Функция x это: Графики функций. Построение графиков функций

Содержание

Функции y=|x|, y=[x],y={x}, y=sign(x) и их графики. Функция f(x)=|x|

Функция $f(x)=|x|$

$|x|$ — модуль. Он определяется следующим образом: Если действительное число будет неотрицательным, то значение модуля совпадает с самим числом. Если же отрицательно, то значение модуля совпадает с абсолютным значением данного числа.

Математически это можно записать следующим образом:

Пример 1

Исследуем и построим её график.

  1. $D\left(f\right)=R$.
  2. По определению модуля действительного числа, получим, что$E\left(f\right)=[0,\infty )$
  3. $f\left(-x\right)=|-x|=|x|=f(x)$. Значит, функция четна.
  4. При $x=0,\ y=0$. Точка $\left(0,0\right)$ — единственное пересечение с координатными осями.
  5. \[f’\left(x\right)=\left\{ \begin{array}{c} {1,x >0,} \\ {-1,xФункция будет возрастать на промежутке $x\in (0,+\infty )$

    Функция будет убывать на промежутке $x\in (-\infty ,0)$

  6. Значения на концах области определения.

    \[{\mathop{\lim }_{x\to -\infty } y\ }=+\infty \] \[{\mathop{\lim }_{x\to +\infty } y\ }=+\infty \]

    Рисунок 1.

Помощь со студенческой работой на тему


Функции y=|x|, y=[x],y={x}, y=sign(x) и их графики. Функция f(x)=|x|

Функция $f(x)=[x]$

Функция $f\left(x\right)=[x]$ — функция целой части числа. Она находится округлением числа (если оно само не целое) «в меньшую сторону».

Пример: $[2,6]=2.$

Пример 2

Исследуем и построим её график.

  1. $D\left(f\right)=R$.
  2. Очевидно, что эта функция принимает только целые значения, то есть $\ E\left(f\right)=Z$
  3. $f\left(-x\right)=[-x]$. Следовательно, эта функция будет общего вида.
  4. $(0,0)$ — единственная точка пересечения с осями координат.
  5. $f’\left(x\right)=0$
  6. Функция имеет точки разрыва (скачка функции) при всех $x\in Z$.

Рисунок 2.

Функция $f\left(x\right)=\{x\}$

Функция $f\left(x\right)=\{x\}$ — функция дробной части числа. Она находится «отбрасыванием» целой части этого числа.

$\{2,6\}=0,6$

Пример 3

Исследуем и построим график функции

  1. $D\left(f\right)=R$.

  2. Очевидно, что эта функция никогда не будет отрицательной и никогда не будет больше единицы, то есть $\ E\left(f\right)=[0,1)$

  3. $f\left(-x\right)=\{-x\}$. Следовательно, данная функция будет общего вида.

    Пересечение с осью $Ox$: $\left(z,0\right),\ z\in Z$

    Пересечение с осью $Oy$: $\left(0,0\right)$

  4. $f’\left(x\right)=0$

  5. Функция имеет точки разрыва (скачка функции) при всех $x\in Z$

    Рисунок 3.

Функция $f(x)=sign(x)$

Функция $f\left(x\right)=sign(x)$ — сигнум-функция. Эта функция показывает, какой знак имеет действительное число. Если число отрицательно, то функция имеет значение $-1$. Если число положительно, то функция равняется единице. При нулевом значении числа, значение функции также будет принимать нулевое значение.

Математически это можно записать следующим образом:

Пример 4

Исследуем и построим график функции

  1. $D\left(f\right)=R$.
  2. Непосредственно из определения, получим
  3. \[\ E\left(f\right)=\left\{-1\right\}\cup \left\{0\right\}\cup \{1\}\]
  4. $f\left(-x\right)=sign\left(-x\right)=-sign(x)$. Следовательно, данная функция будет нечетной.

    Пересечение с осью $Ox$: $\left(0,0\right)$

    Пересечение с осью $Oy$: $\left(0,0\right)$

  5. $f’\left(x\right)=0$

  6. Функция имеет точку разрыва (скачка функции) в начале координат.

    Рисунок 4.

ее график и свойства при k0

 

Рассмотрим функцию y=k/y. Графиком этой функции является линия, называемая в математике гиперболой. Общий вид гиперболы, представлен на рисунке ниже. (На графике представлена функция y равно k разделить на x, у которой k равно единице.)

Видно, что график состоит из двух частей. Эти части называют ветвями гиперболы. Стоит отметить также, что каждая ветвь гиперболы подходит в одном из направлений все ближе и ближе к осям координат. Оси координат в таком случае называют асимптотами.

Вообще любые прямые линии, к которым бесконечно приближается график функции, но не достигает их, называются асимптотами. У гиперболы, как и у параболы, есть оси симметрии. Для гиперболы, представленной на рисунке выше, это прямая y=x.

Теперь разберемся с двумя общими случаями гипербол. Графиком функции y = k/x, при k ≠0, будет являться гипербола, ветви которой расположены либо в первом и третьем координатных углах, при k>0, либо во втором и четвертом координатных углах, при k<0.

Основные свойства функции y = k/x, при k>0

График функции y = k/x, при k>0

1. Точка (0;0) центр симметрии гиперболы.

2. Оси координат – асимптоты гиперболы.

3. Прямая y=x ось симметрии гиперболы.

4. Область определения функции все х, кроме х=0.

5. y>0 при x>0; y6. Функция убывает как на промежутке (-∞;0), так и на промежутке (0;+∞).

7. Функция не ограничена ни снизу, ни сверху.

8. У функции нет ни наибольшего, ни наименьшего значений.

9. Функция непрерывна на промежутке (-∞;0) и на промежутке (0;+∞). Имеет разрыв в точке х=0.

10. Область значений функции два открытых промежутка (-∞;0) и (0;+∞).

Основные свойства функции y = k/x, при k<0

График функции y = k/x, при k<0

1. Точка (0;0) центр симметрии гиперболы.

2. Оси координат – асимптоты гиперболы.

3. Прямая y=-x ось симметрии гиперболы.

4. Область определения функции все х, кроме х=0.

5. y>0 при x0.

6. Функция возрастает как на промежутке (-∞;0), так и на промежутке (0;+∞).

7. Функция не ограничена ни снизу, ни сверху.

8. У функции нет ни наибольшего, ни наименьшего значений.

9. Функция непрерывна на промежутке (-∞;0) и на промежутке (0;+∞). Имеет разрыв в точке х=0.

10. Область значений функции два открытых промежутка (-∞;0) и (0;+∞).

Нужна помощь в учебе?



Предыдущая тема: Преобразование рациональных выражений: способы преобразований и примеры
Следующая тема:&nbsp&nbsp&nbspРациональные числа: определение, сумма, разность, умножение, деление

Линейная функция (ЕГЭ 2022) | YouClever

Коэффициенты линейной функции

Для начала выясним, что делает коэффициент \( \displaystyle b\). Рассмотрим функцию \( \displaystyle y=x+b\), то есть \( \displaystyle k=1\).

Меняя \( \displaystyle b\) будем следить, что происходит с графиком.

Итак, начертим графики для разных значений \( \displaystyle b:b=-2,\text{ -}1,\text{ }0,\text{ }1,\text{ }2\):

Что ты можешь сказать о них? Чем отличаются графики?

Это сразу видно: чем больше \( \displaystyle b\), тем выше располагается прямая.

Более того, заметь такую вещь: график пересекает ось \( \displaystyle \mathbf{y}\) в точке с координатой, равной \( \displaystyle \mathbf{b}\)!

И правда. Как найти точку пересечения графика с осью \( \displaystyle y\)? Чему равен \( \displaystyle x\) в такой точке?

В любой точке оси ординат (это название оси \( \displaystyle y\), если ты забыл) \( \displaystyle x=0\).

Значит достаточно подставить \( \displaystyle x=0\) в функцию, и получим ординату пересечения графика с осью \( \displaystyle y\):

\( \displaystyle y=k\cdot 0+b=b\)

Теперь по поводу \( \displaystyle k\). Рассмотрим функцию \( \displaystyle \left( b=0 \right).\) Будем менять \( \displaystyle k\) и смотреть, что происходит с графиком.

Построим графики для \( \displaystyle k=-3,\text{ -}1,\text{ }0,\text{ }1,\text{ }2:\)

Так, теперь ясно: \( \displaystyle k\) влияет на наклон графика.

Чем больше \( \displaystyle k\) по модулю (то есть несмотря на знак), тем «круче» (под большим углом к оси абсцисс – \( \displaystyle Ox\)) расположена прямая.

Если \( \displaystyle k>0\), график наклонен «вправо», при \( \displaystyle k<0\) – «влево». А когда \( \displaystyle k=0\), прямая располагается вдоль оси абсциссс.

Давай разбираться. Начертим новый график \( \displaystyle y=kx+b\):

Выберем на графике две точки \( \displaystyle A\) и \( \displaystyle B\). Для простоты выберем точку \( \displaystyle A\) на пересечении графика с осью ординат. Точка \( \displaystyle B\) – в произвольном месте прямой, пусть ее координаты равны \( \displaystyle \left( x;y \right)\).

Рассмотрим прямоугольный треугольник \( \displaystyle ABC\), построенный на отрезке \( \displaystyle AB\) как на гипотенузе.

Из рисунка видно, что \( \displaystyle AC=x\), \( \displaystyle BC=y-b\).

Подставим \( \displaystyle y=kx+b\) в \( \displaystyle BC:BC=y-b=kx+b-b=kx\).

Получается, что \( BC = k \cdot AC{\rm{ }} \Rightarrow {\rm{ }}k = \frac{{BC}}{{AC}} = {\mathop{\rm tg}\nolimits} \alpha \).

Итак, коэффициент \( \displaystyle k\) равен тангенсу угла наклона графика, то есть угла между графиком и осью абсциссс.

Именно поэтому его (коэффициент \( \displaystyle k\)) обычно называют угловым коэффициентом.

В случае, когда \( k < 0,{\mathop{\rm tg}\nolimits} \alpha < 0,\) что соответствует тупому углу:

Если же \( \displaystyle k=0\), тогда и \( {\mathop{\rm tg}\nolimits} \alpha = 0,\) следовательно \( \displaystyle \alpha =0\), то есть прямая параллельна оси абсцисс.

Понимать геометрическое значение коэффициентов очень важно, оно часто используется в различных задачах на линейную функцию.

Функция sign(x) — это… Что такое Функция sign(x)?

  • функция mod_osso — Новое функциональное средство, введенное в Oracle9iAS Release 2. Оно является расширением Oracle HTTP Server, которое позволяет HTTP серверу стать партнерским приложением (см. Partner Applications) для SSO (см. Single Sign On, SSO). Приложения,… …   Справочник технического переводчика

  • Функция ошибок

    — График функции ошибок В математике функция ошибок (функция Лапласа)  это неэлементарная функция, возникающая в теории вероятностей, статистике и теории дифференциальных ур …   Википедия

  • Функция Лапласа — График функции ошибок В математике функция ошибок  это неэлементарная функция, возникающая в теории вероятностей, статистике и теории дифференциальных уравнений в частных производных. Она определяется как . Дополнительная функция ошибок,… …   Википедия

  • Функция Ляпунова — Стиль этой статьи неэнциклопедичен или нарушает нормы русского языка. Статью следует исправить согласно стилистическим правилам Википедии. В теории обыкновенных дифференциальных уравнений, функция Ляпунова является скалярной функцией, которая… …   Википедия

  • Функция sgn(x) — График функции y = sgn x Функция (другое обозначение: ), читается «сигнум» (от лат. signum  знак)  кусочно постоянная функция, определённа …   Википедия

  • Sign функция — График функции y = sgn(x) Функция (другое обозначение: , читается: «сигнум», от лат. signum знак) определяется следующим образом …   Википедия

  • Функция Радемахера — Графики функций Радемахера с Функция Радемахера  кусочно постоянная периодическая функция, принимающая только два значения 1 и −1 на всей обл …   Википедия

  • Функция знака — График функции y = sgn(x) Функция (другое обозначение: , читается: «сигнум», от лат. signum знак) определяется следующим образом …   Википедия

  • R-функция — (функция В. Л. Рвачёва)  числовая функция действительных переменных, знак которой вполне определяется знаками ее аргументов при соответствующем разбиении числовой оси на интервалы и . Впервые R функции были введены в работах… …   Википедия

  • Однородная функция — степени   числовая функция такая, что для любого и выполняется равенство: причём называют порядком однородности. Различают также положительно однородные функции, для которых равенство …   Википедия

  • Графики функций и поверхностей в Python Питон Matplotlib

    Построение графиков с помощью модуля Matplotlib в Python Питон.

    В этом уроке мы разберём, как строить графики функций с помощью модуля Matplotlib в Python Питон.
    Matplotlib это библиотека для Python, предназначенная для визуализации данных. В данном уроке мы разберём построение графиков функций в Питон на плоскости и построение поверхности в трёхмерном пространстве. Зачастую, именно Matplotlib используется в научных исследованиях и конференциях для демонстрации полученных данных.
    Для построения графиков нужно импортировать модуль Pyplot. Pyplot это модуль для работы с графиками в Питоне. Pyplot это набор команд, созданных для построения графиков функций и уравнений. Для удобного построения графиков так же нужно использовать библиотеку NumPy.
    Matplotlib, как и NumPy, встроен в среду разработки Spyder, поэтому их можно импортировать без предварительной установки.
    import numpy as np
    import matplotlib.pyplot as plt
    as np и as plt означает, что когда мы будем вызывать функции и процедуры из модулей, вместо названия модулей мы будем использовать np и plt.
    Для построения графика функции в Python нужно задать саму функцию. Её можно задать с помощью лямбда-функции. Лямбда-функция — это краткий способ записи обычной функции в одну строчку. В этом уроке мы рассмотрим построение синусоиды на Питоне. Синусоида задаётся функцией f(x) = sin(x).
    y = lambda x: np.sin(x)
    y это обозначение функции (для её вызова мы будем использовать y(x)), lambda это ключевое слово, обозначающее начало задания лямбда-функции, x это аргумент, использующийся в функции, после двоеточия задаётся функция. Так как в стандартном Python нет функции, возвращающей синус x, мы его задаём с помощью NumPy, его мы импортировали под именем np.
    Все действия в Pyplot производятся на рисунках. Для построения графика функции в Python нужно сначала задать сетку координат. Сетка координат в python задается с помощью команды  plt.subplots().
    fig = plt.subplots()
    Мы должны определить область значений, на которой мы будем строить график функции в Питоне. Это делается с помощью linspace.
    x = np.linspace(-3, 3, 100)
    linspace создаёт массив с нижней границей -3 и верхней границей 3, в созданном массиве будет 100 элементов. Чем больше будет последнее число, тем больше значений функции будет рассчитываться, тем точнее будет отображаться график в Python.
    После того, как мы создали систему координат, область построения, мы можем построить график в Питон. Для построения графика фуекции в Python нужно использовать команду plt.plot(x, y(x)), где x это аргумент, y(x) это функция от x, заданная с помощью лямбда-выражения.
    plt.plot(x, y(x))
    После того, как мы построили  график в Python, нужно показать его на рисунке. Для этого используется plt.show().
    Полный код программы на python для рисования графика функции
    # импортируем модули
    import numpy as np
    import matplotlib.pyplot as plt
    # функция
    y = lambda x: np.sin(x)
    # создаём рисунок с координатную плоскость
    fig = plt.subplots()
    # создаём область, в которой будет
    # — отображаться график
    x = np.linspace(-3, 3,100)
    # значения x, которые будут отображены
    # количество элементов в созданном массиве
    # — качество прорисовки графика 
    # рисуем график
    plt.plot(x, y(x))
    # показываем график
    plt.show()

    Получим график синусоиды в python в отдельном окне

     

    Отображение нескольких графиков на одном рисунке в Python

    В одной области в python можно отобразить графики нескольких функций. Добавим aeyrwb. y=x  и нарисуем ее совместно с синусоидой.
    Для этого введем еще одну функцию с помощью lambda
    y1=lambda x: x
    Построим график этой функции
    plt.plot(x,y1(x))
    В итоге программа в Python для построения графиков двух функций в одном окне

    # импортируем модули
    import numpy as np
    import matplotlib.2
    от двух аргументов. Аргументы x и y, функция z.
    f = lambda x, y: x ** 2 — y ** 2
    Чтобы начать рисовать трехмерные поверхности в Python нужно сначал задать область построения с помощью функции  plt.figure принимает параметр figsize(x, y), где x и y – ширина и высота рисунка в дюймах. Создадим рисунок в Python размером 12×6 дюймов для отображения графиков
    fig = plt.figure(figsize = (12, 6))
    В построенной области мы создадим рисунок, в котором будут отображено трёхмерное пространство с координатными осями и сама поверхность. В Питоне для этого используется fig.add_subplot(). 
    ax = fig.add_subplot(1, 1, 1, projection = ‘3d’)
    Функция в Python fig.add_subplot() разбивает область построения на клетки и задает в какой клетке рисовать трехмерный график. Так команда ax = fig.add_subplot(1, 1, 1, projection = ‘3d’) разбивает область построения на две клтки и в первую клетку будет отображаться трехмерный гарфик, благодаря аргументу projection = ‘3d’ 
    Введём области отображения функции для каждого аргумента в Питон.
    xval = np.linspace(-5, 5, 100)
    yval = np.linspace(-5, 5, 100)
    Нужно создать поверхность, которая будет отображаться на рисунке в Python. Для этого используется
    surf = ax.plot_surface(x, y, z, rstride = 4, cstride = 4, cmap = cm.plasma)
    Где x и y это принимаемые аргументы, z это получаемая функция, rstride и cstride отвечает за шаг прорисовки поверхности в Питон, чем меньше будут эти значения, тем более плавно будет выглядеть градиент на поверхности. С помощью cmap.plasma поверхность будет отображаться с цветовой схемой plasma. Например, существуют цветовые схемы, такие как viridis и magma. Полный список цветовых схем есть на сайте Matplotlib.
    Пример программы на Python построение поверхности в трёхмерном пространстве# импортируем модули
    from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
    import numpy as np
    from matplotlib import cm
    import matplotlib.pyplot as plt
    # уравнение поверхности
    f = lambda x, y: x ** 2 — y ** 2
    # создаём полотно для рисунка
    fig = plt.figure(figsize = (10, 10))
    # создаём рисунок пространства с поверхностью
    ax = fig.add_subplot(1, 1, 1, projection = ‘3d’)
    # размечаем границы осей для аргументов
    xval = np.linspace(-4, 4, 100)
    yval = np.linspace(-4, 4, 100)
    # создаём массив с xval столбцами и yval строками
    # — в этом массиве будут храниться значения z
    x, y = np.meshgrid(xval, yval)
    # приравниваем z к функции от x и y 
    z = f(x, y)
    # создаём поверхность
    surf = ax.plot_surface(
    # отмечаем аргументы и уравнение поверхности
    x, y, z, 
    # шаг прорисовки сетки
    # — чем меньше значение, тем плавнее
    # — будет градиент на поверхности
    rstride = 10,
    cstride = 10,
    # цветовая схема plasma
    cmap = cm.plasma)

    Получим график трехмерной поверхности в цветовой гамме в специальном окне

    Изменим параметры построения трехмерной поверхности, уменьшим размер сетик, сделаем поверхность более плавной и точной для этого уменьшаем параметры и сменим цветовую гамму на viridis

    rstride = 2,
    cstride = 2,
    cmap = cm.viridis)

    Получим график трехмерной поверхности в Python более точный и в другой цветовой гамме

    Вернуться к содержанию курса python Следующая тема Классы в Питон

    Поделиться:

     

     

    область определения, нули функции, четность функции и все остальные.

    Функция — это одно из важнейших математических понятий. Функция — зависимость переменной у от переменной x, если каждому значению х соответствует единственное значение у. Переменную х называют независимой переменной или аргументом. Переменную у называют зависимой переменной. Все значения независимой переменной (переменной x) образуют область определения функции. Все значения, которые принимает зависимая переменная (переменная y), образуют область значений функции.

    Графиком функции называют множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты — соответствующим значениям функции, тоесть по оси абсцисс откладываются значения переменной x, а по оси ординат откладываются значения переменной y. Для построения графика функции необходимо знать свойства функции. Основные свойства функции будут рассмотрены далее!

    Для построения графика функции советуем использовать нашу программу — Построение графиков функций онлайн. Если при изучении материала на данной странице у Вас возникнут вопросы, Вы всегда можете задать их на нашем форуме. Также на форуме Вам помогут решить задачи по математике, химии, геометрии, теории вероятности и многим другим предметам!

    Основные свойства функций.

    1) Область определения функции и область значений функции.

    Область определения функции — это множество всех допустимых действительных значений аргумента x (переменной x), при которых функция y = f(x) определена.
    Область значений функции — это множество всех действительных значений y, которые принимает функция.

    В элементарной математике изучаются функции только на множестве действительных чисел.

    2) Нули функции.

    Нуль функции – такое значение аргумента, при котором значение функции равно нулю.

    3) Промежутки знакопостоянства функции.

    Промежутки знакопостоянства функции – такие множества значений аргумента, на которых значения функции только положительны или только отрицательны.

    4) Монотонность функции.

    Возрастающая функция (в некотором промежутке) — функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.

    Убывающая функция (в некотором промежутке) — функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.

    5) Четность (нечетность) функции.

    Четная функция — функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения выполняется равенство f(-x) = f(x). График четной функции симметричен относительно оси ординат.

    Нечетная функция — функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения справедливо равенство f(-x) = — f(x). График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

    6) Ограниченная и неограниченная функции.

    Функция называется ограниченной, если существует такое положительное число M, что |f(x)| ≤ M для всех значений x . Если такого числа не существует, то функция — неограниченная.

    7) Периодическость функции.

    Функция f(x) — периодическая, если существует такое отличное от нуля число T, что для любого x из области определения функции имеет место: f(x+T) = f(x). Такое наименьшее число называется периодом функции. Все тригонометрические функции являются периодическими. (Тригонометрические формулы).

    Изучив данные свойства функции Вы без проблем сможете исследовать функцию и по свойствам функции сможете построить график функции. Также посмотрите материал про таблицу истинности, таблицу умножения, таблицу Менделеева, таблицу производных и таблицу интегралов.

    Слишком сложно?

    Свойства функции не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

    Линейная функция. Построение графика линейной функции.

    1. Понятие функции
    2. Линейная функция
    3. Построение графика линейной функции

    Сегодняшняя статья посвящена понятию «функция». Линейная функция и координатная плоскость. Изучение правил построения графика линейной функции.

    Понятие функции

    Рассмотрим следующую конструкцию: y = f(x).

    В школе так обозначают функцию. Многих учеников пугает данная запись, но, если заменить слово функция на слово зависимость, вся эта конструкция прочитается уже немножко по-другому.  Если вместо F поставить слово «зависит», то мы прочитаем «Y зависит от X». F — это некоторые правила или формула, зная которые при помощи подстановки вместо X каких-то чисел мы можем найти Y. Правила эти задаются совершенно разными формулами. Например, самый простой пример: y = 2x +1

    2x+1 – это и есть правило, которое в уравнении функции обозначается буквой F. Если мы вместо X поставим 1, мы всегда можем посчитать Y.  

    Правило может быть любым, например: x2+x-1

    Значение Y полностью зависит от значения X. X — это независимая переменная, Y — зависимая переменная. Буква X в этом уравнении функции y=f(x) называется аргументом. Y называется значением функции или просто функцией.

    Линейная функция

    Возьмём уравнение функции, которое мы уже рассматривали

    y = 2x +1

    Составим следующую табличку, как показано на рисунке. Вместо X мы будем подставлять любые числа, какие захотим. После того, как мы выбрали значения Х, нужно найти соответствующие им значения Y и записать их в таблицу.

    Что же за числа у нас получились. Это те самые значения аргумента и значения нашей функции. А теперь давайте представим, что пары чисел X и Y – это координаты точек на координатной плоскости. Обозначив и соединив эти точки, мы получим графическое изображение функции, это самой зависимости. Если взять абсолютно любую точку на получившейся прямой, найти ее координаты и подставить уравнение функции, то это уравнение превратится в верное равенство. Олимпиада по математике на 20% состоит из заданий на различного рода функции, и знать самую основную из них — это очень важно.

    Построение графика линейной функции

    График функции — это множество точек, соединенных между собой линией, а точки эти получены при подставлении вместо X каких-то чисел и подсчете Y.

    Линейная функция — одна из самых основных, самая простая функция, графиком которой является простая прямая линия.

    y = kx + b, где x — независимая переменная, k и b — любые числа. Если K положительное, то график функции идет вверх, то есть возрастает. Если он отрицателен, то график функции идет вниз, то есть убывает. Если функция возрастает, то угол между этой прямой и осью Х  острый, если функция убывает, то угол между этой прямой и осью Х всегда тупой. Именно поэтому этот самый коэффициент назвали угловым коэффициентом этой прямой. Если угловой коэффициент равен нулю, то прямая параллельна оси X. Число B – это координата Y точки пересечения графика функции с осью Y.

    Обозначение функций

    — пояснения и примеры

    Концепция функций была разработана в семнадцатом веке, когда Рене Декарт использовал эту идею для моделирования математических отношений в своей книге Geometry . Термин «функция» был введен Готфридом Вильгельмом Лейбницем через пятьдесят лет после публикации Geometry.

    Позже Леонард Эйлер формализовал использование функций, когда ввел понятие обозначения функций; у = f (х).Так продолжалось до 1837 года, когда немецкий математик Петер Дирихле дал современное определение функции.

    Что такое функция?

    В математике функция — это набор входных данных с одним выходом в каждом случае. У каждой функции есть домен и диапазон. Область — это набор независимых значений переменной x для определенного отношения или функции. Проще говоря, домен — это набор значений x, которые генерируют реальные значения y при подстановке в функцию.

    С другой стороны, диапазон — это набор всех возможных значений, которые может выдать функция. Диапазон функции может быть выражен в виде интервалов или содержать информацию о неравенствах.

    Что такое обозначение функции?

    Обозначение можно определить как систему символов или знаков, обозначающих такие элементы, как фразы, числа, слова и т. Д.

    Следовательно, обозначение функций — это способ представления функции с помощью символов и знаков.Обозначение функций — это более простой способ описания функции без подробного письменного объяснения.

    Чаще всего используется обозначение функции f (x), которое читается как «f» или «x». В этом случае буква x, помещенная в круглые скобки, и весь символ f (x) обозначают набор домена и набор диапазонов соответственно.

    Хотя f — самая популярная буква, используемая при написании обозначений функций, любая другая буква алфавита также может использоваться как в верхнем, так и в нижнем регистре.

    Преимущества использования обозначения функций

    • Поскольку большинство функций представлены различными переменными, такими как; a, f, g, h, k и т. д., мы используем f (x), чтобы избежать путаницы относительно того, какая функция оценивается.
    • Обозначение функций позволяет легко идентифицировать независимую переменную.
    • Обозначение функции также помогает нам идентифицировать элемент функции, который необходимо исследовать.

    Рассмотрим линейную функцию y = 3x + 7. Чтобы записать такую ​​функцию в обозначении функции, мы просто заменяем переменную y фразой f (x), чтобы получить;

    f (x) = 3x + 7.Эта функция f (x) = 3x + 7 читается как значение f для x или как f для x.

    Типы функций

    В алгебре есть несколько типов функций.

    К наиболее распространенным типам функций относятся:

    Линейная функция — это полином первой степени. Линейная функция имеет общий вид f (x) = ax + b, где a и b — числовые значения, а a 0.

    Полиномиальная функция второй степени известна как квадратичная функция. Общая форма квадратичной функции: f (x) = ax 2 + bx + c, где a, b и c — целые числа и a 0.

    Это полиномиальная функция от 3 rd градусов, которая имеет форму f (x) = ax 3 + bx 2 + cx + d

    Логарифмическая функция — это уравнение, в котором переменная отображается как аргумент логарифма. Общая функция функции f (x) = log a (x), где a — основание, а x — аргумент.

    Экспоненциальная функция — это уравнение, в котором переменная появляется как показатель степени. Экспоненциальная функция представлена ​​как f (x) = a x .

    f (x) = sin x, f (x) = cos x и т. Д. Являются примерами тригонометрических функций

    1. Identity Function:

    Идентификационная функция такова, что f: A → B и f (x ) = x, ∀ x ∈ A

    1. Рациональная функция:

    Функция называется рациональной, если R (x) = P (x) / Q (x), где Q (x) ≠ 0.

    Как оценивать функции?

    Оценка функции — это процесс определения выходных значений функции. Это делается путем подстановки входных значений в обозначение данной функции.

    Пример 1

    Запишите y = x 2 + 4x + 1, используя обозначение функции, и оцените функцию при x = 3.

    Решение

    Учитывая, y = x 2 + 4x + 1

    Применяя обозначение функции, получаем

    f (x) = x 2 + 4x + 1

    Оценка:

    Заменить x на 3

    f (3) = 3 2 + 4 × 3 + 1 = 9 + 12 + 1 = 22

    Пример 2

    Вычислить функцию f (x) = 3 (2x + 1), когда x = 4.

    Решение

    Подставьте x = 4 в функцию f (x).

    f (4) = 3 [2 (4) + 1]

    f (4) = 3 [8 + 1]

    f (4) = 3 x 9

    f (4) = 27

    Пример 3

    Запишите функцию y = 2x 2 + 4x — 3 в обозначении функции и найдите f (2a + 3).

    Решение

    y = 2x 2 + 4x — 3 ⟹ f ​​(x) = 2x 2 + 4x — 3

    Заменить x на (2a + 3).

    f (2a + 3) = 2 (2a + 3) 2 + 4 (2a + 3) — 3

    = 2 (4a 2 + 12a + 9) + 8a + 12 — 3
    = 8a 2 + 24a + 18 + 8a + 12-3
    = 8a 2 + 32a + 27

    Пример 4

    Представьте y = x 3 — 4x, используя обозначение функции, и решите для y при x = 2.

    Решение

    Учитывая функцию y = x 3 — 4x, замените y на f (x), чтобы получить;

    f (x) = x 3 — 4x

    Теперь оцените f (x), когда x = 2

    ⟹ f (2) = 2 3 — 4 × 2 = 8-8 = 0

    Следовательно , значение y при x = 2 равно 0

    Пример 5

    Найдите f (k + 2) при условии, что f (x) = x² + 3x + 5.

    Решение

    Чтобы оценить f (k + 2), замените x на (k + 2) в функции.

    ⟹ f (k + 2) = (k + 2) ² + 3 (k + 2) + 5

    ⟹ k² + 2² + 2k (2) + 3k + 6 + 5

    ⟹ k² + 4 + 4k + 3k + 6 + 5

    = k² + 7k + 15

    Пример 6

    Учитывая обозначение функции f (x) = x 2 — x — 4. Найдите значение x, когда f ( x) = 8

    Решение

    f (x) = x 2 — x — 4

    Заменить f (x) на 8.

    8 = x 2 — x — 4

    x 2 — x — 12 = 0

    Решите квадратное уравнение путем разложения на множители, чтобы получить;

    ⟹ (x — 4) (x + 3) = 0

    ⟹ x — 4 = 0; x + 3 = 0

    Следовательно, значения x при f (x) = 8 равны;

    х = 4; x = -3

    Пример 7

    Вычислите функцию g (x) = x 2 + 2 при x = −3

    Решение

    Замените x на -3.

    г (−3) = (−3) 2 + 2 = 9 + 2 = 11

    Примеры обозначений функций из реальной жизни

    Обозначения функций можно применять в реальной жизни для оценки математических задач, как показано ниже Примеры:

    Пример 8

    Для производства определенного продукта компания тратит x долларов на сырье и y долларов на рабочую силу. Если себестоимость продукции описывается функцией f (x, y) = 36000 + 40x + 30y + xy / 100.Рассчитайте стоимость производства, если фирма тратит 10 000 и 1 000 долларов на сырье и рабочую силу соответственно.

    Решение

    Дано x = 10000 долларов США и y = 1000 долларов США

    Подставьте значения x и y в функцию производственных затрат

    ⟹f (10000, 1000) = 36000 + 40 (10000) + 30 (1000) + (10000) (1000) / 100.

    ⟹ f (10000, 1000) = 36000 + 4000000 + 30000 + 100000

    ⟹ 4136000 долларов.

    Пример 9

    Мэри экономит 100 долларов в неделю на предстоящий день рождения.Если у нее уже есть 1000 долларов, сколько у нее будет через 22 недели.

    Решение

    Пусть x = количество недель, а f (x) = общая сумма. Мы можем записать эту проблему в обозначении функции как;

    f (x) = 100x + 1000
    Теперь оцените функцию, когда x = 22
    f (22) = 100 (22) +1000
    f (22) = 3200

    Таким образом, общая сумма составит 3200 долларов.

    Пример 10

    Стоимость разговора в двух мобильных сетях A и B составляет 34 доллара плюс 0.05 / мин и 40 долларов плюс 0,04 / мин соответственно.

    1. Представьте эту проблему в обозначении функций.
    2. Какая мобильная сеть является доступной с учетом того, что в среднем каждый месяц используется 1 160 минут.
    3. Когда ежемесячные счета двух сетей равны?

    Решение

    1. Пусть x будет количеством минут, используемых в каждой сети.

    Следовательно, функция сети A равна f (x) = 0,05x + 34, а функция сети B — f (x) = 0.04x + 40 долларов.

    1. Чтобы определить, какая сеть является доступной, подставьте x = 1160 в каждую функцию

    A ⟹ f (1160) = 0,05 (1160) + 34

    = 58 + 34 = 92 доллара США

    B f (1160) = 0,04 (1160) + 40

    = 46,4 + 40

    = 86,4 долл. США

    Следовательно, сеть B является доступной, поскольку ее общая стоимость времени разговора меньше, чем у A.

    1. Приравняйте две функции и решите x

    ⟹ 0,05x +34 = 0,04x + 40

    ⟹ 0,01x = 6

    x = 600

    Ежемесячный счет для A и B будет равен, когда среднее количество минут составляет 600.

    Доказательство:

    A ⟹ 0,05 (600) +34 = 64 доллара США

    B ⟹ 0,04 (600) + 40 = 64 доллара США

    Пример 11

    Определенное число такое, что при его добавлении к 142, результат на 64 раза больше исходного числа. Найдите номер.

    Решение

    Пусть x = исходное число, а f (x) будет результатом добавления 142.

    f (x) = 142 + x = 3x + 64

    2x = 78

    x = 39

    Пример 12

    Если произведение двух последовательных положительных целых чисел равно 1122, найдите два целых числа.

    Решение

    Пусть x будет первым целым числом;

    второе целое число = x + 1

    Теперь сформируйте функцию как;

    f (x) = x (x + 1)

    найти значение x, если f (x) = 1122

    Заменить функцию f (x) на 1122

    1122 = x (x + 1)

    1122 = x 2 + 1

    x 2 = 1121

    Найдите квадрат обеих сторон функции

    x = 33

    x + 1 = 34

    Целые числа 33 и 34.

    Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок

    2.6: Функция [x]. символы «O», «o» и «∼»

    Мы начнем этот раздел с введения важной теоретико-числовой функции. Мы перейдем к определению некоторых удобных символов, которые будут использоваться в связи с ростом и поведением некоторых функций, которые будут определены в следующих главах.

    Функция \ ([x] \)

    Функция \ ([x] \) представляет наибольшее целое число, не превышающее \ (x \).Другими словами, для действительного \ (x \), \ ([x] \) — это единственное целое число такое, что

    \ [x-1 <[x] \ leq x <[x] +1. \]

    Мы также определяем \ (((x)) \) как дробную часть \ (x \). Другими словами \ (((x)) = x- [x] \).

    Примечание

    Теперь мы перечислим некоторые свойства \ ([x] \), которые будут использоваться в более поздних или более продвинутых курсах теории чисел.

    1. \ ([x + n] = [x] + n \), если \ (n \) является целым числом.
    2. \ ([x] + [y] \ leq [x + y] \).
    3. \ ([x] + [- x] \) равно 0, если \ (x \) является целым числом, и -1 в противном случае.
    4. Число целых чисел \ (m \), для которых \ (x
    5. Количество кратных \ (m \), которые не превышают \ (x \), равно \ ([x / m] \).

    Используя определение \ ([x] \), легко увидеть, что указанные выше свойства являются прямым следствием определения.

    Теперь мы определим некоторые символы, которые будут использоваться для оценки роста теоретико-числовых функций. Эти символы не будут оценены в контексте этой книги, но они часто используются во многих аналитических доказательствах.

    Символы «О» и «О»

    Пусть \ (f (x) \) — положительная функция, а \ (g (x) \) — любая функция. Тогда \ (O (f (x)) \) (произносится как «big-oh» из \ (f (x) \)) обозначает набор функций \ (g (x) \), рост которых ограничен что из \ (f (x) \) в некотором отношении. Традиционное обозначение для утверждения, что \ (g (x) \) принадлежит этому набору: \ [g (x) = O (f (x)). \] Это означает, что для достаточно большого \ (x \),

    \ [\ frac {\ mid g (x) \ mid} {| f (x) |}

    здесь \ (M \) — некоторое положительное число.x) \) также в \ (\ infty \) для любой константы \ (k \).

    Обозначение, что \ (f (x) \) асимптотически равно \ (g (x) \), обозначается \ (\ sim \). Формально говоря, мы говорим, что \ (f (x) \ sim g (x) \), если

    \ [\ lim_ {x \ rightarrow \ infty} \ frac {f (x)} {g (x)} = 1. \]

    \ ([х] \ сим х \).

    Целью введения этих символов является упрощение сложных математических выражений. Некоторые выражения могут быть представлены как основная часть, которая вам нужна, плюс остаточный член.Остаточный член можно выразить, используя указанные выше обозначения. Поэтому, когда вам нужно объединить несколько выражений, оставшиеся части, включающие эти символы, можно легко объединить. Сформулируем теперь некоторые свойства перечисленных выше символов без доказательства. Эти свойства легко доказать, используя определения символов.

    1. \ (O (O (f (x))) = O (f (x)) \),
    2. \ (o (o (f (x))) = o (f (x)) \).
    3. \ (O (f (x)) \ pm O (f (x)) = O (f (x)) \),
    4. \ (o (f (x) \ pm o (f (x)) = o (f (x)) \),
    5. \ (O (f (x)) \ pm O (g (x)) = O (\ max (f (x), g (x))) \),

    Есть некоторые другие свойства, которые мы здесь не упомянули, свойства, которые редко используются в теоретико-числовых доказательствах.

    Упражнения

    1. Докажите пять свойств \ ([x] \)
    2. Докажите пять свойств обозначений \ (O \) и \ (o \) в примере 24.

    Авторы и авторство

    • Доктор Виссам Раджи, доктор философии, Американский университет в Бейруте. Его работа была выбрана фондом Saylor Foundation Open Textbook Challenge для публичного выпуска по лицензии Creative Commons Attribution ( CC BY ).

    Функции — Алгебра — Математика A-Level Revision

    В этом разделе рассматриваются функции в рамках более широкой темы алгебры.

    Функцию можно рассматривать как правило, которое берет каждый элемент x набора и присваивает ему то же самое значение y , известное на его изображении.

    x → Функция → y

    Буква f, g или h часто используется для обозначения функции.Функция, которая возводит число в квадрат и добавляет 3, может быть записана как f (x) = x 2 + 5 . Это же понятие можно использовать, чтобы показать, как функция влияет на определенные значения.

    Пример

    f (4) = 4 2 + 5 = 21, f (-10) = (-10) 2 +5 = 105 или альтернативно f : x → x 2 + 5 .

    Фраза «y является функцией x» означает, что значение y зависит от значения x, поэтому:

    • y можно записать через x (например,грамм. у = 3х).
    • Если f (x) = 3x и y является функцией x (т.е. y = f (x)), то значение y, когда x равно 4, равно f (4), которое находится путем замены x «s на 4. «с.

    Пример

    Если f (x) = 3x + 4, найти f (5) и f (x + 1).

    f (5) = 3 (5) + 4 = 19
    f (x + 1) = 3 (x + 1) + 4 = 3x + 7

    Домен и диапазон

    Область функции — это набор значений, которые вам разрешено вводить в функцию (то есть все значения, которые может принимать x).Диапазон функции — это набор всех значений, которые функция может принимать, другими словами, все возможные значения y, когда y = f (x). Итак, если y = x 2 , мы можем выбрать в качестве домена все действительные числа. Диапазон — это все действительные числа, большие (или равные) нулю, поскольку, если y = x 2 , y не может быть отрицательным.

    Индивидуальные встречи

    Мы говорим, что функция взаимно однозначная , если для каждой точки y в диапазоне функции существует только одно значение x такое, что y = f (x).f (x) = x 2 не один к одному, потому что, например, есть два значения x, такие что f (x) = 4 (а именно –2 и 2). На графике функция взаимно однозначна, если любая горизонтальная линия разрезает график только один раз.

    Составные функции

    fg означает выполнение функции g, затем функции f. Иногда fg записывается как fog

    .

    Пример

    Если f (x) = x 2 и g (x) = x — 1, то
    gf (x) = g (x 2 ) = x 2 — 1
    fg (x) = f (x — 1) = (х — 1) 2

    Как видите, fg не обязательно равно gf

    Обратная функция

    Обратной функцией является функция, которая обращает эффект исходной функции.Например, y = 2x, обратное y = ½ x.
    Чтобы найти обратную функцию, поменяйте местами x «s и y» s и сделайте y объектом формулы.

    Пример

    Найдите обратное к f (x) = 2x + 1
    Пусть y = f (x), поэтому y = 2x + 1
    поменять местами x «s и y» s:
    x = 2y + 1
    Сделайте y объектом формулы:
    2y = x — 1, поэтому y = ½ (x — 1)
    Следовательно, f -1 (x) = ½ (x — 1)

    f -1 (x) — стандартное обозначение, обратное f (x).Говорят, что обратное существует тогда и только тогда, когда существует функция f -1 с ff -1 (x) = f -1 f (x) = x

    .

    Обратите внимание, что график f -1 будет отражением f в линии y = x.

    Это видео объясняет больше об обратной функции

    Графики

    Функции можно изобразить. Функция непрерывная , если на ее графике нет разрывов. Пример прерывистого графа — y = 1 / x, поскольку граф нельзя нарисовать, не отрывая карандаш от бумаги:

    Функция периодическая , если ее график повторяется через равные промежутки времени, этот интервал известен как период.

    Функция равна , даже если она не изменяется при замене x на -x. График такой функции будет симметричным по оси ординат. Даже функции, которые являются полиномами, имеют четные степени (например, y = x²).
    Функция нечетная , если знак функции изменяется при замене x на -x. График функции будет иметь симметрию вращения относительно начала координат (например, y = x³).

    Функция модуля

    Модуль числа — это величина этого числа.Например, модуль -1 (| -1 |) равен 1. Модуль x, | x |, равен x для значений x, которые положительны, и -x для значений x, которые отрицательны. Итак, график y = | x | y = x для всех положительных значений x и y = -x для всех отрицательных значений x:

    Преобразование графиков

    Если y = f (x), график y = f (x) + c (где c — константа) будет графиком y = f (x), сдвинутым на c единиц вверх (в направлении y- ось).
    Если y = f (x), график y = f (x + c) будет графиком y = f (x), сдвинутым на c единиц влево.
    Если y = f (x), график y = f (x — c) будет графиком y = f (x), сдвинутым на c единиц вправо.
    Если y = f (x), график y = af (x) представляет собой отрезок графика y = f (x), масштабный коэффициент (1 / a), параллельный оси x. [Масштабный коэффициент 1 / a означает, что «растяжение» фактически приводит к сжатию графика, если a — число больше 1]

    Пример

    График y = | x — 1 | будет таким же, как на приведенном выше графике, но со смещением на одну единицу вправо (так, чтобы точка V ударилась о ось x на 1, а не на 0).

    Определение функций с помощью графиков | Колледж алгебры

    Результаты обучения

    • Проверить работу с помощью теста вертикальной линии
    • Проверьте однозначное соответствие с помощью теста горизонтальной линии
    • Определить графики функций инструментария

    Как мы видели в примерах выше, мы можем представить функцию с помощью графика. Графики отображают множество пар ввода-вывода на небольшом пространстве. Предоставляемая ими визуальная информация часто упрощает понимание взаимоотношений.Обычно мы строим графики с входными значениями по горизонтальной оси и выходными значениями по вертикальной оси.

    Наиболее распространенные графики называют входное значение [latex] x [/ latex] и выходное значение [latex] y [/ latex], и мы говорим, что [latex] y [/ latex] является функцией [latex] x [ / latex] или [latex] y = f \ left (x \ right) [/ latex], если функция называется [latex] f [/ latex]. График функции — это набор всех точек [латекс] \ left (x, y \ right) [/ latex] в плоскости, которая удовлетворяет уравнению [латекс] y = f \ left (x \ right) [/ latex ].Если функция определена только для нескольких входных значений, то график функции представляет собой только несколько точек, где координата x каждой точки является входным значением, а координата y каждой точки является соответствующее выходное значение. Например, черные точки на графике на графике ниже говорят нам, что [латекс] f \ left (0 \ right) = 2 [/ latex] и [latex] f \ left (6 \ right) = 1 [/ latex ]. Однако набор всех точек [latex] \ left (x, y \ right) [/ latex], удовлетворяющих [latex] y = f \ left (x \ right) [/ latex], является кривой.Показанная кривая включает [латекс] \ left (0,2 \ right) [/ latex] и [latex] \ left (6,1 \ right) [/ latex], потому что кривая проходит через эти точки.

    Тест вертикальной линии может использоваться для определения того, представляет ли график функцию. Вертикальная линия включает все точки с определенным значением [latex] x [/ latex]. Значение [latex] y [/ latex] точки, где вертикальная линия пересекает график, представляет собой выход для этого входного значения [latex] x [/ latex]. Если мы можем нарисовать любую вертикальную линию , которая пересекает график более одного раза, тогда график , а не определяет функцию, потому что это значение [latex] x [/ latex] имеет более одного вывода.Функция имеет только одно выходное значение для каждого входного значения.

    Практическое руководство. Имея график, используйте тест вертикальной линии, чтобы определить, представляет ли график функцию.

    1. Проверьте график, чтобы убедиться, что какая-либо вертикальная линия пересекает кривую более одного раза.
    2. Если такая линия есть, график не представляет функцию.
    3. Если ни одна вертикальная линия не может пересекать кривую более одного раза, график действительно представляет функцию.

    Пример: применение теста вертикальной линии

    Какой из графиков представляет функцию [латекс] y = f \ left (x \ right)? [/ Latex]

    Показать решение

    Если какая-либо вертикальная линия пересекает график более одного раза, отношение, представленное на графике, не является функцией.Обратите внимание, что любая вертикальная линия будет проходить только через одну точку двух графиков, показанных в частях (a) и (b) графика выше. Из этого можно сделать вывод, что эти два графика представляют функции. Третий график не представляет функцию, потому что при максимальном значении x вертикальная линия пересекает график более чем в одной точке.

    Попробуйте

    Представляет ли приведенный ниже график функцию?

    Тест горизонтальной линии

    После того, как мы определили, что график определяет функцию, простой способ определить, является ли эта функция взаимно однозначной, — это использовать тест горизонтальной линии .Проведите через график горизонтальные линии. Горизонтальная линия включает все точки с определенным значением [latex] y [/ latex]. Значение [latex] x [/ latex] точки, где вертикальная линия пересекает функцию, представляет вход для этого выходного значения [latex] y [/ latex]. Если мы можем нарисовать любую горизонтальную линию , которая пересекает график более одного раза, тогда , а не , представляет функцию, потому что это значение [latex] y [/ latex] имеет более одного входа.

    Практическое руководство. Имея график функции, используйте тест горизонтальной линии, чтобы определить, представляет ли график однозначную функцию.

    1. Проверьте график, чтобы увидеть, пересекает ли нарисованная горизонтальная линия кривую более одного раза.
    2. Если такая строка есть, функция не взаимно однозначная.
    3. Если ни одна горизонтальная линия не может пересекать кривую более одного раза, функция взаимно однозначна.

    Пример: применение теста горизонтальной линии

    Рассмотрим функции (a) и (b), показанные на графиках ниже.

    Являются ли какие-либо функции взаимно однозначными?

    Показать решение

    Функция в (а) не взаимно однозначна.Горизонтальная линия, показанная ниже, пересекает график функции в двух точках (и мы даже можем найти горизонтальные линии, которые пересекают его в трех точках).

    Функция в (b) взаимно однозначна. Любая горизонтальная линия будет пересекать диагональную линию не более одного раза.

    Определение основных функций набора инструментов

    В этом тексте мы исследуем функции — формы их графиков, их уникальные характеристики, их алгебраические формулы и способы решения с ними проблем.Учимся читать, начинаем с алфавита. Изучая арифметику, мы начинаем с чисел. При работе с функциями также полезно иметь базовый набор стандартных элементов. Мы называем их «функциями набора инструментов», которые образуют набор основных именованных функций, для которых нам известны график, формула и специальные свойства. Некоторые из этих функций запрограммированы на отдельные кнопки на многих калькуляторах. Для этих определений мы будем использовать [latex] x [/ latex] в качестве входной переменной и [latex] y = f \ left (x \ right) [/ latex] в качестве выходной переменной.

    Мы будем часто видеть эти функции набора инструментов, комбинации функций набора инструментов, их графики и их преобразования на протяжении всей этой книги. Будет очень полезно, если мы сможем быстро распознать эти функции набора инструментов и их возможности по имени, формуле, графику и основным свойствам таблицы. Графики и примерные значения таблицы включены в каждую функцию, показанную ниже.

    Попробуйте

    В этом упражнении вы построите график функций инструментария с помощью онлайн-инструмента построения графиков.

    1. Изобразите каждую функцию набора инструментов, используя обозначение функций.
    2. Создайте таблицу значений, которая ссылается на функцию и включает как минимум интервал [-5,5].

    Внесите свой вклад!

    У вас была идея улучшить этот контент? Нам очень понравится ваш вклад.

    Улучшить эту страницуПодробнее

    Обозначение функции

    Обозначение функции — это способ, которым функция записывается для точной передачи информации.Возможно, вы привыкли видеть функции, написанные таким образом, что y записывается как выход функции и устанавливается равным некоторому входу x.

    Функции также могут быть записаны в форме f (x), произносится как «f of x». Когда кто-то говорит, что «y является функцией x», это означает, что значение y определяется значением x. Здесь y — зависимая переменная, а x — независимая переменная. f (x) — это просто сокращенная форма «функции от x». Если бы вы записали вышеуказанную информацию в форме выражения, это выглядело бы примерно так:

    y — это функция x
    y = функция x
    y = f (x)

    По сути, y заменяется на f (x).В f (x) f — это имя, используемое для идентификации данной функции, а x — это аргумент функции и описывает входное значение функции. Аргумент функции должен быть таким же, как переменная, используемая в правой части уравнения.

    Причина, по которой мы заменяем y, заключается в том, что он не дает нам достаточно информации, в то время как f (x) дает нам информацию об аргументе функции и в то же время идентифицирует себя как зависимую переменную.

    Для сравнения обозначений рассмотрим:

    y = x 2 + 2 и f (x) = x 2 + 2

    Для уравнения слева человек может спросить: «Какое значение y, когда x = 4?» тогда как для уравнения справа можно спросить: «Что такое f (2)?»

    В этом конкретном примере может показаться, что сохраняется только пара слов, но при работе с несколькими функциями и несколькими аргументами нотация функций может быть весьма полезной.

    Примечание: f (x) — это наиболее распространенный способ обозначения функции, но и имя функции, и аргумент можно изменить на любой символ, который вы хотите. 3 — 1

    являются функциями, потому что каждое значение x дает другое значение y .В графических терминах функция — это отношение, в котором первые числа в упорядоченной паре имеют одно и только одно значение в качестве второго числа, другой части упорядоченной пары.

    Проверка упорядоченных пар

    Упорядоченная пара — это точка на координатном графике x y со значениями x и y. Например, (2, −2) — это упорядоченная пара с 2 в качестве значения x и −2 в качестве значения y . При наличии набора упорядоченных пар убедитесь, что ни одно значение x не имеет более одного парного значения y .Когда задан набор упорядоченных пар [(2, −2), (4, −5), (6, −8), (2, 0)], вы знаете, что это не функция, потому что x -Значение — в данном случае — 2, имеет более одного значения y . Однако этот набор упорядоченных пар [(−2, 4), (−1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 4)] является функцией, потому что y -value может иметь более одного соответствующего значения x .

    Решение для Y

    Относительно легко определить, является ли уравнение функцией, решив для y .2 = 9

    имеет два возможных ответа (3 и −3).

    Тест вертикальной линии

    Определить, является ли отношение функцией на графике, относительно легко с помощью теста вертикальной линии. Если вертикальная линия пересекает отношение на графике только один раз во всех местах, отношение является функцией. Однако, если вертикальная линия пересекает отношение более одного раза, отношение не является функцией. При использовании теста вертикальной линии все линии, кроме вертикальных, являются функциями.Круги, квадраты и другие замкнутые формы не являются функциями, но параболические и экспоненциальные кривые — это функции.

    Использование диаграммы ввода-вывода

    Диаграмма ввода-вывода отображает вывод или результат для каждого ввода или исходного значения. Любая диаграмма ввода-вывода, где у входа есть два или более разных выхода, не является функцией. Например, если вы видите число 6 в двух разных входных пространствах, а результат — 3 в одном случае и 9 в другом, отношение не является функцией.Однако, если два разных входа имеют одинаковый выход, все еще возможно, что отношение является функцией, особенно если задействованы квадратные числа.

    Область и диапазон функции

    Определения домена и диапазона

    Домен

    Домен а функция — это полный набор возможных значений независимой переменной.

    На простом английском языке это определение означает:

    Домен — это совокупность всех возможных x — значения, которые сделают функцию «работать», и будет выводить реальные y -значения.

    При нахождении домена запомните:

    • Знаменатель (внизу) дроби не может быть ноль
    • Число под знаком квадратного корня должно быть положительный в этом разделе

    Пример 1а

    Вот график y = sqrt (x + 4):

    12345-1-2-3-4123xy

    Домен: `x> = — 4`

    Область определения этой функции — `x ≥ −4`, так как x не может быть меньше, чем` −4`.Чтобы понять, почему, попробуйте использовать в калькуляторе некоторые числа меньше, чем «−4» (например, «−5» или «−10»), и некоторые числа, превышающие «−4» (например, «−2» или «8»). Единственные, которые «работают» и дают нам ответ, — это те, которые больше или равны «−4». Это сделает число под квадратным корнем положительным.

    Примечания:

    1. Закрашенный кружок в точке `(-4, 0)`. Это указывает на то, что домен «запускается» в этот момент.
    2. Мы видели, как рисовать подобные графики в разделе 4, График функции.2 = х — 2.

    Как найти домен

    В общем, мы определяем область каждой функции, ища те значения независимой переменной (обычно x ), которые разрешено использовать . (Обычно нам нужно избегать 0 в нижней части дроби или отрицательных значений под знаком квадратного корня).

    Диапазон

    Диапазон из функция — это полный набор всех возможных результирующих значений зависимой переменной ( y, обычно ) после того, как мы подставили домен.

    На простом английском языке это определение означает:

    Диапазон — это результат y — значений, которые мы получаем после подстановки всех возможных значений x .

    Как найти ассортимент

    • Диапазон функции — это разброс возможных значений y (от минимального y -значения до максимального y -значения)
    • Подставьте различные значения x в выражение для y на посмотреть, что происходит.(Спросите себя: всегда ли и положительны? Всегда отрицательны? Или, может быть, не равны определенным значениям?)
    • Убедитесь, что вы ищете минимум и максимум значений y .
    • Нарисуйте эскиз ! В математике картина стоит тысячи слов.

    Пример 1б

    Вернемся к примеру выше, `y = sqrt (x + 4)`.

    Мы замечаем, что кривая находится либо на горизонтальной оси, либо над ней.Независимо от того, какое значение x мы попробуем, мы всегда получим нулевое или положительное значение y . Мы говорим, что диапазон в этом случае равен y ≥ 0.

    12345-1-2-3-4123xy

    Диапазон: `y> = 0`

    Кривая продолжается всегда вертикально, за пределы того, что показано на графике, поэтому диапазон — это все неотрицательные значения `y`.

    Пример 2

    График кривой y = sin x показывает, что диапазон находится между -1 и 1.

    12345-1-2-3-4-5-6-71-1xy

    Диапазон: `-1

    Область y = sin x — это «все значения x », поскольку нет никаких ограничений на значения для x . (Введите любое число в функцию «sin» в вашем калькуляторе. Любое число должно работать и даст вам окончательный ответ от -1 до 1.)

    Эксперимент с калькулятором и наблюдение кривой показывают, что диапазон составляет y между -1 и 1.Мы могли бы записать это как −1 ≤ y ≤ 1.

    Откуда взялся этот график? Мы узнаем о графиках sin и cos позже в Графах греха x и cos x

    Примечание 1: Поскольку мы предполагаем, что для значений x должны использоваться только действительные числа, числа, которые приводят к делению на ноль или к мнимым числам (которые возникают при нахождении квадратного корня из отрицательное число) не включаются.В главе «Комплексные числа» более подробно рассказывается о мнимых числах, но мы не включаем такие числа в эту главу.

    Примечание 2: При выполнении примеров квадратного корня многие люди спрашивают: «Разве мы не получаем 2 ответа, один положительный и один отрицательный, когда мы находим квадратный корень?» Квадратный корень имеет не более одного значения, а не два. См. Это обсуждение: Квадратный корень 16 — сколько ответов?

    Примечание 3: Мы говорим о домене и диапазоне функций , которые имеют не более , одно значение y для каждого значения x , а не отношений (которые могут иметь более одного .).

    Поиск домена и диапазона без использования графика

    Всегда намного проще определить домен и диапазон, считывая его с графика (но мы должны убедиться, что мы увеличиваем и уменьшаем масштаб графика, чтобы убедиться, что мы видим все, что нам нужно увидеть). Однако у нас не всегда есть доступ к программному обеспечению для построения графиков, и для построения эскиза графика обычно в любом случае сначала требуется знать о разрывах и так далее.

    Как упоминалось ранее, ключевые вещи, которые нужно проверить:

    1. Под знаком квадратного корня нет отрицательных значений
    2. В знаменателе (внизу) дроби нет нулевых значений

    Пример 3

    Найдите область определения и диапазон функции `f (x) = sqrt (x + 2) / (x ^ 2-9),` без использования графика.2-9`, которое, как мы понимаем, можно записать как `(x + 3) (x-3)`. Таким образом, наши значения для `x` не могут включать` -3` (из первой скобки) или `3` (из второй).

    В любом случае нам не нужно беспокоиться о `-3`, потому что на первом шаге мы решили, что` x> = -2`.

    Таким образом, домен для этого случая равен `x> = -2, x! = 3`, который мы можем записать как` [-2,3) uu (3, oo) `.

    Для определения диапазона мы рассматриваем верхнюю и нижнюю части дроби отдельно.

    Числитель: Если `x = -2`, верхняя часть имеет значение` sqrt (2 + 2) = sqrt (0) = 0`.2-9) `приближается к` 0`, поэтому `f (x)` переходит в `-oo`, когда приближается к` x = 3`.

    Для `x> 3`, когда` x` просто больше, чем `3`, значение дна чуть больше` 0`, поэтому `f (x)` будет очень большим положительным числом.

    Для очень большого `x` верхний край большой, но нижний будет намного больше, поэтому в целом значение функции будет очень маленьким.

    Итак, мы можем заключить, что диапазон равен `(-oo, 0] uu (oo, 0)`.

    Посмотрите на график (который мы все равно рисуем, чтобы убедиться, что мы на правильном пути):

    Показать график

    Мы можем видеть на следующем графике, что действительно домен равен «[-2,3) uu (3, oo)» (который включает «-2», но не «3»), а диапазон — «все значения из `f (x)`, кроме `F (x) = 0`.2-9) `.

    Сводка

    В общем, мы определяем домен по ищем те значения независимой переменной (обычно x ), которые нам разрешено использовать . (Мы должны избегать 0 в нижней части дроби или отрицательных значений под знаком квадратного корня).

    Диапазон находится путем нахождения результирующих значений y после того, как мы подставили возможные значения x .

    Упражнение 1

    Найдите домен и диапазон для каждого из следующих.2+ 2`.

    Ответ

    Домен: Функция

    f ( x ) = x 2 + 2

    определен для всех реальных значений x (поскольку нет ограничений на значение x ).

    Следовательно, область `f (x)` равна

    «все реальные значения x «.

    Диапазон: Поскольку x 2 никогда не бывает отрицательным, x 2 + 2 никогда не меньше 2

    Следовательно, диапазон `f (x)` равен

    «все действительные числа` f (x) ≥ 2` «.

    Мы видим, что x может принимать любое значение на графике, но результирующие значения y = f ( x ) больше или равны 2.

    123-1-2-312345678910-1xf (x)

    Диапазон: `y> = 2`

    Домен: Все `x`

    Примечание

    1. Важно обозначить оси как при рисовании графиков. Это помогает понять, что представляет собой график.
    2. Мы видели, как рисовать такие графики в Графике функции.

    (б) `f (t) = 1 / (t + 2)`

    Ответ

    Домен: Функция

    `f (t) = 1 / (t + 2)`

    не определено для т = -2, так как это значение приведет к делению на ноль. (Внизу дроби будет 0.)

    Следовательно, домен из f ( t ) равен

    «все вещественные числа кроме -2 «

    Диапазон: Независимо от того, насколько большим или маленьким станет т , f ( t ) никогда не будет равно нулю.

    [ Почему? Если мы попытаемся решить уравнение относительно 0, произойдет следующее:

    `0 = 1 / (t + 2)`

    Умножаем обе стороны на ( t + 2) и получаем

    `0 = 1`

    Это невозможно.]

    Таким образом, диапазон из f ( t ) равен

    «все вещественные числа кроме нуля ».

    На графике видно, что функция не определена для `t = -2` и что функция (значения y ) принимает все значения, кроме` 0`.

    1234-1-2-3-4-5-6-712345-1-2-3-4-5tf (t)

    Домен: Все `t ≠ -2`

    Диапазон: Все `f (t) ≠ 0`

    (c) `g (s) = sqrt (3-s)`

    Ответ

    Функция

    `g (s) = sqrt (3-s)`

    не определен для реального числа больше 3, что приведет к мнимым значениям для г ( с ). 2 + 4` для `x> 2`

    Ответ

    Функция `f (x)` имеет область «все действительные числа,` x> 2` «, как определено в вопросе.(Здесь не используются квадратные корни из отрицательных чисел или деления на ноль.)

    Чтобы найти диапазон :

    • Когда `x = 2`,` f (2) = 8`
    • Когда x увеличивается с `2`,` f (x) `становится больше, чем `8` (попробуйте подставить некоторые числа, чтобы понять, почему.)

    Следовательно, диапазон — «все действительные числа,` f (x)> 8` «

    Вот график функции с открытым кружком в «(2, 8)», указывающим, что домен не включает «x = 2», а диапазон не включает «f (2) = 8».

    123456510152025xf (x) (2, 8)

    Домен: Все `x> 2`

    Диапазон:
    Все `f (x)> 8`

    Функция является частью параболы. [Подробнее о параболе.]

    Упражнение 2

    Мы запускаем шар в воздух и находим высота ч , в метрах, как функция времени т , в секундах, равно

    ч = 20 т — 4,9 т 2

    Найдите домен и диапазон для функции ч ( т ).

    Ответ

    Как правило, отрицательные значения времени не имеют имея в виду. Кроме того, нам нужно предположить, что снаряд попадает в землю, а затем останавливается — он не уходит под землю.

    Итак, нам нужно рассчитать, когда он упадет на землю. Это будет, когда h = 0. Итак, решаем:

    20 т — 4,9 т 2 = 0

    Факторинг дает:

    (20 — 4.9 т ) т = 0

    Это верно, когда

    `t = 0 \» s «`,

    или

    `t = 20/4.9 = 4.082 текст (ы) `

    Следовательно, область функции h равна

    «все реально значения t такие, что `0 ≤ t ≤ 4.082`»

    Из выражения функции видно, что это парабола с вершиной вверх. (Это имеет смысл, если вы думаете о подбрасывании мяча вверх. Он поднимается на определенную высоту, а затем падает обратно.)

    Какое максимальное значение ч ? Воспользуемся формулой максимума (или минимума) квадратичной функции.

    Значение т , которое дает максимум

    `t = -b / (2a) = -20 / (2 xx (-4.9)) = 2.041 с`

    Таким образом, максимальное значение равно

    .

    20 (2,041) — 4,9 (2,041) 2 = 20,408 м

    Наблюдая за функцией h , мы видим, что по мере увеличения t , h сначала увеличивается до максимума. 20,408 м, затем ч снова уменьшается до нуля, как и ожидалось.

    Следовательно, диапазон из ч равен

    «все реально числа, `0 ≤ h ≤ 20,408`»

    Вот график функции h :

    1234565101520-5-й (t)

    Домен: `0

    Диапазон:
    `0

    Функции, определяемые координатами

    Иногда у нас нет непрерывных функций. Что нам делать в этом случае? Давайте посмотрим на пример.

    Упражнение 3

    Найдите область и диапазон функции, заданной координатами:

    `{(−4, 1), (−2, 2.5), (2, −1), (3, 2)} `

    Ответ

    Область — это просто заданные значения x : `x = {−4, −2, 2, 3}`

    Диапазон состоит из заданных значений `f (x)`: `f (x) = {−1, 1, 2, 2.5}`

    Вот график нашей разрывной функции.

    1234-1-2-3-41234-1-2-3-е (т) (3, 2) (2, -1) (- 4, 1)

    (-2, 2,5)

    .

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.