Формулы сокращенных умножений: Формулы сокращенного умножения

Содержание

Дроби. Формулы сокращенного умножения

Факт 1.
\(\bullet\) Множество натуральных чисел \(\mathbb{N}\) – это числа \(1, \ 2, \ 3, \ 4 \ \) и т.д.
\(\bullet\) Множество целых чисел \(\mathbb{Z}\) состоит из натуральных чисел, противоположных им (\(-1, \ -2, \ -3 \) и т.д.) и нуля \(0\).
\(\bullet\) Рациональные числа \(\mathbb{Q}\) – числа вида \(\dfrac ab\), где \(a\in \mathbb{Z}\), \(b\in \mathbb{N}\).   Таким образом, существует включение: \(\mathbb{N}\) содержится в \(\mathbb{Z}\), а \(\mathbb{Z}\) содержится в \(\mathbb{Q}\).  

Факт 2.
\(\bullet\) Правила сложения дробей: \[\begin{aligned} &\dfrac ab+\dfrac cb=\dfrac{a+c}b\\[2ex] &\dfrac ab+\dfrac cd=\dfrac{ad+bc}{bd}\end{aligned}\] Пример: \(\dfrac {31}6+\dfrac {67}6=\dfrac{31+67}6=\dfrac{98}6\)   \(\bullet\) Правила умножения дробей: \[\dfrac ab\cdot \dfrac cd=\dfrac{ac}{bd}\] Пример: \(\dfrac 47\cdot \dfrac{14}5=\dfrac{4\cdot 14}{7\cdot 5}\)   \(\bullet\) Правила деления дробей: \[\dfrac ab: \dfrac cd=\dfrac ab\cdot \dfrac dc\] Пример: \(\dfrac 45 :\dfrac 67=\dfrac 45\cdot \dfrac 76\)  

Факт 2.2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd\\[2ex] &{\small{\text{и т.д.}}}\end{aligned}\]

Формулы сокращенного умножения.

Формулы сокращенного умножения.

Формулы сокращенного умножения. Разность квадратов, сумма кубов и разность кубов и разность четвертых степеней. Квадрат суммы и квадрат разности и куб суммы и куб разности.
Разность квадратов a2-b2 = (a-b)(a+b)
Квадрат суммы (a+b)2 = a2+2ab+b2
Квадрат разности (a-b)2 = a2-2ab+b2
Куб суммы
(a+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3
Куб разности (a-b)3 = a3-3a2b+3ab2-b3
Сумма кубов a3+b3 = (a+b)(a2-ab+b2)
Разность кубов a3-b3 = (a-b)(a2+ab+b2)
Разность четвертых степеней a4-b4 = (a2-b2)(a2+b2)=(a-b)(a+b)(a2+b2)

Справочно, только для тех кто хочет больше представлять тему: Бином Ньютона. Целая положительная степень n суммы. (a + b)n=

Формулы сокращенного умножения

Для того что бы упростить алгебраические многочлены, существуют формулы сокращенного умножения. Их не так уж и много и они легко запоминаются, а запомнить их нужно. Обозначения которые используются в формулах, могут принимать любой вид (число или многочлен).

Первая формула сокращенного умножения называется разность квадратов. Она заключается в том что из квадрата одного числа отнимается квадрат второго числа равен величине разности данных чисел, а также их произведению.

а2 - b2 = (а - b)(a + b)

Разберем для наглядности:

222 - 42 = (22-4)(22+4)=18 * 26 = 468
2 - 4b2c2 = (3a - 2bc)(3a + 2bc)

Вторая формула о сумме квадратов. Звучит она как, сумма двух величин в квадрате равняется квадрату первой величины к ней прибавляется двойное произведение первой величины умноженное на вторую, к ним прибавляется квадрат второй величины.

(а + b)2 = a2 +2ab + b2

Благодаря данной формуле, становится намного проще вычислять квадрат от большого числа, без использования вычислительной техники.

Так к примеру: квадрат от 112 будет равен
1) В начале разберем 112 на числа квадраты которых нам знакомы
112 = 100 + 12
2) Вписываем полученное в скобки возведенные в квадрат
1122 = (100+12)2
3) Применяя формулу, получаем:
1122 = (100+12)2 = 1002 + 2 * 100 * 12 + 122 = 10000 + 2400+ 144 = 12544

Третья формула это квадрат разности. Которая гласит о том, что две вычитаемые друг друга величины в квадрате равняются, тому что, от первой величины в квадрате отнимаем двойное произведение первой величины умноженное на вторую, прибавляя к ним квадрат второй величины.

(а +b)2 = а2 - 2аb + b2

где (а - b)2 равняется (b - а)2. В доказательство чему, (а-b)2 = а2-2аb+b2 = b2-2аb + а2 = (b-а)2

Четвертая формула сокращенного умножения называется куб суммы. Которая звучит как: две слагаемые величины в кубе равны кубу 1 величины прибавляется тройное произведение 1 величины в квадрате умноженное на 2-ую величину, к ним прибавляется тройное произведение 1 величины умноженной на квадрат 2 величины, плюс вторая величина в кубе.

(а+b)3 = а3 + 3а2b + 3аb2 + b3

Пятая, как вы уже поняли называется куб разности. Которая находит разности между величинами, как от первого обозначения в кубе отнимаем тройное произведение первого обозначения в квадрате умноженное на второе, к ним прибавляется тройное произведение первого обозначения умноженной на квадрат второго обозначения, минус второе обозначение в кубе.

(а-b)3 = а3 - 3а2b + 3аb2 - b3

Шестая называется - сумма кубов. Сумма кубов равняется произведению двух слагаемых величин, умноженных на неполный квадрат разности, так как в середине нет удвоенного значения.

а3 + b3 = (а+b)(а2-аb+b2)

По другому можно сказать сумму кубов можно назвать произведение в двух скобках.

Седьмая и заключительная, называется

разность кубов (ее легко перепутать с формулой куба разности, но это разные вещи). Разность кубов равняется произведению от разности двух величин, умноженных на неполный квадрат суммы, так как в середине нет удвоенного значения.


а3 - b3 = (а-b)(а2+аb+b2)

И так формул сокращенного умножения всего 7, они похожи друг на друга и легко запоминаются, единственно важно не путаться в знаках. Они так же рассчитаны на то, что их можно использовать в обратном порядке и в учебниках собрано довольно много таких заданий. Будьте внимательны и все у вас получится.

Если у вас появились вопросы по формулам, обязательно пишите их в комментариях. Будем рады ответить вам!

Если Вы находитесь в декретном отпуске, но хотите зарабатывать деньги. Просто перейдите по ссылке Интернет бизнес с Орифлейм. Там все очень подробно написано и показано. Будет интересно!


Если материал был полезен, вы можете отправить донат или поделиться данным материалом в социальных сетях:

Формулы сокращенного умножения 9 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей

ФСУ

ФСУ (формулы сокращенного умножения) – готовые формулы, по которым можно представить некоторые выражения в виде произведения и наоборот.

Важно: вместо букв a и b может стоять любое выражение, любое число.

Задача №1

Разложим выражение 5+с2

Решение:

5+с2=25+2⋅5⋅с+с2=25+10с+с2

  1. Квадрат суммы

    a+b2=a2+2ab+b2

  2. Квадрат разности

    a−b2=a2−2ab+b2

  3. Разность квадратов.

    a2−b2=a−ba+b

    Задача №2

    1452−452

    Решение:

    145−45⋅145+45=100⋅190=19000 

    1. Выражение похоже на квадрат суммы: 4m2=2m2 , тогда 2m=a , n=b
    2. Преобразуем отдельные слагаемые: 4m2+4mn+n2=(2m)2+2⋅2m⋅n+n2
    3. Воспользуемся формулой квадрата суммы: (2m)2+2⋅2m⋅n+n2=2m+n2 
  4. Алгоритм разложения на множители с помощью ФСУ.

    1. Определяем наиболее похожую на выражение формулу.
    2. С помощью свойств степеней преобразуем отдельные слагаемые так, чтобы выражение приняло вид формулы.
    3. Используем соответствующую формулу.

    Задача №3

    Преобразовать выражение: 4m2+4mn+n2

    Решение:

  5. Сумма кубов

    a3+b3=a+ba2−ab+b2

  6. Разность кубов

    a3−b3=a−ba2+ab+b2

  7. Куб суммы

    a+b3=a3+3a2b+3ab2+b3

  8. Куб разности

    a−b3=a3−3a2b+3ab2−b3

«ФОРМУЛЫ СОКРАЩЕННОГО УМНОЖЕНИЯ. РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ НА МНОЖИТЕЛИ»

Тема консультации: «ФОРМУЛЫ СОКРАЩЕННОГО УМНОЖЕНИЯ.

РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ НА МНОЖИТЕЛИ»

Дидактическая основа

Дидактической основой непрерывного курса математики «Учусь учиться» является дидактическая система деятельностного метода обучения «Школа 2000...». Ее главной особенностью является то, что знания не даются учащимся в готовом виде, а организуется их самостоятельное открытие детьми. Такой подход обеспечивает высокий уровень математической подготовки, развивает мышление учащихся, их способности, повышает интерес к изучению математики, обеспечивают личностные и метапредметные результаты образования, соответствующие ФГОС.

Содержание консультации

В соответствии с планированием учебного материала по курсу математики «Учусь учиться» для 7 класса в феврале продолжается работа с четвертой главой «Введение в теорию многочленов». Изучаются три пункта второго параграфа:
4.3.2. Разность квадратов;
4.3.3. Куб суммы и разности;
4.3.4. Сумма и разность кубов.
После чего начинается работа с четвертым параграфом «Разложение многочленов на множители», из которого изучаются пункты:
4.4.1. Вынесение общего множителя за скобки;
4.4.2. Способ группировки;
4.4.3. Формулы сокращенного умножения и разложение многочленов.

Основные содержательные цели

  • сформировать умение представлять разность квадратов, сумму и разность кубов в виде произведения и наоборот преобразовывать произведения многочленов определенного вида в разность квадратов, сумму и разность кубов с помощью соответствующих формул сокращенного умножения;
  • сформировать умение представлять куб суммы и разности в виде многочлена стандартного вида и наоборот преобразовывать многочлен определенного вида в куб суммы или разности с помощью соответствующей формулы сокращенного умножения;
  • сформировать умение применять формулы сокращенного умножения для алгебраических преобразований, связанных с умножением, и рационализации вычислений;
  • сформировать умение раскладывать многочлены на множители следующими способами: вынесением за скобки общего множителя, способом группировки, с помощью формул сокращенного умножения;
  • сформировать умение применять при разложении многочленов на множители различные вспомогательные приемы, такие как, перестановка слагаемых; представление члена многочлена в виде суммы или разности подобных ему членов; прибавление и вычитание одного и того же слагаемого, выделение полного квадрата;
  • сформировать умение применять разложение на множители для алгебраических преобразований, решений уравнений и рационализации вычислений.

Тематическое планирование В соответствии с принципом минимакса дидактической системы деятельностного метода «Школа 2000…» организовать работу по данному учебнику возможно в условиях различных учебных планов образовательных учреждений. Поэтому тематическое планирование по изучению данного курса разработано в двух вариантах на 102 ч и на 136 ч. Вариант планирования, разработанный для 3 часов в неделю, обеспечивает выполнение государственного стандарта знаний, усвоение учебного содержания курса (по темам, обязательным для рассмотрения) и продвижение учащихся в развитии мышления, речи, познавательных интересов. При 4 часах в неделю содержание курса существенно расширяется.

Мы предлагаем Вам скачать тематическое планирование на 3 четверть (3 ч в неделю).

(Для того, что бы скачать файл, нажмите правой кнопкой мыши на ссылку, и выберите в меню пункт "Сохранить объект как...")


Центр системно – деятельностной педагогики «Школа 2000…» рекомендует для работы по учебнику математики для 7 класса средней школы Л.Г. Петерсон, Д.Л. Абрарова, Е.В. Чутковой использовать по возможности 4 часа в неделю.

Мы предлагаем Вам скачать тематическое планирование на 3 четверть (4 ч в неделю).

(Для того, что бы скачать файл, нажмите правой кнопкой мыши на ссылку, и выберите в меню пункт "Сохранить объект как...")



Методические рекомендации к организации учебного процесса

Глава 4. Введение в теорию многочленов

§ 3. Формулы сокращенного умножения

П. 2. Разность квадратов

1) В данном пункте учащиеся знакомятся с двумя формулами сокращенного умножения – формулой произведения суммы и разности двух выражений и формулой разности квадратов, которые, по сути, являются одинаковыми равенствами, в которых поменяли местами правую и левую части. Традиционно эта формула рассматривалась как одна – формула разности квадратов, что приводило к трудностям, возникающим у учащихся при умножении разности двух выражений на их сумму. Поэтому, чаще всего учителю приходилось регулярно использовать на уроках такой прием, как чтение данной формулы «в обратную сторону». Чтобы раз и навсегда показать учащимся, что любая из формул сокращенного умножения «работает» как справа налево, так и слева направо можно использовать материал данного пункта и специально обратить внимание учащихся на это. Можно пояснить учащимся, что для других «обратных» формул не используют отдельного названия, т.к. звучат их названия менее благозвучно, чем у формулы произведения разности и суммы двух выражений.
2) В качестве мотивации к выводу новых формул можно предложить учащимся вычислить

 за 30 секунд. После того как они не справятся с этим заданием за указанное время, пояснить, что с помощью формулы сокращенного умножения, открытой сегодня им это легко удастся.
3) Для открытия данных формул учащимся предлагается записать произведение суммы и разности а и b как многочлен стандартного вида. После этого учащимся предлагается обобщить полученное равенство для всех произведений подобного вида и сформулировать правило умножения суммы двух выражений на их разность. Опираясь на полученную формулу, учащиеся формулируют, как можно найти разность квадратов двух выражений (№ 318). Эту работу они могут выполнять самостоятельно в группах или в парах.
4) Чтобы подготовить учащихся к открытию следует актуализировать с ними правило умножения многочленов и понятие степени с показателем 2, а также понятия «сумма» и «разность». Для этого можно использовать задания №№ 316–317.
5) Чтобы показать геометрический смысл данной формулы можно использовать предметные геометрические модели прямоугольника и квадрата, предложенные в учебнике. Необходимо вырезать, прикладывать и перемещать предметные модели либо использовать возможности анимации современной техники. Это поможет учащимся с образным мышлением запомнить данные формулы.
6) Важно показать учащимся применение формул для рационализации вычислений (№№ 322, 337).
7) При 4-часовом планировании рекомендуется отвести больше времени на выполнение заданий более высокого уровня сложности (№№ 340–347).
8) Учащиеся применяют новые формулы для сокращения алгебраических дробей (№ 333), решения уравнений (№ 327, № 336), доказательства утверждений и тождеств (№№ 329, 334, 335). Для формирования умения применять формулы сокращенного умножения в учебнике и другие задания, которые предполагают решение задач с помощью уравнения (№ 339), сравнение значений выражений (№№ 342 – 343) и пр. Учитель выбирает из этих заданий те, которые считает целесообразным выполнить с учащимися.
9) При выполнении заданий на нахождение наибольшего и наименьшего значения выражений (№№ 345 – 346) следует вспомнить с учащимися необходимые свойства. Рекомендуется, после применения формулы произведения суммы выражений на их разность актуализировать, как изменяется разность при изменении ее компонентов. Свойство разности «Если значение уменьшаемого увеличить, то значение разности увеличится» и подобные ему свойства известны учащимся с начальной школы. Кроме того, рекомендуется спросить, какое наименьшее значение может принимать квадрат любого выражения (нуля).

П. 3. Куб суммы и разности

1) В данном пункте учащиеся знакомятся с двумя формулами сокращенного умножения – формулой куба суммы и куба разности.
2) Для проблематизации можно предложить учащимся записать выражение

как многочлен стандартного вида, не используя правило умножения многочленов
3) Для открытия формулы куба суммы (разности) учащимся предлагается использовать задание № 377, в котором проедложены шаги по построению новой формулы. Рекомендуется сначала дать возможность учащимся составить план открытия нового знания самостоятельно. Имея опыт, построения формулы квадрата суммы и разности данная задача является для семиклассников посильной задачей.
4) Чтобы подготовить учащихся к открытию следует актуализировать с ними правило умножения многочленов и понятие степени с показателем 3, а также понятия «куб суммы» и «куб разности». Для этого можно использовать задания №№ 374–376.
5) Важно показать учащимся применение формул для рационализации вычислений (№№ 381 – 382).
6) Для формирования умения применять формулы куба суммы и разности в учебнике предлагается целый перечень заданий, которые предполагают доказательство тождеств, нахождение значений выражений, составление и решение уравнений. Учитель выбирает из них те задания, которые считает целесообразным выполнить со своими учениками.
7) После знакомства с формулами куба суммы и куба разности с учащимися следует обобщить, что теперь им известно как возводить двучлен во 2-ю и 3-ю степени и сообщить, что существуют формулы, позволяющие возводить двучлен в более высокую степень. Можно попросить одного из «сильных» учащихся сформулировать идею вывода подобных формул. При 4-часовом планировании (либо в более подготовленных классах) рекомендуется познакомить учащихся с алгоритмом возведения двучлена в n–ю степень (№№ 399 – 400).

П.4. Сумма и разность кубов

1) В данном пункте учащиеся знакомятся с формулами суммы и разности кубов.
2) Для проблематизации можно предложить учащимся записать многочлены:

в виде произведения двух многочленов.
3) В связи с особенностями этих формул учащимся вряд ли удастся самостоятельно составить план открытия нового знания, поэтому учащимся предлагается использовать задание № 434, в котором даны шаги по построению новых формул.
4) Чтобы подготовить учащихся к открытию следует актуализировать с ними правило умножения многочленов и понятие степени с показателем 3, а также понятия «сумма кубов» и «разность кубов». Для этого можно использовать задания №№ 432–433.
5) Важно показать учащимся применение формул для рационализации вычислений (№№ 439).
6) Для формирования умения применять формулы суммы и разности кубов в учебнике также как и в других пунктах третьего параграфа предлагается перечень заданий, которые предполагают доказательство тождеств, нахождение значений выражений, составление и решение уравнений с использованием данных формул. Учитель выбирает из них те задания, которые считает целесообразным выполнить со своими учениками.
7) При 4-часовом планировании рекомендуется уделить больше времени на выполнение заданий более высокого уровня сложности (№№ 453–460).
8) При выполнении задания № 459 рекомендуется сначала проанализировать данные равенства, задать, например, следующие вопросы:
  • Что записано в левой части равенства? (Произведение многочленов.)
  • Что записано в правой части равенства? (Многочлены.)
  • Как перейти от произведения многочленов к многочлену? (Перемножить данные многочлены.)
  • Как можно рационализировать умножение алгебраических выражений? (Формулы сокращенного умножения помогают при таких преобразованиях.)
  • Какие формулы вы здесь сразу видите, подчеркните соответствующие выражения.
После устного разбора учащиеся самостоятельно выполняют данные преобразования и проверяют себя по образцу (естественно образец должен демонстрировать не только самый рациональный способ, но и все возможные способы, которые могли использовать семиклассники). Можно подготовить образец заранее либо вызвать на закрытую доску сильного ученика.
Полезным будет показать рациональные способы выполнения данных преобразований, для этого можно воспользоваться заранее заготовленными образцами. Если по какой-либо причине подготовить образцы не удастся можно вызывать к доске не одного, а нескольких учащихся, которые бы параллельно доказывали тождество. После выполнения задания разобрать другие способы, которыми пользовались ученики. Кроме того, можно после того как основная часть класса закончит доказательство, следует поинтересоваться, кто нашел другой, более рациональный способ доказательства. Эти способы демонстрируются с помощью специального технического оборудования либо идея преобразования проговаривается вслух.
Целесообразно на примере а) сравнить два способа доказательства тождеств:
1) приведение левой части к правой, при котором придется применить формулу произведения суммы выражений на их разность и в полученном произведении «увидеть» формулу разности кубов;
2) приведение правой части к левой, при котором в разности шестых степеней можно «увидеть» разность кубов и разложить эту разность на произведение двучлена на трехчлен, а полученный двучлен разложить на сумму и разность по формуле разности квадратов.
Второй способ рекомендуется показать после применения первого. На данном этапе он рассматривается с целью опережающей подготовки учащихся к изучению темы «Разложение на множители с помощью формул сокращенного умножения».

§ 4. Разложение многочлена на множители

П.1 Вынесение общего множителя за скобки

1) В данном пункте учащиеся учатся выносить общий множитель за скобки, они уже имеют опыт простейших преобразований такого рода. Так, для первичного формирования умения приводить подобные слагаемые учащиеся выносили общий множитель за скобки на основании распределительного закона умножения.
2) В данном пункте у учащихся формируется понятие разложения многочлена на множители. Нужно отметить, что под разложением на множители понимается разложение на буквенные множители. Так, вынесение за скобки числового множителя не является операцией разложения на множители. Например, представление многочлена 2a + 2ac в виде произведения 2(а + ас) не является разложением на множители, а в виде 2а (1 + с) является. Этот «нюанс» можно обговорить с учащимися при выполнении № 489.
3) Здесь же формируется умение раскладывать на множители путем вынесения общего множителя за скобки. Теперь учащиеся выполняют это преобразование на основании четко сформулированного правила: чтобы вынести за скобки общий множитель с можно в скобках записать многочлен, каждый член которого получен в результате его деления на с. Можно использовать предложенный в учебнике алгоритм вынесения за скобки общего множителя (в более подготовленном классе учащиеся могут построить его самостоятельно – № 493).
4) В связи с тем, что учащиеся уже знакомы с вынесением за скобки общего множителя, для проблематизации можно предложить учащимся сформулировать, что такое «разложение многочлена на буквенные множители».
5) Для построения логики открытия при подготовке к уроку учитель может воспользоваться заданием № 488.
6) Чтобы подготовить учащихся к открытию следует актуализировать с ними распределительное свойство умножения, использование этого свойства для рационализации вычислений. Для этой целей рекомендуется использовать задания №№ 485 – 488.
7) Задание № 497 готовит учащихся к следующему пункту. Часто у учащихся возникает сложность с вынесением за скобки общего множителя, который является многочленом. Чтобы преодолеть это возможное затруднение рекомендуется выполнить это задание с подчеркиванием общего множителя.
8) Задание № 498 показывает применение нового преобразования для решения уравнений. Особо следует подчеркнуть, что без разложения на множители уравнения данного вида учащиеся пока решить не могут.
9) Важно показать учащимся применение правила вынесения общего множителя для рационализации вычислений (№№ 496, 502).

П.2 Способ группировки

1) В данном пункте учащиеся учатся применять еще один способ разложения на множители – способ группировки.
2) Для проблематизации можно предложить учащимся разложить на множители многочлен:

Причиной возникшего затруднения будет то, что данные одночлены не имеют общего множителя. Чтобы преодолеть свое затруднения учащиеся должны будут открыть новый способ разложения на множители.
3) Чтобы подготовить учащихся к открытию рекомендуется выполнить задание № 533, в котором учащимся придется переставлять слагаемые местами и группировать произведения, имеющие одинаковые множители, а также № 535. Позже эти идеи помогут семиклассникам построить новый способ самостоятельно.
4) Алгоритм способа группировки, построенный учащимися, может иметь вид:
1) Объединить члены многочлена в группы таким образом, чтобы в каждой группе были общие множители.
2) Найти общий множитель в каждой группе и вынести его.
3) Найти общий множитель в новом многочлене и вынести его.
5) Подготовка, проведенная в предыдущем пункте, дает возможность наряду с простейшими ситуациями использования способа группировки рассмотреть и случаи, которые требуют специальных приемов:
  • перестановка слагаемых;
  • представление члена многочлена в виде суммы или разности подобных ему членов;
  • прибавление и вычитание одного и того же слагаемого.
Последним двум приемам рекомендуется посвятить отдельный урок открытия нового знания. Эти приемы будут использоваться учащимися в дальнейшем и для других способов разложения на множители.
6) Для проблематизации можно предложить учащимся разложить на множители с использованием способа группировки многочлены:
7) Для организации открытия можно воспользоваться учебником. Учащиеся самостоятельно отбирают и рассматривают примеры 2, 3 и 4 из текста. После работы с текстом учащимся предлагается выполнить задания на пробное действие.
8) Задания №№ 546, 554 показывают применение нового преобразования для решения уравнений. Причем, если раньше указание разложить на множители давалось в задании, то теперь такого указания в тексте задания нет. Анализируя вид уравнения, учащиеся должны понимать, что нужно преобразовать левую часть уравнения в произведение многочленов. Особо следует подчеркнуть, что без разложения на множители уравнения данного вида учащиеся пока решить не могут.

П.3 Формулы сокращенного умножения и разложение многочленов на множители

1) В данном пункте учащиеся учатся раскладывать на множители многочлены с использованием формул сокращенного умножения. Умение использовать формулы, в которых та или иная формула представлена в явном виде, должно быть уже сформировано в предыдущем параграфе. Теперь с учащимися разбираются случаи, когда для применения формулы сокращенного умножения необходимо выполнить предварительное преобразование исходного многочлена.
2) Учащиеся учатся видеть в степенях «квадраты» и «кубы», группировать слагаемые для получения нужной формулы, пользуются уже известными приемами: перестановка слагаемых и прибавление и вычитание одного и того же слагаемого.
3) Для этапа актуализации рекомендуется использовать задания №№ 583 – 585, при выполнении которых учащиеся повторят те понятия и способы действий, которые понадобятся им на уроке.
4) № 586 можно использовать для проблематизации. Затруднение, возникшее при выполнении этого задания, потребует новых приемов для применения разложения на множители (либо отбора уже известных приемов для применения в новой ситуации).
5) При изучении данного пункта учащиеся знакомятся с таким приемом, как выделение полного квадрата, который дает возможность применить формулы сокращенного умножения (№ 588 (л–н), № 595(д), № 600 готовят учащихся к этому способу, № 601 требует применения способа). Естественно требовать от каждого ученика умения применять данный способ нельзя. Однако более способные учащиеся должны получить возможность познакомиться с приемом выделения полного квадрата. В восьмом классе этот прием даст возможность вывести формулу для решения квадратных уравнений.

Эталоны

В результате изучения данных пунктов учащиеся знают следующие формулы сокращенного умножения: формулу произведения суммы двух выражений на их разность, формулу разности квадратов; формулы куба суммы и куба разности; формулы суммы и разности кубов и умеют их применять. Учащиеся имеют возможность познакомиться с треугольником Паскаля и соответствующим алгоритмом для возведения двучлена в n–ю степень. Учащиеся знают, что значит разложить многочлен на множители и следующие способы разложения на множители: вынесением за скобки общего множителя, способом группировки, с помощью формул сокращенного умножения и умеют их применять. Учащиеся имеют возможность познакомиться с различными вспомогательными приемами, которые помогают применять вышеперечисленные способы разложения на множители.

Методические рекомендации по планированию уроков

При организации учебного процесса необходимо учитывать, что выполнение всех заданий из учебника не является обязательным. Принципы минимакса и вариативности обеспечивают возможность обучения по курсу математики программы «Школа 2000…» детей разного уровня подготовки, в том числе и высокого. Поэтому уровень и количество заданий, включенных в учебник, определялись в соответствии с зоной ближайшего развития более подготовленных учащихся. Предполагается, что учитель выбирает для работы те задания, которые соответствуют уровню подготовки детей и задачам конкретного урока.
Предлагаем Вашему вниманию вариант сценария урока по рассматриваемым темам, в котором описан возможный способ организации самостоятельной познавательной деятельности учащихся на основе технологии деятельностного метода обучения «Школа 2000...». В отличие от уроков, опубликованных нами в предыдущих консультациях, этот урок является примером урока рефлексивного типа. Подробнее с методикой подготовки и проведения уроков такого типа в 7-9 классах основной школы вы можете познакомиться в разделе Модификация технологии деятельности метода обучения на уроках разной целевой направленности в 7–9 классах основной школы нашей вводной консультации.

Урок 60

Тип урока: Р
Тема урока: «Формулы сокращённого умножения»
Автор: Л.А Грушевская
Основные содержательные цели:
1) организовать самоконтроль умения применять формулы сокращённого умножения при выполнении заданий различного характера;
2) тренировать умение решать задачи на движение.

Мы предлагаем Вам cкачать сценарий урока

(Для того, что бы скачать файл, нажмите правой кнопкой мыши на ссылку, и выберите в меню пункт "Сохранить объект как...")

Уважаемые коллеги! Предлагаем вам скачать решение некоторых задач на смекалку, которые входят в данные параграфы.

(Для того, что бы скачать файл, нажмите правой кнопкой мыши на ссылку, и выберите в меню пункт "Сохранить объект как...")

Если у Вас возникли какие-либо вопросы, напишите нам, заполнив форму обратной связи.
Мы свяжемся с Вами.


Формулы сокращенного умножения

(a + b)2 = (a+b)(a+b) = a2 + ab + ab + b2

Приведя подобные члены получим:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2.

Эту формулу следует запомнить как в приведенной записи, так и в словесном выражении.

Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа, плюс удвоенное произведение первого числа на второе, плюс квадрат второго числа.

Примеры:
1)

(3a + 2b)2 = (3a)2 + 2 * 3a * 2b + (2b)2 = 9a2 + 12ab + 4b2.

Следует приобрести навык писать сразу окончательный результат, не проводя промежуточной записи, которая показана в этом примере.

2) Эта формула применяется при устном возведении в квадрат чисел, немного больших «круглого» числа, например:

412 = (40 + 1)2 = 402 + 2 * 40 * 1 + 12 = 1681;
322 = (30 + 2)2 = 302 + 2 * 2 * 30 + 22 = 900 + 120 + 4 = 1024.

3) Особенно легко запомнить прием возведения в квадрат чисел, оканчивающихся пятеркой. Положим, число имеет a десятков и 5 единиц. Тогда его можно записать так:

10a + 5.

Возведем это число в квадрат по формуле:

(10a + 5)2 = 100a2 + 2 * 5 * 10a + 52 = 100a2 + 100a + 25 = 100a(a + 1) + 25.

Полученное выражение показывает, что для возведения в квадрат числа, оканчивающегося пятеркой, надо число его десятков умножить на число, единицей большее, и к произведению приписать 25. Например:

652 = 6 * 7 * 100 + 25 = 4225;
852 = 8 * 9 (сотен) + 25 = 7225;
3,52 = 3 * 4 + 0,25 = 12,25.

Последний пример можно записать так:

Значит, чтобы возвести в квадрат смешанное число, дробная которого равна, достаточно целую часть умножить на число, единицей большее, и к произведению прибавить.

2. Квадрат разности.

(a – b)2 = (a – b)(a – b) = a2 – ab – ab + b2.
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2.

Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа, минус удвоенное произведение первого числа на второе, плюс квадрат второго числа.

Эта формула отличается от ранее выделенной формулы только знаком среднего члена. Поэтому часто пишут сразу обе формулы так:

Примеры:

1)

(4a2b – ab)2 = 16a4b2 – 8a2b * ab + a2b2 = 16a4b2 – 8a3b2 + a2b2.

И здесь следует стараться написать сразу результат, производя промежуточные вычисления в уме.

2) Эта формула применяется при устном возведении в квадрат чисел, немного меньших «круглого» числа, например:

392 = (40 – 1)2 = 402 – 2 * 40 + 1 = 1521;
482 = (50 – 2)2 = 2500 – 2 * 2 * 50 + 4 = 2304;
792 = (80 – 1)2 = 6400 – 160 + 1 = 6241.

3. Произведение суммы двух чисел на их разность.

(a + b)(a – b) = a2 + ab – ab – b2.
(a + b)(a – b) = a2 – b2.

Произведение суммы двух чисел на их разность равно разности квадратов этих чисел.

Примеры.

1) (5a + 2b)(5a – 2b) = 25a2 – 4b2.

2) (2a2 + 3b3)(2a2 – 3b3) = 4a4 – 9b6.

3) Эта формула применяется при устном умножении двух чисел, из которых одно на несколько единиц больше «круглого» числа, на сколько другое меньше его, например: 47 и 53, 68 и 72.

47 * 53 = (50 – 3)(50 + 3) = 502 – 32 = 2491;
68 * 72 = 702 – 4 = 4896;
33 * 27 = 900 – 9 = 891.

4) Но иногда бывает полезно поступить наоборот: для вычисления разности квадратов двух чисел заменить эту разность произведением суммы оснований на их разность, например:

1022 — 1012 = (102 – 101)(102 + 101) = 203;
542 — 462 = (54 – 46)(54 + 46) = 800;

4. Куб суммы.

(a + b)3 = (a + b)2(a + b) = (a2 + 2ab + b2)(a + b) = a3 + 2a2b + ab2 + a2b + 2ab2 + b3;
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3.

Куб суммы двух чисел равен кубу первого числа, плюс утроенное произведение квадрата первого на второе, плюс утроенное произведение первого на квадрат второго, плюс куб второго числа.

Примеры.

1) (2a + 3b)3 = 8a3 + 3 * 4a2 * 3b + 3 * 2a * 9b2 + 27b3 = 8a3 + 36a2b + 54ab2 + 27b3.

2) 113 = 103 + 3 * 102 + 3 * 10 + 1 = 1331.

5. Куб разности.

(a – b)3 = (a – b)2(a – b) = (a2 – 2ab + b2)(a – b).

Произведя умножение и приведя подобные члены, получим:

(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3.

Куб разности двух чисел равен кубу первого числа, минус утроенное произведение квадрата первого на второе, плюс утроенное произведение первого на квадрат второго, минус куб второго числа.3$

Формулы сокращенного умножения | Кубенс

Формулы сокращенного умножения формулы умножения многочленов используются для разложения этих многочленов на множители, упрощения выражений и построения многочленов в стандартном виде. Формулы приведенного умножения нужно доказать непосредственно, открыв скобки и построив эти члены.

Формула квадратов

квадрат суммы
разность в квадрате
разность квадратов

Формула кубометров

куб суммы
куб разности
сумма кубиков
разность кубиков

Формулы приведенного умножения в четвертой степени

Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа.

Квадрат суммы

Разница между квадратами двух чисел равна произведению суммы этих чисел на их разность.

Разница квадратов

Куб представляет собой сумму двух чисел, равную потере первого дня плюс утроение квадрата произведения первого числа на второе, утроенное плюс произведение первого числа на квадрат второго плюс куб второго номера.

Куб суммы

Куб разницы равен котлу первого числа минус утроенное произведение квадрата первого числа на второе, утроенное плюс произведение первого числа на квадрат второго минус куб второй номер.

Куб разницы

Сумма кубиков двух чисел равна произведению суммы этих чисел на неполный квадрат разности этих чисел.

Сумма кубиков

Разница между кубиками двух чисел равна произведению разности чисел на неполном квадрате суммы этих чисел.

Разница кубиков

Формулы сокращенного умножения Арифметические

При вычислении алгебраических многочленов для упрощения вычислений используются упрощенные формулы умножения . Таких формул семь.Их все нужно знать наизусть.

Также следует помнить, что вместо a и b в формулах могут быть как числа, так и любые другие алгебраические многочлены.

Разница квадратов

Разность квадратов двух чисел равна произведению разности этих чисел на их сумму.

а 2 - б 2 = (а - б) (а + б)

Примеры:

  • 15 2 - 2 2 = (15 - 2) (15 + 2) = 13 x 17 = 221
  • 9a 2 - 4b 2 с 2 = (3a - 2bc) (3a + 2bc)

Площадь

Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого на второе плюс квадрат второго числа.

(а + б) 2 = а 2 + 2ab + б 2

Обратите внимание, что с помощью этой короткой формулы умножения легко находить квадраты больших чисел без использования калькулятора или умножения по столбцам. Поясним на примере:

Найдите 112 2.

  • Мы разлагаем 112 на сумму чисел, квадраты которых мы хорошо помним 2
    112 = 100 + 1
  • В скобках записываем сумму чисел, а над скобками ставим квадрат.
    112 2 = (100 + 12) 2
  • Мы используем формулу суммы квадратов:
    112 2 = (100 + 12) 2 = 100 2 + 2 x 100 x 12 + 12 2 = 10 000 + 2 400 + 144 = 12 544

Помните, что формула суммы квадратов также верна для любых алгебраических многочленов.

  • (8a + s) 2 = 64a 2 + 16ac + c 2

Внимание!

(a + b) 2 не равно a 2 + b 2

Квадрат разницы

Квадрат разницы двух чисел равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа.

(а - б) 2 = а 2 - 2ab + б 2

Также стоит помнить об очень полезном преобразовании:

(а - б) 2 = (б - а) 2

Приведенная выше формула подтверждается простым открытием скобок:

(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2 = b 2 - 2ab + a 2 = (b - a) 2

Количество кубиков

Куб суммы двух чисел равен кубу первого числа плюс утроенное произведение квадрата первого числа на второе плюс утроенное произведение первого на квадрат второго плюс куб второй.

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Запомнить эту устрашающую формулу довольно просто.

  • Узнай, что в начале идет 3.
  • Два полинома посередине имеют коэффициенты 3.
  • Напомним, что любое число в нулевой степени равно 1. (a 0 = 1, b 0 = 1). Легко видеть, что в формуле есть уменьшение степени a и увеличение степени b. Это можно увидеть:
    (a + b) 3 = a 3 b 0 + 3a 2 b 1 + 3a 1 b 2 + b 3 a 0 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Внимание!

(a + b) 3 не равно a 3 + b 3

Куб разницы

Куб разности двух чисел равен кубу первого числа минус троекратное произведение квадрата первого числа на второе плюс троекратное произведение первого числа на квадрат второго минус число куб второй.


(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

Эта формула запоминается как предыдущая, но только с учетом чередования знаков «+» и «-». Перед первым членом тройки стоит «+» (по правилам математики мы его не пишем). Итак, следующий член будет «-», затем снова «+» и т. Д.

(a - b) 3 = + a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

Сумма кубиков

Не путать с количеством куба!

Сумма кубиков равна произведению суммы двух чисел на неполный квадрат разности.

a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)

Сумма кубиков равна произведению двух скобок.

  • Первая скобка - это сумма двух чисел.
  • Вторая скобка - неполный квадрат разности чисел. Неполная разность в квадрате - это выражение:

    a 2 - ab + b 2

    Этот квадрат неполный, так как в середине вместо удвоенного произведения это обычное произведение чисел.

Кубическая разница

Не путать с кубом разницы!

Разность кубиков равна произведению разности двух чисел на неполную сумму в квадрате.

a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)

Будьте осторожны при написании символов.

Применение формул сокращенного умножения

Следует помнить, что все приведенные выше формулы также используются справа налево.

Многие примеры в учебниках рассчитаны на то, что вы используете формулы для сбора полинома обратно.

Примеры:

  • а 2 + 2а + 1 = (а + 1) 2
  • (ac - 4b) (ac + 4b) = a 2 c 2 - 16b 2

Формулы сокращенного умножения.Решение двумя способами

Математические выражения (формулы) сокращенное умножение (Квадратные суммы и разности, Кубические суммы и разности, разность квадратов, количество и разность кубов) чрезвычайно заменены во многих областях точных наук. Эти 7 символов не заменяются упрощением выражений, решением уравнений, умножением многочленов, сокращением дробей, решением интегралов и многим другим.Так что будет очень полезно разобраться, как они получаются, для чего они нужны, а главное, как их запомнить, а затем применить. Затем примените формулы сокращенного умножения . На практике сложнее всего будет увидеть, что такое H. , а что y. Очевидно, что никаких ограничений для a. и б. нет, что означает, что это могут быть любые числовые или буквенные выражения.

И вот они:

Первая x 2 - U 2. = (x - y) (x + y) . Для вычисления разницы квадратов Два выражения должны умножить разницу между этими выражениями на их суммы.

Второй (x + y) 2 = x 2. + 2h + в 2 . Чтобы найти квадратную сумму , нужно добавить два выражения к квадрату первого выражения, чтобы сложить двойное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

Третий (x - y) 2 = x 2. - 2ч + в 2 . Чтобы вычислить разницы квадратов , необходимы два выражения из квадрата первого выражения, чтобы убрать двойное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

Четвертый (x + y) 3 = x 3. + 3x 2 y + 3h 2 + 3. Для вычисления куба количество нужно добавить два выражения к Кубе первого выражения чтобы добавить утроенное произведение квадрата первого выражения ко второму плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат плюс куб второго выражения.

Пятый (x - y) 3 = x 3. - 3x 2 y + 3h 2 - 3. . Для вычисления разности кубов необходимы два выражения из первого куба выражения, чтобы взять утроенную работу квадрата первого выражения на втором плюс утроенное произведение первого выражения на второй минус куб второго выражения.

Шесть x 3 + 3. = (x + y) (x 2 - Hu + U 2) Для вычисления количества кубиков необходимо два выражения умножить суммы первого и второе выражение на неполном квадрате разности этих выражений.

Седьмой x 3 - 3. = (x - y) (x 2 + Hu + U 2) Чтобы произвести расчет кубических разностей два выражения необходимо умножить разность между первым и вторым выражение на неполном квадрате суммы этих выражений.

Нетрудно вспомнить, что все формулы применяются при работе расчетов и в обратном направлении (справа налево).

Около 4 тысяч лет назад о существовании этих узоров.Их широко использовали жители древнего Вавилона и Египта. Но в те эпохи они выражались вербально или геометрически и при расчетах не использовали буквы.

Разберемся proof of Square Summa (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2.

Сначала это математический образец Доказано, что древнегреческий ученый Евклид, работавший в Александрии в III веке до нашей эры, использовал геометрический способ эволюции формулы, поскольку ученые древней Эллалы не использовали буквы для обозначения чисел.Повсеместно использовались не «А 2», а «квадрат на отрезке А», не «АВ», а «прямоугольник, заключенный между отрезками А и В».

В предыдущем уроке мы занимались разложением множителей. Освоены два способа: объединение скобок и группировка. В этом уроке - следующий мощный способ: формулы сокращенного умножения . Вкратце - БСС.

Формулы сокращенного умножения (квадрат суммы и разности, куб суммы и разности, разность квадратов, сумма и разность кубов) крайне необходимы во всех разделах математики.Они используются для упрощения выражений, решения уравнений, умножения многочленов, сокращения дробей, решения интегралов и т. Д. И т. Д. Короче говоря, есть все основания иметь дело с ними. Понять, как их принимают, зачем они нужны, как их запомнить и как применять.

Поняли?)

Откуда берутся сокращенные формулы умножения?

Equality 6 и 7 написаны не очень знакомо. Как бы наоборот. Это специально.) Любое равенство работает как слева направо, так и справа налево.В такой записи ясно, откуда взялся БСС.

Они взяты из умножения.) Например:

(A + B) 2 = (A + B) (A + B) = A 2 + AB + BA + B 2 = A 2 + 2AB + B 2

Вот и все, никаких научных уловок. Просто поменяйте скобки и отдайте их. Получается всех формул сокращенного умножения. Сокращенно Умножение происходит потому, что в самих формулах нет умножения скобок и приведения подобного.Уменьшено.) Сразу дан результат.

фсу нужно знать наизусть. Без первых трех нельзя и мечтать о тройке, без остальных - о четвертой с пятеркой.)

Зачем нужны формулы сокращенного умножения?

Есть две причины, узнайте, даже чтобы получить эти формулы. Первое - готовый ответ на автомате резко снижает количество ошибок. Но это не главная причина. А вот второй ...

Если вам нравится этот сайт...

Кстати, у меня для вас есть еще парочка интересных сайтов.)

К нему можно обратиться в примерах решения и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Узнай - с интересом!)

Вы можете ознакомиться с функциями и производными.

Формулы сокращенного выражения очень часто применяются на практике, поэтому их все желательно выучить наизусть. До этого момента мы будем служить вере и истине, которые мы рекомендуем распечатать и постоянно держать перед глазами:

Первые четыре формулы из обозначенной таблицы формул сокращенного умножения позволяют возвести в квадрат и куб количество или разность двух выражений.Пятая предназначена для краткого умножения разности и суммы двух выражений. А шестая и седьмая формулы используются для умножения суммы двух выражений A и B на их неполный квадрат разности (так называемое выражение формы A 2 -a · B + B 2) и разности двух выражений A и B на неполном квадрате их суммы (A 2 + A · B + B 2) соответственно.

Стоит отдельно отметить, что каждое равенство в таблице является тождеством. Это объясняет, почему формулы сокращенного умножения также называют тождествами сокращенного умножения.

При решении примеров, особенно в которых разложение многочленов на множители, часто используется FSU в виде переставленных мест с левой и правой частями:


Последние три идентификатора в таблице имеют собственные имена. Формула a 2 -b 2 = (ab) · (a + b) называется формулой разности квадратов , a 3 + b 3 = (a + b) · (a 2 -a · b + b 2) - формула количества кубиков , но a 3 -B 3 = (AB) · (A 2 + A · B + B 2) - кубическая разность по формуле .Обратите внимание, что мы не назвали соответствующие формулы с переставленными частями из предыдущей таблицы.

Дополнительные формулы

Табличная формула для сокращенного умножения не мешает добавить еще несколько тождеств.

Сфера применения сокращенного умножения (FSU) и примеры

Основное назначение формул сокращенного умножения (FSU) объясняется их названием, то есть состоит в кратких выражениях умножения. Однако сфера применения БСС намного шире и не ограничивается кратким умножением.Перечислим основные направления.

Несомненно, центральное применение формулы сокращенного умножения было найдено в выполнении идентичных преобразований выражений. Чаще всего эти формулы используются в процессе упрощения выражения .

Пример.

Упростим выражение 9 · y- (1 + 3 · y) 2.

Решение.

В этом выражении построение квадрата можно выполнить сокращенно, имеем 9 · y- (1 + 3 · y) 2 = 9 · y- (1 2 + 2 · 1 · 3 · y + (3 · у) 2).Осталось только раскрыть скобки и вывести аналогичные элементы: 9 · Y- (1 2 + 2 · 1 · 3 · y + (3 · y) 2) = 9 · Y-1-6 · Y-9 · Y 2. = 3 · Y-1-9 · Y 2.

В числителе выражение - это разность кубиков двух выражений 2 · x и z 2, а в знаменателе - разность квадратов этих выражений. После применения соответствующих формул начальная дробь будет видна. Теперь вы можете сократить одни и те же множители в числителе и знаменателе:.

Оформим все решение вкратце:

Ответ:

.

Формулы сокращенного умножения иногда позволяют рационально вычислить значения выражений. В качестве примера покажем, как можно построить число 79 на квадрат по формуле разностного квадрата: 79 2 = (80-1) 2 = 80 2 -2 · 80 · 1 + 1 2 = 6400- 160 + 1 = 6 241. Такой подход позволяет производить аналогичные вычисления даже устно.

В заключение скажем еще об одном важном преобразовании - выделении квадрата двуугольника , которое основано на формуле сокращенного умножения количества квадрата.Например, выражение 4 · x 2 + 4 · X-3 может быть преобразовано в форму (2 · x) 2 + 2 · 2 · x · 1 + 1 2 -4, а первые три члена заменяются с использованием сумма суммы суммы. Таким образом, выражение принимает вид (2 · X + 1) 2 -4. Такие преобразования широко используются, например, когда.

Библиография.

  • Алгебра: занятия. за 7 кл. общее образование. учреждения / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворов]; Эд. С. А. Теликовский.- 17-е изд. - М .: Просвещение, 2008. - 240 с. : IL. - ISBN 978-5-09-019315-3.
  • Мордкович А.Г. Алгебра. 7-й класс. В 2 ч. Л. 1. Учебное пособие для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Мордкович. - 13-е изд., Акт. - М .: Мнемозина, 2009. - 160 с .: Ил. ISBN 978-5-346-01198-9.
  • Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы): учеб. выгода. - м .; Выше. Шк., 1984.-351 с., Ил.

Как найти квадрат суммы.Сокращенные формулы умножения

В основе этого проекта лежит небольшая формула, которую я заметил в этом году. Точнее, это закономерность между числами. Долгое время меня интересовало, что это за формула, но разные люди предполагали совершенно разные варианты ... Поскольку, конечно, эта формула относится к квадратам чисел и я не знаю, придумал ли ее кто-нибудь до меня, я решил сделать презентацию, в которой, помимо этого шаблона, было рассказано еще на какую-то интересную тему.Поэтому я решил создать этот исследовательский проект.

Квадрат суммы

Начнем с основ. Наверняка эту формулу знает каждый семиклассник (не говоря уже о старшеклассниках). Но все же для закрепления материала стоит проверить эти знания.

(x + y) ² = x² + 2xy + y²

Что читается как>.

Квадрат разницы

Но по этой теме уже начинают возникать сложности. К сожалению, не все ученики помнят эту формулу, некоторые запутались, но я надеюсь, что ни один наш класс не ошибется ни в записи, ни в формулировке.

(x-y) ² = x²-2xy + y²

И читается эта формула:>.

Немного истории. Итак, мы вспомнили первые две формулы сокращенного умножения. Как оказалось, ничего страшного в этом нет!

Вы когда-нибудь задумывались, кто придумал эти две формулы: квадрат суммы и квадрат разницы? В некоторых источниках говорится, что это был древнегреческий математик Евклид. Это было поистине уникальное открытие, поскольку мы знаем, что он жил еще в 3 веке до нашей эры.

Разница квадратов

Итак, мы подошли к последней формуле, относящейся к квадратам чисел. На следующем слайде я докажу, почему она последняя. А пока попробуем вспомнить разницу квадратов.

x²-y² = (x + y) (x-y)

Следует помнить, что множители можно менять местами.

Разница между квадратами двух чисел равна произведению суммы и разности этих чисел.

Сумма квадратов

Но в школьном курсе понятие этой формулы сокращенного умножения не приводится, потому что ее просто не существует.Теперь посмотрим, почему.

  • Квадрат суммы и квадрат разницы можно разложить не только по приведенной ранее формуле. Их можно представить следующим образом: (x + y) ² = (x + y) (x + y) и (x-y) ² = (x-y) (x-y).
  • На основании того факта, что первые три формулы сокращенного умножения могут быть представлены как произведение двух многочленов, можно утверждать, что сумма квадратов также может быть представлена ​​как произведение двух многочленов.
  • Но все возможные комбинации уже использованы.Квадрат суммы - это произведение сумм этих чисел, квадрат разницы - произведение разностей этих чисел, а разность квадратов - произведение суммы и разности. Это означает, что сумму квадратов нельзя представить в виде формулы сокращенного умножения.

Незавершенный квадрат

Для дальнейшего повторения сокращенных формул умножения необходимо запомнить еще один термин. Мы рассмотрели концепции квадрата суммы и квадрата разности ((x + y) ² = x² + 2xy + y² и (x-y) ² = x²-2xy + y²).Так что же такое неполный квадрат? Нам нужен неполный квадрат суммы и неполный квадрат разницы. Неполный квадрат суммы равен x² + xy + y² (сумма квадрата первого числа, произведения первого числа на второе и второе), а неполный квадрат разницы равен x²-xy + y². (квадрат первого числа минус произведение первого числа на второе плюс квадрат вторых чисел). Как мы видим, в обоих случаях вместо удвоения первого числа на второе появляется произведение первого числа на второе.

Сумма кубиков

Итак, мы подошли к моменту, который, как я подозреваю, мало кто помнит. Пора проверить свои знания.

x³ + y³ = (x + y) (x²-xy + y²)

Сумма кубиков двух чисел равна произведению этих чисел на неполный квадрат их суммы.

Разница кубиков

А теперь вспомним еще одну формулу, очень похожую на предыдущую.

x³-y³ = (x-y) (x² + xy + y²)

Читать:>.

Суммарный куб

Эту формулу и следующую за ней немного сложно запомнить, но я все же надеюсь, что в нашем классе есть ученики с хорошей памятью, что мы сейчас проверим.

(x + y) ³ = x³ + 3x²y + 3xy² + y³

Куб суммы двух чисел равен сумме квадрата первого числа, троекратному произведению квадрата первого числа и второго, троекратному произведению первого числа и квадрата числа второй и куб второго числа.

Куб разницы

И вот мы подошли к последней формуле, которую изучали в седьмом классе.

(x-y) ³ = x³-3x²y + 3xy²-y³

Куб разницы между двумя числами равен кубу первого числа минус троекратный квадрат первого числа и второго плюс трижды произведение первого числа и квадрата второго минус куб числа. второй номер.

В этом уроке мы познакомимся с формулами для вычисления квадрата суммы и квадрата разности и отобразим их.Докажем формулу квадрата суммы геометрически. Кроме того, с помощью этих формул мы решим множество различных примеров.

Рассмотрим формулу квадрата суммы:

Итак, мы вывели формулу квадрата суммы:

На словах эта формула выражается следующим образом: квадрат суммы равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа.

Эту формулу легко представить геометрически.

Рассмотрим квадрат со стороной:

кв.

С другой стороны, один и тот же квадрат можно представить по-разному, разделив сторону на a и b (рис. 1).

Рис. 1. Площадь

Тогда площадь квадрата можно представить как сумму площадей:

Поскольку квадраты были одинаковыми, их площади равны, что означает:

Итак, мы геометрически доказали формулу квадрата суммы.

Давайте рассмотрим несколько примеров:

Комментарий: пример решен с использованием формулы квадрата суммы.

Выводим формулу квадрата разницы:

Итак, мы вывели формулу квадрата разницы:

На словах эта формула выражается следующим образом: квадрат разницы равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа.

Давайте рассмотрим несколько примеров:

Формулы для вычисления квадрата суммы и квадрата разности могут работать как слева направо, так и справа налево. При использовании слева направо это сокращенные формулы умножения, которые используются при вычислении и преобразовании примеров. И при использовании справа налево формулы факторизации.

Рассмотрим примеры, в которых вам нужно разложить данный многочлен на множители, используя формулу для квадрата суммы и квадрата разницы.Для этого нужно очень внимательно посмотреть на многочлен и точно определить, как его правильно разложить.

Комментарий: для того, чтобы вынести многочлен за скобки, вам необходимо определить, что представлено в этом выражении. Итак, мы видим квадрат и квадрат единицы. Теперь вам нужно найти удвоенную работу - это. Итак, все необходимые элементы есть, вам просто нужно определить, является ли это квадратом суммы или разницей. Перед удвоенным произведением стоит знак «плюс», что означает, что мы стоим перед квадратом суммы.

На предыдущем уроке мы разобрались с факторингом. Мы освоили два метода: выведение общего множителя за скобки и группирование. В этом руководстве следующий эффективный способ: сокращенных формулы умножения ... Короче - FSU.

Сокращенные формулы умножения (квадрат суммы и разности, куб суммы и разности, разность квадратов, сумма и разность кубов) необходимы во всех разделах математики. Они используются для упрощения выражений, решения уравнений, умножения многочленов, сокращения дробей, решения интегралов и т. Д.Короче говоря, есть все основания с ними бороться. Понять, откуда они берутся, зачем они нужны, как их запомнить и как применять.

Понимание?)

Откуда берутся сокращенные формулы умножения?

Равенства 6 и 7 написаны не очень привычным образом. Как бы наоборот. Это сделано специально.) Любое равенство работает как слева направо, так и справа налево. В такой записи яснее, откуда взялось ФСО.

Они происходят от умножения.) Например:

(a + b) 2 = (a + b) (a + b) = a 2 + ab + ba + b 2 = a 2 + 2ab + b 2

Вот и все, никаких научных уловок. Просто умножаем скобки и даем похожие. Получается всех сокращенных формул умножения. Сокращенное умножение связано с тем, что в самих формулах нет умножения скобок и набора похожих. Сокращенно.) Результат выдается сразу.

FSO нужно знать наизусть.Без первых трех нельзя мечтать о тройке, без остальных - о четверке и пятерке.)

Зачем нужны сокращенные формулы умножения?

Есть две причины учиться, даже запоминать эти формулы. Во-первых, готовый ответ на автомате резко снижает количество ошибок. Но это не самая главная причина ... А вот вторая ...

Если вам нравится этот сайт ...

Кстати, у меня для вас есть еще парочка интересных сайтов.)

Вы можете попрактиковаться в решении примеров и узнать свой уровень. Мгновенное проверочное тестирование. Учимся - с интересом!)

вы можете познакомиться с функциями и производными.

Плюс в формуле Кубы. Построение куба. Формулы сокращенного умножения

Формулы сокращенного выражения очень часто применяются на практике, поэтому их все желательно выучить наизусть. До этого момента мы будем служить вере и истине, которые мы рекомендуем распечатать и постоянно держать перед глазами:

Первые четыре формулы из обозначенной таблицы формул сокращенного умножения позволяют возвести в квадрат и куб количество или разность двух выражений.Пятая предназначена для краткого умножения разности и суммы двух выражений. А шестая и седьмая формулы используются для умножения суммы двух выражений A и B на их неполный квадрат разности (так называемое выражение формы A 2 -a · B + B 2) и разности двух выражений A и B на неполном квадрате их суммы (a 2 + A · B + B 2) соответственно.

Стоит отдельно отметить, что каждое равенство в таблице является тождеством. Это объясняет, почему формулы сокращенного умножения также называют тождествами сокращенного умножения.

При решении примеров, особенно в которых разложение многочленов на множители, часто используется FSU в виде переставленных мест с левой и правой частями:


Последние три идентификатора в таблице имеют собственные имена. Формула a 2 -b 2 = (ab) · (a + b) называется формулой разности квадратов , a 3 + b 3 = (a + b) · (a 2 -a · b + b 2) - формула количества кубиков , но a 3 -b 3 = (AB) · (A 2 + A · B + B 2) - кубическая разность по формуле .Обратите внимание, что мы не назвали соответствующие формулы с переставленными частями из предыдущей таблицы.

Дополнительные формулы

Табличная формула для сокращенного умножения не мешает добавить еще несколько тождеств.

Сфера применения сокращенного умножения (FSU) и примеры

Основное назначение формул сокращенного умножения (FSU) объясняется их названием, то есть состоит в кратких выражениях умножения. Однако сфера применения БСС намного шире и не ограничивается кратким умножением.Перечислим основные направления.

Несомненно, центральное применение формулы сокращенного умножения было найдено в выполнении идентичных преобразований выражений. Чаще всего эти формулы используются в процессе упрощения выражения .

Пример.

Упростим выражение 9 · y- (1 + 3 · y) 2.

Решение.

В этом выражении построение квадрата можно выполнить сокращенно, имеем 9 · y- (1 + 3 · y) 2 = 9 · y- (1 2 + 2 · 1 · 3 · y + (3 · у) 2).Осталось только раскрыть скобки и вывести аналогичные элементы: 9 · Y- (1 2 + 2 · 1 · 3 · y + (3 · y) 2) = 9 · Y-1-6 · Y-9 · Y 2. = 3 · Y-1-9 · Y 2.

В предыдущем уроке мы занимались разложением множителей. Освоены два способа: объединение скобок и группировка. В этом уроке - следующий мощный способ: формулы сокращенного умножения . Вкратце - БСС.

Формулы сокращенного умножения (квадрат суммы и разности, куб суммы и разности, разность квадратов, сумма и разность кубов) крайне необходимы во всех разделах математики.Они используются для упрощения выражений, решения уравнений, умножения многочленов, сокращения дробей, решения интегралов и т. Д. И т. Д. Короче говоря, есть все основания иметь дело с ними. Понять, как их принимают, зачем они нужны, как их запомнить и как применять.

Поняли?)

Откуда берутся сокращенные формулы умножения?

Equality 6 и 7 написаны не очень знакомо. Как бы наоборот. Это специально.) Любое равенство работает как слева направо, так и справа налево.В такой записи ясно, откуда взялся БСС.

Они взяты из умножения.) Например:

(A + B) 2 = (A + B) (A + B) = A 2 + AB + BA + B 2 = A 2 + 2AB + B 2

Вот и все, никаких научных уловок. Просто поменяйте скобки и отдайте их. Получается всех формул сокращенного умножения. Сокращенно Умножение происходит потому, что в самих формулах нет умножения скобок и приведения подобного.Уменьшено.) Сразу дан результат.

фсу нужно знать наизусть. Без первых трех нельзя и мечтать о тройке, без остальных - о четвертой с пятеркой.)

Зачем нужны формулы сокращенного умножения?

Есть две причины, узнайте, даже чтобы получить эти формулы. Первое - готовый ответ на автомате резко снижает количество ошибок. Но это не главная причина. А вот второй ...

Если вам нравится этот сайт...

Кстати, у меня для вас есть еще парочка интересных сайтов.)

К нему можно обратиться в примерах решения и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Узнай - с интересом!)

Вы можете ознакомиться с функциями и производными.

Упражнение - это операция, тесно связанная с умножением, эта операция является результатом умножения любого числа на себя. Изобразим формулу: a1 * a2 *.3 = 8.

Вообще на выставке часто используются различные формулы по математике и физике. Эта функция имеет более научное предназначение, чем четыре основных: сложение, вычитание, умножение, деление.

Монтаж

Монтаж номера не сложный. Это связано с умножением, аналогичным умножению и сложению. Запись представляет собой сводку N-го числа чисел «А», умноженных друг на друга.

Рассмотрим упражнения от степени простых примеров, переходя к сложным.3 = 9 * 9 * 9 = 81 * 9 = 729 . Девять на Кубе равняются семи сотням из двадцати девяти.

Формулы

Чтобы грамотно возвести в меру, необходимо помнить и знать формулы, перечисленные ниже. Нет ничего сверх естественного, главное понять суть, и тогда они не только запомнятся, но и покажутся легкими.

Монтаж

Что собой представляет? Это произведение чисел и переменных в любом количестве. Например, два - унрочене.3).

Почему? Поскольку в степени есть минус, то это выражение просто переносится в знаменатель, а затем возводится в его третью степень. В самый раз?

Перекрестная

Рассмотрим вопрос на конкретном примере. 43/2. При чем здесь степень 3/2? 3 - Числитель, означает возведение числа (в данном случае 4) в куб. Число 2 - знаменатель, это извлечение корня второй степени из числа (в данном случае 4).3 = 8. Ответ: 8.

Итак, знаменатель дробной степени может быть как 3, так и 4 и до бесконечности любым числом и это число определяет степень извлечения квадратного корня из указанного числа. Конечно, знаменатель не может быть нулевым.

Быстрый корень

Если корень возводится в степени, равной степени самого корня, то ответом будет выражение кормления. Например, (√h) 2 = x. И так в любом случае равенство степени корня и степени построения корня.2. Для проверки решения переведите выражение в выражение с дробной степенью. Так как корень квадратный, знаменатель равен 2. А если корень возведен в четвертую степень, то в числителе 4. Получаем 4/2 = 2. Ответ: Х = 2.

В любом случае лучше всего Просто передать выражение в выражение с дробной степенью. Если дробь не сжимается, то такой ответ будет и будет при условии, что корень указанного числа не выделен.

Преобразование в степени интегрального числа

Что такое полное число? Комплексное число - выражение, имеющее формулу A + B * I; а, б - фактические числа.-9 = -5 + 12i.

Запишитесь на курс «Ускорьте устный счет, а не мысленную арифметику» Чтобы научиться быстро и правильно складывать, вычитать, умножать, делить, строить числа в квадрат и даже извлекать корни. В течение 30 дней вы научитесь использовать легкие методы для упрощения арифметических операций. В каждом уроке новые приемы, понятные примеры и полезные задания.

Онлайн

С помощью нашего калькулятора можно рассчитать возведение числа по степени:

7 класс

Упражнение начинают сдавать школьники только в седьмом классе.3 = 8.

Примеры решения:

Презентация

Изложение упражнения в объеме, рассчитанном на семиклассников. Презентация может прояснить некоторые непонятные моменты, но, вероятно, благодаря нашей статье таких моментов не будет.

Результат

Мы рассмотрели только верхушку айсберга, чтобы лучше понять математику - запишитесь на наш курс: ускорение устного счета - это не ментальная арифметика.

Из курса вы не только узнаете десятки техник упрощенного и быстрого умножения, сложения, умножения, деления, вычисления процентов, но и отработаете их в специальных задачах и обучающих играх! Устный рассказ также требует много внимания и концентрации, которые активно тренируют при решении интересных задач.

Формулы сокращенного умножения.

Изучение формул сокращенного умножения: квадрат суммы и квадрат разности двух выражений; Квадратные разности двух выражений; Куба суммы и кубическая разница двух выражений; Размеры и разности кубиков двух выражений.

Использование формул сокращенного умножения при решении примеров.

Для упрощения выражений, разложение многочленов на множители, приведение многочленов к стандартным формулам сокращенного умножения. Необходимо знать сокращенные формулы умножения .

Пусть a, b r. Тогда:

1. Квадрат суммы двух выражений равен Квадрат первого выражения плюс произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

(а + б) 2 = а 2 + 2аб + б 2

2. Квадрат разности двух выражений равен Квадрат первого выражения минус удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2

3. Разность квадратов двух выражений равняется произведению этих выражений на их сумму.

а 2 - В 2 = (А-В) (А + В)

4. Количество кубов два выражения равны Кубе первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго плюс куб второго выражение.

(A + B) 3 = A 3 + 3A 2 B + 3AB 2 + B 3

5. Кубическая разница два выражения равны Кубе первого выражения минус утроенная работа квадрата первого выражения на втором плюс утроенная работа первого выражения на квадрате второго минус куб второго выражение.

(A - B) 3 = A 3 - 3A 2 B + 3AB 2 - B 3

6. Количество кубиков двух выражений равно сумме суммы первого и второго выражения на неполном квадрате разности этих выражений.

а 3 + В 3 = (А + В) (А 2 - АВ + В 2)

7. Кубические разности Два выражения равны произведению первого и второго выражения на неполный квадрат суммы этих выражений.

а 3 - В 3 = (А - В) (А 2 + АВ + В 2)

Использование формул сокращенного умножения при решении примеров.

Пример 1.

Рассчитать

а) используя сумму суммы двух выражений, имеем

(40 + 1) 2 = 40 2 + 2 · 40 · 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681

б) Используя формулу квадрата разности двух выражений, получаем

98 2 = (100-2) 2 = 100 2-2 · 100 · 2 + 2 2 = 1000-400 + 4 = 9604

Пример 2.

Рассчитать

Используя формулу размера квадратов двух выражений, получаем

Пример 3.

Упростить выражение

(х - у) 2 + (х + у) 2

Используем квадратные формулы суммы и квадрата разности двух выражений

(x - y) 2 + (x + y) 2 = x 2 - 2h + in 2 + x 2 + 2h + y 2 = 2x 2 + 2y 2

Формулы сокращенного умножения в одной таблице:

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
a 2 - b 2 = (a - b) (a + b )
(A + B) 3 = A 3 + 3A 2 B + 3AB 2 + B 3
(A - B) 3 = A 3 - 3A 2 B + 3AB 2 - B 3
A 3 + B 3 \ u003d (A + B) (A 2 - AB + B 2)
A 3 - B 3 = (A - B) (A 2 + AB + B 2)

Как раскрывается формула.Сокращенные формулы умножения

Как раскрывается формула. Сокращенные формулы умножения - Гипермаркет Знаний

Сокращенные формулы умножения (FSF) необходимы для умножения и увеличения чисел, выражений, включая многочлены. То есть с помощью формул можно работать с числами намного быстрее и проще. Таким образом, вы можете составить обычное уравнение из сложного уравнения, что упростит задачу.

Таблица с формулами сокращенного умножения

Название Формула Как читать
Квадрат суммы Квадрат первого выражения плюс удвоенное произведение первого и второго выражения плюс квадрат второго выражения.
Разница в квадрате Квадрат разницы между двумя выражениями равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.
Суммарный куб Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения плюс троекратное произведение квадрата первого выражения на второе выражение, плюс троекратное произведение первого выражения и второго квадрата плюс второе выражение в кубе.
Куб разницы Куб разности двух величин равен первому выражению в кубе минус троекратное произведение первого выражения в квадрате на второе выражение плюс троекратное произведение первого выражения на второй квадрат за вычетом второе выражение в кубе.
Разность квадратов Разница между квадратами первого и второго выражений равна произведению разницы между двумя выражениями и их суммой.
Сумма кубиков Произведение суммы двух величин на неполный квадрат разницы равно сумме их кубиков.
Разница кубиков Произведение разности двух выражений на неполный квадрат суммы равно разности их кубиков.

Обратите внимание на первые четыре формулы. Благодаря им вы можете возвести в квадрат или куб сумму (разность) двух выражений. Что касается пятой формулы, то ее нужно использовать для краткого умножения разности или суммы двух выражений.

Последние две формулы (6 и 7) используются для умножения сумм обоих выражений на их неполный квадрат разницы или суммы.

Приведенные выше формулы довольно часто нужны на практике. Поэтому их желательно знать наизусть.

Если вы встретите пример факторизации многочлена, то во многих случаях вам нужно переставить левую и правую части.

Например, возьмем ту же первую формулу:

и поместим левую часть вправо, а правую часть - влево:

Эту же процедуру можно проделать с остальными формулами.

Доказательство ФСО

Остановимся на доказательствах сокращенных формул умножения. Это не трудно. Вам просто нужно открыть скобки.Рассмотрим первую формулу - квадрат суммы :.

Шаг первый.

Возведем a + b во вторую степень. Для этого не будем трогать градус, а произведем банальное умножение: = x.

Шаг второй. Теперь достаем скобки: x + x.

Шаг третий ... Раскройте скобки: x + x + x + x.

Шаг четвертый ... Умножаем, не забывая о знаках: x + x +.

Шаг пятый ... Упростим выражение :.

Таким же образом можно доказать абсолютно любую формулу сокращенного умножения.

Примеры и решения с использованием FSO

Обычно эти семь формул используются, когда вам нужно упростить выражение, чтобы решить уравнение или даже общий пример.

Пример 1

Задача

Упростите выражение:

Как видите, первая формула сокращенного умножения - Квадрат суммы - подходит для этого примера.

Решение

Исходя из первой формулы, пример необходимо факторизовать. Для этого смотрим на формулу и подставляем цифры вместо букв. В нашем случае «a» равно 3x, а «b» - 5:

Мы читаем правую часть и записываем результат. Получаем:

В примере нужно перемножить все, что умножается, и мы сразу получаем ответ:

Конечно, есть примеры и с дробями. Но, если вы научитесь решать простые примеры, то других типов вы не будете бояться.

Пример 2

Задача

Упростите выражение

Решение

= - xx + =

Удвоенное произведение этих выражений равно -, что совпадает со вторым членом трехчлена (с знак плюс), что означает

Итак, как видите, в примерах нет ничего сложного. Главное знать формулы, где их можно применять, а где можно без них.

Полезные источники

  1. Арефьева И.Г., Пирютко О. Н. Алгебра: учебное пособие для 7-х классов общеобразовательных учреждений: Минск «Народная Асвета», 2017 - 304 с.
  2. Никольский С.М., Потапов М.К. Алгебра 7 класс: М: 2015 - 287 с.
  3. Рубин А.Г., Чулков П.В. Алгебра. 7-й класс. Москва: 2015 - 224 с.

FSU - формулы сокращенного умножения по алгебре для 7 класса с примерами обновлено: 22 ноября 2019 г. Автор: Scientific Articles.Ru

Сокращенные формулы выражений очень часто используются на практике, поэтому желательно выучить их все наизусть.До этого момента он будет служить нам верой и правдой, который мы рекомендуем распечатать и постоянно держать перед глазами:

Первые четыре формулы из составленной таблицы сокращенных формул умножения позволяют возвести в квадрат и куб сумму или разность двух выражений. Пятый предназначен для краткого умножения разницы на сумму двух выражений. А шестая и седьмая формулы используются для умножения суммы двух выражений a и b на их неполный квадрат разницы (это название выражения вида a 2 −ab + b 2) и разности двух выражений a и b на неполный квадрат их суммы (a 2 + ab + b 2) соответственно.

Следует отдельно отметить, что каждое равенство в таблице является тождеством. Это объясняет, почему сокращенные формулы умножения также называют сокращенными тождествами умножения.

При решении примеров, особенно в которых имеет место факторизация многочлена, FSO часто используется в форме с переставленными левой и правой сторонами:


Последние три личности в таблице имеют собственные имена. Формула a 2 - b 2 = (a - b) (a + b) называется формулой разности квадратов , a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 −ab + b 2) - формула суммы кубиков , но a 3 −b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2) - формула разности кубиков ... Обратите внимание, что мы не назвали FSU для соответствующих формул с переставленными частями из предыдущей таблицы.

Дополнительные формулы

Не помешает добавить еще несколько тождеств в таблицу сокращенных формул умножения.

Сферы применения сокращенных формул умножения (FSU) и примеры

Основное назначение сокращенных формул умножения (fsu) объясняется их названием, то есть состоит в кратком умножении выражений.Однако сфера применения FSU намного шире и не ограничивается кратким умножением. Перечислим основные направления.

Несомненно, центральное применение сокращенной формулы умножения было найдено в выполнении идентичных преобразований выражений. Чаще всего эти формулы используются в процессе упрощения выражения .

Пример.

Упростим выражение 9 y− (1 + 3 y) 2.

Решение.

В этом выражении возведение в квадрат можно выполнить сокращенно, мы имеем 9 y− (1 + 3 y) 2 = 9 y− (1 2 + 2 1 3 y + (3 y) 2)... Осталось только раскрыть скобки и привести аналогичные слагаемые: 9 y− (1 2 + 2 1 3 y + (3 y) 2) = 9 y - 1−6 y - 9 y 2 = 3 y - 1− 9 л 2.

В числителе выражение - это разница между кубиками двух выражений 2 x и z 2, а в знаменателе - разница между квадратами этих выражений. После применения соответствующих формул исходная дробь примет вид ... Теперь вы можете отменить те же множители в числителе и знаменателе :.

Кратко подведем итоги всего решения:

Ответ:

.

Сокращенные формулы умножения иногда позволяют рационально оценивать значения выражений. В качестве примера покажем, как возвести число 79 в квадрат с помощью формулы возведения в квадрат разности: 79 2 = (80−1) 2 = 80 2 −2 80 1 + 1 2 = 6400–160 + 1 = 6 241. Это подход позволяет проводить такие расчеты даже устно.

В заключение скажем еще об одном важном преобразовании - выделение квадрата бинома , в основе которого лежит формула сокращенного умножения на квадрат суммы.Например, 4 x 2 + 4 x - 3 может быть преобразовано в (2 x) 2 + 2 2 x 1 + 1 2 −4, а первые три члена заменяются квадратом формулы суммы. Таким образом, выражение принимает вид (2 x + 1) 2 −4. Такие преобразования широко используются, например, для.

Библиография.

  • Алгебра: уч. за 7 кл. общее образование. учреждения / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; изд. С. А. Теляковский. - 17-е изд. - М .: Просвещение, 2008.- 240 с. : больной. - ISBN 978-5-09-019315-3.
  • А.Г. Мордкович Алгебра. 7-й класс. В 14.00 Часть 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А.Г. Мордкович. - 13 изд., Перераб. - М .: Мнемозина, 2009. - 160 с .: Илл. ISBN 978-5-346-01198-9.
  • Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы): Учебное пособие. руководство по эксплуатации. - М .; Выше. шк., 1984.-351 с., ил.

Также будут задачи для самостоятельного решения, на которые вы сможете увидеть ответы.

Сокращенные формулы умножения позволяют выполнять идентичные преобразования выражений - полиномов. С их помощью можно факторизовать полиномы, а, применяя формулы в обратном порядке, произведения биномов, квадратов и кубов можно представить в виде полиномов. Рассмотрим все общепринятые формулы сокращенного умножения, их вывод, общие задачи для идентичных преобразований выражений с помощью этих формул, а также домашние задания (ответы на них можно найти по ссылкам).

Квадрат суммы

Формула квадрата суммы - равенство

(Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа).

Вместо a и b в эту формулу можно подставить любые числа.

Формула квадрата суммы часто используется для упрощения вычислений. Например,

Используя формулу квадрата суммы, можно факторизовать многочлен, а именно представить его как произведение двух одинаковых множителей.

Пример 1.

.

Пример 2. Записать выражение в виде полинома

Решение. По формуле квадрата суммы получаем

Квадрат разницы

Формула квадрата разности - равенство

(Квадрат разницы между двумя числами равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа).

Формула квадрата разности часто используется для упрощения вычислений. Например,

Используя формулу для квадрата разности, полином можно разложить на множители, а именно представить как произведение двух одинаковых множителей.

Формула следует из правила умножения многочлена на многочлен:

Пример 5. Запишите выражение в виде полинома

Решение. По формуле квадрата разности получаем

.

Самостоятельно примените сокращенную формулу умножения, а затем посмотрите решение

Выбор полного квадрата

Часто полином второй степени содержит квадрат суммы или разности, но он скрыт. Чтобы получить полный квадрат явно, вам нужно преобразовать многочлен. Для этого, как правило, один из членов полинома представляется в виде удвоенного произведения, а затем это же число добавляется и вычитается из полинома.

Пример 7.

Решение. Этот многочлен можно преобразовать следующим образом:

Здесь мы представили 5 x как удвоенное произведение 5/2 на x , добавили к многочлену и вычли из него такое же число, а затем применили формулу для вычисления квадрата суммы двучлена.

Итак, мы доказали равенство

,

равно полному квадрату плюс число.

Пример 8. Рассмотрим полином второй степени

Решение.Сделаем на нем следующие преобразования:

Здесь мы ввели 8 x в виде удвоенного произведения x на 4, добавили к многочлену и вычли из него то же число 4², применили формулу квадрата разницы для двучлена x - 4 .

Итак, мы доказали равенство

,

, показывающий, что многочлен второй степени

равно полному квадрату плюс число −16.

Самостоятельно примените сокращенную формулу умножения, а затем посмотрите решение

Суммарный куб

Формула куба суммы - равенство

(куб суммы двух чисел равен кубу первого числа плюс три раза квадрату первого числа и второго, плюс три раза произведение первого числа и квадрата второго, плюс куб второго числа).

Формула куба суммы отображается следующим образом:

Пример 10. Записать выражение в виде полинома

Решение. По формуле куба суммы получаем

Самостоятельно примените сокращенную формулу умножения, а затем посмотрите решение

Куб разницы

Формула куба разности - равенство

(куб разности двух чисел равен кубу первого числа минус тройное произведение квадрата первого числа на второе, плюс утроенное произведение первого числа на квадрат второго минус куб второго числа).

Используя формулу куба, суммы многочлена могут быть факторизованы, а именно представлены как произведение трех одинаковых множителей.

Формула для куба разности отображается следующим образом:

Пример 12. Запишите выражение в виде полинома

Решение. По формуле для куба разности получаем

Самостоятельно примените сокращенную формулу умножения, а затем посмотрите решение

Разница квадратов

Формула разности квадратов - равенство

(разность квадратов двух чисел равна произведению суммы этих чисел на их разность).

Используя формулу куба, можно факторизовать суммы любого многочлена вида.

Доказательство формулы получено с использованием правила умножения многочленов:

Пример 14. Запишите произведение в виде многочлена

.

Решение. По формуле разности квадратов получаем

Пример 15. Фактор

Решение. Это выражение в явном виде ни под какую тождественность не укладывается.Но число 16 можно представить как степень с основанием 4: 16 = 4². Тогда исходное выражение примет другую форму:

,

и это уже формула разности квадратов, и, применив эту формулу, получаем

При вычислении алгебраических многочленов для упрощения вычислений используйте сокращенных формул умножения ... Всего таких формул семь. Вы должны знать их все наизусть.

Также следует помнить, что вместо «a» и «b» формулы могут содержать как числа, так и любые другие алгебраические многочлены.

Разница квадратов

Помните!

Разность квадратов двух чисел равна произведению разницы между этими числами и их суммы.

а 2 - б 2 = (а - б) (а + б)
  • 15 2 - 2 2 = (15 - 2) (15 + 2) = 13 17 = 221
  • 9a 2 - 4b 2 c 2 = (3a - 2bc) (3a + 2bc)

Квадрат суммы

Помните!

Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа.


(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

Обратите внимание, что с помощью этой сокращенной формулы умножения легко найти квадраты больших чисел без использования калькулятора или длинного умножения. Поясним на примере:

Найдите 112 2.

  • Разложим 112 на сумму чисел, квадраты которых мы хорошо помним.
    112 = 100 + 1
  • Давайте запишем сумму чисел в скобки и поставим квадрат над скобками.
    112 2 = (100 + 12) 2
  • Воспользуемся формулой квадрата суммы:
    112 2 = (100 + 12) 2 = 100 2 + 2100 12 + 12 2 = 10 000 + 2 400 + 144 = 12 544

Помните, что формула возведения в квадрат суммы также верна для любого алгебраического многочлена.

  • (8a + c) 2 = 64a 2 + 16ac + c 2

Внимание!

(a + b) 2 не равно (a 2 + b 2)

Квадрат разницы

Помните!

Квадрат разницы между двумя числами равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа.


(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2

Также стоит запомнить очень полезное преобразование:

(a - b) 2 = (b - a) 2

Формула выше доказывается простым раскрытием скобок:

(a - b) 2 = a 2 −2ab + b 2 = b 2 - 2ab + a 2 = (b - a) 2

Суммарный куб

Помните!

Куб суммы двух чисел равен кубу первого числа плюс три квадрата первого числа и второго плюс три квадрата второго плюс куб второго.


(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Как запомнить куб суммы

Запомнить эту «пугающую» формулу довольно просто.

  • Научитесь начинать с «тройки».
  • Два полинома в середине имеют коэффициенты 3.
  • Напомним, что любое число до нуля равно 1. (a 0 = 1, b 0 = 1). Легко видеть, что в формуле происходит уменьшение степени «а» и увеличение степени «б». Вы можете убедиться в этом:
    (a + b) 3 = a 3 b 0 + 3a 2 b 1 + 3a 1 b 2 + b 3 a 0 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Внимание!

(a + b) 3 не равно a 3 + b 3

Куб разницы

Помните!

Куб разности двух чисел равен кубу первого числа минус троекратный квадрат первого числа и второй плюс три умножения произведения первого числа и квадрата второго минус куб второй.


(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

Эта формула запоминается так же, как и предыдущая, но только с учетом чередования знаков «+» и «-». Первому члену «а 3» предшествует «+» (мы не пишем его по правилам математики). Это означает, что следующему члену будет предшествовать «-», затем снова «+» и так далее.

(a - b) 3 = + a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

Сумма кубиков

Не путать с кубом суммы!

Помните!

Сумма кубиков равна произведению суммы двух чисел на неполный квадрат разности.

a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)

Сумма кубиков - произведение двух скобок.

  • Первая скобка - это сумма двух чисел.
  • Вторая скобка - неполный квадрат разности чисел. Выражение называется неполным квадратом разности:
    (a 2 - ab + b 2)
    Этот квадрат неполный, так как в середине вместо удвоенного произведения стоит обычное произведение чисел.

Разница кубиков

Не путать с кубом разницы!

Помните!

Разность кубиков равна произведению разности двух чисел на неполный квадрат суммы.

a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)

Будьте осторожны при написании символов.

Применение сокращенных формул умножения

Следует помнить, что все приведенные выше формулы также используются справа налево.

Многие примеры в учебных пособиях предназначены для того, чтобы помочь вам снова собрать многочлены с помощью формул.

  • а 2 + 2а + 1 = (а + 1) 2
  • (ac - 4b) (ac + 4b) = a 2 c 2 - 16b 2

Таблицу со всеми формулами сокращенного умножения вы можете скачать в разделе «

При вычислении алгебраических многочленов для упрощения вычислений используйте сокращенные формулы умножения ... Всего таких формул семь. Вы должны знать их все наизусть.

Также следует помнить, что вместо a и b формулы могут содержать как числа, так и любые другие алгебраические многочлены.

Разность квадратов

Разница между квадратами двух чисел равна произведению разницы между этими числами и их суммы.

а 2 - б 2 = (а - б) (а + б)

Квадрат суммы

Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа.

(а + б) 2 = а 2 + 2ab + б 2

Обратите внимание, что с помощью этой сокращенной формулы умножения легко найти квадраты больших чисел без использования калькулятора или длинного умножения. Поясним на примере:

Найдите 112 2.

Разложим 112 на сумму чисел, квадраты которых мы хорошо помним.
112 = 100 + 1

Напишем сумму чисел в скобках, а над скобками поставим квадрат.
112 2 = (100 + 12) 2

Воспользуемся формулой квадрата суммы:
112 2 = (100 + 12) 2 = 100 2 + 2 x 100 x 12 + 12 2 = 10,000 + 2 400 + 144 = 12 544

Помните, что формула квадрата суммы также верна для любого алгебраического полинома.

(8a + c) 2 = 64a 2 + 16ac + c 2

Внимание !!!

(a + b) 2 не равно a 2 + b 2

Разница в квадрате

Квадрат разницы между двумя числами равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа.

(а - б) 2 = а 2 - 2ab + б 2

Также стоит вспомнить очень полезную трансформацию:

(a - b) 2 = (b - a) 2
Формула выше доказывается простым раскрытием скобок:

(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2 = b 2 - 2ab + a 2 = (b - a) 2

Суммарный куб

Куб суммы двух чисел равен кубу первого числа плюс три квадрата первого числа и второго плюс три квадрата второго плюс куб второго.

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Запомнить эту «пугающую» формулу довольно просто.

Научитесь начинать с 3.

Два полинома в центре имеют коэффициенты 3.

IN Напомним, что любое число в нулевой степени равно 1. (a 0 = 1, b 0 = 1). Легко видеть, что степень a в формуле уменьшается, а степень b увеличивается. Вы можете убедиться в этом:
(a + b) 3 = a 3 b 0 + 3a 2 b 1 + 3a 1 b 2 + b 3 a 0 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Внимание !!!

(a + b) 3 не равно a 3 + b 3

Куб разницы

Куб разницы между двумя числами равен кубу первого числа минус три раза квадрат первого числа и второго плюс три раза произведение первого числа и квадрата второго минус куб второй.

(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

Эта формула запоминается так же, как и предыдущая, но только с учетом чередования знаков «+» и «-». Первому члену a 3 предшествует «+» (мы не пишем его по правилам математики). Это означает, что следующему члену будет предшествовать «-», затем снова «+» и так далее.

(а - б) 3 = + а 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

Сумма кубиков ( Не путать с кубом суммы!)

Сумма кубиков равна произведению суммы двух чисел на неполный квадрат разницы.

a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)

Сумма кубиков - произведение двух скобок.

Первая скобка представляет собой сумму двух чисел.

Вторая скобка представляет собой неполный квадрат разности чисел. Выражение называется неполным квадратом разности:

A 2 - ab + b 2
Этот квадрат неполный, так как в середине вместо удвоенного произведения стоит обычное произведение чисел.

Кубов Различий (Не путать с Кубами Различий !!!)

Разница между кубиками равна произведению разности двух чисел на неполный квадрат суммы.

a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)

Будьте осторожны при написании символов. Следует помнить, что все приведенные выше формулы также используются справа налево.

Трудно запомнить сокращенные формулы умножения? Причине легко помочь. Вам просто нужно вспомнить, как изображена такая простая вещь, как треугольник Паскаля. Тогда вы всегда и везде будете помнить эти формулы, а точнее не вспоминать, а восстанавливать.

Что такое треугольник Паскаля? Этот треугольник состоит из коэффициентов, которые входят в разложение любой степени двучлена формы в многочлен.

Развернем, например:

В этой записи легко запомнить, что в начале стоит куб первого числа, а в конце - куб второго числа. Но что посередине, вспомнить сложно. И даже то, что в каждом следующем члене степень одного фактора все время уменьшается, а второго увеличивается - это легко заметить и запомнить, сложнее обстоит дело с запоминанием коэффициентов и знаков (плюс или минус?).

Итак, сначала шансы. Не запоминайте их! На полях тетради быстро нарисуйте треугольник Паскаля, и вот они - коэффициенты уже перед нами. Начинаем рисовать с трех единиц, одна сверху, две снизу, справа и слева - ага, уже треугольник получается:

Первая строка с единицей равна нулю. Затем идет первое, второе, третье и так далее. Чтобы получить вторую строку, вам нужно снова добавить единицы по краям, а в центре написать число, полученное сложением двух чисел над ним:

Записываем третью строку: снова по краям блока, и снова, чтобы в новой строке получилось следующее число, складываем числа над ним в предыдущей:


Как вы уже догадались, в каждой строке мы получаем коэффициенты разложения бинома в полином:


Что ж, знаки запомнить еще проще: первый такой же, как в расширяемом биноме (сумма раскрывается - значит плюс, разность означает минус), а потом знаки чередуются!

Вот такая вот полезная штука - треугольник Паскаля.Используй это!

Комплексные числа: умножение

Комплексные числа: умножение

Умножение производится алгебраически.

Сложное умножение сложнее понять с алгебраической или геометрической точки зрения. Давайте сначала сделаем это алгебраически, а для умножения возьмем определенные комплексные числа, например 3 + 2 i и 1 + 4 i. В каждом есть два члена, поэтому, когда мы их умножим, мы получим четыре члена: (3 + 2 i ) (1 + 4 i ) = 3 + 12 i + 2 i + 8 i 2 .

Теперь 12 i + 2 i упрощается до 14 i, разумеется, . А как насчет 8 i 2 ? Помните, что мы ввели i как сокращение для √ – 1, квадратного корня из –1. Другими словами, i - это что-то, квадрат которого равен –1. Таким образом, 8 i 2 равно –8. Следовательно, произведение (3 + 2 i ) (1 + 4 i ) равно –5 + 14 i.

Если вы обобщите этот пример, вы получите общее правило умножения

Помните, что ( xu - yv ), действительная часть продукта, является произведением реальных частей минус произведение мнимых частей, но ( xv + yu ) мнимая часть произведение, представляет собой сумму двух произведений одной действительной части и другой мнимой части.

Давайте посмотрим на некоторые частные случаи умножения.

Умножение комплексного числа на действительное

В приведенной выше формуле умножения, если v равно нулю, вы получите формулу для умножения комплексного числа x + yi и действительного числа u вместе: ( x + yi ) u = xu + yu i .

Другими словами, вы просто умножаете обе части комплексного числа на действительное число.Например, 2 умножить на 3 + i будет просто 6 + 2 i. Геометрически, когда вы удваиваете комплексное число, просто удваиваете расстояние от начала координат, 0. Точно так же, когда вы умножаете комплексное число z на 1/2, результат будет на полпути между 0 и z. Вы можете думать об умножении на 2 как о преобразовании, которое растягивает комплексную плоскость C с коэффициентом 2 от 0; и умножение на 1/2 как преобразование, которое сжимает C в сторону 0.

Умножение и абсолютное значение.

Несмотря на то, что мы сделали только один случай для умножения, достаточно предположить, что абсолютное значение zw (то есть расстояние от 0 до zw ) может быть абсолютным значением z , умноженным на абсолютное значение . ш. Это было тогда, когда w было действительным числом u чуть выше. На самом деле это так в целом:

Проверка этого тождества - это упражнение по алгебре.Чтобы доказать это, мы докажем, что это верно для квадратов, поэтому нам не придется иметь дело с квадратными корнями. Мы покажем | zw | 2 = | z | 2 | w | 2 . Пусть z будет x + yi, и пусть w будет u + vi. Тогда, согласно формуле умножения, zw равно ( xu - yv ) + ( xv + yu ) i. Вспомните из раздела об абсолютных величинах, что

| z | 2 = x 2 + y 2

Аналогично имеем

| w | 2 = и 2 + v 2

и, поскольку zw = ( xu - yv ) + ( xv + yu ) i,

| wz | 2 = ( xu - yv ) 2 + ( xv + yu ) 2

Итак, чтобы показать | zw | 2 = | z | 2 | w | 2 , все, что вам нужно сделать, это показать, что

( xu - yv ) 2 + ( xv + yu ) 2 = ( x 2 + y 2 ) ( u 2 92974 v 2 )

и это простое упражнение по алгебре.

Полномочия

i. В следующем частном случае умножения рассмотрим различные степени мнимой единицы i. Мы начали с предположения, что i 2 = –1. А как насчет i 3 ? Это всего лишь i 2 умножить на i , то есть -1 умножить на i. Следовательно, i 3 = - i. Это интересно: куб i - это собственное отрицание.Затем рассмотрим i 4 . Это квадрат i 2 , то есть квадрат –1. Таким образом, i 4 = 1. Другими словами, i - это корень четвертой степени из 1. Вы можете показать, что - i - это еще один корень четвертой степени из 1. И поскольку и –1, и 1 являются квадратными корнями из 1, теперь мы знаем все четыре корня четвертой степени из 1, а именно, 1, i, –1 и - i. Это наблюдение связано с фундаментальной теоремой алгебры, поскольку уравнение z 4 = 1 является уравнением четвертой степени, поэтому должно иметь ровно четыре корня.

Более высокие степени i легко найти теперь, когда мы знаем i 4 = 1. Например, i 5 равно i умножить на i 4 , и это всего лишь i. . Вы можете уменьшить степень i на 4 и не изменять результат. Другой пример: i 11 = i 7 = i 3 = - i.

Как насчет отрицательной степени i ? Что является обратным для i, то есть i –1 ? По той же причине, что вы можете вычесть 4 из степени i и не изменить результат, вы также можете прибавить 4 к степени i. Это означает i –1 = i 3 = - i. Таким образом, i обратное - i. Представьте себе - число, обратное значение которого - собственное отрицание! Конечно, легко проверить, что i раз - i равно 1, поэтому, конечно, i и - i являются обратными величинами.

Корни единства.

Различные корни из 1 называются корнями из единицы. В общем, по Фундаментальной теореме алгебры количество корней n -й степени из единицы равно n, , поскольку существует n корней уравнения n -й степени z u - 1 = 0.Квадратные корни из единицы равны 1 и –1. Корни четвертой степени равны ± 1, ± i, , как отмечалось ранее в разделе, посвященном абсолютным значениям. Кроме того, в этом разделе упоминалось, что ± √2 / 2 ± i √2 / 2 были квадратными корнями из i и - i, и теперь с формулой умножения, которую легко проверить. Следовательно, восемь корней восьми из единицы равны ± 1, ± i, и ± √2 / 2 ± i √2 / 2. Обратите внимание на то, как эти восемь корней единицы равномерно распределены по единичной окружности.

Мы можем использовать геометрию, чтобы найти некоторые другие корни из единицы, в частности кубические корни и корни шестой степени из единицы. Но давайте их немного подождем.

Умножение комплексного числа на

i. В нашей цели по поиску геометрической интерпретации комплексного умножения, давайте теперь рассмотрим умножение произвольного комплексного числа z = x + yi на i. z i = ( x + yi ) i = - y + xi .

Давайте интерпретируем это утверждение геометрически. Точка z в C расположена на x единиц справа от мнимой оси и на y единиц выше действительной оси. Точка z i расположена на y единиц слева и x единиц выше. Произошло то, что умножение на i повернулось в точку z на 90 ° против часовой стрелки вокруг начала координат до точки z i. Короче говоря, умножение на i дает поворот на 90 ° против часовой стрелки на 0.

Вы можете проанализировать, что происходит при умножении на - i таким же образом. Вы обнаружите, что умножение на - i дает поворот на 90 ° по часовой стрелке примерно на 0. Когда мы не указываем против часовой стрелки или по часовой стрелке при обращении к поворотам или углам, мы будем следовать стандартному соглашению, которое подразумевается против часовой стрелки. Тогда мы можем сказать, что умножение на - i дает поворот на –90 ° вокруг 0 ​​или, если хотите, поворот на 270 ° вокруг 0.

Геометрическая интерпретация умножения.

Чтобы полностью оправдать то, что мы собираемся увидеть, необходима тригонометрия, и это делается в необязательном разделе. А пока посмотрим на результаты без обоснования. Мы видели два особых случая умножения: один на действительные числа, что приводит к масштабированию, другой на и , что приводит к вращению. Общий случай - это комбинация масштабирования и вращения.

Пусть z и w - точки на комплексной плоскости C .Проведите линии от 0 до z и от 0 до w . Длины этих строк - абсолютные значения | z | и | w | соответственно. Мы уже знаем, что длина строки от 0 до zw будет абсолютным значением | zw | что равно | z | | w |. (На диаграмме | z | составляет около 1,6, а | w | составляет около 2,1, поэтому | zw | должно быть около 3,4. Обратите внимание, что единичный круг заштрихован.) Чего мы не знаем, так это направления линии от 0 до zw.

Ответ: «углы складываются». Мы определим направление линии от 0 до z по определенному углу, называемому аргументом из z , иногда обозначаемым arg ( z ). Это угол, вершина которого равна 0, первая сторона - положительная действительная ось, а вторая сторона - прямая от 0 до z. Другая точка w имеет угол arg ( w ).Тогда произведение zw будет иметь угол, который является суммой углов arg ( z ) + arg ( w ). (На диаграмме arg ( z ) составляет около 20 °, а arg ( w ) составляет около 45 °, поэтому arg ( zw ) должно быть около 65 °.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *