Градиент функции: Градиент функции онлайн

Градиент функции — Энциклопедия по экономике

Теперь рассмотрим случай оптимизационного исследования. Пусть существует единственный критерий функционирования системы U (st, s2) скажем, среднее за весь период планирования потребление с в расчете на душу населения. Надо найти с помощью имитационных экспериментов оптимальный вариант управлений sx и s2. Это можно сделать с помощью различных градиентных методов поиска экстремума функции U (s1 s2), причем построение градиента функции U (sb s2) основывается на экспериментальном подсчете значений этой функции в нескольких точках (SL s2). В теории планирования эксперимента разработаны методы разумного выбора таких точек.  [c.286]
Здесь V/(x ) — градиент функции f(x) g(x ) — якобиан г-мерной вектор-функции (х, у ) — седловая точка функции F(x, у).  [c.133]

Исторически наибольшую трудность на пути к эффективному правилу обучения многослойных персептронов вызвала процедура эффективного расчета градиента функции ошибки dE/t%v.  [c. 58]

Следовательно, в точке С — 0 градиенты функций /Q и Ф должны быть равны по значению и противоположны по знаку. Достаточным условием эквивалентности является выполнение условий стационар-  [c.350]

Заметим, кроме того, что не все задачи выпуклого программирования приспособлены к использованию ряда известных эффективных методов решения. Применение таких методов выпуклого программирования, как методы возможных направлений, метод секущих плоскостей и других методов, связанных с вычислением градиентов функций, определяющих ограничения задачи, предполагает выпуклость каждой из этих функций в соответствующую сторону (в зависимости от знака неравенства).  [c.70]

Рассмотрим задачу (6.1) — (6.3). Градиент целевой функции (6.1) — вектор линейной формы =a0 = aoj . Градиенты функций, определяющих ограничения (6.2), —векторы строки матрицы А а.г = ац . Градиенты левых частей квадратичных ограничений (6.3) имеют вид  [c.130]

Заметим, что в [304] рассматривается более сложная задача безусловной минимизации сложной функции R(f(x), x) без ограничений по наблюдениям искаженных ошибками компонент вектор-функции f, их градиентов, функции У и ее градиента.

Предполагается, что ошибки наблюдения независимы между собой и имеют нулевое математическое ожидание. Для решения задачи предлагается алгоритм градиентного типа. Однако условия сходимости соответствующей схемы стохастической аппроксимации в [304] не приводятся.  [c.376]

Эта форма алгоритма требует вычисления только градиента функции / (ж) и решения (видимо, достаточно точного) одномерной задачи min / (x+s-r). Кроме того, в процессе решения используется матрица Н. Эта форма алгоритма, видимо, не так чувствительна к ошибкам округления, как некоторые другие, более экономные с точки зрения объема памяти и числа операций. Однако  [c.474]

Смысл этого подхода состоит в использовании характеристик целевой функции в текущей точке для определения направления движения. Затем в этом направлении происходит перемещение в рамках области возможных решений в новую точку, и процесс повторяется. Иногда для описания этого подхода используется термин «восхождение на холмы». Выбор направления может быть сделан посредством изучения или оценки градиента функции (отсюда термин «метод градиентов»), или другими способами (методы прямого поиска).

 [c.456]

Градиент функции отклика может быть задан выражением  [c.270]

Если в точке х имеется информация о поведении градиента функции f(x), например  [c.178]

Опишите взаимосвязь между градиентом функции двух переменных и ее линией уровня.  [c.119]

Напомним, что линией уровня функции называется множество точек из ее области определения, в которых функция принимает одно и то же фиксированное значение. Градиентом функции f(x) называется вектор  [c.24]

Идея данного метода основана на том, что градиент функции указывает направление ее наиболее быстрого возрастания в окрестности той точки, в которой он вычислен. Поэтому, если из некоторой текущей точки х перемещаться в направлении вектора V/(j (1)), то функция / будет возрастать, по крайней мере, в некоторой окрестности х Следовательно, для точки jt(2 =jt(1)+A,V/(jt(1)), (A,>0), лежащей в такой окрестности, справедливо неравенство f(x( ))[c.87]

Ограничение, которое в текущей точке выполняется как равенство, называют активным. Множество номеров активных ограничений в точке х будем обозначать как I(x ). В примере, изображенном на рис. 2.5, I(x(q)) = l, 3 . Также из рисунка видно, что все допустимые направления, исходящие из точки х должны образовывать тупые углы с векторами градиентов функций, задающих активные ограничения в данной точке. Последнее условие может быть выражено через задание ограничений на значения скалярных произведений вектора направления s на градиенты функции ограничений  [c.96]

Сформулированные условия являются также и необходимыми условиями оптимальности для этой задачи, если найдется такой потребительский набор h, что u(h )>u(x) (выполнение данного условия гарантировано свойством локальной ненасыщаемости) и градиент функции и(.) не равен 0.  [c.69]

При доказательстве второй теоремы благосостояния (о реализуемости Парето-оптимума как равновесия), использующем дифференцируемость, условия на градиенты функций нужны для того, чтобы применить Теорему……….. к задаче…. …………..  [c.201]

Другими словами, градиент функции г>г(-), вычисленный для набора благ, совпадающего с рыночным спросом потребителя, равен вектору рыночных цен этих благ. Таким образом, градиент функции г>г(-) представляет собой обратную функцию спроса рг(жг) г-ro потребителя — вектор цен первых I благ, при котором потребитель предъявляет спрос именно на этот набор благ.  [c.222]

Точка М0 R» называется стационарной точкой функции f(M), если в этой точке градиент (функции f(M) является нулевым вектором, т. е.  [c.141]

Главный минор матрицы 71 Градиент функции 138 Градиентный метод 234 Граница множества 77 Грань множества 30 График функции 16 Граф состояний 320 Графы 258  [c.327]

Важность изложенного выше алгоритма ba k-propagation в том, что он дает чрезвычайно эффективный способ нахождения градиента функции ошибки дЕ/дя. Если обозначить общее число весов в сети как W, то необходимое для вычисления градиента число операций растет пропорционально W, т. е. этот алгоритм имеет сложность O(W). Напротив, прямое вычисление градиента по формуле  [c.59]

Мы не затронули здесь более изощренных методов обучения, таких как метод сопряженного градиента, а также методов второго порядка, которые используют не только информацию о градиенте функции ошибки, но и информацию о вторых производных. Их разбор вряд ли уместен при первом кратком знакомстве с основами нейрокомпьютинга.  [c.62]

Пусть как всегда W — число синаптических весов сети (weights), a P — число обучающих примеров (patterns). Тогда для однократного вычисления градиента функции ошибки дЕ/ дм  [c.62]

АНТИГРАДИЕНТ [antigradient] — вектор, противоположный градиенту функции и, следовательно, направленный в сторону ее наискорейшего убывания. См. Градиентные методы.  [c.23]

Таким образом, задача потребительского выбора может быть описана как в виде ЗМП (18)-(20), так и в виде задачи на условный экстремум (18),(21). С математической точки зрения это разные задачи, однако они имеют одно и то же решение (х,0,х,°) — потребительский набор, который максимизирует (глобально) функцию полезности м(дг,,х2) и удовлетворяет бюджетному ограничению/ х / /как равенству ptxt0+pjXf=I.

На рис. 8.8 также показаны градиенты функции полезности м(х,, 2) и функции ограничения/>,х +/>2л 2-/ в точке (x,°, t20) grad(x,°,A20) и (pt,p2). Эти градиенты расположены на одной прямой, проходящей через точку (х,°,х20), что, как уже отмечалось, эквивалентно касанию линии безразличия и бюджетной прямой в точке (х,°,х2°).  [c.132]

Условие (2.13) означает равенство нулю скалярного произведения градиентов функции / точках х +1 и х Геометрически оно может быть интерпретировано как перпенди-  [c.88]

С теоретической точки зрения задача налоговой реформы состоит в поиске таких допустимых изменений в налоговой системе, которые увеличивают благосостояние общества6. Другими словами, налоговая система должна быть устроена таким образом, чтобы обеспечивать движение вдоль градиента функции общественного благосостояния из сложившегося равновесия в новое на допустимом производственном множестве. При этом формулировка задачи поиска параметров налоговой реформы зависит от выбираемого критерия оптимальности.

 [c.27]

Как и в случае классической модели, в задаче потребителя во внутреннем равновесии градиент его функции полезности коллинеарен вектору его индивидуальных цен р. С другой стороны в Парето-оптимуме все градиенты функций полезности коллинеарны. Тем самым все рг коллинеарны, т.е. система налогов неискажающая.  [c.320]

Отметим, что уравнение (3.2) — это условие того, что бюджетная плоскость касается поверхности уровня функции полезности (градиент функции полезности сонаправлен с нормалью р к бюджетной плоскости).  [c.24]

7.4. Градиент функции.

Определение. Градиентом функции в точке называется вектор с координатами равными частным производным функции

z в точке и обозначается .

Градиент функции указывает направление наискорейшего роста функции, а максимальная скорость роста функции равна модулю градиента.

Скалярное произведение равно производной функции по направлению в точке . Действительно Величина в правой части принимает наибольшее значение при , т.е. когда совпадает по направлению с . В свою очередь частные производные функции и является производными функции z в направлении координатных осей OX и OY.

;

.

7.5. Экстремумы функции двух переменных. Необходимое и достаточное условия существования экстремумов.

Пусть функция определена на множестве , точка является внутренней точкой множества D (принадлежит ему вместе с некоторой окрестностью)

Определение.

Точка называется точкой локального максимума (минимума) функции , если существует окрестность точки , для всех точек которой при ( ).

Точки локального максимума и локального минимума называются точками экстремума функции.

Теорема (необходимое условие экстремумов).

Если функция в точке имеет экстремум и в точке

существуют частные производные функции z, то эти частные производные

равны нулю, то есть .

Замечание. Обратное утверждение к теореме, вообще говоря, неверно. Из

того, что ещё не следует, что — точка экстремума. Это точка лишь «подозрительная» на экстремум. Такие точки называют стационарными. Экстремумы функции могут находиться либо в стационарных точках, либо в точках, где частные производные не существуют.

Теорема. (достаточное условие существование экстремума)

Пусть функция имеет непрерывные производные второго порядка в некоторой окрестности стационарной точки , тогда, если , то — точка экстремума, причем при в точке локальный минимум, при —

локальный максимум; если , то — не является точкой экстремума.

Замечание. Если , то вопрос о существовании экстремума в точке остается открытым (используются другие методы исследования).

Пример. Найти экстремумы функции

, значит в точке А экстремума нет; и , значит в точке В локальный минимум

Лекция 8.

Метод наименьших квадратов.

8.1. Метод наименьших квадратов

8.2.Применение метода наименьших квадратов (случай линейной зависимости).

8.3. Использование метода наименьших квадратов на фондовой бирже.

8.1. Метод наименьших квадратов.

Рассмотрим систему линейных уравнений (1) Предположим, что система (1) является результатом исследования, а вектор – результатом практических наблюдений. В каком случае можно утверждать, что фактические данные подтверждают теорию?

Случаи, когда удовлетворяет системе (1), то есть подтверждает теорию, встречаются редко. Будем считать, что не опровергает теорию, если является хотя бы примерным решением системы (1). В таком случае разность – является ошибкой системы. Ошибку S(x) всей системы (1) можно определить по крайней мере одним из трех способов:

1.

2.

3. .

Алгоритм поиска наименьшего значения функции , то есть наименьшей ошибки, является наиболее простым в первом случае, что объясняет популярность метода наименьших квадратов. Метод наименьших квадратов широко используется при анализе статических данных для выявления функциональной зависимости между наблюдаемыми величинами, причем количество наблюдаемых величин не имеет принципиального значения.

Исчисление

— Что такое градиент?

Задавать вопрос

спросил 3 года, 2 месяца назад

Изменено 3 года, 2 месяца назад

Просмотрено 723 раза

$\begingroup$

Мне сложно визуально понять, что такое градиент. Насколько я понимаю, это обобщение тангенциальных наклонов к более высоким измерениям и дает направление наибольшего подъема. У меня есть 4 разные картинки:

1) Из Академии Хана. Какой смысл иметь 2D-градиент, если ваша функция — 3D? И разве она не должна касаться функции? Для меня это имеет смысл только в том случае, если вы рассматриваете это как проекцию тангенциального вектора градиента на плоскость xy. Это правильно?

2) Из статьи на Medium, объясняющей множители Лагранжа. Я понимаю градиент для f, но я не могу визуально понять градиент g. Это самолет да?

3) Я построил несколько образцов из MacOS Grapher. Я предполагаю, что декартова форма векторного поля является вектором градиента. Почему стрелки направлены внутрь? Разве они не должны касаться кривой?

4) Наконец, я нарисовал трехмерную кривую. Не могли бы вы сказать мне, какой градиент правильный? А, В или С?

Любая помощь приветствуется. Извините за длинный пост, но я уже давно ломаю голову над этим. Заранее спасибо.

Редактировать: Изменен Легранд на Лагранжа.

• исчисление
• линейная алгебра

$\endgroup$

2

$\begingroup$

1. Функция является двумерной, т. е. принимает на вход два действительных числа. Областью определения функции является плоскость, поэтому градиент тоже живет в плоскости. Да, график рисуется в трехмерном пространстве, но это потому, что вам нужны три измерения для точного представления двумерного ввода и одномерного вывода.

   Если вместо этого вы визуализируете функцию как просто число для каждой точки на плоскости (это скучно и не просто рисовать, но в каком-то смысле более точно отражает то, что происходит на самом деле), то, возможно, эта интуиция работает немного лучше. Да, в вашем примере с графиком градиент является своего рода проекцией самого крутого касательного вектора в каждой точке, но на самом деле все наоборот.

2. Это множители Лагранжа, а не Легранда. И не так уж странно, что вы не очень понимаете рисунок, потому что я его почти не понимаю. По крайней мере, без сопроводительного объяснения. Вроде нарисовали график функции $f$ (как в 1.) и ограничение $g(x_1, x_2) = c$, но опять же, стрелки действительно должны быть в плоскости $x_1x_2$, не касается графиков. 2-z$. Принимая градиент это функция $g$, мы получаем $[-2x, -2y, -1]$. Обратите внимание, что если вы начертите это векторное поле (измените знак компонента $z$ по сравнению с вашим рисунком), то векторы будут ортогональны поверхности (см. 4.) и направлены внутрь, потому что это направление движения поверхности, если вы увеличьте $0$ в правой части $g(x, y, z) = 0$.

3. Это поверхность уровня некоторой функции трех переменных или это график функции двух переменных? Если это график функции двух переменных, думаю, вы уже знаете мой ответ: A ближе всего, но его нужно спроецировать вниз на плоскость $xy$.

   С другой стороны, если у нас есть некоторая функция $f$ от трех переменных, и этот график является множеством уровня $f(x, y, z) = c$ для некоторой константы $c$, то B и C на самом деле равны градиенты $f$. В каком-то смысле оба они верны: если $f(x, y, z) = c$ задает поверхность, а $B$ — это градиент $f$, то $-f(x, y, z) = -c$ дает ту же поверхность, а $C$ — это градиент $-f$. По крайней мере, если вы переместите его так, чтобы он начинался с графика.

   Это связано с тем, что градиент указывает в направлении наибольшего возрастания функции. А перемещение по набору уровней вообще не меняет значения функции. Таким образом, предполагая дифференцируемость, движение по набору уровней и движение в направлении наибольшего увеличения должно быть ортогональным. Таким образом, градиент $f$ ортогонален любому из его множеств уровня. Направление градиента говорит вам, в каком направлении будет двигаться набор уровней, если вы увеличите константу $c$, а размер градиента говорит вам, как быстро будет двигаться поверхность в этой точке.

   Конечно, такая функция, как эта $f$, скорее всего, будет иметь градиенты повсюду в пространстве, а не только на поверхности уровня (точно так же, как функции, которые принимают два входа, имеют градиент повсюду на плоскости). Эти другие градиенты ортогональны другим наборам уровней.

$\endgroup$

2

Зарегистрируйтесь или войдите в систему

Зарегистрируйтесь с помощью Google

Зарегистрироваться через Facebook

Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie

. Многомерное исчисление

. Как градиент можно рассматривать как функцию?

$\begingroup$

Если функция $f(x,y)$ выводит значение в третьем измерении, например, $z=f(x,y)$. Как мы можем рассматривать градиент $f$ как функцию от $x$ и $y$, когда выход градиента является вектором в двух измерениях $x$ и $y$, которые являются размерностями входов. Я предполагаю, что мой вопрос в том, нормально ли, чтобы функция отображала размеры своих входов?

• многомерное исчисление
• функции

$\endgroup$

3

$\begingroup$

Функцию $F$ можно представить как машину, которая принимает входные данные из одного набора, скажем, $X$, и выводит элементы из другого набора, скажем, $Y$. Функция выводит один элемент для каждого входа, и мы пишем это $F : X \rightarrow Y$. 2$, где для каждого входа $(x,y)$ , он выводит элемент $\left( \frac{\partial f}{\partial x}(x,y), \frac{\partial f}{\partial y}(x,y) \right)$. 92$. Эти пары чисел мы называем векторами, и они имеют очень геометрическую интерпретацию: у них есть длина и направление. В частности, градиент соответствует направлению и величине наискорейшего подъема.

См. Также:

https://en.wikipedia.org/wiki/Vector-valued_function

Эта ссылка Академии Хана, которую я нашел, также очень полезна, поскольку он также подумал о том же примере, что и я: https://www.khanacademy.org/math/multivariable-calculus/multivariable-derivatives/gradient-and-directional-derivatives/v/gradient-and-graphs 92$ следующим образом:

Не вводя еще одну ось, мы также можем просто присвоить разным диапазонам значений функций другой цвет, так что большое значение может быть очень темным, а низкое значение может быть очень светлым или наоборот. Мы узнаем одну и ту же функцию:

Разница между $(1)$ и $(2)$ заключается в понятии направления. 2+x )$

с градиентом $grad(f)(x,y)=(2x,2y)$

$\endgroup$

$\begingroup$

Если функция $f(x,y)$ выводит значение в третьем измерении, например, $z=f(x,y)$.

Как правило, это , а не , как работает функция нескольких переменных. Если у вас есть функция, которая принимает два действительных числа на вход и выдает одно вещественное число на выходе, то вы можете построить функцию в трех измерениях, используя два измерения для ввода и одно для вывода. Однако рассматривать это как определение функции или даже рассматривать как «типичную» функцию было бы ошибкой.

… нормально ли, что функция сопоставляет размеры своих входов?

Да, это «нормально» в том смысле, что вы часто будете сталкиваться с совершенно хорошими функциями с этим свойством. Есть также совершенно хорошие функции, которые отображают меньшее количество измерений, чем их входные данные, и совершенно хорошие функции, которые отображают больше измерений, чем их ввод. 2$. Конкретно, $$ \nabla F(x,y) = \begin{pmatrix}\frac{\partial F(x,y)}{\partial x} \\ \frac{\partial F(x,y)}{\partial y} \end{pматрица}. $$ См. также Что означает символ набла?

$\endgroup$

1

$\begingroup$

Тензоры играют здесь важную роль. Примеры включают обычные векторы в трехмерном пространстве. Матрицы.

Тензор в общем смысле — это функция, которая принимает векторы или единственные формы и возвращает действительное число. Кроме того, тензор является линейной функцией этих входных данных. Как и в случае с любой другой функцией, вы можете взять производную от тензора.

Например, предположим, что у вас есть матрица вращения, которая поворачивает точку в плоскости xy вокруг оси z. Матрица является тензором. Его вход представляет собой вектор. Линейные изменения на входе приводят к линейным изменениям на выходе.