График функции с дробью: График дробно-линейной функции: алгоритм построенние, анализ, примеры

График дробно-линейной функции: алгоритм построенние, анализ, примеры

1. Построение графика функции $y = \frac{x+1}{x-1}$ последовательными преобразованиями гиперболы $y = \frac{1}{x}$
2. Анализ асимптот
3. Алгоритм построения графика дробно-линейной функции
4. Примеры

Построение графика функции $y = \frac{x+1}{x-1}$ последовательными преобразованиями гиперболы $y = \frac{1}{x}$

Начнём исследование с построения графика для $y = \frac{x+1}{x-1}$.

Выделим целую часть в дроби: $y = \frac{x+1}{x-1} = \frac{(x-1)+2}{x-1} = 1+ \frac{2}{x-1}$

Согласно §47-48 данного справочника, эта функция последовательно получается из гиперболы

$$ y = \frac{1}{x} \xrightarrow{2f(x)} y = \frac{2}{x} \xrightarrow{2f(x-1)} y = \frac{2}{x-1} \xrightarrow{2f(x-1)+1} y = \frac{2}{x-1} +1 $$

Шаг 1. 2f(x) – функция $y = \frac{1}{x}$ растягивается в 2 раза по оси OY, получаем $y = \frac{2}{x}$

Шаг 2. 2f(x-1) – функция $y = \frac{2}{x}$ сдвигается вправо на 1 по оси OX, получаем $y = \frac{2}{x-1}$

Шаг 3. 2f(x-1)+1 — функция $ y = \frac{2}{x-1}$ сдвигается вверх на 1 по оси OY, получаем $y = \frac{2}{x-1}+1$.

Анализ асимптот

Итоговым графиком $y = \frac{x+1}{x-1}$ является гипербола.

Ветки гиперболы ограничены двумя прямыми, которые называют асимптотами.

Ветки на бесконечности стремятся к этим прямым, но никогда их не достигают.

Рассмотрим смещение асимптот при построении.

Для исходного графика $y = \frac{1}{x}$ асимптотами являются оси координат, x=0,y=0

Для графика $y = \frac{2}{x}$ оси координат остаются асимптотами.

Для графика $y = \frac{2}{x-1}$ происходит сдвиг вправо, асимптоты x=1,y=0

Для графика $y = \frac{2}{x-1}+1$ происходит сдвиг вверх, конечные асимптоты x = 1, y = 1

Асимптоты служат хорошим ориентиром для построения графика гиперболы.

В данном случае, достаточно построить гиперболу $y = \frac{2}{x}$ и переместить её параллельным переносом, заданным переносом точки пересечения асимптот из (0;0) в (1;1).

Алгоритм построения графика дробно-линейной функции

На входе

$$ y = \frac{ax+b}{cx+d}, c \neq 0, ad-bc \neq 0 $$

Шаг 1. Выделить целую часть из дроби и представить её в виде $y = \frac{A}{x+B}+C$

Шаг 2. Построить график $y = \frac{A}{x}$.

Шаг 3. Построить горизонтальную асимптоту x = -B.

Шаг 4. Построить вертикальную асимптоту y = C.

Шаг 5. Переместить исходный график $y = \frac{A}{x}$ параллельным переносом точки пересечения асимптот из (0;0) в (-B;C).

Если необходимо, отметить дополнительные точки, соединить кривой.

Гипербола $y = \frac{A}{x+B}+C$ построена.

Примеры

Пример 1. Постройте график функции $y = \frac{x+1}{x-3}$

Выделяем целую часть: $y = \frac{x+1}{x-3} = \frac{(x-3)+4}{x-3} = \frac{4}{x-3} +1$

Исходная гипербола $y = \frac{4}{x}$.

Асимптоты: x = 3, y = 1.

Получаем:

Пример 2. Постройте график функции $y = \frac{x}{x+2}$

Выделяем целую часть: $y = \frac{x}{x+2} = \frac{(x+2)-2}{x+2} = \frac{2}{x+2} +1$

Исходная гипербола $y = -\frac{2}{x}$. 2-7x+12} = \frac{2x(x-4)}{(x-3)(x-4)} = {\left\{ \begin{array}{c} \frac{2x}{x-3} \\ x \neq 4 \end{array} \right.} $$

$x \neq 4$ — исключенная точка.

Выделим целую часть:

$$ y = \frac{2x}{x-3} = \frac{2x-6+6}{x-3} = \frac{2(x-3)+3}{x-3} = \frac{3}{x-3} +2 $$

Исходная гипербола $y = \frac{3}{x}$.

Асимптоты: x = 3, y = 2.

Учитывая исключенную точку, получаем:

Дробная линейная функция на занятиях с репетитором по математике — Колпаков Александр Николаевич

Рассмотрим вопросы методики изучения такой темы, как «построение графика дробной линейной функции». К сожалению, ее изучение удалено из базовой программы и репетитор по математике на своих занятиях не так часто ее затрагивает, как хотелось бы. Однако, математические классы еще никто не отменял, вторую часть ГИА тоже. Да и в ЕГЭ существует вероятность ее проникновения в тело задачи С5 (через параметры). Поэтому придется засучить рукава и поработать над методикой ее объяснения на уроке со средним или в меру сильным учеником. Как правило, репетитор по математике вырабатывает приемы объяснений по основным разделам школьной программы в течение первых 5 -7 лет работы. За это время через глаза и руки репетитора успевают пройти десятки учеников самых разных категорий. От запущенных и слабых от природы детей, лодырей и прогульщиков до целеустремленных талантов.

Со временем к репетитору по математике приходит мастерство объяснений сложных понятий простым языком не в ущерб математической полноте и точности. Вырабатывается индивидуальный стиль подачи материала, речи, визуального сопровождения и оформления записей. Любой опытный репетитор расскажет урок с закрытыми глазами, ибо наперед знает, какие проблемы возникают с пониманием материала и что нужно для их разрешения. Важно подобрать правильные слова и записи, примеры для начала урока, для середины и конца, а также грамотно составить упражнения для домашнего задания.

О некоторых частных приемах работы с темой пойдет речь в данной статье.

С построения каких графиков начинает репетитор по математике?

Нужно начать с определения изучаемого понятия. Напоминаю, что дробной линейной функцией называют функцию вида . Ее построение сводится к построению самой обычной гиперболы путем известных несложных приемов преобразования графиков. На практике, несложными они оказываются только для самого репетитора. Даже если к преподавателю приходит сильный ученик, с достаточной скоростью вычислений и преобразований, ему все равно приходится рассказывать эти приемы отдельно. Почему? В школе в 9 классе строят графики только путем сдвига и не используют методов добавления числовых множителей (методов сжатия и растяжения). Какой график используется репетитором по математике? С чего лучше начать? Вся подготовка проводится на примере самой удобной, на мой взгляд, функции . А что еще использовать? Тригонометрию в 9 классе изучают без графиков (а в переделанных учебниках под условия проведения ГИА по математике и вовсе не проходят). Квадратичная функция не имеет в данной теме такого же «методического веса», какой имеет корень. Почему? В 9 классе квадратный трехчлен изучается досконально и ученик вполне способен решать задачи на построение и без сдвигов. Форма мгновенно вызывает рефлекс к раскрытию скобок, после которого можно применить правило стандартного построения графика через вершину параболы и таблицу значений. С такой маневр выполнить не удастся и репетитору по математике будет легче мотивировать ученика на изучение общих приемов преобразований. Использование модуля y=|x| тоже не оправдывает себя, ибо он не изучается так же плотно, как корень и школьники панически его боятся. К тому же, сам модуль (точнее его «навешивание») входит в число изучаемых преобразований.

Итак, репетитору не остается ничего более удобного и эффективного, как провести подготовку к преобразованиям с помощью квадратного корня. Нужна практика построений графиков примерно такого вида . Будем считать, что эта подготовка удалась на славу. Ребенок умеет сдвигать и даже сжимать/растягивать графики. Что дальше?

Далее стоит напомнить о том, как выглядит обратная пропорциональность и в каких четвертях располагается ее график в зависимости от знака коэффициента k.

Следующий этап – обучение выделению целой части. Пожалуй, это основная задача репетитора по математике, ибо после того, как целая часть будет выделена, она принимает на себя львиную долю всей вычислительной нагрузки на тему. Чрезвычайно важно подготовить функцию к виду, вписывающемуся в одну из стандартных схем построения. Также важно описать логику преобразований доступным понятным , а с другой стороны математически точно и стройно.

Напомню, что для построения графика необходимо преобразовать дробь к виду . Именно к такому, а не к
, сохраняя знаменатель. Почему? Сложно выполнять преобразования того графика, который не только состоит из кусочков, но еще и имеет асимптоты. Непрерывность используется для того, чтобы соединить две-три более-менее понятно передвинутые точки одной линией. В случае разрывной функции не сразу разберешь, какие именно точки соединять. Поэтому сжимать или растягивать гиперболу – крайне неудобно. Репетитор по математике просто обязан научить школьника обходиться одними сдвигами.

Для этого помимо выделения целой части нужно еще удалить в знаменателе коэффициент c.

Выделение целой части у дроби

Как научить выделению целой части? Репетиторы по математике не всегда адекватно оценивают уровень знаний школьника и, несмотря на отсутствие в программе подробного изучения теоремы о делении многочленов с остатком, применяют правило деления уголком. Если преподаватель берется за уголочное деление, то придется потратить на его объяснение (если конечно все аккуратно обосновывать) почти половину занятия. К сожалению, не всегда это время у репетитора имеется в наличии. Лучше вообще не вспоминать ни о каких уголках.

Существует две формы работы с учеником:
1) Репетитор показывает ему готовый алгоритм на каком-нибудь примере дробной функции.
2) Преподаватель создает условия для логического поиска этого алгоритма.

Реализация второго пути мне представляется наиболее интересной для репетиторской практики и чрезвычайно полезной для развития мышления ученика. С помощью определенных намеков и указаний часто удается подвести к обнаружению некой последовательности верных шагов. В отличие от машинального выполнения кем-то составленного плана, школьник 9 класса учится самостоятельно его искать. Естественно, что все пояснения необходимо проводить на примерах. Возьмем для этого функцию и рассмотрим комментарии репетитора к логике поиска алгоритма. Репетитор по математике спрашивает: «Что мешает нам выполнить стандартное преобразование графика , при помощи сдвига вдоль осей? Конечно же, одновременное присутствие икса и в числителе и в знаменателе. Значит необходимо удалить его из числителя. Как это сделать при помощи тождественных преобразований? Путь один – сократить дробь. Но у нас нет равных множителей (скобок). Значит нужно попытаться создать их искусственно. Но как? Не заменишь же числитель на знаменатель без всякого тождественного перехода. Попробуем преобразовать числитель, чтобы в него включалась скобка, равная знаменателю. Поставим ее туда принудительно и «обложим» коэффициентами так, чтобы при их «воздействии» на скобку, то есть при ее раскрытии и сложении подобных слагаемых, получался бы линейный многочлен 2x+3.

Репетитор по математике вставляет пропуски для коэффициентов в виде пустых прямоугольников (как это часто используют пособия для 5 – 6 классов) и ставит задачу — заполнить их числами. Подбор следует вести слева направо, начиная с первого пропуска. Ученик должен представить себе, как он будет раскрывать скобку. Так как ее раскрытия получится только одно слагаемое с иксом, то именно его коэффициент должен быть равным старшему коэффициенту в старом числителе 2х+3. Поэтому, очевидно, что в первом квадратике оказывается число 2. Он заполнен. Репетитору по математике следует взять достаточно простую дробную линейную функцию, у которой с=1. Только после этого можно переходить к разбору примеров с неприятным видом числителя и знаменателя (в том числе и с дробными коэффициентами).

Идем дальше. Преподаватель раскрывает скобку и подписывает результат прямо над ней.
Можно заштриховать соответствующую пару множителей. К «раскрытому слагаемому», необходимо добавить такое число из второго пропуска, чтобы получить свободный коэффициент старого числителя. Очевидно, что это 7.

Итог подбора:

Далее дробь разбивается на сумму отдельных дробей (обычно я обвожу дроби облачком, сравнивая их расположение с крылышками бабочки). И говорю: «Разобьем дробь бабочкой». Школьники хорошо запоминают эту фразу.

Репетитор по математике показывает весь процесс выделения целой части до вида, к которому уже можно применить алгоритм сдвига гиперболы :

Если знаменатель имеет не равный единице старший коэффициент, то ни в коем случае не нужно его там оставлять. Это принесет и репетитору и ученику лишнюю головную боль, связанную с необходимостью проведения дополнительного преобразования, Причем самого сложного: сжатия — растяжения. Для схематического построения графика прямой пропорциональности не важен вид числителя. Главное знать его знак. Тогда к нему лучше перебросить старший коэффициент знаменателя. Например, если мы работаем с функцией , то просто вынесем 3 за скобку и «поднимем» ее в числитель, конструируя в нем дробь . Получим значительно более удобное выражение для построения: Останется сдвинуть на вправо и на 2 вверх.

Если между целой частью 2 и оставшейся дробью возникает «минус», его тоже лучше занести в числитель. Иначе на определенном этапе построения придется дополнительно отображать гиперболу относительно оси Oy. Это только усложнит процесс.

Золотое правило репетитора по математике:
все неудобные коэффициенты, приводящие к симметриям, к сжатиям или растяжениям графика нужно перебросить в числитель.

Трудно описывать приемы работы с любой темой. Всегда остается ощущение некоторой недосказанности. Насколько удалось рассказать о дробной линейной функции — судить Вам. Присылайте Ваши комментарии и отзывы к статье (их можно написать в окошке, которое Вы видите внизу страницы). Я обязательно их опубликую.

Колпаков А.Н. Репетитор по математике Москва. Строгино. Методики для репетиторов.

Графики рациональных функций

Горячая математика

Рациональные функции имеют вид у знак равно ф Икс , куда ф Икс это рациональное выражение .

Некоторые из примеров рациональных функций:

у знак равно 1 Икс , у знак равно Икс Икс 2 − 1 , у знак равно 3 Икс 4 + 2 Икс + 5

Графики рациональных функций нарисовать сложно. Чтобы начертить график рациональной функции, вы можете начать с нахождения асимптоты и перехватывает.

Этапы построения графика рациональных функций:

1. Найдите асимптоты рациональной функции, если они есть.
2. Нарисуйте асимптоты в виде пунктирных линий.
3. Найди Икс -перехват (песок у -перехват рациональной функции, если таковая имеется.
4. Найдите значения у для нескольких различных значений Икс .
5. Нанесите точки и нарисуйте плавную кривую, чтобы соединить точки. Следите за тем, чтобы график не пересекал вертикальные асимптоты.

Пример:

График рациональной функции

у знак равно 4 Икс + 1 2 Икс + 1

Вертикальная асимптота рациональной функции равна Икс -значение, где знаменатель функции равен нулю. Приравнять знаменатель к нулю и найти значение Икс .

2 Икс + 1 знак равно 0 Икс знак равно − 1 2

Вертикальная асимптота рациональной функции равна Икс знак равно − 0,5 .

Эта функция имеет Икс -перехват в − 1 4 , 0 и у -перехват в 0 , 1 . Найдите больше точек на функции и постройте график функции.

Иногда заданную рациональную функцию необходимо упростить, прежде чем строить ее график. В этом случае, если есть какие-либо исключенные значения (где функция не определена), отличные от асимптот, то для построения графика функции требуется дополнительный шаг.

Чтобы представить неопределенную функцию, убедитесь, что функция не является непрерывной гладкой кривой при исключенном значении. Это исключенное значение обычно называют дырой в рациональной функции.

Например, рациональная функция у знак равно 4 Икс 2 + Икс 2 Икс 2 + Икс имеет отверстие в Икс знак равно 0 .

Обратите внимание, что графики рациональных функций удовлетворяют тест вертикальной линии .

Как построить график рациональной функции с числителем и знаменателем равных степеней

Автор: Ян Куанг и Эллейн Касе и

Amazon

После вычисления всех асимптот и x- и y- точки пересечения для рациональной функции, у вас есть вся информация, необходимая для построения графика функции. Рациональные функции с равными степенями в числителе и знаменателе ведут себя так, как из-за пределов. Что вам нужно помнить, так это то, что горизонтальная асимптота — это частное старших коэффициентов вершины и основания функции.

Взгляните на

, который имеет равные степени по переменным для каждой части дроби. Следуйте этим простым шагам, чтобы построить график г (

x ), что показано на этом рисунке:

1. Нарисуйте вертикальную асимптоту(ы) для г ( x ) .

   При построении графика вертикальной асимптоты сначала отображается число в области, через которую не может пройти ваш график. График приближается к этой точке, но никогда не достигает ее. Имея это в виду, какие значения для x вы можете , а не подставить в рациональную функцию?

   1. Установить знаменатель рациональной функции равным нулю.

      Для г ( x ), 4–3 x = 0,

   2. Решите это уравнение для x.

      4 – 3 х = 0

      х = 4/3

   Вы найдете только одну вертикальную асимптоту при x = 4/3, что означает, что вам нужно рассмотреть только два интервала:

2. Нарисуйте горизонтальную асимптоту для

   г ( x ) .

   Чтобы найти горизонтальную асимптоту рациональной функции, нужно посмотреть на степени многочленов в числителе и знаменателе. степень — это наивысшая степень переменной в полиномиальном выражении.

   Функция g ( x ) имеет одинаковые степени сверху и снизу. Чтобы найти горизонтальную асимптоту, разделите старшие коэффициенты на члены высшей степени:

   Теперь у вас есть горизонтальная асимптота для г ( х ). Итак, теперь вы можете нарисовать горизонтальную линию в этом месте.

3. Постройте точки пересечения x- и y- для g ( x ) .

   Последняя часть головоломки состоит в том, чтобы найти точки пересечения (где линия или кривая пересекает оси x- и y-) рациональной функции, если они существуют:

   • Чтобы найти y — точку пересечения уравнения, установите x = 0. (Подставьте 0 везде, где вы видите x ) Например, y — пересечение g ( x ) равно:

     Таким образом, пересечение y — g ( x ) равно 3.

   • Чтобы найти точку пересечения уравнения x-, установите y = 0 и решите для x :

     Для любой рациональной функции самым быстрым способом нахождения точки пересечения x является установка числителя равным нулю, а затем решение.

     No related posts.