График sin 3x: Y=sin3x Распишите решение пожалуйста,с пояснением и все дела

Содержание

Характеристики графиков функций: 5 важных фактов —

Характеристики графов функций

Характеристики графов функций, в этой статье будет обсуждаться концепция графического представления функций в дополнение к значению переменной, присутствующей в функции. Чтобы читатели могли легко понять методологию.

Какой график представляет функции f (X) = | x-2 | — 1?

Один взгляд на выражение с правой стороны заставляет задуматься, что это за две полосы вокруг -2? Эти столбцы — обозначение очень специальной функции в математике, известной как функция модуля или функция абсолютного значения. Эта функция так важна в теория функций что стоит сказать несколько слов о его происхождении.

Допустим, мы должны решить, сколько времени потребуется, чтобы перейти из одного города в другой. В таком случае, разве нас не будет интересовать только расстояние между двумя городами? Будет ли какое-то значение направление иметь? Точно так же при изучении математического анализа нам часто требуется анализировать близость двух чисел, которая является абсолютной величиной их разности. Нам все равно, положительная или отрицательная разница. Немецкий математик Карл Вейерштрасс был тем, кто осознал необходимость функции, которая выражала бы абсолютное значение числа. В 1841 году Вейерштрасс определил функцию модуля и использовал две полосы в качестве ее символа.

f (x) = x для всех x> 0

= -x для всех x <0

= 0 для x = 0

Сокращенно f (x) = | x |

Из определения ясно, что эта функция никак не влияет на положительное число. Однако он изменяет отрицательное число на положительное, имеющее то же абсолютное значение. Следовательно

| 5 | = 5

= 7-2 5

| -5 | = 5

| 2-7 | = 5

Чтобы нарисовать график | x |, мы должны начать с графика f (x) = x, который просто представляет собой прямую линию, проходящую через начало координат, наклоненную под углом 45 градусов к положительной стороне оси XХарактеристики функциональных графиков: Теория функций: f(x) = x

Можно сказать, что верхняя половина этого графа сохранится при f (x) = | x | поскольку эта функция не меняет положительные числа. Однако нижняя половина графика должна изменить сторону, потому что | x | всегда должен быть положительным. Итак, все точки в нижней половине f (x) = x теперь будут заменены на верхнюю половину, сохраняя такое же расстояние от оси X. Другими словами, весь ЛЕВАЯ ПОЛОВИНА f (x) = | x | ДЕЙСТВИТЕЛЬНО ЯВЛЯЕТСЯ ОТРАЖЕНИЕМ НИЖНЕЙ ПОЛОВИНЫ f (x) = x относительно оси X.

Характеристики функциональных графиков: Теория функций: |х| и х графики

На приведенном выше рисунке правая половина показывает графики | x | и x наложены, в то время как левая половина показывает одно как отражение другого. Важно отметить, что этот метод можно применить к любой функции. Другими словами, легко представить себе график | f (x) | если мы уже знаем график f (x). Ключевым моментом является замена нижней половины ее отражением относительно оси X.

Теперь мы знаем, как построить график |x|. Но наша исходная задача требует графика |x-2|. Ну, это не что иное, как сдвиг происхождения от (0,0) до (2,0), поскольку он просто уменьшает чтение X всех точек на 2 единицы, тем самым преобразуя f(x) в f(x-2). Характеристики функциональных графиков: Теория функций: | x | и | x-2 |

Теперь -1 — это единственное, о чем нужно позаботиться. Это означает вычитание 1 из всех точек на | x-2 |. Другими словами, это означает перетягивание графика вниз на 1 единицу. Итак, новая вершина будет (2, -1) вместо (2,0)

Характеристики функциональных графиков: Теория функций: | x-2 | — 1

Какой график представляет функции f (X) = — | x-2 | — 1?

Ну, это должно быть довольно легко после анализа, который мы только что сделали. Единственное отличие здесь — это знак минус перед |x-2|. Знак минус просто инвертирует график |x-2| относительно оси X. Итак, мы можем перезапустить предыдущий проблема сразу после точки где у нас был график |x-2|. Но на этот раз, прежде чем рассматривать -1, мы инвертируем график.

Характеристики функциональных графиков: График | x-2 | и — | x-2 |

После этого мы потянем его вниз на одну единицу, чтобы включить -1. И это сделано. Характеристики графов функций

График функции должен быть линейным, если у него есть какая характеристика?

Что такое прямая линия? Обычно это определяется как минимальное расстояние между двумя точками на плоской поверхности. Но его можно определить и под другим углом. Поскольку плоскость XY представляет собой набор точек, мы можем рассматривать любую линию на этой плоскости как геометрическое место или след движущейся точки или точку, координаты X, Y которой изменяются.

Движение по прямой подразумевает, что движение происходит без изменения направления. Другими словами, если точка начинает движение из данной точки и движется только в одном заданном направлении, то говорят, что она следует прямой линии. Итак, если мы хотим выразить линейный график как функцию, то мы должны найти уравнение для условия постоянного направления.

Но как математически выразить направление? Ну, поскольку у нас уже есть две опорные оси в плоскости XY, направление линии может быть выражено углом, который она составляет с любой из двух осей. Итак, предположим, что прямая наклонена под углом α. Но это будет означать семейство параллельных линий, а не только одну. Таким образом, α не может быть единственным параметром линии.

Характеристики функциональных графиков: Семейство линий с наклоном 45 градусов

Обратите внимание, что линии отличаются только точкой пересечения по оси Y. Пересечение Y — это расстояние от исходной точки точки, где линия пересекает ось Y. Назовем этот параметр C. Итак, у нас есть два параметра, α и C. Теперь давайте попробуем вывести уравнение линии.Характеристики функциональных графиков: Форма перехвата прямых линий

Из рисунка должно быть ясно из прямоугольного треугольника, что для любой точки (x, y) на линии определяющее условие должно быть

(yc) / x = tanα.

⟹ у = хтанα + с

⟹y = mx + c, где m = tanα

Следовательно, любое уравнение вида y = ax + b должно представлять собой прямую линию. Другими словами, f (x) = ax + b — желаемая форма функции, чтобы быть линейной.

То же самое может быть получено также из обычного определения прямой линии, согласно которому линия — это кратчайший путь между двумя точками на плоской поверхности. Итак, пусть (x1, y1) и (x2, y2) — две точки на прямой.Характеристики функциональных графиков: Две точки образуют прямые линии

Для любой другой точки на линии условие может быть получено путем приравнивания наклонов двух сегментов линии, образованных тремя точками, поскольку линия должна сохранять свой наклон на всех сегментах. Следовательно, уравнение

(гг₁) / (хх₁) = (y₂-y₁)/(Икс₂-x₁)

⟹y (x₂-x₁) + x (y₁-y₂) + (х₁y₂-y₁x₂) = 0

Это уравнение имеет форму Ax + By + C = 0, которую можно записать в форме y = ax + b, которую мы знаем как форму линейной функции.

Какой график используется для отображения изменения предоставленной переменной при изменении второй переменной?

Чтобы нарисовать идеальный график функции, нам потребуется либо определенное алгебраическое выражение, либо бесконечное количество точек данных. В реальной жизни и то и другое в большинстве случаев недоступно. Данные, которые у нас есть, разрознены. Другими словами, у нас может быть список точек (x, y), которые можно нанести на график, но точки могут быть расположены не очень плотно. Но мы все равно должны соединить эти точки, поскольку другого способа посмотреть на паттерн или тенденцию переменных нет. Полученный таким образом график известен как линейный график.

Он назван так потому, что соседние точки соединяются прямыми линиями. Этот график лучше всего подходит для иллюстрации связи между двумя переменными, когда одна зависит от другой и обе изменяются. Графики временных рядов являются примерами линейного графика, где ось X представляет время в часах / днях / месяцах / годах, а ось Y представляет переменную, значение которой изменяется во времени.

ПРОДАЖИ	2010	2011	2012	2013	2014	2015	2016	2017	2018	2019
Год	4000	4700	4450	4920	5340	5120	5450	5680	5560	5900

Характеристики графов функцийХарактеристики функциональных графиков: Пример линейного графика

Периодическая функция

Когда зависимая переменная повторяет свое значение с определенным периодом или интервалом независимой переменной, функция называется периодической. Интервал называется периодом или основным периодом, иногда также основным периодом или основным периодом. Критерий периодичности функции — наличие некоторой действительной константы T: f (x + T) = f (x). Это означает, что f (x) повторяет свое значение после каждых T единиц x. Мы можем отметить значение функции в любой момент, и мы найдем то же значение в T единицах справа и слева от этой точки. Это характеристика периодической функции.

Характеристики графов функций: Sin (x) имеет период 2

На рисунке выше изображено периодическое поведение Sinx. Мы берем два случайных значения x, таких как x1 и x2, и проводим линии, параллельные оси x, из sin (x1) и sin (x2). Отметим, что обе прямые снова пересекаются с графиком на расстоянии ровно 2π. Следовательно, период Sinx равен 2π. Таким образом, мы можем записать sin (x + 2 π) = sinx для любого x. Остальные тригонометрические функции также периодичны. Косинус имеет тот же период, что и у Sin, и у Cosec и Sec. У Тан есть период π, и у Кот тоже.

Какой член дает количество циклов периодической функции, которые происходят в одной горизонтальной единице?

Один полный период называется циклом. Итак, существует ровно один цикл в T единиц x. Следовательно, в одной единице x содержится 1 / T циклов. Число 1 / T имеет особое значение при изучении периодических функций, поскольку оно показывает, как часто функция повторяет свои значения. Следовательно, термин «частота» соответствует числу 1 / T. Частота обозначается буквой «f», которую не следует путать с функцией «f». Чем выше частота, тем большее количество циклов приходится на единицу. Частота и период обратно пропорциональны друг другу и соотносятся как f = 1 / T или T = 1 / f. Для Sin (X) период равен 2π, поэтому частота будет 1 / 2π.

Примеры:

Рассчитайте период и частоту Sin (3x)

Поскольку Sin (x) имеет один цикл в 2π, Sin (3x) будет иметь 3 цикла в 2π, поскольку x прогрессирует в 3 раза быстрее в Sin (3x). Таким образом, частота будет в 3 раза больше, чем у Sin (x), то есть 3 / 2π. Таким образом, период 1 / (3 / 2π) = 2π / 3

Вычислить период Sin2x + sin3x

Обратите внимание, что любое целое число, кратное фундаментальному периоду, также является периодом. В этой задаче есть два компонента функции. Первый имеет период π, а второй — 2π / 3. Но они разные, поэтому ни один из них не может быть периодом составной функции. Но каким бы ни был период композиции, он также должен быть периодом компонентов. Таким образом, это должно быть общее целое число, кратное им обоим. Но таких могло быть бесконечно много. Следовательно, основной период будет наименьшим общим кратным периодов компонентов. В этой задаче Lcm (π, 2π / 3) = 2π Характеристики функциональных графиков: Период составной функции

Вычислить период (Sin2x + Sin5x) / (Sin3x + Sin4x)

Тривиально, но довольно интересно заметить, что правило, которое мы изобрели в предыдущей задаче, действительно применимо к любой композиции периодических функций. Таким образом, в этом случае также эффективным периодом будет НОК периодов компонентов. То есть НОК (π, 2π / 5,2π / 3, π / 2) = 2π

Вычислить период Sinx + sin πx

Сначала кажется очевидным, что период должен быть НОК (2π, 2), но затем мы понимаем, что такого числа не существует, поскольку 2π иррационально, так же как и его кратные, а 2 рационально, а также его кратные. Итак, у этих двух чисел не может быть общего целого, кратного этим двум числам. Следовательно, эта функция не периодическая.

Функция дробной части {x} периодична.

f (x) = {x}

Это известно как функция дробной части. Он оставляет наибольшую целую часть действительного числа и оставляет только дробную часть. Таким образом, его значение всегда находится между 0 и 1, но никогда не равно 1. На этом графике должно быть ясно, что у него период 1.Характеристики графов функций: Функция дробной части {x}

Заключение

До сих пор мы обсуждали характеристики функциональных графов. Теперь мы должны иметь четкое представление о характеристиках и различных типах графиков. Также у нас была идея графической интерпретации функций. Следующая статья будет более подробно освещать такие понятия, как диапазон и домен, обратные функции, различные функции и их графики, а также множество решенных проблем. Чтобы углубиться в изучение, вам предлагается прочитать ниже

Исчисление Майкла Спивака.

Алгебра Майкла Артина.

Для получения дополнительных статей по математике, пожалуйста нажмите здесь..

Каковы пересечения по оси x графика функции f(x) = 2 sin(3x) + rad3 на интервале [0, 2theta]?

Математическое предварительное исчисление Графический синус

Дженна Л.

спросил 29.04.15

Я все еще новичок и запутался с графами грехов. Я знаю, что ответ будет 4pi/9, 5pi/9, 10pi/9, 11pi/9, 16pi/9, 17pi/9, но не знаю, как знаменатель получился равным 9.

спасибо!

Подписаться І 2

Подробнее

Отчет

1 ответ эксперта

Лучший Новейшие Самый старый

Автор: Лучшие новыеСамые старые

Джон П. ответил 29.04.15

Репетитор

5,0 (173)

Гарвард с отличием по математике, опытный репетитор по математике и подготовке к SAT

Об этом репетиторе ›

Вы, наверное, забыли заметить 3x в функции sin…

Прежде всего, я предполагаю, что вы имеете в виду интервал [0, 2π], верно?

Отрезок по оси x означает, что y = 0. Итак, решите уравнение:

2 sin(3x) + √3 = 0

, чтобы найти точки отсечения по оси x.

2 sin(3x) + √3 = 0

2 sin(3x) = -√3

sin3x = -√3/2

Для каких значений sin -√3/2? Это будет 4π/3 и 5π/3, а все значения, являющиеся этими числами, ± 2π. Таким образом, вы можете написать 4π/3 ± 2πn и 5π/3 ± 2πn, где n — любое целое число.

Итак, теперь у вас есть следующее:

SIN 3X = -рее 3/2, поэтому

3x = 4π/3 ± 2πn, или

3x = 5π/3 ± 2πn

Теперь вам нужно найти x, разделив на 3

x = 4π/9 ± 2πn/3, или

x = 5π/9 ± 2πn/3

Итак, x равно 4π/9 или 5π/9, ± любому кратному 2π/3.

Вы можете игнорировать — часть ±, потому что, как только вы вычтете 2π/3 из 4π/9 или 5π/9, вы получите отрицательные значения для x, что не может быть правильным, потому что интервал для x начинается с 0.

Таким образом, вам просто нужно прибавлять числа, кратные 2π/3, к 4π/9 и 5π/9, пока не получится больше 2π.

Голосовать за 1 голос против

Подробнее

Отчет

Все еще ищете помощь? Получите правильный ответ, быстро.

Задайте вопрос бесплатно

Получите бесплатный ответ на быстрый вопрос.

Ответы на большинство вопросов в течение 4 часов.

ИЛИ

Найдите онлайн-репетитора сейчас

Выберите эксперта и встретьтесь онлайн. Никаких пакетов или подписок, платите только за то время, которое вам нужно.

баллов) С помощью калькулятора или компьютера; сгенерируйте график, подобный показанному ниже, построив график y = sin 3x и y = 3x для

Вопрос

Пошаговый ответ

балл) С помощью калькулятора или компьютера; сгенерируйте график, подобный показанному ниже, путем построения графика y = sin 3x и y = 3x для

пункт) С помощью калькулятора или компьютера; сгенерируйте график, подобный показанному ниже, построив график y = sin 3x и y = 3x для

Вопрос о наилучшем совпадении:

балла) С помощью калькулятора или компьютера; сгенерируйте график, подобный показанному ниже, путем построения графика y = 3V16 + &x 12 и y = 3xfor ~1 0? (Введите больше или меньше:)