Формулы тригонометрического тождества: Тригонометрические формулы. Основные тригонометрические тождества. Тригонометрические тождества

Тригонометрические тождества | это… Что такое Тригонометрические тождества?

Тригонометрические тождества — математические выражения для тригонометрических функций, которые выполняются при всех значениях аргумента (из общей области определения).

Содержание 1 Основные тригонометрические формулы 2 Формулы сложения аргументов 3 Формулы двойного угла 4 Формулы тройного угла 5 Формулы понижения степени 6 Формулы преобразования произведений функций 7 Формулы преобразования суммы функций 8 Решение простых тригонометрических уравнений 9 Универсальная тригонометрическая подстановка 10 Вспомогательный аргумент (формулы сложения гармонических колебаний) 11 Полезные тождества 12 Представление тригонометрических функций в комплексной форме 13 См. также

Основные тригонометрические формулы

Формула	Допустимые значения аргумента	Номер
		(1)
		(2)
		(3)

Формула (1) является следствием теоремы Пифагора. Формулы (2) и (3) получаются из формулы (1) делением на и соответственно.

Формулы сложения аргументов

Формулы сложения аргументов
	(4)
	(5)
	(6)
	(7)

Формула (6) получается при делении (4) на (5). А формула (7) — при делении (5) на (4)

Вывод формул  

На Рис. 4 изображены четыре прямоугольных треугольника: ABC, ABE, ADE и CDE.

Рис. 4. К выводу формул суммы углов

Принято, что AE = 1, .

Так как AE = 1, то

.

Из треугольника ABC следует:

Из треугольника CDE следует:

.

Приравниваем правые части уравнений (14) и (16):

Приравниваем правые части уравнений (15) и (17) и решаем, полученное уравнение относительно CE:

.

Подставляем (CE) из (19) в (18):

.

Полученное значение для CD подставляем в (15):

.

Итак:

.

Из формулы (15) следует:

Из формулы (16) и (17) следует:

Приравниваем правые части (21) и (22) и находим :

Подставляем значение :

Итак:

.

Формулы двойного угла

Формулы двойного угла выводятся из формул (4), (5) , (6) и (7), если принять, что угол β равен углу α:

Формулы двойного угла
	(23)
	(24)
	(25)

Примечания  

для формулы :

для формулы :

Формулы тройного угла

Формулы тройного угла

Примечания  

для формулы :
для формулы : ;

Формулы понижения степени

Формулы понижения степени выводятся из формул (24):

Синус		Косинус		Произведение
	(26)		(27)

Формулы преобразования произведений функций

Формулы преобразования произведений функций
	(28)
	(29)
	(30)

Вывод формул преобразования произведений функций  

Формулы сложения функций выводятся из формул сложения аргументов (5), (6) и (7). Например, из формулы (5) следует:

.

То есть:

   — формула (29).

Остальные формулы преобразования произведений функций выводятся аналогично.

Формулы преобразования суммы функций

Формулы преобразования суммы функций
	(31)
	(32)
	(33)
	(34)
	(35)

Вывод формул преобразования суммы функций  

Формулы преобразования суммы функций выводятся из формул преобразования произведений функций (28), (29), (30) и (31) с помощью подстановки:

и

.

Подставим эти выражения в формулу (28):

, то есть

   — формула (33).

Остальные формулы преобразования суммы синуса и косинуса выводятся аналогично. Из формулы (6) следует:

, то есть

  — формула (34).

Преобразование суммы синусов 3-x разных углов в произведение при : :

Решение простых тригонометрических уравнений

Если  — вещественных решений нет.

Если  — решением является число вида

Если  — решений нет.

Если  — решением является число вида

Решением является число вида

Решением является число вида

Универсальная тригонометрическая подстановка

Основная статья: Универсальная тригонометрическая подстановка

Тождества имеют смысл, только когда существуют обе части (то есть при ).

Вспомогательный аргумент (формулы сложения гармонических колебаний)

Полезные тождества

Представление тригонометрических функций в комплексной форме

Основная статья: Формула Эйлера

Формула Эйлера утверждает, что для любого вещественного числа выполнено следующее равенство:

где  — основание натурального логарифма,

 — мнимая единица.

При помощи формулы Эйлера можно определить функции и следующим образом:

,

.

Откуда:

См. также

• Решение треугольников

Основные тригонометрические тождества формулы сложения. Основные формулы тригонометрии

Это последний и самый главный урок, необходимый для решения задач B11. Мы уже знаем, как переводить углы из радианной меры в градусную (см. урок «Радианная и градусная мера угла »), а также умеем определять знак тригонометрической функции, ориентируясь по координатным четвертям (см. урок «Знаки тригонометрических функций »).

Дело осталось за малым: вычислить значение самой функции — то самое число, которое записывается в ответ. Здесь на помощь приходит основное тригонометрическое тождество.

Основное тригонометрическое тождество. Для любого угла α верно утверждение:

sin 2 α + cos 2 α = 1.

Эта формула связывает синус и косинус одного угла. Теперь, зная синус, мы легко найдем косинус — и наоборот. Достаточно извлечь квадратный корень:

Обратите внимание на знак «±» перед корнями. Дело в том, что из основного тригонометрического тождества непонятно, каким был исходный синус и косинус: положительным или отрицательным. Ведь возведение в квадрат — четная функция, которая «сжигает» все минусы (если они были).

Именно поэтому во всех задачах B11, которые встречаются в ЕГЭ по математике, обязательно есть дополнительные условия, которые помогают избавиться от неопределенности со знаками. Обычно это указание на координатную четверть, по которой можно определить знак.

Внимательный читатель наверняка спросит: «А как быть с тангенсом и котангенсом?» Напрямую вычислить эти функции из приведенных выше формул нельзя. Однако существуют важные следствия из основного тригонометрического тождества, которые уже содержат тангенсы и котангенсы. А именно:

Важное следствие: для любого угла α можно переписать основное тригонометрическое тождество следующим образом:

Эти уравнения легко выводятся из основного тождества — достаточно разделить обе стороны на cos 2 α (для получения тангенса) или на sin 2 α (для котангенса).

Рассмотрим все это на конкретных примерах. Ниже приведены настоящие задачи B11, которые взяты из пробных вариантов ЕГЭ по математике 2012.

Нам известен косинус, но неизвестен синус. Основное тригонометрическое тождество (в «чистом» виде) связывает как раз эти функции, поэтому будем работать с ним. Имеем:

sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ sin 2 α + 99/100 = 1 ⇒ sin 2 α = 1/100 ⇒ sin α = ±1/10 = ±0,1.

Для решения задачи осталось найти знак синуса. Поскольку угол α ∈ (π /2; π ), то в градусной мере это записывается так: α ∈ (90°; 180°).

Следовательно, угол α лежит во II координатной четверти — все синусы там положительны. Поэтому sin α = 0,1.

Итак, нам известен синус, а надо найти косинус. Обе эти функции есть в основном тригонометрическом тождестве. Подставляем:

sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ 3/4 + cos 2 α = 1 ⇒ cos 2 α = 1/4 ⇒ cos α = ±1/2 = ±0,5.

Осталось разобраться со знаком перед дробью. Что выбрать: плюс или минус? По условию, угол α принадлежит промежутку (π 3π /2). Переведем углы из радианной меры в градусную — получим: α ∈ (180°; 270°).

Очевидно, это III координатная четверть, где все косинусы отрицательны. Поэтому cos α = −0,5.

Задача. Найдите tg α , если известно следующее:

Тангенс и косинус связаны уравнением, следующим из основного тригонометрического тождества:

Получаем: tg α = ±3. Знак тангенса определяем по углу α . Известно, что α ∈ (3π /2; 2π ). Переведем углы из радианной меры в градусную — получим α ∈ (270°; 360°).

Очевидно, это IV координатная четверть, где все тангенсы отрицательны. Поэтому tg α = −3.

Задача. Найдите cos α , если известно следующее:

Снова известен синус и неизвестен косинус. Запишем основное тригонометрическое тождество:

sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ 0,64 + cos 2 α = 1 ⇒ cos 2 α = 0,36 ⇒ cos α = ±0,6.

Знак определяем по углу. Имеем: α ∈ (3π /2; 2π ). Переведем углы из градусной меры в радианную: α ∈ (270°; 360°) — это IV координатная четверть, косинусы там положительны. Следовательно, cos α = 0,6.

Задача. Найдите sin α , если известно следующее:

Запишем формулу, которая следует из основного тригонометрического тождества и напрямую связывает синус и котангенс:

Отсюда получаем, что sin 2 α = 1/25, т.е. sin α = ±1/5 = ±0,2. Известно, что угол α ∈ (0; π /2). В градусной мере это записывается так: α ∈ (0°; 90°) — I координатная четверть.

Итак, угол находится в I координатной четверти — все тригонометрические функции там положительны, поэтому sin α = 0,2.

Соотношения между основными тригонометрическими функциями – синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом — задаются тригонометрическими формулами . А так как связей между тригонометрическими функциями достаточно много, то этим объясняется и обилие тригонометрических формул. Одни формулы связывают тригонометрические функции одинакового угла, другие – функции кратного угла, третьи – позволяют понизить степень, четвертые – выразить все функции через тангенс половинного угла, и т. д.

В этой статье мы по порядку перечислим все основные тригонометрические формулы, которых достаточно для решения подавляющего большинства задач тригонометрии. Для удобства запоминания и использования будем группировать их по назначению, и заносить в таблицы.

Навигация по странице.

Основные тригонометрические тождества

Основные тригонометрические тождества задают связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла. Они вытекают из определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса, а также понятия единичной окружности . Они позволяют выразить одну тригонометрическую функцию через любую другую.

Подробное описание этих формул тригонометрии, их вывод и примеры применения смотрите в статье .

Формулы приведения

Формулы приведения следуют из свойств синуса, косинуса, тангенса и котангенса , то есть, они отражают свойство периодичности тригонометрических функций, свойство симметричности, а также свойство сдвига на данный угол. Эти тригонометрические формулы позволяют от работы с произвольными углами переходить к работе с углами в пределах от нуля до 90 градусов.

Обоснование этих формул, мнемоническое правило для их запоминания и примеры их применения можно изучить в статье .

Формулы сложения

Тригонометрические формулы сложения показывают, как тригонометрические функции суммы или разности двух углов выражаются через тригонометрические функции этих углов. Эти формулы служат базой для вывода следующих ниже тригонометрических формул.

Формулы двойного, тройного и т.д. угла

Формулы двойного, тройного и т.д. угла (их еще называют формулами кратного угла) показывают, как тригонометрические функции двойных, тройных и т.д. углов () выражаются через тригонометрические функции одинарного угла . Их вывод базируется на формулах сложения.

Более детальная информация собрана в статье формулы двойного, тройного и т.д. угла .

Формулы половинного угла

Формулы половинного угла показывают, как тригонометрические функции половинного угла выражаются через косинус целого угла . Эти тригонометрические формулы следуют из формул двойного угла.

Их вывод и примеры применения можно посмотреть в статье .

Формулы понижения степени

Тригонометрические формулы понижения степени призваны содействовать переходу от натуральных степеней тригонометрических функций к синусам и косинусам в первой степени, но кратных углов. Иными словами, они позволяют понижать степени тригонометрических функций до первой.

Формулы суммы и разности тригонометрических функций

Основное предназначение формул суммы и разности тригонометрических функций заключается в переходе к произведению функций, что очень полезно при упрощении тригонометрических выражений. Указанные формулы также широко используются при решении тригонометрических уравнений, так как позволяют раскладывать на множители сумму и разность синусов и косинусов.

Формулы произведения синусов, косинусов и синуса на косинус

Переход от произведения тригонометрических функций к сумме или разности осуществляется посредством формул произведения синусов, косинусов и синуса на косинус .

Башмаков М. И. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. сред. шк. — 3-е изд. — М.: Просвещение, 1993. — 351 с.: ил. — ISBN 5-09-004617-4.

Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и др.; Под ред. А. Н. Колмогорова.- 14-е изд.- М.: Просвещение, 2004.- 384 с.: ил.- ISBN 5-09-013651-3.

Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы): Учеб. пособие.- М.; Высш. шк., 1984.-351 с., ил.

Copyright by cleverstudents

Все права защищены.
Охраняется законом об авторском праве. Ни одну часть сайта www.сайт, включая внутренние материалы и внешнее оформление, нельзя воспроизводить в какой-либо форме или использовать без предварительного письменного разрешения правообладателя.

Тригонометрические тождества — это равенства, которые устанавливают связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла, которая позволяет находить любую из данных функций при условии, что будет известна какая-либо другая.

tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}, \enspace ctg \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}

tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1

Данное тождество говорит о том, что сумма квадрата синуса одного угла и квадрата косинуса одного угла равна единице, что на практике дает возможность вычислить синус одного угла, когда известен его косинус и наоборот.

При преобразовании тригонометрических выражений очень часто используют данное тождество, которое позволяет заменять единицей сумму квадратов косинуса и синуса одного угла и также производить операцию замены в обратном порядке.

Нахождение тангенса и котангенса через синус и косинус

tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha},\enspace

Данные тождества образуются из определений синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Ведь если разобраться, то по определению ординатой y является синус, а абсциссой x — косинус. Тогда тангенс будет равен отношению \frac{y}{x}=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} , а отношение \frac{x}{y}=\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} — будет являться котангенсом.

Добавим, что только для таких углов \alpha , при которых входящие в них тригонометрические функции имеют смысл, будут иметь место тождества , ctg \alpha=\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} .

Например: tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} является справедливой для углов \alpha , которые отличны от \frac{\pi}{2}+\pi z , а ctg \alpha=\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} — для угла \alpha , отличного от \pi z , z — является целым числом.

Зависимость между тангенсом и котангенсом

tg \alpha \cdot ctg \alpha=1

Данное тождество справедливо только для таких углов \alpha , которые отличны от \frac{\pi}{2} z . Иначе или котангенс или тангенс не будут определены.

Опираясь на вышеизложенные пункты, получаем, что tg \alpha = \frac{y}{x} , а ctg \alpha=\frac{x}{y} . Отсюда следует, что tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac{y}{x} \cdot \frac{x}{y}=1 . Таким образом, тангенс и котангенс одного угла, при котором они имеют смысл, являются взаимно обратными числами.

Зависимости между тангенсом и косинусом, котангенсом и синусом

tg^{2} \alpha + 1=\frac{1}{\cos^{2} \alpha} — сумма квадрата тангенса угла \alpha и 1 , равна обратному квадрату косинуса этого угла. {2} \alpha = 1 . Это уравнение имеет два решения \cos \alpha = \pm \sqrt{1-\frac34}=\pm\sqrt\frac14 .

По условию \frac{\pi}{2}

Для того, чтобы найти ctg \alpha , воспользуемся формулой ctg \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} . Соответствующие величины нам известны.

ctg \alpha = -\frac12: \frac{\sqrt3}{2} = -\frac{1}{\sqrt 3} .

Формулы приведения — это соотношения, которые позволяют перейти от синус, косинус, тангенс и котангенс с углами `\frac {\pi}2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac {3\pi}2 \pm \alpha`, `2\pi \pm \alpha` к этим же функциям угла `\alpha`, который находится в первой четверти единичной окружности. Таким образом, формулы приведения «приводят» нас к работе с углами в пределе от 0 до 90 градусов, что очень удобно.

Всех вместе формул приведения есть 32 штуки. Они несомненно пригодятся на ЕГЭ, экзаменах, зачетах. Но сразу предупредим, что заучивать наизусть их нет необходимости! Нужно потратить немного времени и понять алгоритм их применения, тогда для вас не составит труда в нужный момент вывести необходимое равенство. \circ \pm \alpha`):

`sin(2\pi — \alpha)=-sin \ \alpha;` ` sin(2\pi + \alpha)=sin \ \alpha`
`cos(2\pi — \alpha)=cos \ \alpha;` ` cos(2\pi + \alpha)=cos \ \alpha`
`tg(2\pi — \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(2\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(2\pi — \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(2\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`

Часто можно встретить формулы приведения в виде таблицы, где углы записаны в радианах:

Чтобы воспользоваться ею, нужно выбрать строку с нужной нам функцией, и столбец с нужным аргументом. Например, чтобы узнать с помощью таблицы, чему будет равно ` sin(\pi + \alpha)`, достаточно найти ответ на пересечении строки ` sin \beta` и столбца ` \pi + \alpha`. Получим ` sin(\pi + \alpha)=-sin \ \alpha`.

И вторая, аналогичная таблица, где углы записаны в градусах:

Мнемоническое правило формул приведения или как их запомнить

Как мы уже упоминали, заучивать все вышеприведенные соотношения не нужно. Если вы внимательно на них посмотрели, то наверняка заметили некоторые закономерности. Они позволяют нам сформулировать мнемоническое правило (мнемоника — запоминать), с помощью которого легко можно получить любую с формул приведения.

Сразу отметим, что для применения этого правила нужно хорошо уметь определять (или запомнить) знаки тригонометрических функций в разных четвертях единичной окружности.
Само привило содержит 3 этапа:

1. 1. Аргумент функции должен быть представлен в виде `\frac {\pi}2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac {3\pi}2 \pm \alpha`, `2\pi \pm \alpha`, причем `\alpha` — обязательно острый угол (от 0 до 90 градусов).
   2. Для аргументов `\frac {\pi}2 \pm \alpha`, `\frac {3\pi}2 \pm \alpha` тригонометрическая функция преобразуемого выражения меняется на кофункцию, то есть противоположную (синус на косинус, тангенс на котангенс и наоборот). Для аргументов `\pi \pm \alpha`, `2\pi \pm \alpha` функция не меняется.
   3. Определяется знак исходной функции. Полученная функция в правой части будет иметь такой же знак.

Чтобы посмотреть, как на практике можно применить это правило, преобразим несколько выражений:

1. \circ`, их значения не изменятся, если на эти величины увеличить или уменьшить аргумент.

Исходя из этого, наше выражение можно записать следующим образом: `cos (\pi+(\frac{\pi}2-\alpha)`. Применив два раза мнемоническое правило, получим: `cos (\pi+(\frac{\pi}2-\alpha)= — cos (\frac{\pi}2-\alpha)= — sin \alpha`.

Ответ: `cos(\frac {7\pi}2 — \alpha)=- sin \alpha`.

Лошадиное правило

Второй пункт вышеописанного мнемонического правила еще называют лошадиным правилом формул приведения. Интересно, почему лошадиным?

Итак, мы имеем функции с аргументами `\frac {\pi}2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac {3\pi}2 \pm \alpha`, `2\pi \pm \alpha`, точки `\frac {\pi}2`, `\pi`, `\frac {3\pi}2`, `2\pi` — ключевые, они располагаются на осях координат. `\pi` и `2\pi` на горизонтальной оси абсцисс, а `\frac {\pi}2` и `\frac {3\pi}2` на вертикальной оси ординат.

Задаем себе вопрос: «Меняется ли функция на кофункцию?». Чтобы ответить на этот вопрос, нужно подвигать головой вдоль оси, на которой расположена ключевая точка. \circ=-\frac{\sqrt 3}2`.

Пример 2. Выразив косинус через синус по формулам приведения, сравнить числа: 1) `sin \frac {9\pi}8` и `cos \frac {9\pi}8`; 2) `sin \frac {\pi}8` и `cos \frac {3\pi}10`.

Решение: 1)`sin \frac {9\pi}8=sin (\pi+\frac {\pi}8)=-sin \frac {\pi}8`

`cos \frac {9\pi}8=cos (\pi+\frac {\pi}8)=-cos \frac {\pi}8=-sin \frac {3\pi}8`

`-sin \frac {\pi}8> -sin \frac {3\pi}8`

`sin \frac {9\pi}8>cos \frac {9\pi}8`.

2) `cos \frac {3\pi}10=cos (\frac {\pi}2-\frac {\pi}5)=sin \frac {\pi}5`

`sin \frac {\pi}8

`sin \frac {\pi}8

Докажем сначала две формулы для синуса и косинуса аргумента `\frac {\pi}2 + \alpha`: ` sin(\frac {\pi}2 + \alpha)=cos \ \alpha` и` cos(\frac {\pi}2 + \alpha)=-sin \ \alpha`. Остальные выводятся из них.

Возьмем единичную окружность и на ней точку А с координатами (1,0). Пусть после поворота на угол `\alpha` она перейдет в точку `А_1(х, у)`, а после поворота на угол `\frac {\pi}2 + \alpha` в точку `А_2(-у,х)`. Опустив перпендикуляры с этих точек на прямую ОХ, увидим, что треугольники `OA_1H_1` и `OA_2H_2` равны, поскольку равны их гипотенузы и прилежащие углы. Тогда исходя из определений синуса и косинуса можно записать `sin \alpha=у`, `cos \alpha=х`, ` sin(\frac {\pi}2 + \alpha)=x`, ` cos(\frac {\pi}2 + \alpha)=-y`. Откуда можно записать, что ` sin(\frac {\pi}2 + \alpha)=cos \alpha` и ` cos(\frac {\pi}2 + \alpha)=-sin \alpha`, что доказывает формулы приведения для синуса и косинуса угла `\frac {\pi}2 + \alpha`.

Выходя из определения тангенса и котангенса, получим ` tg(\frac {\pi}2 + \alpha)=\frac {sin(\frac {\pi}2 + \alpha)}{cos(\frac {\pi}2 + \alpha)}=\frac {cos \alpha}{-sin \alpha}=-ctg \alpha` и ` сtg(\frac {\pi}2 + \alpha)=\frac {cos(\frac {\pi}2 + \alpha)}{sin(\frac {\pi}2 + \alpha)}=\frac {-sin \alpha}{cos \alpha}=-tg \alpha`, что доказывает формулы приведения для тангенса и котангенса угла `\frac {\pi}2 + \alpha`.

Чтобы доказать формулы с аргументом `\frac {\pi}2 — \alpha`, достаточно представить его, как `\frac {\pi}2 + (-\alpha)` и проделать тот же путь, что и выше. Например, `cos(\frac {\pi}2 — \alpha)=cos(\frac {\pi}2 + (-\alpha))=-sin(-\alpha)=sin(\alpha)`.

Углы `\pi + \alpha` и `\pi — \alpha` можно представить, как `\frac {\pi}2 +(\frac {\pi}2+\alpha)` и `\frac {\pi}2 +(\frac {\pi}2-\alpha)` соответственно.

А `\frac {3\pi}2 + \alpha` и `\frac {3\pi}2 — \alpha` как `\pi +(\frac {\pi}2+\alpha)` и `\pi +(\frac {\pi}2-\alpha)`.

Определение. Формулами приведения называют формулы, которые позволяют перейти от тригонометрических функций вида к функциям аргумента . С их помощью синус, косинус, тангенс и котангенс произвольного угла можно привести к синусу, косинусу, тангенсу и котангенсу угла из интервала от 0 до 90 градусов (от 0 до радиан). Таким образом, формулы приведения позволяют нам переходить к работе с углами в пределах 90 градусов, что, несомненно, очень удобно.

Формулы приведения:

Для использования формул приведения существует два правила.

1. Если угол можно представить в виде (π/2 ±a) или (3*π/2 ±a), то название функции меняется sin на cos, cos на sin, tg на ctg, ctg на tg. Если же угол можно представить в виде (π ±a) или (2*π ±a), то название функции остается без изменений.

Посмотрите на рисунок ниже, там схематично изображено, когда следует менять знак, а когда нет

2. Знак приведенной функции остается прежним. Если исходная функция имела знак «плюс», то и приведенная функция имеет знак «плюс». Если исходная функция имела знак «минус», то и приведенная функция имеет знак «минус».

На рисунке ниже представлены знаки основных тригонометрических функций в зависимости от четверти.

Пример:

Вычислить

Воспользуемся формулами приведения:

Sin(150˚) находится во второй четверти, по рисунку видим что знак sin в этой четверти равен «+». Значит у приведенной функции тоже будет знак «+». Это мы применили второе правило.

Теперь 150˚ = 90˚ +60˚. 90˚ это π/2. То есть имеем дело со случаем π/2+60, следовательно по первому правилу меняем функцию с sin на cos. В итоге получаем Sin(150˚) = cos(60˚) = ½.

Тригонометрические тождества и уравнения — пошаговые заметки и занятия INB

Apples and Bananas Education

8,5 тыс. подписчиков

Также включены в

1. Интерактивные заметки Pre-Calculus и комплект пошаговых заметок

   3 **** ** Если вы приобрели наш комплект «Алгебра 2», у вас уже есть много материалов, содержащихся в этом пакете. У нас есть отдельный небольшой набор элементов Pre-Calculus, которые не включены в комплект Algebra 2, чтобы вы могли приобрести дополнительные примечания для Pre-Calculus, которые не включены в комплект 9.0003

   14

   Продукция

   $ 85,88PRICE $ 85,88 $ 107,35RIGINAL ЦЕНА 107,35 долл. США 21,47 долл. США

   View Bundle

2. Pre-Calculus Add-On-On для Algebra 2 Inbaff Bundled

   . заметки и интерактивные записные книжки для 5 единиц обучения, идеально подходящие для студентов Pre-Calc. **Этот продукт предназначен в качестве дополнения к нашему комплекту Algebra 2 для покупателей, которые уже приобрели этот продукт. Если вы хотите полную

   5

   Продукция

   $ 29,40PRICE $ 29,40 36,75.75RIGINAL ЦЕНА $ 36,75. Еще отApples and Bananas Education

   Пошаговые заметки и интерактивные/складные задания идеально подходят для учащихся, изучающих предварительный математический анализ или интегрированную математику. Сфокусированные заметки помогают учащимся делать четкие и эффективные заметки во время уроков математики, могут использоваться для ознакомления с новыми темами или для повторения, а также могут использоваться с 9 уроками.0059 любая учебная программа . Материал разбит таким образом, что легко усваивается всеми типами изучающих математику.

   Эти математические журналы/заметки в виде лесов посвящены тригонометрическим тождествам и уравнениям. Проблемы, перечисленные в этом пакете упражнений, прекрасно дополняют друг друга, если они представлены в том порядке, в котором они появляются. Нашим учащимся нравится заполнять их и упорядочивать в своих математических журналах, чтобы они могли обращаться к ним в течение года. Эти занятия — отличный способ популяризировать письмо по математике. Этот пакет также содержит быстрые проверки на понимание, которые можно использовать в качестве выходного билета или мини-викторины. Ключи включены для справки. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашим полнометражным превью.

   **Эта zip-папка содержит нередактируемые PDF-документы.

   Шаблонные листы для заметок с образцами ключей учителя для следующего:

   • Обзор единичного круга
   • Обзор: часто используемые значения из единичного круга
   • Используйте часто используемые значения из таблицы единичного круга, чтобы найти значение каждого выражения
   • Основные тригонометрические тождества
   • Сопоставление пар основных тригонометрических тождеств
   • Использование взаимных тождеств для нахождения значения тригонометрических функций
   • Нахождение значения тригонометрической функции
   • Иногда необходимо использовать более одного тождества
   • Тождества симметрии
   • Использование подстановки с тождествами симметрии
   • Выражение значений как тригонометрических функций угла в противоположном I квадранте
   9006le Тождества
   • Использование тождеств с противоположными углами
   • Начало: Использование тригонометрических тождеств для упрощения тригонометрических выражений
   • Продвинутый уровень: Использование тригонометрических тождеств для упрощения тригонометрических выражений
   • Проверка тригонометрических тождеств
   • Упрощение тригонометрических уравнений

   Плюс 7 складных заданий для интерактивной математической тетради и 7 быстрых проверок для понимания.

   Ознакомьтесь с полным превью, чтобы рассмотреть его поближе.

   **Если вам нравится то, что вы видите, нажмите на звездочку «Следуй за мной», чтобы узнать о новых продуктах, распродажах и многом другом!

   Сопутствующие товары:

   Связки заметок/интерактивных блокнотов

   Алгебра 1 внедорожник

   Геометрия пакет INB

   Алгебра 2 вт. Статистический пакет INB

   Комплект интерактивных тетрадей по математике для средней школы (алгебра 1, геометрия, алгебра 2)

   Пакеты страниц для практики учащихся

   Algebra 1 Student Practice Pages Bundle

   Geometry Student Practice Pages Bundle

   Algebra 2 Student Practice Pages Bundle

   High School Math Student Practice Pages Bundle (Algebra 1, Geometry, Algebra 2)

   Assessment Bundles

   Algebra 1 Assessment Bundle

   **Если вам нравится то, что вы видите, нажмите на звездочку «Следуй за мной», чтобы узнать о новых продуктах, распродажах и многом другом!

   CCSSHSF-TF. C.8

   Докажите тождество Пифагора sin²(θ) + cos²(θ) = 1 и используйте его для нахождения sin(θ), cos(θ) или tan(θ) при заданном sin(θ) ), cos(θ) или tan(θ) и квадрант угла.

   CCSSHSF-TF.C.9

   Докажите формулы сложения и вычитания для синуса, косинуса и тангенса и используйте их для решения задач.

   Вопросы и ответы

   Вывод тригонометрических тождеств

   В этом примере показано, как вывести тригонометрические тождества с помощью алгебры и определений прямоугольных треугольников тригонометрических функций. Тождества также могут быть получены с использованием единичной окружности или комплексной плоскости 9.0042 [1] ^[2] . Идентификаторы, полученные в этом примере, приведены ниже:

   1. Получение пифагорейской идентичности
   2. Получение суммы двух тождеств углов
   3. Получение разности двух тождеств углов
   4. Получение тождеств двойного угла (алгебра)
   5. Получение тождеств половинных углов (алгебра)

   Получение пифагорейской идентичности

   Чтобы вывести тождество Пифагора, длины смежных и противоположных сторон прямоугольного треугольника определяются через косинус и синус угла прямоугольного треугольника. Затем длины подставляются в теорему Пифагора.

   1. Начнем с треугольника, образованного единичной окружностью, которая визуализирует все прямоугольные треугольники с гипотенузой один. Обратите внимание, что смежная сторона соответствует x-компоненте прямоугольного треугольника, а противоположная сторона соответствует y-компоненте прямоугольного треугольника. Два компонента образуют точку (x, y) вдоль окружности круга.

      Затем, используя определения тригонометрических функций косинуса и синуса, мы можем подставить в уравнения переменные, представляющие прилежащую сторону (x), противолежащую сторону (y) и гипотенузу (1) прямоугольного треугольника.

      После упрощения уравнений соседняя сторона напрямую соответствует функции косинуса, а противоположная сторона соответствует функции синуса для данного угла.

   2. Затем вспомните уравнение для теоремы Пифагора, которое связывает квадраты сторон вместе, как показано ниже: круг.

      Затем, подставив соответствующие функции синуса и косинуса выше, которые, как мы нашли, соответствуют компонентам x и y треугольника, мы получим тождество Пифагора.

   Получение тождеств суммы двух углов (прямоугольный треугольник)

   В этом примере вычисляется сумма тождеств двух углов с использованием определений функций синуса и косинуса прямоугольного треугольника. Определения синуса и косинуса прямоугольного треугольника показаны ниже.

   Ступени

   1. Начните с рисования прямоугольного треугольника с углом и гипотенузой, как показано ниже. Геометрия этого треугольника будет использоваться для получения тождеств.

      Найдите длины смежных и противоположных сторон, подставив и в определения синуса и косинуса.

      Обозначьте эти длины на рисунке.

      Проведите линию, параллельную , и используйте теорему о соответствующем угле, чтобы обозначить соответствующие углы и .

      Начертите прямоугольный треугольник, угол которого начинается в точке, общей с гипотенузой. Затем нарисуйте еще два прямоугольных треугольника, завершающих прямоугольную форму.

      Геометрию этой формы можно использовать для представления длин смежных и противоположных сторон исходного прямоугольного треугольника.

      Подставить синус и косинус угла сверху. Это дает нам общий вид тождеств, далее мы найдем неизвестные длины.

   2. Найдите смежную и противоположную длины прямоугольного треугольника.

      Подставить прилежащую сторону, противолежащую сторону и гипотенузу в определения синуса и косинуса и найти примыкающую и противолежащую стороны.

      Обозначьте эти длины на рисунке.

   3. Найдите смежную и противоположную длины прямоугольного треугольника.

      Подставить прилежащую сторону, противолежащую сторону и гипотенузу в определения синуса и косинуса и найти примыкающую и противолежащую стороны.

      Обозначьте эти длины на рисунке.

   4. Обратите внимание, что угол равен , потому что он дополняет угол, который дополняет .

      Найдите смежную и противоположную длины прямоугольного треугольника.

      Подставить прилежащую сторону, противолежащую сторону и гипотенузу в определения синуса и косинуса и найти примыкающую и противолежащую стороны.

      Обозначьте эти длины на рисунке.

      Подставить неизвестные длины в уравнение с конца шага 1.

      Это дает нам сумму двух тождеств углов.

   Получение разности двух тождеств углов

   В этом примере показано, как получить разность тождеств двух углов, используя определения функций синуса и косинуса прямоугольного треугольника. Определения показаны ниже.

   шагов

   1. Начните с рисования прямоугольного треугольника с углом и гипотенузой . Также нарисованы углы (альфа) и (бета).

      Найдите длины прилегающей и противоположной сторон. Подставьте гипотенузу, прилежащую сторону и противоположную сторону в определения синуса и косинуса.

      Обозначьте эти длины на рисунке.

      Цель состоит в том, чтобы представить эти длины сторон через синус и косинус углов и . Чтобы достичь этой цели, нарисуйте еще один прямоугольный треугольник гипотенузы с углом поверх первого прямоугольного треугольника.

      Это позволяет нам представить длину как сумму длин и . А представить длину как разность длин и .

      Подстановка приведенных выше выражений дает нам отправную точку для тождеств. На следующих шагах мы найдем неизвестные длины, используя определения синуса и косинуса.

   2. Найдите соседние и противоположные стороны прямоугольного треугольника, показанного ниже.

      Подставьте гипотенузу, прилежащую сторону и противоположную сторону в определения синуса и косинуса, затем найдите прилежащую и противоположную стороны.

      Обозначьте длины сторон на рисунке.

   3. Найдите соседние и противоположные стороны прямоугольного треугольника, показанного ниже. Из соответствующей теоремы об углах мы знаем, что это то же самое, что и .

      Подставьте гипотенузу, прилежащую сторону и противоположную сторону в определения синуса и косинуса, затем найдите прилежащую и противоположную стороны.

      Обозначьте эти длины на рисунке.

   4. Найдите соседние и противоположные стороны прямоугольного треугольника, показанного ниже. Мы знаем, что равно , потому что оно дополняет тот угол, к которому дополняется угол .

      Подставьте гипотенузу , прилежащую сторону и противоположную сторону в определения синуса и косинуса и найдите прилежащую и противоположную стороны.

      Отметьте эти длины на рисунке ниже.

      Это дает нам все неизвестные длины на рисунке.

   5. Подставьте длины в уравнение с конца шага 1.

      Это даст нам разность двух тождеств углов.

   Получение тождеств двойного угла (алгебра)

   В этом примере выводятся тождества двойного угла с использованием алгебры и тождеств суммы двух углов.

   шагов

   1. Начните с суммы двух тождеств углов.

   2. Подстановка и тождества. Это то же самое, что сказать, что угол (альфа) равен (бета).

   3. Объедините аргументы слева и упростите выражения справа. Это дает нам двойных угловых тождеств .

   4. Дополнительно можно использовать тождество Пифагора, показанное ниже, для вычисления двух вариантов тождества двойного угла.

      Вычесть с обеих сторон.

      Подставьте это выражение в тождество из шага 3 и объедините подобные термины. Это дает нам первый вариант.

      Второй вариант находится вычитанием из обеих частей пифагорейского тождества.

      Подставьте это выражение в тождество из шага 3 и объедините подобные термины. Это дает нам второй вариант.

   Получение тождеств половинного угла (алгебра)

   Этот пример выводит тождества половинного угла с помощью алгебры и тождества двойного угла.

   шагов

   1. Начните с тождеств двойного угла.

   2. Преобразуйте уравнения, подставив полуугол (альфа) вместо (тета).

   3. Упростите левую часть уравнений.

   4. Прибавьте к обеим частям первого уравнения шага 3. Затем вычтите из обеих частей.

      Разделите обе части на два.

      Извлеките квадратный корень из обеих частей.

      Это дает нам первое тождество половинного угла.

      No related posts.