7.3.1. Примеры для закрепления формул сокращенного умножения.
Главная » 7 класс. Алгебра. » 7.3.1. Примеры для закрепления формул сокращенного умножения
На чтение 3 мин. Просмотров 61.7k.
1) Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.
(a+b)2 = a2+2ab+b2
a) (x + 2y)2 = x2 + 2 ·x·2y + (2y)2 = x2 + 4xy + 4y2
б) (2k + 3n)2 = (2k)2 + 2·2k·3n + (3n)2 = 4k2 + 12kn + 9n2
2) Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.
(a-b)2 = a2-2ab+b2
а) (2a – c)2 = (2a)2-2·2a·c + c2 = 4a2 – 4ac + c2
б) (3a – 5b)2 = (3a)2-2·3a·5b + (5b)2 = 9a2 – 30ab + 25b2
3) Разность квадратов двух выражений равна произведению разности самих выражений на их сумму.
a2–b2 = (a–b)(a+b)
a) 9x2 – 16y2 = (3x)2 – (4y)2 = (3x – 4y)(3x + 4y)
б) (6k – 5n)( 6k + 5n) = (6k)2 – (5n)2 = 36k2 – 25n2
4) Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго плюс куб второго выражения.
(a+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3
a) (m + 2n)3 = m3 + 3·m2·2n + 3·m·(2n)2 + (2n)3 = m3 + 6m2n + 12mn2 + 8n3
б) (3x + 2y)3 = (3x)3 + 3·(3x)2·2y + 3·3x·(2y)2 + (2y)3 = 27x3 + 54x2y + 36xy2 + 8y3
5) Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго минус куб второго выражения.
(a-b)3 = a3-3a2b+3ab2-b3
а) (2x – y)3 = (2x)3-3·(2x)2·y + 3·2x·y2 – y3 = 8x3 – 12x2y + 6xy2 – y3
б) (x – 3n)3 = x3-3·x2·3n + 3·x·(3n)2 – (3n)3 = x3 – 9x2n + 27xn2 – 27n3
6) Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы самих выражений на неполный квадрат их разности.
a3+b3 = (a+b)(a2–ab+b2)
a) 125 + 8x3 = 53 + (2x)3 = (5 + 2x)(52 — 5·2x + (2x)2) = (5 + 2x)(25 – 10x + 4x2)
б) (1 + 3m)(1 – 3m + 9m2) = 13 + (3m)3 = 1 + 27m3
7) Разность кубов двух выражений равна произведению разности самих выражений на неполный квадрат их суммы.
a3-b3 = (a-b)(a2+ab+b2)
а) 64с3 – 8 = (4с)3 – 23 = (4с – 2)((4с)2 + 4с·2 + 22) = (4с – 2)(16с2 + 8с + 4)
б) (3a – 5b)(9a2 + 15ab + 25b2) = (3a)3 – (5b)3 = 27a3 – 125b3
Правила и формулы сокращенного умножения
( 56 оценок, среднее 3.89 из 5 )
Раздел недели: Скоропись физического, математического, химического и, в целом, научного текста, математические обозначения. | ||||||||||||||||||||||||||||||||
| Поиск на сайте DPVA Поставщики оборудования Полезные ссылки О проекте Обратная связь Ответы на вопросы. Оглавление Таблицы DPVA.ru — Инженерный Справочник | Адрес этой страницы (вложенность) в справочнике dpva.ru: главная страница / / Техническая информация/ / Математический справочник / / Решение уравнений и неравенств. Системы уравнений. Формулы. Методы. Поделиться:
| |||||||||||||||||||||||||||||||
Если Вы не обнаружили себя в списке поставщиков, заметили ошибку, или у Вас есть дополнительные численные данные для коллег по теме, сообщите , пожалуйста. | ||||||||||||||||||||||||||||||||
Коды баннеров проекта DPVA.ru Консультации и техническая | Проект является некоммерческим. Информация, представленная на сайте, не является официальной и предоставлена только в целях ознакомления. Владельцы сайта www.dpva.ru не несут никакой ответственности за риски, связанные с использованием информации, полученной с этого интернет-ресурса.
Free xml sitemap generator | |||||||||||||||||||||||||||||||
Математический, Физический алфавит, Научный алфавит.
Разность квадратов, квадрат разности, квадрат суммы, разность и сумма кубов, куб разности и суммы.
Куб разности: Если под рукой нет калькулятора (мало ли, телефон только что украли), то можно посчитать на листочке в столбик (картинка будет в конце, как проверка и калькулятора, и формулы).
В условии задачи сказано, что нужно найти куб из 101 по формуле сокращенного умножения. По мнению учителей математики, эти формулы должен знать каждый. Наивный. Где найти эту формулу?
Вы можете найти в Интернете куб суммы . Гугл вам в помощь. Эти формулы можно найти в справочнике по математике, в учебнике по математике, можно спросить у одноклассника, который знает наизусть формулы сокращенного умножения. Нужная нам формула сокращенного умножения называется куб суммы .
Вы увидите это ниже.
А теперь ответ на самый каверзный вопрос: как из одного числа получить сумму чисел? Необходимо разложить это число на термины. С точки зрения математики количество слагаемых может быть любым, но… Формулы сокращенного умножения для возведения суммы в куб я нашел только для двух и трех слагаемых. Формула куба суммы трех слагаемых очень сложная, желаю вам никогда с таким не сталкиваться. Но куб суммы двух слагаемых выглядит красиво. Основной принцип расширения терминов для применения формул сокращенного умножения заключается в том, что числа можно легко умножать в уме без использования калькулятора. Для числа
| 101 кубик |
Не знаю, как вы, а я не мог обойтись без бумажки. Да, я все записал в строчку, а не в столбик, но тем не менее.
И в заключение проверим наше решение умножением в столбик на листе бумаги.
| Куб из 101 в столбце на листе бумаги |
Ну, что-то вроде этого. Зачем вам это все? Чтобы вы знали, что умножать можно не только на калькуляторе или в столбик, но и иногда эффективно пользоваться формулами сокращенного умножения. Если, конечно, вы их знаете.
Правила использования формул сокращенного умножения
Применяются для упрощения вычислений, а также разложения многочленов на множители, многочленов быстрого умножения. Большинство формул сокращенного умножения можно получить из бинома Ньютона — вы скоро в этом убедитесь.
Формулы для квадратов, часто используемые в расчетах. Они изучаются в школьной программе начиная с 7 класса и до конца обучения учащиеся должны знать формулы квадратов и кубов наизусть.
Формулы куба не очень сложные и их нужно знать при приведении полиномов к стандартному виду, для упрощения возведения суммы или разности переменной и числа в куб.
Формулы, отмеченные красным цветом, получены из предыдущей группировки подобных терминов. 92+4x+29
Решение. а) Переставить члены
б) Упростить на основе предыдущих рассуждений
Пример 9. Разложить рациональную дробь
Решение. Применяем формулу разности квадратов
Составим систему уравнений для определения констант
Добавим второе уравнение к утроенному первому уравнению. Подставляем найденное значение в первое уравнение
Наконец, разложение принимает вид 97.
Решение. Вы, наверное, уже знаете, что такое бином Ньютона. Если нет, то ниже биномиальные коэффициенты
Образуются они так: по краю идут единицы, коэффициенты между ними в нижней строке образуются путем суммирования соседних верхних. Если мы ищем разницу в какой-то мере, то знаки в графике чередуются с плюса на минус. Таким образом, для седьмого порядка получаем следующее выравнивание
Внимательно также посмотрите, как меняются показатели — для первой переменной они уменьшаются на единицу в каждом следующем слагаемом, соответственно для второй — увеличиваются на единицу.
В сумме показатели всегда должны быть равны степени разложения (=7).
Думаю, на основе вышеизложенного материала вы сможете решать задачи на бином Ньютона. Изучите формулы сокращенного умножения и применяйте везде, где это может упростить расчеты и сэкономить время на решении задачи.
Математические выражения (формулы) Сокращенное умножение (квадрат суммы и разности, куб суммы и разности, разность квадратов, сумма и разность кубов) чрезвычайно незаменимы во многих областях точных наук. Эти 7 символов незаменимы при упрощении выражений, решении уравнений, умножении многочленов, сокращении дробей, решении интегралов и многом другом. Так что будет очень полезно разобраться, как они получаются, для чего нужны, а главное, как их запомнить и потом применять. Затем применяя формулы сокращенного умножения на практике, самое сложное будет посмотреть что такое Х и что есть. Очевидно никаких ограничений на a и b нет, а значит это может быть любое числовое или буквальное выражение.
И так вот они:
Сначала х 2 — на 2 = (х — у) (х + у) .Чтобы вычислить разность квадратов двух выражений, надо умножить разности этих выражений по их суммам.
Секунда (x + y) 2 = x 2 + 2xy + y 2 . Чтобы найти суммы в квадрате двух выражений, нужно к квадрату первого выражения прибавить удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.
Третий (x — y) 2 = x 2 — 2xy + y 2 . Чтобы вычислить квадрата разности , два выражения нужно вычесть из квадрата первого выражения двойное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.
четвертый (x + y) 3 = x 3 + 3x 2 y + 3x 2 + при 3. для расчета сумма Два выражения, вам нужно добавить в куб первого выражение, умноженное на произведение квадрата первого выражения на второе, умноженное на три произведения первого выражения на квадрат второго, плюс куб второго выражения.
Пятый (х — у) 3 = х 3 — 3х 2 у + 3х 2 — по телефону 3 . Для вычисления куба разности двух выражений необходимо из куба первого выражения вычесть троекратное произведение квадрата первого выражения на второе плюс троекратное произведение первого выражения на квадрат второго минус куб второго выражения.
шестой x 3 + y 3 = (x + y) (x 2 — xy + y 2) , чтобы рассчитать суммы кубиков , вам нужно умножить суммы первых. а вторые выражения неполным квадратом разности этих выражений.
седьмой x 3 — в 3 \ u003d (x — y) (x 2 + xy + y 2) , чтобы сделать расчет Различи первого и второго выражений на неполный квадрат суммы этих выражений.
Нетрудно вспомнить, что все формулы используются для выполнения расчетов в обратном направлении (справа налево).
О существовании этих закономерностей было известно около 4 тысяч лет назад. Их широко использовали жители древнего Вавилона и Египта.
Но в те эпохи они выражались словесно или геометрически и не использовали буквы в расчетах.
Давайте проанализируем суммы квадратов доказательства (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 .
Эту математическую закономерность доказал древнегреческий ученый Евклид, работавший в Александрии в 3 веке до н.э., он использовал для этого геометрический метод доказательства формулы, так как ученые не использовали буквы для обозначения чисел древней Эллады. Они везде употребляли не «а 2», а «квадрат на отрезке а», не «аб», а «прямоугольник, заключенный между отрезками а и Ь».
Ваша конфиденциальность важна для нас. По этой причине мы разработали Политику конфиденциальности, в которой описывается, как мы используем и храним вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашей политикой конфиденциальности и сообщите нам, если у вас есть какие-либо вопросы.
Сбор и использование личной информации
Личная информация относится к данным, которые могут быть использованы для идентификации конкретного человека или связи с ним.
Вас могут попросить предоставить личную информацию в любое время, когда вы свяжетесь с нами.
Ниже приведены некоторые примеры типов личной информации, которую мы можем собирать, и того, как мы можем использовать такую информацию.
Какую личную информацию мы собираем:
- Когда вы подаете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваше имя, номер телефона, адрес электронной почты и т. д.
Как мы используем вашу личную информацию:
- Собранная нами личная информация позволяет нам связываться с вами и информировать вас об уникальных предложениях, рекламных акциях и других событиях и предстоящих мероприятиях.
- Время от времени мы можем использовать вашу личную информацию для отправки вам важных уведомлений и сообщений.
- Мы также можем использовать личную информацию для внутренних целей, таких как проведение аудитов, анализ данных и различные исследования, чтобы улучшить предоставляемые нами услуги и предоставить вам рекомендации относительно наших услуг.
- Если вы участвуете в розыгрыше призов, конкурсе или аналогичном поощрении, мы можем использовать предоставленную вами информацию для управления такими программами.
Раскрытие информации третьим лицам
Мы не раскрываем полученную от вас информацию третьим лицам.
Исключения:
- В случае необходимости — в соответствии с законом, судебным приказом, в порядке судопроизводства и/или на основании публичных запросов или запросов государственных органов на территории Российской Федерации — раскрывать свои персональные данные. Мы также можем раскрыть информацию о вас, если решим, что такое раскрытие необходимо или уместно для обеспечения безопасности, правоохранительных органов или других целей, представляющих общественный интерес.
- В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать личную информацию, которую мы собираем, соответствующему правопреемнику третьей стороны.
Защита личной информации
Мы принимаем меры предосторожности, в том числе административные, технические и физические, для защиты вашей личной информации от потери, кражи и неправомерного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.
Сохранение вашей конфиденциальности на уровне компании
Чтобы обеспечить безопасность вашей личной информации, мы сообщаем нашим сотрудникам о правилах соблюдения конфиденциальности и безопасности и строго соблюдаем правила соблюдения конфиденциальности.
Ваша конфиденциальность важна для нас. По этой причине мы разработали Политику конфиденциальности, в которой описывается, как мы используем и храним вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашей политикой конфиденциальности и сообщите нам, если у вас есть какие-либо вопросы.
Сбор и использование личной информации
Личная информация относится к данным, которые могут быть использованы для идентификации конкретного человека или связи с ним.
Вас могут попросить предоставить личную информацию в любое время, когда вы свяжетесь с нами.
Ниже приведены некоторые примеры типов личной информации, которую мы можем собирать, и того, как мы можем использовать такую информацию.
Какую личную информацию мы собираем:
- Когда вы подаете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваше имя, номер телефона, адрес электронной почты и т. д.
д.Как мы используем вашу личную информацию:
- Личная информация, которую мы собираем, позволяет нам связываться с вами и информировать вас об уникальных предложениях, рекламных акциях и других событиях и предстоящих событиях.
- Время от времени мы можем использовать вашу личную информацию для отправки вам важных уведомлений и сообщений.
- Мы также можем использовать личную информацию для внутренних целей, таких как проведение аудитов, анализ данных и различные исследования, чтобы улучшить предоставляемые нами услуги и предоставить вам рекомендации относительно наших услуг.
- Если вы участвуете в розыгрыше призов, конкурсе или аналогичном поощрении, мы можем использовать предоставленную вами информацию для управления такими программами.
Раскрытие информации третьим лицам
Мы не раскрываем полученную от вас информацию третьим лицам.
Исключения:
- В случае необходимости — в соответствии с законом, судебным приказом, в порядке судопроизводства и/или на основании публичных запросов или запросов государственных органов на территории Российской Федерации — раскрыть свои персональная информация. Мы также можем раскрыть информацию о вас, если решим, что такое раскрытие необходимо или уместно для обеспечения безопасности, правоохранительных органов или других целей, представляющих общественный интерес.
- В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать личную информацию, которую мы собираем, соответствующему правопреемнику третьей стороны.
Мы также можем раскрыть информацию о вас, если решим, что такое раскрытие необходимо или уместно для обеспечения безопасности, правоохранительных органов или других целей, представляющих общественный интерес.Защита личной информации
Мы принимаем меры предосторожности, в том числе административные, технические и физические, для защиты вашей личной информации от потери, кражи и неправомерного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.
Сохранение вашей конфиденциальности на уровне компании
Чтобы обеспечить безопасность вашей личной информации, мы сообщаем нашим сотрудникам о правилах соблюдения конфиденциальности и безопасности и строго соблюдаем правила соблюдения конфиденциальности.
Для упрощения алгебраических многочленов существует формулы сокращенного умножения .
Их не так много и они легко запоминаются, но запомнить их нужно. Обозначения, используемые в формулах, могут принимать любую форму (числовую или полиномиальную).
Первая формула сокращенного умножения называется разностью квадратов . Он заключается в том, что квадрат второго числа вычитается из квадрата одного числа, равного разности данных чисел, а также их произведению.
а 2 — b 2 = (а — b) (а + b)
Разберем для наглядности:
22 2 — 4 2 = (22-4)(22+4)=18 * 26 = 468
9a 2 — 4b 2 c 2 = (3a — 2bc)(3a + 2bc)
Вторая формула о сумме квадратов . Звучит так, сумма двух значений в квадрате равна квадрату первого значения, к нему прибавляется удвоенное произведение первого значения на второе, к ним прибавляется квадрат второго значения.
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
Благодаря этой формуле вычисление квадрата большого числа становится намного проще без использования компьютеров.
Так например: квадрат 112 будет
1) В начале разберем 112 на числа квадраты которых нам знакомы
112 = 100 + 12
2) Вводим полученное в скобки в квадрате
112 2 = (100+12) 2
3) Применяя формулу, получаем:
112 2 = (100+12) 2 = 100 2 + 2 * 100 * 12 + 122 = 10000 + 2400+ 144 = 12544
Третья формула: квадрат разницы . В котором говорится, что два значения, вычтенные друг из друга в квадрате, равны тому, что из первого значения в квадрате мы вычитаем двойное произведение первого значения, умноженного на второе, прибавив к ним квадрат второго значения .
(а + b) 2 = а 2 — 2аб + b 2
где (а — b) 2 равно (b — а) 2 . Чтобы доказать это, (a-b) 2 = a 2 -2ab + b 2 = b 2 -2ab + a 2 = (b-a) 2
Четвертая формула сокращенного умножения называется сумма куб . Что звучит так: два члена значения в кубе равны кубу 1 значения, прибавляется тройное произведение 1 значения в квадрате умноженное на 2-е значение, к ним прибавляется тройное произведение 1 значения умноженное на квадрат 2 значения, плюс второе значение в кубе.
(а + b) 3 = а 3 + 3а 2 б + 3аб 2 + б 3
Пятый, как вы уже поняли, называется куб разности . Который находит различия между значениями, так как из первого обозначения в кубе вычитаем тройное произведение первого обозначения в квадрате умноженное на второе, к ним прибавляется тройное произведение первого обозначения умноженное на квадрат второго обозначения , минус второе обозначение в кубе.
(а-б) 3 = а 3 — 3а 2 б + 3аб 2 — б 3
Шестой называется сумма кубов . Сумма кубов равна произведению двух слагаемых, умноженных на неполный квадрат разности, так как в середине нет удвоенного значения.
a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 -ab + b 2)
По-другому можно сказать сумму кубов можно назвать произведением в двух скобках.
Седьмой и последний называется разность кубов (его легко спутать с формулой разностного куба, но это разные вещи). Разность кубов равна произведению разности двух значений на неполный квадрат суммы, так как в середине нет удвоенного значения.
а 3 — b 3 = (а-б) (а 2 + аб + Ь 2)
И так формул сокращенного умножения всего 7, они похожи между собой и легко запоминаются, единственная главное не запутаться в знаках. Они также предназначены для использования в обратном порядке и таких заданий в учебниках довольно много. Будьте осторожны, и у вас все получится.
Если у вас есть вопросы по формулам, обязательно пишите их в комментариях.