Корень 9 степени из корень из m: Корень из m / (на корень из m пятой степени умножить на корень из m 20 степени), при m =256

Содержание

Функция корня n-й степени. Алгебра, 11 класс: уроки, тесты, задания.

1. Построение графика функции корня n-й степени

Сложность: лёгкое

2
2. График функции корня n-й степени (нечётная степень)

Сложность: лёгкое

2
3. График функции корня n-й степени (чётная степень)

Сложность: лёгкое

2
4. График функции корня n-й степени вида y = f(x + m) + k

Сложность: среднее

3
5.
График функции, область определения и область значений функции

Сложность: среднее

4
6. Точки пересечения графиков (чётная степень)

Сложность: среднее

4
7. Точки пересечения графиков (нечётная степень)

Сложность: среднее

4
8. Решение уравнения графически (чётная степень)

Сложность: среднее

5
9.
Область определения функции корня n-й степени (нечётная степень)

Сложность: среднее

3
10. Область определения функции корня n-й степени (чётная степень)

Сложность: среднее

3
11. Область определения функции, противоположный квадратный трёхчлен (чётная степень)

Сложность: среднее

10
12. Возрастание функции корня n-й степени

Сложность: среднее

3
13.
Область значений функции корня n-й степени

Сложность: среднее

3
14. Область определения функции, дробь (нечётная степень)

Сложность: сложное

3
15. Область определения функции корня n-й степени, сумма корней

Сложность: сложное

5
16. Область определения функции, сумма корней (чётная степень)

Сложность: сложное

7

Арифметический корень / math5school.

ru

 

Арифметический корень

Свойства корней

Значения некоторых корней n-й степени

Таблица квадратных корней натуральных чисел от 1 до 99

Таблица кубических корней натуральных чисел от 1 до 99

 

Арифметический корень

Арифметическим корнем  n-й степени из неотрицательного числа a называется неотрицательное число b,  n-я степень которого равна a.

Записывается так: 

 

Эта запись означает, что b= a, где b и a – неотрицательные числа.

Число n называется показателем степени корня, число аподкоренным выражением, bзначением арифметического корня n-й степени. Операция нахождения значения корня называется извлечением корня.

Корней чётной степени из отрицательных чисел не существует.

Корнем нечётной степени из отрицательного числа а называется такое отрицательное число b, которое при его возведении в эту нечётную степень равно числу а.

Для корней нечётной степени справедливо равенство:

 

 

Свойства корней

Для положительных а и b, натуральных n и k (n ≥ 2, k ≥ 2), целого m выполняются следующие соотношения.

Кроме того, для любого числа а верно:

 

Значения некоторых корней

n-й степени
 3√8 = 2  4√16 = 2  5√32 = 2  6√64 = 2  7√128 = 2  8√256 = 2  9√512 = 2  10√1024 = 2
 3√27 = 3  4√81 = 3  5√243 = 3  6√729 = 3  7√2187 = 3  8√6561 = 3  9√19683 = 3  10√59049 = 3
 3√64 = 4  4√256 = 4  5√1024 = 4  6√4096 = 4  7√16384 = 4  8√65536 = 4  9√262144 = 4  10√1048576 = 4
 3√125 = 5  4√625 = 5  5√3125 = 5  6√15625 = 5  7√78125 = 5  8√390625 = 5  9√1953125 = 5  10√9765625 = 5
 3√216 = 6  4√1296 = 6  5√7776 = 6  6√46656 = 6  7√279936 = 6  8√1679616 = 6  9√10077696 = 6  10√60466176 = 6
 3√343 = 7  4√2401 = 7  5√16807 = 7  6√117649 = 7  7√823543 = 7  8√5764801 = 7  9√40353607 = 7  10√282475249 = 7

 

      Смотрите также:

Таблицы чисел

Алгебраические тождества

Степени

Логарифмы 

Графики элементарных функций

Построение графиков функций геометрическими методами

Тригонометрия

Таблицы значений тригонометрических функций

Треугольники

Четырёхугольники

Многоугольники

Окружность 

Площади геометрических фигур

Прямые и плоскости

Многогранники 

Тела вращения 

 

Урок 16.

арифметический корень натуральной степени — Алгебра и начала математического анализа — 10 класс

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок №16 Название темы: Арифметический корень натуральной степени.

Перечень тем, рассматриваемых на уроке:

  • преобразование и вычисление арифметических корней,
  • свойства арифметического корня натуральной степени,
  • корень нечетной степени из отрицательного числа,
  • какими свойствами обладает арифметический корень натуральной степени.

Глоссарий

  1. Квадратным корнем из числа a называют такое число, квадрат которого будет равен a.
  2. Арифметическим квадратным корнем из числа а называют неотрицательное число, квадрат которого равен а.
  3. Кубический корень из а— это такое число, которое при возведении в третью степень дает число а.
  4. Корнем n-ой степени из числа a называют такое число, n-ая степень которого будет равна a.
  5. Арифметическим корнем натуральной степени, где n ≥ 2, из неотрицательного числа a называется неотрицательное число, n-я степень которого равна a.

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Учебно-методический комплект: Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни). 10 кл.– М.: Просвещение, 2014.

  1. Сканави М. И., Зайцев В. В., Рыжков В. В. «Элементарная математика». – Книга по требованию, 2012.
  2. Семенова А.Л., Ященко И.В. ЕГЭ 3000 задач с ответами, математика под редакцией Москва, 2017.
  3. Ященко И. В. ЕГЭ 3300 задач с ответами, математика профильный уровень под редакцией Москва, 2017.

Объяснение темы «Арифметический корень натуральной степени»

Решим задачу.

Площадь квадрата S=16 м².

Обозначим сторону квадрата а, м.

Тогда, а² = 16.

Решим данное уравнение:

a=4 и а= –4.

Проверим решение:

4² = 16;

(–4)² = 16.

Ответ: длина стороны квадрата равна 4 м.

Определение:

Квадратным корнем из числа a называют такое число, квадрат которого будет равен a.

Определение:

Арифметическим квадратным корнем из числа а называют неотрицательное число, квадрат которого равен а.

Обозначение: .

Определение:

Кубический корень из а— это такое число, которое при возведении в третью степень дает число а.

Обозначение: .

Например:

.

.

.

На основании определений квадратного и кубического корней, можно сформулировать определения корня n-ой степени и арифметического корня n-ой степени.

Определение:

Корнем n-ой степени из числа a называют такое число, n-ая степень которого будет равна a.

Определение:

Арифметическим корнем натуральной степени, где n≥2, из неотрицательного числа a называется неотрицательное число, n-я степень которого равна a.

Обозначение: – корень n-й степени, где

n–степень арифметического корня;

а– подкоренное выражение.

Давайте рассмотрим такой пример: .

Мы знаем, что (–4)³ = –64, следовательно, .

Еще один пример: .

Мы знаем, что (–3)5 = –243, следовательно, .

На основании этих примеров, можно сделать вывод:

, при условии, что n –нечетное число.

Свойства арифметического корня натуральной степени:

Если а ≥ 0, b ≥ 0 и n, m – натуральные числа, причем n ≥ 2, m ≥ 2, то справедливо следующее:

  1. .

Примеры:

.

.

  1. .

Примеры:

.

.

  1. .

Пример:

.

  1. .

Пример:

.

  1. Для любогоа справедливо равенство:

Пример:

Найдите значение выражения , при 3 <x< 6.

Степени заданных арифметических корней 4 и 2, четные числа, следовательно, мы можем применить свойство №5:

=|x – 3| = х – 3, т.к. х>3;

=|x – 6|=6 – x, т.к. х<6.

Получаем: х – 3 + 6 – х= 3.

Примеры заданий.

Первый пример.

Задача:

Выберите верные утверждения:

Разбор задания.

Применим определение арифметического корня: Арифметическим корнем натуральной степени из неотрицательного числа a называется неотрицательное число, n-я степень которого равна a. Следовательно, верными могут быть только неотрицательные выражения.

Ответ: ; ;

Второй пример.

Задача:

Выделите самое маленькое число:

Разбор задания:

Корень из отрицательного числа будет отрицательным числом, следовательно, наименьшее число –

Ответ: 4. {\frac{1}{2}}, $$

Так как \(0 \lt \frac{1}{5} \lt 1\) и \(\frac{1}{3} \lt \frac{1}{2}\)

Определение корня n-ой степени. Свойства арифметического корня n-ой степени 9 класс онлайн-подготовка на Ростелеком

Тема 15.

Определение корня n-ой степени. Свойства арифметического корня n-ой степени.

Давай вспомним, что квадратным корнем из числа а называется такое число, квадрат которого равен а. Аналогично определяется корень любой натуральной степени n.

Итак, корнем n-ой степени из числа а называется такое число, n-ая степень которого равна а.

Например, корнем пятой степени из 32 является число 2, так как 25=32, корнем четвертой степени из 81 является каждое из чисел 3 и -3, так и 34=81 и (-3)4=81. Корень второй степени принято называть квадратным корнем, а корень третьей степени – кубическим корнем.

Если n — нечетное число, то выражение an имеет смысл при любом a; если n — четное число, то выражение an имеет смысл при a≥0.

Из определения корня n-ой степени следует, что при всех значениях а, при которых выражение anимеет смысл, верно равенствоann=a.

Определение: Арифметическим корнем n-ой степени из неотрицательного числа а называется неотрицательное число, n-ая степень которого равна а.

Корень нечетной степени из отрицательного числа можно выразить через арифметический корень. Например,

-83=-83=-2

Значит, при любом положительном a и нечетном n верно равенство:

-an=-an

Решим уравнение: x6 = 7. Корнями уравнения служат числа, шестая степень которых равна 7. И таких чисел два: 76 и -76.

Решим уравнение x3 = 27. Уравнение имеет единственный корень, это число, третья степень которого равна 27, то есть 273=3.

Рассмотрим свойства арифметического корня n-ой степени.

  1. Если a≥0 и b≥0, то abn=anbn

Корень из неотрицательных множителей равен произведению корней из этих множителей.

Например, найдем значение выражения 16∙814=164∙814=2∙3=6

  1. Если a≥0 и b>0, то abn=anbn

Корень из дроби, числитель которой неотрицателен, а знаменатель положителен, равен корню из числителя, деленному на корень из знаменателя.

Например, найдем значение выражения 210273=64273=643273=43=113.

  1. Если n и k – натуральные числа и a≥0, то akn=ank
  2. Если n,k и m – натуральные числа и a≥0, то amknk=amn

Если показатель корня и показатель степени подкоренного выражения умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то значение корня не изменится.

Рассмотрим некоторые примеры.

Вычислим значение выражения:

1353∙253=135∙253=27∙5∙253=27∙1253=3∙5=15

5106212∙526=510∙212∙526=512∙2126=10126=102=100

8-373∙8+373=8-378+373=64-373=273=3

степени, корни (подготовка к ЕГЭ)

Учебник: «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (углублённый уровень)», Муравин Г.К., Муравина О.В.

Тема: 5. Степенная функция у = хп при натуральном п

Учебник: «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (углублённый уровень)», Муравин Г.К., Муравина О.В.

Тема: 6. Понятие корня л-й степени

Учебник: «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (углублённый уровень)», Муравин Г.К., Муравина О.В.

Тема: 7. Свойства арифметических корней

Учебник: «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (углублённый уровень)», Муравин Г.К., Муравина О.В.

Тема: 8. Степень с рациональным показателем

Учебник: «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни)», Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др.

Учебник: «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни)», Никольский С. М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.

Учебник: «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (углублённый уровень)», Пратусевич М.Я., Столбов К.М., Головин А.Н.

Учебник: «Алгебра и начала математического анализа. Углубленный уровень», Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И.

Тема: 2. Обобщение понятия степени

Учебник: «Алгебра и начала математического анализа. Углубленный уровень», Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И.

Тема: § 4. Степенная функция. Иррациональные выражения, уравнения и неравенства

Учебник: «Алгебра и начала математического анализа. Углубленный уровень», Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И.

Тема: 4. Алгебраические выражения

Учебник: «Алгебра и начала математического анализа. Углубленный уровень», Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И.

Тема: 5. Упрощение иррациональных выражений

Учебник: «Алгебра и начала математического анализа. Углубленный уровень», Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И.

Тема: 6. Уничтожение иррациональности в знаменателе или в числителе

Учебник: «Алгебра и начала математического анализа. Учебник (базовый и углублённый уровни)», Мордкович А.Г., Семенов П.В.

Тема: Глава 2. Степени и корни. Степенные функции

Учебник: «Алгебра и начала математического анализа. Учебник (базовый и углублённый уровни)», Мордкович А.Г., Семенов П.В.

Тема: § 4. Понятие корня n-й степени из действительного числа

Учебник: «Алгебра и начала математического анализа. Учебник (базовый и углублённый уровни)», Мордкович А. Г., Семенов П.В.

Тема: § 5. Функции у = n\/x, их свойства и графики

Учебник: «Алгебра и начала математического анализа. Учебник (базовый и углублённый уровни)», Мордкович А.Г., Семенов П.В.

Тема: § 7. Преобразование иррациональных выражений

Учебник: «Алгебра и начала математического анализа. Учебник (базовый и углублённый уровни)», Мордкович А.Г., Семенов П. В.

Тема: § 8. Понятие степени с любым рациональным показателем

Учебник: «Алгебра и начала математического анализа. Учебник (базовый и углублённый уровни)», Мордкович А.Г., Семенов П.В.

Тема: § 9. Степенные функции, их свойства и графики

Учебник: «Алгебра и начала математического анализа. Учебник (базовый и углублённый уровни)», Мордкович А.Г., Семенов П.В.

Тема: § 10. Извлечение корней из комплексных чисел

Учебник: «Алгебра и начала математического анализа», Колягин Ю.М., Ткачёва М.В. и др.

Учебник: «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни)», Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.

Учебник: «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (углублённый уровень)», Пратусевич М.Я., Столбов К.М., Головин А.Н.

Учебник: «Алгебра и начала математического анализа. Базовый и углубленный уровни», Алимов А.Ш., Колягин Ю.М. и др.

Тема: Глава 1. Действительные числа

Учебник: «Алгебра и начала математического анализа. Базовый и углубленный уровни», Алимов А.Ш., Колягин Ю.М. и др.

Тема: § 4. Арифметический корень натуральной степени

Учебник: «Алгебра и начала математического анализа. Базовый и углубленный уровни», Алимов А.Ш., Колягин Ю.М. и др.

Тема: § 5. Степень с рациональным и действительным показателями

Учебник: «Алгебра и начала математического анализа. Базовый и углубленный уровни», Алимов А.Ш., Колягин Ю.М. и др.

Тема: Глава 2. Степенная функция

Учебник: «Алгебра и начала математического анализа. Базовый и углубленный уровни», Алимов А.Ш., Колягин Ю.М. и др.

Тема: Приложение

Учебник: «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)», Ч.1.: Мордкович А.Г., Семенов П.В.; Ч.2.: Мордкович А.Г. и др., под ред. Мордковича А.Г.

Тема: Глава 6. Степени и корни, степенные функции

Учебник: «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)», Ч.1.: Мордкович А.Г., Семенов П.В.; Ч.2.: Мордкович А.Г. и др., под ред. Мордковича А.Г.

Тема: § 33. Понятие корня п-й степени из действительного числа

Учебник: «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)», Ч.1.: Мордкович А.Г., Семенов П.В.; Ч.2.: Мордкович А.Г. и др., под ред. Мордковича А.Г.

Тема: § 34. Функции у = у[х, их свойства и графики

Учебник: «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)», Ч.1.: Мордкович А.Г., Семенов П.В.; Ч.2.: Мордкович А.Г. и др., под ред. Мордковича А.Г.

Тема: § 35. Свойства корня п-й степени

Учебник: «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)», Ч.1.: Мордкович А.Г., Семенов П.В.; Ч.2.: Мордкович А.Г. и др., под ред. Мордковича А.Г.

Тема: § 36. Преобразование выражений, содержащих радикалы

Учебник: «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)», Ч.1.: Мордкович А.Г., Семенов П.В.; Ч.2.: Мордкович А.Г. и др., под ред. Мордковича А.Г.

Тема: § 37. Обобщение понятия о показателе степени

Учебник: «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)», Ч.1.: Мордкович А.Г., Семенов П.В.; Ч.2.: Мордкович А.Г. и др., под ред. Мордковича А.Г.

Тема: § 38. Степенные функции, их свойства и графики

Свойства корней и степеней / Блог / Справочник :: Бингоскул

Формулы корней n-ой степени и их свойства

  1. Чтобы возвести корень в степень, достаточно возвести в эту степень подкоренное значение:
    (\sqrt[n] { a } )^k =\sqrt[n] { a^k }
  2. Чтобы извлечь корень из корня, достаточно перемножить показатели корней:
    \sqrt[n] { \sqrt[k] { a } } =\sqrt[n*k] { a }
  3. Значение корня не изменится, если одновременно его показатель увеличить в k раз и подкоренное значение возвести в степень k:
    \sqrt[n] { a^m } = \sqrt[n*k] { a^ { m*k } }
  4. Корень из произведения равен произведению корней:
    \sqrt[n] { a*b } = \sqrt[n] { a } * \sqrt[n] { b }
  5. Корень из дроби — это корень из числителя и корень из знаменателя:
    \sqrt[n] { \frac { a } { b } } = \frac { \sqrt[n] { a } } { \sqrt[n] { b } }
  6. Корень из n-ой степени в степени n
    (\sqrt[n] { a } )^n =a
  7. Корень из квадрата:
    (\sqrt { a^2 } ) = |a|

Формулы степеней и их свойства

  1. Возведение в нулевую степень:
    a^0 = 1
  2. Произведение степеней:
    a^m * a^n = a^ { m+n }
  3. Деление степеней:
    a^m : a^n = a^ { m — n }
  4. Возведение степени в степень:
    (a^m)^n = a^ { m*n }
  5. При возведении в степень произведения каждый из множителей возводится в степень и результаты перемножают:
    (a*b)^m = a^m * b^m
  6. При возведении в степень частного возводят в эту степень и делимое, и делитель, результаты делят:
    (\frac { a } { b } )^m = \frac { a^m } { b^m }
  7. Степень с отрицательным рациональным показателем:
    a^ { -n } = \frac { 1 } { a^n }
    Обыкновенная дробь с отрицательным показателем заменяется на обратную ей дробь с положительным показателем:
    (\frac { a } { b } )^ { -m } =(\frac { b } { a } )^ { m }
  8. Степень с рациональным показателем:
    a^ { \frac { 1 } { n } } = \sqrt[n] { a }
    a^ { \frac { m } { n } } = \sqrt[n] { a^m }

Смотри также: Основные формулы по математике

Решай с разбором:

2 \). 2 \) и читаем «n в квадрате».2 \), то \ (\ sqrt {m} = n \) для \ (n \ ge 0 \).

Квадратный корень из m, \ (\ sqrt {m} \), — это положительное число, квадрат которого равен m.

Поскольку 15 является положительным квадратным корнем из 225, мы пишем \ (\ sqrt {225} = 15 \). Заполните рис. , чтобы составить таблицу квадратных корней, на которую вы можете ссылаться при работе с этой главой.

Мы знаем, что каждое положительное число имеет два квадратных корня, а знак корня указывает на положительный. Мы пишем \ (\ sqrt {225} = 15 \). Если мы хотим найти отрицательный квадратный корень из числа, мы помещаем минус перед знаком корня.2 = 196} & {14} \\ \ end {array} \]
3.
\ [\ begin {array} {ll} {} & {- \ sqrt {81}} \\ {\ text {Отрицательный стоит перед знаком радикала}} & {- 9} \\ \ end {array} \]
4.
\ [\ begin {array} {ll} {} & {- \ sqrt {289}} \\ {\ text {Отрицательное перед знаком корня}} & {- 17} \\ \ end {array} \]

Пример \ (\ PageIndex {2} \)

Упростить:

  1. \ (- \ sqrt {49} \)
  2. \ (\ sqrt {225} \).
Ответ
  1. −7
  2. 15

Пример \ (\ PageIndex {3} \)

подразумевает:

  1. \ (\ sqrt {64} \)
  2. \ (- \ sqrt {121} \).
Ответ
  1. 8
  2. −11

Пример \ (\ PageIndex {4} \)

Упростить:

  1. \ (\ sqrt {−169} \)
  2. \ (- \ sqrt {64} \)
Ответ

1.

\ [\ begin {array} {ll} {} & {\ sqrt {−169}} \\ {\ text {Не существует действительного числа с квадратом} s − 169} & {\ sqrt {−169} \ текст {не является действительным числом.}} \\ \ end {array} \]

2.

\ [\ begin {array} {ll} {} & {- \ sqrt {64}} \\ {\ text {Отрицательное значение перед знаком радикала}} & {- 8} \\ \ end {array } \]

Пример \ (\ PageIndex {5} \)

Упростить:

  1. \ (\ sqrt {−196} \)
  2. \ (- \ sqrt {81} \).
Ответ
  1. не действительное число
  2. −9

Пример \ (\ PageIndex {6} \)

Упростить:

  1. \ (- \ sqrt {49} \)
  2. \ (\ sqrt {−121} \).
Ответ
  1. −7
  2. ненастоящее число

При использовании порядка операций для упрощения выражения, имеющего квадратные корни, мы рассматриваем радикал как символ группировки.

Пример \ (\ PageIndex {7} \)

Упростить:

  1. \ (\ sqrt {25} + \ sqrt {144} \)
  2. \ (\ sqrt {25 + 144} \).
Ответ

1.

\ [\ begin {array} {ll} {} & {\ sqrt {25} + \ sqrt {144}} \\ {\ text {Использовать порядок операций}} & {5 + 12} \\ {\ текст {Упростить.}} & {17} \\ \ end {array} \]

2.

\ [\ begin {array} {ll} {} & {\ sqrt {25 + 144}} \\ {\ text {Упростить под знаком радикала.}} & {\ Sqrt {169}} \\ {\ text {Упростить.}} & {13} \\ \ end {array} \]

Обратите внимание на разные ответы в частях 1 и 2!

Пример \ (\ PageIndex {8} \)

Упростить:

  1. \ (\ sqrt {9} + \ sqrt {16} \)
  2. \ (\ sqrt {9 + 16} \).
Ответ
  1. 7
  2. 5

Пример \ (\ PageIndex {9} \)

Упростить:

  1. \ (\ sqrt {64 + 225} \)
  2. \ (\ sqrt {64} + \ sqrt {225} \).
Ответ
  1. 17
  2. 23

Оценка квадратного корня

До сих пор мы рассматривали только квадратные корни из полных квадратных чисел.Квадратные корни из других чисел не являются целыми числами. Посмотрите на Таблица ниже.

Номер Квадратный корень
4 \ (\ sqrt {4} = 2 \)
5 \ (\ sqrt {5} \)
6 \ (\ sqrt {6} \)
7 \ (\ sqrt {7} \)
8 \ (\ sqrt {8} \)
9 \ (\ sqrt {9} = 3 \)

Квадратные корни чисел от 4 до 9 должны находиться между двумя последовательными целыми числами 2 и 3, и они не являются целыми числами. Основываясь на шаблоне в таблице выше, мы можем сказать, что \ (\ sqrt {5} \) должно быть между 2 и 3. Используя символы неравенства, мы пишем:

\ (2 <\ sqrt {5} <3 \)

Пример \ (\ PageIndex {10} \)

Оценить \ (\ sqrt {60} \) между двумя последовательными целыми числами.

Ответ

Подумайте о точных квадратных числах, ближайших к 60. Составьте небольшую таблицу из этих точных квадратов и их квадратных корней.

Найдите 60 между двумя последовательными точными квадратами.
\ (\ sqrt {60} \) находится между их квадратными корнями.

Пример \ (\ PageIndex {11} \)

Оцените квадратный корень \ (\ sqrt {38} \) между двумя последовательными целыми числами.

Ответ

\ (6 <\ sqrt {38} <7 \)

Пример \ (\ PageIndex {12} \)

Оцените квадратный корень \ (\ sqrt {84} \) между двумя последовательными целыми числами.

Ответ

\ (9 <\ sqrt {84} <10 \)

Приблизительные квадратные корни

Существуют математические методы вычисления квадратного корня, но в настоящее время большинство людей используют калькулятор, чтобы найти их. Найдите на калькуляторе клавишу \ (\ sqrt {x} \). Вы будете использовать этот ключ для вычисления приближения квадратных корней.

Когда вы используете калькулятор, чтобы найти квадратный корень из числа, не являющегося точным квадратом, ответ, который вы видите, не будет точным квадратным корнем.Это приблизительное значение с точностью до количества цифр, отображаемых на дисплее вашего калькулятора. Символ приближения — \ (\ приблизительно \), читается как «приблизительно».

Предположим, ваш калькулятор имеет 10-разрядный дисплей. Вы бы увидели, что

\ (\ sqrt {5} \ приблизительно 2.236067978 \)

Если бы мы хотели округлить \ (\ sqrt {5} \) до двух десятичных знаков, мы бы сказали

\ (\ sqrt {5} \ приблизительно 2,24 \)

Как мы узнаем, что эти значения являются приблизительными, а не точными? Посмотрите, что происходит, когда мы возводим их в квадрат:

\ [\ begin {array} {c} {(2.2 = 5,0176} \\ \ end {массив} \]

Их квадраты близки к 5, но не совсем равны 5.

Используя квадратный корень на калькуляторе, а затем округляя до двух десятичных знаков, мы можем найти:

\ [\ begin {array} {c} {\ sqrt {4} = 2} \\ {\ sqrt {5} \ примерно 2,24} \\ {\ sqrt {6} \ примерно 2,45} \\ {\ sqrt { 7} \ приблизительно 2,65} \\ {\ sqrt {8} \ приблизительно 2,83} \\ {\ sqrt {9} = 3} \\ \ end {array} \]

Пример \ (\ PageIndex {13} \)

Округлить \ (\ sqrt {17} \) до двух десятичных знаков.

Ответ

\ [\ begin {array} {ll} {} & {\ sqrt {17}} \\ {\ text {Используйте ключ квадратного корня калькулятора.}} & {4.123105626 …} \\ {\ text {Округлить до двух десятичных знаков.}} & {4.12} \\ {} & {\ sqrt {17} \ приблизительно 4.12} \ end {array} \]

Пример \ (\ PageIndex {14} \)

Округлить \ (\ sqrt {11} \) до двух десятичных знаков.

Ответ

\ (\ приблизительно 3,32 \)

Пример \ (\ PageIndex {15} \)

Округлить \ (\ sqrt {13} \) до двух десятичных знаков.

Ответ

\ (\ около 3.2} = 3x} \\ \ end {array} \]

Когда мы используем знак радикала для извлечения квадратного корня из переменного выражения, мы должны указать, что x≥0x≥0, чтобы убедиться, что мы получили главный квадратный корень .

Однако в этой главе мы будем предполагать, что каждая переменная в выражении квадратного корня представляет неотрицательное число, и поэтому мы не будем писать \ (x \ ge 0 \) рядом с каждым радикалом.

А как насчет квадратных корней из высших степеней переменных? Подумайте о силовом свойстве экспонентов, которое мы использовали в главе 6.{10}} \)

Обратитесь к этому онлайн-ресурсу, чтобы получить дополнительные инструкции и попрактиковаться в вычислении квадратного корня.

Ключевые понятия

  • Обратите внимание, что квадратный корень отрицательного числа не является действительным числом.
  • Каждое положительное число имеет два квадратных корня, один положительный и один отрицательный. Положительный квадратный корень из положительного числа — это главный квадратный корень.
  • Мы можем вычислить квадратные корни, используя близкие идеальные квадраты.
  • Мы можем приблизительно вычислить квадратные корни с помощью калькулятора.2 \), тогда \ (\ sqrt {m} = n \). Мы читаем \ (\ sqrt {m} \) как «квадратный корень из m».

4. Силы, корни и радикалы

На этой странице

Связанный раздел

Не пропустите главу «Экспоненты и радикалы», где мы более подробно рассмотрим эти темы.

На этой странице мы продолжим рассмотрение того, как работают числа, прежде чем применять процедуры к алгебре. Все работает так же, за исключением того, что в алгебре мы используем буквы для обозначения чисел.

Индексы

Индексы (или степени , или степени ) очень полезны в математике. Индексы — удобный способ записи умножения, в котором много повторяющихся членов.

Пример индекса

В примере 5 3 мы говорим, что:

5 — это базовый и

3 — это индекс (или степени , или степени ).

5 3 означает «умножить 5 на себя 3 раза».

[Или, точнее, «многократно умножить 5 на себя так, чтобы в умножении было три 5», или даже лучше, «три пятерки, умноженные вместе». См. Обсуждение этого вопроса в разделе «Камни преткновения в математике».]

То есть 5 3 означает

5 3 = 5 × 5 × 5

Примеры целочисленных показателей

Что произойдет, если у нас будет индекс 1, а может, 0 или даже -2?

Давайте создадим шаблон, используя наш пример выше, чтобы мы могли видеть, что означают эти особые случаи.-1 = 1/5`

Эти легко испортить, и они могут лишить вас сна без надобности, когда вы позже будете заниматься алгеброй.

Как правило, любое число a (кроме 0) в степени 1 равно a .

a 1 = a

Кроме того, любое число a (кроме 0) в степени 0 равно 1.

a 0 = 1

И любое число a (кроме 0) в степени -1 равно «1 / a».-1 = 1 / a`

Умножение чисел с одинаковым основанием

Нам часто нужно умножить что-то вроде следующего:

4 3 × 4 5

Мы замечаем, что числа имеют одинаковое основание (это 4), и мы думаем об этом так:

4 3 × 4 5 `= \ underbrace {(4 xx 4 xx 4)} _ {3″ из них «} xx \ underbrace {(4 xx 4 xx 4 xx 4 xx 4)} _ {5 «из них»} `

Мы получаем 3 четверки из первой скобки и 5 четверок из второй, так что в сумме у нас будет 3 + 5 = 8 четверок, умноженных вместе.

4 3 × 4 5 = 4 3 + 5 = 4 8 (Если кому-то интересно, окончательный ответ 65 536 .:-)

В общем, можно сказать для любого числа a и индексов m и n :

a м × a n = a ( м + n )

Деление чисел с одинаковым основанием

В качестве примера разделим 3 6 на 3 2 :

`{3 ^ 6} / {3 ^ 2}` = {(3xx3xx3xx3xx3xx3)} / (3xx3) `= 3 × 3 × 3 × 3 = 3 4 = 81

Мы вычли 2 тройки наверху и 2 тройки внизу дроби, оставив 4 тройки наверху (и цифру 1 на Нижний). (м-н) `

Возведение индексного выражения в индекс

В качестве примера возведем число 4 2 в степень 3:

(4 2 ) 3 = 4 2 × 4 2 × 4 2

Из приведенного выше примера умножения мы видим, что это даст нам 4 6 . Мы могли бы это сделать как:

(4 2 ) 3 = 4 2 × 3 = 4 6

В общем у нас для любой базы а и индексов м и н :

( a m ) n = a mn

Повышение эффективности продукта

Пример числа:

(5 × 2) 3 = 5 3 × 2 3

В этом случае с числами лучше сначала произвести умножение в скобках, а затем возвести наш ответ в степень 3. n, (ane0)`

ПРИМЕЧАНИЕ 1: Эти правила применяются, когда a и b являются положительными и m и n являются целыми числами .7`

, потому что это , в отличие от терминов (буквенная часть возведена в другую степень). (Мы можем разложить это на множители, но не можем каким-либо образом расширить или добавить термины.)

Чтобы узнать, как все это используется в алгебре, перейдите по ссылке:

Корни и радикалы

Мы используем радикальный знак : `sqrt (\ \)`

Означает «квадратный корень». Квадратный корень на самом деле является дробным индексом и эквивалентен возведению числа в мощность 1/2.(1/2) = sqrt (25) = 5`

Так же можно

Кубический корень: `root (3) x` (что эквивалентно возведению в степень 1/3) и

Четвертый корень: `root (4) x` (степень 1/4) и так далее.

См. Больше в разделе «Дробные экспоненты».

Ключевые моменты, на которые следует обратить внимание:

Связанный раздел

Как упоминалось выше, если вам нужна дополнительная информация по этой теме, перейдите в: Показатели и Радикалы.

Если a ≥ 0 и b ≥ 0, имеем:

`sqrt (axxb) = sqrt (a) xxsqrt (b)`

Однако это работает только для умножения.2) = а`

Это смущает многих студентов. Но это просто означает:

  1. Начните с числа
  2. Квадрат
  3. Найдите квадратный корень из результата
  4. Закончите с номером, который вы начали с

Например, начать с 3.

Возьмите квадрат в квадрат, вы получите 9.

Извлеките квадратный корень, вы получите 3, то есть с того места, где вы начали.

Почему это важно? Часто нам нужно «отменить» квадрат при решении уравнения, поэтому мы находим квадратный корень из обоих стороны. Приятно знать, что ты делаешь.

математических слов: радикальные правила

Радикальные правила
Корневые правила
n -е корневые правила

Правила алгебры для nth корни перечислены ниже. Радикальные выражения можно переписать, используя экспоненты, поэтому правила ниже представлены подмножество экспоненты правила.

Для всего нижеперечисленного n является целым числом, а n ≥ 2.

Определения

1. если и b ≥ 0, и b n = a .

Примеры

, потому что 2 3 = 8.

2. Если n нечетно, то.

3. Если n, то четно.

4. Если a ≥ 0, то.

и

Распределение ( a ≥ 0 и b ≥ 0)

1.

2. ( б ≠ 0)

Примеры

3. (умноженное на себя n раз, получается a )

4. ( м ≥ 0)

Рационализация знаменателя
( a > 0, b > 0, c > 0)
Примеры

Пример

Осторожно !!

1.

2.

3.

Примеры

См. Также

корень n-й степени, квадрат корневые правила, распространяющие правила, правила абсолютного значения, правила факторинга

Квадратные корни и кубические корни

Чтобы найти кубический корень числа, вы хотите найти какое-то число, которое при двойном умножении на себя дает вам исходное число.Другими словами, чтобы найти кубический корень из 8, вы хотите найти число, которое при двойном умножении на само себя дает 8. Таким образом, кубический корень из 8 равен 2, потому что 2 × 2 × 2 = 8. Обратите внимание, что символ кубического корня — это знак корня с маленькой тройкой (так называемый индекс , индекс ) вверху и слева. Остальные корни определяются аналогично и идентифицируются указанным индексом. (Под квадратным корнем понимается индекс два, который обычно не записывается.) Ниже приводится список первых одиннадцати совершенных (целое число) кубических корней.

Чтобы найти квадратный корень из числа, которое не является полным квадратом, необходимо будет найти приблизительный ответ , используя процедуру, приведенную в примере.

.
Пример 1

Приблизительно.

Поскольку 6 2 = 36 и 7 2 = 49, то находится между и.

Следовательно, это значение от 6 до 7. Так как 42 находится примерно на полпути между 36 и 49, можно ожидать, что это будет примерно посередине между 6 и 7, или примерно 6.5. Чтобы проверить эту оценку, 6,5 × 6,5 = 42,25, или около 42,

.

Квадратные корни из несовершенных квадратов можно аппроксимировать, найти в таблицах или найти с помощью калькулятора. Вы можете иметь в виду эти два:

Упрощение квадратных корней

Иногда вам придется упростить квадратных корня или записать их в простейшей форме. В долях может быть уменьшено до. В квадратных корнях можно упростить до.

Есть два основных метода упростить извлечение квадратного корня.

Метод 1: Разложите число под двумя множителями, один из которых является наибольшим возможным полным квадратом. (Совершенные квадраты: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49,…)

Метод 2: Полностью разложите число под множителями на простые множители, а затем упростите, выделив все множители попарно.

Пример 2

Упростить.

в примере

, самый большой идеальный квадрат легко увидеть, и метод 1, вероятно, является более быстрым методом.
Пример 3

Упростить.

в примере

, не так очевидно, что наибольший идеальный квадрат равен 144, поэтому метод 2, вероятно, является более быстрым.

Многие квадратные корни нельзя упростить, потому что они уже представлены в простейшей форме, например, и.

Упростите термин под радикальным знаком

Быстро! Мне нужна помощь с: Выберите пункт справки по математике. ..Calculus, DerivativesCalculus, IntegrationCalculus, Quotient RuleCoins, CountingCombrations, Find allComplex Numbers, Adding ofComplex Numbers, Calculating withComplex Numbers, MultiplyingComplex Numbers, Powers ofComplex NumberConversion, SubtractingConversion, TemperatureConversion, FindConversion, Massage анализ AverageData, поиск стандартного отклонения, анализ данных, гистограммы, десятичные дроби, преобразование в дробь, электричество, стоимость факторинга, IntegerFactors, Greatest CommonFactors, Least CommonFractions, AddingFractions, ComparingFractions, ConvertingFractions, Convert to a decimalFractions, DividingFractions, MultiplyingFractions, SubplicationFractions are, SubplicationFractions , BoxesGeometry, CirclesGeometry, CylindersGeometry, RectanglesGeometry, Right TrianglesGeometry, SpheresGeometry, SquaresGraphing, LinesGraphing, Любая функцияGraphing, CirclesGraphing, EllipsesGraphing, HyperbolasGraphing, InequalitiesGraphing, Polar PlotGraphing, (x, y) pointInequalities, GraphingInequalities, SolvingInterest, CompoundInterest, SimpleLines, The Equation from point and slopeLines, Equation from slope и y-intLines, The Equation from two pointsLodsottery Практика полиномов Математика, Практика основМетрическая система, преобразование чисел, сложение чисел, вычисление с числами, вычисление с переменными Числа, деление чисел, умножение чисел, сравнение числовой строки, числовые строки, размещение значений чисел, произнесение чисел, округление чисел, вычитание частичных / параболических чисел, графическое построение чисел , Факторинг разности квадратов многочленов, разложение на множители трехчленов, многочленов, разложение на множители с GCF, многочлены, умножение многочленов, возведение в степень ns, Решить с помощью факторинга Радикалы, Другие корни Радикалы, Отношения квадратного корня, Что они собой представляют, Выведение на пенсию, Экономия на продажной цене, РасчетНаучная нотация, ПреобразованиеНаучной нотации, РазделениеНаучная нотация, Умножение форм, ПрямоугольникиУпрощение, Все, что угодноУпрощение, Образцы, Образцы, Упрощение, Методы Правые треугольники, Ветер, рисунок

Знак квадратного корня (сделайте символ корня на клавиатуре)

Квадратный корень √ — это математический текстовый символ (о его значении мы поговорим позже), который люди переписывали с тех времен, когда была разработана кодировка ASCII. И вы можете набрать его прямо с клавиатуры. Я покажу вам, как это сделать, используя разные методы в зависимости от вашей операционной системы и вкусов.

Математика
Σ π ½

Математика корня

Квадратный корень из некоторого числа «А» — это такое число «Х», что «Х», умноженное само на себя, будет «А».Каждое положительное число «A» имеет два квадратных корня: положительный и отрицательный ± √a. Хотя главный квадратный корень положительного числа является только одним из двух квадратных корней, обозначение «квадратный корень» часто используется для обозначения главного квадратного корня. Для положительного «A» главный квадратный корень можно также записать в экспоненциальной нотации как A 1/2 .

Но корней больше, чем просто квадратные! Мы можем сказать, что N-й корень из числа «X» — это число «R», которое при возведении в степень «N» равно «X» и обозначается как Rⁿ = X. Также в случае, если эти корни имеют мощность пары (2, 4, 6 …), у них будет 2 решения, положительное и отрицательное. А те, у кого есть непарная мощность (1, 3, 5 …), будут иметь только одно положительное решение.

Я дам вам несколько примеров использования для наглядности.

Квадратный корень из 9 равен ± 3 (обозначается как ± √9 = 3), потому что (± 3) 2 = 9 (3 · 3 = 9)
Корень пятой степени из 34 равен 2,024397 … (обозначается как ⁵√34 = 2,024397 …), потому что 2.024397 5 = 34

Как ввести квадратный корень

Выберите свою систему, чтобы узнать.

Окна
Состояния сдвига

Настройте раскладку клавиатуры в Windows так, чтобы вы могли вводить все дополнительные символы так же легко, как и любой другой текст. На настройку уходит около 5-10 минут, но вы будете печатать как начальник. Вы можете назначить математический квадратный корень √ и любые другие текстовые символы на клавиатуре, используя эту технику.

Карта персонажей

CharMap позволяет вам просматривать и использовать все символы и символы, доступные во всех шрифтах (некоторые примеры шрифтов: «Arial», «Times New Roman», «Webdings»), установленных на вашем компьютере. Вы можете ввести символ квадратного корня, используя его.

Mac
Emoji на iOS (iPhone, iPad и iPod touch)
Простой и красивый способ узнать, как добавить виртуальную клавиатуру для символов Emoji, отображаемых в виде небольших изображений. Сама клавиатура предустановлена ​​на вашем устройстве iOS, поэтому вам не нужно ничего скачивать или покупать.
Средство просмотра клавиатуры

Палитра символов

Палитра символов позволяет вам просматривать и использовать все символы и символы, включая знак квадратного корня, доступные во всех шрифтах (некоторые примеры шрифтов: «Arial», «Times New Roman», «Webdings»), установленных на вашем компьютере.


Linux
С клавиатуры
Карта символов

Карта символов позволяет вам просматривать и использовать все символы и символы, доступные во всех шрифтах (некоторые примеры шрифтов: «Arial», «Times New Roman», «Webdings»), установленных на вашем компьютере. Он также может помочь вам найти коды Unicode для ввода символов с клавиатуры.

HTML код

Ниже приведен список объектов HTML и JavaScript для символа квадратного корня. В Javascript вы должны написать как = «этот \ u2669 символ», если вы хотите включить специальный символ в строку.


Что такое логарифмы и корни | Бретт Берри | Math Hacks

Бревна и корни — нет, я не говорю о деревьях. Я говорю о математике.Бьюсь об заклад, вы думаете:

«Корни, хорошо. Но логарифмы? Разве это не тема по алгебре 2 ?!

Ага, это так! Но кто сказал, что мы не можем научиться этому прямо сейчас? Зачем откладывать на потом то, что можно узнать сегодня? Carpe diem , я прав? Но сначала давайте сделаем небольшой обзор. Помните эту диаграмму экспонент из второго урока?

Число, которое мы умножаем само на себя, называется основанием . Количество раз, которое мы умножаем на себя, называется степенью или степенью .

Вот несколько примеров экспонентов, чтобы освежить вашу память.

Мы хотим найти операцию, чтобы вернуть базовое число из решения экспоненциального уравнения. Вот где появляются корни.

Предположим, вместо того, чтобы найти квадрат 9, который равен 81, мы хотели бы узнать, какое число, умноженное на само себя, равно 81.

Другими словами, что такое квадратный корень из 81?

Это равно 9, потому что девять в квадрате — восемьдесят один.

Мы можем извлечь квадратный корень из любого неотрицательного числа , но только точные квадратные числа дают целочисленные результаты. Так что сначала ознакомьтесь с ними. Вот несколько примеров, с которых можно начать:

Теперь немного терминологии.

Корневой индекс — (необязательно) для квадратных корней. Квадратные корни часто записываются:

Индекс необходим только для различения более высоких проиндексированных корней, таких как кубические корни, корни четвертой степени, пятые корни и т. Д.

Кубические корни просят вас найти число, которое при умножении на себя три раз дает подкоренное выражение, например:

Четвертые корни просят вас найти число, которое при умножении на себя четыре раз дает подкоренное выражение.

Пятые корни просят вас найти число, которое при умножении на себя пять раз дает подкоренное выражение.

Опять же, вы можете взять любой корень любого неотрицательного числа (а в некоторых случаях и отрицательных чисел), но для многих чисел вам понадобится калькулятор, поскольку ответы иррациональны. Приведенные выше примеры — это часто возникающие «хорошие дела»!

Что, если бы мы хотели найти показатель степени в экспоненциальном уравнении? Другими словами, мы хотим отменить возведение в степень.Например, как решить эту проблему?

Поскольку мы запомнили общие степени и корни, мы легко идентифицируем решение как 2, так как 6 в степени 2 равняется 36.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *