

Формулы тройного угла.

sin 3α = 3sin α – 4sin³ α

cos 3α = 4cos³ α – 3cos α

tg 3α = (3tg α – tg³ α) ÷ (1 – 3tg² α)

ctg 3α = (3ctg α – ctg³ α) ÷ (1 – 3ctg² α)

Формулы приведения.

Таблица всех формул приведения.

Функция / угол в рад.	π/2 – α	π/2 + α	π – α	π + α	3π/2 – α	3π/2 + α	2π – α	2π + α
sin	cos α	cos α	sin α	– sin α	– cos α	– cos α	– sin α	sin α
cos	sin α	– sin α	– cos α	– cos α	– sin α	sin α	cos α	cos α
tg	ctg α	– ctg α	– tg α	tg α	ctg α	– ctg α	– tg α	tg α
ctg	tg α	– tg α	– ctg α	ctg α	tg α	– tg α	– ctg α	ctg α
Функция / угол в °	90° – α	90° + α	180° – α	180° + α	270° – α	270° + α	360° – α	360° + α

 

Основное тригонометрическое тождество:

sin²α+cos²α=1

Данное тождество − результат применения теоремы Пифагора к треугольнику в единичном тригонометрическом круге.

Соотношение между косинусом и тангенсом:

1/cos²α−tan²α=1 или sec²α−tan²α=1.

Данная формула является следствием основного тригонометрического тождества и получается из него делением левой и правой части на cos2α. Предполагается, что α≠π/2+πn,n∈Z.

Тригонометрические функции двойного угла

sin 2α = 2 sin α · cos α

cos 2α = cos² α – sin² α

tg 2α =	2 tg α
	1 – tg2 α

ctg 2α =	ctg2 α – 1
	2 ctg α

Формулы понижения степени для кубов синуса и косинуса

Формула	Название формулы
	Выражение куба синуса через синус угла и синус тройного угла
	Выражение куба косинуса через косинус угла и косинус тройного угла

Выражение куба синуса через синус угла и синус тройного угла

Выражение куба косинуса через косинус угла и косинус тройного угла

Источники

• https://ru. onlinemschool.com/math/formula/trigonometry_formula/
• https://www.resolventa.ru/spr/trig/formula.htm
• https://www.calc.ru/Trigonometricheskiye-Formuly.html
• http://www.cleverstudents.ru/trigonometry/sum_of_sin_and_cos.html
• http://www.cleverstudents.ru/trigonometry/angle_addition_formulas.html
• https://MicroExcel.ru/summa-raznost-argumentov-trigonometricheskikh-funktsiy/
• https://doza.pro/art/math/geometry/trig-formulas
• https://matworld.ru/trigonometry/summa-i-raznost-trigonometricheskih-funkcij.php

определение, примеры решения и свойства

Содержание:

1. Формулы тригонометрии и их использование для преобразования тригонометрических выражений
2. Тригонометрические выражения
3. Формулы сложения и вычитания аргументов
4. Формулы приведения
5. Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента
6. Формулы двойного аргумента
7. Формулы понижения степени
8. Преобразование сумм тригонометрических функций в произведение
9. Преобразование произведений тригонометрических функций в сумму
10. Преобразование выражения к виду .
11. Примеры преобразований выражений, содержащих обратные тригонометрические функции

Формулы тригонометрии — это соотношения между основными тригонометрическими функциями – синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом.

Тригонометрические выражения

Выражение, в котором переменная содержится под знаками тригонометрических функций, называют тригонометрическим. Для преобразования тригонометрических выражений используют свойства тригонометрических функций, отмеченные в пп. 100—105, и формулы тригонометрии, указанные ниже в пп. 125—131.

Формулы сложения и вычитания аргументов

Формулы (1)—(4) справедливы для любых  Формула (5) верна при отличных от  Формула (6) верна при отличных от

Пример 1.

Вычислить sin 75°.

Решение: 

Имеем sin 75° = sin (30° + 45°). Воспользовавшись формулой (3) при получим 

sin (30° + 45°) = sin 30° cos 45° + cos 30° sin 45°.

Известно, что   (см. п. 99). Значит, 

Итак, 

Пример 2.

Упростить выражение

Решение: 

Воспользуемся для и  формулами (3) и (1) и учтем, что

Пример 3.

Вычислить cos 15°.

Решение: 

Имеем 15° = 45° — 30°. Воспользовавшись формулой (2) при получим

cos 15° = cos (45° — 30°) = cos 45° cos 30° + sin 45° sin 30° =

Пример 4.

Найти , если .

Решение: 

Воспользуемся формулой (5) и учтем, что :

Формулы приведения

Под формулами приведения понимают обычно формулы, сводящие значение тригонометрической функции аргумента вида  к функции аргумента . 

Пусть, например, нужно вычислить

Имеем:

Аналогично,

Подобным же образом выводятся и остальные формулы приведения. Эти формулы даны в следующей таблице:

Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента

Если в формуле (2) из п. 125 положить , то получим

откуда, в свою очередь, находим, что

Тождество (2) справедливо при а тождество (3) — при

Равенства (1), (2), (3) связывают между собой различные тригонометрические функции одного и того же аргумента. Известны еще два равенства, связывающие между собой различные тригонометрические функции одного и того же аргумента:

Перемножая эти равенства, получаем равенство

справедливое при

Пример 1.

Известно, что , причем  Найти cos t, tg t, ctg t.

Решение: 

Из формулы (1) получаем . Подставив вместо sin t его значение, получим

Итак, ; значит, либо

По условию, , т. е. аргумент t принадлежит III четверти. Но в III четверти косинус отрицателен; значит, из двух указанных выше возможностей выбираем одну:

Зная sin t и cos t, находим tg t и ctg t:

Пример 2.

Известно, что , причем . Найти sin t, cos t, tg t.

Peшeние: 

Из формулы (3) находим

Подставив вместо ctg t его значение, получим

Итак, . Значит, либо , либо  По условию,  Значит, t принадлежит II четверти, а во II четверти синус положителен. Поэтому из двух указанных возможностей выбираем одну:

Для отыскания значения cos t воспользуемся определением котангенса: . Из этого равенства находим

Осталось вычислить значение tg t. Из равенства  находим, что . Итак,

Формулы двойного аргумента

Если в формулах (3), (1), (5) из п. 125 положить то получим следующие тождества:

С помощью формул (1), (2) и (3) можно выразить синус, косинус, тангенс любого (допустимого) аргумента через тригонометрические функции вдвое меньшего аргумента. Например, справедливы следующие равенства:

В ряде случаев полезным оказывается использование полученных формул «справа налево», т. е. замена выражения 2 sin t cos t выражением sin 2t (или выражения sin t cos t — выражением , выражения — выражением cos 2t и, наконец, выражения     — выражением tg 2t.

Пример: 

Упростить выражение tg t — ctg t.

Решение:

Формулы понижения степени

Зная, что  (см. n. 128), находим, что

Формулы (1) и (2) называют формулами понижения степени. Они позволяют преобразовывать и  в выражения, содержащие первую степень косинуса двойного аргумента. Например, используя формулы (1) и (2), можем получить следующие равенства:

Формулы (1) и (2) используют и «справа налево» для преобразования сумм 1 + cos 2t, 1 — cos 2t в произведения. Например, верны следующие равенства:

Пример 1.

Доказать тождество

Решение: 

Знаменатель правой части преобразуем по формуле (1), а числитель — по формуле синуса двойного аргумента (см. п. 128). Получим

Пример 2.

Вычислить , если известно, что .

Решение: 

Воспользовавшись тем, что , применим формулы понижения степени. Получим

Преобразование сумм тригонометрических функций в произведение

Пример 1.

Преобразовать в произведение cos 48° — cos 12°.

Решение: 

Применив формулу разности косинусов при , получим

Так как  , то окончательно получим

cos 48° — cos 12° = — sin 18°.

Пример 2.

Преобразовать в произведение

sin х + cos 2х — sin Зх.

Решение:

Преобразование произведений тригонометрических функций в сумму

Пример: 

Преобразовать в сумму произведение sin 43° cos 19°.

Решение: 

Воспользовавшись формулой (1) при , получим

Преобразование выражения к виду .

Любое выражение вида можно представить в виде .

Для этого вынесем за скобки выражение :

Ho . Это значит, что точка с координатами  удовлетворяет уравнению , т. е. лежит на числовой окружности; поэтому существует такое , что

Обозначив для краткости через А, получаем

Применив к выражению в скобках формулу (2) из п. 125, получим

Числа связаны друг с другом соотношениями:

Например, где 

Примеры преобразований выражений, содержащих обратные тригонометрические функции

Пример 1.

Упростить выражение cos (arcsin х), где .

Решение: 

Положим arcsin х = у. Тогда sin у = х, . Нужно найти cos у.

Известно, что значит,  Но , а на отрезке  косинус принимает лишь неотрицательные значения. Поэтому  т.е. 

Пример 2.

Вычислить .

Решение: 

Положим . Тогда

Нужно вычислить

Имеем  ; значит, 

Так как, далее,  

откуда

По условию,  значит,  а в интервале имеем Итак, т. е.

Пример 3.

Доказать, что для любого х из [- 1; 1] справедливо тождество

Решение: 

Вычислим значения синуса левой и правой частей проверяемого равенства:

Синусы, как мы видим, равны, поэтому, чтобы убедиться в справедливости равенства (1), осталось показать, что принадлежат одно-му и тому же промежутку монотонности функции у = sin х (без проверки этого условия можно получить неверный результат, ведь тригонометрические функции могут принимать одинаковые значения и для различных значении аргумента, например )

Имеем  Далее, а поэтому  Итак, arcsin х и  принадлежат одному промежутку монотонности  функции у = sin х. Теперь можно считать, что тождество (1) доказано. Аналогично можно доказать, что

 

 

Эта лекция взята со страницы полного курса лекций по изучению предмета «Математика»:

• Математика решение заданий и задач

Смотрите также дополнительные лекции по предмету «Математика»:

Формулы суммы и разности углов: примеры и методы

На уроке тригонометрии наш учитель математики сказал, что сумма 30° и 40° даст 70°, а сумма sin30° и sin40° не даст sin70° и это вызвало некоторый переполох в классе. Как же тогда сложить и вычесть синусов или косинусов углов ? Далее будет объяснено все, что вам нужно знать о таких операциях.

Какие формулы суммы и разности углов в тригонометрии?

Формулы суммы и разности углов — это уравнения, используемые при выполнении сложения и вычитания тригонометрических тождеств.

В отличие от обычных арифметических операций сложение и вычитание тригонометрических функций имеют другой подход. Например, cos (45° -15°) не совпадает с cos45° — cos15°. Это становится более сложной задачей, когда в таких арифметических операциях участвуют тригонометрические функции. Итак, для решения этой задачи необходимо вывести формулы.

Знание тригонометрических функций специальных углов, таких как синусы, косинусы и тангенсы 30, 45, 60 и 90 градусов, означает, что сложение или вычитание этих углов может дать другие углы. Например, можно вывести sin15°, поскольку sin15° совпадает с sin(45-30)°. Далее мы будем выводить формулы для решения этих операций.

Доказательство суммы и разности функций косинуса

Разность функций косинуса

Рассмотрим рисунок ниже:

Рисунок 1: Изображение, показывающее использование стандартного положения единичного круга для доказательства разности функций косинуса, — StudySmarter Originals

Рисунок выше взят из стандартного положения единичного круга. Если a — это угол ∠ PON , а b — это угол ∠Q ON , то угол ∠ POQ равен ( a-b ). Следовательно, — горизонтальная составляющая точки P , а — ее вертикальная составляющая. В то время как горизонтальная составляющая точки Q и — его вертикальная составляющая. Таким образом, чтобы найти расстояние PQ, воспользуемся формулой расстояния между двумя точками.

Где в пункте P , is и в пункте Q , is. Таким образом,

Перестановка уравнения

Помните:

Тогда:

Если угол (A-B ) должны были быть переполнены в стандартную позицию единичного круга из исходного происхождения )0027 O до точки S на рисунке ниже. расстояние PQ на рисунке 1) может быть получено относительно угла (a-b ) и соответствующих точек S ( cos (a-b) , sin (ab) ) и N (1, 0 ).

Использование

Где точка S и N , то

Переставьте и приведите подобные члены

Помните, что

2 9;

Помните, что

Затем

Таким образом,

Решите алгебру, вычитая 2 с обеих сторон уравнения

Разделите по обе стороны на обе стороны

. 0007

Суммирование функций косинуса

Таким образом, подставьте значение b вместо -b в уравнение.

Обратите внимание, что

и

поэтому

Доказательство суммы и разности синусоидальных функций

Изображение прямоугольного треугольника, — StudySmarter Originals

Нарисуйте еще одну прямую, пересекающую A и касающуюся линии BC в точке D, так, чтобы угол BAD был равен β, а угол DAC равен α, как показано ниже.

Проведите линию, перпендикулярную точке D, которая касается линии AB в точке E, как показано ниже.

Из точки E проведите линию, перпендикулярную линии AC, пересекающую линию AD в точке F и пересекающую линию AC в точке G, как показано ниже.

Проведите линию из точки D в точку H на линии EG, перпендикулярную линии EG, как показано ниже.

Обратите внимание, что для каждого последующего шага следует обращаться к рисунку выше.

Поэтому

Использование SOHCATOA

Обратите внимание, что строка EG = EH + HG, поэтому

Отзыв;

прямые HG и DC параллельны и равны.

Таким образом,

Видите, что

Они являются альтернативными углами, потому что линии HD и AC параллельны и пересекаются линией AD.

Примечание ниже

Напомним, что линия AD перпендикулярна линии ED. Поэтому

Зная, что

таким образом

сумма углов треугольника равна 180° см. ниже

Изображение, доказывающее сумму синуса углов, StudySmarter Originals

Из прямоугольного треугольника EDH

Напомним, что

Подставьте значение EH

Между тем, из прямоугольного треугольника AED, используя SOHCAHTOA

Подставляем значение в уравнение

Из прямоугольного треугольника ADC, используя SOHCAHTOA

в уравнение

Глядя на прямоугольный треугольник AED и используя SOHCAHTOA

Подставляем значение в уравнение

Разность его функций

Зная, что

Таким образом, можно получить, заменив β на -β во всем уравнении.

Therefore

Note that

and

therefore

Proving Sum and Difference of Tangent Functions

Summing of tangent functions

Recall that

Therefore

Thus

Разделить каждую единицу в правой части уравнения на cosAcosB

Разница в касательных функциях

Напомним, что

Следовательно,

Таким образом,

Разделите все объекты правой стороны уравнения Cosacosb

SUM и разница в разнице формла.

Ниже вы увидите, как применять формулы суммы и разности.

Найдите значение cos15°

Решение:

Первый шаг — найти наилучшую возможную комбинацию специальных углов, которая даст этот угол. В этом случае 15° можно получить, вычитая 30° из 45°.

Поэтому

отзыв

Следовательно;

Factorize further

Thus

Prove that:

Solution:

knowing that

Therefore

Note that

:

Thus,

Отсюда;

Если человек выходит из точки P в точку R, которая находится в 20 км строго к востоку от P, то он идет в точку S к северу от R. Найдите расстояние от R до S, если S составляет 75 градусов северо-востока. P без использования калькуляторов или математических таблиц.

Решение:

Нас просят рассчитать расстояние RS. Using SOHCAHTOA

Note that

Therefore

Where

and

Then

Multiply the numerator and denominator by

Thus

Sum and Формулы разности углов — основные выводы

• Сумма и разность тригонометрических функций не вычисляются прямым арифметическим методом.
• Формула суммы и разности синуса
• Формула суммы и разности косинуса
• Формула суммы и разности тангенса

Решение тригонометрических уравнений алгебраическими методами

Горячая математика

Уравнение, которое содержит тригонометрические функции называется тригонометрическое уравнение .

Пример:

грех 2 Икс + потому что 2 Икс знак равно 1 2 грех Икс − 1 знак равно 0 загар 2 2 Икс − 1 знак равно 0

Чтобы решить тригонометрическое уравнение, мы используем правила алгебры, чтобы изолировать тригонометрическую функцию по одну сторону от знака равенства. Затем мы используем наши знания о значениях тригонометрических функций для решения переменной.

Когда вы решаете тригонометрическое уравнение, которое включает только одно тригонометрическое выражение, начните с выделения выражения.

Когда тригонометрические функции не могут быть объединены в одной части уравнения, попробуйте разложить уравнение на множители, а затем применить свойство нулевого продукта решить уравнение. Если уравнение имеет квадратную форму, по возможности, первый фактор. Если это невозможно, примените квадратичная формула решить уравнение.

Пример :

Решать 2 грех Икс − 1 знак равно 0 .

Чтобы решить уравнение, начнем с того, что перепишем его так, чтобы sin Икс изолирован с левой стороны. Итак, сначала добавьте 1 в каждую сторону, а затем разделить каждую сторону на 2 .

2 грех Икс знак равно 1 грех Икс знак равно 1 2

С грех Икс имеет период 2 π , сначала найдем все решения в интервале [ 0 , 2 π ] .

No related posts.