Формулы сложения тригонометрия: Формулы сложения

alexxlab / / Разное

Mathway | Популярные задачи

1Найти точное значениеsin(30)
2Найти точное значениеsin(45)
3Найти точное значениеsin(30 град. )
4Найти точное значениеsin(60 град. )
5Найти точное значениеtan(30 град. )
6Найти точное значениеarcsin(-1)
7Найти точное значениеsin(pi/6)
8
Найти точное значение		cos(pi/4)
9Найти точное значениеsin(45 град. )
10Найти точное значениеsin(pi/3)
11Найти точное значениеarctan(-1)
12Найти точное значениеcos(45 град. )
13Найти точное значениеcos(30 град. )
14Найти точное значениеtan(60)
15
Найти точное значение		csc(45 град. )
16Найти точное значениеtan(60 град. )
17Найти точное значениеsec(30 град. )
18Найти точное значениеcos(60 град. )
19Найти точное значениеcos(150)
20Найти точное значениеsin(60)
21Найти точное значениеcos(pi/2)
22Найти точное значениеtan(45 град. )
23Найти точное значениеarctan(- квадратный корень из 3)
24Найти точное значениеcsc(60 град. )
25Найти точное значениеsec(45 град. )
26Найти точное значениеcsc(30 град. )
27Найти точное значениеsin(0)
28Найти точное значениеsin(120)
29Найти точное значениеcos(90)
30Преобразовать из радианов в градусыpi/3
31Найти точное значениеtan(30)
32Преобразовать из градусов в радианы45
33Найти точное значениеcos(45)
34Упроститьsin(theta)^2+cos(theta)^2
35Преобразовать из радианов в градусыpi/6
36Найти точное значениеcot(30 град. )
37Найти точное значениеarccos(-1)
38Найти точное значениеarctan(0)
39Найти точное значениеcot(60 град. )
40Преобразовать из градусов в радианы30
41Преобразовать из радианов в градусы(2pi)/3
42Найти точное значениеsin((5pi)/3)
43Найти точное значениеsin((3pi)/4)
44Найти точное значениеtan(pi/2)
45Найти точное значениеsin(300)
46Найти точное значениеcos(30)
47Найти точное значениеcos(60)
48Найти точное значениеcos(0)
49Найти точное значениеcos(135)
50Найти точное значениеcos((5pi)/3)
51Найти точное значениеcos(210)
52Найти точное значениеsec(60 град. )
53Найти точное значениеsin(300 град. )
54Преобразовать из градусов в радианы135
55Преобразовать из градусов в радианы150
56Преобразовать из радианов в градусы(5pi)/6
57Преобразовать из радианов в градусы(5pi)/3
58Преобразовать из градусов в радианы89 град.
59Преобразовать из градусов в радианы60
60Найти точное значениеsin(135 град. )
61Найти точное значениеsin(150)
62Найти точное значениеsin(240 град. )
63Найти точное значениеcot(45 град. )
64Преобразовать из радианов в градусы(5pi)/4
65Найти точное значениеsin(225)
66Найти точное значениеsin(240)
67Найти точное значениеcos(150 град. )
68Найти точное значениеtan(45)
69Вычислитьsin(30 град. )
70Найти точное значениеsec(0)
71Найти точное значениеcos((5pi)/6)
72Найти точное значениеcsc(30)
73Найти точное значениеarcsin(( квадратный корень из 2)/2)
74Найти точное значение tan((5pi)/3)
75Найти точное значениеtan(0)
76Вычислитьsin(60 град. )
77Найти точное значениеarctan(-( квадратный корень из 3)/3)
78Преобразовать из радианов в градусы(3pi)/4
79Найти точное значениеsin((7pi)/4)
80Найти точное значениеarcsin(-1/2)
81Найти точное значениеsin((4pi)/3)
82Найти точное значениеcsc(45)
83Упроститьarctan( квадратный корень из 3)
84Найти точное значениеsin(135)
85Найти точное значениеsin(105)
86Найти точное значениеsin(150 град. )
87Найти точное значение
sin((2pi)/3)
88Найти точное значениеtan((2pi)/3)
89Преобразовать из радианов в градусыpi/4
90Найти точное значениеsin(pi/2)
91Найти точное значениеsec(45)
92Найти точное значениеcos((5pi)/4)
93Найти точное значениеcos((7pi)/6)
94Найти точное значениеarcsin(0)
95Найти точное значениеsin(120 град. )
96Найти точное значениеtan((7pi)/6)
97Найти точное значениеcos(270)
98Найти точное значениеsin((7pi)/6)
99Найти точное значениеarcsin(-( квадратный корень из 2)/2)
100Преобразовать из градусов в радианы88 град.

Формулы сложения — Алгебра — Уроки

  1. Число:

  2. Тема урока: Формулы сложения

  3. Тип урока: урок ознакомления с новым материалом

  4. Цель урока: сформировать умение применять тригонометрические формулы сложения

  5. Учебно-воспитательные задачи урока:

Образовательные:

  • вывод формул сложения для тригонометрических функций

  • отработать навыки использования тригонометрических формул сложения при решении уравнений, в вычислениях и тождественных преобразованиях тригонометрических выражений

Развивающие

  • Развитие умений выделять главное, существенное в изученном материале

  • Развивать познавательный интерес, логическое мышление

Воспитательные

  • воспитание интереса к предмету

  • воспитание ответственного отношения к своему образованию.

  1. Средства обучения: индивидуальные конспекты, записи на доске, учебник «Алгебра и начала математического анализа» 10-11 Ш.А.Алимов, Ю.М.Колягин, М.В.Ткачева, Н.Е.Федорова, М.И.Шабунин. М.: Просвещение, 2014.

  2. План урока

№

Этапы урока

время

Методы и методические приемы

1

Орг.момент

1 мин

Словесный(приветствие)

2

Сообщение темы и целей урока

1 мин

Словесный, практический

3

Изложение нового материала

15 мин

Словесный, практический

4

Закрепление материала

20 мин

Практический

5

Подведение итогов. Домашнее задание. Рефлексия

3 мин

Словесный (запись на доске), оценивание

8. Ход урока

I. Организационный момент. Приветствие учителя. Проверка готовности класса к уроку.

II. Сообщение темы и целей урока.

III. Объяснение нового материала.

Определение: Формулы сложения позволяют выразить функции разности или суммы двух углов с помощью тригонометрических функций этих углов.

Формулы сложения — это формулы синуса суммы и разности аргументов; косинуса суммы и разности аргументов; тангенса суммы и разности аргументов.

Рассмотрим единичную окружность в прямоугольной системе координат хОу. (рис. 1)

Рисунок 1. Единичная окружность

Точка   получена поворотом точки Мₒ(1;0) на угол   , а точка   на угол   и точка   на угол  .

Углы   и   равны, отрезки  . Значит, треугольник   равен треугольнику   , следовательно у них одинаковые стороны   и  .

Так как синус это ордината точки на единичной окружности, а косинус её абсцисса, то точки имеют координаты

;

;

).

Подставим координаты точек   и   в формулу для нахождения расстояния между ними. Получим:

.

Преобразуем левую часть, используя формулы квадрата суммы и разности двух выражений и тригонометрические тождества:

Преобразуем правую часть:

Соединим левую и правую части:

Разделим на  каждое слагаемое :

Получили формулу косинуса суммы.

Заменим   и учтём, что  , получим формулу косинуса разности

Докажем, что 

Так как  ,  , то по формуле косинуса разности получаем:

 Заменим   получим

Так, например, , потому что  .

Докажем, что 

Подставим в формулу   значение  , получим:

Для тангенса и котангенса тоже справедливы формулы

Выведем формулу синуса суммы и разности:

В этой формуле заменим   и получим формулу синуса разности:

Для тангенса тоже есть формула суммы и разности. По определению  .

Тогда tg  , разделим числитель и знаменатель на

Получаем формулу тангенса суммы .

Заменим в ней   и учтём, что tg⁡〖(-α)=〖-tg〗⁡α 〗, получим формулу тангенса разности

.

Пример. Вычислим   .

Для котангенса суммы и разности применяют формулы:

Физкультминутка.

IV. Закрепление материала

Пример 1. Найти 

Решение: Представим  , так как нам известны значения косинуса углов   и   Подставим в формулу косинуса суммы. Получаем:

.

Ответ:  .

Пример 2. Найти  .

Решение: Представим  , так как нам известны значения синуса углов   и   Подставим в формулу синуса суммы. Получаем:

.

Ответ:  .

Пример 3. Вычислите  .

Решение: Применяем формулу синуса разности:  .

Ответ:  .

Выполнение заданий из учебника: №№ 481,482 (1,3), 483 (1), 484 (1,3), 485 (1,3)

V. Итоги урока. Рефлексия

Домашнее задание. П.28 . №№ 482 (2,4), 483 (2), 484 (2,4), 485 (2,4).

Видео с вопросами: Решение тригонометрических уравнений с помощью формул сложения или возведения в квадрат

Стенограмма видео

Решить корень два грех 𝜃 плюс корень три потому что 𝜃 равно двум, где 𝜃 больше нуля и меньше или равно двум 𝜋. Дайте ответ в радианах до двух десятичные разряды.

В этом вопросе у нас есть гармоническое уравнение, которое мы можем решить, вспомнив сначала одно из правил сложения тригонометрии. Здесь говорится, что грех 𝐴 плюс 𝐵 равно sin 𝐴 cos 𝐵 плюс cos 𝐴 sin 𝐵. Начнем с записи любой гармоники уравнение в виде 𝑎 sin 𝜃 плюс 𝑏 cos 𝜃 как 𝑅, умноженное на sin 𝜃 плюс 𝛼. В этом вопросе мы хотим переписать корень два sin 𝜃 плюс корень три cos 𝜃 в виде 𝑅 умножить на sin 𝜃 плюс 𝛼, где значения 𝑅 и 𝛼 можно определить с помощью констант 𝑎 и 𝑏.

Мы можем просто напомнить, что 𝑅 равно квадратному корню из 𝑎 в квадрате плюс 𝑏 в квадрате, а 𝛼 равно обратный загар 𝑏 над 𝑎. В качестве альтернативы мы можем переписать правую часть нашего уравнения по формуле сложения. После расстановки скобок или раскрывая скобки, мы имеем 𝑅 sin 𝜃 cos 𝛼 плюс 𝑅 cos 𝜃 sin 𝛼.

Затем мы можем сравнить коэффициенты sin 𝜃 и cos 𝜃 с каждой стороны уравнения, что дает нам корень два равен 𝑅 cos 𝛼, а корень три равен 𝑅 sin 𝛼.

Теперь у нас есть пара одновременных уравнения, которые мы можем использовать, чтобы найти значения 𝛼 и 𝑅. Разделение уравнения два на уравнение один, у нас есть корень три над корнем два равно 𝑅 sin 𝛼 над 𝑅 cos 𝛼. Поскольку sin 𝛼 над cos 𝛼 равен чтобы загар 𝛼, у нас есть загар 𝛼 равен корню три над корнем два. Тогда мы можем взять обратное тангенс обеих частей этого уравнения такой, что 𝛼 равен обратному тангенсу корень три над корнем два. Таким образом, мы можем видеть, что 𝛼 равен обратному тангенсу 𝑏 над 𝑎. Введя это в наш калькулятор, гарантируя, что он находится в радианном режиме, у нас есть 𝛼 равно 0,886 и так далее.

Затем мы можем заменить это точное значение 𝛼 обратно в уравнение один или два, чтобы вычислить 𝑅. Во втором уравнении имеем 𝑅 равно корню три над грехом 𝛼, который равен корню пять. Мы также могли бы найти это значение 𝑅, используя наше знание тригонометрического тождества Пифагора, что приводит нас к тому факту, что 𝑅 равно квадратному корню из 𝑎 в квадрате плюс 𝑏 в квадрате. Квадратный корень из корня два в квадрате плюс корень из трех в квадрате равен корню из пяти. Очистив немного места, мы теперь имеем корень уравнения пять, умноженный на грех 𝜃 плюс 0,886 и так далее, равен два. И нам нужно решить это уравнение для значений 𝜃 больше нуля и меньше или равно двум 𝜋.

Начнем с разделения обеих сторон наше уравнение на корень пять. Это дает нам грех 𝜃 плюс 0,886 и т. д. равно двум корням из пяти. Далее возьмем арксинус обе стороны. 𝜃 плюс 0,886 равно обратный грех двойки над корнем пять. Убедившись, что наш калькулятор находится в снова в радианном режиме, правая часть становится 1,107 и так далее. Теперь мы можем найти одно решение для нашего уравнения путем вычитания 0,886 и так далее с обеих сторон. Это дает нам 0,221 и так далее. Округление до двух знаков после запятой как и требовалось, имеем 𝜃 равно 0,22.

На данном этапе нам может показаться, что мы закончены. Однако мы хотим, чтобы все значения 𝜃, которые лежат между нулем и двумя 𝜋. Один из способов проверки любого другого решения использует нашу диаграмму CAST. Положительные углы между нулем и два 𝜋 измеряются против часовой стрелки, как показано. Так как синус нашего угла равен положительный, мы знаем, что решения будут в первом и втором квадранте. И из симметрии синуса у нас есть второе решение, где 𝜃 плюс 0,886 и так далее равно 𝜋 минус 1,107 и так далее. Затем мы можем вычесть 0,886 из обе стороны, что дает нам 𝜃 равно 1,148 и так далее. Еще раз округляем до двух знаков после запятой мест, имеем 𝜃 равно 1,15.

Решения корня уравнения два греха 𝜃 плюс корень три потому что 𝜃 равно двум, где 𝜃 больше нуля и меньше больше или равно двум 𝜋 радианам с точностью до двух знаков после запятой, 𝜃 равно 0,22 и 1.15.

Формулы сумм-произведений и произведений-сумм · Алгебра и тригонометрия

Формулы суммы к произведению и произведения к сумме · Алгебра и тригонометрия

В этом разделе вы:

  • Выразите продукты как суммы.
  • Выразите суммы как продукты.

Группа марширует по полю, создавая потрясающий звук, который поддерживает толпу. Этот звук распространяется как волна, которую можно интерпретировать с помощью тригонометрических функций. Например, [ссылка] представляет звуковую волну для музыкальной ноты A. В этом разделе мы исследуем тригонометрические тождества, лежащие в основе таких повседневных явлений, как звуковые волны.

Выражение произведений в виде сумм

Мы уже изучили ряд формул, полезных для расширения или упрощения тригонометрических выражений, но иногда нам может понадобиться выразить произведение косинуса и синуса в виде суммы. Мы можем использовать формул произведения на сумму , которые выражают произведения тригонометрических функций в виде сумм. Давайте сначала исследуем тождество косинуса, а затем тождество синуса.

Выражение произведений в виде суммы косинуса

Мы можем вывести формулу произведения на сумму из тождеств суммы и разности для косинус . Если мы сложим два уравнения, то получим:

cos α cos β+sin α sin β=cos(α−β)+  cos α cos β−sin α sin β=cos(α+β)\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_2 cos α cos β=cos(α−β)+cos(α+β)

Затем делим на 2 

для выделения произведения косинусов:

cos α cos β=12[cos(α−β)+cos(α+β)]

Произведение косинусов выразите в виде суммы.

  1. Напишите формулу произведения косинусов.
  2. Подставить данные углы в формулу.
  3. Упростить.

Запись произведения в виде суммы с использованием формулы произведения косинуса на сумму

Запишите следующее произведение косинусов в виде суммы: 2 cos(7×2) cos 3×2.

Начнем с написания формулы произведения косинусов:

cos α cos β=12[cos(α−β)+cos(α+β)]

Затем мы можем подставить данные углы в формулу и упрощать.

2 cos(7×2)cos(3×2)=(2)(12)[cos(7×2−3×2))+cos(7×2+3×2)]=[cos(4×2)+cos(10×2)]=cos 2x+ cos 5x

Используйте формулу произведения на сумму, чтобы записать произведение в виде суммы или разности:  cos(2θ)cos(4θ).

12(cos6θ+cos2θ)

Выражение произведения синуса и косинуса в виде суммы

Далее мы получим формулу произведения на сумму для синуса и косинуса из формул суммы и разности для sine . Если мы сложим сумму и разность тождеств, то получим:

 sin(α+β)=sin α cos β+cos α sin β+sin(α−β)=sin α cos β−cos α sin β\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_sin(α+β)+sin(α−β)=2 sin α cos β

Затем делим на 2, чтобы выделить произведение косинуса и синуса:

sin α cos β=12[sin(α+β)+sin(α−β)]

Запись произведения в виде суммы, содержащей только синус или косинус

Выразите следующее произведение в виде суммы, содержащей только синус или косинус и не содержащей произведений:  sin(4θ)cos(2θ).

Напишите формулу произведения синуса и косинуса. Затем подставьте данные значения в формулу и упростите.

sin α cos β=12[sin(α+β)+sin(α−β)]sin(4θ)cos(2θ)=12[sin(4θ+2θ)+sin(4θ−2θ)]=12 [грех (6θ) + грех (2θ)]

Используйте формулу произведения на сумму, чтобы записать произведение в виде суммы:  sin(x+y)cos(x−y).

12(sin2x+sin2y)

Выражение произведений синусов через косинус

Выражение произведения синусов через косинус также получается из тождеств суммы и разности для косинуса. В этом случае мы сначала вычтем две формулы косинуса:

                     cos(α−β)=cos α cos β+sin α sin β−                    cos(α+β)=−(cos α \_\__β_β_sin α α _\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\ _\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_   cos(α−β)−cos( α+β)=2 sin α sin β

Затем делим на 2, чтобы выделить произведение синусов:

sin α sin β=12[cos(α−β)−cos(α+β)]

Точно так же мы могли бы выразить произведение косинусов через синус или вывести другие формулы произведения на сумму.

Формулы произведения на сумму

Формулы произведения на сумму следующие: cos β=12[sin(α+β)+sin(α−β)]

sin α sin β=12[cos(α−β)−cos(α+β)]

cos α sin β=12 [sin(α+β)−sin(α−β)]

Выразите произведение в виде суммы или разности

Запишите  cos(3θ) cos(5θ) 

в виде суммы или разности.

У нас есть произведение косинусов, поэтому начнем с написания соответствующей формулы. Затем подставляем данные углы и упрощаем.

cos α cos β=12[cos(α−β)+cos(α+β)]cos(3θ)cos(5θ)=12[cos(3θ−5θ)+cos(3θ+5θ)]=12 [cos(2θ)+cos(8θ)]Использовать четно-нечетное тождество.

Используйте формулу произведения на сумму, чтобы вычислить cos 11π12 cos π12.

−2−34

Выражение сумм в виде произведений

Некоторые проблемы требуют обратного процесса, который мы только что использовали. Формулы суммы к произведению позволяют нам выразить суммы синуса или косинуса в виде произведений. Эти формулы могут быть получены из тождеств произведения на сумму. Например, с помощью нескольких замен мы можем получить тождество суммы и произведения для sine . Пусть u+v2=α 

и  u−v2=β.

Затем

α+β=u+v2+u−v2=2u2=uα−β=u+v2−u−v2=2v2=v

Таким образом, заменив α 

и  β 

в формуле произведения на сумму с подстановочными выражениями имеем

sin α cos β=12[sin(α+β)+sin(α−β)]sin(u+v2)cos(u−v2)=12[sin u+sin v]Заменить для(α+β) и (α−β)2 sin(u+v2)cos(u−v2)=sin u+sin v

Аналогично выводятся другие тождества суммы к произведению.

Формулы суммы к произведению

Формулы суммы к произведению следующие:

sin α+sin β=2sin(α+β2)cos(α−β2) 2sin(α−β2)cos(α+β2)

cos α−cos β=−2sin(α+β2)sin(α−β2)

cos α+cos β=2cos(α+β2)cos(α−β2)

Запись разности синусов в виде произведения

Запишите следующую разность синусов в виде произведения: sin(4θ)−sin(2θ).

Начнем с написания формулы разности синусов.

sin α−sin β=2sin(α−β2)cos(α+β2)

Подставьте значения в формулу и упростите.

sin(4θ)−sin(2θ)=2sin(4θ−2θ2) cos(4θ+2θ2)=2sin(2θ2) cos(6θ2)=2 sin θ cos(3θ)

Используйте формулу суммы к произведению, чтобы записать сумму в виде произведения:  sin(3θ)+sin(θ).

2sin(2θ)cos(θ)

Вычисление с использованием формулы произведения суммы

Вычисление cos(15°)−cos(75°).

Проверьте ответ с помощью графического калькулятора.

Начнем с написания формулы разности косинусов.

cos α−cos β=−2 sin(α+β2) sin(α−β2)

Затем подставляем заданные углы и упрощаем.

cos(15°)−cos(75°)=−2sin(15°+75°2) sin(15°−75°2)=−2sin(45°) sin(−30°)=−2( 22)(−12)=22

Подтверждение личности

Подтверждение личности:

cos(4t)−cos(2t)sin(4t)+sin(2t)=−tan t

Начнем с левой стороны, более сложной стороны уравнение и перепишите выражение, пока оно не совпадет с правой частью.

cos(4t)−cos(2t)sin(4t)+sin(2t)=−2 sin(4t+2t2) sin(4t−2t2)2 sin(4t+2t2) cos(4t−2t2)=− 2 sin(3t)sin t2 sin(3t)cos t=−2sin(3t)sin t2sin(3t)cos t=−sin tcos t=−tan t

Анализ

правила. Процедуры решения уравнения не совпадают с процедурами проверки личности. Когда мы подтверждаем тождество, мы выбираем одну сторону для работы и делаем замены до тех пор, пока эта сторона не превратится в другую сторону.

Проверка идентичности с использованием формул двойного угла и обратных идентичностей

Проверка идентичности csc2θ−2=cos(2θ)sin2θ.

Для проверки этого уравнения мы объединим несколько тождеств. Мы будем использовать формулу двойного угла и обратные тождества. Мы будем работать с правой частью уравнения и перепишем ее, пока она не совпадет с левой частью.

cos(2θ)sin2θ=1−2 sin2θsin2θ=1sin2θ−2 sin2θsin2θ=csc2θ−2

Проверить тождество tan θ cot θ−cos2θ=sin2θ.

tan θ cot θ−cos2θ=(sin θcos θ)(cos θsin θ)−cos2θ=1−cos2θ=sin2θ

Получите доступ к этим онлайн-ресурсам для получения дополнительных инструкций и практических занятий с идентификаторами продуктов и сумм и продуктов.

  • Сумма идентификаторов продуктов
  • Sum to Product и Product to Sum Identities

Ключевые уравнения

Формулы произведения на сумму cos α cos β=12[cos(α−β)+cos(α+β)]sin α cos β=12[sin(α+β)+sin(α−β)]sin α sin β=12[ cos(α−β)−cos(α+β)]cos α sin β=12[sin(α+β)−sin(α−β)]
Формулы суммы к произведению sin α+sin β=2 sin(α+β2)cos(α−β2)sin α−sin β=2 sin(α−β2)cos(α+β2)cos α−cos β=−2 sin(α +β2)sin(α−β2)cos α+cos β=2 cos(α+β2)cos(α−β2)

Ключевые понятия

  • Из тождеств суммы и разности мы можем вывести формулы произведения на сумму и формулы произведения суммы на синус и косинус.
  • Мы можем использовать формулы произведения на сумму, чтобы переписать произведения синусов, произведения косинусов и произведения синусов и косинусов в виде сумм или разностей синусов и косинусов. См. [ссылка], [ссылка] и [ссылка].
  • Мы также можем получить тождества суммы-произведения из тождеств произведения-суммы, используя подстановку.
  • Мы можем использовать формулы преобразования суммы в произведение, чтобы преобразовать сумму или разность синусов, косинусов или произведения синуса и косинуса в произведение синусов и косинусов. См. [ссылка].
  • Тригонометрические выражения часто проще вычислить с помощью формул. См. [ссылка].
  • Тождества можно проверить с помощью других формул или преобразования выражений в синусы и косинусы. Для проверки тождества мы выбираем более сложную сторону знака равенства и переписываем ее до тех пор, пока она не преобразуется в другую сторону. См. [ссылка] и [ссылка].

Раздел Упражнения

Устный

Начиная с произведения для суммирования формулы sin α cos β=12[sin(α+β)+sin(α−β)],

объясните, как определить формулу для cos α sin β.

Подставьте  α  

в косинус и  β  

в синус и оцените.

Обеспечьте два разных метода расчета cos(195°)cos(105°),

, один из которых использует произведение для суммирования. Какой способ проще?

Опишите ситуацию, когда мы должны преобразовать уравнение из суммы в произведение, и приведите пример.

Ответы будут разными. Есть некоторые уравнения, которые включают сумму двух триггерных выражений, которые при преобразовании в произведение легче решить. Например: sin(3x)+sin xcos x=1.

При преобразовании числителя в произведение уравнение принимает вид: 2 sin(2x)cos xcos x=1

Опишите ситуацию, когда мы должны преобразовать уравнение из произведения в сумму, и приведите пример.

Алгебраический

Для следующих упражнений перепишите произведение как сумму или разность.

16 sin(16x)sin(11x)

8(cos(5x)−cos(27x))

20 кос(36т)кос(6т)

2 sin(5x)cos(3x)

sin(2x)+sin(8x)

10 cos(5x)sin(10x)

sin(−x)sin(5x)

12(cos(6x)−cos(4x))

sin(3x)cos(5x)

Для следующих упражнений перепишите сумму или разность в виде произведения.

cos(6t)+cos(4t)

2 cos(5t)cos t

грех (3x) + грех (7x)

cos(7x)+cos(−7x)

2 cos(7x)

грех (3x) − грех (−3x)

cos(3x)+cos(9x)

2 cos(6x)cos(3x)

sin h−sin(3h)

Для следующих упражнений оцените произведение для следующего, используя сумму или разность двух функций. Точно оцените.

cos(45°)cos(15°)

14(1+3)

cos(45°)sin(15°)

sin(−345°)sin(−15°)

14(3−2)

sin(195°)cos(15°)

sin(−45°)sin(−15°)

14(3−1)

В следующих упражнениях оцените произведение, используя сумму или разность двух функций. Оставьте в терминах синуса и косинуса.

cos(23°)sin(17°)

2 sin(100°)sin(20°)

cos(80°)−cos(120°)

2 sin(−100°)sin(−20°)

sin(213°)cos(8°)

12(sin(221°)+sin(205°))

2 cos(56°)cos(47°)

Для следующих упражнений перепишите сумму как произведение двух функций. Оставьте в терминах синуса и косинуса.

sin(76°)+sin(14°)

2 cos(31°)

cos(58°)−cos(12°)

sin(101°)−sin(32°)

2 cos(66,5°)sin(34,5°)

cos(100°)+cos(200°)

sin(-1°)+sin(-2°)

2 sin(-1,5°)cos(0,5°)

Для следующих упражнений подтвердите тождество.

cos(a+b)cos(a−b)=1−tan a tan b1+tan a tan b

4 sin(3x)cos(4x)=2 sin(7x)−2 sinx

 2 sin(7x)−2 sinx=2 sin(4x+3x)−2 sin(4x−3x)=2(sin( 4x)cos(3x)+sin(3x)cos(4x))−2(sin(4x)cos(3x)−sin(3x)cos(4x))=2 sin(4x)cos(3x)+2 sin (3x)cos(4x))−2 sin(4x)cos(3x)+2 sin(3x)cos(4x))=4 sin(3x)cos(4x)

6 cos(8x)sin(2x)sin(−6x)=−3 sin(10x)csc(6x)+3

sin x+sin(3x)=4 sin x cos2x cos x=4 sin x cos2 x

2(cos3x−cos x sin2x)=cos(3x)+cos x

2 tan x cos(3x)=sec x(sin(4x)−sin(2x)) )−sin(2x)))cos x=1cos x(sin(4x)−sin(2x))=sec x(sin(4x)−sin(2x))

cos(a+b)+cos(a−b)=2 cos a cos b

Цифровой

Для следующих упражнений перепишите сумму как произведение двух функций или произведение как сумму двух функций. Дайте ответ в виде синусов и косинусов. Затем оцените окончательный ответ численно, округлив до четырех знаков после запятой.

cos(58°)+cos(12°)

2 cos(35°)cos(23°),1.5081

sin(2°)−sin(3°)

cos(44°)−cos(22°)

−2 sin(33°)sin(11°),−0,2078

cos(176°)sin(9°)

sin(−14°)sin(85°)

12(cos(99°)−cos(71°)),−0,2410

Технология

Для следующих упражнений алгебраически определите, является ли каждое из заданных уравнений тождеством. Если это не тождество, замените правую часть выражением, эквивалентным левой части. Проверьте результаты, построив графики обоих выражений на калькуляторе.

2 sin(2x)sin(3x)=cos x−cos(5x)

cos(10θ)+cos(6θ)cos(6θ)−cos(10θ)=cot(2θ)cot(8θ)

Это тождество.

sin(3x)−sin(5x)cos(3x)+cos(5x)=tan x

2 cos(2x)cos x+sin(2x)sin x=2 sin x

Это не тождество, а 2 cos3x 

есть.

sin(2x)+sin(4x)sin(2x)−sin(4x)=−tan(3x)cot x

В следующих упражнениях упростите выражение до одного члена, затем нарисуйте исходную функцию и вашу упрощенную версию, чтобы убедиться, что они идентичны.

sin(9t)−sin(3t)cos(9t)+cos(3t)

tan(3t)

2 sin(8x)cos(6x)−sin(2x)

sin(3x)−sin xsin x

2 cos(2x)

cos(5x)+cos(3x)sin(5x)+sin(3x)

sin x cos(15x)−cos x sin(15x)

−sin(14x)

Расширения

Для следующих упражнений докажите следующие формулы произведения суммы.

sin x−sin y=2 sin(x−y2)cos(x+y2)

cos x+cos y=2 cos(x+y2)cos(x−y2)

Начните с cos x+cos y.

Сделайте замену и пусть x=α+β 

и пусть y=α−β,

, так что cos x+cos y

станет cos(α+β)+cos(α−β)=cosαcosβ−sinαsinβ +cosαcosβ+sinαsinβ = 2cosαcosβ

Поскольку x = α+β

и y = α -β,

мы можем решить для α

и β

в терминах x и y и ntailtute in для x и y и ntaittute in для x и y и ntaititute in для x и y и ntaittut 2cosαcosβ

и получаем 2cos(x+y2)cos(x−y2).

Для следующих упражнений подтвердите тождество.

sin(6x)+sin(4x)sin(6x)−sin(4x)=tan (5x)cot x

cos(3x)+cos xcos(3x)−cos x=−cot (2x)cot x )sin x=−раскладушка(2x)раскладушка x

cos(6y)+cos(8y)sin(6y)−sin(4y)=cot y cos (7y)sec (5y)

cos(2y)−cos(4y)sin(2y)+sin(4y)=tan y

cos(2y)−cos(4y)sin(2y)+sin(4y)=−2 sin(3y)sin (−y)2 sin(3y)cos y=2 sin(3y)sin(y)2 sin(3y)cos y=tan y

sin(10x)−sin(2x)cos(10x)+cos(2x)=tan(4x)

cos x−cos(3x)=4 sin2xcos x

(cos(2x)−cos(4x))2+(sin(4x)+sin(2x))2=4 sin2(3x)

tan(π4−t)=1−tan t1+tan t

tan(π4−t)=tan(π4)−tant1+tan(π4)tan(t)=1−tant1+tant

Глоссарий

формула произведения к сумме
тригонометрическое тождество, позволяющее записывать произведение тригонометрических функций в виде суммы или разности тригонометрических функций
формула суммы к произведению
тригонометрическое тождество, позволяющее с помощью подстановки записать сумму тригонометрических функций как произведение тригонометрических функций

Эта работа находится под лицензией Creative Commons Attribution 4. 0 International License.

Вы также можете бесплатно скачать на http://cnx.org/contents/[email protected]

Атрибуция:

  • По вопросам, касающимся этой лицензии, обращайтесь по адресу [email protected].
  • Если вы используете данный учебник в качестве библиографической ссылки, то цитировать его следует следующим образом: Колледж OpenStax, алгебра и тригонометрия. OpenStax CNX. http://cnx.org/contents/[email protected].
  • Если вы распространяете этот учебник в печатном формате, вы должны указать на каждой физической странице следующее указание авторства: «Загрузите бесплатно по адресу http://cnx.org/contents/[email protected]».
  • Если вы распространяете часть этого учебника, вы должны сохранять при каждом просмотре страницы в цифровом формате (включая, помимо прочего, EPUB, PDF и HTML) и на каждой физической печатной странице следующее указание авторства: «Скачать бесплатно на http://cnx.

    No related posts.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *