Формулы сокращенного умножения по алгебре 9 класс: Формулы сокращенного умножения 9 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей

Алгебра 7-9 классы. 7. Формулы сокращенного умножения

Подробности

Категория: Алгебра 7-9 классы

 

 

УМНОЖЕНИЕ РАЗНОСТИ ДВУХ ВЫРАЖЕНИИ НА ИХ СУММУ

 

Умножим разность на сумму :

Значит,

Произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений.

Тождество выше является одной из формул сокращенного умножения. Эта формула позволяет сокращенно выполнять умножение разности выражений на их сумму. Например:

 

 

 РАЗЛОЖЕНИЕ РАЗНОСТИ КВАДРАТОВ НА МНОЖИТЕЛИ

 

Поменяем местами в тождестве правую и левую части. Получим:

Это тождество называют формулой

разности квадратов.

Разность квадратов двух выражений равна произведению разности этих выражений и их суммы.

Формула разности квадратов применяется для разложения на множители разности квадратов любых двух выражений.

Разложим» например, на множители двучлен . Представив этот двучлен в виде разности квадратов и применив формулу, получим:

 

 

ВОЗВЕДЕНИЕ В КВАДРАТ СУММЫ И РАЗНОСТИ ДВУХ ВЫРАЖЕНИИ

 

Рассмотрим еще две формулы сокращенного умножения. Возведем в квадрат сумму . Для этого представим выражение в виде произведения и выполним умножение:

Значит,

Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения, плюс удвоенное произведение первого и второго выражений, плюс квадрат второго выражения.

Тождество (1) называют формулой квадрата суммы.

Эта формула позволяет упрощать возведение в квадрат суммы двух выражений. Например,

Рассмотрим теперь квадрат разности а. Так как разность можно представить в виде суммы то по формуле квадрата суммы имеем:

Значит,

Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения, минус удвоенное произведение первого и второго выражений, плюс квадрат второго выражения.

Тождество (2) называют формулой квадрата разности. Эта формула позволяет упрощать возведение в квадрат любой разности. Например,

Заметим, что тождество (2) можно получить и умножением на  по правилу умножения многочлена на многочлен.

 

 

  РАЗЛОЖЕНИЕ НА МНОЖИТЕЛИ С ПОМОЩЬЮ ФОРМУЛ КВАДРАТА СУММЫ И КВАДРАТА РАЗНОСТИ

 

Формулы квадрата суммы и квадрата разности дают возможность не только упрощать возведение в квадрат суммы и разности, но и раскладывать на множители выражения вида .

Действительно, поменяв местами в этих формулах левую и правую части, получим:

Рассмотрим примеры.

Пример 1. Разложим на множители трехчлен .

Первое слагаемое представляет собой квадрат выражения 3х, третье — квадрат числа 5. Так как второе слагаемое равно удвоенному произведению Зх и 5, то этот трехчлен можно представить в виде квадрата суммы Зх и 5:

Пример 2. Разложим на множители многочлен

 

ФОРМУЛЫ СОКРАЩЕННОГО УМНОЖЕНИЯ, ПРИВОДЯЩИЕ К СУММЕ И РАЗНОСТИ КУБОВ

Умножим сумму на выражение

Мы получили тождество

Выражение напоминает трехчлен , который равен квадрату разности

а и b. Однако в этом выражении вместо удвоенного произведения а и Ъ стоит просто их произведение. Выражение вида называют неполным квадратом разности.

Полученное тождество представляет собой формулу сокращенного умножения суммы двух выражений на неполный квадрат их разности.

Произведение суммы двух выражений и неполного квадрата их разности равно сумме кубов этих выражений.

Пример 1. Представим в виде многочлена произведение

Так как первый множитель есть сумма выражений m и Зn, а второй — неполный квадрат их разности, то данное произведение равно сумме кубов этих выражений:

Преобразуем теперь в многочлен произведение разности и выражения , которое называют неполным квадратом суммы а и b

:

Мы получили тождество

Это тождество представляет собой формулу сокращенного умножения разности двух выражений на неполный квадрат их суммы.

Произведение разности двух выражений и неполного квадрата их суммы равно разности кубов этих выражений.

 

Пример 2. Представим в виде многочлена выражение

Это выражение является произведением разности двух одночленов и неполного квадрата их суммы. Поэтому

 

 

 РАЗЛОЖЕНИЕ НА МНОЖИТЕЛИ СУММЫ И РАЗНОСТИ КУБОВ

 

Поменяем в тождестве местами левую и правую части. Получим:

Это тождество называют формулой суммы кубов.

Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений и неполного квадрата их разности.

Формула суммы кубов применяется для разложения на множители суммы кубов любых двух выражений.

Пример 1. Разложим на множители многочлен .

Данный многочлен можно представить в виде суммы кубов двух выражений:

Применив формулу суммы кубов, получим:

Итак,

Аналогично может быть получена формула разности кубов. Поменяв местами в формуле левую и правую части, будем иметь:

Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений и неполного квадрата их суммы.

Пример 2. Разложим на множители многочлен .

Представим данный многочлен в виде разности кубов двух выражений и, применив формулу, получим:

 

 

 

 ПРИМЕНЕНИЕ РАЗЛИЧНЫХ СПОСОБОВ РАЗЛОЖЕНИЯ НА МНОЖИТЕЛИ

 

 

Для разложения многочлена на множители иногда приходится применять несколько способов.

Пример 1. Разложим на множители многочлен

Все члены многочлена имеют общий множитель 2х. Вынесем этот множитель за скобки:

Трехчлен можно представить в виде квадрата суммы Зх и  1. Поэтому

Итак,

 

 

Пример 2. Разложим на множители многочлен

Сначала вынесем за скобки общий множитель :

Попытаемся теперь разложить на множители многочлен

Сгруппировав первый член со вторым и третий с четвертым, будем иметь:

Окончательно получим:

 

Пример 3. Разложим на множители многочлен .

Сгруппировав первый, второй и четвертый члены многочлена, получим трехчлен, который можно представить в виде квадрата разности:

Полученное выражение можно разложить на множители по формуле разности квадратов:

Следовательно,

 

 

 

Урок по алгебре «Формулы сокращенного умножения»

Тема:  «Применение формул сокращенного умножения»

Цель: воспитание внимательности, настойчивости  в достижении результатов

Формирование умения и навыков применения формул квадрата суммы и квадрата разности двух выражений при вычислении;

Развитие вычислительных навыков.

Ход урока

1.Организационный момент

цель: закрепить формулы сокращенного умножения. (а±b)2= a2±2ab + b2 и

a2-b2=(a+b)(a-b)

2.Прверка домашнего задания

         1) словесная формулировка квадрата суммы двух выражений;

         2) словесная формулировка квадрата разности двух выражений;

         3) словесная формулировка разности квадратов двух выражений;

слайды формул:

1. (а+b)2= a2+2ab + b2
2. (а-b)2= a2-2ab + b2

         3)   a2-b2=(a+b)(a-b)

называю левую или правую часть формулы, учащиеся ставят цифры 1,2 или 3

Должно получится число (21213)

1)квадрат разности двух выражений            (2)

2)  квадрат первого выражения плюс удвоенное произведение первого на второе плюс квадрат второго выражения      (1)

3) квадрат первого выражения минус  удвоенное произведение первого на второе плюс квадрат второго выражения      (2)

4)квадрат суммы двух выражений                 (1)

5)разность квадратов двух выражений           (3)

3. Устная работа:

         1)Вставить пропущенный одночлен:

  а)(…+ 2b)2= a2+ 4ab+4b2                (a+ 2b)2= a2+ 4ab+4b2

  б) (3x+…)2 = 9×2+6yx+y2              (3x+y)2 = 9×2+6yx+y2  

  в)(…-2m)2= 100-         40m +4m2            (10-2m)2= 100-40m +4m2

   г)(…-9c)2= 36a4 -108a2c +81c2           (6a2 -9c)2= 36a4 -108a2c +81c2

         2) найти ошибку:

1) ( 3х+у)2=9х2-6ху+у2                          ( 3х+у)2=9х2+6ху+у2

2) (4у-3х)2=16у2-24ху+6х2                   (4у-3х)2=16у2-24ху+9х2

3) (2х+1)2=2х2+4х+1                      (2х+1)2=4х2+4х+1                 

4) (2m+n)2=4m2+2mn+n2                           (2m+n)2=4m2+4mn+n2

4.Возвести многочлен в квадрат (в тетради).

1 гр.1) (2х+9)2=4х2+36х+81                       2) (х2- 5)2=х4-10х2+25

2 гр. 1) (а2+2в)2=а4+4а2в+4в2                                  2) (7-у3)2=49+14у3+у6

5. Тест

1.преобразовать в многочлен стандартного вида: (3х+у)2

а)9х2 + у2

б)3х2+6ху+у2

в)9х2+6ху +у2

г)3х2 +у2

2. Выполнить  действие: (m- 2n)2

а)m2-4mn +4n2

б)m2-4mn+2n2

в)m2-4n2

г)m2-2n2

3.преобразовать в многочлен:

 (2х2-3у2)

а)2х4-3у2

б)4х4-9у2

в)2х4-3х2у +9у2

г)4х4-12х2у +9у2

4.какое из двух равенств верное?

   а)(3а2-2m)=9a4-4m2

   б)(2m+n)2=4m2+ n2 + 4mn

5.преобразовать в многочлен

(2х-3у)(2х+3у)

а)2х2-3у2

б)4х2-6ху+9у2

в)4х2-9у2

г)4х2-12ху+9у2

1.преобразовать в многочлен стандартного вида: (3х+1)2

а)9х2 + 1

б)9х2+6х+1

в)3х2+6х +1

г)3х2 +1

2.Выполнить  действие: (2m- n)2

а)2m2-4mn + n2

б)4m2-4mn+n2

в)4m2-n2

г)2m2-n2

3.преобразовать в многочлен:

(2х-у2)

а)4х2-у2

б)2х2-у2

в)4х2-4ху +у2

г)4х2+4ху +у2

4.какое из двух равенств верное?

   а)(3а-m)=9a2-m2

   б)(m+2n)2=m2+4n2 + 4mn

5.преобразовать в многочлен

(2х-3)(2х+3)

а)4х2-9

б)4х2-12х+9

в)2х2-9

г)2х2-12х+9

6. Из истории

 Начиная с 6 века до н.э. у древнегреческих математиков встречаются общие утверждения о преобразованиях многочленов, применение формул и правил. Тогда было принято все алгебраические утверждения выражать в геометрической форме. Вместо сложения чисел – сложение отрезков, произведение двух чисел сравнивали с площадью, а произведение трех  чисел – с объемом.

Так например: формула  (а+b)2= a2+2ab + b2  выражалась как площадь  квадрата со стороной (а+b)  равна сумме площадей квадратов  со стороной а и  b и две площади прямоугольника со сторонами  а и b

Первым  ученым, который отказался  от геометрических способов выражения и перешел к алгебраическим  уравнениям был древне-греческий ученый- математик, живший  в 3 веке до н.э.

Его фамилию мы узнаем, решив уравнения (по парам)

1)(х-5)2-х2=5                               2 (Д)

2)(2у+1)2-4у2=2                          ¼(И)

3)(2х-3)2-4х2=15                         -1/2 (О)

4)(4-х)2+х(3-х)=11                         1(Ф)

5)(х+4)2-х(х-4)=4                           -3(А)

6)у+4=8                                           4(Н)

7)х-3=6                                           9(Т)

7. С помощью формул сокращенного умножения  можно устно вычислять квадраты чисел  больше или меньше некоторого круглого числа

 например:   512 =(50+1)2= 2500+100+1=2601

Возвести в квадрат числа  62; 49; 31.

8. Домашнее задание стр65 №254(1,3,5)  и №259(6,7,8)

Итог урока.

 

 

 

 

 

Просмотр содержимого документа
«Урок по алгебре «Формулы сокращенного умножения» »

Казанская средняя школа

Урок по теме:

«Применение формул сокращенного умножения»

Учитель: Крайс Н.Э

Тема: «Применение формул сокращенного умножения»

Цель: воспитание внимательности, настойчивости в достижении результатов

Формирование умения и навыков применения формул квадрата суммы и квадрата разности двух выражений при вычислении;

Развитие вычислительных навыков.

Ход урока

1.Организационный момент

цель: закрепить формулы сокращенного умножения. (аb)²= a²2ab + b² и

a²-b²=(a+b)(a-b)

2.Прверка домашнего задания

1) словесная формулировка квадрата суммы двух выражений;

2) словесная формулировка квадрата разности двух выражений;

3) словесная формулировка разности квадратов двух выражений;

слайды формул:

1. (а+b)²= a²+2ab + b²

2. (а-b)²= a²-2ab + b²

3) a²-b²=(a+b)(a-b)

называю левую или правую часть формулы, учащиеся ставят цифры 1,2 или 3

Должно получится число (21213)

1)квадрат разности двух выражений (2)

2) квадрат первого выражения плюс удвоенное произведение первого на второе плюс квадрат второго выражения (1)

3) квадрат первого выражения минус удвоенное произведение первого на второе плюс квадрат второго выражения (2)

4)квадрат суммы двух выражений (1)

5)разность квадратов двух выражений (3)

3. Устная работа:

1)Вставить пропущенный одночлен:

а)(…+ 2b)²= a²+ 4ab+4b² (a+ 2b)²= a²+ 4ab+4b²

б) (3x+…)² = 9x²+6yx+y² (3x+y)² = 9x²+6yx+y²

в)(…-2m)²= 100- 40m +4m² (10-2m)²= 100-40m +4m²

^{г)(…-9c)2= 36a4 -108a2c +81c2 (6a2 -9c)2= 36a4 -108a2c +81c2}

2) найти ошибку:

1) ( 3х+у)²=9х²-6ху+у² ( 3х+у)²=9х²+6ху+у²

2) (4у-3х)²=16у²-24ху+6х² (4у-3х)²=16у²-24ху+9х²

3) (2х+1)²=2х²+4х+1 (2х+1)²=4х²+4х+1

4) (2m+n)²=4m²+2mn+n² (2m+n)²=4m²+4mn+n²

4. Возвести многочлен в квадрат (в тетради).

1 гр.1) (2х+9)²=4х²+36х+81 2) (х²— 5)²=х⁴-10х²⁺²⁵

2 гр. 1) (а²+2в)²=а⁴+4а²в+4в² 2) (7-у³)²=49+14у³+у⁶

5. Тест

1.преобразовать в многочлен стандартного вида: (3х+у)2 а)9х2 + у2 б)3х2+6ху+у2 в)9х2+6ху +у2 г)3х2 +у2 2.Выполнить действие: (m- 2n)2 а)m2-4mn +4n2 б)m2-4mn+2n2 в)m2-4n2 г)m2-2n2 3. преобразовать в многочлен: (2х2-3у2) а)2х4-3у2 б)4х4-9у2 в)2х4-3х2у +9у2 г)4х4-12х2у +9у2 4.какое из двух равенств верное? а)(3а2-2m)=9a4-4m2 б)(2m+n)2=4m2+ n2 + 4mn 5.преобразовать в многочлен (2х-3у)(2х+3у) а)2х2-3у2 б)4х2-6ху+9у2 в)4х2-9у2 г)4х2-12ху+9у2

1.преобразовать в многочлен стандартного вида: (3х+1)2 а)9х2 + 1 б)9х2+6х+1 в)3х2+6х +1 г)3х2 +1 2. Выполнить действие: (2m- n)2 а)2m2-4mn + n2 б)4m2-4mn+n2 в)4m2-n2 г)2m2-n2 3.преобразовать в многочлен: (2х-у2) а)4х2-у2 б)2х2-у2 в)4х2-4ху +у2 г)4х2+4ху +у2 4.какое из двух равенств верное? а)(3а-m)=9a2-m2 б)(m+2n)2=m2+4n2 + 4mn 5.преобразовать в многочлен (2х-3)(2х+3) а)4х2-9 б)4х2-12х+9 в)2х2-9 г)2х2-12х+9

6. Из истории

Начиная с 6 века до н.э. у древнегреческих математиков встречаются общие утверждения о преобразованиях многочленов, применение формул и правил. Тогда было принято все алгебраические утверждения выражать в геометрической форме. Вместо сложения чисел – сложение отрезков, произведение двух чисел сравнивали с площадью, а произведение трех чисел – с объемом.

Так например: формула (а+b)²= a²+2ab + b² выражалась как площадь квадрата со стороной (а+b) равна сумме площадей квадратов со стороной а и b и две площади прямоугольника со сторонами а и b

b a

b² ab

ab a²

b

b

a a

b a

Первым ученым, который отказался от геометрических способов выражения и перешел к алгебраическим уравнениям был древне-греческий ученый- математик, живший в 3 веке до н. э.

Его фамилию мы узнаем, решив уравнения (по парам)

1)(х-5)²-х²=5 2 (Д)

2)(2у+1)²-4у²=2 ¼(И)

3)(2х-3)²-4х²=15 -1/2 (О)

4)(4-х)²+х(3-х)=11 1(Ф)

5)(х+4)²-х(х-4)=4 -3(А)

6)у+4=8 4(Н)

7)х-3=6 9(Т)

7.С помощью формул сокращенного умножения можно устно вычислять квадраты чисел больше или меньше некоторого круглого числа

например: 51² =(50+1)²= 2500+100+1=2601

Возвести в квадрат числа 62; 49; 31.

8. Домашнее задание стр65 №254(1,3,5) и №259(6,7,8)

Итог урока.

Формулы сокращенного умножения: таблица, примеры использования

Формулы алгебра а-в

Формулы сокращенного умножения (ФСУ) применяются для возведения в степень и умножения чисел и выражений. Часто эти формулы позволяют произвести вычисления более компактно и быстро.

В данной статье мы перечислим основные формулы сокращенного умножения, сгруппируем их в таблицу, рассмотрим примеры использования этих формул, а также остановимся на принципах доказательств формул сокращенного умножения.

Формулы сокращенного умножения. Таблица

Впервые тема ФСУ рассматривается в рамках курса «Алгебра» за 7 класс. Приведем ниже 7 основных формул.

Формулы сокращенного умножения

формула квадрата суммы: a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2 формула квадрата разности: a — b 2 = a 2 — 2 a b + b 2 формула куба суммы: a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3 формула куба разности: a — b 3 = a 3 — 3 a 2 b + 3 a b 2 — b 3 формула разности квадратов: a 2 — b 2 = a — b a + b формула суммы кубов: a 3 + b 3 = a + b a 2 — a b + b 2 формула разности кубов: a 3 — b 3 = a — b a 2 + a b + b 2

Буквами a, b, c в данных выражениях могут быть любые числа, переменные или выражения. Для удобства использования лучше выучить семь основных формул наизусть. Сведем их в таблицу и приведем ниже, обведя рамкой.

Первые четыре формулы позволяют вычислять соответственно квадрат или куб суммы или разности двух выражений.

Пятая формула вычисляет разность квадратов выражений путем произведения их суммы и разности.

Шестая и седьмая формулы — соответственно умножение суммы и разности выражений на неполный квадрат разности и неполный квадрат суммы.

Формула сокращенного умножения иногда еще называют тождествами сокращенного умножения. В этом нет ничего удивительного, так как каждое равенство представляет собой тождество.

При решении практических примеров часто используют формулы сокращенного умножения с переставленными местами левыми и правыми частями. Это особенно удобно, когда имеет место разложение многочлена на множители.

Дополнительные формулы сокращенного умножения

Не будем ограничиваться курсом 7 класса по алгебре и добавим в нашу таблицу ФСУ еще несколько формул.

Во-первых, рассмотрим формулу бинома Ньютона.

A + b n = C n 0 · a n + C n 1 · a n — 1 · b + C n 2 · a n — 2 · b 2 + . . + C n n — 1 · a · b n — 1 + C n n · b n

Здесь C n k — биномиальные коэффициенты, которые стоят в строке под номером n в треугольнике паскаля. Биномиальные коэффициенты вычисляются по формуле:

C n k = n! k! · ( n — k ) ! = n ( n — 1 ) ( n — 2 ) . . ( n — ( k — 1 ) ) k!

Как видим, ФСУ для квадрата и куба разности и суммы — это частный случай формулы бинома Ньютона при n=2 и n=3соответственно.

Но что, если слагаемых в сумме, которую нужно возвести в степень, больше, чем два? Полезной будет формула квадрата суммы трех, четырех и более слагаемых.

A 1 + a 2 + . . + a n 2 = a 1 2 + a 2 2 + . . + a n 2 + 2 a 1 a 2 + 2 a 1 a 3 + . . + 2 a 1 a n + 2 a 2 a 3 + 2 a 2 a 4 + . . + 2 a 2 a n + 2 a n — 1 a n

Как читать эту формулу? Квадрат суммы n слагаемых равен сумме квадратов всех слагаемых и удвоенных произведений всех возможных пар этих слагаемых.

Еще одна формула, которая может пригодится — формула формула разности n-ых степеней двух слагаемых.

A n — b n = a — b a n — 1 + a n — 2 b + a n — 3 b 2 + . . + a 2 b n — 2 + b n — 1

Эту формулу обычно разделяют на две формулы — соответственно для четных и нечетных степеней.

Для четных показателей 2m:

A 2 m — b 2 m = a 2 — b 2 a 2 m — 2 + a 2 m — 4 b 2 + a 2 m — 6 b 4 + . . + b 2 m — 2

Для нечетных показателей 2m+1:

A 2 m + 1 — b 2 m + 1 = a 2 — b 2 a 2 m + a 2 m — 1 b + a 2 m — 2 b 2 + . . + b 2 m

Формулы разности квадратов и разности кубов, как вы догадались, являются частными случаями этой формулы при n = 2 и n = 3 соответственно. Для разности кубов b также заменяется на — b.

Как читать формулы сокращенного умножения?

Дадим соответствующие формулировки для каждой формулы, но сначала разберемся с принципом чтения формул. Удобнее всего делать это на примере. Возьмем самую первую формулу квадрата суммы двух чисел.

A + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2 .

Говорят: квадрат суммы двух выражений a и b равен сумме квадрата первого выражения, удвоенного произведения выражений и квадрата второго выражения.

Все остальные формулы читаются аналогично. Для квадрата разности a — b 2 = a 2 — 2 a b + b 2 запишем:

Квадрат разности двух выражений a и b равен сумме квадратов этих выражений минус удвоенное произведение первого и второго выражения.

Прочитаем формулу a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3 . Куб суммы двух выражений a и b равен сумме кубов этих выражений, утроенного произведения квадрата первого выражения на второе и утроенного произведения квадрата второго выражения на первое выражение.

Переходим к чтению формулы для разности кубов a — b 3 = a 3 — 3 a 2 b + 3 a b 2 — b 3 . Куб разности двух выражений a и b равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе, плюс утроенное произведение квадрата второго выражения на первое выражение, минус куб второго выражения.

Пятая формула a 2 — b 2 = a — b a + b (разность квадратов) читается так: разность квадратов двух выражений равна произведению разности и суммы двух выражений.

Выражения типа a 2 + a b + b 2 и a 2 — a b + b 2 для удобства называют соответственно неполным квадратом суммы и неполным квадратом разности.

С учетом этого, формулы суммы и разности кубов прочитаются так:

Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений на неполный квадрат их разности.

Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений на неполный квадрат их суммы.

Доказательство ФСУ

Доказать ФСУ довольно просто. Основываясь на свойствах умножения, проведем умножение частей формул в скобках.

Для примера рассмотрим формулу квадрата разности.

A — b 2 = a 2 — 2 a b + b 2 .

Чтобы возвести выражение во вторую степень нужно это выражение умножить само на себя.

A — b 2 = a — b a — b.

A — b a — b = a 2 — a b — b a + b 2 = a 2 — 2 a b + b 2 .

Формула доказана. Остальные ФСУ доказываются аналогично.

Примеры применения ФСУ

Цель использования формул сокращенного умножения — быстрое и краткое умножение и возведение выражений в степень. Однако, это не вся сфера применения ФСУ. Они широко используются при сокращении выражений, сокращении дробей, разложении многочленов на множители. Приведем примеры.

Упростим выражение 9 y — ( 1 + 3 y ) 2 .

Применим формулу суммы квадратов и получим:

9 y — ( 1 + 3 y ) 2 = 9 y — ( 1 + 6 y + 9 y 2 ) = 9 y — 1 — 6 y — 9 y 2 = 3 y — 1 — 9 y 2

Сократим дробь 8 x 3 — z 6 4 x 2 — z 4 .

Замечаем, что выражение в числителе — разность кубов, а в знаменателе — разность квадратов.

8 x 3 — z 6 4 x 2 — z 4 = 2 x — z ( 4 x 2 + 2 x z + z 4 ) 2 x — z 2 x + z.

Сокращаем и получаем:

8 x 3 — z 6 4 x 2 — z 4 = ( 4 x 2 + 2 x z + z 4 ) 2 x + z

Также ФСУ помогают вычислять значения выражений. Главное — уметь заметить, где применить формулу. Покажем это на примере.

Возведем в квадрат число 79 . Вместо громоздких вычислений, запишем:

79 = 80 — 1 ; 79 2 = 80 — 1 2 = 6400 — 160 + 1 = 6241 .

Казалось бы, сложное вычисление проведено быстро всего лишь с использованием формул сокращенного умножения и таблицы умножения.

Еще один важный момент — выделение квадрата двучлена. Выражение 4 x 2 + 4 x — 3 можно преобразовать в вид 2 x 2 + 2 · 2 · x · 1 + 1 2 — 4 = 2 x + 1 2 — 4 . Такие преобразования широко используются в интегрировании.

Как читать эту формулу.

Zaochnik. com

22.03.2019 22:52:28

2018-07-30 00:18:13

Источники:

Https://zaochnik. com/spravochnik/matematika/vyrazhenija/formuly-sokraschennogo-umnozhenija/

Формулы степеней и корней, калькулятор онлайн, конвертер » /> » /> .keyword { color: red; }

Формулы алгебра а-в

Формулы степеней используют в процессе сокращения и упрощения сложных выражений, в решении уравнений и неравенств.

Формулы степеней используют в процессе сокращения и упрощения сложных выражений, в решении уравнений и неравенств.

Число c является n-ной степенью числа a когда:

Операции со степенями.

1. Умножая степени с одинаковым основанием их показатели складываются:

2. В делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются:

3. Степень произведения 2-х либо большего числа множителей равняется произведению степеней этих сомножителей:

(abc…) n = a n · b n · c n …

4. Степень дроби равняется отношению степеней делимого и делителя:

5. Возводя степень в степень, показатели степеней перемножают:

Каждая вышеприведенная формула верна в направлениях слева направо и наоборот.

Операции с корнями.

1. Корень из произведения нескольких сомножителей равняется произведению корней из этих сомножителей:

2. Корень из отношения равен отношению делимого и делителя корней:

3. При возведении корня в степень довольно возвести в эту степень подкоренное число:

4. Если увеличить степень корня в n раз и в тоже время возвести в n-ую степень подкоренное число, то значение корня не поменяется:

5. Если уменьшить степень корня в n раз и в тоже время извлечь корень n-ой степени из подкоренного числа, то значение корня не поменяется:

Степень с отрицательным показателем. Степень некоторого числа с неположительным (целым) показателем определяют как единицу, деленную на степень того же числа с показателем, равным абсолютной величине неположительного показателя:

Формулу a m :a n =a m — n можно использовать не только при m > n, но и при m

Например. a 4 :a 7 = a 4 — 7 = a -3 .

Чтобы формула a m :a n =a m — n стала справедливой при m=n, нужно присутствие нулевой степени.

Степень с нулевым показателем. Степень всякого числа, не равного нулю, с нулевым показателем равняется единице.

Степень с дробным показателем. Чтобы возвести действительное число а в степень m/n, необходимо извлечь корень n–ой степени из m-ой степени этого числа а:

Формулы степеней.

6. a — n = — деление степеней;

7. — деление степеней;

8. a 1/n = ;

7. — деление степеней;

6. a — n = — деление степеней;

Степень с отрицательным показателем.

Www. calc. ru

25.08.2019 15:49:49

2019-08-25 15:49:49

Источники:

Https://www. calc. ru/Formuly-Stepeney-I-Korney. html

Все главные формулы по математике — Математика — Теория, тесты, формулы и задачи — Обучение Математике, Онлайн подготовка к ЦТ и ЕГЭ. » /> » /> .keyword { color: red; }

Формулы алгебра а-в

Последние две формулы также часто удобно использовать в виде:

Квадратное уравнение и формула разложения квадратного трехчлена на множители

Пусть квадратное уравнение имеет вид:

Тогда Дискриминант находят по формуле:

Если D > 0, то Квадратное уравнение имеет два корня, которые находят по формуле:

Если D = 0, то Квадратное уравнение имеет один корень (его кратность: 2), Который ищется по формуле:

Если квадратное уравнение имеет один корень, то Разложение соответствующего квадратного трехчлена на множители задается следующей формулой:

Только в случае если квадратное уравнение имеет два корня (т. е. дискриминант строго больше ноля) выполняется Теорема Виета. Согласно Теореме Виета, сумма корней квадратного уравнения равна:

Произведение корней квадратного уравнения может быть вычислено по формуле:

Парабола

График параболы задается квадратичной функцией:

При этом координаты вершины параболы могут быть вычислены по следующим формулам. Икс вершины:

Игрек вершины параболы:

Свойства степеней и корней

Основные свойства степеней:

Последнее свойство выполняется только при n > 0. Ноль можно возводить только в положительную степень.

Основные свойства математических корней:

Для арифметических корней:

Последнее справедливо: если n – нечетное, то для любого a; если же n – четное, то только при a больше либо равном нолю. Для корня нечетной степени выполняется также следующее равенство:

Для корня четной степени имеется следующее свойство:

Формулы с логарифмами

Определение логарифма:

Определение логарифма можно записать и другим способом:

Свойства логарифмов:

Вынесение степени за знак логарифма:

Другие полезные свойства логарифмов:

Арифметическая прогрессия

Формулы n-го члена арифметической прогрессии:

Соотношение между тремя соседними членами арифметической прогрессии:

Формула суммы арифметической прогрессии:

Свойство арифметической прогрессии:

Геометрическая прогрессия

Формулы n-го члена геометрической прогрессии:

Соотношение между тремя соседними членами геометрической прогрессии:

Формула суммы геометрической прогрессии:

Формула суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

Свойство геометрической прогрессии:

Тригонометрия

Пусть имеется прямоугольный треугольник:

Тогда, определение синуса:

Основное тригонометрическое тождество:

Простейшие следствия из основного тригонометрического тождества:

Формулы двойного угла

Синус двойного угла:

Косинус двойного угла:

Тангенс двойного угла:

Котангенс двойного угла:

Тригонометрические формулы сложения

Тригонометрические формулы преобразования суммы в произведение

Тригонометрические формулы преобразования произведения в сумму

Произведение синуса и косинуса:

Формулы понижения степени

Формула понижения степени для синуса:

Формула понижения степени для косинуса:

Формула понижения степени для тангенса:

Формула понижения степени для котангенса:

Формулы половинного угла

Формула половинного угла для тангенса:

Формула половинного угла для котангенса:

Тригонометрические формулы приведения

Формулы приведения задаются в виде таблицы:

Тригонометрическая окружность

По Тригонометрической окружности легко определять табличные значения тригонометрических функций:

Тригонометрические уравнения

Формулы решений простейших тригонометрических уравнений. Для синуса существует две равнозначные формы записи решения:

Для остальных тригонометрических функций запись однозначна. Для косинуса:

Решение тригонометрических уравнений в некоторых частных случаях:

Геометрия на плоскости (планиметрия)

Пусть имеется произвольный треугольник:

Тогда, Сумма углов треугольника:

Площадь треугольника через две стороны и угол между ними:

Площадь треугольника через сторону и высоту опущенную на неё:

Полупериметр треугольника находится по следующей формуле:

Формула Герона для площади треугольника:

Площадь треугольника через радиус описанной окружности:

Основное свойство высот треугольника:

Еще одно полезное свойство высот треугольника:

Теорема косинусов:

Теорема синусов:

Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник:

Радиус окружности, описанной около правильного треугольника:

Площадь правильного треугольника:

Теорема Пифагора для прямоугольного треугольника (c — гипотенуза, a и b — катеты):

Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник:

Радиус окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника:

Площадь прямоугольного треугольника (h — высота опущенная на гипотенузу):

Свойства высоты, опущенной на гипотенузу прямоугольного треугольника:

Длина средней линии трапеции:

Площадь параллелограмма через сторону и высоту опущенную на неё:

Площадь параллелограмма через две стороны и угол между ними:

Площадь квадрата через длину его стороны:

Площадь квадрата через длину его диагонали:

Площадь ромба (первая формула — через две диагонали, вторая — через длину стороны и угол между сторонами):

Площадь прямоугольника через две смежные стороны:

Площадь произвольного выпуклого четырёхугольника через две диагонали и угол между ними:

Связь площади произвольной фигуры, её полупериметра и радиуса вписанной окружности (очевидно, что формула выполняется только для фигур в которые можно вписать окружность, т. е. в том числе для Любых треугольников):

Теорема о пропорциональных отрезках хорд:

Теорема о касательной и секущей:

Теорема о двух секущих:

Теорема о центральном и вписанном углах (величина центрального угла в два раза больше величины вписанного угла, если они опираются на общую дугу):

Свойство вписанных углов (все вписанные углы опирающиеся на общую дугу равны между собой):

Свойство центральных углов и хорд:

Свойство центральных углов и секущих:

Условие, при выполнении которого возможно вписать окружность в четырёхугольник:

Условие, при выполнении которого возможно описать окружность вокруг четырёхугольника:

Сумма углов n-угольника:

Центральный угол правильного n-угольника:

Площадь правильного n-угольника:

Длина окружности:

Длина дуги окружности:

Площадь круга:

Площадь кругового сегмента:

Геометрия в пространстве (стереометрия)

Главная диагональ куба:

Объём прямоугольного параллелепипеда:

Главная диагональ прямоугольного параллелепипеда (эту формулу также можно назвать: «трёхмерная Теорема Пифагора»):

Площадь боковой поверхности прямой призмы (P – периметр основания, l – боковое ребро, в данном случае равное высоте h):

Объём кругового цилиндра:

Площадь боковой поверхности прямого кругового цилиндра:

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды (P – периметр основания, l – апофема, т. е. высота боковой грани):

Объем кругового конуса:

Площадь боковой поверхности прямого кругового конуса:

Длина образующей прямого кругового конуса:

Объём шара:

Площадь поверхности шара (или, другими словами, площадь сферы):

Координаты

Длина отрезка на координатной оси:

Длина отрезка на координатной плоскости:

Длина отрезка в трёхмерной системе координат:

Координаты середины отрезка (для координатной оси используется только первая формула, для координатной плоскости — первые две формулы, для трехмерной системы координат — все три формулы):

Таблица умножения

Таблица квадратов двухзначных чисел

Расширенная PDF версия документа «Все главные формулы по школьной математике»:

Как успешно подготовиться к ЦТ по физике и математике?

Для того чтобы успешно подготовиться к ЦТ по физике и математике, среди прочего, необходимо выполнить три важнейших условия:

Изучить все темы и выполнить все тесты и задания приведенные в учебных материалах на этом сайте. Для этого нужно всего ничего, а именно: посвящать подготовке к ЦТ по физике и математике, изучению теории и решению задач по три-четыре часа каждый день. Дело в том, что ЦТ это экзамен, где мало просто знать физику или математику, нужно еще уметь быстро и без сбоев решать большое количество задач по разным темам и различной сложности. Последнему научиться можно только решив тысячи задач. Выучить все формулы и законы в физике, и формулы и методы в математике. На самом деле, выполнить это тоже очень просто, необходимых формул по физике всего около 200 штук, а по математике даже чуть меньше. В каждом из этих предметов есть около десятка стандартных методов решения задач базового уровня сложности, которые тоже вполне можно выучить, и таким образом, совершенно на автомате и без затруднений решить в нужный момент большую часть ЦТ. После этого Вам останется подумать только над самыми сложными задачами. Посетить все три этапа репетиционного тестирования по физике и математике. Каждый РТ можно посещать по два раза, чтобы прорешать оба варианта. Опять же на ЦТ, кроме умения быстро и качественно решать задачи, и знания формул и методов необходимо также уметь правильно спланировать время, распределить силы, а главное правильно заполнить бланк ответов, не перепутав ни номера ответов и задач, ни собственную фамилию. Также в ходе РТ важно привыкнуть к стилю постановки вопросов в задачах, который на ЦТ может показаться неподготовленному человеку очень непривычным.

Успешное, старательное и ответственное выполнение этих трех пунктов, а также ответственная проработка итоговых тренировочных тестов, позволит Вам показать на ЦТ отличный результат, максимальный из того, на что Вы способны.

Нашли ошибку?

Если Вы, как Вам кажется, нашли ошибку в учебных материалах, то напишите, пожалуйста, о ней на электронную почту (адрес электронной почты здесь). В письме укажите предмет (физика или математика), название либо номер темы или теста, номер задачи, или место в тексте (страницу) где по Вашему мнению есть ошибка. Также опишите в чем заключается предположительная ошибка. Ваше письмо не останется незамеченным, ошибка либо будет исправлена, либо Вам разъяснят почему это не ошибка.

ЗАПРЕЩЕНО использование представленных на сайте материалов или их частей в любых коммерческих целях, а также их копирование, перепечатка, повторная публикация или воспроизведение в любой форме. Нарушение прав правообладателей преследуется по закону. Подробнее.

Если D 0, то квадратное уравнение имеет два корня, которые находят по формуле.

Educon. by

18.03.2019 4:35:59

2019-03-18 04:35:59

Источники:

Https://educon. by/index. php/formuly/formmat

Создание алгебраических выражений: Алгебра — 9 0001

Тема Предальгебра или алгебра 1

класс 8 или

Урок Объектива: Учащиеся обнаружит, как создать переменные и использовать их в математических выражениях. . Это игра   , которая поможет учащимся начать думать о построении алгебраических выражений и уравнений, прежде чем вводить переменные.

Общий базовый стандарт  

CCSS.MATH.CONTENT.HSA.CED.A.1: Создавайте уравнения и неравенства с одной переменной и используйте их для решения задач. Включите уравнения, возникающие из линейных и квадратичных функций, а также простых рациональных и экспоненциальных функций .

Материалы  

• Различные виды калькуляторов, в том числе компьютерные
• Дополнительные материалы для улучшения игрового процесса.
  • Во время игры вы можете обнаружить, что добавление глупости в игру сделает ее более успешной. Дайте кому-нибудь микрофон (настоящий или воображаемый, неважно) подержать перед динамиком. Используйте аплодисменты, либо от аудитории, либо предварительно записанные. Назначьте учащемуся запускать и останавливать кнопку аплодисментов. Попросите учащихся записать конкурс и разместить его на YouTube. Разрешить мусорную болтовню. Дайте командам такие названия, как «Головастики против жаб», и соревнование станет «Болотной чашей».

Стартер:

Начните с создания своих команд. Существует множество вариантов настройки игры. Две команды, учитель против учеников, отдельные участники и т. д. Поручите одному ученику (или одной команде) выбрать число и записать его. Его называют Мистер Выбирающий, Мадам Выбирающий или какой-нибудь творческий титул.

«Строитель» строит последовательность инструкций, таких как «добавить три», «удвоить» и т. д. Затем Выбирающий сообщает свои результаты, а зрители (вторая команда, два участника и т. д.) должны определить исходное число. .

Вначале инструктором должен быть Строитель, так как он может определить сложность. Начните с простых одношаговых задач, возможно, сложения или вычитания. Постепенно переходите к умножению/делению, дробям и т. д. Затем переходите к последовательностям из двух или трех шагов. Если учащимся разрешено построить последовательность, они могут случайным образом предлагать шаги, такие как деление на три, что приводит к дробным ответам. Подготовьтесь к этому.

Например:

Инструктор (драматически): «Мистер Выбор, вы готовы?»

Выбирающий: «Да, я.»

Преподаватель: «Выбери число меньше 20 и запиши его. У тебя есть твой номер?»

Выбирающий: «Да, хочу.»

Инструктор: «А теперь прибавь девять и скажи мне результат.»

Выбирающий: «23»

Инструктор: «Команда 2?»

Лидер команды 2: «14»

Инструктор: «Да, верно! Счетчик, добавьте один для команды 2.»

Основной

Пусть учащиеся из команды 2 (команда респондентов) работают вместе, но у них есть назначенный Ответчик. Сначала ответ на простую последовательность будет очевиден, и Отвечающий вызовет его. Когда становится сложнее, они могут подождать, пока не найдут консенсус. Когда нет согласия, они пересматривают, чтобы увидеть, что правильно.

Постепенно усложняйте последовательность инструкций, чтобы учащиеся команды 2 не могли легко считать в уме и должны были записывать шаги. Это, конечно, сердце математики, запись абстрактных понятий в символической записи. Вполне вероятно, что сначала учащиеся будут писать простые слова для математических глаголов, таких как «сложить» вместо символа + и «умножить» для умножения, но слова вычесть и разделить не могут быть написаны быстро. Они могут разработать стенографию, но, скорее всего, будут использовать символы.

Если учащиеся уже знакомы с переменными, они, скорее всего, начнут их использовать. Если нет, они могут разработать свои собственные обозначения, используя такие символы, как прямоугольник □, открывающие/закрывающие круглые скобки () или, что более вероятно, букву N для неизвестного номера Выбирающего.

После того, как вы определите переменные, которые они используют, сделайте обозначения общедоступными (запишите их на доске). Вы можете добавить дополнительный балл, если выражение правильное. Если учащиеся изобрели свои собственные обозначения, такие как □ + 3, пока придерживайтесь их.

Наконец, введите последовательности, которые позволят обсудить включение  в нотации. Например, «Начните с числа. Добавьте 3. Удвойте его». Студенты, скорее всего, напишут «N + 3 x 2» и будут использовать стратегию выполнения каждого шага в последовательности в обратном порядке. Если Выбирающий начинает с восьми, а затем заявляет, что его результат равен 22, Команда 2 разделит на 2, а затем вычтет 3, что даст 8, правильный ответ.

Однако, если Выбирающий использует научный калькулятор и вводит «8 + 3 x 2», он получит 14, правильный ответ, если калькулятор использует алгебраическую логику. (Возможно, вы намеренно снабдите Выбирающего алгебро-логическим калькулятором в начале, чтобы предвидеть эту дилемму.) Итак, Выбирающий объявляет, что его ответ равен 14, но ученики Команды 2, использующие процесс обратной операции, считают, что его исходное число должно быть 4 (14). / 2 – 3).

Не спешите разрешать противоречие. Пусть учащиеся найдут, какие калькуляторы/компьютеры дают какой ответ, и найдут общие черты. В конце концов, вы надеетесь, что они спросят вас (эксперта), что правильно.

Ваш ответ должен быть таким: вы хотите сначала выполнить сложение или умножение? Их ответ должен заключаться в том, чтобы делать то, что приходит первым (слева направо).

Тогда вы можете спросить, как бы вы показали, если бы сначала хотели выполнить умножение, т. е. «8 прибавить к произведению 3 умножить на 2». Вероятно, кто-то предложит использовать скобки. 8 + (3 х 2).

Постепенно начните называть «неизвестный номер» Chooser «переменным номером», а затем просто «переменной».

В этой игре есть множество возможностей для открытий. Ученик может заметить, что не имеет значения, стоит ли прибавление 8 после (3 x 2).

Дополнительно  (либо в том же учебном периоде, но, скорее всего, в последующем классе)

Постепенно начните использовать x  как символ вашего неизвестного. Большинству учащихся это покажется логичным, поскольку  x  часто представляет что-то неизвестное.

Обозначение, в котором x используется как неизвестное, так и как символ умножения, может сбивать с толку. Например, вернитесь к «Начните с числа. Добавьте 3. Удвойте его». x + 3 x 2 довольно запутанно.

Это должно привести к обозначению умножения перед открывающей скобкой. т.е. 2(х + 3).

Автор: Джеймс Циммер

Участник Education World

Copyright© 2021 Education World

Часть 1. Алгебраические методы и уравнения для 9 класса

Алгебраические методы и уравнения для 9 класса

Овладение алгебраическими методами в 9 классе имеет решающее значение для успешной навигации по старшей математике и закрепления фундаментальных знаний. Вот несколько советов, которые вы должны знать, прежде чем перейти к 10-му классу.0136 Объяснение результатов программы Нового Южного Уэльса по алгебраическим методам и уравнениям Результаты программы Пояснение Упрощение алгебраических выражений с использованием четырех операций (ACMNS192)

• Упрощение ряда алгебраических выражений, включая те, которые включают смешанные операции
• Применение порядка операций для упрощения алгебраических выражений (решение задач)

92-5х+4\) Создание алгебраических выражений и их оценка путем подстановки заданного значения для каждой переменной (ACMNA176)  Имеется в виду решение подобных словесных задач.

В этой статье мы обсудим:

• Оптимизация уравнений БОДМА (с дробями!)
• Расширение биномиальных произведений
• Преобразование квадратичных чисел в биномиальные произведения
• Решение словесных уравнений

Предполагаемые знания

Учащиеся должны понимать основы решения уравнений и алгебры. Это руководство направлено на то, чтобы обогатить эти навыки методами и советами наших знающих учителей матричной математики и репетиторов.

 

Решение алгебраических уравнений (BODMAS)

Ключом к решению алгебраических уравнений является соблюдение нескольких простых правил. Эти правила не обязательно высечены в камне, но они могут упростить процесс ответов на вопросы.

Насколько вы уверены в алгебре?

Практикуйте свои алгебраические методы с помощью этого бесплатного рабочего листа.

СКАЧАТЬ

Как вы уже знаете, БОДМАС — это аббревиатура порядка, используемого для решения уравнений: скобка, деление, умножение, сложение и вычитание.

 

1. Изолировать переменную

Это должно быть конечной целью любого заданного вопроса, но если вы будете помнить об этом, это поможет вам ее достичь. Чтобы изолировать переменную, сделать одну переменную предметом, а все остальные переменные переместить на другую сторону уравнения .

Например, если уравнение было таким:

\(10x + 2=22\)

Мы определили, что прочислительное \(x\) находится в левой части уравнения, поэтому мы должны переместите все остальное на другую сторону. Это начинается с вычитания 2 в правой части (RHS).

Итак, мы имеем:

\(10x=20\)

Теперь член \(x\) изолирован в левой части, и последний шаг — разделить обе части на 10.

\(x=2\)

2. Удалите все дроби

Если в уравнении есть дроби, их следует «отменить». Этого можно добиться, умножив все уравнение на наименьшее общее кратное (НОК) всех знаменателей.

Например:

\(\frac{k}{4} -\frac{k}{3}= 7\)

Знаменатели 4 и 3 образуют НОК числа 12! Итак, теперь мы должны умножить КАЖДЫЙ член уравнения на 12.

\begin{align*}
12 \Big{(} \frac{k}{4} \Big{)}-12 \Big{(} \frac {k}{3} \Big{)}=12(7) \\
3k-4k=84 \\
-k=84 \\
k=-84
\end{align*}

3. Раскройте любые скобки

Это будет подробно объяснено в разделе «Расширение биномиальных произведений». » данного руководства. Однако есть случаи, когда можно использовать более быстрый метод: Правило 1!

\(6(3x+1)= 12\)

Если бы мы раскрыли скобки, мы должны были бы решить следующее:

\(18x+6=12\)

Но вместо раскрытия скобок , мы можем использовать Правило 1 и попытаться изолировать \(x\), разделив 6 на обе стороны.

\(3x+1=2\)

Теперь это уравнение гораздо проще решить.

 

4. Соберите все переменные

Вопросы с несколькими экземплярами одной и той же переменной требуют, чтобы вы собрали переменные в одну часть уравнения . Опять же, нам нужно помнить о правиле 1, так как мы должны изолировать переменную после того, как мы ее собрали.

Например, если уравнение было таким:

\(3d – 8 = 5d + 4\)

Обратите внимание, что в обеих частях уравнения есть экземпляры переменной \(d\). Мы хотим собрать их всех на LHS. Итак, мы должны вычесть \(5d\) с обеих сторон:

\(-2d – 8 = 4\)

Опять же, мы должны применить Правило 1 и изолировать переменную: если вы освоитесь с вопросами такого типа, вы сможете решать их быстрее, «перемещая термины» с помощью обратных операций.

 

Расширение биномиальных произведений

Биномы — это просто два члена, которые складываются или вычитаются друг из друга, например:

\(x-2\) или \(a+b\)

Когда эти биномы умножаются на другое, у нас есть биномиальное произведение. Это не так просто, как использовать таблицу умножения!

К счастью, у нас есть важный арифметический закон, известный как распределительный закон, который показывает нам, как расширять выражения с помощью скобок.

Рассмотрим пример ниже:

В этом примере « a » распределяется между каждым термином во второй скобке. « b » распространяется аналогичным образом.

Рассмотрим этот пример

Распространенные ошибки

• Забыть умножить отрицательное число
• Забыли упростить выражение после расширения 9{2}+5x+4\)

  Используйте перекрестный метод

   

  Объяснение

  Найдите два множителя \(2x\) и запишите их, как показано.

  Затем найдите два числа, которые при умножении дают \(4\).

  Затем умножьте числа по диагоналям, чтобы получить условия \(2x\) и \(2x\).

  Затем добавьте эти два члена:

  \(2x + 2x = 4x\)

  Поскольку это не соответствует \(5x\), эти два числа неверны.

  Попробуйте два разных номера. 92-x-12)\)
  \(=3(x-4)(x+3)\)

• Забыли разложить на множители отрицательные числа из уравнения (если применимо).

 

Решение задач с помощью алгебры

В реальном мире уравнения можно применять для решения практических задач. Эти задачи не будут даваться просто как «найти \(x\)», вместо этого мы должны уметь интерпретировать и решать сформулированные задачи.

Общие типы текстовых задач могут включать задачи на числа, измерения, деньги или возраст.

Чтобы решить эти задачи, мы должны преобразовать задачу в уравнения, которые можно решить алгебраически:

1. Внимательно прочитайте задачу и подчеркните ключевую информацию.
2. Пусть x — неизвестная величина. Обычно мы выбираем значение, которое находим.
3. Переведите задачу со словами в алгебраическое уравнение.
4. Решите уравнение.
5. Ответьте на вопрос словами.

 

Пример: задача с числами

Сумма двух чисел равна 24. Когда большее число вычитается из 4-кратного меньшего числа, получается 16. Найдите два числа.

 

Решение

Сначала мы должны определить наше неизвестное. Поскольку мы пытаемся найти два числа, давайте сделаем \( \color{DarkGreen}{x}\) меньшим числом.

Из вопроса мы также знаем, что сумма двух чисел равна 24.

Следовательно, большее число должно быть \(\color{orange}{24-x}\).

Переводя «Когда большее число вычитается из 4-кратного меньшего числа, получается 16» в математическую форму, мы получаем:

\(4×\color{DarkGreen}{меньше \ число}-\color{Orange}{больше \ число}=16\)

Теперь мы можем заменить неизвестные значения, которые мы только что определили, чтобы сформировать алгебраическое уравнение:

\(4×\color{DarkGreen}{x}-\color{orange}{(24-x)}=16\)

Теперь мы можем просто найти x.

\(4x-24+x=16\)
\(5x=40\)
\(x=8\)

Используя наше определение \(x\), мы знаем, что меньшее число равно 8. Следовательно, большее число должно быть \(24-8=16\).

Ответ на исходный вопрос словами:

Два числа 8 и 16 .

 

Пример: Задача измерения

Длина прямоугольного жилого дома на 15 м больше, чем ширина улицы в два раза. Забор по периметру квартала, кроме стороны, выходящей на улицу, длиной 80 метров. Найдите размеры блока.

 

Решение

Сделаем ширину \(\color{DarkGreen}{w}\) метров. Поскольку длина блока на 15 метров больше, чем удвоенная ширина, длину можно записать как \(\color{Orange}{2w+15}\) метров.

Теперь, когда мы определили наши неизвестные, мы можем нарисовать диаграмму, иллюстрирующую вопрос:

Из вопроса мы знаем, что общая длина трех огражденных сторон составляет 80 метров. Математически это можно перевести как:

\(2×\цвет{оранжевый}{длина}+\цвет{темно-зеленый}{ширина}=80\)

Подставив значения, которые мы определили, мы получим алгебраическое уравнение:

\(2×\color{Orange}{(2w+15)}+\color{DarkGreen}{w}=80\)

Теперь мы можем найти w.

\(4w+30+w=80\)
\(5w=50\)
\(w=10\)

Отсюда ширина блока 10 метров. Следовательно, длина должна быть \(2×10+15=35\) метров.

Наконец, мы должны ответить на исходный вопрос:

Блок имеет ширину 10 метров и длину 35 метров .

 

Пример: Проблема возраста

3 года назад Джон был вдвое старше Райана. Теперь сумма их возрастов равна 36.

Сколько им сейчас лет?

 

Решение

В возрастных проблемах лучше всего составить таблицу, в которой столбцы и строки представляют каждого человека и период времени, указанный в вопросе.

	Джон	Райан
3 года назад
Сейчас

Пусть одна из ячеек будет x, в этом случае это будет возраст Джона 3 года назад.

	Джон	Райан
3 года назад	\(х\)
Сейчас

Теперь мы можем заполнить остальную часть таблицы в терминах \(x\). Например, возраст Райана 3 года назад будет равен \(2x\), как указано в вопросе. После этого мы можем заполнить строку «Сейчас», просто добавив 3 к каждому выражению (поскольку это 3 года спустя). Итак, наша таблица выглядит так.

	Джон	Райан
3 года назад	\( х\)	\(2x\)
Сейчас	\( х+3\)	\(2x+3\)

Наконец, мы можем использовать последнюю часть вопроса, чтобы создать уравнение для решения. Мы знаем, что сумма их возрастов теперь равна 36, поэтому мы имеем:

\begin{align*}
x + 3 + 2x + 3 = & \ 36 \\
3x = & \ 30 \\
x = & \ 10
\end{align*}

 

Теперь у нас есть значение x, поэтому мы можем найти значение для каждого из их возрастов. Настоящий возраст Джона равен \(x+3\), поэтому ему сейчас 13 лет. Точно так же возраст Райана равен \(2x+3\), поэтому его возраст сейчас равен 23 годам.

Окончательный ответ:

Джону 13 лет. и Райану 23 года

 

Типичные ошибки

Типичные ошибки, которые учащиеся допускают при решении задач:

• Забывают использовать скобки при подстановке неизвестных значений 9{2}+3x+2 \\
  =(x+2)(x+1) \\
  \end{align*}

  9. Приняв возраст Джессики 4 года назад за \(x\), мы можем выяснить, что тогда возраст Энди был \(2x-5\). Мы продолжаем добавлять 4 и 6, чтобы получить их возраст сейчас и через 2 года соответственно.

  9{2}\), чтобы сразу получить ответ, однако это немного неестественно)

   

  Дополнительные сложные примеры (из серии 9-го класса Maths MAX)

  Вопросы

  Вопросы из серии 9-го класса Maths Max, том. 1 Алгебраические методы

  Решения

  Решения для 9 класса Maths Max Series Vol. 1 Алгебраические методы

  Нужны дополнительные практические вопросы?

  Подготовьтесь к следующему экзамену «Алгебраические методы» с помощью учебника для подготовки к экзамену для 9-го класса.

   

   

   

  © Matrix Education и www. matrix.edu.au, 2022. Несанкционированное использование и/или копирование этого материала без письменного разрешения автора и/или владельца этого сайта строго запрещено. Выдержки и ссылки могут быть использованы при условии, что Matrix Education и www.matrix.edu.au полностью и четко указаны с соответствующим и конкретным указанием на исходный контент.

  Открытые учебники | Siyavula

  Загрузите наши открытые учебники в различных форматах, чтобы использовать их так, как вам удобно. Нажмите на обложку каждой книги, чтобы увидеть доступные для загрузки файлы на английском и африкаанс. Лучше, чем просто бесплатные, эти книги также имеют открытую лицензию! См. различные открытые лицензии для каждой загрузки и пояснения к лицензиям в нижней части страницы.

  Математика

  • • Читать онлайн

    • Учебники

      • Английский

        • • 7A PDF (CC-BY-ND)
          • 7B PDF (CC-BY-ND)

      • Африкаанс

        • • 7A PDF (CC-BY-ND)
          • 7B PDF (CC-BY-ND)
  • • Читать онлайн

    • Учебники

      • Английский

        • • 8A PDF (CC-BY-ND)
          • 8B PDF (CC-BY-ND)

      • Африкаанс

        • • 8A PDF (CC-BY-ND)
          • 8B PDF (CC-BY-ND)
  • • Читать онлайн

    • Учебники

      • Английский

        • • 9A PDF (CC-BY-ND)
          • 9B PDF (CC-BY-ND)

      • Африкаанс

        • • 9A PDF (CC-BY-ND)
          • 9B PDF (CC-BY-ND)
  • • Читать онлайн

    • Учебники

      • Английский

        • • PDF (CC-BY-ND)
          • ePUB (CC-BY-ND)
          • ePUB (CC-BY)

      • Африкаанс

        • • PDF (CC-BY-ND)
          • ePUB (CC-BY-ND)
          • ePUB (CC-BY)

    • Пособия для учителей

      • Английский

        • • PDF (CC-BY-ND)

      • Африкаанс

        • • PDF (CC-BY-ND)
  • • Читать онлайн

    • Учебники

      • Английский

        • • PDF (CC-BY-ND)
          • ePUB (CC-BY-ND)
          • ePUB (CC-BY)

      • Африкаанс

        • • PDF (CC-BY-ND)
          • ePUB (CC-BY-ND)
          • ePUB (CC-BY)

    • Пособия для учителей

      • Английский

        • • PDF (CC-BY-ND)

      • Африкаанс

        • • PDF (CC-BY-ND)
  • • Читать онлайн

    • Учебники

      • Английский

        • • PDF (CC-BY-ND)
          • ePUB (CC-BY-ND)
          • ePUB (CC-BY)

      • Африкаанс

        • • PDF (CC-BY-ND)
          • ePUB (CC-BY-ND)
          • ePUB (CC-BY)

    • Пособия для учителей

      • Английский

        • • PDF (CC-BY-ND)

      • Африкаанс

        • • PDF (CC-BY-ND)
  • • Читать онлайн

    • Учебники

      • Английский

        • • PDF (CC-BY-ND)
          • ePUB (CC-BY-ND)
          • ePUB (CC-BY)

      • Африкаанс

        • • PDF (CC-BY-ND)
          • ePUB (CC-BY-ND)
          • ePUB (CC-BY)

    • Пособия для учителей

      • Английский

        • • PDF (CC-BY-ND)

      • Африкаанс

        • • PDF (CC-BY-ND)

  Наука

  • • Читать онлайн

    • Учебники

      • Английский

        • • PDF (CC-BY-ND)
          • ePUB (CC-BY-ND)
          • ePUB (CC-BY)

      • Африкаанс

        • • PDF (CC-BY-ND)

    • Пособия для учителей

      • Английский

        • • PDF (CC-BY-ND)

      • Африкаанс

        • • PDF (CC-BY-ND)
  • • Читать онлайн

    • Учебники

      • Английский

        • • PDF (CC-BY-ND)
          • ePUB (CC-BY-ND)
          • ePUB (CC-BY)

      • Африкаанс

        • • PDF (CC-BY-ND)
          • ePUB (CC-BY-ND)
          • ePUB (CC-BY)

    • Пособия для учителей

      • Английский

        • • PDF (CC-BY-ND)

      • Африкаанс

        • • PDF (CC-BY-ND)
  • • Читать онлайн

    • Учебники

      • Английский

        • • PDF (CC-BY-ND)
          • ePUB (CC-BY-ND)
          • ePUB (CC-BY)

      • Африкаанс

        • • PDF (CC-BY-ND)
          • ePUB (CC-BY-ND)
          • ePUB (CC-BY)

    • Пособия для учителей

      • Английский

        • • PDF (CC-BY-ND)

      • Африкаанс

        • • PDF (CC-BY-ND)
  • • Читать онлайн

    • Учебники

      • Английский

        • • PDF (CC-BY-ND)
          • ePUB (CC-BY-ND)
          • ePUB (CC-BY)

      • Африкаанс

        • • PDF (CC-BY-ND)
          • ePUB (CC-BY-ND)
          • ePUB (CC-BY)

    • Пособия для учителей

      • Английский

        • • PDF (CC-BY-ND)

      • Африкаанс

        • • PDF (CC-BY-ND)
  • • Читать онлайн

    • Учебники

    • Пособия для учителей

      • Английский

        • Класс 7А

          • PDF (CC-BY-ND)

        • Класс 7Б

          • PDF (CC-BY-ND)

      • Африкаанс

        • Граад 7А

          • PDF (CC-BY-ND)

        • Граад 7Б

          • PDF (CC-BY-ND)
  • • Читать онлайн

    • Учебники

    • Пособия для учителей

      • Английский

        • Класс 8А

          • PDF (CC-BY-ND)

        • Класс 8Б

          • PDF (CC-BY-ND)

      • Африкаанс

        • Граад 8А

          • PDF (CC-BY-ND)

        • Граад 8Б

          • PDF (CC-BY-ND)
  • • Читать онлайн

    • Учебники

    • Пособия для учителей

      • Английский

        • Класс 9А

          • PDF (CC-BY-ND)

        • Класс 9Б

          • PDF (CC-BY-ND)

      • Африкаанс

        • Граад 9А

          • PDF (CC-BY-ND)

        • Граад 9Б

          • PDF (CC-BY-ND)
  • • Читать онлайн

    • Учебники

    • Пособия для учителей

      • Английский

        • Класс 4А

          • PDF (CC-BY-ND)

        • Класс 4Б

          • PDF (CC-BY-ND)

      • Африкаанс

        • Граад 4А

          • PDF (CC-BY-ND)

        • Граад 4Б

          • PDF (CC-BY-ND)
  • • Читать онлайн

    • Учебники

    • Пособия для учителей

      • Английский

        • Класс 5А

          • PDF (CC-BY-ND)

        • Класс 5Б

          • PDF (CC-BY-ND)

      • Африкаанс

        • Граад 5А

          • PDF (CC-BY-ND)

        • Граад 5Б

          • PDF (CC-BY-ND)
  • • Читать онлайн

    • Учебники

    • Пособия для учителей

      • Английский

        • Класс 6А

          • PDF (CC-BY-ND)

        • Класс 6Б

          • PDF (CC-BY-ND)

      • Африкаанс

        • Граад 6А

          • PDF (CC-BY-ND)

        • Граад 6Б

          • PDF (CC-BY-ND)

  Лицензирование наших книг

  Лучше, чем просто бесплатные, эти книги также имеют открытую лицензию! Один и тот же контент, но разные версии (фирменные или нет) имеют разные лицензии, как объяснено:

  CC-BY-ND (фирменные версии)

  Вам разрешается и поощряется свободное копирование этих версий.

  No related posts.

  Добавить комментарий Отменить ответ

  Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

  Комментарий *

  Имя *

  Email *

  Сайт

  	Энди	Джессика
  4 года назад	\(2x-5\)	\(х\)
  Сейчас	\(2x-1\)	\(х+4\)