График полуокружности – Задача с параметром. Полуокружность

Задача с параметром. Полуокружность

Необходимо найти значение параметра, такое, чтобы уравнение имело единственное решение. Знакомимся с видом уравнения, задающего полуокружность.

Задача. Чему равно значение параметра , если уравнение

   

имеет единственное решение?

Перепишем немного иначе:

   

Поработаем с правой частью:

   

   

Теперь займемся левой частью.

   

   

В левой части имеем уравнение полуокружности с центром в точке . Как это понять? Возведем в квадрат:

   

   

   

Получили уравнение окружности радиуса 24 с центром в точке . Но наличие корня «отрежет» все ординаты, меньшие нуля, вот и останется только верхняя половинка окружности.

А что в правой? Похоже, что прямая, только есть зависимость ее уравнения от параметра, поэтому необходимо понять, что с этой прямой происходит с изменением параметра. Заметим, что при любом точка с абсциссой 11 и ординатой 0 принадлежит прямой. То есть точка – центр вращения нашей прямой, у которой может меняться как коэффициент наклона , так и коэффициент . Нас, очевидно, интересует случай касания прямой и полуокружности. Причем найти надо коэффициент наклона прямой, то есть тангенс угла .

Рассмотрим чертеж.

Полуокружность и касающаяся ее прямая

 

Треугольник – прямоугольный с прямым углом , его катет , а гипотенуза , поэтому второй его катет равен 7 (по теореме Пифагора).

Треугольники и подобны (оба прямоугольные и угол равен углу как углы со взаимно перпендикулярными сторонами). Поэтому для этих треугольников можно записать отношение сходственных сторон:

   

А искомый коэффициент наклона прямой равен:

   

Тогда и

   

Других вариантов решения у этой задачи нет, так как только при касании прямая будет иметь одну общую точку с полуокружностью, во всех остальных случаях – либо две, либо ни одной.

Ответ: .

easy-physic.ru

Задача с параметром. Задание С5

Решим задачу из Задания С5 для  подготовки к ЕГЭ  по математике:

Найдите все значения параметра ,при каждом из которых уравнение  имеет единственное решение.

Будем решать задачу графическим способом. Оставим корень слева, а все остальное перенесем вправо. Представим  наше уравнение в виде системы

Построим график каждой функции и найдем, при каком значении параметра графики имеют единственную точку пересечения.

Первая функция: 

Вынесем  за скобку:

График этой функции представляет из себя семейство прямых,  которые имеют различный коэффициент наклона  и общую точку с координатами (2;3):

Вторая функция:

Преобразуем выражение под корнем — выделим полный квадрат:

График функции представляет из себя полуокружность с центром в точке (-4;0) и радиусом 3.

Определим, при каком коэффициенте наклона прямая имеет с полуокружностью одну точку пересечения:

Мы видим, что прямые, заключенные между прямыми и  имеют с полуокружностью одну общую точку. Прямая   имеет одну общую точку, а прямая   — две. Прямая  также имеет с полуокружностью одну общую точку.

Найдем коэффициенты наклона этих прямых. Для этого мы рассмотрим соответствующие прямоугольные треугольники:

Коэффициент наклона прямой   равен 1.

Коэффициент наклона прямой равен 3/9=1/3.

Коэффициент наклона прямой равен нулю.

Итак, прямая и полуокружность имеют одну общую точку, если  и .

Умножим первое неравенство на -1 и получим

Ответ: 

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

ege-ok.ru

Задача с параметром про окружности

2014-03-03 | Автор: Анна

Здравствуйте, дорогие читатели! Сегодня мне попалась красивая задача с параметром, и хотелось бы поделиться с вами решением.

Задача такая: найти положительное значение параметра a, такое, чтобы система имела единственное  решение.

 Сразу можно заметить, что оба уравнения – это уравнения окружностей. У первой радиус равен трем, у второй –

a. Интересно, что в уравнении первой окружности присутствует модуль х. То есть на самом-то деле это не одна, а две окружности, симметрично расположенные относительно оси у и имеющие центры в точках (5, 4) и (-5, 4) и радиус три. В этом и есть маленькая хитрость этой задачи, поскольку, если честно, задача-то совсем простая. Осталось догадаться, что вторая окружность радиуса a с центром в точке (-2, 0) может иметь одну точку касания с обеими этими окружностями, только эта точка должна быть единственной по условию задачи. Посмотрим на рисунок:

 

Видим, что решений два: либо красная окружность касается левой синей “внутри”, либо красная окружность имеет такой радиус, чтобы касаться правой синей “снаружи”. Любая другая точка касания не будет единственной: в других случаях красная окружность обязательно заденет или пересечет обе синие окружности, а это не соответствует условию задачи.

Найдем радиусы красных окружностей, в этом нам поможет теорема Пифагора (зеленые треугольники). Тогда расстояние между центрами малой  красной окружности и синей (левой):

 

 

 

Чтобы найти искомый радиус, надо вычесть из данного расстояния 3:

Рассмотрим теперь второй треугольник и найдем расстояние между центрами большей красной окружности и синей (правой):

Не забудем, что к этому расстоянию надо добавить радиус синей окружности:

Итак, ответ:

easy-physic.ru

Помогите решить / разобраться (М)

Задача: Графиком функции служит полуокружность с центром в начале координат и радиусом, равным , расположенная в верхней координатной полуплоскости. Существует ли для этой функции обратная?

Решение:
Уравнение окружности: .
,
,
,
По условиям задачи: . Следовательно, функция полуокружности в верхней полуплоскости имеет запись: .
Для нахождения обратной функции:
— выразим через :
;
;
;
— поменяем местами и : .
Получается, что при преобразовании указанной выше функции полуокружности в обратную каждому обратной функции соответствует 2 значения обратной функции , что не является собственно функциональной зависимостью, а, следовательно, вышеуказанная функция полуокружности в верхней полуплоскости необратима.
Необратимость данной функции также очевидна, если ее преобразовать с помощью правила: Чтобы получить график функции , надо график функции преобразовать симметрично относительно прямой .
При таком преобразовании получается изображение полуокружности в правой полуплоскости, которое функцией не является.

Однако, почему-то в ответах в конце учебника на вопрос о существовании обратной функции для данной дается положительный ответ: «Да».
В то же время, в ответах в данном учебнике часто допускаются ошибки, и, возможно, здесь также допущена ошибка, однако, для меня это не очевидно.
В интернете решение данной задачи не нашел.

dxdy.ru

Окружность. Уравнение окружности


Аналитическая геометрия дает единообразные приемы решения геометрических задач. Для этого все заданные и искомые точки и линии относят к одной системе координат.

В системе координат можно каждую точку охарактеризовать ее координатами, а каждую линию – уравнением с двумя неизвестными, графиком которого эта линия является. Таким образом геометрическая задача сводится к алгебраической, где хорошо отработаны все приемы вычислений.

Окружность есть геометрическое место точек с одним определенным свойством (каждая точка окружности равноудалена от одной точки, называется центром). Уравнение окружности должно отражать это свойство, удовлетворять этому условию.

Геометрическая интерпретация уравнения окружности – это линия окружности.

Если поместить окружность в систему координат, то все точки окружности удовлетворяют одному условию – расстояние от них до центра окружности должно быть одинаковым и равным окружности.

Окружность с центром в точке А и радиусом R поместим в координатную плоскость.

Если координаты центра (а;b), а координаты любой точки окружности (х; у), то уравнение окружности имеет вид:

Если квадрат радиуса окружности равен сумме квадратов разностей соответствующих координат любой точки окружности и ее центра, то это уравнение является уравнением окружности в плоской системе координат.

Если центр окружности совпадает с точкой начала координат, то квадрат радиуса окружности равен сумме квадратов координат любой точки окружности. В этом случае уравнение окружности принимает вид:



Следовательно, любая геометрическая фигура как геометрическое место точек определяется уравнением, связывающим координаты ее точек. И наоборот, уравнение, связывающее координаты х и у, определяют линию как геометрическое место точек плоскости, координаты которых удовлетворяют данному уравнению.

Примеры решения задач про уравнение окружности

Задача. Составить уравнение заданной окружности

Составьте уравнение окружности с центром в точке O (2;-3) и радиусом 4.

Решение.
Обратимся к формуле уравнения окружности:
R2 = (x-a)2 + (y-b)2

Подставим значения в формулу.
Радиус окружности R = 4
Координаты центра окружности (в соответствии с условием)
a = 2
b = -3

Получаем:
(x — 2)2 + (y — (-3))2 = 42
или
(x — 2)2 + (y + 3)2 = 16.

Задача. Принадлежит ли точка уравнению окружности

Проверить, принадлежит ли точка A(2;3) уравнению окружности (x — 2)2 + (y + 3)2 = 16.

Решение.

Если точка принадлежит окружности, то ее координаты удовлетворяют уравнению окружности.
Чтобы проверить, принадлежит ли окружности точка с заданными координатами, подставим координаты точки в уравнение заданной окружности.

В уравнение (x — 2)2 + (y + 3)2 = 16
подставим, согласно условию, координаты точки А(2;3), то есть
x = 2
y = 3

Проверим истинность полученного равенства
(x — 2)2 + (y + 3)2 = 16
(2 — 2)2 + (3 + 3)2 = 16
0 + 36 = 16 равенство неверно

Таким образом, заданная точка не принадлежит заданному уравнению окружности.

Содержание главы:
 Площадь геометрической фигуры | Описание курса | Задачи про окружность 

   

profmeter.com.ua

График зависимости скорости тела от времени имеет вид полуокружности

Условие задачи:

График зависимости скорости тела от времени имеет вид полуокружности. Максимальная скорость тела \(\upsilon_0\), время движения \(t_0\). Определить путь, пройденный телом. Рисунок, приведенный в условии задачи, изображен справа.

Задача №1.1.4 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(\upsilon_0\), \(t_0\), \(S-?\)

Решение задачи:

Также, как и во втором способе решения этой задачи, используем тот факт, что путь, пройденный телом, возможно определить как площадь фигуры под графиком зависимости скорости тела от времени (на рисунке к решению заштриховано). Так как график имеет вид полуокружности, то и его площадь находится как половина площади круга:

\[S = \frac{1}{2}\pi {r^2}\]

Запишем формулу в такой форме:

\[S = \frac{1}{2}\pi r \cdot r\]

Это необходимо для того, чтобы человек, решающий эту задачу не подставил вместо \(r\) либо только \(\upsilon_0\), либо только \(\frac{t_0}{2}\), поскольку в таком случае ответ не будет подходить по размерности с размерностью пути. Поэтому, вместо первого \(r\) подставим \(\upsilon_0\), а вместо второго — \(\frac{t_0}{2}\). Только в этом случае мы сможем получить верный ответ:

\[S = \frac{1}{2}\pi {\upsilon _0} \cdot \frac{{{t_0}}}{2} = 0,25\pi {\upsilon _0}{t_0}\]

Ответ: \(0,25\pi {\upsilon _0}{t_0}\).

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

Если Вам понравилась задача и ее решение, то Вы можете поделиться ею с друзьями с помощью этих кнопок.

easyfizika.ru

Формула Пика


Как определить площадь сложной фигуры? Если она нарисована на клетчатой бумаге, и невырождена -площадь ее ненулевая,  все вершины имеют целые координаты, а стороны не пересекают друг друга – то удобно воспользоваться формулой Пика.

Если обозначить:  В – количество целочисленных точек внутри этой фигуры, Г  – количество целочисленных точек на ее границе, S – площадь фигуры, то

S=В+Г/2-1

Рассмотрим следующую фигуру:

Формула Пика – определение числа узлов внутри и на границе фигуры.

Обозначим все внутренние целочисленные точки красными кружками, а те, что на границах – синими. Целочисленные – это те, что лежат на пересечениях сетки (в ее узлах). Считаем те и другие: В=12, Г=4.  Определим теперь площадь по формуле: S=В+Г/2-1=12+2-1=13.

Давайте проверим правильность наших расчетов, тем более, что здесь это просто: рассчитаем площадь квадрата, обведенного красным, и вычтем площади цветных треугольников:

Вычисление площади при помощи отрезания “лишнего”

Тогда площадь квадрата Sкв=36, площадь голубого треугольника 6, площадь зеленого – 2, площадь фиолетового 15.

Площадь белого треугольника тогда: S=36-6-15-2=13.

Рассмотрим такую фигуру:

Еще один пример определения площади сложной фигуры с помощью формулы Пика

Для нее S=В+Г/2-1=4+3-1=6.

Проверим:

Отрежем лишнее

 

Тогда площадь прямоугольника Sпр=20, площадь голубого треугольника 5, площадь зеленого – 4, площадь фиолетового 5.

Площадь искомой фигуры тогда: S=20-5-4-5=6.

Третья фигура:

Еще один пример работы с формулой Пика

Для нее S=В+Г/2-1=4+4-1=7.

Проверим: площадь треугольников, составляющих нашу фигуру: голубого – 4, зеленого – 1, оранжевого – 2. Сумма их площадей S=4+1+2=7.

Расчет площади с помощью разрезания фигуры

Еще две фигуры:

Узлы решетки внутри и на границе фигуры

Площадь первой: S=10+2-1=11,

Узлы решетки внутри и на границе

 

второйS=10+5-1=14.

Проверить правильность расчета их площадей вы можете самостоятельно.

easy-physic.ru

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *