Функция непрерывна когда: определение, формулы и примеры решения

Теорема

Пусть функция $y=\phi(x)$ непрерывна в точке $\alpha$, а функция $u=f(y)$ непрерывна в точке $b=\phi(\alpha)$. Тогда композиция функций $u=f(\phi(x))$ непрерывна в точке $\alpha$.

Теорема

Каждая элементарная функция, заданная в окрестности некоторой точки, непрерывна в этой точке.

Читать дальше: непрерывность функции на промежутке.

Электронный учебник по математическому анализу

3.3 Непрерывные функции

3. 2 Функции непрерывной переменной

3.3.1 Определения

Обсуждаются функции вещественной переменной, заданные на некотором интервале вещественной оси $(a,b) \subset \mathbb{R}$.

Определение. Функция $f(x)$ называется непрерывной в точке $x_0 \in (a,b)$, если

1. Имеется конечный предел \[ A=\lim _{x \rightarrow x_0}f(x) . \]

2. Этот предел совпадает со значением функции $f(x)$ в точке $x_0$, $A=f(x_0)$.

Определение. Функция $f(x)$ называется непрерывной в точке $x_0 \in (a,b)$ слева, если

1. Имеется конечный предел \[ A=\lim _{x \rightarrow x_0-0}f(x) . \]

2. Этот предел совпадает со значением функции $f(x)$ в точке $x_0$, $A=f(x_0)$.

Определение. Функция $f(x)$ называется непрерывной в точке $x_0 \in (a,b)$ справа, если

1. Имеется конечный предел \[ A=\lim _{x \rightarrow x_0+0}f(x) . \]

2. Этот предел совпадает со значением функции $f(x)$ в точке $x_0$, $A=f(x_0)$.

Теорема. Функция $f(x)$ непрерывна в точке $x_0 \in (a,b)$ тогда и только тогда, когда она одновременно непрерывна слева и справа в этой точке.

Определение. Функция $f(x)$ называется непрерывной на интервале $(a,b)$, если она непрерывна в любой точке этого интервала.

Определение. Функция $f(x)$ называется непрерывной на интервале $\left[a,b\right]$, если она непрерывна в любой точке интервала $(a,b)$, в точке $a$ непрерывна справа, а в точке $b$ непрерывна слева.

3.3.2 Основные свойства

С помощью арифметики пределов нетрудно доказать соответствующие свойства непрерывных функций.

Если функции $f(x)$, $g(x)$ непрерывны в точке $x_0$, то

1. Функция $f(x)+g(x)$ непрерывна в точке $x_0$,

2. Функция $f(x)\cdot g(x)$ непрерывна в точке $x_0$,

3. Если при этом $g(x_0)\neq 0$, то функция $\frac{f(x)}{g(x)}$ непрерывна в точке $x_0$.

Теорема. Любая элементарная функция непрерывна в тех точках, где она не обращается в бесконечность.

Теорема. Если $f(x)$ непрерывна в точке $x_0$, функция $g(y)$ непрерывна в точке $y_0=f(x_0)$, то сложная функция $h(h)=g(f(x))$ непрерывна в точке $x_0$.

Теорема. Пусть $f(x)$ непрерывна на интервале $\left [a,b\right ]$. Тогда существуют конечные числа $m$ и $M$ со следующими свойствами.

1. Для всех $x \in \left [a,b\right ]$ выполняются неравенства: $ m \leq f(x) \leq M $.

2. Существуют точки $ x_1,x_2 \in \left [a,b\right ] $ такие, что $ f(x_1)=m $, $ f(x_2)=M $.

3. Для любого числа $ C $, удовлетворяющего неравенству $ m

Число $m$ называется глобальным минимумом функции $f(x)$ на интервале $\left [a,b\right ]$ (наименьшим значением), Число $m$ называется глобальным максимумом функции $f(x)$ на интервале $\left [a,b\right ]$ (наибольшим значением). Теорема, в частности, утверждает, что на интервале $\left [a,b\right ]$ существует решение уравнения $f(x)=C$ для любого $C$, $m \leq C \leq M$.

3.3.3 Разрывы функции

Нарушение того или иного условия, фиксирующего непрерывность функции в точке $x_0$, приводит к появлению особенности в локальном поведении функции в данной точке.

Определение. Если существует конечный предел $A=\lim _{x \to x_0} f(x)$, причем $A \neq f(x_0)$, точка $x=x_0$ называется устранимой особой точкой функции $f(x)$.

Устранимую особую точку можно «исправить», определив $f(x)=A$, так что точка $x_0$ становится точкой непрерывности «исправленной» $f(x)$.

Определение. Если существуют конечные левые и правые пределы $f(x)$ в точке $x_0$, но они не совпадают, точка $x_0$ называется точкой \textbf{разрыва первого рода} функции $f(x)$.

Пример.

Типичным примером функции с разрывом первого рода является функция-ступенька $\theta (x)$, которая определяется следующим образом: $\theta (x) =0, x

Определение. Если существуют левый и правый пределы функции $f(x)$ в точке $x=x_0$, причем хотя бы один из них бесконечен, точка $x=x_0$ называется точкой \textbf{разрыва второго рода} функции $f(x)$.

Рассмотрим функцию $y=1/x$ на вещественной оси. В точке $x=0$ она имеет левым пределом $- \infty$, правым пределом $+\infty$. 2-4}.$$

3. $$ y=\sin \left(\frac{\pi }{x+3}\right).$$

4. $$ y=arctg \left( \frac{1}{x}\right ). $$

3.2 Функции непрерывной переменной

Как определить, является ли функция непрерывной или прерывистой улус Для чайников

Предварительное исчисление Для чайников

Исследовать Книга Купить на Amazon

1. f ( c ) должны быть определены. Функция должна существовать со значением x ( c ), что означает, что в функции не может быть пробела (например, 0 в знаменателе).

2. Предел функции при приближении x к значению c должен существовать. Левый и правый пределы должны быть одинаковыми; другими словами, функция не может прыгать или иметь асимптоту. Математический способ сказать это так:

   должен существовать.

3. Значение функции при c и предел при приближении x к c должны быть одинаковыми.

непрерывна при x = 4 благодаря следующим фактам:

• f (4) существует. Вы можете подставить 4 в эту функцию, чтобы получить ответ: 8.

  Если вы посмотрите на функцию алгебраически, то она будет иметь следующие множители:

  Ничего не отменяет, но можно еще поставить 4, чтобы получить

  что 8.

  Обе части уравнения равны 8, поэтому f(x) непрерывна при x = 4.

Функции, которые не являются непрерывными при значении x , имеют либо устранимую неоднородность (отверстие в графике функции), либо неустранимую неустранимую неоднородность (например, скачок или асимптота на графике) :

• Если множители функции и нижний член сокращаются, разрыв в значении x , для которого знаменатель был равен нулю, устраним, поэтому на графике есть дыра.

  Например, эта функция действует как показано:

  После отмены остается x – 7. Следовательно, x + 3 = 0 (или x = –3) является устранимым разрывом — в графике есть дыра, как вы видите на рисунке a.

  График устранимого разрыва оставляет ощущение пустоты, тогда как график неустранимого разрыва вызывает нервозность.

• Если терм не сокращается, разрыв на этом значении x , соответствующем этому члену, для которого знаменатель равен нулю, является неустранимым, и график имеет вертикальную асимптоту.

  Следующие функциональные факторы, как показано:

  Поскольку x + 1 отменяется, у вас есть устранимый разрыв в x = –1 (здесь вы увидите дыру на графике, а не асимптоту). Но x – 6 не сокращаются в знаменателе, поэтому у вас есть неустранимый разрыв при x = 6. Этот разрыв создает вертикальную асимптоту на графике при x = 6. На рисунке b показан график г ( х ).

Эта статья из книги:

• Pre-Calculus For Dummies,

Об авторе книги:

Мэри Джейн Стерлинг изучала алгебру, бизнес-вычисления, геометрию и конечную математику в Университете Брэдли в Пеории, штат Иллинойс, более 30 лет. Она является автором нескольких книг для чайников, , в том числе Рабочая тетрадь по алгебре для чайников, Алгебра II для чайников, и Рабочая тетрадь по алгебре II для чайников.

Эту статью можно найти в категории:

• Предварительное вычисление,

Непрерывные функции: определение, примеры и свойства

В этой статье

1. Что такое непрерывная функция?

2. Что такое разрывная функция?

3. Свойства непрерывных функций

4. Теоремы для непрерывных функций

Что такое непрерывная функция?

Функция непрерывна всюду, если вы можете проследить ее кривую на графике, не отрывая карандаша. Функция разрывна в точке, если вы не можете проследить ее кривую, не отрывая карандаша в этой точке; это означает, что в этой точке есть дыра, разрыв, прыжок или вертикальная асимптота.

Например, функция f(x)=2sin⁡(x)f(x) = 2\sin{(x)}f(x)=2sin(x) непрерывна всюду. Мы можем нарисовать его кривую, даже не поднимая руки. Напротив, функция f(x)=1x−2f(x) = \frac{1}{x-2}f(x)=x−21 имеет разрыв при x=2x = 2x=2. Мы не можем нарисовать его кривую, не поднимая карандаш в точке x=2x = 2x=2.

В дифференциальном исчислении важно понимать концепцию непрерывности, поскольку функции, которые не являются непрерывными, не являются дифференцируемыми.

Давайте узнаем, как доказать, что функция непрерывна в точке. Вот формальное определение непрерывности в точке.

Функция fff непрерывна в точке x=ax = ax=a, если:

Чтобы показать, что функция непрерывна в точке aaa, вы должны показать, что все три вышеуказанных условия верны. Чтобы освежить свои знания об оценке пределов, вы можете ознакомиться с разделами «Как найти пределы в исчислении» и «Что такое пределы в исчислении». 2 — 3f(x)=x2−3 непрерывна при x=1x = 1x=1. 92 — 3f(x)=x2−3 всюду непрерывно.

Другие функции могут быть непрерывными только на определенном интервале действительных чисел. Если функция непрерывна на открытом интервале, это означает, что функция непрерывна в каждой точке внутри интервала.

Например, f(x)=tan⁡(x)f(x) = \tan{(x)}f(x)=tan(x) имеет разрыв по действительным числам в точке x=π2x = \frac{\ pi}{2}x=2π​, так как мы должны поднять карандаш, чтобы обвести его кривую. Однако можно сказать, что f(x)=tan⁡(x)f(x) = \tan{(x)}f(x)=tan(x) непрерывна на открытом интервале (−π2,π2)( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})(−2π​, 2π​), так как она непрерывна в каждой точке внутри этого конкретного интервала.

Мы также можем сказать, что f(x)=tan⁡(x)f(x) = \tan{(x)}f(x)=tan(x) непрерывна в своей области определения, которая представляет собой любое действительное число за исключением нечетных кратных π2\frac{\pi}{2}2π​.

Что такое разрывная функция?

Разрыв — это дыра, скачок, излом или вертикальная асимптота на кривой функции.

Существует 3 типа разрывов.

Разрывы перехода

Если функция имеет скачкообразный разрыв в некоторой точке aaa, то lim⁡x→af(x)\lim_{x\to a}f(x)limx→a​f(x) не существует. Помните, что для существования предела должны существовать его односторонние пределы, и они должны равняться одному и тому же значению. Другими словами, предел, когда xxx приближается к aaa слева, должен равняться пределу, когда xxx приближается к aaa справа. 9-}f(x) = 7limx→2−​f(x)=7. Таким образом, lim⁡x→2f(x)\lim_{x\to 2}f(x)limx→2​f(x) не существует, поэтому в точке x=2x = 2x=2 имеется разрыв.

Устранимые разрывы

Если функция имеет устранимый разрыв в некоторой точке aaa, то lim⁡x→af(x)≠f(a)\lim_{x\to a}f(x) \neq f(a)limx→a​ f(x)=f(a). На графике это выглядит как дыра. В этих разрывах односторонние пределы при приближении ххх к ааа всегда равны друг другу. Однако значение функции при x=ax = ax=a равно чему-то другому или может вообще не существовать.

Например, в приведенной выше функции lim⁡x→2f(x)=4\lim_{x\to 2}f(x) = 4limx→2​f(x)=4. Однако f(2)=2f(2) = 2f(2)=2. Поскольку lim⁡x→2f(x)≠f(2)\lim_{x\to 2}f(x) \neq f(2)limx→2​f(x)=f(2), функция имеет разрыв при x=2x = 2x=2.

Бесконечные разрывы

Если функция имеет бесконечный разрыв в некоторой точке aaa, то функция имеет вертикальную асимптоту в точке x=ax = ax=a. Если любое из следующих утверждений верно, то fff имеет вертикальную асимптоту в точке x=ax = ax=a. 9- }f(x) = -\inftylimx→a−​f(x)=−∞

Например, в приведенной выше функции есть вертикальная асимптота при x=-3x = -3x=-3 и x=0x = 0x=0. Таким образом, существует бесконечный разрыв при x=-3x = -3x=-3 и x=0x = 0x=0.

Свойства непрерывных функций

Если fff и ggg оба непрерывны в точке x=cx = cx=c, то верны следующие свойства:

• Сумма (f+g)x=f(x)+g(x)(f+g)x = f(x) + g(x)(f+g)x=f(x)+g(x) непрерывна при x=cx = cx=c.

• Разность (f−g)x=f(x)−g(x)(f-g)x = f(x) — g(x)(f−g)x=f(x)−g(x) непрерывна при х=сх = сх=с.

• Произведение (f⋅g)x=f(x)⋅g(x)(f \cdot g)x = f(x) \cdot g(x)(f⋅g)x=f(x)⋅g( x) непрерывна при x=cx = cx=c.

• Частное (fg)(x)=f(x)g(x)(\frac{f}{g})(x) = \frac{f(x)}{g(x)}(gf​)( x)=g(x)f(x)​ является непрерывным, если g(x)≠0g(x) \neq 0g(x)=0.

• Постоянный кратный k⋅f(x)k \cdot f(x)k⋅f(x) непрерывен в точке x=cx = cx=c для любого числа kkk.

• Композиция (f∘g)(x)=f(g(x))(f \circ g)(x) = f(g(x))(f∘g)(x)=f(g(x) ) непрерывна в точке ccc, если fff непрерывна в точке g(c)g(c)g(c).

Теоремы для непрерывных функций

Теорема об экстремальном значении

Теорема об экстремальном значении утверждает, что если функция непрерывна на отрезке [a,b][a,b][a,b], то функция должна иметь как максимум, так и минимум на [a ,б][а,б][а,б].

Теорема о промежуточном значении

Теорема о промежуточном значении — чрезвычайно полезная теорема в математике. Его часто используют для доказательства разрешимости различных уравнений. Это особенно полезно для доказательства того, что функция имеет корень на определенном интервале. Корень функции — это точка, в которой функция равна нулю и пересекает ось x. Теорема о промежуточном значении утверждает:

Предположим, что f — непрерывная функция, определенная на [a, b], и пусть s — число такое, что f(a) . Тогда между a и b должен существовать некоторый x, такой что f(x) = s.

Проще говоря, теорема о промежуточном значении утверждает, что непрерывная функция должна принимать каждое значение между f(a)f(a)f(a) и f(b)f(b)f(b) по крайней мере один раз на интервале [ а,б][а,б][а,б].

Например, рассмотрим график f(x)=2xf(x) = 2xf(x)=2x на приведенном выше графике. Рассмотрим интервал [a,b][a, b][a,b], где a=1a = 1a=1 и b=3b = 3b=3. Поскольку f(a)=2f(a) = 2f(a)=2 и f(b)=6f(b) = 6f(b)=6, мы выберем промежуточное значение s=4s = 4s= 4 для нашего значения s.

Тогда, поскольку f(x)=2xf(x) = 2xf(x)=2x непрерывно на [1,3][1,3][1,3], теорема о промежуточном значении гарантирует, что должно существовать некоторое xxx на [1,3][1,3][1,3] такие, что f(x)=4f(x) = 4f(x)=4. 2 — 5f(x)=7×3+x2-5 является полиномиальной функцией.

Дифференцируемая функция

Каждая дифференцируемая функция непрерывна. Однако будьте внимательны и помните, что обратное не обязательно верно. Функция может быть непрерывной, но не дифференцируемой. Например, функция абсолютного значения f(x)=∣x∣f(x) = \mid x \midf(x)=∣x∣ ниже непрерывна при x=0x = 0x=0, но не дифференцируема при x=0x = 0х=0.

Другие функции

Рациональные, корневые, тригонометрические, экспоненциальные и логарифмические функции непрерывны в своих областях определения. Домен функции — это набор значений, которые функция может принимать в качестве входных данных. Многие реальные примеры непрерывных функций могут быть смоделированы с использованием этих типов функций.

Рациональные функции

Рациональная функция — это функция, которая записывается как отношение двух полиномиальных функций. Областью определения рациональных функций являются все числа, кроме тех, у которых знаменатель равен нулю. xf(x)=abx, где a≠0a \neq 0a=0, а bbb — действительное число больше 1. Область определения экспоненциальных функций все действительные числа.

Логарифмические функции

Логарифмические функции определены только для положительных входных данных. Таким образом, область определения логарифмических функций может быть определена путем решения неравенства, которое устанавливает, что внутренние члены больше 0.

Outlier (от соучредителя MasterClass) собрал лучших в мире преподавателей, дизайнеров игр и кинематографистов для создания будущего онлайн-колледжа.

Ознакомьтесь с этими связанными курсами:

Введение в статистику

Изучите курс

Введение в статистику

Как данные описывают наш мир.

Изучить курс

Предварительное исчисление

Изучить курс

Предварительное исчисление

Освоить строительные блоки исчисления.