Фундаментальное решение системы уравнений: Однородные системы линейных алгебраических уравнений. Фундаментальная система решений. Первая часть.

Содержание

Фундаментальное решение системы линейных уравнений. Взгляд со стороны / Хабр

Добрый день!

В данной статье я попробую взглянуть по новому на алгоритм поиска общего решения системы линейных уравнений.

Задача, которой мы займемся звучит так.
Найти общее решение следующей системы уравнений

Такую задачу решают, приведя исходную систему к треугольному виду по методике Гаусса. Потом выбрав свободные переменные вычисляют общее решение.

Я хочу показать, как можно решать подобные системы другим способом. Насколько она известна и применяется где либо, я узнать не смог. Во всех публичных/популярных материалах, используется метод Гаусса.

Сразу скажу что решение конечно же не оптимально (по быстродействию), так как при вычислении векторного произведения, надо вычислять определитель матрицы, а это так или иначе вычисление треугольной матрицы.

Но решение красиво и наглядно, кроме этого легко видеть критерий при котором система не имеет решений.

В чем же суть методики?

Решая эту систему как произведение двух векторов, мы получим

А следовательно, корни системы равны

Для тех кто не верит, это легко проверяется подстановкой

Используем этот прием и рассмотрим, как же решаются такие системы с помощью векторных произведений.

Итак, у нас есть исходная система

Перенесем свободные члены в левую часть

У нас получилось 6 столбцов.

На этом этапе не будем вводить новых сущностей и не используем в своей работе понятия ранга матрицы. (Прошу отнестись снисходительно)
Мы просто видим что уравнений 3, а переменных 5-ть. Следовательно общее решение будет использовать 5-3=2 независимых переменных.

На этом же шаге, мы можем определить, какие же из переменных будут свободными. Возьмем две переменных, которые будут правее всех, и назначим их свободными.
Note: Для других уравнений не всегда получается, что надо брать именно последние правые коэффициенты

А теперь за три шага определяем фундаментальное решение исходной системы

Шаг 1. Здесь последняя колонка это свободные члены системы

Шаг 2. Здесь последняя колонка это коэффициенты при переменной

Шаг 3. Здесь последняя колонка это коэффициенты при переменной

Нет необходимости подробно рассказывать откуда мы берем данные. Я думаю для читающих это очевидно. (Кто решал систему уравнений методом Крамера, найдут общие черты)

Интереснее то, что мы с этими «векторами» делать будем.

Разделим их на -81

получаем следующие три вектора

выстроим их в вертикаль и таким образом фундаментальное решение принимает вид

Великолепно! Не правда ли…

Для критерия разрешимости заданной системы уравнений в большинстве случаев используется правило Кронекера-Копелли, здесь же просто анализируется результат векторного произведения.

Если результирующий вектор имеет вид

где , а среди всех оставшихся есть хотя бы один не нулевой, то такая система решений не имеет

Если результирующий вектор имеет все нулевые коэффициенты, то это говорит о том, что или как минимум одно из уравнений есть линейное представление другого, и/или одна из переменных пропорциональна другой.

Эта статья первая, и хотелось бы услышать замечания, критику, пожелания в свой адрес.

Алгоритм и калькулятор создан еще в январе 2019 года и только сегодня я решил опубликовать информацию на Хабре.

Если примете в свой коллектив/общество, то следующая тема будет
— как находить общее решение системы диофантовых уравнений.

📝Фундаментальная система решений

Чтобы понять, что такое фундаментальная система решений вы можете посмотреть видео-урок для этого же примера кликнув здесь. Теперь перейдем собственно к описанию всей необходимой работы. Это поможет вам более детально разобраться в сути данного вопроса.

Как найти фундаментальную систему решений линейного уравнения?

Возьмём для примера такую систему линейных уравнений:

система уравнений
Найдём решение этой линейной системы уравнений методом Гаусса. Для начала нам надо выписать матрицу коэффициентов системы.
выпишим матрицу
Преобразуем эту матрицу к треугольной. Первую строку переписываем без изменений. И все элементы, что стоят под $a_{11}$, надо сделать нулями. Что бы сделать ноль в место элемента $a_{21}$, надо от второй строки вычесть первую, и разность записать во второй строке. Что бы сделать ноль в место элемента $a_{31}$, надо от третьей строки вычесть первую и разность записать в третьей строке. Что бы сделать ноль в место элемента $a_{41}$, надо от четвёртой строки вычесть первую умноженную на 2 и разность записать в четвёртой строке. Что бы сделать ноль в место элемента $a_{31}$, надо от пятой строки вычесть первую умноженную на 2 и разность записать в пятой строке.
преобразование матрицы
Первую и вторую строку переписываем без изменений. И все элементы, что стоят под $a_{22}$, надо сделать нулями. Что бы сделать ноль в место элемента $a_{32}$, надо от третьей строки вычесть вторую умноженную на 2 и разность записать в третьей строке. Что бы сделать ноль в место элемента $a_{42}$, надо от четвёртой строки вычесть вторую умноженную на 2 и разность записать в четвёртой строке. Что бы сделать ноль в место элемента $a_{52}$, надо от пятой строки вычесть вторую умноженную на 3 и разность записать в пятой строке.
треугольная матрица
Видим, что последние три строки – одинаковые, поэтому если от четвёртой и пятой вычесть третью, то они станут нулевыми.
окончатильная матрица
По этой матрице записываем новую систему уравнений.
составляем систему уравнений по матрице
Видим, что линейно независимых уравнений у нас, только три, а неизвестных пять, поэтому фундаментальная система решений будет состоять из двух векторов. Значит, нам надо перенести две последние неизвестные вправо.
переносим неизвестные
Теперь, начинаем выражать те неизвестные, что стоят в левой части через те, что стоят в правой части. Начинаем с последнего уравнения, сначала выразим $x_3$, потом полученный результат подставим во второе уравнение и выразим $x_2$, а потом в первое уравнение и тут выразим $x_1$. Таким образом мы все неизвестные, что стоят в левой части, выразили через неизвестные, что стоят в правой части.
решаем систему уравнений
После чего вы вместо $x_4$ и $x_5$, можем подставлять любые числа и находить $x_1$, $x_2$ и $x_3$. Каждая такая пятёрка чисел будет корнями нашей изначальной системы уравнений. Что бы найти векторы, что входят в ФСР нам надо вместо $x_4$ подставить 1, а вместо $x_5$ подставить 0, найти $x_1$, $x_2$ и $x_3$, а потом наоборот $x_4=0$ и $x_5=1$.

Какие именно векторы создают фундаментальную систему решений данной системы уравнений?

Находим фундаментальную систему решений
Для лучшего понимания хода роботы можете посмотреть видео-урок по данном задании.

Материалы по теме:

Поделиться с друзьями:

Находим фундаментальную систему решений Загрузка…

Фундаментальная система решений СЛАУ

Системой линейных уравнений называется система вида: $\begin{cases} a_{11} \cdot x_1 +…+ a_{1n} \cdot x_n = b_1 \\ … \\ a_{m1} \cdot x_1 + a_{mn} \cdot x_n = b_m \end{cases}$

Замечание 1

Здесь каждая буква относится к своей группе обозначений, $x_1…x_n$ — это неизвестные числа или переменные, подлежащие поиску, $a_11…a_{mn}$ — множители, содержащиеся при неизвестных, $b_1…b_m$ — свободные члены таблицы из чисел, получаемой на основе приведённой СЛАУ.

В компактной форме СЛАУ принято записывать в виде формулы вида $A \cdot X = B$. В этой формуле под большой буквой $A$ подразумевается матрица множителей при неизвестных системы, а буквами $X$ и $B$ обозначены вектор-столбец неизвестных системы и свободных членов.

Матрица $A$ называется основной матрицей системы, вот как она будет выглядеть:

$A = \begin{pmatrix} a_{11} & … & a_{1n} \\ \vdots & … & \vdots \\ a_{m1} & … & a_{mn} \end{pmatrix}$, $b=\begin{pmatrix} b_1 \\ \vdots \\ b_m \end{pmatrix}$

Если через длинную черту после матрицы множителей при неизвестных записан столбец свободных членов, то матрицу называют расширенной матрицей системы.

Готовые работы на аналогичную тему

Необходимая терминология

Определение 1

Решением системы называют такие $n$ значений неизвестных $x_1=c_1, x_2=c_2…x_n-c_n$, что при их использовании все её уравнения становятся верными соблюдающимися равенствами. Найденное решение системы можно записать в виде таблицы неизвестных одним столбцом:

$C= \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \\ \vdots \\ c_n \end{pmatrix}$.

В зависимости от количеств групп переменных, подходящих для соблюдения всей системы, различают

совместные и несовместные СЛАУ. Объединённая в систему группа равенств называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение и несовместной, если она не имеет решений.

Среди первого типа существуют определённые СЛАУ, имеющие только одно решение и неопределённые, под такие подпадают все, которые можно решить с получением больше одного ответа.

Однородные и неоднородные системы линейных уравнений

Система линейных уравнений называется однородной, если все её свободные члены равны нулю. Если в системе хотя бы один из свободных членов ненулевой, то она называется неоднородной, другие же СЛАУ с нулевым $B$ наоборот однородны.

Однородные системы совместны, так как $x_1=x_2=…x_n=0$ будет решением для систем, имеющих особенность в виде нулевого столбца $B$. Иначе такая группа ответов называется нулевым или тривиальным способом решения.

Нетривиальными же называются ответы на СЛАУ, детерминант матрицы которой не $0$. В группе ответов таких систем хотя бы одно из неизвестных подходит под $x_i$ ≠ $0$. Для поиска детерминанта можно воспользоваться $LU$ разложениями, гаусовым методом или его модификацией в виде способа Жордана-Гаусса.

Общее, частное и фундаментальное решения

Определение 2

Частным решением системы называется индивидуальное записанное в одну строчку, тогда как общее $X_o$ записывается через свободные переменные в одну строчку, оно представляет собой некое множество чисел, подходящих под данные условия. Общее $X_o$ включает в себя все индивидуальные.

Фундаментальной же системой решений (ФСР) называется совокупность $(n-r)$ векторов, являющихся линейно независимыми векторами системы. Здесь $r$ — это ранг исследуемой матрицы, согласно теореме Капелли, он равен количеству её основных неизвестных. Найти его можно путём разрешённых преобразований над изучаемым объектом, в частности, можно использовать метод Гаусса или другие.

Фундаментальная система решений частенько представлена как сумма всех возможных решений:

$X=C_1X_1 + C_2X_2+…C_{n-r}X_{n-r}$.

Здесь $С_1, C_2,…C_{n-r}$ — некоторые постоянные.

Пример 1

Приведена пример, в котором все свободные члены ненулевые:

$\begin{cases} x_1 – x_2 + x_3-x_4=4 \\ x_1+x_2+2x_3+3x_4=8 \\ 2x_1+4x_2+5x_3+10x_4=20 \\ 2x_1-4x_2+x_3-6x_4=4\\ \end{cases}$.

Ранг всех матриц соответсвует двойке, рассчитаем базисный минор:

$M=\begin{array}{|cc|} 1 & -1 \\ 1 &1 \\ \end{array}=2$

Избавимся от двух нижних равенств из примера и получим:

$\begin{cases} x_1 – x_2=4-c_3+c_4 \\ x_1+x_2=8-2c_3-3c_4 \\ \end{cases}$

Общим решением системы будет строчка $(6-\frac{3}{2}c_3-c_4; 2-\frac{1}{2}c_3-2c_4;c_3; c_4)$.

Теперь посмотрим, что буде в случае с нулевым столбцом за чертой:

$\begin{cases} x_1 – x_2 + x_3-x_4=0 \\ x_1+x_2+2x_3+3x_4=0 \\ 2x_1+4x_2+5x_3+10x_4=0 \\ 2x_1-4x_2+x_3-6x_4=0 \end{cases}$.

Ранг также соответствует двойке, а её решениями будут

$c_1=-\frac{3}{2} c_3-c_4; c_2=-\frac{1}{2}c_3-2c_4$. Константы же $c_3$ и $c_4$ выберем любые, например, возьмём их равными $c_3=0;c_4=1$.

Итак, используя приведённые выше значения $c_3=0;c_4=1$:

$X_1=(-\frac32;-\frac12;1;0)$;

$X_2=(-1;-2;0;1)$.

Фундаментальное решение системы можно записать так:

$X=C_1 (-\frac{3}{2};-\frac{1}{2};1;0)+C_2(-1;-2;0;1)$.

ФРС. Фундаментальное решение системы уравнений

Исходная система уравнений
Исходные данные
Фундаментальная система решений (ФСР) данной системы уравнений
Решение системв
База системы/знаменатель
База

 

Попробуем решить систему уравнений, типа

Решение подобных систем неразрывно связывают с формулой приведения матрицы к треугольному виду. Это наглядно, красиво и никогда не дает сбоев.  Есть только одно но, нужно делать очень много ручной работы и использовать понятия ранга матрицы

Нет никаких сомнений подвергать выверенную веками технологию, но есть не менее красивое решение используя векторное произведение. Информации по ним на январь 2019 года в интернете нет, поэтому скромно назовемся первооткрывателем.

Это решение конечно же не оптимально (по быстродействию), так как при вычислении векторного произведения, надо вычислять определитель матрицы, а это так или иначе  вычисление треугольной матрицы.

Но решение красиво и наглядно, кроме этого легко видеть критерий при котором система не имеет решений.

В чем же суть методики?

Решая эту систему как произведение двух векторов, мы получим

А следоватетельно, корни системы равны 

Для тех кто не верит, это легко проверяется подстановкой

Такой же нехитрый прием используется  и при системах где количество переменных может быть и пять и десять.

Рассмотрим, как же решаются такие системы с помощью векторных произведений.

Итак, у нас есть исходная система

Приведем её вот в такой вид

У нас получилось 6 столбцов.

На этом этапе не будем вводить новых сущностей и не используем в своей работе понятия ранга матрицы. Мы просто видим что уравнений 3, а переменных 5-ть. Следовательно общее решение будет использовать 5-3=2 независимых переменных.

На этом же шаге, мы можем определить, какие же из переменных будут свободными. Так как фантазии ноль, то те из переменных, которые будут правее всех, те  и станут свободными.

То есть свободными у нас будут две переменных 

А теперь за три шага определяем фундаментальное решение исходной системы

Шаг1.

Шаг 2.

Шаг 3.

Нет необходимости подробно рассказывать откуда  мы берем данные. Это очевидно

Интереснее то, что мы с этими «векторами» делать будем.

Разделим их на -81

получаем следующие три вектора

Таким образом фундаментальное решение  принимает вид

Великолепно! Не правда ли….

Хочется еще что то решить…. Еще один пример

Это интересное уравнение, так вектора в любом сочетании будут давать ноль.

Это говорит нам о том, что одно из уравнений «лишнее». Согласимся с этим и уберем его. Например последнее.

Тогда нам надо выбрать две свободных переменных, пусть это будут переменные с индексами 2 и 4.

Тогда вектора находятся как

Разделим на -3 и наше общее решение будет иметь вид

Не каждому сразу становиться ясно откуда у нас появляются нули и единицы в нашем стройном вектором ряде.  Это  связано с тем, что мы свободные переменные выбрали как нашей душе угодно, а не самые крайние правые. 

Если бы мы взяли переменные с индексами 3 и 4  как свободные то решение бы мы переписали так как нам бы выдала машина.

В начале статьи мы упомянули о критерии неразрешимости той или иной системы уравнений. В классической версии для этого исползуется правило Кронекера-Копелли, здесь же просто анализируется результат векторного произведения.

Если результирующий вектор имеет вид 

где , а среди всех оставшихся есть хотя бы один не нулевой, то такая система решений не имеет

Примеры, неразрешимых систем уравнений

Если результирующий вектор имеет все нулевые коэффициенты ( мы такой пример рассмотрели выше), то это говорит о том, что или как минимум одно из уравнений есть линейное представление другого, и/или одна из переменных  пропорциональна другой.

Калькулятор, представленный здесь, дает Вам возможность самому проанализировать исходную систему, за Вас он лишь сделает точные расчеты, по тем данным, что Вы ему введете.

Вот один из примеров

 

Исходная система уравнений
Фундаментальная система решений (ФСР) данной системы уравнений
База системы/знаменатель

 

  • Функция ошибок >>

Фундаментальная система решений — это… Что такое Фундаментальная система решений?

Фундаментальная система решений (ФСР) представляет собой набор линейно независимых решений однородной системы уравнений.

Однородные системы

Однородной системой линейных уравнений называется система вида:
\left\{\begin{array}{ccc}
a_{11}x_1+\ldots+a_{1n}x_n &=& 0 \\
\ldots & & \\
a_{m1}x_1+\ldots+a_{mn}x_n &=& 0
\end{array}\right.\iff A_{m\times n}\vec{x}=\vec{0},\quad A_{m\times n}=\left(\begin{array}{ccc}a_{11} & \ldots & a_{1n}\\ \ldots & & \\ a_{m1} & \ldots & a_{mn}\end{array}\right)\qquad (1)

Нулевое решение \vec{x}=(0,\ldots,0)\! системы (1) называется тривиальным решением.

Однородные системы всегда совместны, т.к. всегда существует тривиальное решение.

Если существует любое ненулевое решение системы, то оно называется нетривиальным.

Решения однородной системы обладают свойством линейности:

\vec{x}=(0,\ldots,0)\! Теорема (о линейном решении однородных систем).
Пусть \vec{x}^1,\ldots,\vec{x}^k\! — решения однородной системы (1), c_1,\ldots,c_k\! — произвольные константы. Тогда \vec{x}^*=c_1\vec{x}^1+\ldots+c_k\vec{x}^k\! также является решением рассматриваемой системы.

Сформулируем теорему, которая позволит дать основное определение:

Пусть дана однородная система (1), тогда набор векторов \vec{y}^1,\ldots,\vec{y}^k\! размера n\! называется фундаментальной системой решений (ФСР) (1), если:

Пример

Решим систему
\left\{ \begin{array}{ccccccccc}
x_1  &+&  x_2 &+& 2x_3 &+&  x_4 &=& 0 \\
3x_1 &+& 2x_2 &+&  x_3 &+& 3x_4 &=& 0 \\
2x_1 &+& \frac{3}{2} x_2 &+& \frac{3}{2} x_3 &+& 2x_4 &=& 0
\end{array} \right.

Перепишем её в матричном виде:

\left(\begin{array}{cccc}
1 & 1 & 2 & 1\\
3 & 2 & 1 & 3\\
2 &\frac{3}{2} & \frac{3}{2} & 2
\end{array} \right)\left(\begin{array}{c}
x_1\\
x_2\\
x_3\\
x_4
\end{array} \right)=\left(\begin{array}{c}
0\\
0\\
0
\end{array} \right)

Путём элементарных преобразований над строками приведём её основную матрицу к ступенчатому виду:

\left(\begin{array}{cccc}
1 & 1 & 2 & 1\\
3 & 2 & 1 & 3\\
2 &\frac{3}{2} & \frac{3}{2} & 2
\end{array} \right)\sim\left(\begin{array}{cccc}
1 & 1 & 2 & 1\\
0 & -1 & -5 & 0\\
0 &-\frac{1}{2} & -\frac{5}{2} & 0
\end{array} \right)\sim \left(\begin{array}{cccc}
1 & 1 & 2 & 1\\
0 & 1 & 5 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array} \right)

Таким образом ранг системы (ранг её основной матрицы) равен двум. Это значит, что существует (n-r)=2\! линейно независимых решения системы.

Перепишем полученную систему в виде уравнений:

\left\{\begin{array}{ccccccccc}
x_1 &+& x_2 &+& 2x_3 &+& x_4 &=& 0\\
    & & x_2 &+& 5x_3 & &     &=&0
\end{array} \right.

Возьмём x_1\! и x_2\! в качестве главных переменных. Тогда:

\left\{\begin{array}{ccccc}
x_1 &=& 3x_3 &-& x_4 \\
x_2 &=& -5x_3 & & 
\end{array} \right.

Подставим по очереди единицы в качестве одной из свободных переменных: x_3\! и x_4\!.

\begin{array}{c

Тогда общее решение рассматриваемой системы может быть записано так:

\vec{x}_{OO}=c_1\left(\begin{array}{c}3\\-5\\1\\0 \end{array}\right)+c_2\left(\begin{array}{c}-1\\0\\0\\1\end{array}\right)\!,

а вектора \vec{x}^1=\left(\begin{array}{c}3\\-5\\1\\0 \end{array}\right),\;\vec{x}^2=\left(\begin{array}{c}-1\\0\\0\\1\end{array}\right)\! составляют фундаментальную систему решений.

Неоднородные системы

Неоднородной системой линейных уравнений называется система вида:
\left\{\begin{array}{ccc}
a_{11}x_1+\ldots+a_{1n}x_n &=& b_1 \\
\ldots & & \\
a_{m1}x_1+\ldots+a_{mn}x_n &=& b_m
\end{array}\right.\iff A_{m\times n}\vec{x}=\vec{b},\quad A_{m\times n}=\left(\begin{array}{ccc}a_{11} & \ldots & a_{1n}\\ \ldots & & \\ a_{m1} & \ldots & a_{mn}\end{array}\right),\quad \vec{b}=\left(\begin{array}{c}b_1 \\ \vdots \\ b_m \end{array}\right)\qquad (2)

\tilde{A}_{m\times (n+1)}=\left(\begin{array}{ccc — её расширенная матрица.

Пример

Решим систему
\left\{ \begin{array}{ccccccccc}
x_1  &+&  2x_2 &-& 3x_3 &+&  x_4 &=& 1 \\
     & &       & & 3x_3 &+&  x_4 &=& 4 \\
     & &       & &  x_3 &+& 2x_4 &=& 3
\end{array} \right.

Преобразуем её к
\left\{ \begin{array}{ccccccccc}
x_1  &+&  2x_2 &-& 3x_3 &+&  x_4 &=& 1 \\
     & &       & &  x_3 &+& 2x_4 &=& 3 \\
     & &       & &      & &  x_4 &=& 1
\end{array} \right.

Тогда переменные x_4=1\! и x_3=1\! обязательно будут главными, возьмём также x_2\! в качестве главной.

Заметим, что \vec{x}=\left(1,1,1,1\right)\! является частным решением.

Составим однородную систему:
\left\{ \begin{array}{ccccccccc}
x_1  &+&  2x_2 &-& 3x_3 &+&  x_4 &=& 0 \\
     & &       & &  x_3 &+& 2x_4 &=& 0 \\
     & &       & &      & &  x_4 &=& 0
\end{array} \right.

Тогда, подставив единицу в качестве свободной переменной x_1\!, получим ФСР однородной системы:

\begin{array}{c

Общее решение системы может быть записано так:

\vec{x}_{OH}=c\left(\begin{array}{c}1\\-\frac{1}{2}\\0\\0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}1\\1\\1\\1\end{array}\right)\!

Литература

Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра: Учебник для вузов. — 6-е изд., стер. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 280 с.

См. также

Wikimedia Foundation. 2010.

ФСР онлайн. Фундаментальное решение системы уравнений

Исходная система уравнений
Исходные данные
Фундаментальная система решений (ФСР) данной системы уравнений
Решение системв
База системы/знаменатель
База

 

Попробуем решить систему уравнений, типа

Решение подобных систем неразрывно связывают с формулой приведения матрицы к треугольному виду. Это наглядно, красиво и никогда не дает сбоев.  Есть только одно но, нужно делать очень много ручной работы и использовать понятия ранга матрицы

Нет никаких сомнений подвергать выверенную веками технологию, но есть не менее красивое решение используя векторное произведение. Информации по ним на январь 2019 года в интернете нет, поэтому скромно назовемся первооткрывателем.

Это решение конечно же не оптимально (по быстродействию), так как при вычислении векторного произведения, надо вычислять определитель матрицы, а это так или иначе  вычисление треугольной матрицы.

Но решение красиво и наглядно, кроме этого легко видеть критерий при котором система не имеет решений.

В чем же суть методики?

Решая эту систему как произведение двух векторов, мы получим

А следоватетельно, корни системы равны 

Для тех кто не верит, это легко проверяется подстановкой

Такой же нехитрый прием используется  и при системах где количество переменных может быть и пять и десять.

Рассмотрим, как же решаются такие системы с помощью векторных произведений.

Итак, у нас есть исходная система

Приведем её вот в такой вид

У нас получилось 6 столбцов.

На этом этапе не будем вводить новых сущностей и не используем в своей работе понятия ранга матрицы. Мы просто видим что уравнений 3, а переменных 5-ть. Следовательно общее решение будет использовать 5-3=2 независимых переменных.

На этом же шаге, мы можем определить, какие же из переменных будут свободными. Так как фантазии ноль, то те из переменных, которые будут правее всех, те  и станут свободными.

То есть свободными у нас будут две переменных 

А теперь за три шага определяем фундаментальное решение исходной системы

Шаг1.

Шаг 2.

Шаг 3.

Нет необходимости подробно рассказывать откуда  мы берем данные. Это очевидно

Интереснее то, что мы с этими «векторами» делать будем.

Разделим их на -81

получаем следующие три вектора

Таким образом фундаментальное решение  принимает вид

Великолепно! Не правда ли….

Хочется еще что то решить…. Еще один пример

Это интересное уравнение, так вектора в любом сочетании будут давать ноль.

Это говорит нам о том, что одно из уравнений «лишнее». Согласимся с этим и уберем его. Например последнее.

Тогда нам надо выбрать две свободных переменных, пусть это будут переменные с индексами 2 и 4.

Тогда вектора находятся как

Разделим на -3 и наше общее решение будет иметь вид

Не каждому сразу становиться ясно откуда у нас появляются нули и единицы в нашем стройном вектором ряде.  Это  связано с тем, что мы свободные переменные выбрали как нашей душе угодно, а не самые крайние правые. 

Если бы мы взяли переменные с индексами 3 и 4  как свободные то решение бы мы переписали так как нам бы выдала машина.

В начале статьи мы упомянули о критерии неразрешимости той или иной системы уравнений. В классической версии для этого исползуется правило Кронекера-Копелли, здесь же просто анализируется результат векторного произведения.

Если результирующий вектор имеет вид 

где , а среди всех оставшихся есть хотя бы один не нулевой, то такая система решений не имеет

Примеры, неразрешимых систем уравнений

Если результирующий вектор имеет все нулевые коэффициенты ( мы такой пример рассмотрели выше), то это говорит о том, что или как минимум одно из уравнений есть линейное представление другого, и/или одна из переменных  пропорциональна другой.

Калькулятор, представленный здесь, дает Вам возможность самому проанализировать исходную систему, за Вас он лишь сделает точные расчеты, по тем данным, что Вы ему введете.

Вот один из примеров

 

Исходная система уравнений
Фундаментальная система решений (ФСР) данной системы уравнений
База системы/знаменатель

 

Фундаментальная система решений

Рассмотрим систему однородных линейных алгебраических уравнений.

(1)

Выпишем матрицу A

Определение 1.

Минор матрицы называется базисным , если он неравен 0, и окаймляющие его миноры либо все равны 0, либо совсем отсутствуют.

Теорема о базисном миноре.

Столбцы матрицы, пересекающие главный минор линейно независимы; Всякий столбец через них линейно выражается.

Определение 2.

Всякая максимальная линейно независимая система решений однородной системы уравнений (1), называется фундаментальной системой решений (ФСР).

Теорема:

Если ранг r , матрицы из коэффициентов системы линейных однородных уравнений (1), меньше m, то всякая ФСР системы (1) состоит из n-r решений.

Пример №1.

Дана однородная система линейных алгебраических уравнений

.

Найти ФСР и общее решение системы.

1.Составим матрицу системы.

2. Легко показать, что ранг матрицы A=2, значит ФСР состоит из трех решений (5-2=3).

3. В матрице A возьмем базисный минор (минор второго порядка):

.

4. Отбрасываем последние уравнения системы , а неизвестные ,

считаем «свободными» и переносим их в правую часть уравнений.

Получим:

. (2)

5. Ищем первое базисное решение X , для этого положим , тогда получим систему:

(3)

Определителем матрицы системы является базисный минор, он отличен от 0, значит система (3) имеет единственное решение: .

Таким образом

= .

6. Полагая в системе (2), находимто есть, вторым базисным решением является столбец:

.

7. Полагая: , получаем —

.

8. Итак, ФСР получена; построенная таким образом ФСР называется нормальной.

9. Столбцы образующие ФСР линейно независимы, так как свободные неизвестные были выброшены так, что выделенный минор третьего порядка отличен от 0;

10.Теперь выпишем общее решение исходной однородной системы линейных алгебраических уравнений.

,

.

Неоднородная система линейных алгебраических уравнений

(1)

Общее решение неоднородной системы линейных алгебраических уравнений (1) имеет вид:

(2)

где – какое-либо решение системы (1).

общее решение соответствующей однородной системы, для которой – ФСР.

Пример №2.

Дана неоднородная система линейных алгебраических уравнений:

Доказать, что это система совместна и найти ее общее решение.

Решение:

  1. Легко показать, что rang Ᾱ = rang A

  2. Рассмотрим соответствующую однородную систему уравнений, эта система из примера №1. Её ФСР и общее решение найдены. Выделим в матрицу Ᾱ базисный минор, стоящий на пересечении первых двух строк со вторым и третьим столбцами. Тогда последовательность уравнений системы есть следствие двух первых уравнений системы, а неизвестные можно считать «свободными», поэтому исходная система эквивалентна системе:

Решив её, находим единственное решение:

Найдено частное решение данной неоднородной системы.

.

Общее решение исходной неоднородной системы получим с помощью формулы (2).

= или

Это решение можно было бы получить методом исключения неизвестных. ФСР определяется неоднозначно, но число элементов в ФСР всегда равно .

: Помощь в домашних заданиях и ответы :: Slader

4-1 Введение: осциллятор массы-пружины Упражнения стр.156
4-2 Однородные линейные уравнения: общее решение Упражнения с.164
4-3 Вспомогательные уравнения с комплексными корнями Упражнения стр.172
4-4 Неоднородные уравнения: метод неопределенных коэффициентов Упражнения с.180
4-5 Новый взгляд на принцип суперпозиции и неопределенные коэффициенты Упражнения стр.185
4-6 Вариация параметров Упражнения с.191
4-7 Уравнения с переменным коэффициентом Упражнения стр.199
4-8 Качественные соображения для уравнений с переменным коэффициентом и нелинейных уравнений Упражнения с.210
4-9 Более пристальный взгляд на свободные механические колебания Упражнения стр.220
4-10 Более пристальный взгляд на силовые механические колебания Упражнения с.227
Проблемы обзора п.231
Упражнения по написанию технических текстов стр.232
.

Решения системы уравнений

Система уравнений относится к ряду уравнений с одинаковым числом переменных. Мы рассмотрим только случай двух линейных уравнений в двух Неизвестные. Ситуация становится намного более сложной, поскольку количество неизвестных увеличивается, и более крупные системы обычно атакуются с помощью компьютера.

Система двух линейных уравнений с двумя неизвестными может выглядеть как

Это стандартная форма для написания уравнений, когда они являются частью система уравнений: переменные идут по порядку в левой части, а постоянный член справа.Скобка слева указывает, что два уравнения предназначены для одновременного решения, но это не всегда используется.

Когда мы говорим о решении этой системы уравнений, мы имеем в виду значения переменных, которые делают оба уравнения истинными одновременно. Может быть много пар x и y , которые составляют первое уравнение истина, и многие пары x и y , которые составляют второе уравнение правда, но мы ищем x и y , которые будут работать в и уравнения.На следующих страницах мы рассмотрим алгебраические методы нахождения это решение, если оно существует.

Поскольку это линейные уравнения, их графики будут прямыми линиями. Это может помочь нам визуализировать ситуацию графически. Есть три возможности:

1. Независимые уравнения

линий пересечь

Один раствор

В этом случае два уравнения описывают линии которые пересекаются в одной конкретной точке.Ясно, что эта точка находится на обеих линиях, и поэтому его координаты ( x , y ) будут удовлетворять уравнение любой линии. Таким образом, пара ( x , y ) является одной и единственное решение системы уравнений.

2. Зависимые уравнения

Уравнения описать ту же строку

Бесконечный количество решений

Иногда два уравнения могут выглядеть по-разному, но на самом деле описывают та же линия.Например, в

Второе уравнение всего в два раза больше первого уравнение, поэтому они фактически эквивалентны и оба будут уравнениями та же линия. Поскольку два уравнения описывают одну и ту же линию, у них все их общие точки зрения; следовательно, существует бесконечное число решений система.

  • Попытка решить дает идентификацию

Если вы попытаетесь решить зависимую систему с помощью алгебраическими методами, вы в конечном итоге столкнетесь с уравнением, которое является тождеством .Идентичность — это уравнение, которое всегда верно, независимо от значения (значений) любая переменная (и). Например, вы можете получить уравнение, которое выглядит следующим образом: x = x , или 3 = 3. Это говорит о том, что система является зависимой, и вы можете остановиться прямо здесь, потому что вы никогда не найдете уникального решения.

3. Несогласованные уравнения

  • Линии не пересекаются (параллельные линии; тот же уклон)
  • Нет решений

Если две линии имеют одинаковый наклон, но не являются идентично одной и той же линией, то они никогда не пересекутся.Здесь нет пара ( x , y ), которая могла бы удовлетворить обоим уравнениям, потому что существует нет точки ( x , y ), которая находится одновременно на обеих строках. Таким образом, эти уравнения несовместимы с , и решения нет. тот факт, что они оба имеют одинаковый наклон, может быть неочевидным из уравнений, потому что они не написаны в одной из стандартных форм для прямых линий. Наклон не так очевиден в той форме, в которой мы пишем системы уравнения.(Если вы подумаете, то увидите, что наклон отрицательный. коэффициента x , деленного на коэффициент y ).

  • Попытка решить дает ложное утверждение

Пытаясь решить такую ​​систему алгебраически, вы действуете на ложном предположении, а именно, что решение существует. Это в конечном итоге приведет вас к противоречию : утверждение, которое явно неверно, независимо от значения (значений) переменной (ей).В какой-то момент в вашей работе вы получите заведомо ложное уравнение вида 3 = 4. Это говорит о том, что система уравнений непоследовательно, и решения нет.

Решение от Graphing

Для более сложных систем, особенно тех, которые содержат нелинейные уравнения, поиск решения алгебраическими методами может быть очень сложно или даже невозможно. С помощью графического калькулятора (или компьютер), вы можете построить графики уравнений и увидеть, где они пересекаются.После этого калькулятор может дать вам координаты точки пересечения. Единственный недостаток этого метода заключается в том, что решение — это всего лишь приближение, тогда как алгебраический метод дает точное решение. В большинстве Однако в практических ситуациях точность калькулятора достаточна. Для более требовательных научных и инженерных приложений есть компьютер методы, которые могут найти приближенные решения с очень высокой точностью.

,

систем линейных уравнений, примеры решений, изображения и практические задачи. Система просто ..

Система линейных уравнений означает два или более линейных уравнения. (Проще говоря: «две или более линий») Если эти два линейных уравнения пересекаются, эта точка пересечения называется решением системы линейных уравнений.

Что такое система уравнений?
Ответ

Система уравнений означает просто «более одного уравнения».». Система линейных уравнений — это не более 1 строки, см. Рисунок:

Хорошо, а что такое решение системы уравнений?
Ответ

Решение находится там, где уравнения «встречаются» или пересекаются. Красная точка — это решение системы.

Сколько решений могут иметь системы линейных уравнений?
Ответ

Может быть нулевое решение, одно решение или бесконечное количество решений — каждый случай подробно описан ниже. Примечание. Хотя системы линейных уравнений могут иметь 3 или более уравнений, мы собираемся обратиться к наиболее распространенному случаю — стержню с ровно 2 линиями.

Вариант I: 1 Решение

Это наиболее распространенная ситуация, в которой линии пересекаются ровно 1 раз.


Дело 2: Нет решений

Это происходит только тогда, когда линии параллельны.Как видите, параллельные линии никогда не встретятся.

Пример стержня, у которого нет решения:

  • Строка 1: y = 5x + 13
  • Строка 2: y = 5x + 12
Случай 3: Бесконечные решения

Это самый редкий случай, и он возникает только тогда, когда у вас есть та же строка
Рассмотрим, например, две строки ниже (y = 2x + 1 и 2y = 4x + 2).Эти два уравнения — одна и та же линия.

Пример системы с бесконечным количеством решений:

  • Строка 1: y = 2x + 1
  • Строка 2: 2y = 4x + 2
Пример 1

Решение системы уравнений слева — это (2, 2), которое отмечает точку пересечения двух прямых.

Как мы можем найти решения систем уравнений?

Найти решение системы линейных уравнений можно любым из следующих способов:

Видео
о решениях систем уравнений

,

Общее решение системы уравнений

В ваших классах алгебры, если система уравнений имеет бесконечно много решений, вы просто напишете «бесконечно много решений» и перейдете к следующей задаче. Однако когда мы говорим «бесконечно много решений», происходит гораздо больше. В этой статье мы рассмотрим эту идею с общими решениями.

реклама

Содержание:

  1. Написание общего решения
  2. Поиск конкретных решений на основе общего решения
  3. Краткое описание шагов

Написание общего решения

Во-первых, давайте рассмотрим, как записать общее решение данной системы уравнений.Для этого мы рассмотрим пример.

Пример

Найдите общее решение системы уравнений:

\ (
\ begin {array} {c}
x_1 + 2x_2 + 8x_3 + 18x_4 = 11 \\
x_1 + x_2 + 5x_3 + 11x_4 = 10 \\
\ end {array} \)

Как и в любой системе уравнений, мы будем использовать расширенную матрицу и сокращение строки.

\ (
\ left [
\ begin {array} {cccc | c}
1 & 2 & 8 & 18 & 11 \\
1 & 1 & 5 & 11 & 10 \\
\ end {array}
\ right ]
\ sim
\ left [
\ begin {array} {cccc | c}
1 & 0 & 2 & 4 & 9 \\
0 & 1 & 3 & 7 & 1 \\
\ end {array}
\ right]
\)

Теперь запишите уравнения из этой сокращенной матрицы.

\ (
\ begin {array} {c}
x_1 + 2x_3 + 4x_4 = 9 \\
x_2 + 3x_3 + 7x_4 = 1 \\
\ end {array} \)

Обратите внимание на матрицу, что ведущие единицы (первая ненулевая запись в каждой строке) находятся в столбцах для \ (x_1 \) и \ (x_2 \).

Найдите эти переменные.

\ (
\ begin {array} {c}
x_1 = 9 — 2x_3 — 4x_4 \\
x_2 = 1 — 3x_3 — 7x_4 \\
\ end {array} \)

Остальные переменные — это свободных переменных , что означает, что они могут принимать любое значение.Значения \ (x_1 \) и \ (x_2 \) основаны на значениях этих двух переменных. В общем решении вы хотите это отметить.

Общее решение:

\ (
\ boxed {
\ begin {array} {l}
x_1 = 9 — 2x_3 — 4x_4 \\
x_2 = 1 — 3x_3 — 7x_4 \\
x_3 \ text {is free} \\
x_4 \ text { бесплатно} \\
\ end {array}
}
\)

Существует бесконечно много решений этой системы уравнений, все из которых используют разные значения двух свободных переменных.

Поиск конкретных решений

Предположим, вы хотите привести пример конкретного решения системы уравнений выше. Их бесконечно много, так что у вас есть большой выбор! Вам просто нужно рассмотреть возможные значения свободных переменных.

Пример решения

Пусть:

\ (
\ begin {array} {l}
x_3 = 0 \\
x_4 = 1 \\
\ end {array}
\)

Не было особой причины выбирать 0 и 1. Опять же, это будет работать для ЛЮБОГО значения, которое вы выберете для этих двух переменных.

Используя эти значения, решение:

\ (
\ begin {array} {l}
x_1 = 9 — 2x_3 — 4x_4 = 9 — 2 (0) — 4 (1) \\
x_2 = 1 — 3x_3 — 7x_4 = 1 — 3 (0) — 7 (1) \\
x_3 = 0 \\
x_4 = 1 \\
\ end {array}
\ rightarrow
\ boxed {
\ begin {array} {l}
x_1 = 5 \\
x_2 = -6 \\
x_3 = 0 \\
x_4 = 1 \\
\ end {array}
}
\)

Чтобы быть уверенным, вы можете проверить эти значения в исходной системе уравнений:

\ (
\ begin {array} {l}
x_1 + 2x_2 + 8x_3 + 18x_4 = 11 \\
x_1 + x_2 + 5x_3 + 11x_4 = 10 \\
\ end {array}
\ rightarrow
\ begin {array} {l}
(5) + 2 (-6) + 8 (0) + 18 (1) = 11 \ text {(true)} \\
(5) + (-6) + 5 (0) +11 (1) = 10 \ text {(true)} \\
\ end {array}
\)

Поскольку оба уравнения верны для этих значений, мы знаем, что нашли одно из многих, многих решений.Если бы мы хотели найти больше решений, мы могли бы просто выбрать разные значения для двух свободных переменных \ (x_1 \) и \ (x_2 \).

объявление

Краткое описание шагов

Для системы уравнений шаги для записи общего решения следующие:

  1. Row уменьшить расширенную матрицу для системы.
  2. Запишите уравнения матрицы с сокращенной строкой.
  3. Найдите переменные, у которых есть ведущая в столбце.
  4. Обозначьте остальные переменные как свободные.

Подпишитесь на нашу рассылку!

Мы всегда публикуем новые бесплатные уроки и добавляем новые учебные пособия, руководства по калькуляторам и пакеты задач.

Подпишитесь, чтобы получать электронные письма (раз в пару или три недели) с информацией о новинках!

Связанные

.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *