Геометрическое место точек найти: Обучение — учебные курсы и тесты

Содержание

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике — Планиметрия

Поиск по сайту:

Справочник по математике

Геометрия (Планиметрия)

Геометрические места точек на плоскости

Геометрическим местом точек называют множество точек, заданное условием, являющимся и свойством, и признаком.

Другими словами, все точки из рассматриваемого геометрического места точек, и только они, удовлетворяют заданному условию.

Примеры геометрических мест точек (сокращённо ГМТ) на плоскости представлены в следующей таблице, причём геометрические места точек изображаются в таблице красным цветом.

Дано	Найти	Ответ (ГМТ)	Рисунок
Точка и число r	Геометрическое место точек, находящихся на расстоянии r от данной точки.	Окружность радиуса r
Угол	Геометрическое место точек, равноудалённых от сторон данного угла.	Биссектриса угла
Пара пересекающихся прямых	Геометрическое место точек, равноудалённых от пары данных пересекающихся прямых.	Две перпендикулярных прямых (биссектрисы углов, образованных данными прямыми)
Отрезок	Геометрическое место точек, равноудалённых от концов данного отрезка.	Серединный перпендикуляр к отрезку
Прямая и число d	Геометрическое место точек, находящихся на расстоянии d от данной прямой.	Пара параллельных прямых
Пара параллельных прямых	Геометрическое место точек, каждая из которых равноудалена от двух данных параллельных прямых.	Прямая
Отрезок и угол, величина которого равна α	Геометрическое место точек, из которых данный отрезок виден под данным углом	Две дуги окружностей одинакового радиуса, для которых данный отрезок является общей хордой, причём из дуг исключены концы отрезка.

Дано:
Точка и число r

Найти:
Геометрическое место точек, находящихся на расстоянии r от данной точки.

Ответ (ГМТ):
Окружность радиуса r

Рисунок:

Дано:
Угол

Найти:
Геометрическое место точек, равноудалённых от сторон данного угла.

Ответ (ГМТ):
Биссектриса угла

Рисунок:

Дано:
Пара пересекающихся прямых

Найти:
Геометрическое место точек, равноудалённых от пары данных пересекающихся прямых.

Ответ (ГМТ):
Две перпендикулярных прямых (биссектрисы углов, образованных данными прямыми)

Рисунок:

Дано:
Отрезок

Найти:
Геометрическое место точек, равноудалённых от концов данного отрезка.

Ответ (ГМТ):
Серединный перпендикуляр к отрезку

Рисунок:

Дано:
Прямая и число d

Найти:
Геометрическое место точек, находящихся на расстоянии d от данной прямой.

Ответ (ГМТ):
Пара параллельных прямых

Рисунок:

Дано:
Пара параллельных прямых

Найти:
Геометрическое место точек, каждая из которых равноудалена от двух данных параллельных прямых.

Ответ (ГМТ):
Прямая

Рисунок:

Дано:
Отрезок и угол, величина которого равна α

Найти:
Геометрическое место точек, из которых данный отрезок виден под данным углом

Ответ (ГМТ):
Две дуги окружностей одинакового радиуса, для которых данный отрезок является общей хордой, причём из дуг исключены концы отрезка.

Рисунок:

На сайте можно также ознакомиться с нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

До ЕГЭ по математике осталось

дней	часов	минут	секунд

НАШИ ПАРТНЕРЫ

«НПО Астек»
«Fastvideo»
Бюро переводов «Медтран»
Независимый бизнес-консультант Е. Самаров

Геометрическое место точек — презентация онлайн

Похожие презентации:

Геометрическое место точек

Геометрические места точек. 9 класс

Геометрические места точек

Геометрическое место точек

Элементы аналитической геометрии на прямой, плоскости и в трехмерном пространстве

Кривые второго порядка

Декартова система координат в пространстве и на плоскости. Полярная система координат на плоскости

Кривые второго порядка

Аналитическое задание фигур

Кривые второго порядка

1. Тема урока:

«Геометрическое
место точек».
9 класс
Учитель Гордеева Н.М.
Скажи мне – и я забуду,
Покажи мне – и я запомню,
Вовлеки меня – и я пойму.
(Древняя китайская
мудрость)

3. Цель урока:

систематизировать и
углубить знания по теме
«Метод координат».
“Крупное научное открытие дает
решение крупной проблемы, но и в
решении любой задачи присутствует
крупица открытия”.

(Дьердье Пойа)

5. Задача:

найти геометрическое место
точек, обладающих
определенным свойством
(совершить открытие).

6. Определение:

Геометрическим местом точек
называется фигура, которая
состоит из всех точек плоскости,
обладающих определенным
свойством.

7. Геометрическое место точек,

равноудаленных от данной
точки, есть окружность.

8. Геометрическое место точек,

равноудаленных от концов
данного отрезка, есть
серединный перпендикуляр
к этому отрезку.

9. Геометрическое место точек,

равноудаленных от сторон
данного угла, есть
биссектриса этого угла.

10. Геометрическое место точек,

равноудаленных от двух
параллельных прямых, есть
параллельная им прямая, проходящая
через середину их общего
перпендикуляра (на ней лежат центры
окружностей, касающихся данных
прямых).

11. Геометрическое место точек,

являющихся вершинами
прямоугольных треугольников с
данной гипотенузой, есть
окружность, построенная на
гипотенузе как на диаметре
(исключая концы гипотенузы).

12. Геометрическое место точек,

отношение расстояний от которых
до двух данных точек – величина
постоянная, есть
окружность
(которую называют окружностью
Аполлония).

13. Задание 1

На рисунке AD=DB=2 см.
Что представляет собой геометрическое место
точек, принадлежащих данной прямой, которые
удалены от точки D на расстояние:
а) равное 2см; б) более 2см;
в) не более 2см.
a
A
D
B
b

14. Решение:

а) Расстояние от D равно 2см:
a
b
A
D
B
б) Расстояние от D более 2см:
a
b
A
D
B
в) Расстояние от D не более 2см:
a
b
A
D
B

15. Задание 2

По тому же рисунку определите, что
представляет собой геометрическое место
точек плоскости, которые удалены от точки D
на расстояние
а) равное 2см;
б) более 2см;
в) не более 2см.
a
b
A
D
B

16. Решение:

а) Расстояние от D равно 2см:
a
b
A
D
B

17.

Решение:б) Расстояние от D более 2см:
a
b
A
D
B

18. Решение:

в) Расстояние от D не более 2см:
a
b
A
D
B

19. Задание 3

Используя метод координат, найдите пару
чисел, удовлетворяющих условию
( x 1) ( y 1) x y x ( y 1)
2
2
2
2
2
2

20. Задание 4

Используя метод координат,
докажите, что система уравнений
имеет единственное решение:
( x 1) 2 ( y 2) 2 4
2
2
( x 9) ( y 8) 64

21. Задание 5

Определите ГМТ, удовлетворяющих
уравнению:
а)
y 9x 0
2
y 2 9×2 0
2

22. Задание 5

Определите ГМТ, удовлетворяющих
уравнению:
б)
3
y
0
x 4

23. Задание 5

Определите ГМТ, удовлетворяющих
уравнению:
в)
x 4x y 0
2
2

24. Задание 5

Определите ГМТ, удовлетворяющих
уравнению:
г)
( x 7) ( y 4) 0
2
2

25. Задание 5

Определите ГМТ, удовлетворяющих
уравнению:
д)
2 y 3x 0
2

26.

Парабола как геометрическое место точек.Парабола есть геометрическое
место точек, равноудаленных
от заданной точки и от
заданной прямой.

27. Построение параболы.

28. Как разбить клумбу?

29. Геометрическое место точек,

сумма расстояний от которых до двух
заданных точек F1, F2 есть величина
постоянная; большая, чем F1F2.

30. План построения ГМТ.

Прикрепим концы нити с помощью
кнопок к точкам F1 и F2.
Карандашом натянем нить так, чтобы
его острие касалось бумаги.
Будем перемещать карандаш по
бумаге так, чтобы нить оставалась
натянутой.
Вычерчиваем карандашом линию.

31. Построение ГМТ

Что будет происходить с
эллипсом, если фокусы:
а) приближаются друг к
другу;
б) удаляются друг от друга.
Найти геометрическое место точек,
для которых сумма расстояний до
двух заданных точек F1 и F2:
а) меньше заданной величины 2а;
б) больше заданной величины 2а.

34.

Уравнение ГМТОпределите ГМТ, удовлетворяющих
уравнению:
x 4y 4
2
2

35. Уравнение ГМТ

x2
y2 1
4
a 2 4 , тогда
a 2
— уравнение эллипса
b 1
c2 a 2 b2
c 3
2
c
3
Ответ: F1 (
3;0)
, F2 ( 3;0)

36. Конические сечения

37. Конические сечения

Аполлоний Пергский (II-III вв. до н. э.) древнегреческий математик.
Важнейший труд — “Конические сечения”

38. Конические сечения

Их изучали еще древнегреческие
геометры.
Теория конических сечений была одной из
вершин античной геометрии.
Уравнения этих линий были выведены
гораздо позднее, когда стал применяться
метод координат.

39. Кривые второго порядка

y
0
x
Метод координат в соединении
с алгеброй составляет раздел
геометрии, который называется
аналитической геометрией.

41. Эксцентриситет эллипса

характеризует степень его
вытянутости.
Еще Иоганн Кеплер
(1571 – 1630) –
немецкий астроном
обнаружил, что планеты
Солнечной системы
движутся вокруг Солнца
не по окружностям, как
думали раньше, а по
эллипсам, причем
Солнце находится в
одном из фокусов этих
эллипсов.

43. Орбиты движения небесных тел

Венера
0,0068
Нептун
0,0086
Земля
0,0167
Плутон
0,253
Комета Галлея
0,967
Решали задачу о множестве точек,
а это ГМТ имеет отношение к
Вселенной,
(а это была всего лишь только
задача!).

45. Домашнее задание

Составить уравнение геометрического места
точек, произведение расстояний от которых до
двух данных точек F1(-c; 0), F2(c; 0) есть
постоянная величина a2. Такое геометрическое
место точек называется овалом Кассини.

46. Домашнее задание

Составить уравнение геометрического места точек,
произведение расстояний от которых до двух данных
точек F1(-а; 0), F2(а; 0) есть постоянная величина а2.
Такое геометрическое место точек называется
лемнискатой (см. рис.). (Уравнение лемнискаты
сначала найти непосредственно, потом –
рассматривая ее как частный вид овала Кассини).
Подведение итогов
урока

English Русский Правила

§ 20.

Геометрические места точек, связанные с расстояниями в пространстве

§ 20.Геометрические места точек, связанные с расстояниями в пространстве

Некоторые множества точек в пространстве задаются условиями, связанными с расстояниями между точками, точкой и фигурой, двумя фигурами. Перечислим некоторые из этих множеств, предлагая вам осмыслить и доказать, где это требуется, описанные ниже факты.

Рис. 144

 Множество всех точек пространства, удалённых от данной точки на данное расстояние R (R > 0), есть сфера с центром в данной точке радиуса R (рис. 144).

 Множество всех точек пространства, удалённых от данной прямой на данное расстояние R (R > 0), есть цилиндрическая поверхность радиусом R (рис. 145).

Рис. 145

 Множество всех точек пространства, удалённых от данной плоскости на данное расстояние a (a > 0), есть две параллельные ей плоскости (рис. 146).

 Множество всех точек пространства, равноудалённых от двух данных точек, есть плоскость, проходящая через середину отрезка с концами в данных точках перпендикулярно этому отрезку. В этой плоскости лежат центры всех сфер, проходящих через данные точки (рис. 147).

Рис. 146

Рис. 147

Рис. 148

Рис. 149

 Множество всех точек пространства, равноудалённых от трёх данных точек, не лежащих на одной прямой, есть прямая, перпендикулярная плоскости этих точек и проходящая через центр окружности, описанной около треугольника с вершинами в данных точках. Этой прямой принадлежат центры всех сфер, проходящих через данные точки (рис. 148).

 Множество всех точек пространства, равноудалённых от четырёх данных точек, не лежащих в одной плоскости, есть единственная точка — центр сферы, проходящей через данные четыре точки.

Рис. 150

 Множество всех точек пространства, равноудалённых от двух данных параллельных прямых, есть плоскость, проходящая через середину отрезка общего перпендикуляра этих прямых и ему перпендикулярная. В этой плоскости лежат центры всех сфер, касающихся данных прямых (рис. 149).

 Множество всех точек пространства, равноудалённых от двух данных пересекающихся прямых, есть две плоскости, перпендикулярные плоскости, в которой лежат эти прямые, и проходящие через биссектрисы углов, образованных данными прямыми (рис. 150).

Рис. 151

Рис. 152

 Множество всех точек пространства, равноудалённых от прямых, содержащих стороны данного треугольника, есть четыре прямые, перпендикулярные плоскости треугольника и проходящие соответственно через центр окружности, вписанной в этот треугольник, и через центр каждой из трёх окружностей, вневписанных для этого треугольника (рис. 151).

 Множество всех точек пространства, равноудалённых от сторон данного треугольника, есть прямая, перпендикулярная плоскости треугольника, проходящая через центр вписанной в него окружности. На этой прямой лежат центры всех шаров, касающихся сторон треугольника (рис. 152).

 Множество всех точек пространства, равноудалённых от двух параллельных плоскостей, есть параллельная им плоскость, проходящая через середину отрезка их общего перпендикуляра. Ей принадлежат центры всех шаров, касающихся обеих плоскостей (рис. 153).

Рис. 153

Рис. 154

Рис. 155

Рис. 156

 Множество всех точек двугранного угла, равноудалённых от его граней, есть «биссекторная» полуплоскость этого угла. В ней лежат центры всех шаров, вписанных в этот угол (рис. 154).

 Множество всех точек пространства, равноудалённых от двух пересекающихся плоскостей, есть две плоскости, проходящие через прямую пересечения данных плоскостей и делящие пополам образованные ими двугранные углы. Эти плоскости называются биссекторными. Им принадлежат центры всех шаров, касающихся обеих плоскостей (рис. 155).

 Множество всех точек пространства, лежащих внутри трёхгранного угла и равноудалённых от его граней, есть луч прямой пересечения биссекторных плоскостей двугранных углов этого трёхгранного угла. Этому лучу принадлежат центры всех сфер, вписанных в трёхгранный угол (рис. 156).

 Множество середин всех отрезков, концы которых лежат на данных скрещивающихся прямых, есть плоскость, параллельная каждой из данных скрещивающихся прямых.

 Множество всех точек пространства, равноудалённых от двух равных касающихся шаров, есть плоскость, проходящая через точку касания этих шаров перпендикулярно линии их центров.

 Пусть A и B — данные точки. Множество всех точек M пространства таких, что треугольник ABM — равнобедренный, представляет собой объединение, компонентами которого являются: 1) плоскость α, перпендикулярная прямой AB и делящая отрезок AB пополам, за исключением точки пересечения AB с плоскостью α; 2) сферы S1 радиуса AB с центром в точке A, за исключением точек пересечения прямой AB с этой сферой; 3) сфера S2 радиуса BA с центром в точке B, за исключением точек пересечения прямой AB с этой сферой.

 Множество всех точек пространства, из каждой из которых данный отрезок AB виден под прямым углом, есть сфера с диаметром AB, за исключением точек A и B.

Задания для работы с интернет-ресурсами

1. Найдите в Интернете задачи и рисунки по темам: «Расстояние между точкой и фигурой», «Расстояние от точки до прямой на плоскости», «Расстояние от точки до прямой в пространстве», «Расстояние от точки до плоскости», «Приёмы нахождения расстояний от точки до фигуры в пространстве».

2. Наберите в поисковой системе слова «Расстояние между двумя параллельными прямыми», «Расстояние между прямой и плоскостью», «Расстояние между двумя параллельными плоскостями», «Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми», «Расстояние между двумя фигурами в пространстве», а также «Угол между наклонной и плоскостью». Найдите и решите задачи ЕГЭ типа С-2 в демоверсиях и на других сайтах. Постарайтесь найти статьи на эту тему в журнале «Квант» и «Библиотечка кванта», выложенных, например, на сайтах: http://www.mccme.ru/, точнее, на http://www.math.ru/lib/. Посмотрите также материалы математических олимпиад.

3. Изучите материал по теме: «Геометрические места точек в пространстве». Сравните эти материалы с примерами из учебника. Посмотрите, например, реферат по теме: «Сравнительная характеристика геометрических мест точек на плоскости и в пространстве». Наберите в поисковой системе слова отдельно о каждом указанном в учебнике геометрическом месте точек в пространстве. Посмотрите рисунки.

Геометрическое место точек — презентация на Slide-Share.ru 🎓

Первый слайд презентации

Геометрическое место точек.

Изображение слайда

Слайд 2

Геометрическое место точек. Геометрическое место точек — это фигура, состоящая из всех точек плоскости, которые обладают некоторым свойством.

Изображение слайда

Слайд 3

Изображение слайда

Слайд 4

Изображение слайда

Слайд 5

Изображение слайда

Слайд 6

Изображение слайда

Слайд 7

ПРИМЕРЫ ГМТ: 1) ГМТ, принадлежащих одновременно двум пересекающимся прямым – это точка. 2) ГМТ, принадлежащих сторонам угла и равноудаленных от его вершины – это две точки.

Изображение слайда

Слайд 8

Геометрическое место точек. Геометрическое место точек — это фигура, состоящая из всех точек плоскости, которые обладают некоторым свойством. Геометрическим местом точек (ГМТ) называют множество всех точек, обладающим определенным свойством. ПРИМЕРЫ ГМТ: 1) ГМТ, принадлежащих одновременно двум пересекающимся прямым – это точка. 2) ГМТ, принадлежащих сторонам угла и равноудаленных от его вершины – это две точки. 3) ГМТ, одновременно принадлежащих лучам АВ и ВА — это

Изображение слайда

Слайд 9

Изображение слайда

Слайд 10

Изображение слайда

Слайд 11

Изображение слайда

Слайд 12

Изображение слайда

Слайд 13

Изображение слайда

Слайд 14

Геометрическое место точек. Геометрическое место точек — это фигура, состоящая из всех точек плоскости, которые обладают некоторым свойством. Геометрическим местом точек (ГМТ) называют множество всех точек, обладающим определенным свойством. ПРИМЕРЫ ГМТ: 4) ГМТ, удаленных на определенное расстояние от одной, заданной точки – это окружность с центром в заданной точке. 5) ГМТ, равноудаленных от сторон угла – это биссектриса угла. 6) ГМТ, равноудаленных от двух заданных точек – это

Изображение слайда

Слайд 15

Геометрическое место точек. Геометрическое место точек — это фигура, состоящая из всех точек плоскости, которые обладают некоторым свойством. Геометрическим местом точек (ГМТ) называют множество всех точек, обладающим определенным свойством. ПРИМЕРЫ ГМТ: 4) ГМТ, удаленных на определенное расстояние от одной, заданной точки – это окружность с центром в заданной точке. 5) ГМТ, равноудаленных от сторон угла – это биссектриса угла. 6) ГМТ, равноудаленных от двух заданных точек – это прямая, проходящая через середину отрезка, соединяющего эти точки, перпендикулярно отрезку —

Изображение слайда

Слайд 16

Геометрическое место точек. Геометрическое место точек — это фигура, состоящая из всех точек плоскости, которые обладают некоторым свойством. Геометрическим местом точек (ГМТ) называют множество всех точек, обладающим определенным свойством. ПРИМЕРЫ ГМТ: 4) ГМТ, удаленных на определенное расстояние от одной, заданной точки – это окружность с центром в заданной точке. 5) ГМТ, равноудаленных от сторон угла – это биссектриса угла. 6) ГМТ, равноудаленных от двух заданных точек – это прямая, проходящая через середину отрезка, соединяющего эти точки, перпендикулярно отрезку — серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему данные точки.

Изображение слайда

Слайд 17

ПРИМЕРЫ ГМТ: 4) ГМТ, удаленных на определенное расстояние от одной, заданной точки – это окружность с центром в заданной точке. 5) ГМТ, равноудаленных от сторон угла – это биссектриса угла. 6) ГМТ, равноудаленных от двух заданных точек – это прямая, проходящая через середину отрезка, соединяющего эти точки, перпендикулярно отрезку — серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему данные точки.

Изображение слайда

Слайд 18

Геометрическое место точек. Геометрическое место точек — это фигура, состоящая из всех точек плоскости, которые обладают некоторым свойством. Для доказательства того, что фигура является Геометрическим местом точек, обладающих некоторым свойством, нужно доказать два взаимно-обратных утверждения:

Изображение слайда

Слайд 19

Изображение слайда

Слайд 20

Изображение слайда

Слайд 21

Изображение слайда

Слайд 22

Изображение слайда

Слайд 23

Геометрическое место точек. Геометрическое место точек — это фигура, состоящая из всех точек плоскости, которые обладают некоторым свойством. Для доказательства того, что какое-то множество точек является Геометрическим местом точек, обладающих некоторым свойством, нужно доказать два взаимно-обратных утверждения: Каждая точка данного множества обладает заданным свойством; Если точка обладает заданным свойством, то она принадлежит данному множеству. Окружность – Геометрическое место точек, удаленных на определенное расстояние от одной, заданной точки. — фигура, состоящая из всех точек плоскости, удаленных на определенное расстояние от одной, заданной точки.

Изображение слайда

Слайд 24

Изображение слайда

Слайд 25

Изображение слайда

Слайд 26

Изображение слайда

Слайд 27

Геометрическое место точек. Геометрическое место точек — это фигура, состоящая из всех точек плоскости, которые обладают некоторым свойством. Для доказательства того, что какое-то множество точек является Геометрическим местом точек, обладающих некоторым свойством, нужно доказать два взаимно-обратных утверждения: Каждая точка данного множества обладает заданным свойством; Если точка обладает заданным свойством, то она принадлежит данному множеству. Геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла – это биссектриса угла. (В учебнике – это Теорема 19.2) 1) Точка принадлежит биссектрисе угла =˃ она равноудалена от сторон этого угла.

Изображение слайда

Слайд 28

Геометрическое место точек. Геометрическое место точек — это фигура, состоящая из всех точек плоскости, которые обладают некоторым свойством. Для доказательства того, что какое-то множество точек является Геометрическим местом точек, обладающих некоторым свойством, нужно доказать два взаимно-обратных утверждения: Каждая точка данного множества обладает заданным свойством; Если точка обладает заданным свойством, то она принадлежит данному множеству. Геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла – это биссектриса угла. (В учебнике – это Теорема 19.2) 1) Точка принадлежит биссектрисе угла =˃ она равноудалена от сторон этого угла. О К

Изображение слайда

Слайд 29

Геометрическое место точек. Геометрическое место точек — это фигура, состоящая из всех точек плоскости, которые обладают некоторым свойством. Для доказательства того, что какое-то множество точек является Геометрическим местом точек, обладающих некоторым свойством, нужно доказать два взаимно-обратных утверждения: Каждая точка данного множества обладает заданным свойством; Если точка обладает заданным свойством, то она принадлежит данному множеству. Геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла – это биссектриса угла. (В учебнике – это Теорема 19.2) 1) Точка принадлежит биссектрисе угла =˃ она равноудалена от сторон этого угла. О К А В

Изображение слайда

Слайд 30

Геометрическое место точек. Геометрическое место точек — это фигура, состоящая из всех точек плоскости, которые обладают некоторым свойством. Для доказательства того, что какое-то множество точек является Геометрическим местом точек, обладающих некоторым свойством, нужно доказать два взаимно-обратных утверждения: Каждая точка данного множества обладает заданным свойством; Если точка обладает заданным свойством, то она принадлежит данному множеству. Геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла – это биссектриса угла. (В учебнике – это Теорема 19.2) Точка принадлежит биссектрисе угла =˃ она равноудалена от сторон этого угла. Рассмотрим Δ АОК и Δ ВОК — прямоугольные. (˂ А = ˂ В = 90 0 ) Докажем, что они равны. О К А В

Изображение слайда

Слайд 31

Геометрическое место точек. Геометрическое место точек — это фигура, состоящая из всех точек плоскости, которые обладают некоторым свойством. Для доказательства того, что какое-то множество точек является Геометрическим местом точек, обладающих некоторым свойством, нужно доказать два взаимно-обратных утверждения: Каждая точка данного множества обладает заданным свойством; Если точка обладает заданным свойством, то она принадлежит данному множеству. Геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла – это биссектриса угла. (В учебнике – это Теорема 19.2) Точка принадлежит биссектрисе угла =˃ она равноудалена от сторон этого угла. Рассмотрим Δ АОК и Δ ВОК — прямоугольные. (˂ А = ˂ В = 90 0 ) Докажем, что они равны. ОК – общая гипотенуза, ˂АОК = ˂ ВОК по условию (т.к. ОК – биссектриса), значит Δ АОК = Δ ВОК =˃ АК = КВ как соответственные стороны (катеты). О К А В

Изображение слайда

Слайд 32

Геометрическое место точек. Геометрическое место точек — это фигура, состоящая из всех точек плоскости, которые обладают некоторым свойством. Для доказательства того, что какое-то множество точек является Геометрическим местом точек, обладающих некоторым свойством, нужно доказать два взаимно-обратных утверждения: Каждая точка данного множества обладает заданным свойством; Если точка обладает заданным свойством, то она принадлежит данному множеству. Геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла – это биссектриса угла. (В учебнике – это Теорема 19.2) 2) Точка равноудалена от сторон угла (равны перпендикуляры) =˃ она принадлежит биссектрисе. О К

Изображение слайда

Слайд 33

Геометрическое место точек. Геометрическое место точек — это фигура, состоящая из всех точек плоскости, которые обладают некоторым свойством. Для доказательства того, что какое-то множество точек является Геометрическим местом точек, обладающих некоторым свойством, нужно доказать два взаимно-обратных утверждения: Каждая точка данного множества обладает заданным свойством; Если точка обладает заданным свойством, то она принадлежит данному множеству. Геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла – это биссектриса угла. (В учебнике – это Теорема 19.2) 2) Точка равноудалена от сторон угла (равны перпендикуляры) =˃ она принадлежит биссектрисе. Рассмотрим Δ D ОК и Δ E ОК — прямоугольные. О К D E

Изображение слайда

Слайд 34

Геометрическое место точек. Геометрическое место точек — это фигура, состоящая из всех точек плоскости, которые обладают некоторым свойством. Для доказательства того, что какое-то множество точек является Геометрическим местом точек, обладающих некоторым свойством, нужно доказать два взаимно-обратных утверждения: Каждая точка данного множества обладает заданным свойством; Если точка обладает заданным свойством, то она принадлежит данному множеству. Геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла – это биссектриса угла. (В учебнике – это Теорема 19.2) 2) Точка равноудалена от сторон угла (равны перпендикуляры) =˃ она принадлежит биссектрисе. Рассмотрим Δ D ОК и Δ E ОК — прямоугольные. Итак, доказали, что Δ D ОК = Δ E ОК по гипотенузе и катету =˃ ˂ DOK = ˂ EOK как соответственные, т.о. ОК принадлежит биссектрисе ˂ DOE. О К D E

Изображение слайда

Слайд 35

Геометрическое место точек. Геометрическое место точек — это фигура, состоящая из всех точек плоскости, которые обладают некоторым свойством. Для доказательства того, что какое-то множество точек является Геометрическим местом точек, обладающих некоторым свойством, нужно доказать два взаимно-обратных утверждения: Каждая точка данного множества обладает заданным свойством; Если точка обладает заданным свойством, то она принадлежит данному множеству. Геометрическое место точек, равноудаленных от концов отрезка – это серединный перпендикуляр к отрезку. (В учебнике — это Теорема 19.1) 1) Точка принадлежит серединному перпендикуляру =˃ равноудалена от концов отрезка.

Изображение слайда

Слайд 36

Геометрическое место точек. Геометрическое место точек — это фигура, состоящая из всех точек плоскости, которые обладают некоторым свойством. Для доказательства того, что какое-то множество точек является Геометрическим местом точек, обладающих некоторым свойством, нужно доказать два взаимно-обратных утверждения: Каждая точка данного множества обладает заданным свойством; Если точка обладает заданным свойством, то она принадлежит данному множеству. Геометрическое место точек, равноудаленных от концов отрезка – это серединный перпендикуляр к отрезку. (В учебнике — это Теорема 19.1) 1) Точка принадлежит серединному перпендикуляру =˃ равноудалена от концов отрезка.

Изображение слайда

Слайд 37

Геометрическое место точек. Геометрическое место точек — это фигура, состоящая из всех точек плоскости, которые обладают некоторым свойством. Для доказательства того, что какое-то множество точек является Геометрическим местом точек, обладающих некоторым свойством, нужно доказать два взаимно-обратных утверждения: Каждая точка данного множества обладает заданным свойством; Если точка обладает заданным свойством, то она принадлежит данному множеству. Геометрическое место точек, равноудаленных от концов отрезка – это серединный перпендикуляр к отрезку. (В учебнике — это Теорема 19.1) 1) Точка принадлежит серединному перпендикуляру =˃ равноудалена от концов отрезка.

Изображение слайда

Слайд 38

Геометрическое место точек. Геометрическое место точек — это фигура, состоящая из всех точек плоскости, которые обладают некоторым свойством. Для доказательства того, что какое-то множество точек является Геометрическим местом точек, обладающих некоторым свойством, нужно доказать два взаимно-обратных утверждения: Каждая точка данного множества обладает заданным свойством; Если точка обладает заданным свойством, то она принадлежит данному множеству. Геометрическое место точек, равноудаленных от концов отрезка – это серединный перпендикуляр к отрезку. (В учебнике — это Теорема 19.1) 1) Точка принадлежит серединному перпендикуляру =˃ равноудалена от концов отрезка. А О В К

Изображение слайда

Слайд 39

Геометрическое место точек. Геометрическое место точек — это фигура, состоящая из всех точек плоскости, которые обладают некоторым свойством. Для доказательства того, что какое-то множество точек является Геометрическим местом точек, обладающих некоторым свойством, нужно доказать два взаимно-обратных утверждения: Каждая точка данного множества обладает заданным свойством; Если точка обладает заданным свойством, то она принадлежит данному множеству. Геометрическое место точек, равноудаленных от концов отрезка – это серединный перпендикуляр к отрезку. (В учебнике — это Теорема 19. 1) 1) Точка принадлежит серединному перпендикуляру =˃ равноудалена от концов отрезка. По доказанному устно: АК = КВ, т.е. точка К – равноудалена от концов отрезка. Ч.т.д. А О В К

Изображение слайда

Слайд 40

Геометрическое место точек. Геометрическое место точек — это фигура, состоящая из всех точек плоскости, которые обладают некоторым свойством. Для доказательства того, что какое-то множество точек является Геометрическим местом точек, обладающих некоторым свойством, нужно доказать два взаимно-обратных утверждения: Каждая точка данного множества обладает заданным свойством; Если точка обладает заданным свойством, то она принадлежит данному множеству. Геометрическое место точек, равноудаленных от концов отрезка – это серединный перпендикуляр к отрезку. (В учебнике — это Теорема 19.1) 1) Точка принадлежит серединному перпендикуляру =˃ равноудалена от концов отрезка. По доказанному устно: АК = КВ, т.е. точка К – равноудалена от концов отрезка. Ч.т.д. 2) Точка равноудалена от концов отрезка =˃ принадлежит серединному перпендикуляру. А О В К

Изображение слайда

Слайд 41

Геометрическое место точек. Геометрическое место точек — это фигура, состоящая из всех точек плоскости, которые обладают некоторым свойством. Для доказательства того, что какое-то множество точек является Геометрическим местом точек, обладающих некоторым свойством, нужно доказать два взаимно-обратных утверждения: Каждая точка данного множества обладает заданным свойством; Если точка обладает заданным свойством, то она принадлежит данному множеству. Геометрическое место точек, равноудаленных от концов отрезка – это серединный перпендикуляр к отрезку. (В учебнике — это Теорема 19.1) 1) Точка принадлежит серединному перпендикуляру =˃ равноудалена от концов отрезка. По доказанному устно: АК = КВ, т.е. точка К – равноудалена от концов отрезка. Ч.т.д. 2) Точка равноудалена от концов отрезка =˃ принадлежит серединному перпендикуляру. А О В К

Изображение слайда

Слайд 42

Геометрическое место точек. Геометрическое место точек — это фигура, состоящая из всех точек плоскости, которые обладают некоторым свойством. Для доказательства того, что какое-то множество точек является Геометрическим местом точек, обладающих некоторым свойством, нужно доказать два взаимно-обратных утверждения: Каждая точка данного множества обладает заданным свойством; Если точка обладает заданным свойством, то она принадлежит данному множеству. Геометрическое место точек, равноудаленных от концов отрезка – это серединный перпендикуляр к отрезку. (В учебнике — это Теорема 19.1) 1) Точка принадлежит серединному перпендикуляру =˃ равноудалена от концов отрезка. По доказанному устно: АК = КВ, т.е. точка К – равноудалена от концов отрезка. Ч.т.д. 2) Точка равноудалена от концов отрезка =˃ принадлежит серединному перпендикуляру. По доказанному устно: т. К принадлежит серединному перпендикуляру. Ч.т.д. А О В К

Изображение слайда

Слайд 43

Изображение слайда

Слайд 44

Изображение слайда

Слайд 45

Изображение слайда

Слайд 46

Геометрическое место точек. Геометрическое место точек — это фигура, состоящая из всех точек плоскости, которые обладают некоторым свойством. Для доказательства того, что какое-то множество точек является Геометрическим местом точек, обладающих некоторым свойством, нужно доказать два взаимно-обратных утверждения: Каждая точка данного множества обладает заданным свойством; Если точка обладает заданным свойством, то она принадлежит данному множеству. Для нахождения ГМТ, обладающих определенным свойством, нужно: Найти на плоскости и обозначить несколько точек, обладающих заданным свойством; Сделать предположение о том, как размещена на плоскости искомая фигура;

Изображение слайда

Слайд 47

Геометрическое место точек. Геометрическое место точек — это фигура, состоящая из всех точек плоскости, которые обладают некоторым свойством. Для доказательства того, что какое-то множество точек является Геометрическим местом точек, обладающих некоторым свойством, нужно доказать два взаимно-обратных утверждения: Каждая точка данного множества обладает заданным свойством; Если точка обладает заданным свойством, то она принадлежит данному множеству. Для нахождения ГМТ, обладающих определенным свойством, нужно: Найти на плоскости и обозначить несколько точек, обладающих заданным свойством; Сделать предположение о том, как размещена на плоскости искомая фигура; Доказать два взаимно обратных утверждения.

Изображение слайда

Слайд 48

Геометрическое место точек. Геометрическое место точек — это фигура, состоящая из всех точек плоскости, которые обладают некоторым свойством. Для доказательства того, что какое-то множество точек является Геометрическим местом точек, обладающих некоторым свойством, нужно доказать два взаимно-обратных утверждения: Каждая точка данного множества обладает заданным свойством; Если точка обладает заданным свойством, то она принадлежит данному множеству. Для нахождения ГМТ, обладающих определенным свойством, нужно: Найти на плоскости и обозначить несколько точек, обладающих заданным свойством; Сделать предположение о том, как размещена на плоскости искомая фигура; Доказать два взаимно обратных утверждения. Пример : найти ГМТ, удаленных от прямой a на расстояние m.

Изображение слайда

Слайд 49

Геометрическое место точек. Геометрическое место точек — это фигура, состоящая из всех точек плоскости, которые обладают некоторым свойством. Для доказательства того, что какое-то множество точек является Геометрическим местом точек, обладающих некоторым свойством, нужно доказать два взаимно-обратных утверждения: Каждая точка данного множества обладает заданным свойством; Если точка обладает заданным свойством, то она принадлежит данному множеству. Для нахождения ГМТ, обладающих определенным свойством, нужно: Найти на плоскости и обозначить несколько точек, обладающих заданным свойством; Сделать предположение о том, как размещена на плоскости искомая фигура; Доказать два взаимно обратных утверждения. Пример : найти ГМТ, удаленных от прямой a на расстояние m. а X m

Изображение слайда

Слайд 50

Геометрическое место точек. Геометрическое место точек — это фигура, состоящая из всех точек плоскости, которые обладают некоторым свойством. Для доказательства того, что какое-то множество точек является Геометрическим местом точек, обладающих некоторым свойством, нужно доказать два взаимно-обратных утверждения: Каждая точка данного множества обладает заданным свойством; Если точка обладает заданным свойством, то она принадлежит данному множеству. Для нахождения ГМТ, обладающих определенным свойством, нужно: Найти на плоскости и обозначить несколько точек, обладающих заданным свойством; Сделать предположение о том, как размещена на плоскости искомая фигура; Доказать два взаимно обратных утверждения. Пример : найти ГМТ, удаленных от прямой a на расстояние m. а X m

Изображение слайда

Слайд 51

Геометрическое место точек. Геометрическое место точек — это фигура, состоящая из всех точек плоскости, которые обладают некоторым свойством. Для доказательства того, что какое-то множество точек является Геометрическим местом точек, обладающих некоторым свойством, нужно доказать два взаимно-обратных утверждения: Каждая точка данного множества обладает заданным свойством; Если точка обладает заданным свойством, то она принадлежит данному множеству. Для нахождения ГМТ, обладающих определенным свойством, нужно: Найти на плоскости и обозначить несколько точек, обладающих заданным свойством; Сделать предположение о том, как размещена на плоскости искомая фигура; Доказать два взаимно обратных утверждения. Пример : найти ГМТ, удаленных от прямой a на расстояние m. а X m

Изображение слайда

Слайд 52

Геометрическое место точек. Геометрическое место точек — это фигура, состоящая из всех точек плоскости, которые обладают некоторым свойством. Для доказательства того, что какое-то множество точек является Геометрическим местом точек, обладающих некоторым свойством, нужно доказать два взаимно-обратных утверждения: Каждая точка данного множества обладает заданным свойством; Если точка обладает заданным свойством, то она принадлежит данному множеству. Для нахождения ГМТ, обладающих определенным свойством, нужно: Найти на плоскости и обозначить несколько точек, обладающих заданным свойством; Сделать предположение о том, как размещена на плоскости искомая фигура; Доказать два взаимно обратных утверждения. Пример : найти ГМТ, удаленных от прямой a на расстояние m. а X m

Изображение слайда

Слайд 53

Геометрическое место точек. Геометрическое место точек — это фигура, состоящая из всех точек плоскости, которые обладают некоторым свойством. Для доказательства того, что какое-то множество точек является Геометрическим местом точек, обладающих некоторым свойством, нужно доказать два взаимно-обратных утверждения: Каждая точка данного множества обладает заданным свойством; Если точка обладает заданным свойством, то она принадлежит данному множеству. Для нахождения ГМТ, обладающих определенным свойством, нужно: Найти на плоскости и обозначить несколько точек, обладающих заданным свойством; Сделать предположение о том, как размещена на плоскости искомая фигура; Доказать два взаимно обратных утверждения. Пример : найти ГМТ, удаленных от прямой a на расстояние m. а X m

Изображение слайда

Слайд 54

Геометрическое место точек. Геометрическое место точек — это фигура, состоящая из всех точек плоскости, которые обладают некоторым свойством. Для доказательства того, что какое-то множество точек является Геометрическим местом точек, обладающих некоторым свойством, нужно доказать два взаимно-обратных утверждения: Каждая точка данного множества обладает заданным свойством; Если точка обладает заданным свойством, то она принадлежит данному множеству. Для нахождения ГМТ, обладающих определенным свойством, нужно: Найти на плоскости и обозначить несколько точек, обладающих заданным свойством; Сделать предположение о том, как размещена на плоскости искомая фигура; Доказать два взаимно обратных утверждения. Пример : найти ГМТ, удаленных от прямой a на расстояние m. Предположение: две прямые, параллельные прямой а и находящиеся на расстоянии m от нее. а X m

Изображение слайда

Слайд 55

Геометрическое место точек. Подведем итог:

Изображение слайда

Слайд 56

Геометрическое место точек. Подведем итог: 1. Теперь вы знаете, что называется Геометрическим местом точек.

Изображение слайда

Слайд 57

Геометрическое место точек. Подведем итог: Теперь вы знаете, что называется Геометрическим местом точек. Вы можете привести несколько примеров ГМТ, обладающего каким-то свойством. (Окружность, биссектриса, серединный перпендикуляр).

Изображение слайда

Последний слайд презентации: Геометрическое место точек

Изображение слайда

Геометрическое место точек. Теорема о геометрическом месте точек, равноудалённых от двух данных точек, в геометрической и аналитической формах

Геометрическим местом точек на плоскости называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, обладающих определенным свойством.

Т.1.29. Геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных точек, есть серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему эти точки.

На рисунке 71 к отрезку проведен серединный перпендикуляр СС. Т.1.29 утверждает, что: а) каждая точка прямой равноудалена от А и В; б) каждая точка плоскости, равноудаленная от А и Б, лежит на прямой

Ниже перечислены несколько геометрических мест точек на плоскости.

1. Геометрическое место точек, находящихся на данном расстоянии от данной точки, есть окружность с центром в этой точке и радиусом, равным данному расстоянию.

2. Геометрическое место точек, находящихся на данном расстоянии от данной прямой, состоит из двух прямых, каждая из которых параллельна данной и отстоит от нее на данное расстояние.

3. Геометрическое место точек, равноудаленных от двух пересекающихся прямых, состоит из двух прямых, на которых лежат биссектрисы всех углов, полученных при пересечении данных прямых.

4. Геометрическое место точек, из которых отрезок виден под данным углом а и которые лежат по одну сторону от прямой А Б, есть дуга окружности с концами в точках А и Б.

Метод геометрических мест, применяемый при решении задач на построение, основан на следующем.

Пусть нам надо построить точку X, удовлетворяющую двум условиям. Геометрическое место точек, удовлетворяющих первому условию, есть фигура геометрическое место точек, удовлетворяющих второму условию, есть фигура Искомая точка X принадлежит , т. е. является их общей точкой.

Пример 1. Построить по периметру , углу Б, равному , и высоте , опущенной из вершины А.

Решение. Пусть задача решена и построен (рис. 72). Отложив на прямой отрезки получим равнобедренные треугольники

Исходя из приведенных выше рассуждений построение можно осуществить в следующей последовательности:

1) Проводим прямую и на ней откладываем отрезок

2) На расстоянии от прямой проводим прямую параллельную

3) С вершиной в точке D строим угол равный Точка

А — одна из вершин искомого треугольника.

4) Проводим серединные перпендикуляры к отрезкам Точки В и С пересечения этих серединных перпендикуляров с прямой — две другие вершины искомого треугольника.

Доказательство того, что искомый, проводим так: высота этого треугольника равна по построению, равнобедренный, — внешний угол этого треугольника, см. Т. 1. 22), по построению.

Обладающих некоторым свойством.

Примеры [ | ]

Формальное определение [ | ]

В общем случае, геометрическое место точек формулируется предикатом , аргументом которого является точка данного линейного пространства. Параметры предиката могут носить различный тип. Предикат называется детерминантом геометрического места точек. Параметры предиката называются дифференциалами геометрического места точек (не путать с дифференциалом в анализе).

Роль дифференциалов во введении видовых различий в фигуру. Количество дифференциалов может быть любым; дифференциалов может и вовсе не быть.

Если заданы детерминант , где M {\displaystyle M} — точка, — дифференциалы, то искомую фигуру A {\displaystyle A} задают в виде: « A {\displaystyle A} — геометрическое место точек M {\displaystyle M} , таких, что P (M , a , b , c , …) {\displaystyle P(M,\;a,\;b,\;c,\;\ldots)} ». Далее обычно указывается роль дифференциалов, им даются названия применительно к данной конкретной фигуре. Под собственно фигурой понимают совокупность (множество) точек M {\displaystyle M} , для которых для каждого конкретного набора значений a , b , c , … {\displaystyle a,\;b,\;c,\;\ldots } высказывание P (M , a , b , c , …) {\displaystyle P(M,\;a,\;b,\;c,\;\ldots)} обращается в тождество. Каждый конкретный набор значений дифференциалов определяет отдельную фигуру, каждую из которых и всех их в совокупности именуют названием фигуры, которая задаётся через ГМТ.

В словесной формулировке предикативное высказывание озвучивают литературно, то есть с привлечением различного рода оборотов и т. д. с целью благозвучия. Иногда, в случае простых детерминантов, вообще обходятся без буквенных обозначений.

Пример : параболу зададим как множество всех таких точек M {\displaystyle M} , что расстояние от M {\displaystyle M} до точки F {\displaystyle F} равно расстоянию от M {\displaystyle M} до прямой l {\displaystyle l} . Тогда дифференциалы параболы — F {\displaystyle F} и l {\displaystyle l} ; детерминант — предикат P (M , F , l) = (ρ (M , F) = ρ l (M , l)) {\displaystyle P(M,\;F,\;l)=(\rho (M,\;F)=\rho _{l}(M,\;l))} , где ρ {\displaystyle \rho } — расстояние между двумя точками (метрика), ρ l {\displaystyle \rho _{l}} — расстояние от точки до прямой. И говорят: «Парабола — геометрическое место точек M {\displaystyle M} , равноудалённых от точки F {\displaystyle F} и прямой l {\displaystyle l} . Точку F {\displaystyle F} называют фокусом параболы, а прямую l {\displaystyle l} — директрисой».

Цели урока:

Образовательная: показать новый метод решения задач на построение геометрического места точек; Научить применять его в решении задач.
Развивающая: развитие наглядно- образного мышления; познавательного интереса.
Воспитывающая: развитие умения планировать работу, искать рациональные пути ее выполнения, способности аргументировано отстаивать свое мнение, критически оценивать результат.

Задачи урока:

Изучения нового материала.
Проверить умение учащихся решать задачи.

План урока:

Определения.
Пример 1.
Пример 2.
Пример 3.
Теоретическая часть.
Общии понятия.

Введение.

Древнеегипетскую и вавилонскую культуру в области математики продолжали греки. Они не только усвоили весь опыт их геометрии, но и пошли гораздо дальше. Ученые древней Греции сумели привести в систему накопленные геометрические знания и, таким образом, заложить начала геометрии как дедуктивной науки.

Греческие купцы познакомились с восточной математикой, прокладывая торговые пути. Но люди Востока почти не занимались теорией, и греки быстро это обнаружили. Они задавались вопросами: почему в равнобедренном треугольнике два угла при основании равны; почему площадь треугольника равна половине площади прямоугольника при одинаковых основаниях и высотах?

К сожалению, не сохранилось первоисточников, описывающих ранний период развития греческой математики. Только благодаря восстановленным текстам четвертого столетия до нашей эры и трудам арабских ученых, которые были богаты переводами сочинений авторов античной Греции, мы располагаем изданиями Евклида, Архимеда, Аполлония и других великий людей. Но в этих произведениях уже представлена вполне развитая математическая наука.

Математика древней Греции прошла длительный и сложный путь развития, начиная с VI столетия до н.э. и по VI век. Историки науки выделяют три периода ее развития в соответствии с характером знаний:

Накопление отдельных математических фактов и проблем (6 — 5B.B. до н.э.).
Систематизация полученных знаний (4 — 3 в.в. до н.э.).
Период вычислительной математики (3в. до н.э. — 6 в.).

Геометрическое место точек (ГМТ).

Определения.

Геометрическое место – термин, применявшийся в старой литературе по геометрии и до сих пор применяющийся в учебной литературе, для обозначения множества точек, удовлетворяющих некоторому условию , как правило, геометрического характера. Например: геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных точек A и B – это серединный перпендикуляр к отрезку AB. Иногда говорят и о геометрическом месте прямых и других фигур.

Название связано с представлением о линии как о «месте», на котором располагаются точки.

В геометрии траектория некоторой точки, перемещающейся в соответствии с данной формулой или условием. Например, круг является геометрическим местом точки, перемещающейся на плоскости так, что расстояние от места ее нахождения до центра остается неизменным.

Геометрическое место точек (ГМТ) — это множество точек, в которое попадают все точки, удовлетворяющие определенному условию, и только они.

Геометрическое место точек (ГМТ) — фигура речи в математике, употребляемая для определения геометрической фигуры как множества точек, обладающих некоторым свойством.

Примеры.

Серединный перпендикуляр к отрезку есть геометрическое место точек, равноудалённых от концов отрезка.
Окружность есть геометрическое место точек, равноудалённых от данной точки, называемой центром окружности.
Парабола есть геометрическое место точек, равноудалённых от точки (называемой фокусом) и прямой (называемой директрисой).

Пример 1.

Срединный перпендикуляр любого отрезка есть геометрическое место точек (т.е. множество всех точек), равноудалённых от концов этого отрезка. Пусть PO перпендикулярно AB и AO = OB:

Тогда, расстояния от любой точки P, лежащей на срединном перпендикуляре PO, до концов A и B отрезка AB одинаковы и равны d .

Таким образом, каждая точка срединного перпендикуляра отрезка обладает следующим свойством: она равноудалена от концов отрезка.

Пример 2.

Биссектриса угла есть геометрическое место точек, равноудалённых от его сторон.

Пример 3.

Окружность есть геометрическое место точек (т.е. множество всех точек), равноудалённых от её центра (на рис. показана одна из этих точек – А).

Хорда , проходящая через центр круга (например, BC, рис 1), называется диаметром и обозначается d или D . Диаметр – это наибольшая хорда, равная двум радиусам (d = 2 r).

Касательная . Предположим, секущая PQ (рис.2) проходит через точки K и M окружности. Предположим также, что точка M движется вдоль окружности, приближаясь к точке K. Тогда секущая PQ будет менять своё положение, вращаясь вокруг точки K. По мере приближения точки M к точке K секущая PQ будет стремиться к некоторому предельному положению АВ. Прямая AB называется касательной к окружности в точке K. Точка K называется точкой касания. Касательная и окружность имеют только одну общую точку – точку касания.

Свойства касательной.

Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания (AB перпендикулярно OK, рис.2).
Из точки, лежащей вне круга, можно провести две касательные к одной и той же окружности; их отрезки равны АВ=АС (рис.3).

Сегмент – это часть круга, ограниченная дугой ACB и соответствующей хордой AB (рис.4). Длина перпендикуляра CD, проведенного из середины хорды AB до пересечения с дугой ACB, называется высотой сегмента.

Углы в круге.

Центральный угол – угол, образованный двумя радиусами (∠AOB, рис.5). Вписанный угол – угол, образованный двумя хордами AB и AC, проведенными из их одной общей точки (∠BAC, рис.4). Описанный угол – угол, образованный двумя касательными AB и AC, проведенными из одной общей точки (∠BAC, рис.3).

Соотношения между элементами круга.

Вписанный угол (∠ABC, рис.7) равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу AmC (∠AOC, рис.7). Поэтому, все вписанные углы (рис.7), опирающиеся на одну и ту же дугу (AmC, рис.7), равны. А так как центральный угол содержит то же количество градусов, что и его дуга (AmC, рис.7), то любой вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается (в нашем случае AmC).

Все вписанные углы, опирающиеся на полукруг (∠APB, ∠AQB, …, рис.8), прямые.

Угол (∠AOD, рис.9), образованный двумя хордами (AB и CD), измеряется полусуммой дуг, заключённых между его сторонами: (AnD + CmB) / 2 .

Угол (∠AOD, рис.10), образованный двумя секущими (AO и OD), измеряется полуразностью дуг, заключённых между его сторонами: (AnD – BmC) / 2.

Угол (∠DCB, рис.11), образованный касательной и хордой (AB и CD), измеряется половиной дуги, заключённой внутри него: CmD / 2.

Угол (∠BOC, рис.12), образованный касательной и секущей (CO и BO), измеряется полуразностью дуг, заключённых между его сторонами: (BmC – CnD) / 2 .

Описанный угол (∠AOC, рис.12), образованный двумя касательными (CO и AO), измеряется полуразностью дуг, заключенных между его сторонами: (ABC – CDA) / 2 .

Произведения отрезков хорд (AB и CD, рис.13 или рис.14), на которые они делятся точкой пересечения, равны: AO · BO = CO · DO.

Квадрат касательной равен произведению секущей на её внешнюю часть (рис.12): OA 2 = OB · OD. Это свойство можно рассматривать как частный случай рис.14.

Хорда (AB, рис.15), перпендикулярная диаметру ( CD), O пополам: AO = OB.

Рис. 15

Интересный факт:

Поздравляем с Пи-раздником вас.

Выражаясь научным языком, число «Пи» — это отношение длины окружности к ее диаметру. Простая вроде бы вещь, но волнует умы математиков с глубокой древности. И продолжает волновать. До такой степени, что ученые — лет 20 назад — договорились отмечать праздник этого числа. И призвали присоединиться к торжествам всю прогрессивную общественность. Она присоединяется: ест круглые Пи-роги, вы-ПИ-вает, обязательно Пи-во и издает звуки Пи при встрече.

Фанаты будут соревноваться, вспоминая знаки числа «Пи». И постараются превзойти рекорд 24-летнего китайского студента Лю Чао, который назвал по памяти без ошибок 68890 знаков. На это у него ушло 24 часа и 4 минуты.

Отправление торжеств назначено на 14 марта — дату, которая в американском написании выглядит как 3.14 — то есть, первыми тремя цифрами числа «Пи».
По легенде, о числе «Пи» знали еще вавилонские жрецы. Использовали при строительстве Вавилонской башни. Но не смогли точно вычислить его значение и от этого не справились с проектом. Сам символ числа «Пи» впервые использовал в своих трудах в 1706 году математик Уильям Джон (William Jones). Но реально он прижился после 1737 года благодаря стараниям шведского математика Леонарда Эйлера (Leonhard Euler).

Отмечать праздник придумал американский физик Ларри Шо (Larry Shaw).
На вопрос, сколько знаков в числе «Пи» после запятой, точного ответа нет. Скорее всего, их бесконечное число. А главная особенность в том, что последовательность этих знаков не повторяется. Сегодня их известно 12411 триллионов. Обследовано 500 миллиардов. И повторений не найдено.

Как считают некоторые видные физики и математики, например Дэвид Бейли, Питер Борвин и Саймон Плофе (David Bailey, Peter Borewin, Simon Plouffe), их — повторений — не найти никому и никогда. Хоть испиши знаками всю Вселенную. Да хоть сколько Вселенных… И в этом ученые видят некую скрытую мистику. Полагают, что в числе «Пи» зашифрован бесконечный первородный хаос, ставший потом гармонией. Или какая-то загадочная информация.

Вопросы:

Сформулируйте определение окружности и круга?
С какими новыми понятиями вы познакомились?
Что называется геометрическим местом точек?
Какая разница между диаметром и радиусом?
Как найти радиус окружности какая описана около треугольника?

Список использованных источников:

Урок на тему «Наглядная геометрия»
Савин А.П. Метод геометрических мест /Факультативный курс по математике: Учебное пособие для 7-9 классов средней школы. Сост. И.Л. Никольская. – М.: Просвещение, с. 74.
Смирнова И.М., Смирнов В.А. Геометрия: Учебник для 7-9 классов общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2005, с. 84.
Шарыгин И.Ф. Геометрия. 7-9 классы: Учебник для общеобразовательных учебных заведений. – М.: Дрофа, с. 76.
Мазур К. И. «Решение основных конкурсных задач по математике сборника под редакцией М. И. Сканави»

Над уроком работали:

Самылина М.В.

Потурнак С.А.

Владимир ЛАГОВСКИЙ

Поставить вопрос о современном образовании, выразить идею или решить назревшую проблему Вы можете на Образовательном форуме , где на международном уровне собирается образовательный совет свежей мысли и действия. Создав блог, Вы не только повысите свой статус, как компетентного преподавателя, а и сделаете весомый вклад в развитие школы будущего. Гильдия Лидеров Образования открывает двери для специалистов высшего ранга и приглашает к сотрудничеству в направлении создания лучших в мире школ.

Геометрическое место точек. Срединный перпендикуляр . Биссектриса угла.

Окружность. Круг. Центр окружности. Радиус. Дуга. Секущая. Хорда.

Диаметр. Касательная и её свойства. Сегмент. Сектор. Углы в круге.

Длина дуги. Радиан. Соотношения между элементами круга.

Геометрическое местоточек – этомножество всех точек,удовлетворя ющихопределённым заданным условиям.

П р и м е р 1. Срединный перпендикуляр любого отрезка есть геометрическое

место точек (т.е. множество всех точек), равноудалён ных от

концов этого отрезка. Пусть PO AB и AO = OB:

Тогда, расстояния от любой точки P, лежащей на срединном перпендикуляре PO, до концов A и B отрезка AB одинаковы и равны d .

Таким образом, каждая точка срединного перпендикуляра отрезка обладает следующим свойством: она равноудалена от концов отрезка.

П р и м е р 2. Биссектриса угла есть геометрическое место точек, равноудалённых от его сторон .

П р и м е р 3. Окружность есть геометрическое место точек (т.е. множе ство

всех точек), равноудалённых от её центра (на рис. пока зана одна

из этих точек – А).

Окружность — это геометрическое место точек (т.е. множество всех точек) на плоскости , равноудалённых от одной точки, называемой центром окружности. Отрезок, соединяющий центр окружности с какой-либо её точкой, называется радиусом и обозначается r или R . Часть плоскости, ограниченная окружностью, называется кругом . Часть окружности (

Am B , рис.39 ) называется дугой. Прямая PQ , проходящая через точки M и N окружности ( рис.39 ), называется секущей, а её отрезок MN , лежащий внутри окружности — хордой.

Хорда, проходящая через центр круга (например, BC, рис.39), называется диаметром и обозначается d или D . Диаметр – это наибольшая хорда, равная двум радиусам (d = 2 r ).

Касательная. Предположим, секущая PQ (рис.40) проходит через точки K и M окружности. Предположим также, что точка M движется вдоль окружности, приближаясь к точке K. Тогда секущая PQ будет менять своё положение, вращаясь вокруг точки K. По мере приближения точки M к точке K секущая PQ будет стремиться к некоторому предельному положению АВ. Прямая AB называется касательной к окружности в точке K. Точка K называется точкой касания. Касательная и окружность имеют только одну общую точку – точку касания.

Свойства касательной.

1) К асательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания ( AB OK, рис.40) .

2) Из точки, лежащей вне круга, можно провести две касательные к одной и той же окружности; их отрезки равны (рис.41).

Сегмент – это часть круга, ограниченная дугой ACB и соответствующей хордой AB (рис.42). Длина перпендикуляра CD, проведенного из середины хорды AB до пересечения с дугой ACB, называется высотой сегмента.

Сектор – эточасть круга,ограниченная дугой Am Bи двумя радиусами OAи OB, проведенными к концам этой дуги (рис.43).

Углы в круге. Центральный угол – угол, образованный двумя радиусами ( AOB, рис.43). Вписанный угол – угол, образованный двумя хордами AB и AC, проведенными из их одной общей точки ( BA C, рис.44). Описанный угол – угол, образованный двумя касательными AB и AC, проведенными из одной общей точки ( BAC, рис.41).

Длина дуги окружности пропорциональна её радиусу r и соответствующему центральному углу :

l = r

Таким образом, если мы знаем длину дуги l и радиус r , то величина соответствующего центрального угла

может быть определена их отношением: = l / r .

Эта формула является основой для определения радианного измерения углов. Так, если l = r , то = 1, и мы говорим, что угол равен 1 радиану (это обозначается: = 1 рад ). Таким образом, мы имеем следующее определение радиана как единицы измерения углов: радиан – это центральный угол ( AOB, рис.43), у которого длина дуги равна её радиусу (Am B = AO , рис.43). Итак, радианная мера любого угла – это отношение длины дуги, проведенной произвольным радиусом и заключённой между сторонами этого угла, к её радиусу. В частности, в соответствии с формулой длины дуги, длина окружности C может быть выражена следующим образом:

где определяется как отношение C к диаметру круга 2 r :

= C / 2 r .

Иррациональное число; его приближённое значение 3.1415926…

С другой стороны, 2- это круговой угол окружности, который в градусной системе измерения равен 360º. На практике часто случается, что как радиус дуги, так и угол неизвестны. В этом случае длина дуги может быть вычислена по приближённой формуле Гюйгенса:

p 2l + (2l – L ) / 3 ,

где (см. рис.42): p – длина дуги ACB ; l – длина хорды AC ; L – длина хорды AB . Если дуга содержит не более чем 60 º , относительная погрешность этой формулы не превышает 0.5%.

Соотношения между элементами круга. Вписанный угол ( ABC , рис.45) равен половине центрального угла , опирающегося на ту же дугу AmC ( AOC , рис.45) . Поэтому, все вписанные углы (рис.45), опирающиеся на одну и ту же дугу ( Am C , рис.45), равны. А так как центральный угол содержит тоже количество градусов, чтои его дуга ( Am C ,рис.45), то любой вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается (внашем случае Am C ).

Все вписанные углы, опирающиеся на полукруг (APB, AQB, …, рис.46 ), прямые (Докажите это, пожалуйста!).

Угол (AOD, рис.47 ), образованный двумя хордами ( ABи CD), измеряет ся полусуммой дуг, заключённых между его сторонами: (An D + Cm B) / 2 .

Угол (AOD, рис.48 ), образованный двумя секущими (AOи OD), измеряется полуразностью дуг, заключённых между его сторонами: (An D– Bm C ) / 2. секущей (COи BO), измеряется полуразностью дуг,заключённых между его сторонами: ( Bm C– Cn D ) / 2 .

Описанный угол (AOC, рис.50 ), образованный двумя касательными ( COи AO), измеряется полуразностью дуг,заключенных между его сторонами: ( ABC– CDA) / 2 .

Произведения отрезков хорд ( AB и CD , рис.51 или рис.52), на которые они делятся точкой пересечения, равны: AO · BO = CO · DO .

К вадрат касательной равен произведению секущей на её внешнюю часть ( рис.50 ) : OA 2 = OB · O D (докажите!). Это свойство можно рассматривать как частный случай рис.52.

Хорда (AB, рис.53), перпендикулярная диаметру ( CD), делится в их точке пересечения O пополам: AO = OB.

( Попробуйте доказать это! ).

Обладающих некоторым свойством.

Энциклопедичный YouTube

1 / 3

✪ Определение параболы как ГМТ

✪ 124. Задачи на поверхности второго порядка. Геометрическое место точек

✪ Сопротивление материалов. Лекция 21 (тензор напряжений, главные напряжения)

Субтитры

Здравствуйте, дорогие друзья! Мы сейчас будем с вами заниматься геометрией, а потом алгеброй, а потом все смешаем и назовем это математикой. Очень простой вопрос. Представьте себе, что там, где я поставил белую точку, играет музыка (одна колонка). А потом появился техник и поставил колонку еще и на место розовой точки. Причем расстояние между ними довольно большое. Если вы встанете в зеленый крестик, то для вас музыка будет доноситься из двух мест с задержкой. Из одного с большей задержкой, чем из другого. Как бы встать так, чтобы слышать музыку левым и правым ухом совершенно одинаково, синхронно? То есть встать на равных расстояниях от двух колонок. Ответ очень простой, вы, конечно, знаете, если ходили хотя бы в 7 класс. А если не ходили, можете догадаться интуитивно. Надо построить отрезок, соединяющий розовую и белую точки, и в его центре (в его серединке) изобразить перпендикуляр. Тогда любая точка вертикального на этой доске перпендикуляра одинаково удалена от розовой и от белой. Почему так? Очень просто. Здесь два одинаковых треугольника. Почему они одинаковые? Потому что у них есть общая сторона, еще две стороны отмечены равными штрихами. И прямые углы тоже, конечно, равны друг другу. Как следствие, мы имеем право поставить равные отметки на таких сторонах. Итак, мы с вами нарисовали геометрическое место точек, одинаково удаленных от двух заданных точек. А как насчет двух прямых? Давайте нарисуем пару прямых. Я нарисую две параллельные прямые для начала. Это два берега и вы хотите плыть (по какой-то причине) на равных удалениях от этих двух берегов. Как построить эту траекторию? Давайте снова построим перпендикуляр к двум параллельным прямым. Найдем его середку. А дальше, вооружившись глазомером, пытаемся изобразить зеленую линию параллельно этим двум берегам. Конечно, если мы возьмем любую точку на этой зеленой линии и опустим перпендикуляр на какой-нибудь берег, то мы можем увидеть прямоугольник. А значит, эти стороны будут равны. Прямые могут и пересекаться. И тогда вы тоже легко решите такую задачу: множество точек, одинаково удаленных от этих двух прямых — это пара биссектрисс. Все эти решения строятся циркулем и линейкой и совершенно легко проходятся на геометрии. А сейчас я вам предложу еще одно множество, которое задается не двумя одинаковыми объектами, а один объект мы возьмем из первой задачи: где-то стоит точка, а другой объект — из второй: есть прямая. Причем эта точка нам нужна надолго, поэтому мы введем ей персональное имя: мы скажем, что это точка F. Прямая тоже персонализирована и называется буквой d. Представьте себе на мгновение, что это граница пляжа: выше пляж, а ниже море. А точка F — это, например, киоск с мороженым. И вы хотите сесть так, чтобы до киоска с мороженым и до берега было равное расстояние. Тогда пример такого места совершенно очевиден: точно так же, как и здесь, и здесь, мы строим перпендикуляр из точки F на прямую d, находим его середку и вот это самое выигрышное место: вам до киоска очень мало идти и до моря очень мало идти. А как по-другому можно сесть, чтобы тоже было одинаковое расстояние и до киоска, и до берега моря? Вот пример еще один. Если мы построим квадрат с такой стороной, то тогда равенство этих сторон и перпендикуляр здесь тоже нам гарантируют, что эта точка годится. Причем ясно, что раз пряж простирается в обе стороны, то и здесь мы можем нарисовать такой же квадрат. Решение будет симметрично. Давайте запишем решение для такой задачи. Мы ищем вот что: нам нужно множество букв М (точек, обозначенных буквой М), а условие на них вот какое: (вот эта годится быть буквой М) расстояние от любой точки из этого множества до F равняется… Вместо слова «расстояние» я сейчас напишу букву «ро», потому что я хочу расстояние от точки М до прямой d. Поскольку мы ищем множество, здесь стоят фигурные скобки. И мы ищем все такие точки, обозначенные буквой М, чтобы выполнялось это равенство. Две мы уже нашли. Я имею право обвести эту точку зеленым кружочком и эту тоже. Есть ли хотя бы одна точка между ними, которая принадлежит этому множеству? Одинаково удалена и от F, и от d. Да, есть. Давайте попробуем сделать следующее. Шагнем на какую-нибудь величину влево от известной нам точки из множества. Вопрос: тогда мы получим точку из этого же множества? Посмотрим на эту фигурку, на этот четырехугольник. Это прямоугольник, поэтому здесь тоже допустим один штрих. Расстояние от полученной точки до F как связано с этим отрезком? Конечно, оно больше, здесь нельзя поставить один штрих, потому что такой наклонный отрезок — это гипотинуза в треугольнике, где катет отмечен одним штрихом. Эта точка слишком низко, слишком близка к прямой d. Значит, надо ее немножко приподнять. Приподнять настолько, чтобы она достаточно удалилась от d и немножко приблизилась к F. Как именно — пока не будем выяснять, но это возможно. Идея такая: двигаясь влево и поднимаясь вверх, мы можем получать точки, принадлежащие множеству М. И если еще допустить, что шаг может быть сколь угодно маленьким, тогда поймем, что множество это непрерывно: это линия, которую можно нарисовать движением руки, не останавливаясь и нигде не перепрыгивая. И еще мы знаем, что линия симметрична. Эта зеленая линия является изображением этого множества, обозначенного фигурными скобками. Оказывается, это парабола. Это геометрическое определение для параболы. И здесь начинаются проблемы.

Примеры

Геометрическое место точек. Теорема о геометрическом месте точек, равноудалённых от двух данных точек, в геометрической и аналитической формах.

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 2

Определение. Геометрическое место точек – фигура, которая состоит из всех точек на плоскости, обладающих определённым свойством.

Теорема. Геометрическое место точек, равноудалённых от двух данных точек, есть серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему эти точки, то есть прямая, перпендикулярная этому отрезку и проходящая через его середину.

Доказательство.

Пусть точка C равноудалена от A и B. Отметим точку M – середину отрезка AB. Треугольники ACM и BCM равны по трём сторонам. Углы AMC и BMC равны и дают в сумме развёрнутый угол. Значит, они оба равны 90°.
Мы доказали, что все точки, равноудалённые от двух данных точек, лежат на серединном перпендикуляре.

2) Пусть точка C лежит на серединном перпендикуляре к AB. Треугольники AMC и BMC равны двум катетам, значит, AC=BC.
Мы доказали, что все точки серединного перпендикуляра к отрезку равноудалены от его концов.

Таким образом, геометрическое место точек, равноудалённых от двух данных точек, и серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему эти точки, совпадают.

Теорема доказана.

A (0; 0), B (a; 0), C (x; y). AC=CB.

2) Круг (определение). Формула для вычисления площади круга (без вывода). Вывод формулы площади кругового сектора.

Определение. Круг – это множество точек плоскости, расположенных на расстоянии не более данного от данной точки.

БИЛЕТ 8

1)Треугольник (определение). Теорема о сумме углов треугольника, прямая Эйлера (без доказательства).

Определение. Треугольник – это фигура, состоящая из 3 точек, не лежащих на одной прямой, и 3 отрезков, попарно соединяющих их.

Теорема. Сумма углов треугольника равна 180°.

Доказательство.

Проведём через вершину B прямую a, параллельную стороне AC.
как накрест лежащие.
. Тогда .

Теорема доказана.

Теорема. Центр описанной окружности треугольника, его ортоцентр, центр тяжести, а также центр окружности девяти точек лежат на одной прямой, называемой прямой Эйлера.

Расстояния между двумя точками через координаты этих точек (рассмотреть все случаи).

Проведём a и b, .

Т.к. треугольник прямоугольный,

БИЛЕТ 9

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Так как в прямоугольном треугольнике угол между двумя катетами прямой, а любые два прямых угла равны, то из первого признака равенства треугольников следует:

1) По двум катетам (из I первого признака)

2) По катету и острому углу (из II первого признака)

(так как по противолежащему углу однозначно определяется прилежащий)

3) По гипотенузе и острому углу

Доказательство.

В таких треугольниках два других острых угла также равны, поэтому треугольники равны по второму признаку равенства треугольников, т. е. по стороне (гипотенузе) и двум прилежащим к

ней углам.

Теорема доказана.

4) По гипотенузе и катету

Доказательство.

Рассмотрим треугольники ABC и A₁B₁C₁, у которых углы C и C₁ — прямые, АВ=А₁В₁, ВС=В₁С₁.

Так как ∠C=∠C₁, то треугольник ABC можно наложить на треугольник A₁B₁C₁ так, что вершина С совместится с вершиной C₁, а стороны СА и СВ наложатся соответственно на лучи С₁А₁ и С₁В₁. Поскольку СВ=С₁В₁, то вершина B совместится с вершиной В₁.
Но тогда вершины А и А₁ также совместятся.

В самом деле, если предположить, что точка А совместится с некоторой другой точкой А₂ луча С₁А₁, то получим равнобедренный треугольник A₁B₁A₂, в котором углы при основании А₁А₂ не равны (∠А₂— острый, a ∠А₁ тупой как смежный с острым углом B₁A₁C₁). Но это невозможно, поэтому вершины А и А₁ совместятся.

Следовательно, полностью совместятся треугольники ABC и A_lB_lC_l , т. е. они равны.

Теорема доказана.

Окружность

Определение. Окружность – это геометрическое место точек, равноудалённых от данной.

Так как длина всей окружности равна 2πR, то длина дуги в 1° равна 2πR/360° = πR/180°.
Поэтому длина l выражается формулой:

БИЛЕТ 10

1) Признаки параллелограмма:

1. Если в четырёхугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник – параллелограмм.

Доказательство. Пусть в четырёхугольнике АВСD стороны АD и СB параллельны и равны. Проведём диагональ АС, делящую параллелограмм на два треугольника: АВС и СDА. Эти треугольники равны по первому признаку, значит, их соответствующие углы равны. Тогда углы BAC и DCA равны как внутренние накрест лежащие при пересечении прямых АB и CD секущей АС, значит, АB||CD. Следовательно, АВСD – параллелограмм.

2. Если в четырёхугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырёхугольник – параллелограмм.

Доказательство. Проведём диагональ АС данного четырёхугольника АВСD, делящую его на треугольники АВС и СDА. Эти треугольники равны по третьему признаку, поэтому углы АCВ и СAD равны, значит АВ||CD. Т.к. АВ и СD равны и параллельны, то по первому признаку АВСD – параллелограмм.

3.Если в четырёхугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся напополам, то этот четырёхугольник – параллелограмм.

Доказательство.

Аналогично, .

Противоположные стороны попарно равны, значит, ABCD – параллелограмм.

В параллелограмме удвоенная сумма квадратов сторон равна сумме квадратов диагоналей:

Доказательство.

Воспользуемся теоремой косинусов:

Теорема доказана.

⇐ Предыдущая12

Locus — Cuemath

В этом мини-уроке мы узнаем об определении локуса вместе с некоторыми примерами локуса.

Мы знаем, что Земля вращается вокруг Солнца по эллиптической орбите.

Эта эллиптическая орбита образована соединением положений Земли в различных моментах.

Вы можете увидеть это на следующем рисунке.

Кривая, соединяющая все положения Земли, в этом случае называется геометрическим местом.

КАЖДОЕ геометрическое место (кривая) связано с уравнением, которое называется уравнением геометрического места.

Кривая и ее уравнение зависят от данной задачи локуса.

У нас есть формула геометрического места, чтобы найти его уравнение? Посмотрим.

План урока

1.	Что означает Локус?
2.	Важные примечания по Locus
3.	Решенные примеры на Locus
4.	Интерактивные вопросы по Locus
5.	Сложные вопросы по Locus

Что подразумевается под локусом?

Определение локуса

«Локус» в основном означает форму или кривую.

Мы знаем, что любая форма или кривая образованы набором точек.

Итак, «Локус» — это набор точек.

В математике геометрическое место — это множество точек, удовлетворяющих набору правил.

Что такое геометрическое место точек?

Геометрическое место точек — это кривая или линия в двумерной геометрии.

Пример

Рассмотрим отрезок $\overline{AB}$.

Найдем геометрическое место всех точек, равноудаленных от A и B.

Разместим все точки, где каждая точка равноудалена от A и B.

Соедините все такие точки линией. Результирующая линия является серединным перпендикуляром к $\overline{AB}$.

Таким образом, геометрическое место всех точек, равноудаленных от A и B, является серединным перпендикуляром к $\overline{AB}$.

Что такое геометрическое место круга?

Геометрическое место множества всех точек, находящихся на фиксированном расстоянии от фиксированной точки, называется окружностью.

Здесь

Неподвижная точка называется «центром» окружности
Фиксированное расстояние называется «радиусом» окружности

Не только точки, отмеченные синим цветом, на окружности (локусе) есть бесконечное количество точек.

Некоторые другие примеры локуса упоминаются в следующих «Важных примечаниях».

Важные примечания

Геометрическое место всех точек, находящихся на фиксированном расстоянии от фиксированной точки, представляет собой окружность.
Геометрическое место всех точек, равноудаленных от двух точек, является серединным перпендикуляром к отрезку, соединяющему данные две точки.
Геометрическое место всех точек, равноудаленных от двух пересекающихся прямых, представляет собой биссектрису угла, образованного этими прямыми.

Что такое опорные точки в двумерной геометрии?

Точки локуса — это точки на кривой (или) линии, связанные с геометрией.

Каждый локус связан с уравнением, и давайте посмотрим, как его найти.

Формула локуса

Специальной формулы для нахождения локуса не существует.

Вот шаги, чтобы найти геометрическое место точек в двумерной геометрии,

Предположим, что любая случайная точка $P(x,y)$ на геометрическом месте.
Напишите уравнение в зависимости от заданного условия.
Упростите его, чтобы получить уравнение геометрического места.

Геометрическое место

Найдите геометрическое место точки на расстоянии 4 единиц от точки $(-3, 2)$ в плоскости xy.

Раствор 92+6x-4y-3=0 \]

Решенные примеры на локусе

Вот еще несколько примеров локуса.

Пример 1

Можем ли мы помочь Аве найти уравнение геометрического места точки, равноудаленной от точек $A(-2, 0)$ и $B(3, 2)$?

Что представляет собой уравнение геометрического места в этом случае?

Решение

Предположим, что $P(x,y)$ — точка на данном геометрическом месте. 92-4г+4\\[0.2см]
10x+4y-9&=0
\end{align}\)

Приведенное выше уравнение представляет собой прямую линию, так как это линейное уравнение с двумя переменными.

Таким образом, уравнение геометрического места:

$10x+4y-9=0$, что является линией.

Пример 2

Можем ли мы помочь Мие найти уравнение геометрического места точки, для которой сумма расстояний от $(0, -1)$ и $(0, 1)$ равна 3

Что представляет уравнение?

Решение

Предположим, что $P(x,y)$ — точка на данном геометрическом месте.

Заданные точки: \[A =(0, -1)\\[0,2 см]B = (0,1)\]

Затем, используя заданное условие,

Расстояние от P до A + расстояние от P to B = 3

Итак, мы получаем:

$\begin{align}
PA+PB &=3\\[0,2 см]
PA &= 3-PB\\[0,2см]
\text{Квадрат }& \text{с обеих сторон},\\[0,2 см] 92=45$, который является эллипсом.

Пример 3

Можем ли мы помочь Джеймсу найти уравнение геометрического места точки, равноудаленной от точки $(-1, 2)$ и оси Y?

Что представляет уравнение?

Решение

Предположим, что $P(x,y)$ — точка на данном геометрическом месте.

Тогда, используя заданное условие, 92-4y+2x+5=0\), которая является параболой.

Интерактивные вопросы по Locus

Вот несколько заданий для практики.

Выберите/введите свой ответ и нажмите кнопку «Проверить ответ», чтобы увидеть результат.

Контрольные вопросы

Две вершины треугольника (-2, 5) и ABC равны A (-2, 5) и ABC. Найдите геометрическое место третьей вершины C, такое что площадь треугольника ABC равна 10 квадратных единиц.
Найдите уравнение геометрического места точки P, если отрезок, соединяющий (-1, 2) и (3, -2), образует прямой угол в точке P.

Подведем итоги

Этот мини-урок посвящен увлекательной концепции локуса. Математическое путешествие по локусу начинается с того, что ученик уже знает, и продолжается творческим созданием новой концепции в умах молодых. Сделано таким образом, что это не только понятно и легко для понимания, но и останется с ними навсегда. В этом заключается магия Cuemath.

О Cuemath

В Cuemath наша команда экспертов по математике стремится сделать обучение интересным для наших любимых читателей, студентов!

Благодаря интерактивному и увлекательному подходу «обучение-преподавание-обучение» учителя изучают тему со всех сторон.

Будь то рабочие листы, онлайн-классы, сеансы сомнений или любая другая форма отношений, мы в Cuemath верим в логическое мышление и разумный подход к обучению.

Часто задаваемые вопросы (FAQ)

1. Что такое геометрическое место точки, равноудаленной от вершин треугольника?

Существует только одна точка, равноудаленная от всех вершин треугольника, которая является центром описанной окружности треугольника.

2. Где находится геометрическое место прямой?

Геометрическое место является прямой линией, если наклоны каждых двух точек на ней равны.

3. Как построить локус?

Мы можем построить геометрическое место, разместив и соединив все точки, полученные с помощью заданных правил/условий.

Уравнение геометрического места и шаги, необходимые для нахождения уравнения

Наука > Математика > Координатная геометрия > Геометрическое место > Уравнение геометрического места

В этой статье мы изучим понятие геометрического места и найдем уравнение геометрического места.

Геометрическое место: Множество точек, удовлетворяющих некоторому геометрическому условию или условиям, называется геометрическим местом

Например, окружность — это геометрическое место всех точек на плоскости, которые равноудалены от точки на плоскости.

Уравнение геометрического места: Уравнение геометрического места — это уравнение, которому удовлетворяют все точки, удовлетворяющие заданному геометрическому условию в задаче. , y)

Запишите заданное геометрическое условие

Используйте расстояние, сечение, центр тяжести и другие формулы согласно условию

Заменитель в геометрическом состоянии. Упростите, чтобы получить уравнение геометрического места

Пример – 01:

Найдите геометрическое место точки P такой, что ее ордината равна 5.

Решение:

точка на геометрическом месте

Данная ордината P равна 5, т.е. y = 5

Следовательно, требуемое уравнение геометрического места точки P равно y = 5.

Пример – 02:

Найти геометрическое место точки P такой, что его абсцисса равна 3,

Решение:

Пусть P(x. y) будет точкой на геометрическом месте

Данная абсцисса P равна 3, т.е.

Пример – 03:

Найдите геометрическое место точки P, ордината которой равна абсциссе.

Решение:

Пусть P(x, y) будет точкой на геометрическом месте

Данная ордината P равна абсциссе

Следовательно, требуемое уравнение геометрического места точки P: y = x или x – y = 0

Пример – 04:

Найдите геометрическое место точки P, ордината которой в 5 раз больше абсциссы на 9

Решение:

Пусть P(x. y) — точка на геометрическом месте

Данная ордината P превышает абсциссу в 5 раз

Следовательно, искомое уравнение геометрического места точки P равно y = 5x + 9.

Пример – 05:

Найдите геометрическое место точки P, абсцисса которой в 2 раза больше абсциссы в 3 раза

Решение:

превышает абсциссу в 2 раза на 3

Отсюда искомое уравнение геометрического места точки P: 15

Решение:

Пусть P(x. y) точка на геометрическом месте

Учитывая сумма ее координат равна 15

Следовательно, требуемое уравнение геометрического места точки P равно x + y = 15

Пример – 07:

Найдите геометрическое место точки P, сумма координат которой равна 10

Решение:

Пусть P(x. y) будет точкой на геометрическом месте

Учитывая сумму ее координат равно 10

Следовательно, требуемое неравенство геометрического места точки P равно x + y = 10

Пример – 08:

Найдите геометрическое место точки P, сумма координат которой меньше 10

Решение:

Если сумма ее координат меньше 10

Следовательно, требуемое неравенство геометрического места точки P равно x + y < 10

Пример – 09:

Найдите геометрическое место точки P такое, что сумма его координат больше 5

Решение:

Пусть P(x. y) — точка на геометрическом месте

Учитывая, что сумма ее координат больше 5

Следовательно, требуемое неравенство геометрического места точки P равно x + y > 5

Пример – 10:

Найдите геометрическое место точки P, сумма квадратов ее координат равна 25

Решение:

) Пусть точка P(x. геометрическое место

Учитывая сумму квадратов его координат 25

Следовательно, требуемое уравнение геометрического места точки P: x² + y² = 25

Пример – 11:

Найдите геометрическое место точки P, сумма квадратов ее координат равна 9

2 2 Решение . – 12:

Найдите геометрическое место точки P, для которой ордината точки P в два раза превышает ее абсциссу в три раза на 4.

Следовательно, требуемое уравнение геометрического места точки P: 2y = 3x + 4

от оси абсцисс в 10 раз больше расстояния от оси у.

Решение:

Пусть P(x.y) будет точкой на геометрическом месте

Расстояние от оси x = y ось равна 10-кратному расстоянию от оси Y

Следовательно, требуемое уравнение геометрического места точки P: от оси x, равной его расстоянию от оси y.

Решение:

Пусть P(x. y) будет точкой на геометрическом месте

Расстояние от оси x = y ось равна ее расстоянию от оси Y

Следовательно, требуемое уравнение геометрического места точки P равно y = x

Пример – 15:

Найдите геометрическое место точки P, такое что расстояние P от начала координат равно 5-кратному его расстоянию от точки (3, -2)

Решение:

Пусть P(x. y) будет точкой на геометрическом месте, пусть O(0, 0) будет началом и A(3, -2) будет точкой

При условии OP = 5 PA

∴ OP² = 25 PA²

∴ (x – 0)² + (y – 0)² = 25[(x – 3)² + (y + 2)²]

∴ x² + y² = 25[ x² – 6x + 9 + y² + 4y + 4]

∴ x² + y² = 25x² – 150x + 225 + 25y² + 100y + 100

∴ 24x² + 24y² – 150x + 100y + 325 = 0

Отсюда требуется уравнение геометрического места 24x² + 24y² – 150x + 100y + 325 = 0

Пример – 16:

Найдите уравнение геометрического места точки, равноудаленной от точек (2, 3) и (-4, 5)

Решение:

Пусть P(x, y) будет точкой на геометрическом месте, Пусть A(2, 3) и B(-4, 5) будут заданными точками

Учитывая PA = PB

∴ PA² = PB²

∴ (x – 2)² + (y – 3)² = (x + 4)² + (y – 5)²

∴ x² — 4x + 4 + y² —6y + 9 = x² + 8x + 16 + y² — 10y + 25 25 = 0

∴ -12x + 4y -28 = 0

∴ 3x -y + 7 = 0

Следовательно, необходимое уравнение локуса 3x -y + 7 = 0

Пример -17:

Найдите уравнение геометрического места точки, равноудаленной от точек (1, 2) и (3, 4)

Решение:

Пусть P(x, y) точка на геометрическом месте, Пусть A(1, 2) и B(3, 4) — заданные точки

Дано PA = PB

∴ PA² = PB²

∴ (x – 1)² + (y – 2)² = (x – 3)² + (y – 4)²

∴ x² – 2x + 1 + y² – 4y + 4 = x² – 6x + 9 + y² – 8y + 16

∴ x² – 2x + 1 + y² -4y + 4 – x² + 6x – 9 – y² + 8y – 16 = 0

∴ – 2x + 1 -4y + 4 + 6x – 9 + 8y – 16 = 0

∴ 4x + 4y – 20 = 0

∴ x + y – 5 = 0

Следовательно, искомое уравнение геометрического места x – + y 5 = 0

Пример – 18:

Найдите уравнение геометрического места точки, равноудаленной от точек (2, 3) и (5, 7)

Решение:

Пусть A(2, 3) и B(5, 7) будут заданными точками

Даны PA = PB

∴ PA² = PB²

∴ (x – 2)² + (y – 3)² = (x – 5)² + (y – 7)²

∴ x² – 4x + 4 + y² – 6y + 9 = x² – 10x + 25 + y² – 14y + 49

∴ x² – 4x + 4 + y² – 6y + 9 – х² + 10х – 25 – у² + 14у – 49= 0

∴ 6x + 8y – 61 = 0

Отсюда искомое уравнение геометрического места 6x + 8y – 61 = 0

Пример – 19:

9001 , 5) начисляются баллы. Найдите уравнение геометрического места точки P такое, что PA = 2PB.

Решение:

Пусть P(x, y) — точка на геометрическом месте, данные A(2, 3) и B(-2, 5) — заданные точки

Дано PA = 2 PB

∴ PA² = 4 PB²

∴ (x – 2)² + (y – 3)² = 4[(x + 2)² + (y – 5)²]

∴ x² – 4x + 4 + y² – 6y + 9 = 4[ x² + 4x + 4 + y² – 10y + 25]

∴ x² – 4x + 4 + y² – 6y + 9 = 4 x² + 16x + 16 + 4y² – 40y + 100

∴ 4 x² + 16x + 16 + 4y² – 40y + 100 – x² + 4x – 4 – y² + 6y – 9 = 0

∴ 3 x² + 3y² + 20x – 34y + 1

Следовательно требуемое уравнение геометрического места 3 x² + 3y² + 20x – 34y + 103 = 0

Пример – 20:

A(2, 3), B(-2, 1) заданы точки. Найдите уравнение геометрического места точки P, такое что AP² = 3 BP².

Решение:

Пусть P(x, y) — точка на геометрическом месте, заданные A(2, 3) и B(-2, 1) — заданные точки

Дано AP² = 3 BP²

∴ (x – 2)² + (y – 3)² = 3[(x + 2)² + (y – 1)²]

∴ x² – 4x + 4 + y² – 6y + 9 = 3[ x² + 4x + 4 + y² — 2y + 1]

∴ x² — 4x + 4 + y² — 6y + 9 = 3x² + 12x + 12 + 3y² — 6y + 3

∴ 3x² + 12x + 12 + 3y² — 6y + 3 – x² + 4x – 4 – y² + 6y – 9 = 0

∴ 2x² + 2y² + 16x + 2 = 0

∴ x² + y² + 8x + 1 = 0

Следовательно, требуемое уравнение геометрического места x² + y² + 8x + 1 = 0

Пример – 21:

A(3, 1), 4, -5) начисляются очки. Найдите уравнение геометрического места точки P, такое что AP²+ BP² = 50.

Решение:

Пусть P(x, y) будет точкой на геометрическом месте, учитывая A(3, 1) и B( 4, -5) — заданные точки

При заданном AP²+ BP² = 50.

∴ (x – 3)² + (y – 1)² + (x – 4)² + (y + 5)² = 50

∴ x² – 6x + 9 + y² – 2y + 1 + x² – 8x + 16 + y² + 10y + 25 = 50 + 8y + 1 = 0

Отсюда требуется уравнение геометрического места 2x² + 2y² – 14x + 8y + 1 = 0

Пример – 22:

A(-3, 2), B(1, -4 ) начисляются баллы. Найдите уравнение геометрического места точки P, такое что 3PA = 2 PB

Решение:

Пусть P(x, y) будет точкой на геометрическом месте, учитывая A(-3, 2) и B(1 , -4) — заданные точки

Дано 3 PA = 2 PB

∴ 9 PA²= 4 PB²

∴9[ (x + 3)² + (y – 2)²] = 4[(x – 1)² + (y + 4) )²]

∴ 9( x² + 6x + 9 + y² – 4y + 4) = 4(x² – 2x + 1 + y² + 8y + 16)

∴ 9 x² + 54x + 81 + 9y² – 36y +36 = 4x² – 8x + 4 + 4y² + 32y + 64

∴ 9 x² + 54x + 81 + 9y² – 36y +36 – 4x² + 8x – 4 – 4y² – 32y – 64 = 0

∴ 5x² – + 2y² 68y +49 = 0

Следовательно искомое уравнение геометрического места : 5x² + 5y² + 62x – 68y +49= 0

Пример – 23:

Найти уравнение, перпендикулярное биссектрисе точек соединения отрезков (-5, 2) и (-1, 5)

Решение:

y Пусть P(x,002y) ) — точка на геометрическом месте, Пусть A(-5, 2) и B(-1, 5) — заданные точки от концов отрезка

Отсюда PA = PB

∴ PA² = PB²

∴ (x + 5)² + (y – 2)² = (x + 1)² + (y – 5)²

∴ x² + 10x + 25 + y² -4y + 4 = x² + 2x + 1 + y² – 10y + 25

∴ x² + 10x + 25 + y² -4y + 4 – x² – 2x – 1 – y² + 10y – 25 = 0

∴ 8x + 6y + 3 = 0

Отсюда искомое уравнение геометрическое место (биссектриса) равно 3x – y + 7 = 0

Пример – 24:

A(4, 5), B(-2, 7) даны точки. Найдите уравнение геометрического места точки P, такое что 2PA = PB

Решение:

Пусть P(x, y) — точка на геометрическом месте, заданные A(4, 5) и B(-2, 7) — заданные точки

Дано 2PA = PB

∴ 4 PA²= PB²

∴4[ (x -4 )² + (y – 5)²] = (x + 2)² + (y – 7)²

∴ 4( x² – 8x + 16 + y² – 10y + 25) = x² + 4x + 4 + y² – 14y + 49

∴ 4x² – 32x +64 + 4y² – 40y + 100 = x² + 4x + 4 + y² – 14y + 49

∴ + 4x² 4 – 32x + 4y² — 40y + 100 — x² — 4x — 4 — y² + 14y — 49 = 0

∴ 3x² + 3y² – 36x – 26 y +111 = 0

Отсюда искомое уравнение геометрического места 3x² + 3y² – 36x – 26 y + 111 = 0

Пример – 25: 90 0 90 уравнение 90 геометрическое место точек, расстояние которых от точки (2, -3) вдвое больше расстояния от (1, 2).

Решение:

Пусть P(x, y) — точка на геометрическом месте, данные A(2, -3) и B(1, 2) — заданные точки

Дано PA = 2 PB

∴ PA²= 4 PB²

∴ (x – 2 )² + (y + 3)² = 4[ (x – 1)² + (y – 2)²]

∴ x² – 4x + 4 + y² + 6y + 9 = 4[ x² – 2x + 1 + y² – 4y + 4]

∴ x² – 4x + 4 + y² + 6y + 9 = 4x² – 8x + 4 + 4y² – 16y + 16

∴ 4x² – 8x + 4 + 4y² – 16y + 16 – x² + 4x – 4 – y² – 6y – 9 = 0

∴ 3x² + 3y² – 4x – 22 y + 7 = 0

Отсюда искомое уравнение геометрического места 3x² + 3y² – 4x – 22 y + 7 = 0

Пример – 26:

Найдите уравнение геометрического места точки такое, что разность квадратов ее расстояний от точек (5, 0) и (2, 3) равна 10.

Решение:

Пусть P(x, y) — точка на геометрическом месте, заданные A(5, 0) и B(2, 3) — заданные точки

Дано PA² – PB² = 10

∴ [(x – 5 )² + (y – 0)² ] – [(x – 2)² + (y – 3)²] = 10

∴ ( x² – 10x + 25 + y²) – (x² – 4x + 4 + y² – 6y + 9) = 10

∴ x² – 10x + 25 + y² – x² + 4x – 4 – y² + 6y – 9 – 10 = 0

∴ – 6x + 6y + 2 = 0

∴ 3x – 3y – 1 = 0

Следовательно, требуемое уравнение геометрического места : 3x – 3y – 1 = 0

Пример – 27:

Найдите уравнение геометрического места точки так, что сумма квадратов ее расстояний от точек (2, -3) и (-1, -2) равна 15.

Решение:

Пусть P(x. y) будет точкой на геометрическом месте, заданы A(2, -3) и B(-1, -2) заданные точки

Дано PA² + PB² = 15

∴ [(x – 2 )² + (y + 3)² ] + [(x + 1)² + (y + 2)²] = 15

∴ x² – 4x + 4 + y² + 6y + 9 + x² + 2x + 1 + y² + 4y +4 – 15 = 0

∴ 2x² + 2y² – 2x +10y + 3 = 0

Следовательно, требуемое уравнение геометрического места : 2x² + 2y² – 2x +10y + 3 = 0

Пример – 28:

6), B(-1, 2) и C(4, -3) — три заданные точки.

Найдите уравнение геометрического места точек P такое, что PA² + PC² = AB².

Решение:

Пусть P(x, y) будет точкой на геометрическом месте, Даны A(5, -6), B(-1, 2) и C(4, -3) заданы баллы

Учитывая PA² + PC² = AB²

∴ [(x – 5 )² + (y + 6)² ] + [(x – 4)² + (y + 3)²] = (-1 – 5)² + (2 + 6)²

∴ x² – 10x + 25 + y² + 12y + 36 + x² – 8x + 16 + y² + 6y +9 = 36 + 64

∴ 2x² + 2 y² – 18x + 18 y – 14 = 0 y² – 9x + 9y – 7 = 0

Следовательно, требуемое уравнение геометрического места x² + y² – 9x + 9y – 7 = 0

Пример – 29:

A(5, -6), B( -1, 2) и C(4, -3) — три заданные точки. Найдите уравнение геометрического места точек P такое, что PA² – PB² = 12,

Решение:

Пусть P(x, y) будет точкой на геометрическом месте, Даны A(5, -6), B(-1, 2) и C(4, -3) заданы точек

Задано PA² – PB² = 12

∴ [(x – 5 )² + (y + 6)² ] – [(x + 1)² + (y – 2)²] = 12

∴ (x² – 10x + 25 + y² + 12y + 36) – (x² + 2x + 1 + y² – 4y + 4) = 12

∴ x² – 10x + 25 + y² + 12y + 36 – x² – 2x – 1 – y² + 4y – 4 – 12 = 0

∴ – 12x + 16y + 44 = 0

∴ 3x – 4y – 11 = 0

Следовательно требуемое уравнение геометрического места : 3x – 4y – 11 = 0

Пример – 30 :

Найдите уравнение геометрического места точки, расстояние от которой до начала координат в три раза больше расстояния от x- ось.

Решение:

Пусть P(x.y) будет точкой на геометрическом месте, O(0.0) будет началом координат

Расстояние точки от оси x = y

∴ OP² = 9y²

∴ [(x – 0 )² + (y – 0)² ] = 9Y²

∴ x ² + y ² = 9y²

∴ x ² — 8y ² = 0

Следовательно, требуется уравнение локуса x ² — 8y ² = 0

Наука> Математика> Координата GEO M Etry > Локус > Уравнение траектории

Уравнение траектории | Brilliant Math & Science Wiki

Найдите геометрическое место точек PPP такое, что сумма квадратов расстояний от P PP до A AA и от P PP до B, B, B, где AAA и BBB — две фиксированные точки на плоскости, является фиксированной положительной константой. 92 4×2+4y2=l2
Стержень длиной lll скользит своими концами по осям xxx и yyy.
Найдите геометрическое место его середины.
Опишите геометрическое место точек на плоскости, равноудаленных от прямой и фиксированной точки, не лежащей на этой прямой. 2},x2+(y-2a)2, поэтому уравнение принимает вид 92=0,x2=0 или x=0,x=0,x=0, что дает прямую, перпендикулярную исходной линии, проходящей через точку; это имеет смысл и с геометрической точки зрения. □_\квадрат□
прямой парабола круг эллипс гипербола
Геометрическое место точек в плоскости xyxyxy, равноудаленных от прямой 12x−5y=12412x — 5y = 12412x−5y=124 и точки (7,−8)(7,-8)(7, −8) равно __________.\text{\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_}.__________.
Найдите геометрическое место всех точек P PP на плоскости так, чтобы сумма расстояний PAPAPA и PBPBPB была фиксированной константой, где AAA и BBB — две фиксированные точки на плоскости.
После перемещения и вращения мы можем предположить, что A=(−a,0) A = (-a,0)A=(−a,0) и B=(a,0),B = (a,0) ,B=(a,0), и пусть константа равна c. 2 = 4ax.d12−d22=4ax. Уравнение локуса равно 92>0,c2−4a2>0, это уравнение эллипса. □_\квадрат□
Обратите внимание, что если a=0,a=0,a=0, это описывает окружность, как и ожидалось (A(A(A и BBB совпадают).).).
Прямая Круг Гипербола Контактная сеть Невырожденная парабола Некруглый эллипс Конечное множество точек Ни один из вышеперечисленных 92Р2. Каково геометрическое место точек, для которых отношение расстояний от AAA и BBB всегда равно λ:1\lambda:1λ:1, где λ\lambdaλ — положительное действительное число, не равное 1?1?1?
геометрия — Найдите геометрическое место точки $P$, лежащей на окружности.
спросил 2 года, 4 месяца назад
Изменено 2 года, 4 месяца назад
Просмотрено 135 раз
$\begingroup$
ВОПРОС: Рассмотрим окружность радиусом $1$ с центром в точке $(0,1)$. Из этого начального положения круг катится вдоль положительной оси абсцисс без проскальзывания. Найдите геометрическое место точки $P$ на окружности окружности, которая находится в начале координат в начальном положении окружности.
МОЯ ПОПЫТКА: Прошу прощения, этот вопрос уже задавали. Но я не смог понять объяснение. Я применил концепцию, что независимо от того, где находится круг, расстояние $P$ от (тогдашнего) центра круга всегда равно радиусу, $1$. Для этого я сначала нашел геометрическое место центра, которое явно равно $y=1$. Но это не помогает. Я не понимаю, как подступиться к этой проблеме. Я думаю, что должен быть какой-то более разумный способ решить эту проблему. Кто-нибудь может мне помочь?
Спасибо.
геометрия
круги
геометрическое место
$\endgroup$
3
$\begingroup$
Пусть центр находится в точке $(\theta,1)$. Чтобы достичь этого положения, круг должен повернуться на угол $\theta$ по часовой стрелке. Следовательно, абсолютное положение $P$ равно положению центра плюс положение $P$ относительно центра, 92}+2k\pi.$$
$\endgroup$
$\begingroup$
Ваше местонахождение — это красивая форма, называемая циклоидой
На самом деле вам лучше изучить приведенное там объяснение.
Кстати, лучший способ описать это с помощью параметрического уравнения.
Подсказка: для поворота на угол $\theta$ этой окружности рассмотрим точку, в которой окружность касается оси x. Если бы вы провели радиус из этой точки, какой угол он образовал бы с осью x?
$\endgroup$
$\begingroup$
Когда круг совершает полный оборот по часовой стрелке, он смещается вправо на длину своего периметра, если не скользит.
Если мы используем $\theta$ для угла поворота и $p = 2 \pi r$ для периметра круга радиуса $r$, помня, что $2 \pi$ радиан — это полный оборот, $$\theta = 2 \pi \frac{x}{p} = 2 \pi \frac{x}{2 \pi r} = \frac{x}{r}$$
Местоположение точки, когда $(x, r)$ является центром окружности, а $\theta$ измеряется по часовой стрелке, а точка, находящаяся в начале координат, когда $x = 0$ и $\theta = 0$, равна $$\begin{случаи} x_p = x — r \sin\theta \\ y_p = r — r \cos\тета\\ \end{case}$$
Чтобы найти геометрическое место точки как функцию положения $x$ или угла поворота $\theta$, все, что вам нужно сделать, это подставить другое в пару уравнений.
В данном конкретном случае $r = 1$, поэтому $\theta = x$: $$\begin{случаи} x_p = \тета — \sin\тета \\ y_p = 1 — \cos\тета\\ \end{cases} \quad \iff \quad \begin{cases} х_р = х — \sin х \\ y_p = 1 — \cos х \end{case}$$
$\endgroup$
2
Твой ответ
Зарегистрируйтесь или войдите в систему
Зарегистрируйтесь с помощью Google
Зарегистрироваться через Facebook
Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль
Опубликовать как гость
Электронная почта
Требуется, но не отображается
Опубликовать как гость
Электронная почта
Требуется, но не отображается
Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie
.
Геометрическое место уравнения
ЛОКУС УРАВНЕНИЯ
В В главе 1 этого курса рассматриваются методы анализа линейных уравнений. представлены. Если группа значений x и y [или упорядоченных пар, P(x,y)], которые удовлетворяют заданное линейное уравнение строят в системе координат, результирующий график является прямой линией.
Когда уравнения более высокого порядка, такие как
ар встречаются, результирующий график не является прямой линией. Тем не менее, точки чьи координаты удовлетворяют большинству уравнений относительно x и y, обычно не разбросаны в случайном поле. Если значения нанесены на график, они будут казаться следовать линии или кривой (или комбинации линий и кривых). Во многих текстах график уравнения называется кривой, даже если это прямая линия. Эта кривая называется геометрическим местом уравнения. Геометрическое место уравнения представляет собой кривая, содержащая эти точки, и только те точки, координаты которых удовлетворяют уравнение.
В раз кривая может быть определена набором условий, а не уравнение, хотя уравнение может быть получено из заданных условий. Тогда рассматриваемая кривая будет геометрическим местом всех точек, соответствующих условиям. За Например, можно сказать, что окружность является геометрическим местом всех точек на плоскости, которая фиксированное расстояние от фиксированной точки. Прямая линия может быть определена как геометрическое место всех точек плоскости, равноудаленных от двух фиксированных точки. Метод выражения набора условий в аналитической форме дает уравнение. Составим набор условий и переведем их в уравнение.
ПРИМЕР: Каково уравнение кривой, являющейся геометрическим местом всех точек, равноудаленных от двух точек (5,3) и (2,1)?
РЕШЕНИЕ: Сначала, как показано на рис. 2-2, выберите точку имеющие координаты (x, y). Напомним из главы 1 этого курса, что расстояние между этой точкой и (2,1) равно
Расстояние между точкой (x,y) и (5,3) равно
Приравнивая эти расстояния, так как точка должна быть равноудаленных от двух заданных точек, имеем
Возводя обе стороны в квадрат, получаем
Расширение, у нас есть
Отменив и собрав сроки, мы видим, что
Это уравнение прямой с наклоном минус 1,5 и точка пересечения y + 7,25.
Рисунок 2-2. Геометрическое место точек, равноудаленных от двух заданных точки.
ПРИМЕР: Найдите уравнение кривой, которая является геометрическим местом все точки равноудалены от прямой x = — 3 и точки (3,0).
РЕШЕНИЕ. Как показано на рисунке 2-3, расстояние от точка (x,y) на кривой до линии x = -3 равна
Расстояние от точки (x,y) до точки (3,0) равно
Приравнивание двух расстояний дает
Возведение в квадрат и расширение обеих сторон дает
Отмена и сбор условий дает
— уравнение параболы.
Рисунок 2-3.-Парабола.
ПРИМЕР: Каково уравнение кривой, являющейся геометрическим местом всех точек, в которых отношение его расстояния от точки (3,0) к ее расстояние от линии x = 25/3 равно 3/5? См. рис. 2-4.
РЕШЕНИЕ: Расстояние от точки (x,y) до точки (3,0) равно
Расстояние от точки (x,y) до линии x = 25/3 равно
Рисунок 2-4. -Эллипс.
С

, затем
Квадрат обе стороны и расширяясь, мы имеем

Коллекционирование терминов и транспонирования, мы видим, что
Разделение с обеих сторон по 16, у нас

Это есть уравнение эллипса.
ПРАКТИКА ПРОБЛЕМЫ:
Найти уравнение кривой, являющейся геометрическим местом всех точек, равноудаленных от следующее:
л. Точки (0,0) и (5,4).
2. Точки (3, — 2) и ( — 3,2).
3. Линия x = — 4 и точка (3,4).
4. Точка (4,5) и линия y = 5x — 4.
ПОДСКАЗКА: Используйте стандартную формулу расстояния, чтобы найти расстояние от точки P(x,y) и точка P(4,5). Затем используйте формулу для нахождения расстояния от указать на линию, данную в главе 1 этого курса, чтобы найти расстояние от P(x,y) в заданную строку. Запишем уравнение прямой в виде Ах + Ву + С=О.
ОТВЕТА:
Геометрическое место движущейся точки – объяснение и примеры
Геометрическое место движущейся точки – это путь, по которому следует данная точка, когда она движется с определенными ограничениями.
Определенные параметры заставляют геометрическое место образовывать геометрические объекты с заметными свойствами.
В этом разделе мы рассмотрим:
Что такое локус в геометрии?
Геометрические теоремы
Что такое геометрическое место в геометрии?
Представьте, что вы берете мелок, кладете кончик на лист бумаги, а затем водите кончиком по бумаге. Таким образом вы проведете линию и сможете быстро сказать, где был кончик карандаша.
Теперь назовите бумагу плоскостью, а кончик — точкой. Тогда эквивалентом локуса в этом мысленном эксперименте является цветная линия, проведенная карандашом.
Хотя термин «локус» (и его аналог во множественном числе «локусы») несколько устарел, по сути, он относится к набору точек, в которых может быть найдена точка с определенными ограничениями. Использование терминологии локуса — еще один способ определения определенных геометрических объектов.
В более современные времена математики будут чаще ссылаться на бесконечные множества, отвечающие определенным критериям, чем на геометрическое место движущейся точки, отвечающей определенным критериям.
Геометрические теоремы
В геометрии есть шесть хорошо известных геометрических теорем. Каждый описывает ограничение на движение точки и идентифицирует геометрический объект локуса.
Теорема о геометрическом местоположении 1
Первая теорема о геометрическом местоположении дает нам точку A, движущуюся с ограничением, что она всегда находится на фиксированном расстоянии $r$ от точки B.
Эта точка описывает окружность. То есть геометрическое место такой точки представляет собой окружность.
По определению, окружность — это множество всех точек, равноудаленных от другой точки. Следовательно, имеет смысл, что геометрическое место A также является окружностью.
Теорема о геометрическом местоположении 2
Вторая теорема о геометрическом местоположении дает нам точку A, которая всегда находится на фиксированном расстоянии $r$ от прямой $m$.
Геометрическое место — это путь A, состоящий из двух прямых по обе стороны от $m$, каждая из которых находится на расстоянии $r$ от исходной прямой. Обе эти линии будут параллельны $m$.
Теорема о геометрическом местоположении 3
Третья теорема о геометрическом местоположении дает нам точку A, которая всегда находится на одном и том же расстоянии от двух других точек, B и C. C и делит отрезок, соединяющий их пополам. То есть геометрическое место A является серединным перпендикуляром к отрезку BC.
Геометрическая теорема 4
Предположим, у нас есть точка A, которая всегда равноудалена от двух параллельных прямых, $m$ и $n$. Четвертая теорема о геометрическом месте говорит нам, что путь, очерченный A, представляет собой третью параллельную прямую, $l$, которая параллельна и $m$, и $n$ и находится ровно посередине между ними.
Геометрическое место Теорема 5
Для заданного угла ABC геометрическое место точки D, которая всегда равноудалена от прямых BA и BC и лежит внутри угла, является биссектрисой угла ABC.
Теорема о геометрическом местоположении 6
Шестая теорема о геометрическом местоположении по сути является расширением пятой теоремы о геометрическом местоположении. Если у нас есть две прямые, $m$ и $n$, которые пересекаются в точке A, то геометрическим местом точки B, которая всегда равноудалена от $m$ и $n$, является пара перпендикулярных прямых, которые пересекаются в точке A и делят пополам. четыре угла, образованные $m$ и $n$.
Примеры
В этом разделе рассматриваются распространенные проблемы, связанные с локусами точек, и их пошаговые решения.
Пример 1
Предположим, что C — движущаяся точка, всегда равноудаленная от двух точек, A и B. Затем предположим, что E — движущаяся точка, всегда равноудаленная от B и другой точки D. Если A, B и D лежат на прямой , какова связь между локусами C и E?
Пример 1 Решение
Сначала мы построим линию с точками A, B и D на ней. Мы разместим их так, чтобы A и D находились на разных расстояниях от B.
Нам нужно построить точку C, которая всегда находится на одном и том же расстоянии от A и B. Точка на линии, которая удовлетворяет этому ограничению, является центром сегмента. АБ. Как мы знаем из третьей теоремы о геометрическом месте, точка C будет очерчивать серединный перпендикуляр к AB.
Точно так же мы можем рассмотреть точку E, которая всегда равноудалена от B и D. Из третьей теоремы о геометрическом месте мы знаем, что E будет очерчивать серединный перпендикуляр к BD.
Поскольку точки A, B и D лежат на одной прямой, две биссектрисы параллельны друг другу. То есть локусы для C и E будут параллельными линиями.
Пример 2
Построить геометрическое место движущейся точки A, которая всегда равноудалена от двух параллельных прямых $m$ и $n$.
Пример 2 Решение
Геометрическим местом этой точки будет прямая, параллельная $m$ и $n$, а линия кратчайшего расстояния от любой точки этой прямой до $m$ или $n$ будет быть одинаковой длины.
Чтобы построить эту прямую, нам сначала нужно построить прямую, перпендикулярную $m$, которая также будет перпендикулярна $n$.
Теперь мы можем построить серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему $m$ и $n$. Поскольку эта прямая перпендикулярна прямой, перпендикулярной $m$ и $n$, эта прямая будет параллельна двум исходным прямым.
Поскольку эта прямая делит пополам и перпендикулярный к $m$ отрезок пересекает $n$, она всегда равноудалена от двух прямых, как и требовалось.
Пример 3
Для окружности $c$ найдите геометрическое место движущейся точки A, которая всегда находится на расстоянии $k$ от $c$, где $k$ меньше $r$, радиус окружности.
Пример 3 Решение
Напомним из второй теоремы о геометрическом месте, что геометрическое место точки, которая всегда равноудалена от прямой, следует двум прямым, параллельным исходной. Каждый будет находиться на противоположной стороне линии и находиться на одинаковом расстоянии от нее.
Здесь можно применить аналогичную концепцию. Во-первых, вне круга у нас будет еще один круг с тем же центром, что и у первого, и радиусом $r$+$k$. Таким образом, каждая точка на этом большем круге будет находиться на расстоянии $k$ от исходного круга.
Мы также построим окружность внутри исходной окружности с тем же центром и радиусом $r$-$k$, который, как мы знаем, больше нуля.
Пример 4
По показанной кривой $m$ постройте геометрическое место движущейся точки, которая всегда равноудалена от $m$.
Пример 4 Решение
Сначала нам нужно построить прямую, перпендикулярную $m$ в точке A. Напомним, что мы делаем это, соединяя A с любой точкой на $m$. Затем мы копируем угол, который эта новая линия образует с $m$, и строим линию, которая проходит через точку A и превращает два конгруэнтных угла в альтернативные углы.
Однако помните из теоремы о геометрическом месте 2, что геометрическое место на самом деле будет двумя прямыми по разные стороны от прямой $m$.
Теперь нам нужно построить прямую, перпендикулярную прямой $n$. Обозначьте точку пересечения перпендикулярной линии и $m$ буквой D.
Теперь постройте окружность с центром D и радиусом DA. Назовем второе пересечение перпендикулярной линии и этой окружности E.
Наконец, мы создаем вторую прямую, параллельную $m$, которая проходит через точку E. Мы можем сделать это, как раньше, или мы можем создать линию, перпендикулярную перпендикуляру. прямой в точке E.
Пример 5
Найдите геометрическое место движущейся точки A, которая всегда находится на расстоянии $k$ от одной из двух окружностей, $c$ и $d$, и всегда находится вне круги.
No related posts.

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике — Планиметрия

Геометрическое место точек — презентация онлайн

1. Тема урока:

3. Цель урока:

5. Задача:

6. Определение:

7. Геометрическое место точек,

8. Геометрическое место точек,

9. Геометрическое место точек,

10. Геометрическое место точек,

11. Геометрическое место точек,

12. Геометрическое место точек,

13. Задание 1

14. Решение:

15. Задание 2

16. Решение:

17.

18. Решение:

19. Задание 3

20. Задание 4

21. Задание 5

22. Задание 5

23. Задание 5

24. Задание 5

25. Задание 5

26.

27. Построение параболы.

28. Как разбить клумбу?

29. Геометрическое место точек,

30. План построения ГМТ.

31. Построение ГМТ

34.

35. Уравнение ГМТ

36. Конические сечения

37. Конические сечения

38. Конические сечения

39. Кривые второго порядка

41. Эксцентриситет эллипса

43. Орбиты движения небесных тел

45. Домашнее задание

46. Домашнее задание

§ 20.

Геометрическое место точек — презентация на Slide-Share.ru 🎓

(adsbygoogle=window.adsbygoogle||[]).push({}); Первый слайд презентации

Слайд 2

Слайд 3

Слайд 4

Слайд 5

Слайд 6

Слайд 7

Слайд 8

Слайд 9

Слайд 10

Слайд 11

(adsbygoogle=window.adsbygoogle||[]).push({}); (adsbygoogle=window.adsbygoogle||[]).push({}); Слайд 12

Слайд 13

Слайд 14

Слайд 15

Слайд 16

Слайд 17

Слайд 18

Слайд 19

Слайд 20

Слайд 21

Слайд 22

Слайд 23

Слайд 24

Слайд 25

Слайд 26

Слайд 27

Слайд 28

Слайд 29

Слайд 30

Слайд 31

Слайд 32

Слайд 33

Слайд 34

Слайд 35

Слайд 36

Слайд 37

Первый слайд презентации

Слайд 12