Функция x это: Графики функций. Построение графиков функций

Линейная функция (ЕГЭ 2022) | YouClever

Коэффициенты линейной функции

Для начала выясним, что делает коэффициент \( \displaystyle b\). Рассмотрим функцию \( \displaystyle y=x+b\), то есть \( \displaystyle k=1\).

Меняя \( \displaystyle b\) будем следить, что происходит с графиком.

Итак, начертим графики для разных значений \( \displaystyle b:b=-2,\text{ -}1,\text{ }0,\text{ }1,\text{ }2\):

Что ты можешь сказать о них? Чем отличаются графики?

Это сразу видно: чем больше \( \displaystyle b\), тем выше располагается прямая.

Более того, заметь такую вещь: график пересекает ось \( \displaystyle \mathbf{y}\) в точке с координатой, равной \( \displaystyle \mathbf{b}\)!

И правда. Как найти точку пересечения графика с осью \( \displaystyle y\)? Чему равен \( \displaystyle x\) в такой точке?

В любой точке оси ординат (это название оси \( \displaystyle y\), если ты забыл) \( \displaystyle x=0\).

Значит достаточно подставить \( \displaystyle x=0\) в функцию, и получим ординату пересечения графика с осью \( \displaystyle y\):

\( \displaystyle y=k\cdot 0+b=b\)

Теперь по поводу \( \displaystyle k\). Рассмотрим функцию \( \displaystyle \left( b=0 \right).\) Будем менять \( \displaystyle k\) и смотреть, что происходит с графиком.

Построим графики для \( \displaystyle k=-3,\text{ -}1,\text{ }0,\text{ }1,\text{ }2:\)

Так, теперь ясно: \( \displaystyle k\) влияет на наклон графика.

Чем больше \( \displaystyle k\) по модулю (то есть несмотря на знак), тем «круче» (под большим углом к оси абсцисс – \( \displaystyle Ox\)) расположена прямая.

Если \( \displaystyle k>0\), график наклонен «вправо», при \( \displaystyle k<0\) – «влево». А когда \( \displaystyle k=0\), прямая располагается вдоль оси абсциссс.

Давай разбираться. Начертим новый график \( \displaystyle y=kx+b\):

Выберем на графике две точки \( \displaystyle A\) и \( \displaystyle B\). Для простоты выберем точку \( \displaystyle A\) на пересечении графика с осью ординат. Точка \( \displaystyle B\) – в произвольном месте прямой, пусть ее координаты равны \( \displaystyle \left( x;y \right)\).

Рассмотрим прямоугольный треугольник \( \displaystyle ABC\), построенный на отрезке \( \displaystyle AB\) как на гипотенузе.

Из рисунка видно, что \( \displaystyle AC=x\), \( \displaystyle BC=y-b\).

Подставим \( \displaystyle y=kx+b\) в \( \displaystyle BC:BC=y-b=kx+b-b=kx\).

Получается, что \( BC = k \cdot AC{\rm{ }} \Rightarrow {\rm{ }}k = \frac{{BC}}{{AC}} = {\mathop{\rm tg}\nolimits} \alpha \).

Итак, коэффициент \( \displaystyle k\) равен тангенсу угла наклона графика, то есть угла между графиком и осью абсциссс.

Именно поэтому его (коэффициент \( \displaystyle k\)) обычно называют угловым коэффициентом.

В случае, когда \( k < 0,{\mathop{\rm tg}\nolimits} \alpha < 0,\) что соответствует тупому углу:

Если же \( \displaystyle k=0\), тогда и \( {\mathop{\rm tg}\nolimits} \alpha = 0,\) следовательно \( \displaystyle \alpha =0\), то есть прямая параллельна оси абсцисс.

Понимать геометрическое значение коэффициентов очень важно, оно часто используется в различных задачах на линейную функцию.

Функция sign(x) — это… Что такое Функция sign(x)?

Графики функций и поверхностей в Python Питон Matplotlib

Построение графиков с помощью модуля Matplotlib в Python Питон.

В этом уроке мы разберём, как строить графики функций с помощью модуля Matplotlib в Python Питон.
Matplotlib это библиотека для Python, предназначенная для визуализации данных. В данном уроке мы разберём построение графиков функций в Питон на плоскости и построение поверхности в трёхмерном пространстве. Зачастую, именно Matplotlib используется в научных исследованиях и конференциях для демонстрации полученных данных.
Для построения графиков нужно импортировать модуль Pyplot. Pyplot это модуль для работы с графиками в Питоне. Pyplot это набор команд, созданных для построения графиков функций и уравнений. Для удобного построения графиков так же нужно использовать библиотеку NumPy.
Matplotlib, как и NumPy, встроен в среду разработки Spyder, поэтому их можно импортировать без предварительной установки.
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
as np и as plt означает, что когда мы будем вызывать функции и процедуры из модулей, вместо названия модулей мы будем использовать np и plt.
Для построения графика функции в Python нужно задать саму функцию. Её можно задать с помощью лямбда-функции. Лямбда-функция — это краткий способ записи обычной функции в одну строчку. В этом уроке мы рассмотрим построение синусоиды на Питоне. Синусоида задаётся функцией f(x) = sin(x).
y = lambda x: np.sin(x)
y это обозначение функции (для её вызова мы будем использовать y(x)), lambda это ключевое слово, обозначающее начало задания лямбда-функции, x это аргумент, использующийся в функции, после двоеточия задаётся функция. Так как в стандартном Python нет функции, возвращающей синус x, мы его задаём с помощью NumPy, его мы импортировали под именем np.
Все действия в Pyplot производятся на рисунках. Для построения графика функции в Python нужно сначала задать сетку координат. Сетка координат в python задается с помощью команды  plt.subplots().
fig = plt.subplots()
Мы должны определить область значений, на которой мы будем строить график функции в Питоне. Это делается с помощью linspace.
x = np.linspace(-3, 3, 100)
linspace создаёт массив с нижней границей -3 и верхней границей 3, в созданном массиве будет 100 элементов. Чем больше будет последнее число, тем больше значений функции будет рассчитываться, тем точнее будет отображаться график в Python.
После того, как мы создали систему координат, область построения, мы можем построить график в Питон. Для построения графика фуекции в Python нужно использовать команду plt.plot(x, y(x)), где x это аргумент, y(x) это функция от x, заданная с помощью лямбда-выражения.
plt.plot(x, y(x))
После того, как мы построили  график в Python, нужно показать его на рисунке. Для этого используется plt.show().
Полный код программы на python для рисования графика функции
# импортируем модули
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# функция
y = lambda x: np.sin(x)
# создаём рисунок с координатную плоскость
fig = plt.subplots()
# создаём область, в которой будет
# — отображаться график
x = np.linspace(-3, 3,100)
# значения x, которые будут отображены
# количество элементов в созданном массиве
# — качество прорисовки графика 
# рисуем график
plt.plot(x, y(x))
# показываем график
plt.show()

Получим график синусоиды в python в отдельном окне

Отображение нескольких графиков на одном рисунке в Python

В одной области в python можно отобразить графики нескольких функций. Добавим aeyrwb. y=x  и нарисуем ее совместно с синусоидой.
Для этого введем еще одну функцию с помощью lambda
y1=lambda x: x
Построим график этой функции
plt.plot(x,y1(x))
В итоге программа в Python для построения графиков двух функций в одном окне

# импортируем модули
import numpy as np
import matplotlib.2
от двух аргументов. Аргументы x и y, функция z.
f = lambda x, y: x ** 2 — y ** 2
Чтобы начать рисовать трехмерные поверхности в Python нужно сначал задать область построения с помощью функции  plt.figure принимает параметр figsize(x, y), где x и y – ширина и высота рисунка в дюймах. Создадим рисунок в Python размером 12×6 дюймов для отображения графиков
fig = plt.figure(figsize = (12, 6))
В построенной области мы создадим рисунок, в котором будут отображено трёхмерное пространство с координатными осями и сама поверхность. В Питоне для этого используется fig.add_subplot(). 
ax = fig.add_subplot(1, 1, 1, projection = ‘3d’)
Функция в Python fig.add_subplot() разбивает область построения на клетки и задает в какой клетке рисовать трехмерный график. Так команда ax = fig.add_subplot(1, 1, 1, projection = ‘3d’) разбивает область построения на две клтки и в первую клетку будет отображаться трехмерный гарфик, благодаря аргументу projection = ‘3d’ 
Введём области отображения функции для каждого аргумента в Питон.
xval = np.linspace(-5, 5, 100)
yval = np.linspace(-5, 5, 100)
Нужно создать поверхность, которая будет отображаться на рисунке в Python. Для этого используется
surf = ax.plot_surface(x, y, z, rstride = 4, cstride = 4, cmap = cm.plasma)
Где x и y это принимаемые аргументы, z это получаемая функция, rstride и cstride отвечает за шаг прорисовки поверхности в Питон, чем меньше будут эти значения, тем более плавно будет выглядеть градиент на поверхности. С помощью cmap.plasma поверхность будет отображаться с цветовой схемой plasma. Например, существуют цветовые схемы, такие как viridis и magma. Полный список цветовых схем есть на сайте Matplotlib.
Пример программы на Python построение поверхности в трёхмерном пространстве# импортируем модули
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
import numpy as np
from matplotlib import cm
import matplotlib.pyplot as plt
# уравнение поверхности
f = lambda x, y: x ** 2 — y ** 2
# создаём полотно для рисунка
fig = plt.figure(figsize = (10, 10))
# создаём рисунок пространства с поверхностью
ax = fig.add_subplot(1, 1, 1, projection = ‘3d’)
# размечаем границы осей для аргументов
xval = np.linspace(-4, 4, 100)
yval = np.linspace(-4, 4, 100)
# создаём массив с xval столбцами и yval строками
# — в этом массиве будут храниться значения z
x, y = np.meshgrid(xval, yval)
# приравниваем z к функции от x и y 
z = f(x, y)
# создаём поверхность
surf = ax.plot_surface(
# отмечаем аргументы и уравнение поверхности
x, y, z, 
# шаг прорисовки сетки
# — чем меньше значение, тем плавнее
# — будет градиент на поверхности
rstride = 10,
cstride = 10,
# цветовая схема plasma
cmap = cm.plasma)

Получим график трехмерной поверхности в цветовой гамме в специальном окне

Изменим параметры построения трехмерной поверхности, уменьшим размер сетик, сделаем поверхность более плавной и точной для этого уменьшаем параметры и сменим цветовую гамму на viridis

rstride = 2,
cstride = 2,
cmap = cm.viridis)

Получим график трехмерной поверхности в Python более точный и в другой цветовой гамме

Вернуться к содержанию курса python Следующая тема Классы в Питон

Поделиться:

область определения, нули функции, четность функции и все остальные.

Функция — это одно из важнейших математических понятий. Функция — зависимость переменной у от переменной x, если каждому значению х соответствует единственное значение у. Переменную х называют независимой переменной или аргументом. Переменную у называют зависимой переменной. Все значения независимой переменной (переменной x) образуют область определения функции. Все значения, которые принимает зависимая переменная (переменная y), образуют область значений функции.

Графиком функции называют множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты — соответствующим значениям функции, тоесть по оси абсцисс откладываются значения переменной x, а по оси ординат откладываются значения переменной y. Для построения графика функции необходимо знать свойства функции. Основные свойства функции будут рассмотрены далее!

Для построения графика функции советуем использовать нашу программу — Построение графиков функций онлайн. Если при изучении материала на данной странице у Вас возникнут вопросы, Вы всегда можете задать их на нашем форуме. Также на форуме Вам помогут решить задачи по математике, химии, геометрии, теории вероятности и многим другим предметам!

Основные свойства функций.

1) Область определения функции и область значений функции.

Область определения функции — это множество всех допустимых действительных значений аргумента x (переменной x), при которых функция y = f(x) определена.
Область значений функции — это множество всех действительных значений y, которые принимает функция.

В элементарной математике изучаются функции только на множестве действительных чисел.

2) Нули функции.

Нуль функции – такое значение аргумента, при котором значение функции равно нулю.

3) Промежутки знакопостоянства функции.

Промежутки знакопостоянства функции – такие множества значений аргумента, на которых значения функции только положительны или только отрицательны.

4) Монотонность функции.

Возрастающая функция (в некотором промежутке) — функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.

Убывающая функция (в некотором промежутке) — функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.

5) Четность (нечетность) функции.

Четная функция — функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения выполняется равенство f(-x) = f(x). График четной функции симметричен относительно оси ординат.

Нечетная функция — функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения справедливо равенство f(-x) = — f(x). График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

6) Ограниченная и неограниченная функции.

Функция называется ограниченной, если существует такое положительное число M, что |f(x)| ≤ M для всех значений x . Если такого числа не существует, то функция — неограниченная.

7) Периодическость функции.

Функция f(x) — периодическая, если существует такое отличное от нуля число T, что для любого x из области определения функции имеет место: f(x+T) = f(x). Такое наименьшее число называется периодом функции. Все тригонометрические функции являются периодическими. (Тригонометрические формулы).

Изучив данные свойства функции Вы без проблем сможете исследовать функцию и по свойствам функции сможете построить график функции. Также посмотрите материал про таблицу истинности, таблицу умножения, таблицу Менделеева, таблицу производных и таблицу интегралов.

Слишком сложно?

Свойства функции не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

Линейная функция. Построение графика линейной функции.

1. Понятие функции
2. Линейная функция
3. Построение графика линейной функции

Сегодняшняя статья посвящена понятию «функция». Линейная функция и координатная плоскость. Изучение правил построения графика линейной функции.

Понятие функции

Рассмотрим следующую конструкцию: y = f(x).

В школе так обозначают функцию. Многих учеников пугает данная запись, но, если заменить слово функция на слово зависимость, вся эта конструкция прочитается уже немножко по-другому.  Если вместо F поставить слово «зависит», то мы прочитаем «Y зависит от X». F — это некоторые правила или формула, зная которые при помощи подстановки вместо X каких-то чисел мы можем найти Y. Правила эти задаются совершенно разными формулами. Например, самый простой пример: y = 2x +1

2x+1 – это и есть правило, которое в уравнении функции обозначается буквой F. Если мы вместо X поставим 1, мы всегда можем посчитать Y.  

Правило может быть любым, например: x²+x-1

Значение Y полностью зависит от значения X. X — это независимая переменная, Y — зависимая переменная. Буква X в этом уравнении функции y=f(x) называется аргументом. Y называется значением функции или просто функцией.

Линейная функция

Возьмём уравнение функции, которое мы уже рассматривали

y = 2x +1

Составим следующую табличку, как показано на рисунке. Вместо X мы будем подставлять любые числа, какие захотим. После того, как мы выбрали значения Х, нужно найти соответствующие им значения Y и записать их в таблицу.

Что же за числа у нас получились. Это те самые значения аргумента и значения нашей функции. А теперь давайте представим, что пары чисел X и Y – это координаты точек на координатной плоскости. Обозначив и соединив эти точки, мы получим графическое изображение функции, это самой зависимости. Если взять абсолютно любую точку на получившейся прямой, найти ее координаты и подставить уравнение функции, то это уравнение превратится в верное равенство. Олимпиада по математике на 20% состоит из заданий на различного рода функции, и знать самую основную из них — это очень важно.

Построение графика линейной функции

График функции — это множество точек, соединенных между собой линией, а точки эти получены при подставлении вместо X каких-то чисел и подсчете Y.

Линейная функция — одна из самых основных, самая простая функция, графиком которой является простая прямая линия.

y = kx + b, где x — независимая переменная, k и b — любые числа. Если K положительное, то график функции идет вверх, то есть возрастает. Если он отрицателен, то график функции идет вниз, то есть убывает. Если функция возрастает, то угол между этой прямой и осью Х  острый, если функция убывает, то угол между этой прямой и осью Х всегда тупой. Именно поэтому этот самый коэффициент назвали угловым коэффициентом этой прямой. Если угловой коэффициент равен нулю, то прямая параллельна оси X. Число B – это координата Y точки пересечения графика функции с осью Y.

— пояснения и примеры

Концепция функций была разработана в семнадцатом веке, когда Рене Декарт использовал эту идею для моделирования математических отношений в своей книге Geometry . Термин «функция» был введен Готфридом Вильгельмом Лейбницем через пятьдесят лет после публикации Geometry.

Позже Леонард Эйлер формализовал использование функций, когда ввел понятие обозначения функций; у = f (х).Так продолжалось до 1837 года, когда немецкий математик Петер Дирихле дал современное определение функции.

Что такое функция?

В математике функция — это набор входных данных с одним выходом в каждом случае. У каждой функции есть домен и диапазон. Область — это набор независимых значений переменной x для определенного отношения или функции. Проще говоря, домен — это набор значений x, которые генерируют реальные значения y при подстановке в функцию.

С другой стороны, диапазон — это набор всех возможных значений, которые может выдать функция. Диапазон функции может быть выражен в виде интервалов или содержать информацию о неравенствах.

Что такое обозначение функции?

Обозначение можно определить как систему символов или знаков, обозначающих такие элементы, как фразы, числа, слова и т. Д.

Следовательно, обозначение функций — это способ представления функции с помощью символов и знаков.Обозначение функций — это более простой способ описания функции без подробного письменного объяснения.

Чаще всего используется обозначение функции f (x), которое читается как «f» или «x». В этом случае буква x, помещенная в круглые скобки, и весь символ f (x) обозначают набор домена и набор диапазонов соответственно.

Хотя f — самая популярная буква, используемая при написании обозначений функций, любая другая буква алфавита также может использоваться как в верхнем, так и в нижнем регистре.

Преимущества использования обозначения функций

• Поскольку большинство функций представлены различными переменными, такими как; a, f, g, h, k и т. д., мы используем f (x), чтобы избежать путаницы относительно того, какая функция оценивается.
• Обозначение функций позволяет легко идентифицировать независимую переменную.
• Обозначение функции также помогает нам идентифицировать элемент функции, который необходимо исследовать.

Рассмотрим линейную функцию y = 3x + 7. Чтобы записать такую ​​функцию в обозначении функции, мы просто заменяем переменную y фразой f (x), чтобы получить;

f (x) = 3x + 7.Эта функция f (x) = 3x + 7 читается как значение f для x или как f для x.

Типы функций

В алгебре есть несколько типов функций.

К наиболее распространенным типам функций относятся:

Линейная функция — это полином первой степени. Линейная функция имеет общий вид f (x) = ax + b, где a и b — числовые значения, а a 0.

Полиномиальная функция второй степени известна как квадратичная функция. Общая форма квадратичной функции: f (x) = ax ² + bx + c, где a, b и c — целые числа и a 0.

Это полиномиальная функция от 3 ^rd градусов, которая имеет форму f (x) = ax ³ + bx ² + cx + d

Логарифмическая функция — это уравнение, в котором переменная отображается как аргумент логарифма. Общая функция функции f (x) = log a (x), где a — основание, а x — аргумент.

Экспоненциальная функция — это уравнение, в котором переменная появляется как показатель степени. Экспоненциальная функция представлена ​​как f (x) = a ^x .

f (x) = sin x, f (x) = cos x и т. Д. Являются примерами тригонометрических функций

1. Identity Function:

Идентификационная функция такова, что f: A → B и f (x ) = x, ∀ x ∈ A

1. Рациональная функция:

Функция называется рациональной, если R (x) = P (x) / Q (x), где Q (x) ≠ 0.

Как оценивать функции?

Оценка функции — это процесс определения выходных значений функции. Это делается путем подстановки входных значений в обозначение данной функции.

Пример 1

Запишите y = x ² + 4x + 1, используя обозначение функции, и оцените функцию при x = 3.

Решение

Учитывая, y = x ² + 4x + 1

Применяя обозначение функции, получаем

f (x) = x ² + 4x + 1

Оценка:

Заменить x на 3

f (3) = 3 ² + 4 × 3 + 1 = 9 + 12 + 1 = 22

Пример 2

Вычислить функцию f (x) = 3 (2x + 1), когда x = 4.

Решение

Подставьте x = 4 в функцию f (x).

f (4) = 3 [2 (4) + 1]

f (4) = 3 [8 + 1]

f (4) = 3 x 9

f (4) = 27

Пример 3

Запишите функцию y = 2x ² + 4x — 3 в обозначении функции и найдите f (2a + 3).

Решение

y = 2x ² + 4x — 3 ⟹ f ​​(x) = 2x ² + 4x — 3

Заменить x на (2a + 3).

f (2a + 3) = 2 (2a + 3) ² + 4 (2a + 3) — 3

= 2 (4a ² + 12a + 9) + 8a + 12 — 3
= 8a ² + 24a + 18 + 8a + 12-3
= 8a ² + 32a + 27

Пример 4

Представьте y = x ³ — 4x, используя обозначение функции, и решите для y при x = 2.

Решение

Учитывая функцию y = x ³ — 4x, замените y на f (x), чтобы получить;

f (x) = x ³ — 4x

Теперь оцените f (x), когда x = 2

⟹ f (2) = 2 ³ — 4 × 2 = 8-8 = 0

Следовательно , значение y при x = 2 равно 0

Пример 5

Найдите f (k + 2) при условии, что f (x) = x² + 3x + 5.

Решение

Чтобы оценить f (k + 2), замените x на (k + 2) в функции.

⟹ f (k + 2) = (k + 2) ² + 3 (k + 2) + 5

⟹ k² + 2² + 2k (2) + 3k + 6 + 5

⟹ k² + 4 + 4k + 3k + 6 + 5

= k² + 7k + 15

Пример 6

Учитывая обозначение функции f (x) = x ² — x — 4. Найдите значение x, когда f ( x) = 8

Решение

f (x) = x ² — x — 4

Заменить f (x) на 8.

8 = x ² — x — 4

x ² — x — 12 = 0

Решите квадратное уравнение путем разложения на множители, чтобы получить;

⟹ (x — 4) (x + 3) = 0

⟹ x — 4 = 0; x + 3 = 0

Следовательно, значения x при f (x) = 8 равны;

х = 4; x = -3

Пример 7

Вычислите функцию g (x) = x ² + 2 при x = −3

Решение

Замените x на -3.

г (−3) = (−3) ² + 2 = 9 + 2 = 11

Примеры обозначений функций из реальной жизни

Обозначения функций можно применять в реальной жизни для оценки математических задач, как показано ниже Примеры:

Пример 8

Для производства определенного продукта компания тратит x долларов на сырье и y долларов на рабочую силу. Если себестоимость продукции описывается функцией f (x, y) = 36000 + 40x + 30y + xy / 100.Рассчитайте стоимость производства, если фирма тратит 10 000 и 1 000 долларов на сырье и рабочую силу соответственно.

Решение

Дано x = 10000 долларов США и y = 1000 долларов США

Подставьте значения x и y в функцию производственных затрат

⟹f (10000, 1000) = 36000 + 40 (10000) + 30 (1000) + (10000) (1000) / 100.

⟹ f (10000, 1000) = 36000 + 4000000 + 30000 + 100000

⟹ 4136000 долларов.

Пример 9

Мэри экономит 100 долларов в неделю на предстоящий день рождения.Если у нее уже есть 1000 долларов, сколько у нее будет через 22 недели.

Решение

Пусть x = количество недель, а f (x) = общая сумма. Мы можем записать эту проблему в обозначении функции как;

f (x) = 100x + 1000
Теперь оцените функцию, когда x = 22
f (22) = 100 (22) +1000
f (22) = 3200

Таким образом, общая сумма составит 3200 долларов.

Пример 10

Стоимость разговора в двух мобильных сетях A и B составляет 34 доллара плюс 0.05 / мин и 40 долларов плюс 0,04 / мин соответственно.

1. Представьте эту проблему в обозначении функций.
2. Какая мобильная сеть является доступной с учетом того, что в среднем каждый месяц используется 1 160 минут.
3. Когда ежемесячные счета двух сетей равны?

Решение

1. Пусть x будет количеством минут, используемых в каждой сети.

Следовательно, функция сети A равна f (x) = 0,05x + 34, а функция сети B — f (x) = 0.04x + 40 долларов.

1. Чтобы определить, какая сеть является доступной, подставьте x = 1160 в каждую функцию

A ⟹ f (1160) = 0,05 (1160) + 34

= 58 + 34 = 92 доллара США

B f (1160) = 0,04 (1160) + 40

= 46,4 + 40

= 86,4 долл. США

Следовательно, сеть B является доступной, поскольку ее общая стоимость времени разговора меньше, чем у A.

1. Приравняйте две функции и решите x

⟹ 0,05x +34 = 0,04x + 40

⟹ 0,01x = 6

x = 600

Ежемесячный счет для A и B будет равен, когда среднее количество минут составляет 600.

Доказательство:

A ⟹ 0,05 (600) +34 = 64 доллара США

B ⟹ 0,04 (600) + 40 = 64 доллара США

Пример 11

Определенное число такое, что при его добавлении к 142, результат на 64 раза больше исходного числа. Найдите номер.

Решение

Пусть x = исходное число, а f (x) будет результатом добавления 142.

f (x) = 142 + x = 3x + 64

2x = 78

x = 39

Пример 12

Если произведение двух последовательных положительных целых чисел равно 1122, найдите два целых числа.

Решение

Пусть x будет первым целым числом;

второе целое число = x + 1

Теперь сформируйте функцию как;

f (x) = x (x + 1)

найти значение x, если f (x) = 1122

Заменить функцию f (x) на 1122

1122 = x (x + 1)

1122 = x ² + 1

x ² = 1121

Найдите квадрат обеих сторон функции

x = 33

x + 1 = 34

Целые числа 33 и 34.

2.6: Функция [x]. символы «O», «o» и «∼»

Мы начнем этот раздел с введения важной теоретико-числовой функции. Мы перейдем к определению некоторых удобных символов, которые будут использоваться в связи с ростом и поведением некоторых функций, которые будут определены в следующих главах.

Функция \ ([x] \)

Функция \ ([x] \) представляет наибольшее целое число, не превышающее \ (x \).Другими словами, для действительного \ (x \), \ ([x] \) — это единственное целое число такое, что

\ [x-1 <[x] \ leq x <[x] +1. \]

Мы также определяем \ (((x)) \) как дробную часть \ (x \). Другими словами \ (((x)) = x- [x] \).

Примечание

Теперь мы перечислим некоторые свойства \ ([x] \), которые будут использоваться в более поздних или более продвинутых курсах теории чисел.

1. \ ([x + n] = [x] + n \), если \ (n \) является целым числом.
2. \ ([x] + [y] \ leq [x + y] \).
3. \ ([x] + [- x] \) равно 0, если \ (x \) является целым числом, и -1 в противном случае.
4. Число целых чисел \ (m \), для которых \ (x
5. Количество кратных \ (m \), которые не превышают \ (x \), равно \ ([x / m] \).

Используя определение \ ([x] \), легко увидеть, что указанные выше свойства являются прямым следствием определения.

Теперь мы определим некоторые символы, которые будут использоваться для оценки роста теоретико-числовых функций. Эти символы не будут оценены в контексте этой книги, но они часто используются во многих аналитических доказательствах.

Символы «О» и «О»

Пусть \ (f (x) \) — положительная функция, а \ (g (x) \) — любая функция. Тогда \ (O (f (x)) \) (произносится как «big-oh» из \ (f (x) \)) обозначает набор функций \ (g (x) \), рост которых ограничен что из \ (f (x) \) в некотором отношении. Традиционное обозначение для утверждения, что \ (g (x) \) принадлежит этому набору: \ [g (x) = O (f (x)). \] Это означает, что для достаточно большого \ (x \),

\ [\ frac {\ mid g (x) \ mid} {| f (x) |}

здесь \ (M \) — некоторое положительное число.x) \) также в \ (\ infty \) для любой константы \ (k \).

Обозначение, что \ (f (x) \) асимптотически равно \ (g (x) \), обозначается \ (\ sim \). Формально говоря, мы говорим, что \ (f (x) \ sim g (x) \), если

\ [\ lim_ {x \ rightarrow \ infty} \ frac {f (x)} {g (x)} = 1. \]

\ ([х] \ сим х \).

Целью введения этих символов является упрощение сложных математических выражений. Некоторые выражения могут быть представлены как основная часть, которая вам нужна, плюс остаточный член.Остаточный член можно выразить, используя указанные выше обозначения. Поэтому, когда вам нужно объединить несколько выражений, оставшиеся части, включающие эти символы, можно легко объединить. Сформулируем теперь некоторые свойства перечисленных выше символов без доказательства. Эти свойства легко доказать, используя определения символов.

1. \ (O (O (f (x))) = O (f (x)) \),
2. \ (o (o (f (x))) = o (f (x)) \).
3. \ (O (f (x)) \ pm O (f (x)) = O (f (x)) \),
4. \ (o (f (x) \ pm o (f (x)) = o (f (x)) \),
5. \ (O (f (x)) \ pm O (g (x)) = O (\ max (f (x), g (x))) \),

Есть некоторые другие свойства, которые мы здесь не упомянули, свойства, которые редко используются в теоретико-числовых доказательствах.

Упражнения

1. Докажите пять свойств \ ([x] \)
2. Докажите пять свойств обозначений \ (O \) и \ (o \) в примере 24.

Авторы и авторство

• Доктор Виссам Раджи, доктор философии, Американский университет в Бейруте. Его работа была выбрана фондом Saylor Foundation Open Textbook Challenge для публичного выпуска по лицензии Creative Commons Attribution ( CC BY ).

Функции — Алгебра — Математика A-Level Revision

В этом разделе рассматриваются функции в рамках более широкой темы алгебры.

Функцию можно рассматривать как правило, которое берет каждый элемент x набора и присваивает ему то же самое значение y , известное на его изображении.

x → Функция → y

Буква f, g или h часто используется для обозначения функции.Функция, которая возводит число в квадрат и добавляет 3, может быть записана как f (x) = x ² + 5 . Это же понятие можно использовать, чтобы показать, как функция влияет на определенные значения.

Пример

f (4) = 4 ² + 5 = 21, f (-10) = (-10) ² +5 = 105 или альтернативно f : x → x ² + 5 .

Фраза «y является функцией x» означает, что значение y зависит от значения x, поэтому:

• y можно записать через x (например,грамм. у = 3х).
• Если f (x) = 3x и y является функцией x (т.е. y = f (x)), то значение y, когда x равно 4, равно f (4), которое находится путем замены x «s на 4. «с.

Пример

Если f (x) = 3x + 4, найти f (5) и f (x + 1).

f (5) = 3 (5) + 4 = 19
f (x + 1) = 3 (x + 1) + 4 = 3x + 7

Домен и диапазон

Область функции — это набор значений, которые вам разрешено вводить в функцию (то есть все значения, которые может принимать x).Диапазон функции — это набор всех значений, которые функция может принимать, другими словами, все возможные значения y, когда y = f (x). Итак, если y = x ² , мы можем выбрать в качестве домена все действительные числа. Диапазон — это все действительные числа, большие (или равные) нулю, поскольку, если y = x ² , y не может быть отрицательным.

Индивидуальные встречи

Мы говорим, что функция взаимно однозначная , если для каждой точки y в диапазоне функции существует только одно значение x такое, что y = f (x).f (x) = x ² не один к одному, потому что, например, есть два значения x, такие что f (x) = 4 (а именно –2 и 2). На графике функция взаимно однозначна, если любая горизонтальная линия разрезает график только один раз.

Составные функции

fg означает выполнение функции g, затем функции f. Иногда fg записывается как fog

Пример

Если f (x) = x ² и g (x) = x — 1, то
gf (x) = g (x ² ) = x ² — 1
fg (x) = f (x — 1) = (х — 1) ²

Как видите, fg не обязательно равно gf

Обратная функция

Обратной функцией является функция, которая обращает эффект исходной функции.Например, y = 2x, обратное y = ½ x.
Чтобы найти обратную функцию, поменяйте местами x «s и y» s и сделайте y объектом формулы.

Пример

Найдите обратное к f (x) = 2x + 1
Пусть y = f (x), поэтому y = 2x + 1
поменять местами x «s и y» s:
x = 2y + 1
Сделайте y объектом формулы:
2y = x — 1, поэтому y = ½ (x — 1)
Следовательно, f ^-1 (x) = ½ (x — 1)

f ^-1 (x) — стандартное обозначение, обратное f (x).Говорят, что обратное существует тогда и только тогда, когда существует функция f ^-1 с ff ^-1 (x) = f ^-1 f (x) = x

Обратите внимание, что график f ^-1 будет отражением f в линии y = x.

Это видео объясняет больше об обратной функции

Графики

Функции можно изобразить. Функция непрерывная , если на ее графике нет разрывов. Пример прерывистого графа — y = 1 / x, поскольку граф нельзя нарисовать, не отрывая карандаш от бумаги:

Функция периодическая , если ее график повторяется через равные промежутки времени, этот интервал известен как период.

Функция равна , даже если она не изменяется при замене x на -x. График такой функции будет симметричным по оси ординат. Даже функции, которые являются полиномами, имеют четные степени (например, y = x²).
Функция нечетная , если знак функции изменяется при замене x на -x. График функции будет иметь симметрию вращения относительно начала координат (например, y = x³).

Функция модуля

Модуль числа — это величина этого числа.Например, модуль -1 (| -1 |) равен 1. Модуль x, | x |, равен x для значений x, которые положительны, и -x для значений x, которые отрицательны. Итак, график y = | x | y = x для всех положительных значений x и y = -x для всех отрицательных значений x:

Преобразование графиков

Если y = f (x), график y = f (x) + c (где c — константа) будет графиком y = f (x), сдвинутым на c единиц вверх (в направлении y- ось).
Если y = f (x), график y = f (x + c) будет графиком y = f (x), сдвинутым на c единиц влево.
Если y = f (x), график y = f (x — c) будет графиком y = f (x), сдвинутым на c единиц вправо.
Если y = f (x), график y = af (x) представляет собой отрезок графика y = f (x), масштабный коэффициент (1 / a), параллельный оси x. [Масштабный коэффициент 1 / a означает, что «растяжение» фактически приводит к сжатию графика, если a — число больше 1]

Пример

График y = | x — 1 | будет таким же, как на приведенном выше графике, но со смещением на одну единицу вправо (так, чтобы точка V ударилась о ось x на 1, а не на 0).

Определение функций с помощью графиков | Колледж алгебры

Результаты обучения

• Проверить работу с помощью теста вертикальной линии
• Проверьте однозначное соответствие с помощью теста горизонтальной линии
• Определить графики функций инструментария

Как мы видели в примерах выше, мы можем представить функцию с помощью графика. Графики отображают множество пар ввода-вывода на небольшом пространстве. Предоставляемая ими визуальная информация часто упрощает понимание взаимоотношений.Обычно мы строим графики с входными значениями по горизонтальной оси и выходными значениями по вертикальной оси.

Наиболее распространенные графики называют входное значение [latex] x [/ latex] и выходное значение [latex] y [/ latex], и мы говорим, что [latex] y [/ latex] является функцией [latex] x [ / latex] или [latex] y = f \ left (x \ right) [/ latex], если функция называется [latex] f [/ latex]. График функции — это набор всех точек [латекс] \ left (x, y \ right) [/ latex] в плоскости, которая удовлетворяет уравнению [латекс] y = f \ left (x \ right) [/ latex ].Если функция определена только для нескольких входных значений, то график функции представляет собой только несколько точек, где координата x каждой точки является входным значением, а координата y каждой точки является соответствующее выходное значение. Например, черные точки на графике на графике ниже говорят нам, что [латекс] f \ left (0 \ right) = 2 [/ latex] и [latex] f \ left (6 \ right) = 1 [/ latex ]. Однако набор всех точек [latex] \ left (x, y \ right) [/ latex], удовлетворяющих [latex] y = f \ left (x \ right) [/ latex], является кривой.Показанная кривая включает [латекс] \ left (0,2 \ right) [/ latex] и [latex] \ left (6,1 \ right) [/ latex], потому что кривая проходит через эти точки.

Тест вертикальной линии может использоваться для определения того, представляет ли график функцию. Вертикальная линия включает все точки с определенным значением [latex] x [/ latex]. Значение [latex] y [/ latex] точки, где вертикальная линия пересекает график, представляет собой выход для этого входного значения [latex] x [/ latex]. Если мы можем нарисовать любую вертикальную линию , которая пересекает график более одного раза, тогда график , а не определяет функцию, потому что это значение [latex] x [/ latex] имеет более одного вывода.Функция имеет только одно выходное значение для каждого входного значения.

Практическое руководство. Имея график, используйте тест вертикальной линии, чтобы определить, представляет ли график функцию.

1. Проверьте график, чтобы убедиться, что какая-либо вертикальная линия пересекает кривую более одного раза.
2. Если такая линия есть, график не представляет функцию.
3. Если ни одна вертикальная линия не может пересекать кривую более одного раза, график действительно представляет функцию.

Пример: применение теста вертикальной линии

Какой из графиков представляет функцию [латекс] y = f \ left (x \ right)? [/ Latex]