Графика функции решение: Построение графика функции онлайн

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Переломова К.Г. 1

---

1МКОУ Юголукская СОШ

Черных Н.Г. 1Черных н.г. 1

---

1МКОУ Юголукская СОШ

Автор работы награжден дипломом победителя II степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителяСвидетельство руководителя

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке «Файлы работы» в формате PDF

Введение

Преобразование графиков функции является одним из основных математических понятий, непосредственно связанные с практической деятельностью. Преобразование графиков функций впервые встречается в алгебре 9 класса при изучении темы «Квадратичная функция». Квадратичная функция вводится и изучается в тесной связи с квадратными уравнениями и неравенствами.

Так же многие математические понятия рассматриваются графическими методами, например в 10 – 11 классах исследование функции дает возможность найти область определения и область значения функции, области убывания или возрастания, асимптоты, интервалы знакопостоянства и др. Так же этот немаловажный вопрос выносится на ГИА. Отсюда следует, построение, и преобразование графиков функции является одной из главных задач обучения математике в школе.

Однако для построения графиков многих функций можно использовать ряд методов, облегчающих построение. Выше сказанное определяет актуальность темы исследования.

Объектом исследованияявляется изучение преобразование графиков в школьной математике.

Предмет исследования –

процесс построение и преобразование графиков функции в общеобразовательной школе.

Проблемный вопрос: можно ли построить график не знакомой функции, имея навык преобразования графиков элементарных функций?

Цель: построение графиков функции в незнакомой ситуации.

Задачи:

1. Проанализировать учебный материал по исследуемой проблеме. 2. Выявить схемы преобразования графиков функции в школьном курсе математики. 3. Отобрать наиболее эффективные методы и средства построение и преобразование графиков функции. 4.Уметь применять данную теории в решении задач.

Необходимые начальные знания, умения, навыки:

• определять значение функции по значению аргумента при различных способах задания функции;

• строить графики изученных функций;

• описывать по графику и в простейших случаях по формуле поведение и свойства функций, находить по графику функции наибольшие и наименьшие значения;

• описания с помощью функций различных зависимостей, представления их графически, интерпретации графиков.

Основная часть

Теоретическая часть

В качестве исходного графика функции y = f(x) выберу квадратичную функциюy = x². Рассмотрю случаи преобразования данного графика, связанные с изменениями формулы, задающей эту функцию и сделаю выводы для любой функции.

1. Функция y = f(x) + a

В новой формуле значения функции (ординаты точек графика) изменяются на число a, по сравнению со «старым» значением функции. Это приводит к параллельному переносу графика функции вдоль оси OY:

вверх, если a > 0; вниз, если a < 0.

ВЫВОД

Таким образом график функции y=f(x)+a, получается из графика функции y=f(x) с помощью параллельного переноса вдоль оси ординат на a единиц вверх, если a > 0, и на a единиц вниз, если a < 0.

2. Функция y = f(x–a),

В новой формуле значения аргумента (абсциссы точек графика) изменяются на число a, по сравнению со «старым» значением аргумента. Это приводит к параллельному переносу графика функции вдоль оси OX: вправо, если a < 0, влево, если a >0.

ВЫВОД

Значит график функции y= f(x — a), получается из графика функции y=f(x) с помощью параллельного переноса вдоль оси абсцисс на a единиц влево, если a > 0, и на a единиц вправо, если a < 0.

3. Функция y = k f(x), где k > 0 и k ≠ 1

В новой формуле значения функции (ординаты точек графика) изменяются в k раз, по сравнению со «старым» значением функции. Это приводит к: 1) «растяжению» от точки (0; 0) вдоль оси ОY в k раз, если k > 1, 2) «сжатию» к точке (0; 0) вдоль оси OY в _{раз, если 0 < k < 1.}

ВЫВОД

Следовательно: чтобы построить график функции y = kf(x), где k > 0 и k ≠ 1 нужно ординаты точек заданного графика функции y = f(x) умножить на k. Такое преобразование называется растяжением от точки (0; 0) вдоль оси ОY в k раз, если k > 1; сжатием к точке (0; 0) вдоль оси OY в _{раз, если 0 < k < 1.}

4. Функция y = f(kx), где k > 0 и k ≠ 1

В новой формуле значения аргумента (абсциссы точек графика) изменяются в k раз, по сравнению со «старым» значением аргумента. Это приводит к: 1) «растяжению» от точки (0; 0) вдоль оси ОX в 1/k раз, если 0 < k < 1; 2) «сжатию» к точке (0; 0) вдоль оси OX. в k раз, если k > 1.

ВЫВОД

И так: чтобы построить график функции y = f(kx), где k > 0 и k ≠ 1 нужно абсциссы точек заданного графика функции y=f(x) умножить на k. Такое преобразование называется растяжением от точки (0; 0) вдоль оси ОX в 1/k раз, если 0 < k < 1, сжатием к точке (0; 0) вдоль оси OX. в k раз, если k > 1.

5. Функция y = — f (x).

В данной формуле значения функции (ординаты точек графика) изменяются на противоположные. Это изменение приводит к симметричному отображению исходного графика функции относительно оси Ох.

ВЫВОД

Для построения графика функции y = — f (x) необходимо график функции y= f(x)

симметрично отразить относительно оси OX. Такое преобразование называется преобразованием симметрии относительно оси OX .

6. Функция y = f (–x).

В данной формуле значения аргумента (абсциссы точек графика) изменяются на противоположные. Это изменение приводит к симметричному отображению исходного графика функции относительно оси ОY.

Пример для функции у = — х² это преобразование не заметно, т. к. данная функция чётная и график после преобразования не меняется. Это преобразование видно, когда функция нечётная и когда ни чётная и ни нечётная.

7. Функция y = |f(x)|.

В новой формуле значения функции (ординаты точек графика) находятся под знаком модуля. Это приводит к исчезновению частей графика исходной функции с отрицательными ординатами (т.е. находящихся в нижней полуплоскости относительно оси Ох) и симметричному отображению этих частей относительно оси Ох.

8. Функция y= f (|x|).

В новой формуле значения аргумента (абсциссы точек графика) находятся под знаком модуля. Это приводит к исчезновению частей графика исходной функции с отрицательными абсциссами (т.е. находящихся в левой полуплоскости относительно оси ОY) и замещению их частями исходного графика, симметричными относительно оси ОY.

Практическая часть

Рассмотрим несколько примеров применения вышеизложенной теории.

ПРИМЕР 1.

Построить график функции, заданной формулой

Решение. Преобразуем данную формулу:

1) Построим график функции

2) Выполним параллельный перенос построенного графика на вектор

(1; 3).

ПРИМЕР 2.

Построить график функции, заданной формулой

Решение. Преобразуем данную формулу, выделив в данном квадратном трехчлене квадрат двучлена:

1) Построим график функции

2) Выполним параллельный перенос построенного графика на вектор

ПРИМЕР 3.

ЗАДАНИЕ ИЗ ЕГЭПостроение графика кусочной функции

График функции График функции y=|2(x-3)2-2|; 1

Просмотров работы: 1184

ГИА — построение графиков функций со знаком модуля / Хабр

Всем привет! Хотел бы сегодня объяснить такую тему, как построение графиков. Вероятно большинство знает, как строить простые графики функций, такие как y=x^2 или y=1/x. А как строить графики со знаком модуля?

Задача 1. Построить графики функций y=|x| y=|x-1|.
Решение. Сравним его с графиком функции y=|x|.При положительных x имеем |x|=x. Значит, для положительных значений аргумента график y=|x| совпадает с графиком y=x, то есть эта часть графика является лучём, выходящим из начала координат под углом 45 градусов к оси абсцисс. При x< 0 имеем |x|= -x; значит, для отрицательных x график y=|x| совпадает с биссектрисой второго координатного угла.
Впрочем, вторую половину графика (для отрицательных X) легко получить из первой, если заметить, что функция y=|x| — чётная, так как |-a|=|a|. Значит, график функции y=|x| симметричен относительно оси Oy, и вторую половину графика можно приобрести, отразив относительно оси ординат часть, начерченную для положительных x. Получается график:

y=|x|

Для построения берём точки (-2; 2) (-1; 1) (0; 0) (1; 1) (2; 2).

Теперь график y=|x-1|. Если А — точка графика у=|x| с координатами (a;|a|), то точкой графика y=|x-1| с тем же значением ординаты Y будет точка A1(a+1;|a|). (Почему?) Эту точку второго графика можно получить из точки А(a;|a|) первого графика сдвигом параллельно оси Ox вправо. Значит, и весь график функции y=|x-1|получается из графика функции y=|x| сдвигом параллельно оси Ox вправо на 1.

Построим графики:

y=|x-1|

Для построения берём точки (-2; 3) (-1; 2) (0; 1) (1; 0) (2; 1).

Это была простенькая задачка. Теперь то, что многих приводит в ужас.

Задача 2. Постройте график функции y=3*|x-4| — x + |x+1|.
Решение. Найдем точки, в которых подмодульные выражения обращаются в нуль, т.е. так называемые «критические» точки функции. Такими точками будут х=-1 и х=4. В этих точках подмодульные выражения могут изменить знак.

Пусть x<-1. Тогда х+1<0, |x+1|=-x-1; x-4<0, |x-4|=-x+4; Следовательно y= 3(-х+4)-х+(-х-1)= -5х+11.
Пусть -1< = x < = 4. Тогда х+1>0, |x+1|=x+1; x-4<0, |x-4|=-x+4; Следовательно y= 3(-х+4)-х+(х+1)= -3х+13.
Пусть х>4. Тогда х+1>0, |x+1|=x+1, x-4>0; |x-4|=x-4; Следовательно у= 3(х-4)-х+х+1= 3х-11. 2 — |x| — 3|

Итак, всем спасибо! Теперь мы получили ту базу знаний, необходимую для построения графиков со знаком модуля! А то его так все боятся.

Вот ссылка, которая поможет вам проверить ваши построения:

Определение точек пересечения и нулей линейных функций

Давайте начнемВведение в отрезки и нулиОтрезки линейных функций из графиковОтрезки линейных функций из уравненийУпражнения в поиске отрезков из графиковПрактика поиска отрезковПерехваты линейных функций из таблицНули линейных функцийПрактика поиска отрезков из проблемных ситуацийСловарный запас Занятия в журнале Стандарты Ожидания и учащиеся

0006

A(3) Линейные функции, уравнения и неравенства. Учащийся применяет стандарты математического процесса при использовании графиков линейных функций, ключевых функций и связанных преобразований для представления различными способами и решения уравнений, неравенств и систем уравнений с использованием технологий и без них. Ожидается, что учащийся:

A(3)(C) начертит линейные функции на координатной плоскости и определит ключевые функции, в том числе x — точку пересечения, y — точка пересечения, нули и наклон в математических и реальных задачах

Ресурс Цель(и)

Имея алгебраическое, табличное или графическое представление линейных функций, учащийся определяет точки пересечения графиков и нули функции.

Основные вопросы

Какая связь между точками пересечения и нулями функции?

Каким методом можно найти ноль линейной функции?

Какие стратегии можно использовать для решения x — и y -перехватов?

Словарь

• Линейная функция
• Перехват
• Нули
• Форма пересечения уклонов
• x -Перехват
• y -Перехват

Потренируемся находить точки пересечения и нули линейных функций. Существует два типа перехватов: x -перехваты и y -перехваты. Когда вы пишете уравнение в форме точки пересечения, точка пересечения y отображается как b. Точка пересечения y — это точка пересечения графика с осью y .

y = m x + b

Точка пересечения x — это точка пересечения графика с осью x . Что можно сказать о нулях линейной функции? Нуль функции находится там, где y -значение равно нулю.

Все три концепции можно увидеть, взглянув на линейный график. Следуйте этим указаниям, чтобы найти точку пересечения и ноль.

1. Найдите точку пересечения y , где график пересекает ось y .
2. Найдите точку пересечения x , где график пересекает ось x .
3. Найдите нули линейной функции, где y -значение равно нулю.

Вы заметили что-то необычное в шагах 2 и 3? Когда вы найдете, где находится точка пересечения x , значение y равно нулю! Это означает, что ноль линейной функции равен x — значение перехвата x . Поэтому, как только вы найдете № 2, вы можете легко найти № 3.

Используйте этот интерактивный апплет, чтобы выбрать линию и найти точку пересечения y и точку пересечения x на графике.

Инструкции:

1. На интерактивном графике есть красная и синяя точки.

2. Поставьте 0 в уравнении для x и найдите y . Переместите красную точку на y -ось в этом y  значение (пересечение y ).

Если вы все сделаете правильно, появится слово «Холла».

3. Поместите 0 в исходное уравнение для y и решите x . Переместите синюю точку на ось x на это значение x (точка пересечения x ).

Когда вы правы, слова «Что? КАКИЕ?!» и строка появится.

4. Выберите круглые стрелки в верхнем правом углу координатной сетки, чтобы получить новую линию.

После четырех или пяти вы можете двигаться дальше, но вы можете продолжать попытки, пока не почувствуете себя комфортно.

Давайте научимся находить точки пересечения с помощью уравнения. Чтобы найти точку пересечения x , вы решаете уравнение, используя y = 0. Чтобы найти точку пересечения y , вы решаете уравнение, используя x = 0.

Используйте этот интерактивный апплет, чтобы попрактиковаться в изменении уравнений. чтобы найти точку пересечения x и точку пересечения y . Вверху страницы поясняются перехваты. Внизу страницы есть интерактивное задание, где вы можете попрактиковаться в поиске отрезков уравнений. Нажмите «Линейные уравнения и графики» после прочтения инструкций.

Инструкции:

1. Прочтите информацию вверху страницы.
2. Перейдите к апплету внизу страницы.
3. Нажмите «Получить новый пример».
4. Найдите точку пересечения x и точку пересечения y и введите их в поля.
5. Нажмите «Проверить», чтобы убедиться, что вы правы.
6. Если вы не правы, он скажет вам, какой из них у вас правильный, а также даст подсказку.

Потренируйтесь находить перехваты в этих задачах. На некоторых графиках (например, на следующем) на самом деле показана линия, проходящая через обе точки пересечения, и вам просто нужно уметь их маркировать.

Упражнение 1

Какие точки координат представляют точки пересечения x и y графика, показанного ниже?

Подсказки

1. Напомните себе, что координата ( x , y ). Простой способ запомнить, что x предшествует y в алфавите.
2. Обведите метки « x» и « y» на осях, если вы не можете вспомнить, что есть что.
3. Прежде чем выбрать ответ, отметьте точки на графике.

На некоторых графиках показана линия, проходящая через две точки, которые не являются точками пересечения. Вы должны перерисовать эти точки на листе миллиметровой бумаги и продолжить линии через точки пересечения.

Упражнение 2

Чему равен y -перехват функции, изображенной ниже?

Подсказка

Заново начертите полученные точки и продолжайте делать точки на схеме уклона.

Вы также можете найти пересечения из таблицы, расширив шаблон и проверив пересечения.

В этой таблице показаны упорядоченные пары линейной функции. Как мы могли найти перехваты?

х	у
9	2
3	-2
-3	-6
-9	-10

Заполните таблицу общих различий для x и y . Чтобы составить таблицу общих различий, найдите различия между значениями x . Затем найдите различия между значениями и .

Эти общие различия можно использовать для определения уклона. Изменение х , деленное на изменение х , представляет собой наклон линейной функции. Наклон составляет -4–6 или 23. Нанесите точки и продолжайте движение через оба отрезка, чтобы найти ответы.

Найти ноль линейной функции легко, если вы можете найти точку пересечения x . Нуль — это координата x точки пересечения x .

Давайте посмотрим на этот пример. Чему равен ноль функции 54y = -5x + 15?

Подсказка (решение для x — точка пересечения/ноль):

Нарисуйте и пометьте x — точку пересечения, чтобы вы могли запомнить, что это означает.

Потому что вы решаете на x — перехватите, подставьте 0 вместо и и решите.

Получив уравнение, вы можете еще раз проверить свой ответ на графическом калькуляторе, решив y .

Найдите ноль следующим образом:

Проверьте решение на вашем графическом калькуляторе следующим образом:

Измените уравнение на форму пересечения наклона и введите его в редакторе уравнений (Y=) как y = -4 x + 12. На экране графика нажмите TRACE, чтобы ввести ответ, и нажмите Enter. Вы также можете найти x -значение с y = 0 в таблице.

• Печать
• Поделиться

Написать уравнение линейной функции по графику прямой | Колледж Алгебра |

Вспомним, что в разделе «Линейные функции» мы написали уравнение для линейной функции по графику. Теперь мы можем расширить наши знания о построении графиков линейных функций для более тщательного анализа графиков. Начните с рассмотрения рисунка 8. Мы сразу видим, что график пересекает y — ось в точке (0, 4), так что это точка пересечения y .

Рисунок 8

Затем мы можем рассчитать наклон, найдя подъем и уклон. Мы можем выбрать любые две точки, но давайте посмотрим на точку (-2, 0). Чтобы добраться от этой точки до перехвата y- , мы должны продвинуться на 4 единицы вверх (подъем) и вправо на 2 единицы (бег). Таким образом, наклон должен быть

м=подъем=42=2м=\frac{\text{подъем}}{\text{прогон}}=\frac{4}{2}=2\\m=подъем=24​=2

Подстановка наклона и точки пересечения y- в форму линии с пересечением наклона дает

у=2х+4у=2х+4\\у=2х+4

Как сделать: Имея график линейной функции, найдите уравнение, описывающее эту функцию.

1. Определите точку пересечения y- уравнения.
2. Выберите две точки для определения уклона.
3. Замените точку пересечения y- и наклон в форму линии с пересечением наклона.

Пример 4. Сопоставление линейных функций с их графиками

Сопоставьте каждое уравнение линейных функций с одной из линий на рисунке 9.

1. f(x)=2x+3f\left(x\right)=2x+3\\f(x)=2x+ 3

2. g(x)=2x−3g\left(x\right)=2x — 3\\g(x)=2x−3

3. h(x)=−2x+3h\left(x\right)=-2x+3\\h(x)=−2x+3

4. j(x)=12x+3j\left(x\right)=\frac{1}{2}x+3\\j(x)=21​x+3

Рисунок 9

Решение

Проанализируйте информацию для каждой функции.

1. Эта функция имеет наклон 2 и точку пересечения y 3. Она должна проходить через точку (0, 3) и наклоняться вверх слева направо. Мы можем использовать две точки, чтобы найти наклон, или мы можем сравнить его с другими перечисленными функциями. Функция g  имеет тот же наклон, но другую точку пересечения y-. Линии I и III имеют одинаковый наклон, потому что они имеют одинаковый наклон. Линия III не проходит через (0, 3), поэтому f должно быть представлено линией I.
2. Эта функция также имеет наклон 2, но y -пересечение –3. Он должен проходить через точку (0, –3) и наклоняться вверх слева направо. Он должен быть представлен линией III.
3. Эта функция имеет наклон –2 и точку пересечения y-, равную 3. Это единственная функция, указанная с отрицательным наклоном, поэтому она должна быть представлена ​​линией IV, поскольку она наклонена вниз слева направо.
4. Эта функция имеет наклон

   12\frac{1}{2}\\21​

   и y- точка пересечения 3. Она должна проходить через точку (0, 3) и наклоняться вверх слева направо. Линии I и II проходят через (0, 3), но наклон j меньше, чем наклон f , поэтому линия для j должна быть более плоской. Эта функция представлена ​​линией II.

Теперь мы можем перемаркировать линии, как показано на рисунке 10.

Рисунок 10

Нахождение точки пересечения линии x

До сих пор мы находили y- точка пересечения функции: точка, в которой график функции пересекает ось y . Функция также может иметь точку пересечения x , , которая является координатой x точки, в которой график функции пересекает ось x . Другими словами, это входное значение, когда выходное значение равно нулю.

Чтобы найти точку пересечения x , установите функцию f ( x ) равной нулю и найдите значение х . Например, рассмотрим показанную функцию.

f(x)=3x−6f\left(x\right)=3x — 6\\f(x)=3x−6

Установите функцию равной 0 и найдите x .

{0=3x−66=3×2=xx=2\begin{case}0=3x — 6\qquad \\ 6=3x\qquad \\ 2=x\qquad \\ x=2\qquad \end{cases }\\⎩

⎨

⎧​0=3x−66=3×2=xx=2​

График функции пересекает ось x в точке (2, 0).

Вопросы и ответы

Все ли линейные функции имеют x -перехваты?

Нет. Однако линейные функции вида y  = c , где c — ненулевое действительное число, являются единственными примерами линейных функций без пересечения x . Например, y = 5 — это горизонтальная линия, расположенная на 5 единиц выше оси x . Эта функция не имеет x -перехватов .

Рисунок 11

A Общее примечание:

x — точка пересечения

x -пересечение функции равно x , когда f ( x ) = 0. Его можно решить по уравнению 0 = m x +5 b .6.

Пример 5: Нахождение точки пересечения

x

Нахождение точки пересечения x

f(x)=12x−3f\left(x\right)=\frac{1}{2}x — 3 \\f(x)=21​x−3

.

Решение

Установите функцию равной нулю, чтобы найти x .

{0=12x−33=12×6=xx=6\begin{case}0=\frac{1}{2}x — 3\\ 3=\frac{1}{2}x\\ 6=x \\ x=6\end{cases}\\⎩

⎨

⎧​0=21​x−33=21​x6=xx=6​

График пересекает ось x в точке (6, 0).

Рис. 12.  График линейной функции

f(x)=12x−3f\left(x\right)=\frac{1}{2}x — 3\\f(x)=21​ х-3

.

Попробуйте 4

Найдите точку пересечения x

f(x)=14x−4f\left(x\right)=\frac{1}{4}x — 4\\f(x) =41​x−4

. Решение

Описание горизонтальных и вертикальных линий

Есть два особых случая линий на графике — горизонтальные и вертикальные линии. Горизонтальная линия указывает на постоянный выход или y -значение. На рисунке 13 мы видим, что выход имеет значение 2 для каждого входного значения. Таким образом, изменение объема производства между любыми двумя точками равно 0. В формуле наклона числитель равен 0, поэтому наклон равен 0. Если мы используем м, = 0 в уравнении

f(x)=mx+bf \left(x\right)=mx+b\\f(x)=mx+b

, уравнение упрощается до

f(x)=bf\left(x\right)=b\\f(x)=b

. Другими словами, значение функции является константой. Этот график представляет функцию

f(x)=2f\left(x\right)=2\\f(x)=2

.

Рис. 13.  Горизонтальная линия, представляющая функцию

f(x)=2f\left(x\right)=2\\f(x)=2

.

Рисунок 14

Вертикальная линия указывает на постоянное значение или значение x . Мы видим, что входное значение для каждой точки на линии равно 2, но выходное значение меняется. Поскольку это входное значение сопоставляется более чем с одним выходным значением, вертикальная линия не представляет функцию. Обратите внимание, что между любыми двумя точками изменение входных значений равно нулю. В формуле наклона знаменатель будет равен нулю, поэтому наклон вертикальной линии не определен.

Обратите внимание, что вертикальная линия, например та, что на рис. 2.

Рис. 15. Вертикальная линия x = 2, которая не представляет функцию.

A Общее примечание: горизонтальные и вертикальные линии

Линии могут быть горизонтальными или вертикальными.

A горизонтальная линия — это линия, заданная уравнением вида

f(x)=bf\left(x\right)=b\\f(x)=b

.

Вертикальная линия — это линия, определяемая уравнением вида

x=ax=a\\x=a

.