Арккотангенс числа a. Функция y = arcctg x и её график. Как найти арккотангенс числа
12+
4 месяца назад
Математика от Баканчиковой244 подписчика
Тригонометрия 8-11 класс. Что такое арккотангенс числа? Как найти арккотангенс любого числа? Как построить график функции y = arcctg x? Какие свойства есть у функции y = arcctg x? Сегодня мы ответим на эти вопросы. Если Вы не видели наши предыдущие уроки по теме: «Функция y=arcsin x, её график и свойства», «Функция y=arctg x, её график и свойства» и «Обратная функция, её свойства и график», то обязательно посмотрите их, тогда этот урок будет Вам очень понятен. Мы покажем Вам, как получается график функции y = arcctg x, и почему область значений функции y = arcctg x ограничена интервалом (0; π). Дадим Вам определение арккотангенса числа а. Отметим две характерные ошибки, которые допускают ученики при вычислении арктангенса. На примере 4 упражнений покажем Вам нюансы вычисления арккотангенса числа.
Дадим Вам правило вычисления арккотангенса отрицательного числа. Подробный план урока и ссылки на предыдущие уроки Вы можете найти в описании под видео.
00:00 Начало видео.
00:27 Построим график функции y = ctg x.
02:22 Построим график функции y = arсctg x.
09:47 Что такое арккотангенс числа а?
11:09 Как найти арккотангенс любого числа?
11:19 Доказать, что arcctg √3/3 = π/3.
12:44 Вычислить выражение …
14:56 Как найти арккотангенс отрицательного числа?
19:11 Характерные ошибки при вычислении арккотангенса.
19:57 На следующем уроке …
Если Вы впервые на нашем канале или не смотрели наши предыдущие уроки, то рекомендуем Вам посмотреть следующие видео:
Арктангенс числа a. Функция y = arctg x, её свойства и график. Как найти арктангенс числа. Тригонометрия 8-11 класс. https://rutube.ru/video/0f923078705365cbc266f7d1c83c44a5/
Арккосинус числа a. Функция y = arccos x, её свойства и график. Выражения с арккосинусом. Тригонометрия 8-11 класс. https://rutube.ru/video/c930c1e9f935651acbca82b8c4b2a9bd/
Арксинус числа a.
описание, экстремумы, возрастание и убывание
Определение арккотангенса и обозначения
Понятие тригонометрических функций в алгебре связано с изучением прямоугольных треугольников.
С их помощью определяют зависимость между длинами сторон треугольников и острыми углами при гипотенузе. Тригонометрические функции также помогают установить связь между хордами, высотами и центральным углом дуги в окружности.
Обратные тригонометрические функции (круговые функции, аркфункции) являются математическими функциями, противоположными тригонометрическим функциям.
Перейдем к определению одной из обратных тригонометрических функций под названием арккотангенс. Данную аркфункцию обозначают, как arcctg (x). В зарубежных источниках также можно встретить следующие обозначения: arccot (x), arccotan (x).
Определение 2Арккотангенс числа х представляет собой некое значение угла у, для которого справедливо следующее равенство:
ctg y=x, 0<y<π
График функции арккотангенса
Заметим, что для функции арккотангенса, то есть y=arcctg x областью определения является вся числовая прямая.
На графике такая функция не прерывается и является ограниченной. Также функция строго убывает и характеризуется положительными значениями. Особенности функции арккотангенса:
- arcctg x)=x, если x∈ℝ;
- arcctg(ctg y)=y, если 0<y<π;
- D(arcctgx)=(-∞;∞);
- E(arcctgx)=(0;π).
Рассмотрим, как выглядит график функции y=arcctgx:
Источник: ru.wikipedia.org
Построить такой график несложно. Представим, что имеется некая функция:
y=ctg x
Данная функция определяется в любом случае как кусочно-монотонная. По этой причине обратное соответствие y=arcctg x нельзя назвать функцией. Остается лишь изучить промежуток, характерный для строгого убывания функции. Здесь она должна принимать свои значения лишь единожды, то есть (0;π).
В результате функция y=ctg x является строго убывающей и соответствует всем своим значениям лишь один раз. Можно сделать вывод о существовании в пределах рассматриваемого интервала (0;π) обратной функции:
y=arcctg x
График этой обратной функции является симметричным относительно графика функции:
y=ctg x
Это условие выполняется в пределах отрезка (0;π) по отношению к прямой y=x.
Заметим, что графически функция арккотангенса получается с помощью изображения функции арктангенса. Стоит лишь график арктангенса отразить по отношению к оси ординат, то есть требуется поменять знак аргумента x→–x. Далее необходимо передвинуть график в верхнем направлении на величину π/2. Данное требование является следствием формулы:
arcctgx=arctg(-x)+π/2.
Основные свойства арккотангенса
Перечислим ключевые свойства обратной тригонометрической функции под названием арккотангенс:
- arcctg(-x)=π-arcctgx. Графически функция изображена как центрально-симметричная по отношению к точке 0;π2. Рассматриваемую функцию нельзя отнести к четным или нечетным функциям. Она является индифферентной.
- arcctgx>0, если х принимает любое значение.
- arcctgx=arcsin11+x2, x⩾0π-arcsin11+x2, x<0. Заметим, что в формуле имеется переменная х, возведенная квадрат.
- arcctgx=π/2-arctgx.
Таблица арккотангенса
При решении различных задач полезно знать значения функции арккотангенса.
Это позволит упростить многие выражения и быстро находить ответы к заданиям.
Источник: microexcel.ru
Формулы обратных тригонометрических функций
Обратные тригонометрические функции связаны между собой и с тригонометрическими функциями. Специальные формулы позволят упростить решение примеров и находить одну функцию при известных значениях другой. Рассмотрим основные формулы:
- arcsinx+arccosx=π2
- arctg x+arcctg x=π2
- arcsinx=arccos1-x2, 0⩽x⩽1-arccos 1-x2, -1⩽x<0
- arcsinx=arctgx 1-x2
- arcsinx=arcctg 1-x2x, 0<x⩽1arcctg 1-x2x-π, -1⩽x<0
- arccosx=π2-arcsinx.
- arccosx=arcsin1-x2, 0⩽x⩽1π-arcsin 1-x2, -1⩽x<0
- arccosx=arcctgx1-x2
- arccosx=arctg 1-x2x, 0<x⩽1π+arctg 1-x2x, -1⩽x<0
- arccosx=2arcsin 1-x2
- arccosx=2arccos 1+x2
- arccosx=2arctg 1-x1+x
- arctgx=arcsinx1+x2
- arctgx=arccos1 1+x2,еслиx>0.
- arctgx=arcctg1x
- arcctgx=arcsin11+x2, x⩾0π-arcsin11+x2, x<0
- arcctgx=π/2-arctgx.
- arcsecx=arcsinx2-1x, x⩾1π+arcsinx2-1x, x⩽-1
- arcsecx=π2-arccosecx
- arcsecx=arccos1x.
- arccosec x=arctgsgnxx2-1=arctg1x2-1, x>1-arctg1x2-1, x<-1
- arccosecx=π/2-arcsecx
- arccosecx=arcsin1x.
| 1 | Найти производную — d/dx | бревно натуральное х | |
| 2 | Оценить интеграл | интеграл натурального логарифма x относительно x | |
| 3 | Найти производную — d/dx | 92)||
| 21 | Оценить интеграл | интеграл от 0 до 1 кубического корня из 1+7x относительно x | |
| 22 | Найти производную — d/dx | грех(2x) | |
| 23 | Найти производную — d/dx | 9(3x) по отношению к x||
| 41 | Оценить интеграл | интеграл от cos(2x) относительно x | |
| 42 | Найти производную — d/dx | 1/(корень квадратный из х) | |
| 43 | Оценка интеграла 9бесконечность | ||
| 45 | Найти производную — d/dx | х/2 | |
| 46 | Найти производную — d/dx | -cos(x) | |
| 47 | Найти производную — d/dx | грех(3x) | 92+1|
| 68 | Оценить интеграл | интеграл от sin(x) по x | |
| 69 | Найти производную — d/dx | угловой синус(х) | |
| 70 | Оценить предел | ограничение, когда x приближается к 0 из (sin(x))/x 92 по отношению к х | |
| 85 | Найти производную — d/dx | лог х | |
| 86 | Найти производную — d/dx | арктан(х) | |
| 87 | Найти производную — d/dx | бревно натуральное 5х92 |
Графики обратных триггерных функций — предварительное исчисление
Все ресурсы по предварительному исчислению
12 диагностических тестов 380 практических тестов Вопрос дня Карточки Learn by Concept
Precalculus Help » Графики и обратные тригонометрические функции » График обратных триггерных функций
Укажите домен и диапазон значений sin(x) и arcsin(x).
Возможные ответы:
sin(x) домен:
sin(x) диапазон:
arcsin(x) домен:
arcsin(x) диапазон:
sin(x0908) домен: (x) диапазон:
arcsin(x) домен:
arcsin(x) диапазон:
sin(x) домен:
sin(x) диапазон:
arcsin(x) домен:
arcsin(x) ) диапазон:
sin(x) домен:
sin(x) диапазон:
arcsin(x) домен:
arcsin(x) диапазон:
Правильный ответ:
sin(x) домен:
sin(x) диапазон:
arcsin(x) домен:
arcsin(x) диапазон:
4 Объяснение:
Два графика помогают представить ситуацию. Домен — это все возможные значения x, а диапазон — все возможные значения y. Функция арксинуса переворачивает функцию синуса на бок, но для того, чтобы продолжать оставаться функцией (благодаря прохождению теста горизонтальной линии), диапазон функции арксинуса ограничен значением .
Это не совпадение, что диапазон функции синуса равен области определения функции арксинуса из-за природы обратных отношений.
y = sin x
y = arcsin x
SIN (x) Домен:
SIN (x) Диапазон:
ARCSIN (x) ARCSIN (x).
Сообщить об ошибке
Верно или неверно: ни одна из обратных тригонометрических функций не является функцией.
Возможные ответы:
Неверно
Верно
Правильный ответ:
Верно
Объяснение:
Это правда. Каждая из обратных триггерных функций не проходит тест вертикальной линии и, следовательно, не является функцией. По этой причине вы также увидите графики обратных триггерных функций, которые ограничивают домен таким образом, что его можно изобразить как функцию.
Сообщить об ошибке
Найти обратную функцию y = sin(x).
Возможные ответы:
y = tan(x)
Графики:
y = sin(x)
y = tan(x)
y = sin -1 (x)
Graphs:
y = sin (x)
y = sin -1 (x )
y = cos (x)
Графики:
Y = SIN (x)
Y = Cos (x)
Y = Cos (x)
y = cos (x)
910
0999999999999990909н.y = sin(x)
y = sin(x)
y = cos -1 (x)
Graphs:
y = sin (x)
y = cos -1 (x)
Correct answer:
y = sin
Графики:
y = sin (x)
y = sin -1 (x)
Пояснение:
Чтобы найти обратную функцию, поменяйте местами значения x и y, а затем найдите y.
Замените y = sin(x) на x = sin(y). Затем решить для y:
x = sin(y)
sin -1 (x) = sin -1 (sin(y))
sin -1 (x) = y
909 график каждой функции :
y = sin(x)
y = sin -1 (x)
Если вы посмотрите на верхний график и ограничите домен интервалом [-/2, /2], вы можете более четко увидеть взаимосвязь между двумя графиками.
Чтобы дополнительно проиллюстрировать взаимосвязь между двумя функциями, изучите входные и выходные данные двух функций на интервале [-/2, /2]:
y = sin(x)
y = sin -1 (x)
Сообщить об ошибке
В какой квадрант может попасть arccot (−½)?
Возможные ответы:
III и IV
II и IV
I и IV
II и III
Правильный ответ:
II и 4 IV Объяснение: Функция котангенса отрицательна в квадрантах II и IV, поэтому arccot (−½) может попасть в любой из этих квадрантов.
На изображении ниже показано, где каждая функция положительна. Все, что не отмечено, является отрицательным. Поскольку котангенс положителен в квадрантах I и III, он отрицателен в квадрантах II и IV.
Сообщить об ошибке
Какая из следующих функций может быть на этом графике?
Possible Answers:
arccos(x)
arctan(x)
arcsin(x)
arcsec(x)
arccsc(x)
Correct answer:
arcsec( х)
Объяснение:
Это график угловых секунд (x). Задумайтесь о нескольких точках функции sec(x): (-, -1), (0,1), (, -1). Теперь поменяйте местами значения x и y, чтобы получить: (-1, -), (1, 0), (-1, ). Обратите внимание, что (-1, -) и (1, 0) существуют на этом графике. (-1, ) не существует на этом графике, потому что для того, чтобы сделать это функцией, домен должен был быть ограничен таким образом, чтобы он прошел тест вертикальной линии.
Вы можете увидеть, как график arcsec(x) соотносится с графиком sec(x), сравнив их:
Сообщить об ошибке
В какой квадрант может попасть арксинус (−½)?
Possible Answers:
I and IV
I and III
II and III
I and II
III and IV
Correct answer:
III and IV
Объяснение:
Функция синуса отрицательна в квадрантах III и IV, поэтому арксинус (−½) может попасть в любой из этих квадрантов. На изображении ниже показано, где каждая функция положительна. Все, что не отмечено, является отрицательным. Поскольку синус положителен в квадрантах I и II, он отрицателен в квадрантах III и IV.
Сообщить об ошибке
Этот график может быть графиком какой из следующих функций?
Возможные ответы:
Arctan (x)
ARCCSC (x)
ARCCOT (x)
TAN (x)
9098 COT (x)TAN (x)
(x)
TAN (x) 8 (x)
(x) 8 (x)
.
х)
Объяснение:
Это график arccot(x). Подумайте о нескольких характеристиках функции cot(x): у нее есть точка в точках (-/2, 0) и вертикальные асимптоты в точках x=-, x=0 и x=. Обратите внимание, что на приведенном выше графике у нас есть точка (0, -/2), которая переворачивает значения x и y точки на cot(x), и мы также можем видеть горизонтальные асимптоты как при y=0, так и при y= . У нас также нет другой горизонтальной асимптоты в y=- , потому что нам нужно было ограничить область определения arccot(x), чтобы она была функцией и прошла тест вертикальной линии. Вы можете посмотреть на график кроватки(х) ниже, сравнить их и увидеть их сходство:
Report an Error
Evaluate the following expression, assuming that all angles are in Quadrant I:
Possible Answers:
5/12
13/5
12/5
13/12
13/5
Правильный ответ:
5/5
Объяснение:
Чтобы решить , сначала пусть .
Затем, . Поскольку это значение положительное, мы знаем, что это должно быть в квадранте I или квадранте II, но, учитывая инструкции, мы можем предположить, что A находится в квадранте I.
Далее, вспомните это .
Using the Pythagorean Theorem, you can solve for the following:
x 2 + y 2 = r 2
x 2 + 12 2 = 13 2
x = 5
Следовательно, . Теперь решите:
Следовательно,
Сообщите об ошибке
Оцените следующее выражение, предполагая, что все углы находятся в квадранте I:
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Чтобы решить , сначала пусть . Затем, . Поскольку это значение положительное, мы знаем, что это должно быть в квадранте I или квадранте IV, но, учитывая инструкции, мы можем предположить, что A находится в квадранте I.
Далее, вспомните это. Поэтому
По определению, при условии, что функция косинуса может выводить только значения в этом диапазоне.
Таким образом, .
Сообщить об ошибке
Укажите домен и диапазон и .
Possible Answers:
domain:
range:
domain:
range: , such that
domain:
range:
domain:
range:
domain:
range:
домен:
диапазон:
домен: , так что
диапазон:
домен:
Диапазон:
Домен:
. Объяснение:
Два графика помогают представить ситуацию. Домен — это все возможные значения x, а диапазон — все возможные значения y. Функция arctan меняет местами все значения x и y функции тангенса. Однако, чтобы продолжать оставаться функцией (путем прохождения теста горизонтальной линии), диапазон функции арктангенса ограничен значением .