Функция e x: Число е. Функция у = е^x, её свойства, график, дифференцирование — урок. Алгебра, 11 класс.

Показательная функция y = 2x.

График функции y = 2x показан ниже.    

Производная экспоненциальной функции  f(x) = a ^x , где a > 0 – произведение экспоненциальной функции a ^x и натурального логарифма a. Математически это можно представить в терминах интегрирования экспоненциальных функций следующим образом:

Когда мы строим график производной показательной функции, он меняет направление, когда a > 1 и когда a < 1. 

Теперь мы также можем найти производную показательной функции e ^x , используя приведенную выше формулу. Где e — натуральное число, называемое числом Эйлера. Это важная математическая константа, равная 2,71828 (приблизительно).

Итак, e ^x ln e = e ^x (так как ln e = 1)

Следовательно, производная экспоненциальной функции e ^x есть сама функция, т.е. если f(x) = e ^x

Тогда f'(x) = e ^x

График экспоненциальной функции помогает в изучении свойства показательных функций. Следующий график показателей степени x показывает, что по мере увеличения показателя кривая становится круче. Также увеличивается скорость роста.

Математически это означает, что при x > 1 значение y = fn(x). Таким образом, значение y увеличивается при увеличении значения (n).

Итак, можно сделать вывод, что характер полиномиальной функции зависит от ее степени. При увеличении степени любой полиномиальной функции рост увеличивается.

При a > 1 y = f(x) = a ^x  

Таким образом, для натурального числа n функция f (x) растет быстрее, чем функция f _n (x).

Показательная функция с основанием > 1, т. е. a > 1, может быть записана как y = f(x) = a ^x . Множество целых действительных чисел будет областью определения экспоненциальной функции. Более того, диапазон — это множество всех положительных действительных чисел.

Если ax = b и a > 1, логарифм b по основанию и равен x. В результате Loga b = x, если ax = b. Это называется логарифмической функцией.

Графики экспоненциальных функций Примеры

График экспоненциальной функции представляет собой возрастающую или убывающую кривую с горизонтальной асимптотой. Следующий график основной экспоненциальной функции y=a ^x обеспечит ясное понимание свойств экспоненциальных функций.
Когда a>1, график строго увеличивается как x. График пройдет через (0,1) независимо от значения a, потому что a 9x — все положительные действительные числа.

Из приведенных выше графиков можно сделать следующие выводы:  

• График проходит через (0,1) независимо от базового значения.
• Когда a>1, график увеличивается как x. Таким образом, он вогнут вверх.
• Когда 0
• График расположен над осью x.
• Ось X представляет собой горизонтальную асимптоту графика.

Интегрирование экспоненциальных функций

Следующие формулы интегрирования помогают найти интеграл экспоненциальной функции.

∫ ex dx = ex + C

∫ ax dx = ax / (ln a) + C

Правила экспоненциальных функций

Ниже приведены некоторые важные экспоненциальные правила. Следующие правила применимы ко всем действительным числам x и y, когда a > 0 и b > 0. Эти правила жизненно важны для решения задач на экспоненциальные функции.

1. Правило продукта

Когда основание одинаковое, показатели степени будут складываться при умножении оснований. Пример иллюстрирует правило.

A ^x A ^Y = A ^x+Y,

.G.G.G.G.G.G.G.G.G.G.G.G.G.G.GHEED 9.GHEEN 4. ^{4. 46 4. 4 4. 4 4. 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 . .}

⇒ 5 ⁵ = 3125

2. Правило частного

Когда основание равно числу, показатели степени вычитаются из деления оснований.

a ^x /a ^y = a ^x-y,

e.g., 5 ⁴ x 5 ² = 5 ^4-2

⇒ 5 ² = 25

3. Правило степени

Когда степень имеет показатель степени, основание будет одинаковым, а показатели степени умножатся.

(а ^х ) ^у = a ^xy,

напр. (5 ² ) ³ = 5 ^{2 × 3}

⇒ 5 ⁶ = 15,625

4. Сила продукта

, когда два различных базиса будут иметь в базис. , и произведение будет иметь такую ​​же мощность.

a ^x b ^x =(ab) ^x

⇒ 2 ² 3 ² = (2 x 3) ²

⇒ 6 ² = 36

5. Правило фракции

, когда Фрекация знаменатель и числитель будут иметь одинаковую мощность/показатель степени.

(a/b) ^x = a ^x /b ^x

⇒ (6/2) ² = 6 ² /2 ²

⇒ 36/4 = 9

6. Zero exponents rule

Any number to the power zero is equal to 1.

a ⁰ =1

2 ⁰ = 1

7. Правило отрицательного показателя степени 

Число с отрицательным показателем степени можно записать как 1, деленное на число, которое возводится в степень без отрицательного знака. Таким образом, отрицательная степень становится положительной в знаменателе.

A ^-x = 1/A ^x

5 ^-2 = 1/5 ^{2 .2} = 1/5 ^{2 . 2} = 1/5 ^{2 9000 2}

. Мы используем экспоненциальные функции в реальных приложениях для изучения различных моделей роста и темпов снижения. Каждая величина, которая уменьшается или увеличивается на фиксированный процент через определенные регулярные интервалы, обладает либо экспоненциальным затуханием, либо экспоненциальным ростом. Некоторые распространенные приложения включают в себя построение графиков роста/распада бактерий, роста и сокращения популяции и т. д.

Экспоненциальный рост

Экспоненциальный рост относится к увеличению количества с течением времени, которое сначала очень медленно, а затем быстро увеличивается. Таким образом, скорость изменений увеличивается с течением времени. Быстрый рост — это «экспоненциальный рост». Смежная кривая экспоненциального роста показывает экспоненциальный рост населения с течением времени. Следующая формула определяет экспоненциальный рост:

y = a (1+ r) ^x

, где r — процент роста.

Экспоненциальный спад

Экспоненциальный спад — это полная противоположность экспоненциальному росту. Мы широко используем экспоненциальный рост и распад для изучения бактериальных инфекций. Экспоненциальный распад относится к уменьшению количества с течением времени, которое сначала очень быстро, а затем замедляется. Таким образом, скорость изменения со временем уменьшается. Быстрое снижение — это «экспоненциальное снижение». Следующая формула определяет экспоненциальное затухание:

y = a (1-r) ^x ,

, где r — процент распада.

2.

 Решение экспоненциальной функции очень похоже на решение линейной функции.

Чтобы решить экспоненциальную функцию, вам нужно изолировать переменную в одной части уравнения, а затем решить ее, как если бы вы решали линейную функцию.

Например, предположим, что у нас есть следующее уравнение: 92 + 3x – 3x = 5 – 3x

Теперь мы можем изолировать x, разделив обе части на 2:

2(2)(3) + 6 = 5(3) + 6

И, наконец, мы получаем ответ :

6 = 10 

3.

 Экспоненциальные функции — это способ представления данных, которые изменяются во времени.

Они часто используются для описания роста или распада чего-либо с течением времени, например, роста населения или радиоактивного распада.

Растягивание, сжатие или отображение экспоненциальной функции

Результаты обучения

• График растянутой или сжатой экспоненциальной функции.
• График отраженной экспоненциальной функции.
• Напишите уравнение экспоненциальной функции, которая была преобразована.

В то время как сдвиги по горизонтали и вертикали включают добавление констант к входным данным или к самой функции, растяжение или сжатие 9{x}[/latex]

• растягивается по вертикали с коэффициентом a  , если [latex]|a|>1[/latex].
• сжимается по вертикали в a раз, если [latex]|a|<1[/latex].

  No related posts.

  Добавить комментарий Отменить ответ

  Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

  Комментарий *

  Имя *

  Email *

  Сайт

Пример 1: Упрощайте следующее: (2P 3 ) 3 /3 (с. 2 ) 3 7: 2 9024: 2 9024: 3 : 3 : 3 : 3 : 3 : 3 : 3 : 3 : 3 2 9001: 3 : 3 /3 (стр 2 ) 3 /3 (стр 2 ). × 3 / 3P 2 × 3 ⇒ 8 P / 3P 6 ⇒ 8P 9-6 /3 ⇒ 8P 3 /3