Формулы тождество сокращенного умножения: Тождества (законы сложения и умножения, формулы сокращённого умножения) — задание. Алгебра, 7 класс.

Формулы сокращенного умножения — Образовательный сайт Казахстана

Формулы сокращенного умножения

Главная

»

Математика

»

Алгебра

» Формулы сокращенного умножения

СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ

1.
Если эту формулу записать справа налево, то получим , т. е. разность квадратов двух выражений равна произведению разности этих выражений и их суммы.

Например,

2. Тождество (2) называют формулой квадрата суммы. Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого и второго выражений плюс квадрат второго выражения.

Например,

3. Тождество (3) называют формулой квадрата разности. Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого и второго выражений плюс квадрат второго выражения.

Например,

4. Если эту формулу записать справа налево, то, получим сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений и неполного квадрата их разности.

Примечание. Выражение напоминает нам трехчлен , который равен квадрату разности х и у. Однако в данном выражении вместо удвоенного произведения х и у стоит просто их произведение. Именно поэтому выражение называют неполным квадратом разности.

Например,

5. Если эту формулу записать справа налево, то получим , т. е. разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений и неполного квадрата их суммы.

Например,

Выражение вида называют неполным квадратом суммы.

Приведем еще четыре формулы:

6. Тождество (6) называют кубом суммы.

7. Тождество (7) называют кубом разности.

8.

9. Тождества (8) и (9) называют квадратом трехчлена.

УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ

1. Разложить на множители:

Решение.
1) Выражение в явной форме ни одно из семи тождеств не представляет, но число 16 можно представить в виде степени с основанием 4, т. е. . Тогда выражение примет иной вид:

а это уже формула разности квадратов, и, применив эту формулу, получим:

2) Объединим в одну группу последние три члена, вынеся — 1 за скобки. Получим

так как можно разложить по формуле разности квадратов.

3) Это выражение в явной форме ни под одно тождество не подходит. Анализируя пример, видим, что в каждом слагаемом можно вынести общий множитель 6 за скобки. Получим:

Выражение в скобках представляет собой разложенный квадрат суммы двух выражений:

Теперь наше выражение примет вид:

4) Представим данный многочлен в виде разности кубов двух выражений и, применив формулу, получим:

Этот пример можно решить и вторым способом. Для этого представим данный многочлен в виде разности квадратов двух выражений, получим:

Теперь мы получили выражение, состоящее из двух сомножителей: разности кубов двух выражений и суммы кубов двух выражений. Первый из них разлагается на множители по формуле (5), а второй — по формуле (4):

5) Данный многочлен легко можно представить в виде суммы кубов двух выражений таким образом:

Применив формулу суммы кубов, получим:

2. Сравнить числа:

Решение.

Следовательно,

3. Найти значение выражения где .

Решение:

4. Доказать, что при любом натуральном k значение выражения делится на 12.

Решение. Воспользовавшись формулой , упростим данное выражение:

Полученное выражение 12k делится на 12 без остатка.

5. Доказать, что значение выражения не зависит от переменной х.

Решение. Выполним указанные действия:

После преобразования данного выражения получили число 144, а это и означает, что выражение не зависит от переменной х.

Поиск на сайте

Вход на сайт

Какое тождество называют формулой разности кубов.

2\right)\]

Формулы или правила сокращенного умножения используются в арифметике, а точнее — в алгебре, для более быстрого процесса вычисления больших алгебраических выражений. Сами же формулы получены из существующих в алгебре правил для умножения нескольких многочленов.

Использование данных формул обеспечивает достаточно оперативное решение различных математических задач, а также помогает осуществлять упрощение выражений. Правила алгебраических преобразований позволяют выполнять некоторые манипуляции с выражениями, следуя которым можно получить в левой части равенства выражение, стоящее в правой части, или преобразовать правую часть равенства (чтобы получить выражение, стоящее в левой части после знака равенства).

Удобно знать формулы, применяемые для сокращенного умножения, на память, так как они нередко используются при решении задач и уравнений. Ниже перечислены основные формулы, входящие в данный список, и их наименование.

Квадрат суммы

Чтобы вычислить квадрат суммы, необходимо найти сумму, состоящую из квадрата первого слагаемого, удвоенного произведения первого слагаемого на второе и квадрата второго. В виде выражения данное правило записывается следующим образом: (а + с)² = a² + 2ас + с².

Квадрат разности

Чтобы вычислить квадрат разности, необходимо вычислить сумму, состоящую из квадрата первого числа, удвоенного произведения первого числа на второе (взятое с противоположным знаком) и квадрата второго числа. В виде выражения данное правило выглядит следующим образом: (а — с)² = а² — 2ас + с².

Разность квадратов

Формула разности двух чисел, возведенных в квадрат, равна произведению суммы этих чисел на их разность. В виде выражения данное правило выглядит следующим образом: a² — с² = (a + с)·(a — с).

Куб суммы

Чтобы вычислить куб суммы двух слагаемых, необходимо вычислить сумму, состоящую из куба первого слагаемого, утроенного произведения квадрата первого слагаемого и второго, утроенного произведения первого слагаемого и второго в квадрате, а также куба второго слагаемого. В виде выражения данное правило выглядит следующим образом: (а + с)³ = а³ + 3а²с + 3ас² + с³.

Сумма кубов

Согласно формуле, приравнивается к произведению суммы данных слагаемых на их неполный квадрат разности. В виде выражения данное правило выглядит следующим образом: а³ + с³ = (а + с)·(а² — ас + с²).

Пример. Необходимо вычислить объем фигуры, которая образована сложением двух кубов. Известны лишь величины их сторон.

Если значения сторон небольшие, то выполнить вычисления просто.

Если же длины сторон выражаются в громоздких числах, то в этом случае проще применить формулу «Сумма кубов», которая значительно упростит вычисления.

Куб разности

Выражение для кубической разности звучит так: как сумма третьей степени первого члена, утроенного отрицательного произведения квадрата первого члена на второй, утроенного произведения первого члена на квадрат второго и отрицательного куба второго члена. В виде математического выражения куб разности выглядит следующим образом: (а — с)³ = а³ — 3а²с + 3ас² — с³.

Разность кубов

Формула разности кубов отличается от суммы кубов лишь одним знаком. Таким образом, разность кубов — формула, равная произведению разности данных чисел на их неполный квадрат суммы. В виде разность кубов выглядит следующим образом: а 3 — с 3 = (а — с)(а 2 + ас + с 2).

Пример.

Необходимо вычислить объем фигуры, которая останется после вычитания из объема синего куба объемной фигуры желтого цвета, которая также является кубом. Известна лишь величина стороны маленького и большого куба.

Если значения сторон небольшие, то вычисления довольно просты. А если длины сторон выражаются в значительных числах, то стоит применить формулу, озаглавленную «Разность кубов» (или «Куб разности»), которае значительно упростит вычисления.

В предыдущих уроках мы рассмотрели два способа разложения многочлена на множители: вынесение общего множителя за скобки и способ группировки .

В этом уроке мы рассмотрим еще один способ разложения многочлена на множители с применением формул сокращённого умножения .

Рекомендуем каждую формулу прописать не менее 12 раз. Для лучшего запоминания выпишите все формулы сокращённого умножения себе на небольшую шпаргалку .

Вспомним, как выглядит формула разности кубов.

a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2)

Формула разности кубов не очень проста для запоминания, поэтому рекомендуем использовать специальный способ для её запоминания.

Важно понимать, что любая формула сокращённого умножения действует и в обратную сторону .

(a − b)(a 2 + ab + b 2) = a 3 − b 3

Рассмотрим пример. Необходимо разложить на множители разность кубов.

Обратим внимание, что «27а 3 » — это «(3а) 3 », значит, для формулы разности кубов вместо «a » мы используем «3a ».

Используем формулу разности кубов. На месте «a 3 » у нас стоит «27a 3 », а на месте «b 3 », как и в формуле, стоит «b 3 ».

Применение разности кубов в обратную сторону

Рассмотрим другой пример. Требуется преобразовать произведение многочленов в разность кубов, используя формулу сокращенного умножения.

Обратите внимание, что произведение многочленов «(x − 1)(x 2 + x + 1) » напоминает правую часть формулы разности кубов «», только вместо «a » стоит «x », а на месте «b » стоит «1 ».

Используем для «(x − 1)(x 2 + x + 1) » формулу разности кубов в обратную сторону.

Рассмотрим пример сложнее. Требуется упростить произведение многочленов.

Если сравнить «(y 2 − 1)(y 4 + y 2 + 1) » с правой частью формулы разности кубов
«a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2) », то можно понять, что на месте «a » из первой скобки стоит «y 2 , а на месте «b » стоит «1 ».

Формулы сокращенного умножения.

Изучение формул сокращенного умножения: квадрата суммы и квадрата разности двух выражений; разности квадратов двух выражений; куба суммы и куба разности двух выражений; суммы и разности кубов двух выражений.

Применение формул сокращенного умножения при решении примеров.

Для упрощения выражений, разложения многочленов на множители, приведения многочленов к стандартному виду используются формулы сокращенного умножения.

Формулы сокращенного умножения нужно знать наизусть .

Пусть а, b R. Тогда:

1. Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

2. Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

(a — b) 2 = a 2 — 2ab + b 2

3. Разность квадратов двух выражений равна произведению разности этих выражений и их суммы.

a 2 — b 2 = (a -b) (a+b)

4. Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго плюс куб второго выражения.

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

5. Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго минус куб второго выражения.

(a — b) 3 = a 3 — 3a 2 b + 3ab 2 — b 3

6. Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы первого и второго выражения на неполный квадрат разности этих выражений.

a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 — ab + b 2)

7. Разность кубов двух выражений равна произведению разности первого и второго выражения на неполный квадрат суммы этих выражений.

a 3 — b 3 = (a — b) (a 2 + ab + b 2)

Применение формул сокращенного умножения при решении примеров.

Пример 1.

Вычислить

а) Используя формулу квадрата суммы двух выражений, имеем

(40+1) 2 = 40 2 + 2 · 40 · 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681

б) Используя формулу квадрата разности двух выражений, получим

98 2 = (100 – 2) 2 = 100 2 — 2 · 100 · 2 + 2 2 = 10000 – 400 + 4 = 9604

Пример 2.

Вычислить

Используя формулу разности квадратов двух выражений, получим

Пример 3.

Упростить выражение

(х — у) 2 + (х + у) 2

Воспользуемся формулами квадрата суммы и квадрата разности двух выражений

(х — у) 2 + (х + у) 2 = х 2 — 2ху + у 2 + х 2 + 2ху + у 2 = 2х 2 + 2у 2

Формулы сокращенного умножения в одной таблице:

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a — b) 2 = a 2 — 2ab + b 2
a 2 — b 2 = (a — b) (a+b)
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a — b) 3 = a 3 — 3a 2 b + 3ab 2 — b 3
a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 — ab + b 2)
a 3 — b 3 = (a — b) (a 2 + ab + b 2)

Свойство идентичности умножения — определение, примеры, формула

Свойство идентичности умножения также известно как мультипликативное свойство идентичности, которое утверждает, что умножение 1 на любое число приводит к самому числу. Это связано с тем, что при умножении 1 на любое число оно не меняет число, оно сохраняет свою идентичность. Таким образом, мы можем сказать, что 1 является мультипликативным тождеством. Проще говоря, мы можем сказать, что свойство идентичности умножения гласит, что число, которое при умножении на 1 дает исходное число в качестве произведения.

В этой статье мы обсудим понятие свойства идентичности умножения и его формулу. Мы обсудим применение свойства мультипликативной идентичности для целых и рациональных чисел с помощью решенных примеров для лучшего понимания концепции.

1.	Что такое свойство мультипликативной идентичности?
2.	Идентификационное свойство умножения Определение
3.	Формула свойства мультипликативной идентичности
4.	Свойство мультипликативной идентичности для целых чисел
5.	Свойство мультипликативной идентичности рациональных чисел
6.	Часто задаваемые вопросы о свойстве мультипликативной идентичности

Что такое тождественное свойство умножения?

Свойство мультипликативной идентичности применяется к числам в операции умножения. Свойство гласит, что при умножении числа на число 1 (один) произведение будет самим числом. Это свойство применяется, когда числа умножаются на 1. Здесь 1 известен как элемент мультипликативной идентичности, потому что, когда мы умножаем любое число на 1, полученный результат будет тем же самым числом. Это тождественное свойство умножения можно применять к действительным числам, комплексным числам, целым числам, рациональным числам и так далее. Свойство мультипликативной идентичности выражается как a × 1 = a, , где «a» — любое действительное число.

Пример:

44 × 1 = 44, где 44 — число, к которому мы применили мультипликативное тождество.

Примечание: Мультипликативная идентичность не применяется, когда любое число умножается на -1, потому что результатом будет другое число.

Например, 23 × -1 = -23

Идентификационное свойство определения умножения

Свойство идентичности умножения определяется как свойство умножения, которое утверждает, что произведение числа и 1 всегда равно заданному числу. Математически это можно записать как a × 1 = a, где «a» может быть любым числом.

Формула свойства мультипликативной идентичности

Формула мультипликативной идентичности выражается как a × 1 = a, где «a» — любое действительное число. Это показывает, что при умножении любого числа на 1 произведение равно самому числу. Например, если мы умножим 65 на 1, мы получим 65 как произведение. 65 × 1 = 65.

Идентификационное свойство умножения целых чисел

Мультипликативное тождество для целых чисел равно 1. Мы знаем, что свойство тождественности умножения гласит, что всякий раз, когда мы умножаем любое число на 1, произведение равно тому же числу. Это же правило применимо и к целым числам. Свойство мультипликативной идентичности для целых чисел заключается в том, что всякий раз, когда мы умножаем целое число на число 1, произведение равно тому же целому числу. Например, когда целое число p = -8, тогда -8 × 1 = -8. Следовательно, мультипликативное тождество для целых чисел равно 1,9.0005

Свойство мультипликативной идентичности рациональных чисел

Мультипликативное тождество рациональных чисел равно 1. Как обсуждалось в предыдущем разделе, если любое число умножить на 1, произведение будет самим числом. Точно так же для любого ненулевого рационального числа p/q, если мы умножим его на 1, результат будет таким же, то есть p/q.

Например, -4/5 × 1 = -4/5

Важные примечания о тождественном свойстве умножения

• Свойство идентичности умножения утверждает, что умножение 1 на любое число приводит к самому числу.
• Это свойство применимо ко всем действительным числам, включая натуральные числа, целые числа, рациональные числа и даже комплексные числа.

Статьи по теме

• Аддитивное тождество против мультипликативного тождества
• Умножение
• Ассоциативное свойство умножения

 

Свойство идентичности примеров умножения

1. Пример 1: Используя свойство тождества умножения, найдите значение S, если S × 1 = 56

   Решение: В соответствии с мультипликативным свойством тождества, когда мы умножаем любое число на 1, результатом будет то же самое число .

   Таким образом, S = 56

   56 × 1 = 56

2. Пример 2: Определите уравнение, которое показывает свойство мультипликативной идентичности.

   а) -79 × 1 = -79

   б) -59 × -1 = 59

   Решение: Согласно свойству тождества умножения, когда мы умножаем любое число на 1, результатом является само число.

   а) -79 × 1 = -79, это уравнение удовлетворяет тождеству, поскольку произведение равно тому же числу, что и -79, а мультипликативный элемент идентичности в этом случае равен 1.

   б) -59 × -1 = 59, это уравнение не удовлетворяет свойству мультипликативной идентичности, так как произведение не является одним и тем же числом -59. Результат равен 59, а элемент мультипликативной идентичности здесь не равен 1.

3. Пример 3: Выберите уравнение, удовлетворяющее свойству идентичности умножения.

   а) 1/9 × 1 = 1/9

   б) 2/3 × 0 = 0

   Решение: Согласно свойству мультипликативной идентичности, когда мы умножаем любое рациональное число на 1, результат будет таким же Рациональное число.

   а) 1/9 × 1 = 1/9, это уравнение удовлетворяет этому свойству, потому что результатом является то же число, что и 1/9и мультипликативный элемент идентичности в этом случае равен 1.

   б) 2/3 × 0 = 0, это уравнение не удовлетворяет свойству, так как в результате получается не одно и то же число 2/3. Результат равен 0, и в этом случае мультипликативный элемент идентичности не равен 1.

перейти к слайду перейти к слайду перейти к слайду

Отличное обучение в старшей школе с использованием простых подсказок

Увлекаясь зубрежкой, вы, скорее всего, забудете понятия. С Cuemath вы будете учиться визуально и будете удивлены результатами.

Записаться на бесплатный пробный урок

Практические вопросы по тождественному свойству умножения

 

перейти к слайдуперейти к слайду

Часто задаваемые вопросы о свойстве идентичности умножения

Что такое свойство идентичности умножения в математике?

В соответствии со свойством идентичности умножения, если число умножается на 1, получается само число. Например, если 9 умножить на 1, произведение равно самому числу (9× 1 = 9). Здесь один известен как элемент идентичности, который сохраняет идентичность числа.

Что является примером тождественного свойства умножения?

Пример тождественного свойства умножения: 45 × 1 = 45. Это показывает, что при умножении 1 на 45 произведение само равно 45.

Что такое свойство идентичности формулы умножения?

Формула, описывающая свойство идентичности умножения, выглядит следующим образом: a × 1 = a, где «a» — любое действительное число. Например, если мы подставим значение 77 в полученную формулу, то 77 × 1 = 77

Что такое мультипликативная идентичность числа 6?

Согласно свойству мультипликативной идентичности, мультипликативная идентичность 6 равна 1, потому что если мы умножим 6 на 1, ответ будет 6. (6 × 1 = 6). Таким образом, 1 является мультипликативным элементом идентичности любого действительного числа.

Является ли 0 элементом мультипликативной идентичности?

Нет, 0 не является мультипликативным элементом идентичности, потому что если 0 умножается на любое число, результатом всегда будет 0. Мультипликативным элементом идентичности является 1, потому что, когда число 1 умножается на любое число, это не меняет значение число или мы можем сказать, что значение остается неизменным. Например, 99 × 1 = 99, а 99 × 0 = 0. Однако 0 является аддитивным элементом идентичности, то есть, когда 0 добавляется к числу, результатом является само число. Например, 3 + 0 = 3.

Что такое правило тождественности свойства умножения?

Правило тождественного свойства умножения гласит, что результатом умножения любого действительного числа на 1 является само число. Это означает, что если число умножается на 1, оно не меняет своего значения, оно позволяет числу сохранить свою идентичность.

Почему 1 называют мультипликативным элементом идентичности?

Свойство идентичности 1 говорит о том, что при умножении любого числа на 1 число остается неизменным. Другими словами, когда 1 умножается на число, сохраняется идентичность числа, поэтому 1 называется мультипликативным элементом идентичности. Например, 13 × 1 = 13

Что такое мультипликативная идентичность целых чисел?

Мультипликативная идентичность целых чисел равна 1, потому что при умножении любого целого числа на 1 результат будет равен тому же самому целому числу. Например, 78 × 1 = 78,9.0005

Является ли -1 мультипликативным элементом свойства идентичности?

Нет, -1 не может быть мультипликативным элементом свойства идентичности, потому что, если мы умножим любое число на -1, знак этого числа изменится. Например, 9 × -1 = -9 и -9 × -1 = 9, мы видим, что знак произведения меняется.

Чем тождественное свойство умножения отличается от нулевого свойства умножения?

Свойство Identity умножения утверждает, что при умножении 1 на любое число произведением является само число. Например, 8 × 1 = 8. С другой стороны, нулевое свойство умножения гласит, что когда мы умножаем число на ноль, произведение всегда равно нулю. Например, 8 × 0 = 0,

Скачать БЕСПЛАТНЫЕ учебные материалы

Свойство мультипликативного тождества

Аддитивное тождество против мультипликативного тождества Автор Unacademy

Во вселенной чисел, с которой мы ежедневно взаимодействуем, многие свойства действительных чисел используются в таких операциях, как сложение, вычитание, умножение и деление. Одной из таких функций является особая операция над числами, которая всегда дает одно и то же число!! В результате это известно как идентификационная функция чисел.

В повседневной жизни мы выполняем множество арифметических действий. Когда число подвергается определенной операции, результат определяется идентификатором, примененным к числам. Согласно алгебре, каждое математическое действие связано с некоторыми основными тождествами. Двумя основными алгебраическими тождествами являются аддитивные и мультипликативные тождества. Аддитивная идентичность для рациональных чисел, натуральных чисел, целых чисел и целых чисел равна нулю, тогда как мультипликативная идентичность равна единице. Качества идентичности целых чисел Аддитивная идентичность и Мультипликативная идентичность — это две разные идентичности. Когда мы добавляем число к другому числу или, скажем, аддитивную идентичность к другому числу, результатом является исходное число. Мультипликативная идентичность — это целое число, которое возвращает исходное число при умножении на другое число. Ко всем действительным числам можно применить аддитивные и мультипликативные тождества.

Identity Element

Идентичный элемент или нейтральный элемент бинарной операции, работающей над множеством, — это элемент множества, который при применении операции оставляет нетронутыми все элементы множества. Эта идея применяется в алгебраических структурах, таких как группы и кольца. Когда существует небольшая вероятность неправильного толкования, элемент идентичности слова иногда сокращается до идентичности (как в аддитивной и мультипликативной идентичности), однако идентичность неявно зависит от бинарной операции, с которой она связана.

Что такое аддитивная идентичность?

В соответствии со свойством аддитивной идентичности сумма любого числа и нуля (0) равна исходному числу. В результате ноль упоминается как аддитивная идентичность обычных чисел. Или Аддитивная идентичность набора с операцией сложения — это элемент, который дает x при добавлении к любому другому элементу x в наборе. Число 0 из элементарной математики является одним из наиболее известных аддитивных тождеств, однако аддитивные тождества также можно найти в других математических структурах, где сложение определено, таких как группы и кольца. Аддитивное тождество чисел относится к свойствам чисел. которые используются в операциях сложения. Когда число умножается на ноль, свойство аддитивной идентичности утверждает, что результат тот же. Поскольку элемент идентичности равен нулю, это так. В результате, если мы разделим любое целое число на ноль, результатом будет исходное значение. Это верно для любого числа, действительного, комплексного или мнимого.

Пусть N — замкнутая группа относительно операции сложения, обозначенная +. Элемент в N с аддитивной идентичностью, сокращенно e, — это элемент, в котором для любого элемента n в N

e + n = n = n + e

Пример аддитивной идентичности: 7 + 0 = 0 + 7 = 7

Что такое мультипликативная идентичность?

В соответствии со свойством мультипликативной идентичности произведение любого числа, умноженного на единицу (1), равно исходному числу. Когда число делится само на себя, результатом будет 1. В результате единицу часто называют мультипликативной идентичностью обычных чисел.

Элемент идентичности (например, 1 в группе рациональных чисел без 0), который оставляет неизменным любой элемент, умноженный на него, в данной математической системе.