График кусочной функции: Построение графиков кусочно-непрерывных функций | Онлайн калькулятор

Содержание

Кусочно-заданная функция · Калькулятор Онлайн

Что умеет калькулятор?

На данной странице вы можете выполнить различные действия с кусочно-заданной функцией, а также для большинства сервисов - получить подробное решение.

  • Производная кусочно-заданной функции
  • Построить график
  • Исследовать график
  • Определённый интеграл
  • Неопределённый интеграл от таких функций
  • Предел кусочно-заданной
  • Ряд Фурье (в примерах для нахождения ряда в основном используются кусочно-заданные функции)
  • Ряд Тейлора

Сначала задайте соответствующую функцию.

Как задавать условия?

Приведём примеры, как задавать условия:

x≠0
x не равен нулю
x > pi
x больше, чем число Пи
-pi/2
x меньше или равно, чем Пи пополам, но нестрого больше, чем Пи пополам
true
означает "в любых других случаях"
Правила ввода выражений и функций
Выражения могут состоять из функций (обозначения даны в алфавитном порядке):
absolute(x)
Абсолютное значение x
(модуль x или |x|)
arccos(x)
Функция - арккосинус от x
arccosh(x)
Арккосинус гиперболический от x
arcsin(x)
Арксинус от x
arcsinh(x)
Арксинус гиперболический от x
arctg(x)
Функция - арктангенс от x
arctgh(x)
Арктангенс гиперболический от x
exp(x)
Функция - экспонента от x (что и e^x)
log(x) or ln(x)
Натуральный логарифм от x
(Чтобы получить log7(x), надо ввести log(x)/log(7) (или, например для log10(x)=log(x)/log(10))
sin(x)
Функция - Синус от x
cos(x)
Функция - Косинус от x
sinh(x)
Функция - Синус гиперболический от x
cosh(x)
Функция - Косинус гиперболический от x
sqrt(x)
Функция - квадратный корень из x
sqr(x) или x^2
Функция - Квадрат x
ctg(x)
Функция - Котангенс от x
arcctg(x)
Функция - Арккотангенс от x
arcctgh(x)
Функция - Гиперболический арккотангенс от x
tg(x)
Функция - Тангенс от x
tgh(x)
Функция - Тангенс гиперболический от x
cbrt(x)
Функция - кубический корень из x
gamma(x)
Гамма-функция
LambertW(x)
Функция Ламберта
x! или factorial(x)
Факториал от x
В выражениях можно применять следующие операции:
Действительные числа
вводить в виде 7.3
- возведение в степень
x + 7
- сложение
x - 6
- вычитание
15/7
- дробь

Другие функции:
asec(x)
Функция - арксеканс от x
acsc(x)
Функция - арккосеканс от x
sec(x)
Функция - секанс от x
csc(x)
Функция - косеканс от x
floor(x)
Функция - округление x в меньшую сторону (пример floor(4.5)==4.0)
ceiling(x)
Функция - округление x в большую сторону (пример ceiling(4.5)==5.0)
sign(x)
Функция - Знак x
erf(x)
Функция ошибок (или интеграл вероятности)
laplace(x)
Функция Лапласа
asech(x)
Функция - гиперболический арксеканс от x
csch(x)
Функция - гиперболический косеканс от
x
sech(x)
Функция - гиперболический секанс от x
acsch(x)
Функция - гиперболический арккосеканс от x

Постоянные:
pi
Число "Пи", которое примерно равно ~3.14159..
e
Число e - основание натурального логарифма, примерно равно ~2,7183..
i
Комплексная единица
oo
Символ бесконечности - знак для бесконечности

построение графика, формула, знак модуля и примеры

Графики и формулы кусочно-линейных функций

Ситуация, когда движение или другое явление можно описать одной линейной функцией, определенной на интервале $-\infty \lt t \lt +\infty$, в действительности невозможна. Хотя бы потому, что возраст Вселенной велик, но не бесконечен.

На практике в течение некоторого времени тело может двигаться, потом – покоиться, потом – опять прийти в движение, но уже с другой скоростью и в другом направлении и т.п. Как задать подобную зависимость?

Допустим, турист идет из начальной точки по прямой тропинке в течение 2 ч со скоростью 5 км/ч, затем останавливается отдохнуть на 1ч и возвращается обратно по той же тропинке со скоростью 4 км/ч. Нам нужно найти формулу для расстояния s(t) от начальной точки на протяжении всего похода.

Изобразим зависимость s(t) графически:

Первый отрезок AB легко записать: $ s_1 (t) = 5t,0 \le t \lt 2$

С отрезком BC тоже всё ясно: $s_2 (t) = 10,2 \le t \lt 3$

Осталось найти формулу для отрезка CD. Для него известен угловой коэффициент, равный скорости k = -4; знак «минус» оттого, что турист возвращается обратно. Формула имеет вид $s_3 (t) = -4t+b$. Также, нам известны координаты C(3;10).

Подставляем: $10 = -4 \cdot 3+b \Rightarrow b =22$. Осталось рассчитать момент возвращения:

$$0 = -4t_{back}+22 \Rightarrow t_{back} = 22:4 = 5,5$$ (ч)

Значит, формула движения на отрезке $CD:s_3 (t) = -4t+22,3 \le t \le 5,5.$

Получаем:

$$s(t) = {\left\{ \begin{array}{c} 5t,0 \le t \lt 2 \\ 10,2 \le t \lt 3 \\ -4t+22,3 \le t \le 5,5 \end{array} \right.} $$

Важным свойством заданной функции является выполнение условий согласования:

$$ s_1 (2) = s_2 (2) = 10,s_2 (3) = s_3 (3) = 10$$

Наша функция «сшита» на концах промежуточных интервалов.

В общем случае:

Функция вида

$$x f(x) = {\left\{ \begin{array}{c} k_1 x+b_1, x_1 \le x \lt x_2 \\ k_2 x+b_2,x_2 \le x \lt x_3 \\…\\ k_n x+b_n,x_n \le x \lt x_{n+1} \end{array} \right.}$$

называется кусочно-линейной.

При этом для функции на краях интервалов выполняются условия согласования:

$$f_i (x_{i+1} ) = f_{i+1} (x_{i+1} ),i = \overline {1,n-1} $$

Графиком кусочно-линейной функции является ломаная линия

Знак модуля в линейных функциях

По правилу раскрытия скобок модуля (см. §4 данного справочника)

$$ |x| = \left[ \begin{array}{cc} x, x\ge0 \\ -x, x \lt 0\end{array} \right.$$

Внимание!

Если в формуле для линейной функции содержится знак модуля, то после его раскрытия получается кусочно-линейная функция.

Например:

$$ y = 2|x|+5 = {\left\{ \begin{array}{c} -2x+5, x\ge0 \\ 2x+5, x \lt 0\end{array} \right.} $$

Мы заменили квадратную скобку со значением «или»

на фигурную скобку со значением «и», поскольку именно смысл объединения - «и того, и другого» - вкладывается в определение кусочно-линейной функции .

Примеры

Пример 1. Представьте функцию с модулем в виде кусочно-линейной и постройте её график:

а) $ y = |x| = {\left\{ \begin{array}{c} -x, x \lt0 \\ x, x \ge 0 \end{array} \right.}$

б) $ y = 2|x|-1 = {\left\{ \begin{array}{c} -2x-1, x \lt0 \\ 2x-1, x \ge 0 \end{array} \right.}$

в) $ y = |x+1| = {\left\{ \begin{array}{c} -x-1, x \lt0 \\ x+1, x \ge 0 \end{array} \right.}$

г) $ y = |x-2| = {\left\{ \begin{array}{c} -x+2, x \lt0 \\ x-2, x \ge 0 \end{array} \right.}$

Пример 2*. Представьте функцию с модулем в виде кусочно-линейной и постройте её график:

$$ y = |2|x|-1| = {\left\{ \begin{array}{c} |-2x-1|, x\lt0 \\ |2x-1|,x \ge 0 \end{array} \right.} = {\left\{ \begin{array}{c} 2x+1, {\left\{ \begin{array}{c} -2x-1 \lt 0 \\ x \lt 0 \end{array} \right.} \\ -2x-1, {\left\{ \begin{array}{c} -2x-1 \ge 0 \\ x \lt 0\end{array} \right.} \\ -2x+1, {\left\{ \begin{array}{c}2x-1 \lt 0 \\ x \ge 0\end{array} \right.} \\ 2x-1, {\left\{ \begin{array}{c}2x-1 \ge 0 \\ x \ge 0\end{array} \right.} \end{array} \right.}= $$

$$ = {\left\{ \begin{array}{c} 2x+1, {\left\{ \begin{array}{c} -2x \lt 1 \\ x \lt 0 \end{array} \right.} \\ -2x-1, {\left\{ \begin{array}{c} -2x \ge 1 \\ x \lt 0\end{array} \right.} \\ -2x+1, {\left\{ \begin{array}{c}2x \lt 1 \\ x \ge 0\end{array} \right.} \\ 2x-1, {\left\{ \begin{array}{c}2x \ge 1 \\ x \ge 0\end{array} \right.} \end{array} \right.}= {\left\{ \begin{array}{c} 2x+1, {\left\{ \begin{array}{c} x \gt - \frac{1}{2} \\ x \lt 0 \end{array} \right.} \\ -2x-1, {\left\{ \begin{array}{c} x \le - \frac{1}{2} \\ x \lt 0\end{array} \right.} \\ -2x+1, {\left\{ \begin{array}{c}x \lt \frac{1}{2} \\ x \ge 0\end{array} \right.} \\ 2x-1, {\left\{ \begin{array}{c}x \ge \frac{1}{2} \\ x \ge 0\end{array} \right.} \end{array} \right.}= {\left\{ \begin{array}{c} -2x-1, x \le - \frac{1}{2} \\ 2x+1, - \frac{1}{2} \lt x \lt 0 \\ -2x+1, 0 \le x \lt \frac{1}{2} \\ 2x-1, x \ge \frac{1}{2} \end{array} \right.} $$

Как видно из этого примера, аналитически выводить формулу для двух модулей очень нелегко.

Гораздо легче сразу построить график, если следовать следующим простым правилам преобразования.

Шаг 1. Строим y = 2x-1

Шаг 2. Строим y = 2|x|-1 по правилу: |x| отражает часть графика для положительных $x \ge 0$ влево, зеркально относительно оси Y

Шаг 3. Строим y = |(2|x|-1)| по правилу: общий модуль отражает участок графика с отрицательными $y \lt 0$ вверх, зеркально относительно оси X

Или на одном графике:

numpy - Как построить кусочную функцию в matplotlib (python)?

Для того, чтобы после np.vectorize() ваша функция правильно отрабатывала - ее придется немного переписать:

def s_similar2(x):
    if x < a:
        return 0
    elif (a <= x) and (x <= ((a + b) / 2)):
        return (2 * ((x - a) ** 2)) / ((b - a) ** 2)
    elif ((a + b) / 2 <= x) and (x <= b):
        return 1 - (2 * ((x - a) ** 2)) / ((b - a) ** 2)
    else:
        return 1

y = np.vectorize(s_similar2, otypes=[float])

проверка:

np.random.seed(31415)
a,b = np.random.randint(100, size=2)
x = np.random.randint(100, size=100)

print(sum(s_similar(i) for i in x) == sum(s_similar2(i) for i in x) == y(x).sum())
# True

кроме того np.vectorize() возвращает ссылку на "векторизированную" функцию. Поэтому надо вызывать

y(x) вместо y

Попробуйте так:

x = np.linspace(-10, 10, 20)
y = np.vectorize(s_similar2, otypes=[float])

a,b = 5,10
graph2 = plt.plot(x, y(x))

А еще лучше попробовать написать свою векторизированную функцию:

def f(x):
    return np.where(x < a,
                    0,
                    np.where((a <= x) & (x <= ((a + b) / 2)),
                             (2 * ((x - a) ** 2)) / ((b - a) ** 2),
                              np.where(((a + b) / 2 <= x) & (x <= b),
                                       1 - (2 * ((x - a) ** 2)) / ((b - a) ** 2),
                                       1)
                    )
            )

проверка:

In [97]: f(x).sum() == y(x).sum()
Out[97]: True

Выглядит немного уродливо, но на больших массивах должно давать хороший прирост производительности.

In [94]: x = np.random.randint(10**5, size=10**5)

In [95]: %timeit y(x)
503 ms ± 654 µs per loop (mean ± std. dev. of 7 runs, 1 loop each)

In [96]: %timeit f(x)
5.51 ms ± 9.17 µs per loop (mean ± std. dev. of 7 runs, 100 loops each)

График:

a,b = -5, 5
x = np.linspace(-10, 10, 20)
graph2 = plt.plot(x, f(x))

Кусочно-заданная функция

Реальные процессы, происходящие в природе, можно описать с помощью функций. Так, можно выделить два основных типа течения процессов, противоположных друг другу – это постепенное или непрерывное и скачкообразное (примером может служить падение мяча и его отскок). Но если есть разрывные процессы, то существуют и специальные средства для их описания. С этой целью вводятся в обращение функции, имеющие разрывы, скачки, то есть на различных участках числовой прямой функция ведет себя по разным законам и, соответственно, задается разными формулами. Вводятся понятия точек разрыва, устранимого разрыва.

Наверняка вам уже встречались функции, заданные несколькими формулами, в зависимости от значений аргумента, например:

y = {x – 3, при x > -3;
     {-(x – 3), при x < -3.

Такие функции называются кусочными или кусочно-заданными

. Участки числовой прямой с различными формулами задания, назовем составляющими область определения. Объединение всех составляющих является областью определения кусочной функции. Те точки, которые делят область определения функции на составляющие, называются граничными точками. Формулы, определяющие кусочную функцию на каждой составляющей области определения, называются входящими функциями. Графики кусочно-заданных функций получаются в результате объединения частей графиков, построенных на каждом из промежутков разбиения.

Упражнения.

Построить графики кусочных функций:

1)       {-3, при -4 ≤ x < 0,
f(x) = {0, при x = 0,
          {1, при 0 < x ≤ 5.

График первой функции – прямая, проходящая через точку y = -3. Она берет свое начало в точке с координатами (-4; -3), идет параллельно оси абсцисс до точки с координатами (0; -3). График второй функции – точка с координатами (0; 0). Третий график аналогичен первому – это прямая, проходящая через точку y = 1, но уже на участке от 0 до 5 по оси Ох.

Ответ: рисунок 1.

2)       {3, если x ≤ -4,
f(x) = {|x2 – 4|x| + 3|, если  -4 < x ≤ 4,
          {3 – (x – 4)2, если x > 4.

Рассмотрим отдельно каждую функцию и построим ее график.

Так, f(x) = 3 – прямая, параллельная оси Ох, но изображать ее нужно только на участке, где x ≤ -4.

График функции f(x) = |x2 – 4|x| + 3| может быть получен из параболы y = x2 – 4x + 3. Построив ее график, часть рисунка, которая лежит над осью Ox, необходимо оставить без изменений, а часть, которая лежит под осью абсцисс, симметрично отобразить относительно оси Ox. Затем симметрично отобразить часть графика, где
x ≥ 0 относительно оси Oy для отрицательных x. Полученный в результате всех преобразований график оставляем только на участке от -4 до 4 по оси абсцисс.

График третьей функции – парабола, ветви которой направлены вниз, а вершина находится в точке с координатами (4; 3). Чертеж изображаем только на участке, где x > 4.

Ответ: рисунок 2.

3)       {8 – (x + 6)2, если x ≤ -6,
f(x) = {|x2 – 6|x| + 8|, если -6 ≤ x < 5,
          {3, если x ≥ 5.

Построение предлагаемой кусочной-заданной функции аналогично предыдущему пункту. Здесь графики первых двух функций получаются из преобразований параболы, а график третьей – прямая, параллельная Ох.  

Ответ: рисунок 3.

4) Построить график функции y = x – |x| + (x – 1 – |x|/x)2 .

Решение. Область определения данной функции – все действительные числа, кроме нуля. Раскроем модуль. Для этого рассмотрим два случая:

1) При x > 0 получим y = x – x + (x – 1 – 1)2 = (x – 2)2.

2) При x < 0 получим y = x + x + (x – 1 + 1)2 = 2x + x2.

Таким образом, перед нами кусочно-заданная функция:

y = {(x – 2)2, при x > 0;
     { x2 + 2x, при x < 0.

Графики обоих функций – параболы, ветви которых направлены вверх.

Ответ: рисунок 4.

5) Построить график функции y = (x + |x|/x – 1)2 .

Решение.

Легко видеть, что областью определения функции являются все действительные числа, кроме нуля. После раскрытия модуля получим кусочно-заданную функцию:

1) При x > 0 получим y = (x + 1 – 1)2 = x2.

2) При x < 0 получим y = (x – 1 – 1)2 = (x – 2)2.

Перепишем.

y = {x2, при x > 0;
      {(x – 2)2, при x < 0.

Графики этих функций – параболы.

Ответ: рисунок 5.

6) Существует ли функция, график которой на координатной плоскости имеет общую точку с любой прямой?

Решение.

Да, существует.

Примером может быть функция f(x) = x3. Действительно, с вертикальной прямой х = а график кубической параболы пересекается в точке (а; а3). Пусть теперь прямая задана уравнением y = kx + b. Тогда уравнение
x3 – kx – b = 0 имеет действительный корень х0 (так как многочлен нечетной степени всегда имеет хотя бы один действительный корень). Следовательно, график функции пересекается с прямой y = kx + b, например, в точке (х0; х03).

© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Кусочно линейная функция задана формулой найти в. Кусочные функции

Графики кусочно – заданных функций

Мурзалиева Т.А. учитель математики МБОУ «Борская средняя общеобразовательная школа» Бокситогорский район Ленинградская область


Цель:

  • освоить метод линейного сплайна для построения графиков, содержащих модуль;
  • научиться применять его в простых ситуациях.

Под сплайном (от англ. spline - планка, рейка) обычно понимают кусочно-заданную функцию.

Такие функции были известны математикам давно, начиная еще с Эйлера (1707-1783г.,швейцарский, немецкий и российский математик), но их интенсивное изучение началось, фактически, только в середине XX века.

В 1946 году Исаак Шёнберг (1903- 1990г., румынский и американский математик) впервые употребил этот термин. С 1960 года с развитием вычислительной техники началось использование сплайнов в компьютерной графике и моделировании.


1 . Введение

2. Определение линейного сплайна

3. Определение модуля

4. Построение графиков

5. Практическая работа



Одно из основных назначений функций – описание реальных процессов, происходящих в природе.

Но издавна ученые – философы и естествоиспытатели выделяли два типа протекания процессов: постепенное ( непрерывное ) и скачкообразное.


При падении тела на землю сначала происходит непрерывное нарастание скорости движения , а в момент столкновения с поверхностью земли скорость изменяется скачкообразно , становясь равной нулю или меняя направление (знак) при «отскоке» тела от земли (например, если тело – мяч).

Но раз есть разрывные процессы, то необходимы средства их описаний. С этой целью вводятся в действие функции, имеющие разрывы .


a - формулой y = h(x), причем будем считать, что каждая из функций g(x) и h(x) определена для всех значений х и разрывов не имеет. Тогда, если g(a) = h(a), то функция f(x) имеет при х=а скачок; если же g(a) = h(a) = f(a), то «комбинированная» функция f разрывов не имеет. Если обе функции g и h элементарные, то f называется кусочно–элементарной. "
  • Один из способов введения таких разрывов следующий:

Пусть функция y = f(x)

при x определена формулой y = g(x),

а при xa - формулой y = h(x), причем будем считать , что каждая из функций g(x) и h(x) определена для всех значений х и разрывов не имеет.

Тогда , если g(a) = h(a), то функция f(x) имеет при х=а скачок;

если же g(a) = h(a) = f(a), то «комбинированная» функция f разрывов не имеет. Если обе функции g и h элементарные, то f называется кусочно–элементарной.



Графики непрерывных функций


Построить график функции:

У = |X-1| + 1

Х=1 –точка смены формул


Слово «модуль» произошло от латинского слова «modulus», что в переводе означает «мера».

Модулем числа а называется расстояние (в единичных отрезках ) от начала координат до точки А (а) .

Это определение раскрывает геометрический смысл модуля.

Модулем (абсолютной величиной ) действительного числа а называется то самое число а ≥ 0, и противоположное число –а , если а


0 или х=0 у = -3х -2 при х "

Построить график функции у = 3|х|-2.

По определению модуля, имеем: 3х – 2 при х0 или х=0

-3х -2 при х


x n) "

. Пусть заданы х 1 х 2 х n – точки смены формул в кусочно-элементарных функциях.

Функция f, определенная при всех х, называется кусочно-линейной, если она линейна на каждом интервале

и к тому же выполнены условия согласования, то есть в точках смены формул функция не терпит разрыв.

Непрерывная кусочно-линейная функция называется линейным сплайном . Её график есть ломаная с двумя бесконечными крайними звеньями – левым (отвечающим значениям x n ) и правым ( отвечающим значениям x x n )


Кусочно-элементарная функция может быть определена более чем двумя формулами

График – ломаная с двумя бесконечными крайними звеньями – левым (х1).

У=|x| - |x – 1|

Точки смены формул: х=0 и х=1.

У(0)=-1, у(1)=1.


График кусочно-линейной функции удобно строить, указывая на координатной плоскости вершины ломаной.

Кроме построения n вершин следует построить также две точки : одну левее вершины A 1 ( x 1; y ( x 1)), другую – правее вершины An ( xn ; y ( xn )).

Заметим, что разрывную кусочно-линейную функцию нельзя представить в виде линейной комбинации модулей двучленов .


Построить график функции у = х+ |x -2| - |X|.

Непрерывная кусочно-линейная функция называется линейным сплайном

1.Точки смены формул: Х-2=0, Х=2 ; Х=0

2.Составим таблицу:

У(0 )= 0+|0-2|-|0|=0+2-0= 2 ;

у(2 )=2+|2-2|-|2|=2+0-2= 0 ;

у (-1 )= -1+|-1-2| - |-1|= -1+3-1= 1 ;

у(3 )=3+|3-2| - |3|=3+1-3= 1 .


Построить график функции у = |х+1| +|х| – |х -2|.

1 .Точки смены формул:

х+1=0, х=-1 ;

х=0 ; х-2=0, х=2.

2 . Составим таблицу:

y(-2)=|-2+1|+|-2|-|-2-2|=1+2-4=-1;

y(-1)=|-1+1|+|-1|-|-1-2|=0+1-3=-2;

y(0)=1+0-2=-1;

y(2)=|2+1|+|2|-|2-2|=3+2-0=5;

y(3)=|3+1|+|3|-|3-2|=4+3-1=6.


|x – 1| = |x + 3|

Решите уравнение:

Решение. Рассмотрим функцию y = |x -1| - |x +3|

Построим график функции /методом линейного сплайна/

  • Точки смены формул:

х -1 = 0, х = 1; х + 3 =0, х = - 3.

2. Составим таблицу:

y(- 4) =|- 4–1| - |- 4+3| =|- 5| - | -1| = 5-1=4;

y( -3 )=|- 3-1| - |-3+3|=|-4| = 4;

y( 1 )=|1-1| - |1+3| = - 4 ;

y(-1) = 0.

y(2)=|2-1| - |2+3|=1 – 5 = - 4.

Ответ: -1.



1. Построить графики кусочно-линейных функций методом линейного сплайна:

у = |x – 3| + |x|;

1). Точки смены формул:

2). Составим таблицу:


2. Построить графики функций, используя УМК «Живая математика »

А) у = |2x – 4| + |x +1|

1) Точки смены формул:

2) y() =

Б) Постройте графики функций, установите закономерность :

a) у = |х – 4| б) y = |x| +1

y = |x + 3| y = |x| - 3

y = |x – 3| y = |x| - 5

y = |x + 4| y = |x| + 4

Используйте инструменты «Точка», «Отрезок», «Стрелка» на панели инструментов.

1. Меню «Графики».

2. Вкладка «Построить график».

.3. В окне «Калькулятор» задать формулу.


Постройте график функции:

1) У = 2х + 4


1. Козина М.Е. Математика. 8-9 классы: сборник элективных курсов. – Волгоград: Учитель, 2006.

2. Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова. Алгебра: учеб. Для 7 кл. общеобразоват. учреждений/ под ред. С. А. Теляковского. – 17-е изд. – М. : Просвещение, 2011

3. Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова. Алгебра: учеб. Для 8 кл. общеобразоват. учреждений/ под ред. С. А. Теляковского. – 17-е изд. – М. : Просвещение, 2011

4. ВикипедиЯ свободная энциклопедия

http://ru.wikipedia.org/wiki/Spline

Реальные процессы, происходящие в природе, можно описать с помощью функций. Так, можно выделить два основных типа течения процессов, противоположных друг другу – это постепенное или непрерывное и скачкообразное (примером может служить падение мяча и его отскок). Но если есть разрывные процессы, то существуют и специальные средства для их описания. С этой целью вводятся в обращение функции, имеющие разрывы, скачки, то есть на различных участках числовой прямой функция ведет себя по разным законам и, соответственно, задается разными формулами. Вводятся понятия точек разрыва, устранимого разрыва.

Наверняка вам уже встречались функции, заданные несколькими формулами, в зависимости от значений аргумента, например:

y = {x – 3, при x > -3;
{-(x – 3), при x

Такие функции называются кусочными или кусочно-заданными . Участки числовой прямой с различными формулами задания, назовем составляющими область определения. Объединение всех составляющих является областью определения кусочной функции. Те точки, которые делят область определения функции на составляющие, называются граничными точками . Формулы, определяющие кусочную функцию на каждой составляющей области определения, называются входящими функциями . Графики кусочно-заданных функций получаются в результате объединения частей графиков, построенных на каждом из промежутков разбиения.

Упражнения.

Построить графики кусочных функций:

1) {-3, при -4 ≤ x f(x) = {0, при x = 0,
{1, при 0

График первой функции – прямая, проходящая через точку y = -3. Она берет свое начало в точке с координатами (-4; -3), идет параллельно оси абсцисс до точки с координатами (0; -3). График второй функции – точка с координатами (0; 0). Третий график аналогичен первому – это прямая, проходящая через точку y = 1, но уже на участке от 0 до 5 по оси Ох.

Ответ: рисунок 1.

2) {3, если x ≤ -4,
f(x) = {|x 2 – 4|x| + 3|, если -4 {3 – (x – 4) 2 , если x > 4.

Рассмотрим отдельно каждую функцию и построим ее график.

Так, f(x) = 3 – прямая, параллельная оси Ох, но изображать ее нужно только на участке, где x ≤ -4.

График функции f(x) = |x 2 – 4|x| + 3| может быть получен из параболы y = x 2 – 4x + 3. Построив ее график, часть рисунка, которая лежит над осью Ox, необходимо оставить без изменений, а часть, которая лежит под осью абсцисс, симметрично отобразить относительно оси Ox. Затем симметрично отобразить часть графика, где
x ≥ 0 относительно оси Oy для отрицательных x. Полученный в результате всех преобразований график оставляем только на участке от -4 до 4 по оси абсцисс.

График третьей функции – парабола, ветви которой направлены вниз, а вершина находится в точке с координатами (4; 3). Чертеж изображаем только на участке, где x > 4.

Ответ: рисунок 2.

3) {8 – (x + 6) 2 , если x ≤ -6,
f(x) = {|x 2 – 6|x| + 8|, если -6 ≤ x {3, если x ≥ 5.

Построение предлагаемой кусочной-заданной функции аналогично предыдущему пункту. Здесь графики первых двух функций получаются из преобразований параболы, а график третьей – прямая, параллельная Ох.

Ответ: рисунок 3.

4) Построить график функции y = x – |x| + (x – 1 – |x|/x) 2 .

Решение. Область определения данной функции – все действительные числа, кроме нуля. Раскроем модуль. Для этого рассмотрим два случая:

1) При x > 0 получим y = x – x + (x – 1 – 1) 2 = (x – 2) 2 .

2) При x

Таким образом, перед нами кусочно-заданная функция:

y = {(x – 2) 2 , при x > 0;
{ x 2 + 2x, при x

Графики обоих функций – параболы, ветви которых направлены вверх.

Ответ: рисунок 4.

5) Построить график функции y = (x + |x|/x – 1) 2 .

Решение.

Легко видеть, что областью определения функции являются все действительные числа, кроме нуля. После раскрытия модуля получим кусочно-заданную функцию:

1) При x > 0 получим y = (x + 1 – 1) 2 = x 2 .

2) При x

Перепишем.

y = {x 2 , при x > 0;
{(x – 2) 2 , при x

Графики этих функций – параболы.

Ответ: рисунок 5.

6) Существует ли функция, график которой на координатной плоскости имеет общую точку с любой прямой?

Решение.

Да, существует.

Примером может быть функция f(x) = x 3 . Действительно, с вертикальной прямой х = а график кубической параболы пересекается в точке (а; а 3). Пусть теперь прямая задана уравнением y = kx + b. Тогда уравнение
x 3 – kx – b = 0 имеет действительный корень х 0 (так как многочлен нечетной степени всегда имеет хотя бы один действительный корень). Следовательно, график функции пересекается с прямой y = kx + b, например, в точке (х 0 ; х 0 3).

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа №13

«Кусочные функции»

Сапогова Валентина и

Донская Александра

Руководитель-консультант:

г. Бердск

1. Определение основных целей и задач.

2. Анкетирование.

2.1. Определение актуальности работы

2.2. Практическая значимость.

3. История функций.

4. Общая характеристика.

5. Способы задания функций.

6. Алгоритм построения.

8. Используемая литература.

1. Определение основных целей и задач.

Цель:

Выяснить способ решения кусочных функций и, исходя из этого, составить алгоритм их построения.

Задачи:

— Познакомиться с общим понятием о кусочных функциях;

— Узнать историю термина «функция»;

— Провести анкетирование;

— Выявить способы задания кусочных функций;

— Составить алгоритм их построения;

2. Анкетирование.

Среди старшеклассников было проведено анкетирование на умение строить кусочные функции. Общее количество опрошенных составило 54 человека. Среди них 6% - работу выполнили полностью. 28% работу смогли выполнить, но с определёнными ошибками. 62% - работу не смогли выполнить, хоть и предпринимали какие-либо попытки, а оставшиеся 4% вообще не приступали к работе.

Из этого анкетирования можно сделать вывод, что ученики нашей школы, которые проходят программу имеют не достаточную базу знаний, ведь этот автор не уделяет особого внимания на задания подобного рода.2 > 0%%, т.е. %%D = (-1, 1)%%.

Преимущества явного аналитического задания функции

Отметим, что явный аналитический способ задания функции достаточно компактен (формула, как правило, занимает немного места), легко воспроизводим (формулу нетрудно записать) и наиболее приспособлен к выполнению над функциями математических действий и преобразований.

Некоторые из этих действий - алгебраические (сложение, умножение и др.) - хорошо известны из школьного курса математики, другие (дифференцирование, интегрирование) будем изучать в дальнейшем. Однако этот способ не всегда нагляден, так как не всегда четок характер зависимости функции от аргумента, а для нахождения значений функции (если они необходимы) требуются иногда громоздкие вычисления.

Неявное задание функции

Функция %%y = f(x)%% задана неявным аналитическим способом , если дано соотношение $$F(x,y) = 0, ~~~~~~~~~~(1)$$ связывающее значения функции %%y%% и аргумента %%x%%. Если задавать значения аргумента, то для нахождения значения %%y%%, соответствующего конкретному значению %%x%%, необходимо решить уравнение %%(1)%% относительно %%y%% при этом конкретном значении %%x%%.5 - 1 = 0%%

и равенство %%y = \sqrt{1 - x}%% определяют одну и ту же функцию.

Параметрическое задание функции

Когда зависимость %%y%% от %%x%% не задана непосредственно, а вместо этого даны зависимости обоих переменных %%x%% и %%y%% от некоторой третьей вспомогательной переменной %%t%% в виде

$$ \begin{cases} x = \varphi(t),\\ y = \psi(t), \end{cases} ~~~t \in T \subseteq \mathbb{R}, ~~~~~~~~~~(2) $$то говорят о параметрическом способе задания функции;

тогда вспомогательную переменную %%t%% называют параметром.

Если из уравнений %%(2)%% удается исключить параметр %%t%%, то приходят к функции, заданной явной или неявной аналитической зависимостью %%y%% от %%x%%. Например, из соотношений $$ \begin{cases} x = 2 t + 5, \\ y = 4 t + 12, \end{cases}, ~~~t \in \mathbb{R}, $$ исключением параметра %%t%% получим зависимость %%y = 2 x + 2%%, которая задает в плоскости %%xOy%% прямую.

Графический способ

Пример графического задания функции

Приведенные выше примеры показывают, что аналитическому способу задания функции соответствует ее графическое изображение , которое можно рассматривать как удобную и наглядную форму описания функции. Иногда используют графический способ задания функции, когда зависимость %%y%% от %%x%% задают линией на плоскости %%xOy%%. Однако при всей наглядности он проигрывает в точности, поскольку значения аргумента и соответствующие им значения функции можно получить из графика лишь приближенно. Возникающая при этом погрешность зависит от масштаба и точности измерения абсциссы и ординаты отдельных точек графика. В дальнейшем графику функции отведем роль только иллюстрации поведения функции и поэтому будем ограничиваться построением «эскизов» графиков, отражающих основные особенности функций.

Табличный способ

Отметим табличный способ задания функции, когда некоторые значения аргумента и соответствующие им значения функции в определенном порядке размещаются в таблице. Так построены известные таблицы тригонометрических функций, таблицы логарифмов и т.п. В виде таблицы обычно представляют зависимость между величинами, измеряемыми при экспериментальных исследованиях, наблюдениях, испытаниях.

Недостаток этого способа состоит в невозможности непосредственного определения значений функции для значений аргумента, не входящих в таблицу. Если есть уверенность, что непредставленные в таблице значения аргумента принадлежат области определения рассматриваемой функции, то соответствующие им значения функции могут быть вычислены приближенно при помощи интерполяции и экстраполяции.

Пример

x 3 5.1 10 12.5
y 9 23 80 110

Алгоритмический и словесный способы задания функций

Функцию можно задать алгоритмическим (или программным ) способом, который широко используют при вычислениях на ЭВМ.

Наконец, можно отметить описательный (или словесный ) способ задания функции, когда правило соответствия значений функции значениям аргумента выражено словами.

Например, функцию %%[x] = m~\forall {x \in }

Урок по алгебре в 7-м классе по теме "График кусочной функции, или График правильного питания"

Цели:

  • повторение алгоритма построения графиков линейной функции, нахождение точек принадлежащих графику функции, введение алгоритма построения графика кусочной функции,
  • развитие математических способностей, логического мышления,
  • воспитание взаимоуважения друг к другу.

Тип: комбинированный.

Контроль: составление опорного конспекта, самостоятельная работа (интерактивные задания).

Форма: индивидуальная, групповая.

Оборудование: компьютеры, мультимедиа.

Метод: эвристический.

Ход урока

1 этап: Разминка

1) Устный счёт: №1. -18•(-3) – 134, -122•(-1/2)+ 53, 4•(-23)-134, -2•140+8, -48•1/8-345, 2•(-1/4)+536.

2) Теоретический:

– Какая функция называется линейной функцией? Запишите её.
– Как называется график линейной функции?
– Какая функция называется прямопропорциональной? Запишите её.
– Как называется k?

2 этап: Подготовительный

№2. Построить графики функций а) у=5х-3, б) у=-3х-4, в) у=-2х+1.

(У доски трое учащихся на построение графиков функций.)

№3. Найдите координаты точек (все выполняют в тетради).

3 этап: Построение

№4. Построить графики функций

1) у = 0,25х + 6,75 на отрезке [1;3],
2) у = 0,25х + 9,25 на отрезке [3;7],
3) у = 1/6х + 71/6 на отрезке [7;13],
4) у = 1/3х + 44/3 на отрезке [13;16]

Мы построили график кусочной функции

А также мы построили график правильного питания:

** завтрак – чай, хлеб с маслом и колбасой или сыром,
** школьный завтрак – горячее питание (суп, каша, ..),
** обед – из двух блюд,
** ужин – легкое питание.

№5. Постройте на графике правильного питания точки с координатами А (1;7), Р(7;11), С(7;13), В(16:20). Таким образом, вы должны понять, что в день вы должны получить все витамины.

Посмотрите таблицы содержания витаминов. [2], [3]

4 этап: самостоятельная работа (интерактивные задания)

Учащиеся по группам усаживаются за компьютер и выполняют задания. [1] Правильность выполнения проверяет учитель.

5 этап: домашнее задание

Составьте кусочную функцию и постройте её график.

6 этап: Заключительный

Подведение итогов.

– Что нового вы узнали из этого урока?
– Какие функции вы знаете?

Литература

:
  1. Электронный учебник “Интерактивная математика 5–9 классы”.
  2. Воробьёв Р.И. Питание и здоровье. М.: Медицина, 1998.
  3. Мартынов С.М. Овощи плюс фрукты плюс ягоды получится здоровье: Беседы врача – педиатра о питании детей. Кн. для родителей. М: Просвещение 1999.

Образец чтения свойств кусочно заданной функции. Кусочные функции

Реальные процессы, происходящие в природе, можно описать с помощью функций. Так, можно выделить два основных типа течения процессов, противоположных друг другу – это постепенное или непрерывное и скачкообразное (примером может служить падение мяча и его отскок). Но если есть разрывные процессы, то существуют и специальные средства для их описания. С этой целью вводятся в обращение функции, имеющие разрывы, скачки, то есть на различных участках числовой прямой функция ведет себя по разным законам и, соответственно, задается разными формулами. Вводятся понятия точек разрыва, устранимого разрыва.

Наверняка вам уже встречались функции, заданные несколькими формулами, в зависимости от значений аргумента, например:

y = {x – 3, при x > -3;
{-(x – 3), при x

Такие функции называются кусочными или кусочно-заданными . Участки числовой прямой с различными формулами задания, назовем составляющими область определения. Объединение всех составляющих является областью определения кусочной функции. Те точки, которые делят область определения функции на составляющие, называются граничными точками . Формулы, определяющие кусочную функцию на каждой составляющей области определения, называются входящими функциями . Графики кусочно-заданных функций получаются в результате объединения частей графиков, построенных на каждом из промежутков разбиения.

Упражнения.

Построить графики кусочных функций:

1) {-3, при -4 ≤ x f(x) = {0, при x = 0,
{1, при 0

График первой функции – прямая, проходящая через точку y = -3. Она берет свое начало в точке с координатами (-4; -3), идет параллельно оси абсцисс до точки с координатами (0; -3). График второй функции – точка с координатами (0; 0). Третий график аналогичен первому – это прямая, проходящая через точку y = 1, но уже на участке от 0 до 5 по оси Ох.

Ответ: рисунок 1.

2) {3, если x ≤ -4,
f(x) = {|x 2 – 4|x| + 3|, если -4 {3 – (x – 4) 2 , если x > 4.

Рассмотрим отдельно каждую функцию и построим ее график.

Так, f(x) = 3 – прямая, параллельная оси Ох, но изображать ее нужно только на участке, где x ≤ -4.

График функции f(x) = |x 2 – 4|x| + 3| может быть получен из параболы y = x 2 – 4x + 3. Построив ее график, часть рисунка, которая лежит над осью Ox, необходимо оставить без изменений, а часть, которая лежит под осью абсцисс, симметрично отобразить относительно оси Ox. Затем симметрично отобразить часть графика, где
x ≥ 0 относительно оси Oy для отрицательных x. Полученный в результате всех преобразований график оставляем только на участке от -4 до 4 по оси абсцисс.

График третьей функции – парабола, ветви которой направлены вниз, а вершина находится в точке с координатами (4; 3). Чертеж изображаем только на участке, где x > 4.

Ответ: рисунок 2.

3) {8 – (x + 6) 2 , если x ≤ -6,
f(x) = {|x 2 – 6|x| + 8|, если -6 ≤ x {3, если x ≥ 5.

Построение предлагаемой кусочной-заданной функции аналогично предыдущему пункту. Здесь графики первых двух функций получаются из преобразований параболы, а график третьей – прямая, параллельная Ох.

Ответ: рисунок 3.

4) Построить график функции y = x – |x| + (x – 1 – |x|/x) 2 .

Решение. Область определения данной функции – все действительные числа, кроме нуля. Раскроем модуль. Для этого рассмотрим два случая:

1) При x > 0 получим y = x – x + (x – 1 – 1) 2 = (x – 2) 2 .

2) При x

Таким образом, перед нами кусочно-заданная функция:

y = {(x – 2) 2 , при x > 0;
{ x 2 + 2x, при x

Графики обоих функций – параболы, ветви которых направлены вверх.

Ответ: рисунок 4.

5) Построить график функции y = (x + |x|/x – 1) 2 .

Решение.

Легко видеть, что областью определения функции являются все действительные числа, кроме нуля. После раскрытия модуля получим кусочно-заданную функцию:

1) При x > 0 получим y = (x + 1 – 1) 2 = x 2 .

2) При x

Перепишем.

y = {x 2 , при x > 0;
{(x – 2) 2 , при x

Графики этих функций – параболы.

Ответ: рисунок 5.

6) Существует ли функция, график которой на координатной плоскости имеет общую точку с любой прямой?

Решение.

Да, существует.

Примером может быть функция f(x) = x 3 . Действительно, с вертикальной прямой х = а график кубической параболы пересекается в точке (а; а 3). Пусть теперь прямая задана уравнением y = kx + b. Тогда уравнение
x 3 – kx – b = 0 имеет действительный корень х 0 (так как многочлен нечетной степени всегда имеет хотя бы один действительный корень). Следовательно, график функции пересекается с прямой y = kx + b, например, в точке (х 0 ; х 0 3).

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа №13

«Кусочные функции»

Сапогова Валентина и

Донская Александра

Руководитель-консультант:

г. Бердск

1. Определение основных целей и задач.

2. Анкетирование.

2.1. Определение актуальности работы

2.2. Практическая значимость.

3. История функций.

4. Общая характеристика.

5. Способы задания функций.

6. Алгоритм построения.

8. Используемая литература.

1. Определение основных целей и задач.

Цель:

Выяснить способ решения кусочных функций и, исходя из этого, составить алгоритм их построения.

Задачи:

— Познакомиться с общим понятием о кусочных функциях;

— Узнать историю термина «функция»;

— Провести анкетирование;

— Выявить способы задания кусочных функций;

— Составить алгоритм их построения;

2. Анкетирование.

Среди старшеклассников было проведено анкетирование на умение строить кусочные функции. Общее количество опрошенных составило 54 человека. Среди них 6% - работу выполнили полностью. 28% работу смогли выполнить, но с определёнными ошибками. 62% - работу не смогли выполнить, хоть и предпринимали какие-либо попытки, а оставшиеся 4% вообще не приступали к работе.

Из этого анкетирования можно сделать вывод, что ученики нашей школы, которые проходят программу имеют не достаточную базу знаний, ведь этот автор не уделяет особого внимания на задания подобного рода. Именно из этого вытекает актуальность и практическая значимость нашей работы.

2.1. Определение актуальности работы.

Актуальность:

Кусочные функции встречаются, как в ГИА, так и в ЕГЭ, задания, которые содержат функции подобного рода, оцениваются в 2 и более баллов. И, следовательно, от их решения может зависеть ваша оценка.

2.2. Практическая значимость.

Результатом нашей работы будет являться алгоритм решения кусочных функций, который поможет разобраться в их построении. И добавит шансы на получения желаемой вами оценки на экзамене.

3. История функций.

— «Алгебра 9 класс» и др.;

7
Урок по алгебре в 9А классе учителя Микитчук Ж.Н. МОУ «СОШ №23» 19.03.07г Тема урока: «Кусочно-заданные функции» Цели:

    обобщить и совершенствовать знания, умения и навыки учащихся по указанной теме; воспитывать у учащихся внимательность, сосредоточенность, настойчивость, уверенность в своих знаниях; развивать мыслительные способности, логическое мышление; речевую культуру, умение применять теоретические знания.
В результате обобщения темы учащиеся должны знать:
    понятие кусочно-заданной функции; формулы различных функций, соответствующие названия и изображения графиков;
уметь:
    строить график кусочно-заданной функции; читать график; задавать функцию аналитически по графику.

Ход урока

I. Организационно-психологический момент. Начнем наш урок словами Д.К.Фадеева «Какую бы задачу вы не решали, в концевас ждёт счастливая минута – радостноечувство успеха, укрепление веры в свои силы.Пусть эти слова на нашем уроке обретут реальное подтверждение.II. Проверка домашнего задания. Начнем урок как обычно с проверки д/з.-Повторите определение кусочной функции и план исследования функций.1). На доске изобразить придуманные вами графики кусочных функций (рис.1,2,3)2).Карточки .№1. Расставьте порядок исследования свойств функций:
    выпуклость; четность, нечётность; область значений; ограниченность; монотонность; непрерывность; наибольшее и наименьшее значение функции; область определения.
№2.Изобразите схематически графики функций:

А) у = kx + b, k0; Б) y = kx, k0;

В) у = , k0.

3).Устная работа . – 2мин

    Какая функция называется кусочной?
Кусочной называется функция, заданная разными формулами на разных промежутках.
    Из каких функций состоят кусочные функции, изображенные на рис.1,2,3? Какие ещё названия функций вы знаете? Как называются графики соответствующих функций? Является ли графиком какой-либо функции, фигура, изображенная на рис.4? Почему?
Ответ: нет, т.к. по определению функции, каждому значению независимой переменной х ставится в соответствие единственное значение зависимой переменной у. 4) Самоконтроль - 3 минИз предложенных графиков и соответствующих формул, задающих функции, выберите верные. Из полученных букв ответов составьте знакомое слово. Ответ: ГРАФИК Где в жизни, в науке, в быту мы ещё встречаемся со словом ГРАФИК?-График зависимости массы от объёма,-объёма от давления;- график дежурства;- график движения поездов;-графики используются для представления различной информации, например, объём промышленного производства в Саратовской области в период с 1980 по 2002год.. По этому графику можно проследить за снижением и ростом производства в отдельные года.-Скажите, графиком какой функции представлена данная информация.Ответ: кусочная функция .III. Сообщение темы, цели урока. Тема урока: «Кусочно-заданные функции»Цель: - на примере кусочно-заданной функции вспомнить план исследования функций;
    повторить шаги построения кусочно-заданной функции; применять обобщенные знания при решении нестандартных задач.
IV. Актуализация ранее усвоенных знаний. Понятие функции впервые встретилось нам в 7 классе при изучении линейной зависимости. С точки зрения моделирования реальных процессов, эта зависимость соответствует равномерным процессам.Пример: Движение пешехода с постоянной скоростью за время t. Формула: s =vt, график – отрезки прямой, расположен в I четверти.
Основная тема 8-го класса – квадратичная функция, моделирующая равноускоренные процессы.Пример: изученная вами в 9-ом классе формула определения сопротивления нагретой лампы (R) при постоянной мощности (Р) и изменяющемся напряжении (U). ФормулаR = , график – ветвь параболы, расположен-ная в I четверти.
На протяжении трёх лет наши знания о функциях обогащались, количество изученных функций росло, пополнялся и набор заданий для решения которых приходится прибегать к графикам.Назовите эти типы заданий…- решение уравнений; - решение систем уравнений; - решение неравенств; - исследование свойств функций. V.Подготовка уч-ся к обобщающей деятельности. Вспомним один из типов заданий, а именно – исследование свойств функций или чтение графика.Обратимся к учебнику. Страница 65 рис.20а из №250.Задание: прочитать график функции. Порядок исследования функции перед нами.1. область определения – (-∞; +∞) 2. четность, нечётность – ни четная, ни нечётная 3. монотонность- возрастает [-3; +∞), убывает [-5;-3], постоянна (-∞; -5]; 4. ограниченность – ограничена снизу 5. наибольшее и наименьшее значение функции – у наим = 0, у наиб – не существует; 6. непрерывность- непрерывна на всей области определения; 7. область значений – , выпукла и вниз и вверх (-∞; -5] и [-2; +∞). VI. Воспроизведение знаний на новом уровне. Вы знаете, что построение и исследование графиков кусочно-заданных функций, рассматриваются во второй части экзамена по алгебре в разделе функции и оцениваются 4-мя и 6-ю баллами. Обратимся к сборнику заданий.Страница 119 - №4.19-1).Решение: 1).у = - x, - квадратичная функция, график – парабола, ветви вниз (а = -1, а 0). х -2 -1 0 1 2 у -4 -1 0 1 4 2) у= 3х – 10, - линейная функция, график – прямая Составим таблицу некоторых значений х 3 3 у 0 -1 3) у= -3х -10, - линейная функция, график – прямая Составим таблицу некоторых значений х -3 -3 у 0 -1 4)Построим графики функций в одной системе координат и выделим части графиков на заданных промежутках.
Найдем по графику, при каких значениях х значения функции неотрицательны. Ответ: f(x)  0 при х = 0 и при  3VII.Работа над нестандартными заданиями. №4.29-1), стр. 121. Решение: 1)Прямая (слева) у = kx + b проходит через точки (-4;0) и (-2;2). Значит,-4 k + b = 0,-2 k + b = 2;
k = 1, b = 4, у = х+4.Ответ: х +4, если х -2 у = , если -2 х £ 3 3, если х 3
VIII.Контроль знаний. Итак, подведём небольшой итог. Что мы повторили на уроке?План исследования функций, шаги построения графика кусочной функции, задание функции аналитически. Проверим как вы усвоили данный материал.Тестирование на «4»- «5», «3» I вариант№ У
2 1 -1 -1 1 Х
    D(f) = , выпуклая и вверх и вниз на , выпуклая вверх и вниз на , убывает на ________ Ограничена ____________ у наим не существует, у наиб =_____ Непрерывна на всей области определения Е(f) = ____________ Выпукла и вниз и вверх на всей области определения

Графики кусочно – заданных функций

Мурзалиева Т.А. учитель математики МБОУ «Борская средняя общеобразовательная школа» Бокситогорский район Ленинградская область


Цель:

  • освоить метод линейного сплайна для построения графиков, содержащих модуль;
  • научиться применять его в простых ситуациях.

Под сплайном (от англ. spline - планка, рейка) обычно понимают кусочно-заданную функцию.

Такие функции были известны математикам давно, начиная еще с Эйлера (1707-1783г.,швейцарский, немецкий и российский математик), но их интенсивное изучение началось, фактически, только в середине XX века.

В 1946 году Исаак Шёнберг (1903- 1990г., румынский и американский математик) впервые употребил этот термин. С 1960 года с развитием вычислительной техники началось использование сплайнов в компьютерной графике и моделировании.


1 . Введение

2. Определение линейного сплайна

3. Определение модуля

4. Построение графиков

5. Практическая работа



Одно из основных назначений функций – описание реальных процессов, происходящих в природе.

Но издавна ученые – философы и естествоиспытатели выделяли два типа протекания процессов: постепенное ( непрерывное ) и скачкообразное.


При падении тела на землю сначала происходит непрерывное нарастание скорости движения , а в момент столкновения с поверхностью земли скорость изменяется скачкообразно , становясь равной нулю или меняя направление (знак) при «отскоке» тела от земли (например, если тело – мяч).

Но раз есть разрывные процессы, то необходимы средства их описаний. С этой целью вводятся в действие функции, имеющие разрывы .


a - формулой y = h(x), причем будем считать, что каждая из функций g(x) и h(x) определена для всех значений х и разрывов не имеет. Тогда, если g(a) = h(a), то функция f(x) имеет при х=а скачок; если же g(a) = h(a) = f(a), то «комбинированная» функция f разрывов не имеет. Если обе функции g и h элементарные, то f называется кусочно–элементарной. "
  • Один из способов введения таких разрывов следующий:

Пусть функция y = f(x)

при x определена формулой y = g(x),

а при xa - формулой y = h(x), причем будем считать , что каждая из функций g(x) и h(x) определена для всех значений х и разрывов не имеет.

Тогда , если g(a) = h(a), то функция f(x) имеет при х=а скачок;

если же g(a) = h(a) = f(a), то «комбинированная» функция f разрывов не имеет. Если обе функции g и h элементарные, то f называется кусочно–элементарной.



Графики непрерывных функций


Построить график функции:

У = |X-1| + 1

Х=1 –точка смены формул


Слово «модуль» произошло от латинского слова «modulus», что в переводе означает «мера».

Модулем числа а называется расстояние (в единичных отрезках ) от начала координат до точки А (а) .

Это определение раскрывает геометрический смысл модуля.

Модулем (абсолютной величиной ) действительного числа а называется то самое число а ≥ 0, и противоположное число –а , если а


0 или х=0 у = -3х -2 при х "

Построить график функции у = 3|х|-2.

По определению модуля, имеем: 3х – 2 при х0 или х=0

-3х -2 при х


x n) "

. Пусть заданы х 1 х 2 х n – точки смены формул в кусочно-элементарных функциях.

Функция f, определенная при всех х, называется кусочно-линейной, если она линейна на каждом интервале

и к тому же выполнены условия согласования, то есть в точках смены формул функция не терпит разрыв.

Непрерывная кусочно-линейная функция называется линейным сплайном . Её график есть ломаная с двумя бесконечными крайними звеньями – левым (отвечающим значениям x n ) и правым ( отвечающим значениям x x n )


Кусочно-элементарная функция может быть определена более чем двумя формулами

График – ломаная с двумя бесконечными крайними звеньями – левым (х1).

У=|x| - |x – 1|

Точки смены формул: х=0 и х=1.

У(0)=-1, у(1)=1.


График кусочно-линейной функции удобно строить, указывая на координатной плоскости вершины ломаной.

Кроме построения n вершин следует построить также две точки : одну левее вершины A 1 ( x 1; y ( x 1)), другую – правее вершины An ( xn ; y ( xn )).

Заметим, что разрывную кусочно-линейную функцию нельзя представить в виде линейной комбинации модулей двучленов .


Построить график функции у = х+ |x -2| - |X|.

Непрерывная кусочно-линейная функция называется линейным сплайном

1.Точки смены формул: Х-2=0, Х=2 ; Х=0

2.Составим таблицу:

У(0 )= 0+|0-2|-|0|=0+2-0= 2 ;

у(2 )=2+|2-2|-|2|=2+0-2= 0 ;

у (-1 )= -1+|-1-2| - |-1|= -1+3-1= 1 ;

у(3 )=3+|3-2| - |3|=3+1-3= 1 .


Построить график функции у = |х+1| +|х| – |х -2|.

1 .Точки смены формул:

х+1=0, х=-1 ;

х=0 ; х-2=0, х=2.

2 . Составим таблицу:

y(-2)=|-2+1|+|-2|-|-2-2|=1+2-4=-1;

y(-1)=|-1+1|+|-1|-|-1-2|=0+1-3=-2;

y(0)=1+0-2=-1;

y(2)=|2+1|+|2|-|2-2|=3+2-0=5;

y(3)=|3+1|+|3|-|3-2|=4+3-1=6.


|x – 1| = |x + 3|

Решите уравнение:

Решение. Рассмотрим функцию y = |x -1| - |x +3|

Построим график функции /методом линейного сплайна/

  • Точки смены формул:

х -1 = 0, х = 1; х + 3 =0, х = - 3.

2. Составим таблицу:

y(- 4) =|- 4–1| - |- 4+3| =|- 5| - | -1| = 5-1=4;

y( -3 )=|- 3-1| - |-3+3|=|-4| = 4;

y( 1 )=|1-1| - |1+3| = - 4 ;

y(-1) = 0.

y(2)=|2-1| - |2+3|=1 – 5 = - 4.

Ответ: -1.



1. Построить графики кусочно-линейных функций методом линейного сплайна:

у = |x – 3| + |x|;

1). Точки смены формул:

2). Составим таблицу:


2. Построить графики функций, используя УМК «Живая математика »

А) у = |2x – 4| + |x +1|

1) Точки смены формул:

2) y() =

Б) Постройте графики функций, установите закономерность :

a) у = |х – 4| б) y = |x| +1

y = |x + 3| y = |x| - 3

y = |x – 3| y = |x| - 5

y = |x + 4| y = |x| + 4

Используйте инструменты «Точка», «Отрезок», «Стрелка» на панели инструментов.

1. Меню «Графики».

2. Вкладка «Построить график».

.3. В окне «Калькулятор» задать формулу.


Постройте график функции:

1) У = 2х + 4


1. Козина М.Е. Математика. 8-9 классы: сборник элективных курсов. – Волгоград: Учитель, 2006.

2. Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова. Алгебра: учеб. Для 7 кл. общеобразоват. учреждений/ под ред. С. А. Теляковского. – 17-е изд. – М. : Просвещение, 2011

3. Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова. Алгебра: учеб. Для 8 кл. общеобразоват. учреждений/ под ред. С. А. Теляковского. – 17-е изд. – М. : Просвещение, 2011

4. ВикипедиЯ свободная энциклопедия

http://ru.wikipedia.org/wiki/Spline

графовых кусочных функций | Промежуточная алгебра

Результаты обучения

  • Напишите кусочную функцию, представляющую приложение
  • Построение кусочной функции в области

В этом разделе мы построим кусочные функции. Функция, представленная на графике ниже, представляет собой стоимость передачи данных для данной компании сотовой связи. Мы можем видеть, где функция изменяется с постоянной на линию с положительным наклоном при [latex] g = 2 [/ latex].Когда мы строим кусочные функции, важно убедиться, что каждая формула применяется в соответствующей области. [латекс] C \ left (g \ right) = \ begin {case} {25} \ text {if} {0} <{g} <{2} \\ 10g + 5 \ text {if} {g} \ ge {2} \ end {case} [/ latex]

В этом случае на выходе будет [latex] 25 [/ latex] для любого ввода между [latex] 0 [/ latex] и [latex] 2 [/ latex]. Для значений, равных или превышающих [latex] 2 [/ latex], вывод определяется как [latex] 10g + 5 [/ latex].

Как сделать: для заданной кусочной функции нарисуйте график

  1. Укажите на оси x границы, определяемые интервалами на каждой части домена.
  2. Для каждой части домена построить график на этом интервале, используя соответствующее уравнение, относящееся к этой части. Не отображайте две функции на одном интервале, потому что это нарушит критерии функции.

Пример

Нарисуйте график функции и укажите ее область и диапазон.

Учитывая кусочное определение [латекс] f (x) = \ begin {cases} −x - 3 \ text {if} x <−3 \\ x + 3 \ text {if} x \ ge −3 \ end {cases } [/ latex]

Показать решение

Сначала изобразите линию [латекс] f (x) = −x − 3 [/ latex], стирающую часть, где x больше, чем [latex] -3 [/ latex].Обведите кружком [латекс] (- 3,0) [/ латекс].

Теперь поместите линию [latex] f (x) = x + 3 [/ latex] на график, начиная с точки [latex] (- 3,0) [/ latex]. Обратите внимание, что для этой части графика добавлена ​​точка [latex] (- 3,0) [/ latex], поэтому вы можете удалить открытый кружок.

Обратите внимание, что две части графика встречаются в точке [латекс] (- 3,0) [/ латекс].

Домен этой функции - все действительные числа, потому что [latex] (- 3,0) [/ latex] не включен в качестве конечной точки [latex] f (x) = −x − 3 [/ latex], но он включается в качестве конечной точки для [latex] f (x) = x + 3 [/ latex].

Диапазон этой функции начинается с [latex] f (x) = 0 [/ latex] и включает [latex] 0 [/ latex] и продолжается до бесконечности, поэтому мы бы записали это как [latex] y \ ge0 [ /латекс].

В следующем примере мы построим график кусочно определенной функции, которая моделирует стоимость доставки для интернет-магазина комиксов.

Пример

Интернет-магазин комиксов взимает стоимость доставки по следующей формуле, где n - количество комиксов:

[латекс] S (п) = \ begin {case} 1.5n + 2.5 \ text {if} 1 \ le {n} \ le14 \\ 0 \ text {if} n \ ge15 \ end {case} [/ latex]

Постройте график функции стоимости.

Показать решение

Сначала нарисуйте линию [латекс] S (n) = 1,5n + 2,5 [/ латекс]. Мы можем использовать трансформации: это вертикальное растяжение в [латекс] 1,5 [/ латекс] и вертикальный сдвиг на [латекс] 2,5 [/ латекс].

Теперь мы можем удалить части графа, не входящие в домен. Остается часть графа [latex] 1 \ le {n} \ le14 [/ latex].

Наконец, добавьте постоянную функцию [latex] S (n) = 0 [/ latex] для входных данных больше или равных [latex] 15 [/ latex].Поместите закрытые точки на концах графика, чтобы обозначить включение конечных точек.

В следующем видео мы покажем, как построить график кусочно определенной функции, которая является линейной в обеих областях.

Сводка

Чтобы построить график кусочных функций, сначала определите, где область разделена граничными значениями. График функционирует в домене с помощью таких инструментов, как построение точек или преобразование. Обязательно используйте открытые или закрытые кружки на конечных точках каждого домена в зависимости от того, включена ли конечная точка.

кусочных функций - определение, график и примеры

Есть случаи, когда выражение для функций зависит от заданного интервала входных значений. Когда это происходит, мы вызываем эти типы функций , кусочно-определенные функции .

Кусочные функции определяются разными функциями в разных интервалах домена.

На самом деле мы применяем кусочные функции в нашей жизни чаще, чем думаем.В налоговых скобках, при оценке тарифных планов для мобильных телефонов и даже в нашей заработной плате (с учетом сверхурочной работы) используются кусочные функции.

Поэтому для этой функции мы выделили специальный раздел. Из этой статьи вы узнаете следующее:

  • Определение кусочной функции.
  • Обучение оценке кусочно-определенных функций через заданные интервалы.
  • Построение графиков и интерпретация кусочных функций.

Что такое кусочная функция?

Чтобы полностью понять, что такое кусочные функции и как мы можем построить наши собственные кусочно-определенные функции, давайте сначала погрузимся в более глубокое понимание того, как это работает.

Определение кусочной функции

Кусочная функция - это функция, которая определяется различными формулами или функциями для каждого заданного интервала. Это также есть в названии: кусок. Функция определяется частями функций для каждой части домена .

2x, для x> 0

1, для x = 0

-2x, для x <0

Как видно из приведенного выше примера, f (x) является кусочной функцией, потому что она определены однозначно для трех интервалов: x> 0, x = 0 и x <0.

Как читать кусочные функции?

Когда у нас есть заданная кусочно-определенная функция, мы можем интерпретировать ее, глядя на заданные интервалы. Если мы посмотрим на наш пример, мы можем прочитать его как:

  • Когда x> 0, f (x) равно 2x.
  • Когда x = 0, f (x) равно 1.
  • Когда x <0, f (x) равно -2x.

Если дан кусочный график функции, обязательно соблюдайте указанные интервалы, в которых f (x) имеет различные графики.Но прежде чем мы попробуем примеры, которые включают анализ графиков кусочных функций, давайте продолжим и узнаем, как мы можем сначала вычислить и построить график кусочных функций.

Как решать кусочные функции?

Теперь, когда мы узнали об этой уникальной функции, как нам убедиться, что мы возвращаем правильное значение для функции, заданной x ? Вот советы, которые следует помнить при решении и оценке кусочных функций:

  • Дважды проверьте, где x находится в заданном интервале.
  • Оцените значение, используя соответствующую функцию.

Допустим, мы хотим найти f (8) , используя кусочную функцию, которую мы показали.

2x, для x> 0

1, для x = 0

-2x, для x <0

Поскольку 8 больше 0, функция, которую мы будем использовать для оценки f (8) , будет f (x) = 2x . Следовательно, имеем f (8) = 2 (8) = 16 . Это также означает, что f (-6) = -2 (-6) = 12 и f (0) = 1 .

Как построить кусочный график функций?

Как мы упоминали ранее, кусочные функции содержат разные функции для каждого из заданных интервалов. Это означает, что при построении графиков кусочных функций также ожидает графического отображения различных функций для каждого интервала .

Вот несколько быстрых напоминаний при построении графиков кусочных функций:

  • Это помогает определить, как будет выглядеть каждая функция.
  • Для инклюзивных интервалов (т. Е. X ≥ 0), включая конечные точки.
  • Для исключительных интервалов (т. Е. X <0) исключите конечные точки, используя незаполненные точки.

С какими общими функциями вы можете столкнуться при построении графиков кусочных функций? Вот некоторые ресурсы, и не стесняйтесь проверять ссылки, чтобы освежить свои знания о некоторых из часто используемых графиков:

Это не единственные функции, которые могут использовать кусочные функции, поэтому обязательно проверьте библиотеку функций в вашем учебнике. всякий раз, когда вам нужно. Давайте попробуем построить график кусочной функции, приведенной в первом разделе.

2x, для x> 0

1, для x = 0

-2x, для x <0

Когда x> 0 и x <0, f (x) возвращает линейную функцию . Найдите как минимум две пары точек, удовлетворяющих каждой функции, и используйте их для построения двух линейных графиков.

Поскольку оба неравенства являются исключительными, мы оставляем точку в начале координат незаполненной. Теперь у нас осталось условие, когда x = 0. Поскольку значение постоянно при f (x) = 1, давайте построим точку в точке (0,1).

Этот график возвращает окончательный график для данной кусочной функции. Из графика видно, что f (x) имеет область значений и диапазон (-∞, ∞) и [0, -∞) соответственно.

Мы рассмотрели все основные свойства и методы, которые мы можем использовать с кусочными функциями, поэтому пришло время проверить наши знания на этих примерах!

Пример 1

Оцените данную кусочную функцию при заданных значениях x , как показано ниже.

√x, для x> 0

5, для x = 0

x / 6, для x <0

a. ж (-36)

б. f (0)

c. f (49)

Решение

  • Когда x = -36 (или меньше 0), выражение для f (x) будет x / 6 . Давайте оценим f (-36) , используя выражение. Следовательно, мы имеем f (-36) = -36/6 = -6 .
  • Когда x = 0, f (x) постоянная . Это означает, что у нас есть f (0) = 5 .
  • Когда x = 49 (и, следовательно, больше 0), выражение для f (x) будет x . Давайте вычислим f (49) , используя выражение. Следовательно, мы имеем f (49) = 49 = 7 .

Пример 2

Изобразите кусочную функцию, показанную ниже. Используя график, определите его домен и диапазон.

2x, для x ≠ 0

1, для x = 0

Решение

Для всех интервалов x, кроме тех, когда он равен 0, f (x) = 2x (что является линейным функция).Чтобы построить график линейной функции, мы можем использовать две точки, чтобы соединить линию. Просто убедитесь, что две точки удовлетворяют y = 2x . Обязательно оставьте точку отправления незаполненной.

Поскольку f (x) = 1 , когда x = 0 , мы наносим закрашенную точку в (0,1). График выше показывает окончательный график кусочной функции.

Поскольку график охватывает все значения x, доменом будет , все действительные числа или (-∞, ∞). То же самое относится и к набору функций.Поскольку он распространяется в обоих направлениях, диапазон функции составляет (- , ) в обозначении интервала .

Пример 3

Изобразите кусочную функцию, показанную ниже. Используя график, определите его домен и диапазон.

x 2 , для x ≤ 0

5, для 0

x / 2, для x ≥ 2

Решение

Давайте сначала разберем три интервала и определим, как график функции будет выглядеть так:

  • Когда x ≤ 0, f (x) становится квадратичной функцией с параболой, проходящей через начало координат и (-2, 4).Поскольку это применимо только к 0 и отрицательным числам, мы будем использовать только половину параболы.
  • Когда 0 f (x) будет представлять константу, которая представляет собой горизонтальную линию, проходящую через y = 5 . Обязательно оставьте (0,5) и (2,5) незаполненными, так как они не являются частью раствора.
  • Когда x ≥ 2, f (x) является функцией и проходит через (2, 1) и (6,3).

Используя эту информацию, мы можем построить график f (x) .

Изображение выше разбивает три компонента кусочной функции.Давайте продолжим и упростим этот график, чтобы мы могли проанализировать его по предметной области и диапазону.

Поскольку все значения x распространяются в обоих направлениях, доменом будет , все действительные числа или (-∞, ∞). Поскольку график охватывает только значения y над осью x, диапазон функции составляет [0, ) в обозначении интервала .

Пример 4

Разговорная поэзия проводится в соседнем кафе.Они берут 6 долларов с человека за стол на от 1 до 5 человек. Они также предлагают фиксированную плату в размере 50 долларов за столик на 6 и более человек. Напишите функцию, которая связывает количество людей x и стоимость посещения мероприятия f (x) .

Решение

Давайте разберем задачу и найдем выражение f (x) для каждого интервала:

  • Для стола от 1 до 5 гостей мы можем выразить это как 1 ≤ x ≤ 5 по x.Поскольку это будет стоить каждому гостю 6 долларов, общая сумма для x гостей составит 6x .
  • Теперь, для стола с 6 или более людьми, мы можем выразить интервал как x ≥ 6. Для этого интервала f (x) всегда будет равно 60 .

Теперь мы можем суммировать это в виде кусочной функции:

6x, для 1 ≤ x ≤ 5

50, для x ≥ 6

Эта кусочная функция представляет стоимость f (x) для x число гостей.

Практические вопросы

1. Оцените данную кусочную функцию при заданных значениях x , как показано ниже.

√ (x-1), для x> 0

5, для x = 0

x + 1, для x <0

a. ф (-8)

б. ф (0)

с. f (63)

2. Оцените данную кусочную функцию при заданных значениях x, , как показано ниже.

3x 2 , для x ≤ 0

4x - 6, для 0

2x, для x ≥ 2

a. ф (-2)

б. f (0,75)

c. f (7)

3. Постройте график кусочной функции, показанной ниже. Используя график, определите его домен и диапазон.

2x 2 , для x ≠ 0

8, для x = 0

4. Постройте график кусочной функции, показанной ниже. Используя график, определите его домен и диапазон.

√ (-4x), для x ≤ 0

2x, для 0

-x 2 , для x ≥ 9

5.Предположим, у вас есть летняя работа, за которую платят 12 долларов в час. Вы должны работать не менее 30 часов в неделю. Компания оплачивает сверхурочную работу в 1,5 раза больше почасовой ставки.

а. Настройте кусочную функцию, которая представляет вашу еженедельную оплату.
г. Изобразите построенную вами кусочную функцию.
г. Сколько бы вы заработали, если бы в ту неделю проработали 48 часов?

Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок

Объяснитель урока: Графики кусочно-определенных функций

В этом объяснителе мы узнаем, как построить график и проанализировать кусочно-определенную функцию, а также изучить ее различные характеристики.

Кусочная функция состоит из нескольких подфункций, определенных в отдельных подобластях. Объединение подобластей составляет общую область кусочной функции. Объединение диапазонов подфункций составляет диапазон общей кусочной функции.

Следующие данные о ценах на билеты в парке развлечений можно смоделировать с помощью кусочной функции.

Стоимость билетов в парк развлечений
Возраст Цена
5–12 $ 8.50
13–18 12 долларов
19+ 15 долларов

В таблице представлены три цены на билеты, которые зависят от возраста посетителя парка. Для моделирования этого потребуются три разные подфункции. Нам также нужно будет тщательно подумать о том, как интерпретировать возрастные категории при выборе области каждой подфункции. Возраст 5–12 охватывает людей с момента, когда часы пробьют полночь в начале их 5-летия, до момента до того, как часы пробьют полночь в начале их 13-летия.Возраст 13–18 охватывает людей с момента, когда часы пробьют полночь в начале их 13-летия, до момента до того, как часы пробьют полночь в начале их 19-летия. Возраст 19+ распространяется на людей с момента, когда часы пробьют полночь в начале их 19-летия.

Определим 𝑥 как возраст (в годах) посетителя парка и 𝑓 (𝑥) как стоимость билета посетителя (в долларах). Затем мы можем написать определение нашей функции 𝑓 (𝑥): 𝑓 (𝑥) = 8.55≤𝑥13,1213≤𝑥19,15𝑥≥19.

Теперь давайте посмотрим, как построить график этой функции. Нам нужно будет исследовать каждый поддомен отдельно.

За всех посетителей парка в возрасте от 5 до 12 лет взимается 8,50 долларов США, поэтому значение 𝑓 (𝑥) равно 8,5 при 5≤𝑥13. Это представлено горизонтальной линией на нашем графике со значением 8,5 и значениями 𝑥 от 5 (включая 5, представленные сплошной точкой) до 13 (исключая 13, представленные пустой точкой). Мы представили это розовой линией на нашем графике ниже.

За всех посетителей парка в возрасте 13–18 лет взимается плата в размере 12 долларов США, поэтому значение 𝑓 (𝑥) равно 12, если 13≤𝑥19.Это представлено горизонтальной линией на нашем графике с-значением 12 и 𝑥-значениями от 13 (включая 13, представленные сплошной точкой) до 19 (исключая 19, представленные пустой точкой). Мы представили это синей линией на нашем графике ниже.

За всех посетителей парка в возрасте от 19 лет взимается плата в размере 15 долларов США, поэтому значение 𝑓 (𝑥) равно 15, если 𝑥≥19. Это представлено горизонтальной линией на нашем графике с-значением 15 и 𝑥-значениями от 19 (включая 19, представленных сплошной точкой) вверх (представлено лучом, указывающим вправо).Хотя люди не живут вечно, модель ценообразования определена таким образом, что независимо от того, сколько вам лет, если вам 19 лет или больше, с вас будет взиматься плата в размере 15 долларов за посещение парка. Мы представили это зеленым лучом на нашем графике ниже.

Хотя во многих кусочных функциях определения подфункций могут быть намного сложнее, чем постоянные функции в нашем примере с парком развлечений, принцип тот же самый для их построения графиков. Нам нужно рассмотреть график для каждой подобласти индивидуально, посмотреть, что будет происходить на каждом конце каждой подфункции, и изобразить их рядом друг с другом на одном и том же наборе осей.

Кусочная функция, которую мы определили для цен на билеты в парк развлечений и построила график, определена только для всех реальных значений 𝑥, равных 5 или более. Следовательно, область определения функции в целом может быть записана как неравенство, ≥5, используя обозначение интервала как [5, ∞ [или обозначение множества как {𝑥∈ℝ∣𝑥≥5}.

Возможные значения функции: 𝑓 (𝑥) = 8.5, 𝑓 (𝑥) = 12 или 𝑓 (𝑥) = 15. Следовательно, диапазон общей функции может быть записан в обозначении набора как {8.5,12,15}.

Теперь рассмотрим несколько примеров, в которых нам приходится работать с графиками кусочно-определенных функций.

Пример 1: Определение типа функции, представленной на графике

Какая функция изображена на графике?

  1. Четная функция
  2. Логарифмическая функция
  3. Кусочная функция
  4. Полиномиальная функция

Ответ

Рассмотрим каждый из вариантов.

  1. Четная функция - это функция, для которой 𝑓 (𝑥) = 𝑓 (−𝑥) для всех значений 𝑥 в области определения 𝑓. Это означает, что четные функции симметричны относительно оси, чего нельзя сказать о данном графике.Например, 𝑓 (5) = 7, но 𝑓 (−5) = 0, поэтому 𝑓 (5) ≠ 𝑓 (−5); следовательно, функция не четная.
  2. Логарифм определенного значения, например 𝑥, - это показатель степени, до которого нужно возвести другое базовое число, чтобы получить. Графики логарифмических функций имеют гладкие кривые, которые асимптотичны относительно оси, как мы можем видеть в примерах ниже, или они могут быть преобразованы. Данный граф имеет острые углы при 𝑥 = −3 и 𝑥 = 0, поэтому он не является гладким во всей области, а также не имеет вертикальных асимптот.Также не определены логарифмические функции для отрицательных значений; другими словами, их область применения - это набор положительных действительных чисел. Данный график представляет функцию, которая имеет область значений не менее -10𝑥8, которая включает некоторые отрицательные 𝑥-значения, поэтому данный график не похож на логарифмическую функцию.
  3. График этой функции состоит из трех отдельных подфункций.
    1. Для значений от −∞ до −3 график представляет собой прямую линию с наклоном 1.Мы могли бы записать уравнение для этой прямой в виде = 𝑚𝑥 + 𝑏, где 𝑚 - наклон (1), а 𝑏 --пересечение, поэтому 𝑦 = 𝑥 + 𝑏. Мы также видим, что прямая проходит через точку (−5,0), поэтому 𝑦 = 0, когда 𝑥 = −5, что позволяет нам вычислить значение 𝑏 как 5. Следовательно, мы могли бы записать уравнение как 𝑦 = 𝑥 +5.
    2. Для-значений от −3 до 0 график представляет собой горизонтальную линию, так что 𝑦-значение всегда равно 2, поэтому мы можем записать уравнение этой линии как = 2.
    3. Для 𝑥-значений от 0 до ∞ график снова представляет собой прямую линию с наклоном 1.На этот раз мы видим, что-пересечение равно 2, поэтому мы можем записать уравнение как 𝑦 = 𝑥 + 2.
    Хотя нас специально не просили сделать это, мы могли бы записать определение функции следующим образом: 𝑓 (𝑥) = 𝑦 = 𝑥 + 5𝑥 − 3, 𝑦 = 2−3≤𝑥0, 𝑦 = 𝑥 + 2𝑥≥0 .
    Однако из графика мы можем видеть, что значения подфункций такие же, как у их соседей в их общих конечных точках; Другими словами, подфункции соединяются, образуя непрерывную функцию. Было бы также правильно определить подфункции как имеющие несколько разные подобласти, переставив подфункцию, к которой принадлежат точки соединения.В этой ситуации, когда распределение является произвольным, обычно включают левую конечную точку и исключают правую конечную точку из подфункций.
    Тот факт, что наша функция должна быть определена в терминах серии подфункций в определенных подобластях, делает ее кусочной функцией.
  4. Полиномиальные функции включают сложение, вычитание и умножение коэффициентов и переменных с неотрицательными целыми показателями. Графики полиномиальных функций образуют гладкие кривые и могут быть определены одним полиномиальным уравнением.Данный график имеет две негладкие точки, когда 𝑥 = −3 и 𝑥 = 0, поэтому он не является графиком полиномиальной функции.

Следовательно, функция, изображенная на графике, является кусочной функцией (вариант C).

В нашем следующем примере мы исследуем конечные точки каждой подфункции на графике кусочно определенной функции, чтобы найти ее домен.

Пример 2: Нахождение области определения кусочной функции по ее графику

Определите область определения функции, представленной данным графиком.

Ответ

Область функции - это набор всех значений, в которых функция определена. На графике функции область представляет собой все 𝑥-значения, на которых нарисована кривая. Для кусочно определенной функции область будет объединением подобластей каждой подфункции. Эта кусочно-определенная функция имеет две подфункции.

Первая подфункция - это луч с пустой точкой в ​​точке (−4,1). Пустая точка указывает, что эта подфункция не определена при = −4 и, следовательно, имеет правый открытый интервал.Стрелка указывает, что подфункция продолжается бесконечно в направлении этой стрелки, здесь в сторону отрицательной бесконечности. Следовательно, первая подфункция имеет подобласть] −∞, −4 [.

Вторая подфункция - это луч с пустой точкой в ​​точке (−4, −2). Пустая точка указывает, что эта подфункция также не определена для 𝑥 = −4 и, следовательно, имеет левый открытый интервал. Стрелка указывает, что эта подфункция продолжается бесконечно в направлении стрелки, которая здесь указывает на положительную бесконечность.Следовательно, область определения второй подфункции будет] −4, ∞ [.

Объединение этих подобластей равно] −∞, −4 [∪] −4, ∞ [.

Объединение этих двух поддоменов будет включать все действительные числа, кроме −4, ℝ - {- 4}.

Графически мы можем найти область, посмотрев на вертикальные линии на графике и увидев, где они пересекают заданную функцию. В этом случае вертикальная линия при 𝑥 = −4 пересекает только полые точки каждой подфункции.

Ни одна из подфункций не определена для = −4, что означает, что эта кусочная функция не определена при = −4.Следовательно, областью определения этой кусочно-определенной функции будет набор всех действительных чисел, кроме −4, ℝ - {- 4}.

В предыдущем примере мы видели, что домен кусочно определенной функции представляет собой объединение подобластей для каждой из подфункций. В нашем следующем примере мы покажем, что диапазон кусочно определенной функции будет равен объединению диапазонов каждой подфункции по их соответствующим подобластям.

Пример 3: Определение диапазона кусочной функции по ее графику

Найдите диапазон функции.

Ответ

На данном графике мы можем выделить две специфические подфункции, делающие эту функцию кусочной. Диапазон функции - это набор всех возможных выходных значений функции с учетом ее домена. Диапазон кусочно определенной функции - это объединение диапазонов каждой подфункции по их соответствующим подобластям.

Мы можем идентифицировать значения в диапазоне с помощью горизонтальных линий. Если горизонтальная линия пересекает график нашей функции, то значение горизонтальной линии является частью диапазона.Для этой кусочной функции горизонтальная линия 𝑦 = 3 пересекает график одной из подфункций, что означает, что 3 входит в диапазон этой подфункции.

На графике мы видим поведение подфункции, которая начинается в (4, −1) и продолжается бесконечно в сторону положительной бесконечности. Любая горизонтальная линия выше = 3 будет пересекать эту подфункцию и должна быть включена в диапазон.

Любая горизонтальная линия между 𝑦 = −1 и 𝑦 = ∞ будет пересекать эту подфункцию, делая ее диапазон [−1, ∞ [.

Здесь стоит отметить, что другая подфункция - это горизонтальная линия 𝑦 = −1 над ее подобластью] −∞, 4].

Следовательно, -1 - единственное значение в наборе для диапазона. Диапазон этой подфункции по ее подобласти будет {−1}.

Объединение диапазонов для этих двух подфункций по их соответствующим подобластям составляет {−1} ∪ [−1, ∞ [.

Следовательно, диапазон этой кусочно определенной функции равен [−1, ∞ [.

В нашем следующем примере мы будем использовать график кусочно определенной функции, чтобы найти формальное определение функции.

Пример 4: Определение кусочной функции из заданного графа

Дайте кусочное определение функции ℎ, график которой показан.

Ответ

Кусочная функция состоит из двух или более подфункций. Чтобы определить кусочную функцию, нам нужно выражение для каждой из подфункций и подобластей для каждой из подфункций. Сначала мы определим, сколько подфункций являются частью этой кусочной функции, посмотрев на поведение графика.В этом случае есть две подфункции.

У нас есть прямая с отрицательным наклоном, которая заканчивается в точке (2,1) и другой прямая, которая начинается в точке (2,1) и имеет положительный наклон. Каждая из этих строк будет формировать подфункцию этой кусочной функции в соответствующей подобласти. Итак, мы определяем уравнение через для каждой подфункции и определите их соответствующие поддомены.

Форма линии наклона с пересечением говорит нам, что линия наклона 𝑚, а 𝑦-точка пересечения 𝑏 имеет уравнение 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏.Наклон 𝑚 равен изменению изменения.

Прямая линия с отрицательным наклоном имеет точку пересечения 𝑦 в точке 3. Наклон можно определить по графику без выполнения каких-либо формальных вычислений. Когда значение увеличивается на одну единицу, значение 𝑦 уменьшается на одну единицу.

Следовательно, changeinchangein𝑦𝑥 = −11. Следовательно, 𝑚 = −1.

Следовательно, первая подфункция определяется как = −𝑥 + 3𝑦 = 3 − 𝑥. Или

Однако нам все еще необходимо идентифицировать подобласть этой подфункции; мы можем построить вертикальную линию при 𝑥 = 2, и мы можем подтвердить, что 2 входит в область определения этой кусочной функции, поскольку она пересекает кривую в (2,1).

На графике 2 кажется частью доменов обеих подфункций. Однако, когда мы определяем кусочную функцию, мы включаем только 2 в одну из доменов подфункций, чтобы их домены не перекрывались. Обычно это определяется контекстом вопроса. Поскольку у нас есть только граф без каких-либо других данных, мы просто позволим определить первую подфункцию для подобласти] −∞, 2 [.

Следовательно, вторая подфункция будет определена для подобласти [2, ∞ [.

Было бы одинаково правильно определить подфункции как имеющие несколько разные подобласти, переставив подфункцию, к которой принадлежат точки соединения.В этой ситуации, когда распределение является произвольным, обычно включают левую конечную точку и исключают правую конечную точку из подфункций.

Теперь, когда мы определили каждую подобласть, мы используем граф, чтобы написать формулу для второй подфункции над ее подобластью.

Прямая линия второй подфункции моделирует увеличение значения на 1 единицу при увеличении значения на 2 единицы. Следовательно, changeinchangein𝑦𝑥 = 12. Затем мы можем идентифицировать-точку пересечения графически, удлинив линию, чтобы увидеть, где эта подфункция пересекала бы ось, если бы она была частью домена.

-точка пересечения второй подфункции будет равна 0. Следовательно, формула для второй подфункции будет = 𝑥2.

Объединение этих двух правил подфункций по их соответствующим подобластям определяет эту кусочную функцию как ℎ (𝑥) = 3 − 𝑥𝑥2, 𝑥22≤𝑥.ifif

В примере 5 мы будем использовать график кусочно определенной функции, чтобы найти формальное определение функции для кусочной функции с более чем двумя подфункциями.

Пример 5: Определение кусочной функции из данного графа, включая разрыв

Дайте кусочное определение функции 𝑓, график которой показан.

Ответ

Кусочная функция состоит из двух или более подфункций. Чтобы определить кусочную функцию, нам нужна формула для каждой из подфункций и их соответствующих подобластей. На этом графике показаны три различных поведения.

Следовательно, нам нужно будет написать всего три выражения и найти три подобласти, по одной для каждой подфункции.

Для прямых линий мы можем записать уравнение, используя форму пересечения угла наклона, 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏, где 𝑏 - это пересечение, а 𝑚 - наклон.Наклон 𝑚 равен изменению изменения.

Для этой строки изменение 𝑥 на 1 единицу вправо, а изменение 𝑦 - на 1 единицу вниз. Следовательно, changeinchangein𝑦𝑥 = −11, что упрощается до 𝑚 = −1. -Пересечение равно 3. Таким образом, выражение для этой подфункции по ее подобласти будет −𝑥 + 33 − 𝑥. Или

Поддомен этой подфункции равен набору всех входных значений для этой подфункции. Пустая конечная точка (2,1) указывает, что верхняя граница этой подобласти должна быть открытым интервалом.Следовательно, подобласть будет открытым интервалом от] −∞, 2 [.

Следующая подфункция закрывается точкой в ​​(2,2).

Замкнутая точка в (2,2) показывает постоянную функцию 𝑦 = 2, где подобласть равна {2}.

Третья подфункция имеет пустую точку в (2,3) и продолжается бесконечно. Следовательно, подобластью этой подфункции является интервал] 2, ∞ [.

Для этой подфункции значение увеличивается на 2 единицы, а значение увеличивается на 1 единицу. Следовательно, changeinchangein𝑦𝑥 = 12.Затем мы можем идентифицировать-точку пересечения графически, удлинив линию, чтобы увидеть, где эта подфункция пересекала бы ось, если бы она была частью своей подобласти.

-пересечение этой подфункции равно 2. Следовательно, формула для третьей подфункции по ее подобласти будет = 𝑥2 + 2.

Объединение каждой из этих трех подфункций в формате для кусочно-определенных функций: 𝑓 (𝑥) = ⎧⎨⎩3 − 𝑥𝑥2,2𝑥 = 2, 𝑥2 + 22𝑥.ififif

Наш последний пример дополнительно исследует, как открытые и закрытые интервалы для подобластей изображены кусочно-определенные функции.

Пример 6: Идентификация графика кусочной функции по ее определению

Укажите, какой из следующих графиков представляет функцию 𝑓 (𝑥) = 𝑥, 𝑥2, −2𝑥 + 10, 𝑥≥2.

Ответ

Нам дана кусочно-определенная функция 𝑓 (𝑥) = 𝑥, 𝑥2, −2𝑥 + 10, 𝑥≥2.

Эта кусочно-определенная функция состоит из двух подфункций в указанных подобластях. Первая подфункция - это квадратичная функция 𝑦 = 𝑥 над подобластью 𝑥2. Чтобы построить график этой квадратичной кривой, мы можем использовать подобласть для создания таблицы входных и выходных значений.Мы знаем, что подобласть для этой функции - это значения 𝑥, которые меньше 2.

𝑦 = 𝑥
𝑥 𝑦
−2 4
−1 1 0505 0507
1 1
2 4

Используя таблицу, мы можем нанести эти точки на график. Обратите внимание, что точка (2,4) на графике пустая, поскольку 𝑥 = 2 не входит в подобласть 𝑦 = 𝑥.

Построение линии через эти координаты дает график 𝑦 = 𝑥 по подобласти 𝑥2.

Вторая подфункция 𝑦 = −2𝑥 + 10 является линейной функцией. Опять же, мы можем использовать данный субдомен для создания таблицы входных и выходных значений для построения графика этой субфункции. Для этой подфункции подобласть равна 𝑥≥2; следовательно, значение 𝑥 = 2 входит в область значений.

𝑦 = −2𝑥 + 10
𝑥 𝑦
2 6
3 4
2 4

Затем нанесите эти точки на ту же сетку, что и первая подфункция.

Обратите внимание, что для второй подфункции при 𝑥 = 2 мы включили сплошную точку, поскольку 2 входит в подобласть для 𝑦 = −2𝑥 + 10.

Наконец, мы рисуем линию, начинающуюся в (2,6) и продолжающуюся через (5,0), помня, что эта линия продолжается бесконечно в этом направлении.

Построив график этой кусочно-определенной функции, мы показали, что только вариант D правильно представляет эту функцию.

В заключение напомним некоторые основные моменты.

Ключевые моменты

  • Кусочная функция состоит из нескольких подфункций, определенных над подобластями.
  • Пустая точка на кривой функции означает, что функция не определена в этой точке.
  • Закрашенная точка на кривой функции означает, что функция определена в этой точке.
  • Чтобы построить график кусочно-определенной функции:
    • рассматривает каждую подфункцию в своем поддомене отдельно,
    • рассматривает, что происходит в конечных точках домена каждой подфункции,
    • отображает каждую подфункцию на одном и том же наборе осей.

Моделирование кусочно определенной функции по ее графику - Криста Кинг Math

Мы будем работать над графиком слева направо.Горизонтальная линия слева имеет значение ??? y ??? - ??? - 3 ??? и включает все значения ??? x ??? в интервале ??? x <-2 ??? (все действительные числа ??? x ???, которые меньше ??? - 2 ???). Для этого фрагмента мы пишем ??? - 3 ??? для функции (постоянная функция, значение которой составляет ??? - 3 ???) и ??? x <-2 ??? для своего домена.

Наклон наклонной линии составляет ??? 5/4 ??? и ??? y ??? - перехват ??? - 1/2 ???. Чтобы увидеть, как получить наклон, обратите внимание, что точки ??? (- 2, -3) ??? и ??? (2,2) ??? находятся в этой строке, поэтому

??? y = \ frac {5} {4} x- \ frac {1} {2} ???

Для этого фрагмента мы пишем

??? f (x) = \ frac {5} {4} x- \ frac {1} {2} ???

для функции и ??? - 2 \ le x \ le 2 ??? для своего домена.

Горизонтальная линия справа имеет значение ??? y ??? - ??? 2 ??? и включает все значения ??? x ??? в интервале ??? x> 2 ???. Для этого фрагмента мы пишем ??? 2 ??? для функции и ??? x> 2 ??? для своего домена.

Соединяя три части вместе, мы определяем эту кусочную функцию следующим образом:

??? f (x) = \ begin {cases} -3 & \ quad x <-2 \\ \ frac {5} {4} x- \ frac12 & \ quad -2 \ leq x \ leq 2 \\ 2 & \ quad x> 2 \ end {cases} ???

Вы можете задаться вопросом, как мы решаем, какая часть этой функции получит ??? \ le ??? или ??? \ ge ??? знак и какой кусок получает ??? ??? знак.Правда в том, что это не имеет значения, если каждый ??? x ??? в область определения всей кусочной функции входит в область определения ровно одной из ее частей - и, конечно же, функция для этой части дает правильное значение ??? f (x) ???. Вы также можете написать это так:

??? f (x) = \ begin {cases} -3 & \ quad x \ leq -2 \\\ frac {5} {4} x- \ frac {1 } {2} & \ quad -2

Но это нельзя было записать как

??? f (x) = \ begin {cases} -3 & \ quad x \ leq -2 \\\ frac {5} {4} x- \ frac {1 } {2} & \ quad -2 \ leq x \ leq 2 \\ 2 & \ quad x \ geq 2 \ end {cases} ???

потому что здесь ??? - 2 ??? входит в домены двух разных частей функции, как и ??? 2 ???.

Кусочно-определенная функция

А кусочно-определенный функция - это функция, которая определяется не одним уравнением, а двумя или более. Каждое уравнение справедливо для некоторых интервал .

Пример 1:

Рассмотрим функцию, определенную следующим образом.

у знак равно { Икс + 2 для Икс < 0 2 для 0 ≤ Икс ≤ 1 - Икс + 3 для Икс > 1

Функция в этом примере является кусочно-линейной, потому что каждая из трех частей графика представляет собой линию.

Кусочно определенные функции также могут иметь разрывы («скачки»). Функция в приведенном ниже примере имеет разрывы на Икс знак равно - 2 и Икс знак равно 2 .

Пример 2:

Постройте график функции, определенной, как показано.

у знак равно { 1 2 Икс 2 для Икс < - 2 0для - 2 ≤ Икс < 2 1 2 Икс 2 для Икс ≥ 2

Обратите внимание, что мы используем маленькие белые кружки на графике, чтобы указать, что конечная точка кривой не включена в график, и сплошные точки, чтобы указать конечные точки, которые включены.

Пример 3:

Изобразите график функции, определенной ниже.

у знак равно { бревно Икс для 0 < Икс < 1 1 Икс - 2 для Икс ≥ 1

Отрицательные значения Икс и 0 не входят в домен потому что первая функция, бревно Икс , не определено для этих значений.Значение Икс знак равно 2 не входит в домен, потому что вторая функция не определена для этого значения (у нее там вертикальная асимптота). Следовательно, область определения этой функции { Икс | 0 < Икс < 2 } ∪ { Икс | Икс > 2 } .Это может быть представлено с использованием обозначения интервалов как ( 0 , 2 ) ∪ ( 2 , ∞ ) .

4.1: Кусочно-определенные функции - математика LibreTexts

При подготовке к определению функции абсолютного значения чрезвычайно важно хорошо понимать концепцию кусочно-определенной функции.Однако, прежде чем мы вступим в бой, давайте взглянем на особый тип функции, называемый константной функцией.

Один из способов понять постоянную функцию - взглянуть на ее график.

Приведенное выше обсуждение приводит к следующему определению.

Кусочно-постоянные функции

Кусочные функции - фавориты инженеров. Давайте посмотрим на пример.

Пример \ (\ PageIndex {2} \)

Предположим, что батарея не подает напряжение на цепь, когда переключатель разомкнут.Затем, начиная с момента времени \ (t = 0 \), переключатель замыкается, и с этого момента аккумулятор обеспечивает постоянное напряжение 5 вольт. Создайте кусочную функцию, моделирующую ограничения задачи, и нарисуйте ее график.

Решение

Это довольно простое упражнение, но нам придется ввести некоторые новые обозначения. Прежде всего, если время t меньше нуля (\ (t <0 \)), то напряжение равно 0 вольт. Если время t больше или равно нулю (\ (t \ geq 0 \)), то напряжение составляет постоянные 5 вольт.Вот обозначения, которые мы будем использовать, чтобы резюмировать это описание напряжения.

\ [V (t) = \ left \ {\ begin {array} {ll} {0,} & {\ text {if} t <0} \\ {5,} & {\ text {if} t \ geq 0} \ end {array} \ right. \]

Некоторые комментарии в порядке:

  • Разница напряжений, обеспечиваемая аккумулятором в цепи, является функцией времени. Таким образом, V (t) представляет собой напряжение в момент времени t.
  • Обозначения, используемые в (4), универсально приняты математиками в ситуациях, когда функция меняет определение в зависимости от значения независимой переменной.Такое определение функции V называется «кусочным определением». Поскольку каждая из частей в этом определении постоянна, функция V называется кусочно-постоянной функцией.
  • Эта конкретная функция состоит из двух частей. Функция - это постоянная функция \ (V (t) = 0 \), когда \ (t <0 \), но другая постоянная функция, \ (V (t) = 5 \), когда \ (t \ geq 0 \).

Если \ (t <0, V (t) = 0. \) Например, для \ (t = -1, t = -10, \) и \ (t = -100 \)

\ [V (-1) = 0, \ quad V (-10) = 0, \ quad \ text {и} \ quad V (-100) = 0 \]

С другой стороны, если \ (t \ geq 0, \), то \ (V (t) = 5.\) Например, для \ (t = 0, t = 10, \) и \ (t = 100 \)

\ [V (0) = 5, \ quad V (10) = 5, \ quad \ text {и} \ quad V (100) = 5 \]

Прежде чем мы представим график кусочно-постоянной функции V, давайте сделаем паузу, чтобы убедиться, что мы понимаем некоторые стандартные геометрические термины.

Геометрические условия

  • Линия неограниченно тянется в двух направлениях, как показано на рисунке \ (\ PageIndex {2} \) (a).
  • Если линия имеет фиксированную конечную точку и бесконечно тянется только в одном направлении, как показано на рисунке \ (\ PageIndex {2} \) (b), то она называется лучом.
  • Если часть линии зафиксирована на каждом конце, как показано на рисунке \ (\ PageIndex {2} \) (c), то она называется сегментом линии.
Рисунок \ (\ PageIndex {2} \). Линии, лучи и отрезки.

Имея в виду эти термины, давайте обратим наше внимание на график напряжения, определяемый уравнением (4). Когда \ (t <0 \), то \ (V (t) = 0 \). Обычно график \ (V (t) = 0 \) представляет собой горизонтальную линию, где каждая точка на линии имеет значение V, равное нулю. Однако \ (V (t) = 0 \), только если \ (t <0 \), поэтому график представляет собой горизонтальный луч, который начинается в начале координат, а затем бесконечно перемещается влево, как показано на рисунке \ (\ PageIndex {3} \).То есть горизонтальная линия \ (V = 0 \) была ограничена областью \ (\ {t: t <0 \} \) и существует только слева от начала координат.

Аналогично, когда \ (t \ geq 0 \), тогда \ (V (t) = 5 \) - горизонтальный луч, показанный на рисунке \ (\ PageIndex {3} \). Каждая точка луча имеет значение V, равное 5.

Рисунок \ (\ PageIndex {3} \). Напряжение как функция времени t.

Два комментария в порядке:

  • Поскольку \ (V (t) = 0 \), только когда t <0, точка (0, 0) незаполнена (это открытый круг).Открытый кружок в (0, 0) - это математический способ сказать, что эта конкретная точка не отображается или не заштрихована.
  • Поскольку \ (V (t) = 5 \), когда \ (t \ geq 0 \), точка (0, 5) заполнена (это закрашенная окружность). Закрашенный кружок в (0, 5) - это математический способ сказать, что эта конкретная точка нанесена на график или заштрихована.

Давайте посмотрим на другой пример.

Пример \ (\ PageIndex {3} \)

Рассмотрим кусочно-определенную функцию

\ [f (x) = \ left \ {\ begin {array} {ll} {0,} & {\ text {if} x <0} \\ {1,} & {\ text {if} 0 \ leq x <2} \\ {2,} & {\ text {if} x \ geq 2} \ end {array} \ right.\]

Вычислите f (x) при x = −1, 0, 1, 2 и 3. Нарисуйте график кусочной функции f.

Решение

Поскольку каждая часть функции в (6) постоянна, вычислить функцию довольно просто. Вам просто нужно выбрать правильный кусок.

• Обратите внимание, что x = −1 меньше 0, поэтому мы используем первую часть и пишем f (−1) = 0.

• Обратите внимание, что x = 0 удовлетворяет \ (0 \ leq x <2 \), поэтому мы используем вторую часть и пишем f (0) = 1.

• Обратите внимание, что x = 1 удовлетворяет \ (0 \ leq x <2 \), поэтому мы используем вторую часть и пишем f (1) = 1.

• Обратите внимание, что x = 2 удовлетворяет \ (x \ geq 2 \), поэтому мы используем третью часть и пишем f (2) = 2.

• Наконец, обратите внимание, что x = 3 удовлетворяет \ (x \ geq 2 \), поэтому мы используем третью часть и пишем f (3) = 2. Граф так же просто нарисовать.

• Поскольку f (x) = 0 для x <0, график этой части представляет собой горизонтальный луч с конечной точкой в ​​x = 0. Каждая точка на этом луче будет иметь значение y, равное нулю, и луч будет лежать полностью. слева от x = 0, как показано на рисунке \ (\ PageIndex {4} \).

• Поскольку f (x) = 1 для \ (0 \ leq x <2 \), график этого отрезка представляет собой горизонтальный сегмент с одной конечной точкой в ​​точке x = 0, а другой - в точке x = 2. Каждая точка на этом сегменте будет иметь значение y, равное 1, как показано на рисунке \ (\ PageIndex {4} \).

• Поскольку f (x) = 2 для \ (x \ geq 2 \), график этой части представляет собой горизонтальный луч с конечной точкой в ​​x = 2. Каждая точка на этом луче имеет значение y, равное 2, и Луч целиком лежит справа от x = 2, как показано на рисунке \ (\ PageIndex {4} \).

Необходимо сделать несколько замечаний:

• Функция равна нулю слева от начала координат (для x <0), но не в начале координат. На это указывает пустой кружок в начале координат, что указывает на то, что мы не рисуем эту конкретную точку.

• Для \ (0 \ leq x <2 \) функция равна 1. То есть функция постоянно равна 1 для всех значений x от 0 до 2, включая ноль, но не включая 2. Вот почему вы см. закрашенный кружок в точке (0, 1) и пустой кружок в точке (2, 1).

• Наконец, для \ (x \ geq 2 \) функция равна 2. То есть функция постоянно равна 2 всякий раз, когда x больше или равно 2. Вот почему вы видите закрашенный кружок в (2 , 2).

Рисунок \ (\ PageIndex {4} \). Построение графика кусочной функции (6).

Кусочно-определенные функции

Теперь давайте посмотрим на более общую ситуацию с кусочно-определенными функциями - такую, где части не обязательно постоянны. Лучший способ учиться - это делать, поэтому давайте начнем с примера.

Пример \ (\ PageIndex {4} \)

Рассмотрим кусочно-определенную функцию

\ [f (x) = \ left \ {\ begin {array} {ll} {- x + 2,} & {\ text {if} x <2} \\ {x-2,} & {\ text {if} x \ geq 2} \ end {array} \ right. \]

Вычислите f (x) для x = 0, 1, 2, 3 и 4, затем нарисуйте график кусочно определенной функции.

Решение

Функция изменяет определение при x = 2. Если x <2, то f (x) = −x + 2. Поскольку и 0, и 1 строго меньше 2, мы оцениваем функцию с помощью этой первой части определения.

\ [\ begin {array} {ll} {f (x) = - x + 2} & \ text {and} & {f (x) = - x + 2} \\ {f (0) = - 0 +2} & & {f (1) = - 1 + 2} \\ {f (0) = 2} & & {f (1) = 1} \ end {array} \]

С другой стороны, если \ (x \ geq 2 \), то \ (f (x) = x - 2 \). Поскольку 2, 3 и 4 все больше или равны 2, мы оцениваем функцию с помощью этой второй части определения.

\ [\ begin {array} {lll} {f (x) = x-2} & {\ text {and}} & {f (x) = x-2} & {\ text {and}} & { f (x) = x-2} \\ {f (2) = 2-2} & {\ text {and}} & {f (3) = 3-2} & {\ text {and}} & { f (4) = 4-2} \\ {f (2) = 0} & {\ text {and}} & {f (3) = 1} & {\ text {and}} & {f (4) = 2} \ end {array} \]

Один из возможных подходов к построению графика f - поместить точки, которые мы уже вычислили, плюс пару дополнительных, в таблицу (см. Рисунок \ (\ PageIndex {5} \) (a)), построить их (см. Рисунок \ (\ PageIndex {5} \) (b)), затем интуитивно ощутите форму графика на основе данных, представленных нанесенными точками.Это показано на рисунке \ (\ PageIndex {5} \) (c).

Рисунок \ (\ PageIndex {5} \). Построение графика кусочной функции, определенной в (8).

Каким бы прагматичным ни был этот подход к построению точек, он немного утомителен; но, что более важно, он не дает предпосылки, необходимой для обсуждения функции абсолютного значения в следующем разделе. Нам нужно расширить наше понимание на более высокий уровень. К счастью, все заделы на месте. Нам нужно только применить то, что мы уже знаем об уравнениях прямых, чтобы соответствовать этой кусочной ситуации.

Альтернативный подход. Давайте воспользуемся нашими знаниями об уравнении прямой (т. Е. Y = mx + b), чтобы нарисовать график кусочной функции, определенной в (8).

Давайте нарисуем первую часть функции f, определенной в (8). У нас есть f (x) = −x + 2, если x <2. Обычно это будет линия (с наклоном −1 и точкой пересечения 2), но мы должны нарисовать только часть этой линии, ту часть, где x < 2 (x находится слева от 2). Таким образом, этот кусок графика будет лучом, начинающимся в точке, где x = 2, а затем бесконечно перемещающимся влево.

Самый простой способ нарисовать луч - сначала вычислить и построить его фиксированную конечную точку (в данном случае при x = 2), затем нанести вторую точку на луче, имеющую значение x меньше 2, а затем использовать линейку, чтобы нарисовать луч. луч.

Имея это в виду, чтобы найти координаты конечной точки луча, подставьте x = 2 в f (x) = −x + 2, чтобы получить f (2) = 0. Технически, мы не должны чтобы использовать эту часть функции, если x строго меньше 2, но мы могли бы использовать его с x = 1.9, или x = 1,99, или x = 1,999 и т. Д. Итак, давайте продолжим и используем x = 2 в этой части функции, но укажем, что на самом деле мы не должны использовать эту точку, нарисовав «пустой круг». в точке (2, 0), как показано на рисунке \ (\ PageIndex {6} \) (a).

Чтобы завершить построение луча, нам нужна вторая точка, которая находится слева от его конечной точки в (2, 0). Обратите внимание, что x = 0 находится слева от x = 2. Вычислите f (x) = −x + 2 при x = 0, чтобы получить f (0) = −0 + 2 = 2. Это дает нам вторую точку (0 , 2), который мы строим, как показано на рисунке \ (\ PageIndex {6} \) (a).Наконец, нарисуйте луч с конечной точкой в ​​(2, 0) и второй точкой в ​​(0, 2), как показано на рисунке \ (\ PageIndex {6} \) (a).

Рисунок \ (\ PageIndex {6} \). Нарисуйте каждую часть отдельно

Теперь мы повторяем этот процесс для второй части функции, определенной в (8). Уравнение второй части: f (x) = x - 2, при условии \ (x \ geq 2 \). Обычно f (x) = x - 2 будет линией (с наклоном 1 и точкой пересечения −2), но мы должны рисовать только ту часть линии, которая лежит справа или в точке x = 2.Таким образом, график этого второго фрагмента представляет собой луч, начинающийся в точке с x = 2 и продолжающийся вправо. Если мы вычислим f (x) = x - 2 при x = 2, тогда f (2) = 2 - 2 = 0. Таким образом, фиксированная конечная точка луча находится в точке (2, 0). Поскольку на самом деле мы должны использовать этот кусок с x = 2, мы указываем этот факт закрашенным кружком в точке (2, 0), как показано на рисунке \ (\ PageIndex {6} \) (b).

Нам нужна вторая точка справа от этой фиксированной конечной точки, поэтому мы вычисляем f (x) = x − 2 при x = 4, чтобы получить f (4) = 4-2 = 2.Таким образом, вторая точка луча - это точка (4, 2). Наконец, мы просто рисуем луч, начиная с конечной точки (2, 0) и проходя через вторую точку в (4, 2), как показано на рисунке \ (\ PageIndex {6} \) (b).

Чтобы построить график кусочной функции f, определенной в уравнении (8), просто объедините две части на рисунке \ (\ PageIndex {6} \) (a) и рисунке \ (\ PageIndex {6} \) (b) чтобы получить готовый график на рисунке \ (\ PageIndex {7} \). Обратите внимание, что график на рисунке \ (\ PageIndex {7} \) идентичен предыдущему результату на рисунке \ (\ PageIndex {5} \) (c).

Давайте попробуем эту альтернативную процедуру на другом примере.

Пример \ (\ PageIndex {5} \)

Источник обеспечивает напряжение в цепи согласно кусочному определению

\ [V (t) = \ left \ {\ begin {array} {ll} {0,} & {\ text {if} t <0} \\ {t,} & {\ text {if} t \ geq 0} \ end {array} \ right. \]

Изобразите график зависимости напряжения V от времени t.

Решение

За все время t, меньшее нуля, напряжение V равно нулю.График V (t) = 0 является постоянной функцией, поэтому его график обычно представляет собой горизонтальную линию. Однако мы должны ограничить

Рисунок \ (\ PageIndex {7} \). Соединяем обе части.

график в область \ ((- \ infty, 0) \), поэтому эта часть уравнения (10) будет горизонтальным лучом, начинающимся в начале координат и неограниченно движущимся влево, как показано на рисунке \ (\ PageIndex {8} \) (а).
С другой стороны, V (t) = t для всех значений t, которые больше или равны нулю. Обычно это линия с наклоном 1 и нулевой точкой пересечения.Однако мы должны ограничить область до \ ([0, \ infty) \), поэтому эта часть уравнения (10) будет лучом, начинающимся в начале координат и неограниченно движущимся вправо.

  • Конечная точка этого луча начинается в точке t = 0. Поскольку V (t) = t, V (0) = 0. Следовательно, конечная точка этого луча находится в точке (0, 0).
  • Выберите любое значение t больше нуля. Мы выберем t = 5. Поскольку V (t) = t, V (5) = 5. Это дает нам вторую точку на луче в точке (5, 5), как показано на рисунке \ (\ PageIndex {8}). \) (б).
Рисунок \ (\ PageIndex {8} \).

Наконец, чтобы получить полный график функции напряжения, определяемой уравнением (10), мы объединяем графики каждой части определения, показанной на рисунках \ (\ PageIndex {8} \) (a) и (b).

Результат показан на рисунке \ (\ PageIndex {9} \). Инженеры называют этот тип входной функции «функцией линейного изменения».

Рисунок \ (\ PageIndex {9} \). График функции линейного изменения определяется уравнением (10).

Давайте посмотрим на очень практическое применение кусочных функций.

Пример \ (\ PageIndex {6} \)

Ставки федерального подоходного налога для одного заявителя в 2005 году приведены в Таблице \ (\ PageIndex {1} \).

Доход Ставка налога
До 7 150 долл. США 10%
7 151–2 050 долл. США 15%
29 051–70 350 25%
70 351–146 750 долл. США 28%
146 751–319 100 долл. 33%
319 101 $ или больше 35%
Таблица \ (\ PageIndex {1} \).Ставки федерального подоходного налога 2005 г. для единственного подателя.

Создайте кусочное определение, которое предоставляет налоговую ставку как функцию от личного дохода.

Решение

В отчетах о налогооблагаемой прибыли суммы округляются до ближайшего доллара в форме федерального подоходного налога. Технически домен дискретный. Вы можете указать налогооблагаемый доход в размере 35 000 долларов США или 35 001 доллар США, но числа между этими двумя доходами не используются в форме федерального подоходного налога. Однако мы будем думать о доходе как о континууме, допускающем, чтобы доход был любым действительным числом, большим или равным нулю.Если бы мы этого не сделали, то наш график представлял бы собой серию точек - по одной на каждую сумму в долларах. Придется нарисовать много точек!

Пусть R представляет ставку налога, а я - доход. Цель состоит в том, чтобы определить R как функцию I.

  • Если доход I равен любой сумме, которая больше или равна нулю, но меньше или равна 7 150 долларам, ставка налога R составляет 10% (т. Е. R = 0,10). Таким образом, если \ (\ $ 0 \ leq I \ leq \ $ 7,150 \), R (I) = 0.10.
  • Если доход I представляет собой любую сумму, которая строго превышает 7 150 долларов, но меньше или равна 29 050 долларов, то ставка налога R составляет 15% (т.е., R = 0,15). Таким образом, если 7,150 долларов

Продолжая таким же образом, мы можем построить кусочное определение ставки R как функции налогооблагаемого дохода I.

\ [R (I) = \ left \ {\ begin {array} {ll} {0.10,} & {\ text {if} \ $ 0 \ leq I \ leq \ $ 7 150} \\ {0.15,} & {\ text {if} \ 7 150 долл. США \ $ 319 100} \ end {array} \ right. \]

Обратимся к графику этой кусочно-определенной функции. Все элементы являются постоянными функциями, поэтому каждый элемент будет горизонтальной линией на уровне, указывающем ставку налога. Однако каждая из первых пяти частей функции, определенной в уравнении (12), является сегментами, поскольку ставка определяется на интервале с начальным и конечным доходами. Шестая и последняя часть - это луч, так как у нее есть начальная конечная точка, но скорость остается постоянной для всех доходов выше 319 100 долларов.Мы используем эти знания для построения графика, показанного на рисунке \ (\ PageIndex {10} \).

Первая ставка составляет 10%, и она назначается для налогооблагаемого дохода от 0 до 7 150 долларов включительно. Таким образом, обратите внимание на первый сегмент горизонтальной линии на рисунке \ (\ PageIndex {10} \), который проходит от 0 до 7 150 долларов США на высоте R = 0,10. Обратите внимание, что каждая из конечных точек представляет собой закрашенные кружки.

Вторая ставка составляет 15%, и она назначается для налогооблагаемого дохода, превышающего 7 150 долларов США, но меньше или равного 29 050 долларов США.Второй сегмент горизонтальной линии на рисунке 10 составляет от 7 150 до 29 050 долларов на высоте R = 0,15. Обратите внимание, что конечная точка на левом конце этого горизонтального сегмента представляет собой открытый кружок, в то время как конечная точка на правом конце представляет собой закрашенный кружок, потому что налогооблагаемый доход составляет 7, 150

Остальные сегменты нарисованы аналогичным образом.

Последняя часть устанавливает ставку R = 0,35 для всех налогооблагаемых доходов, строго превышающих 319 100 долларов.Следовательно, последний кусок представляет собой горизонтальный луч, начинающийся с (319 100 долл. США, 0,35) и продолжающийся до бесконечности вправо. Обратите внимание, что левая конечная точка этого луча представляет собой пустой кружок, потому что ставка R = 0,35 применяется к налогооблагаемым доходам I> 319 100 долларов США.

Давайте поговорим об области определения и диапазона функции R, определяемой уравнением (12). График R изображен на рисунке \ (\ PageIndex {10} \). Если мы спроецируем все точки графика на горизонтальную ось, вся ось будет «находиться в тени.”Таким образом, сначала

Рисунок \ (\ PageIndex {10} \). График зависимости налоговой ставки R от налогооблагаемого дохода I. Если взглянуть на

, можно сказать, что область значений R - это набор всех действительных чисел, которые больше или равны нулю.

Однако помните, что мы решили моделировать дискретную ситуацию континуумом. Налогооблагаемый доход всегда округляется до ближайшего доллара в формах федерального подоходного налога. Таким образом, домен фактически состоит из целых чисел, больших или равных нулю. В символах,

\ [\ text {Домен} = \ {I \ in \ mathbb {W}: I \ geq 0 \} \]

Чтобы найти диапазон R, мы спроецируем все точки на графике R на рисунке \ (\ PageIndex {10} \) на вертикальную ось.В результате на вертикальной оси будут заштрихованы шесть точек, по одной на 0,10, 0,15, 0,25, 0,28, 0,33 и 0,35. Таким образом, диапазон представляет собой конечное дискретное множество, поэтому его лучше всего описать, просто перечислив его элементы.

\ [\ text {Range} = \ {0.10,0.15,0.25,0.28,0.33,0.35 \} \]

Упражнение

Упражнение \ (\ PageIndex {1} \)

Учитывая функцию, определенную правилом f (x) = 3, вычислите f (−3), f (0) и f (4), затем нарисуйте график f.

Ответ

f (−3) = 3, f (0) = 3 и f (4) = 3.

Упражнение \ (\ PageIndex {2} \)

Учитывая функцию, определенную правилом g (x) = 2, вычислите g (−2), g (0) и g (4), затем начертите график g.

Упражнение \ (\ PageIndex {3} \)

Для функции, определенной правилом h (x) = −4, вычислите h (−2), h (a) и h (2x + 3), затем нарисуйте график h.

Ответ

h (−2) = −4, h (a) = −4 и h (2x + 3) = −4.

Упражнение \ (\ PageIndex {4} \)

Для функции, определенной правилом f (x) = −2, вычислите f (0), f (b) и f (5−4x), затем нарисуйте график f.

Упражнение \ (\ PageIndex {5} \)

Скорость автомобиля, движущегося по шоссе, является функцией времени и описывается постоянной функцией v (t) = 30, где t измеряется в часах, а v измеряется в милях в час. Нарисуйте график зависимости v от t. Обязательно пометьте каждую ось соответствующими единицами измерения. Заштрихуйте область под графиком v на временном интервале [0,5] часа. Какова площадь под графиком v за этот промежуток времени и что она собой представляет?

Ответ

Площадь под кривой составляет 150 миль.Это расстояние, которое проехала машина.

Упражнение \ (\ PageIndex {6} \)

Скорость скейтбордиста при движении по склону является функцией времени и описывается постоянной функцией v (t) = 8, где t измеряется в секундах, а v измеряется в футах в секунду. Нарисуйте график зависимости v от t. Обязательно пометьте каждую ось соответствующими единицами измерения. Заштрихуйте область под графиком v на интервале времени [0,60] секунд. Какова площадь под графиком v за этот промежуток времени и что она собой представляет?

Упражнение \ (\ PageIndex {7} \)

Сантехник без лицензии взимает 15 долларов за каждый час работы.Давайте определим эту скорость как функцию времени как r (t) = 15, где t измеряется в часах, а r измеряется в долларах в час. Нарисуйте график зависимости r от t. Обязательно пометьте каждую ось соответствующими единицами измерения. Заштрихуйте область под графиком r на временном интервале [0,4] часа. Какова площадь под графиком r на этом временном интервале и что она собой представляет?

Ответ

Площадь под кривой составляет 150 миль. Это расстояние, которое проехала машина.

Упражнение \ (\ PageIndex {8} \)

Плотник взимает фиксированную плату за каждый час работы. Опишем эту скорость как функцию времени как r (t) = 25, где t измеряется в часах, а r - в долларах в час. Нарисуйте график зависимости r от t. Обязательно пометьте каждую ось соответствующими единицами измерения. Заштрихуйте область под графиком r на временном интервале [0, 5] часов. Какова площадь под графиком r за этот интервал времени и что она собой представляет?

Упражнение \ (\ PageIndex {9} \)

Учитывая функцию, определенную правилом

\ [f (x) = \ left \ {\ begin {array} {ll} {0,} & {\ text {if} x <0} \\ {2,} & {\ text {if} x \ ge 0} \ nonumber \ end {array} \ right.\]

оценивает f (−2), f (0) и f (3), затем нарисуйте график f на миллиметровой бумаге. Укажите домен и диапазон f.

Ответ

f (−2) = 0, f (0) = 2 и f (3) = 2.

Область f - это набор всех действительных чисел. Диапазон f равен {0, 2}.

Упражнение \ (\ PageIndex {10} \)

Учитывая функцию, определенную правилом

\ [f (x) = \ left \ {\ begin {array} {ll} {2,} & {\ text {if} x <0} \\ {0,} & {\ text {if} x \ ge 0} \ nonumber \ end {array} \ right.\]

оценивает f (−2), f (0) и f (3), затем нарисуйте график f на миллиметровой бумаге. Укажите домен и диапазон f.

Упражнение \ (\ PageIndex {11} \)

Учитывая функцию, определенную правилом

\ [f (x) = \ left \ {\ begin {array} {ll} {- 3,} & {\ text {if} x <0} \\ {1,} & {\ text {if} - 2 \ le x <2} \\ {3,} & {\ text {if} x \ ge 2} \ nonumber \ end {array} \ right. \]

оценивает g (−3), g (−2) и g (5), затем нарисуйте график g на листе миллиметровой бумаги.Укажите домен и диапазон g.

Ответ

г (-3) = -3, г (-2) = 1 и г (5) = 3

Область g - все действительные числа. Диапазон g равен {−3, 1, 3}.

Упражнение \ (\ PageIndex {12} \)

Учитывая функцию, определенную правилом

\ [f (x) = \ left \ {\ begin {array} {ll} {4,} & {\ text {if} x \ le -1} \\ {2,} & {\ text {if} -1 2} \ nonumber \ end {array} \ right.\]

оценивает g (-1), g (2) и g (3), затем нарисуйте график g на листе миллиметровой бумаги. Укажите домен и диапазон g.

В упражнениях 13 - 16 определите кусочное определение функции, описываемой графиками, затем укажите область и диапазон функции.

Упражнение \ (\ PageIndex {13} \)

Ответ

\ [f (x) = \ left \ {\ begin {array} {ll} {3,} & {\ text {if} x <0} \\ {-2,} & {\ text {if} x \ ge 0} \ nonumber \ end {array} \ right.\]

Домен f - это набор всех действительных чисел. Диапазон f равен {−2, 3}.

Упражнение \ (\ PageIndex {14} \)

Упражнение \ (\ PageIndex {15} \)

Ответ

\ [g (x) = \ left \ {\ begin {array} {ll} {2,} & {\ text {if} x <0} \\ {-2,} & {\ text {if} 0 \ le x <2} \\ {2,} & {\ text {if} x> 2} \ nonumber \ end {array} \ right. \]

Область f - это набор всех действительных чисел.Диапазон f равен {−2, 2}.

Упражнение \ (\ PageIndex {16} \)

Упражнение \ (\ PageIndex {17} \)

Учитывая кусочную функцию

\ [f (x) = \ left \ {\ begin {array} {ll} {- x-3,} & {\ text {if} x <-3} \\ {x + 3,} & {\ текст {if} x \ ge -3} \ nonumber \ end {array} \ right. \]

оценивает f (−4) и f (0), затем нарисуйте график f на миллиметровой бумаге. Укажите домен и диапазон функции.

Ответ

f (−4) = 1 и f (0) = 3.

Область f - это набор всех действительных чисел. Диапазон выключен: {y: \ (y \ ge 0 \)}.

Упражнение \ (\ PageIndex {18} \)

Учитывая кусочную функцию

\ [f (x) = \ left \ {\ begin {array} {ll} {- x + 1,} & {\ text {if} x <1} \\ {x-1,} & {\ text {if} x \ ge 1} \ nonumber \ end {array} \ right. \]

оценивает f (−2) и f (3), затем нарисуйте график f на миллиметровой бумаге. Укажите домен и диапазон функции.

EXERICSE \ (\ PageIndex {19} \)

Учитывая кусочную функцию

\ [g (x) = \ left \ {\ begin {array} {ll} {- 2x + 3,} & {\ text {if} x <\ frac {3} {2}} \\ {2x- 3,} & {\ text {if} x \ ge \ frac {3} {2}} \ nonumber \ end {array} \ right. \]

оцените g (0) и g (3), затем начертите график f на миллиметровой бумаге. Укажите домен и диапазон функции.

Ответ

г (-2) = 7 и г (2) = 1.

Область g - это набор всех действительных чисел.Диапазон выключен: {y: \ (y \ ge 0 \)}.

Упражнение \ (\ PageIndex {20} \)

Учитывая кусочную функцию

\ [g (x) = \ left \ {\ begin {array} {ll} {- 3x-4,} & {\ text {if} x <- \ frac {4} {3}} \\ {3x +4,} & {\ text {if} x \ ge - \ frac {4} {3}} \ nonumber \ end {array} \ right. \]

вычислите g (−2) и g (3), затем начертите график f на миллиметровой бумаге. Укажите домен и диапазон функции.

Упражнение \ (\ PageIndex {21} \)

Батарея подает напряжение в электрическую цепь следующим образом.До момента времени t = 0 секунд переключатель разомкнут, поэтому напряжение, подаваемое батареей, равно нулю вольт. В момент времени t = 0 секунд переключатель замыкается, и аккумулятор начинает подавать в цепь постоянное напряжение 3 вольта. В момент времени t = 2 секунды переключатель снова размыкается, и напряжение, подаваемое батареей, сразу же падает до нуля вольт. Нарисуйте график зависимости напряжения от времени t, пометьте каждую ось соответствующими единицами измерения, а затем дайте кусочное определение напряжения v, подаваемого батареей, как функции времени t.

Ответ

График следует.

\ [g (x) = \ left \ {\ begin {array} {ll} {0,} & {\ text {if} x <0} \\ {3,} & {\ text {if} 0 \ le x <2} \\ {0,} & {\ text {if} x \ ge 2} \ nonumber \ end {array} \ right. \]

Упражнение \ (\ PageIndex {22} \)

До момента времени t = 0 минут барабан пуст. В момент времени t = 0 минут включается шланг, и уровень воды в барабане начинает подниматься с постоянной скоростью на 2 дюйма каждую минуту.Пусть h представляет уровень воды (в дюймах) в момент времени t (в минутах). Нарисуйте график зависимости h от t, пометьте оси соответствующими единицами измерения, а затем дайте кусочное определение функции t.

Характеристики кусочных функций - Math 1 EOCT REVIEW

Кусочная функция - это функция, определяемая двумя или более выражениями, где каждое выражение связано с уникальным интервалом домена функции.

Область функции - это набор всех возможных реальных входных значений, обычно представленных как x.

Диапазон функции - это набор всех возможных реальных выходных значений, обычно представленных как y .

Пример 1:

Какова область определения функции, изображенной ниже?

Решение:

Данная функция является кусочной функцией, а область действия кусочной функции - это набор всех возможных значений x .

Видно, что на графике есть изломы, известные как разрывы, при x = -3 и x = 1.Эти разрывы не влияют на область определения этой функции, потому что кусочная функция все еще определена на каждом разрыве.

График начинается с x = -7. Закрашенный кружок x = -7 указывает на то, что значение находится в области определения функции.

График заканчивается при x = 3. Имеется белый кружок при x = 3, который указывает, что значение не находится в области определения функции.

Следовательно, область действия функции - { x | -7 ≤ x <3} .

x -перехват или нули функции - это точки, в которых график функции касается или пересекает ось x . Когда график функции касается или пересекает ось x , f (x) = 0.

y -перехватывает функции - это точки, в которых график функции касается или пересекает ось y . Когда график функции касается или пересекает ось y , x = 0.

Пример 2:

Найдите точки пересечения x и y следующей кусочной функции.

Решение:

Чтобы найти точку пересечения x или ноль кусочной функции, положите f (x) = 0.

Чтобы решить уравнение f (x) = 0, установите каждый выражение в кусочной функции равно нулю. Затем решите для x . После решения для x убедитесь, что решение (я) каждого уравнения существует в соответствующей области.

Установите первое выражение равным нулю и решите.

Поскольку пять не могут равняться 0, в первом разделе домена нет перехватов x .

Установите второе выражение равным нулю и решите.

Несмотря на то, что уравнение может быть решено, x = 8 не находится во втором разделе домена; следовательно, во втором разделе домена нет перехватов x .

Установите третье выражение равным нулю и решите.

В этом случае уравнение дало два решения: x = 0 и x = 3. Несмотря на то, что x = 0 является решением уравнения, его нет в третьей части области. Хотя решение x = 3 находится в третьем разделе домена. Итак, имеется перехват x при x = 3.

Чтобы найти перехват y кусочной функции, пусть x = 0.

Определите выражение, которое соответствует сечению. домена, содержащего x = 0.В этом случае x = 0 находится во второй части области определения функции.

Вычислите выражение, которое соответствует второму разделу домена при x = 0.

Итак, имеется пересечение y при y = 4.

Перехват x заданная кусочная функция - (3, 0) , а интервал y - (0, 4) .

Разрывы функции - это точки, в которых график функции имеет разрывы или разрывы.

Пример 3:

Найдите любые разрывы графика следующей кусочной функции.

Решение:

Разрывы возникают в кусочных функциях в общих конечных точках разделов домена.

Чтобы определить, является ли общая конечная точка точкой разрыва в кусочной функции, определите два раздела домена, которые содержат конечную точку. Затем оцените каждое связанное выражение в конечной точке.


  • Если оба связанных выражения, вычисленных в конечной точке, равны, то кусочная функция не имеет разрыва в этой точке.
  • Если оба связанных выражения, вычисленные в конечной точке, не равны, то кусочная функция действительно имеет разрыв в этой точке.

В данной кусочной функции есть две общие конечные точки разделов домена: x = -2 и x = 2. Таким образом, разрывы могут возникать на графике кусочной функции на одном или обоих, этих точек.

Конечная точка x = -2 связана с первым и вторым разделами домена.

Первый раздел домена связан с выражением 5.

Второй раздел домена связан с выражением x + 4. Вычислите выражение как x = -2.

Поскольку 5 = 5, разрыва при x = -2 нет.

Конечная точка x = 2 связана со вторым и третьим разделами домена.

Второй раздел домена связан с выражением x + 4.Вычислите выражение как x = 2.

Третий раздел домена связан с выражением 3 x - x 2 . Вычислите выражение при x = 2.

Поскольку 3 ≠ 2, имеется разрыв при x = 2 .

Кусочная функция представлена ​​на графике ниже, показывающем разрыв при x = 2.

График функции: увеличивается на , если значение y увеличивается по мере увеличения значения x .

График функции: убывает, , если значение y уменьшается, когда значение x увеличивается.

График функции - это константа , если значение y не меняется при увеличении значения x .

Пример 4:

Определите интервал, на котором график следующей функции является постоянным.

Решение:

При определении интервалов, в которых функция увеличивается, уменьшается или остается постоянной, всегда считывайте график функции от отрицательного направления x (слева) к положительному направлению x ( верно).

График функции будет постоянным, если значение y не изменится при увеличении значения x .

Наблюдая за графиком слева направо, видно, что единственный интервал, на котором значения y не изменяются при увеличении значений x , составляет -4 ≤ x <1.

Следовательно , интервал, на котором график функции постоянен, равен -4 ≤ x <1 .

Средняя скорость изменения - это отношение изменения f (x) к изменению x .
Пример 5:

Какова средняя скорость изменения между x = -2 и x = 4 в следующей кусочной функции?

Решение:

Среднюю скорость изменения между двумя точками, x 1 и x 2 , кусочной функции можно найти, разделив разницу значений функции в этих точках на разницу между двумя точками.

Дано, что x 1 = -2 и x 2 = 4.

Поскольку функция является кусочной функцией, определите, какой раздел домена содержит x 1 и x 2 и определите выражение, связанное с разделом домена. Затем оцените связанное выражение в каждой точке.

Точка x 1 = -2 находится во втором разделе домена и связана с выражением x + 6. Вычислите связанное выражение как x 1 .

Точка x 2 = 4 находится в третьем разделе домена и связана с выражением 3 x . Вычислите связанное выражение как x 2 .

Рассчитайте среднюю скорость изменения.

Средняя скорость изменения кусочной функции между x = -2 и x = 4.

Функция абсолютного значения может быть представлена ​​кусочной функцией с двумя разделами области.Одна часть области кусочной функции будет представлять часть функции абсолютного значения с отрицательным наклоном, а другая часть области кусочной функции будет представлять часть функции абсолютного значения с положительным наклоном.

Так же, как функция абсолютного значения имеет характеристики, такие как вершина, ось симметрии и максимум / минимум, кусочная функция также может обладать этими характеристиками.

Помните, что график кусочной функции, которая представляет функцию абсолютного значения, имеет V-образную форму.Этот V-образный график симметричен относительно линии, известной как ось симметрии, и может открываться вверх или вниз.

  • Если открывается график кусочной функции, которая представляет функцию абсолютного значения, то функция имеет минимальное значение в своей вершине.
  • Если график кусочной функции, представляющей функцию абсолютного значения, открывается вниз, то функция имеет максимальное значение в своей вершине.
Пример 6:

Что такое кусочная функция, которая представляет следующую функцию?

Решение:

Чтобы записать функцию абсолютного значения как кусочную функцию, определите участок области, где функция абсолютного значения имеет положительный наклон, и участок области, где функция абсолютного значения имеет отрицательный наклон.

Чтобы определить участок области, в котором функция абсолютного значения имеет положительный наклон, установите выражение в столбцах абсолютного значения больше или равное нулю и решите для x .

Теперь определите выражение, которое может представлять функцию абсолютного значения, где x ≥ 5.

Чтобы определить участок области, где функция абсолютного значения имеет отрицательный наклон, установите выражение в столбцах абсолютного значения меньше чем ноль, и решите для x .

Теперь определите выражение, которое может представлять функцию абсолютного значения, где x <5.

Следовательно, кусочная функция, которая может представлять данную функцию абсолютного значения, выглядит следующим образом.

Пример 7:

Определите вершину и ось симметрии следующей кусочной функции.

Решение:

Определите, есть ли в функции нарушения непрерывности.

Конечная точка, связанная с обоими разделами домена, имеет размер x = 4.

Первый раздел домена связан с выражением - x + 6. Вычислите выражение как x = 4.

Второй раздел домена связан с выражением x - 2. Вычислить выражение при x = 4.

Поскольку 2 = 2, разрыва при x = 4 нет. Хотя, поскольку каждое выражение дало значение 2, при оценке в конечной точке домена значение , x = 2, известно как критическое значение кусочной функции.

Проверьте уклон по обе стороны от критического значения. Если есть изменение знака наклона (с положительного на отрицательный или с отрицательного на положительный) с той же константой, то конечной точкой области будет вершина.

Наклон первого участка равен -1, а наклон второго участка равен 1.

Поскольку существует изменение наклона с отрицательного на положительный и нет разрыва, вершина кусочной функции находится в точке x = 4.

Итак, вершина кусочной функции равна (4, 2) .

Ось симметрии - это вертикальная линия, проходящая через вершину.

Итак, ось симметрии задается уравнением x = 4 .

Пример 8:

Определите минимум кусочной функции, приведенной в примере 7.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *