Х 2 3 производная: Частные производные онлайн

2

Решение линейных уравнений с примерами

Алгоритм нахождения данных точек оговаривался уже неоднократно, кратко повторюсь:

1. Находим производную функции.

2. Находим нули производной (приравниваем производную к нулю и решаем уравнение).

3. Далее строим числовую ось, на ней отмечаем найденные точки и определяем знаки производной на полученных интервалах. *Это делается путём подстановки произвольных значений из интервалов в производную.

Если вы совсем не знакомы со свойствами производной для исследования функций, то обязательно изучите статью « ». Также повторите таблицу производных и правила дифференцирования (имеются в этой же статье). Рассмотрим задачи:

77431. Найдите точку максимума функции у = х 3 –5х 2 +7х–5.

Найдём производную функции:

Найдем нули производной:

3х 2 – 10х + 7 = 0

у(0) » = 3∙0 2 – 10∙0 + 7 = 7 > 0

у(2) » = 3∙2 2 – 10∙2 + 7 = – 1

у(3) » = 3∙3 2 – 10∙3 + 7 = 4 > 0

В точке х = 1 производная меняет свой знак с положительного на отрицательный, значит это есть искомая точка максимума.

Ответ: 1

77432. Найдите точку минимума функции у = х 3 +5х 2 +7х–5.

Найдём производную функции:

Найдем нули производной:

3х 2 + 10х + 7 = 0

Решая квадратное уравнение получим:

Определяем знаки производной функции на интервалах и отметим их на эскизе. Подставляем произвольное значение из каждого интервала в выражение производной:

у( –3 ) » = 3∙(–3) 2 + 10∙(–3) + 7 = 4 > 0

у( –2 ) «= 3∙(–2) 2 + 10∙(–2) + 7 = –1

у(0 ) «= 3∙0 2 – 10∙0 + 7 = 7 > 0

В точке х = –1 производная меняет свой знак с отрицательного на положительный, значит это есть искомая точка минимума.

Ответ: –1

77435. Найдите точку максимума функции у = 7+12х–х 3

Найдём производную функции:

Найдем нули производной:

12 – 3х 2 = 0

х 2 = 4

Решая уравнение получим:

*Это точки возможного максимума (минимума) функции.

Определяем знаки производной функции на интервалах и отметим их на эскизе. Подставляем произвольное значение из каждого интервала в выражение производной:

у( –3 ) «= 12 – 3∙(–3) 2 = –15

у(0 ) «= 12 – 3∙0 2 = 12 > 0

у( 3 ) «= 12 – 3∙3 2 = –15

В точке х = 2 производная меняет свой знак с положительного на отрицательный, значит это есть искомая точка максимума.

Ответ: 2

*Для этой же функции точкой минимума является точка х = – 2.

77439. Найдите точку максимума функции у = 9х 2 – х 3 .

Найдём производную функции:

Найдем нули производной:

18х –3х 2 = 0

3х(6 – х) = 0

Решая уравнение получим:

Определяем знаки производной функции на интервалах и отметим их на эскизе. Подставляем произвольное значение из каждого интервала в выражение производной:

у( –1 ) «= 18 (–1) –3 (–1) 2 = –21

у(1 ) «= 18∙1 –3∙1 2 = 15 > 0

у(7 ) «= 18∙7 –3∙7 2 = –1

В точке х = 6 производная меняет свой знак с положительного на отрицательный, значит это есть искомая точка максимума.

Ответ: 6

*Для этой же функции точкой минимума является точка х = 0.

77443. Найдите точку максимума функции у = (х 3 /3)–9х–7.

Найдём производную функции:

Найдем нули производной:

х 2 – 9 = 0

х 2 = 9

Решая уравнение получим:

Определяем знаки производной функции на интервалах и отметим их на эскизе. Подставляем произвольное значение из каждого интервала в выражение производной:

у( –4 ) «= (–4) 2 – 9 > 0

у(0 ) «= 0 2 – 9

у(4 ) «= 4 2 – 9 > 0

В точке х = – 3 производная меняет свой знак с положительного на отрицательный, значит это есть искомая точка максимума.

Ответ: – 3

Уравнение с одним неизвестным, которое после раскрытия скобок и приведения подобных членов принимает вид

aх + b = 0 , где a и b произвольные числа, называется линейным уравнением с одним неизвестным. Cегодня разберёмся, как эти линейные уравнения решать.

Например, все уравнения:

2х + 3= 7 – 0,5х; 0,3х = 0; x/2 + 3 = 1/2 (х – 2) — линейные.

Значение неизвестного, обращающее уравнение в верное равенство называется решением или корнем уравнения .

Например, если в уравнении 3х + 7 = 13 вместо неизвестного х подставить число 2 , то получим верное равенство 3· 2 +7 = 13. Значит, значение х = 2 есть решение или корень уравнения.

А значение х = 3 не обращает уравнение 3х + 7 = 13 в верное равенство, так как 3· 2 +7 ≠ 13. Значит, значение х = 3 не является решением или корнем уравнения.

Решение любых линейных уравнений сводится к решению уравнений вида

aх + b = 0.

Перенесем свободный член из левой части уравнения в правую, изменив при этом знак перед b на противоположный, получим

Если a ≠ 0, то х = ‒ b/a .

Пример 1. Решите уравнение 3х + 2 =11.

Перенесем 2 из левой части уравнения в правую, изменив при этом знак перед 2 на противоположный, получим
3х = 11 – 2.

Выполним вычитание, тогда
3х = 9.

Чтобы найти х надо разделить произведение на известный множитель, то есть
х = 9: 3.

Значит, значение х = 3 является решением или корнем уравнения.

Ответ: х = 3 .

Если а = 0 и b = 0 , то получим уравнение 0х = 0. Это уравнение имеет бесконечно много решений, так как при умножении любого числа на 0 мы получаем 0,но b тоже равно 0. Решением этого уравнения является любое число.

Пример 2. Решите уравнение 5(х – 3) + 2 = 3 (х – 4) + 2х ‒ 1.

Раскроем скобки:
5х – 15 + 2 = 3х – 12 + 2х ‒ 1.

5х – 3х ‒ 2х = – 12 ‒ 1 + 15 ‒ 2.

Приведем подобные члены:
0х = 0.

Ответ: х — любое число .

Если а = 0 и b ≠ 0 , то получим уравнение 0х = — b. Это уравнение решений не имеет, так как при умножении любого числа на 0 мы получаем 0, но b ≠ 0 .

Пример 3. Решите уравнение х + 8 = х + 5.

Сгруппируем в левой части члены, содержащие неизвестные, а в правой ‒ свободные члены:
х – х = 5 ‒ 8.

Приведем подобные члены:
0х = ‒ 3.

Ответ: нет решений.

На рисунке 1

изображена схема решения линейного уравнения

Составим общую схему решения уравнений с одной переменной. Рассмотрим решение примера 4.

Пример 4. Пусть надо решить уравнение

1) Умножим все члены уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей, равное 12.

2) После сокращения получим
4 (х – 4) + 3·2 (х + 1) ‒ 12 = 6·5 (х – 3) + 24х – 2 (11х + 43)

3) Чтобы отделить члены, содержащие неизвестные и свободные члены, раскроем скобки:
4х – 16 + 6х + 6 – 12 = 30х – 90 + 24х – 22х – 86 .

4) Сгруппируем в одной части члены, содержащие неизвестные, а в другой – свободные члены:
4х + 6х – 30х – 24х + 22х = ‒ 90 – 86 + 16 – 6 + 12.

5) Приведем подобные члены:
‒ 22х = ‒ 154.

6) Разделим на – 22 , Получим
х = 7.

Как видим, корень уравнения равен семи.

Вообще такие уравнения можно решать по следующей схеме :

а) привести уравнение к целому виду;

б) раскрыть скобки;

в) сгруппировать члены, содержащие неизвестное, в одной части уравнения, а свободные члены ‒ в другой;

г) привести подобные члены;

д) решить уравнение вида aх = b,которое получили после приведения подобных членов.

Однако эта схема не обязательна для всякого уравнения. При решении многих более простых уравнений приходится начинать не с первого, а со второго (Пример. 2 ), третьего (Пример. 1, 3 ) и даже с пятого этапа, как в примере 5.

Пример 5. Решите уравнение 2х = 1/4.

Находим неизвестное х = 1/4: 2,
х = 1/8 .

Рассмотрим решение некоторых линейных уравнений, встречающихся на основном государственном экзамене.

Пример 6. Решите уравнение 2 (х + 3) = 5 – 6х.

2х + 6 = 5 – 6х

2х + 6х = 5 – 6

Ответ: ‒ 0, 125

Пример 7. Решите уравнение – 6 (5 – 3х) = 8х – 7.

– 30 + 18х = 8х – 7

18х – 8х = – 7 +30

Ответ: 2,3

Пример 8. Решите уравнение

3(3х – 4) = 4 · 7х + 24

9х – 12 = 28х + 24

9х – 28х = 24 + 12

Пример 9. Найдите f(6), если f (x + 2) = 3 7-х

Решение

Так как надо найти f(6), а нам известно f (x + 2),
то х + 2 = 6.

Решаем линейное уравнение х + 2 = 6,
получаем х = 6 – 2, х = 4.

Если х = 4, тогда
f(6) = 3 7-4 = 3 3 = 27

Ответ: 27.

Если у Вас остались вопросы, есть желание разобраться с решением уравнений более основательно, записывайтесь на мои уроки в РАСПИСАНИИ . Буду рада Вам помочь!

Также TutorOnline советует посмотреть новый видеоурок от нашего репетитора Ольги Александровны, который поможет разобраться как с линейными уравнениями, так и с другими.

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Состоит в том, что бетон, армируемый прочными стальными каркасами, является высокопрочным строительным материалом и не подвержен многочисленным воздействиям окружающей среды, благодаря чему конструкция фундамента опоры ВЛ способна удерживать стальные и железобетонные опоры ЛЭП без угрозы их опрокидывания в течение не одного десятка лет. Долговечность, стойкость к нагрузкам и прочность — основные преимущества применения изделий железобетонные фундаменты ФП2. 7х2.7-А5 для металлических опор ВЛ 500 кВ в энергетическом строительстве.

Железобетонные фундаменты ФП2.7х2.7-А5 для металлических опор ВЛ 500 кВ изготавливаются из тяжелого бетона классом по прочности на сжатие не ниже В30, марка — от М300. Марка бетона по морозостойкости — не ниже F150, по водонепроницаемости — W4 — W6. Цемент и инертные, применяемые для изготовления бетона, должны удовлетворять требованиям СНиП I-В.3-62 и ТП4-68. Наибольший размер зерен в структуре бетона не должен превышать 20-40 мм. Контроль прочности бетона фундаментов опор в соответствии с ГОСТ 10180-67 «Бетон тяжелый. Методы определения прочности» и ГОСТ 10181-62 «Бетон тяжелый. Методы определения подвижности и жесткости бетонной смеси».

В качестве арматуры фундаменты ФП2.7х2.7-А5 для металлических опор ВЛ 500 кВ применяются: стрежневая горячекатаная арматурная сталь класса А-I, стержневая горячекатаная арматурная сталь периодического профиля класса А-III, стержневая арматурная сталь периодического профиля класса А-IV и обыкновенная арматурная проволока класса В1. Для монтажных петель применяется только стержневая горячекатаная арматура класса А-I из углеродистой спокойной стали.

Перед фундаментами опор ЛЭП для энергетического строительства стоит ответственная задача — много лет сохранять устойчивость и прочность опор ЛЭП в разных климатических условиях, в любое время года и в любую погоду. Поэтому к фундаментам опор предъявляются очень высокие требования. Перед отправкой заказчику, фундаменты опор ФП2.7х2.7-А5 для металлических опор ВЛ 500 кВ проходят проверку по различным параметрам, например, таких как степень устойчивости, прочность, долговечность и износостойкость, сопротивляемость отрицательным температурам и атмосферным воздействиям. Перед сваркой детали стыков должны быть очищены от ржавчины. Железобетонные фундаменты с толщиной защитного споя бетона менее 30 мм, а также фундаменты, устанавливаемые в агрессивных грунтах, должны быть защищены гидроизоляцией.

Во время эксплуатации за фундаменты ФП2.7х2.7-А5 для металлических опор ВЛ 500 кВ подлежат тщательному надзору, особенно в первые годы работы ВЛ. Одним из самых серьезных дефектов сооружения фундаментов, трудноустранимых в условиях эксплуатации, является нарушение технологических норм при их изготовлении: применение некачественного или плохо промытого гравия, нарушение пропорций при составлении бетонной смеси и т.д. Не менее серьезным дефектом является послойное бетонирование фундаментов, когда отдельные элементы одного и того же фундамента бетонируются в разное время без предварительной подготовки поверхности. При этом не происходит схватывания бетона одного элемента фундамента с другим и может произойти разрушение фундамента при внешних нагрузках, которые значительно меньше расчетных.

При изготовлении железобетонных фундаментов опор также иногда нарушаются нормы: используется недоброкачественный бетон, закладывается арматура не тех размеров, которые предусмотрены проектом. В процессе сооружения линий электропередач на сборных или свайных железобетонных фундаментах возможно появление серьезных дефектов, которые не допускает энергетическое строительство. К таким дефектам относятся установка сломанных железобетонных фундаментов, недостаточное их заглубление в грунте (особенно при установке опор на склонах холмов и оврагов), нетщательная трамбовка при засыпке, установка сборных фундаментов меньших размеров и др. К дефектам установки относится неправильный монтаж железобетонных фундаментов, при котором отдельные сборные фундаменты, предназначенные в качестве основания металлической опоры, имеют различные вертикальные отметки или сдвиг отдельных фундаментов в плане. При неправильной разгрузке фундаменты ФП2.7х2.7-А5 для металлических опор ВЛ 500 кВ могут быть испорчены, может произойти скол бетона и обнажение арматуры. В процессе приемки особое внимание следует обращать на соответствие анкерных болтов и их гаек проектным размерам.

В условиях эксплуатации железобетонные фундаменты ФП2.7х2.7-А5 для металлических опор ВЛ 500 кВ повреждаются как от воздействий внешней среды, так и от больших внешних нагрузок. Арматура фундаментов, имеющих пористую структуру бетона, повреждается от агрессивного воздействия грунтовых вод. Трещины, образующиеся на поверхности фундаментов, при воздействии эксплуатационных знакопеременных нагрузок, а также ветра, влаги и низкой температуры, расширяются, что в конечном итоге приводит к разрушению бетона и обнажению арматуры. На территориях, расположенных вблизи химических заводов, быстро разрушаются анкерные болты и верхняя часть металлических подножников.

Поломка фундамента опор также может произойти в результате несоосности его со стойками, что служит причиной появления больших изгибающих моментов. Подобная поломка может произойти и при размыве основания фундамента грунтовыми водами и отклонении его от вертикального положения.

В процессе приемки фундаменты ФП2.7х2.7-А5 для металлических опор ВЛ 500 кВ проверяются их соответствие проекту, глубина заложения, качество бетона, качество сварки рабочей арматуры и анкерных болтов, наличие и качество защиты от действия агрессивных вод. Производятся замер вертикальных отметок фундаментов и проверка расположения анкерных болтов по шаблону. При обнаружении каких-либо несоответствий нормам все дефекты устраняются до засыпки котлованов. Фундаменты, имеющие в верхней части сколы бетона и обнаженную арматуру, ремонтируются. Для этого устраивается бетонное обрамление толщиной 10-20 см, заглубленное ниже уровня земли на 20 — 30 см. Следует иметь в виду, что энергетическое строительство не допускает обрамление из шлакобетона, так как в шлаке имеется примесь серы, которая вызывает интенсивную коррозию арматуры и анкерных болтов. При более значительных повреждениях фундаментов (в том числе и монолитных) поврежденная часть накрывается арматурой, сваренной с арматурой основного фундамента, и после установки опалубки бетонируется.

Производная в задачах с параметром

На этой странице вы узнаете

• Как функция отражается в зеркале?
• Как не запутаться в точках минимума и максимума при расстановке знаков на прямой?
• Может ли касательная к функции пересекать ее в другой точке?

Что может рассказать о себе функция и как раскрыть ее секреты? Как узнать поведение функции, не видя ее график? Подробнее об этом в статье.  

Производная в задачах с параметром

С помощью производной можно многое сказать о функции: где она возрастает или убывает, какие точки экстремума у нее есть, можно даже найти касательную к функции. Поэтому перед прочтением статьи рекомендуем ознакомиться с понятиями «Производная» и «Исследование функции с помощью производной». 

Вспомним несколько важных фактов, которые относятся к производной:

• производная положительна на участках возрастания функции;
• производная отрицательна на участках убывания функции;
• производная равна 0 в точках экстремума. 

Представим, что мы решили покататься на велосипеде по городу. Участки, на которых мы будем ехать в гору — это участки возрастания функции. Производная в них будет положительна: мы тратим много сил, чтобы подняться по склону вверх.

Остановимся на вершине, чтобы полюбоваться красивой панорамой. Это самая высокая точка горы— точка максимума, которая является экстремумом.  

Теперь спустимся с горы. Будем ли мы прикладывать силы? Нет, велосипед все сделает за нас. То есть производная отрицательна.

Скатившись с горы, мы попадем в самую низкую точку на рельефе, то есть в точку минимума. 

Чуть подробнее про точки минимума и максимума: 

• В точке минимума производная функции меняет знак с минуса на плюс. 
• В точке максимума производная функции меняет знак с плюса на минус. 

Рассмотрим, как эти знания могут пригодиться в решении задач с параметром. 

Как функция отражается в зеркале? Отражением функции в зеркале будет ни что иное, как производная. Именно она с точностью описывает поведение функции, ее характер и внешность.  Поскольку графики функции и производной несколько отличаются друг от друга, то это будет скорее отражение в кривом зеркале, чем в обычном.

Пример 1. При каких значениях параметра а наименьшее значение функции f(x) = x³ — 48x — a равно -133 на отрезке [-5; -2]?

Решение.  

Шаг 1. Для начала найдем производную функции. 

f'(x) = 3x² — 48 = 3(x² — 16) = 3(x — 4)(x + 4)

Тогда точки экстремума будут равны x = 4 и x = -4. В этих точках производная функции будет менять знак на противоположный.

Шаг 2. Определим, какая из получившихся точек будет точкой максимума, а какая точкой минимума. 

Как не запутаться в точках минимума и максимума при расстановке знаков на прямой? Можно показать стрелочками направление функции: на промежутках с минусом стрелочки смотрят вниз, а на положительных промежутках— вверх. Так мы условно показываем график функции, а значит, можем увидеть точки минимума и максимума визуально.

В точке -4 производная функции меняет знак с минуса на плюс, а значит, это точка минимума. 

В точке 4 функция меняет знак с плюса на минус — это точка максимума. 

Нас интересует значение функции на определенном отрезке, а именно от -5 до -2. Если мы отметим этот участок на прямой, то в него войдет только точка минимума. 

На минутку вспомним нашу поездку на велосипеде. 

Допустим, мы едем по получившейся числовой прямой, включив в точке —5  фитнес-браслет для контроля пульса. От точки —5 о точки —4 будет спуск с горы, а  от точки —4 до 4 будет подъем в гору. 

Браслет был слабо заряжен, и в точке —2 он сел. Мы не успели подняться до вершины горы в точке 4 и спуститься с нее с включенным браслетом. 

Вопрос: через какую самую низкую точку на маршруте мы проехали, пока работал фитнес-браслет? Через точку минимума, то есть -4. 

Рассмотрим эти же рассуждения на языке математики: до точки -4 функция убывает, а от -4 до 4 возрастает, после точки 4 снова убывает. Если рассмотреть отрезок от -5 до -2, то от -5 до -4 функция убывает, от -4 до -2 функция возрастает. То есть в точке минимума функция точно будет принимать наименьшее значение.  

Шаг 3. Следовательно, f_наим = f(-4) = (-4)³ — 48 * (-4) — a = -64 + 192 — a = 128 — a

4. По условию наименьшее значение функции должно быть -133, откуда 128 — a = -133
a = 261

Ответ: 261

Касательная к графику

Касательная к графику — это прямая, которая имеет с графиком только одну общую точку.

Могут возникнуть вопросы: как задать касательную к графику с помощью уравнения? Как найти координаты точки касания? Как она связана с самой функцией? И на все эти вопросы дает ответ производная функции. 

Геометрический смысл производной: если провести касательную к функции в некоторой точке, то производная функции в этой точке будет равна тангенсу угла ее наклона. 

То есть если мы найдем производную в точке касания, то найдем и угол наклона касательной. 

Рассмотрим некоторую функцию и касательную к ней. Пусть их общая точка будет в х₀, также возьмем произвольную точку в х.  

Заметим, что касательная к графику задана уравнением y = kx + b, где k — коэффициент наклона прямой, а следовательно, k = tg(BAC)

Найдем тангенс угла наклона:

\(tg(BAC) = \frac{BC}{AC} = \frac{y — y_0}{x — x_0}\). 

Пусть функция, к которой проведена касательная — это f(x). По геометрическому смыслу производной получаем:

\(f'(x_0) = \frac{y — y_0}{x — x_0}\)

Мы взяли точку х₀, поскольку по геометрическому смыслу производной нам нужна именно точка касания, а не произвольная точка. 

Выразим у:

f'(x₀) * (x — x₀) = y — y₀
y = y₀ + f'(x₀) * (x — x₀)

Немного поменяем обозначения. Поскольку y и f(x) — это одно и то же, то получаем:

y = f(x₀) + f'(x₀) * (x — x₀).

Мы получили уравнение касательной:

y = f(x₀) + f'(x₀) * (x — x₀)

Допустим, нам дана произвольная прямая y = kx + b. Как понять, при каких коэффициентах она будет касательной к графику функции?

Для этого достаточно выполнение одной из двух систем:

Может ли касательная к функции пересекать ее в другой точке?  Ранее мы встречались с касательной к «Окружности». У них много общего с касательной к графику, но есть одно отличие. Касательная к окружности не может пересечь ее в другой точке, а вот касательная к функции может.  Мы не зря говорим про касательную в точке. Поскольку функция может иметь сложный график, касательная, проведенная к одной точке, может пересечь функцию в другом месте. Пример на изображении ниже.

Рассмотрим, где можно применить касательную к функции в задачах с параметром. 

Пример 2. Дана парабола y = x² + ax — 9, касательная к ней проходит через точку (0; -34). При каких значениях параметра а значение функции в точке касания равно 10 при положительных значениях х? 

Решение. 2 — 25 = 0\)
(x₀ — 5)(x₀ + 5) = 0
x₀ = 5 и x₀ = -5

Поскольку по условию х₀ должно быть положительно, получаем x₀ = 5. 

Тогда абсцисса точки касания равна 5, откуда можем найти значение функции в точке касания:

y = x² + ax — 9
y = 25 + 5a — 9
y = 16 + 5a

По условию, значение функции в точке касания равно 10, отсюда:

10 = 16 + 5a
5a = -6
a = -1,2

Ответ:  — 1,2

Фактчек

• С помощью производной можно проанализировать функцию, а именно найти промежутки возрастания и убывания, точки экстремума, наибольшее или наименьшее значение функции. 
• Касательная к графику — прямая, которая имеет с графиком только одну общую точку. 
• Касательная задается уравнением y = f(x₀) + f'(x₀) * (x — x₀). 
• Чтобы найти значения коэффициентов в уравнении прямой, при которых она будет касательной к графику, достаточно выполнение одной из двух систем:

Термины

Точки экстремума — точка, в которой достигается максимальное или минимальное значение функции на отрезке.  

Проверь себя

Задание 1.
В каких точках производная равна 0?

1. В точках экстремума.
2. В точках, где функция возрастает.
3. В точках, где функция убывает.
4. Производная не может быть равна 0.

Задание 2. 
Чему равна производная функции?

1. Тангенсу касательной, проведенной к функции.
2. Котангенсу касательной, проведенной к функции.
3. Синусу касательной, проведенной к функции.
4. Косинусу касательно, проведенной к функции. 

Задание 3.
Как выглядит уравнение касательной?

1. y = f(x₀) — f'(x₀) * (x — x₀)
2. y = f(x) + f'(x₀) * (x — x₀)
3. y = f(x₀) + f'(x₀) * (x — x₀)
4. y = f(x₀) + f'(x₀) *(x₀ — x)

Задание 4.
Чему равен коэффициент наклона k в уравнении прямой y=kx+b?

1. Первообразной функции.
2. Производной функции.
3. Синусу угла наклона касательной.
4. Тангенсу угла наклона произвольной прямой. 

Ответы: 1.— 1 2.— 1 3.— 3 4.— 2

Мэтуэй | Популярные задачи

92) 9(3x) по отношению к x 92+1

1	Найти производную — d/dx	бревно натуральное х
2	Оценить интеграл	интеграл натурального логарифма x относительно x
3	Найти производную — d/dx
21	Оценить интеграл	интеграл от 0 до 1 кубического корня из 1+7x относительно x
22	Найти производную — d/dx	грех(2x)
23	Найти производную — d/dx
41	Оценить интеграл	интеграл от cos(2x) относительно x
42	Найти производную — d/dx	1/(корень квадратный из х)
43	Оценка интеграла 9бесконечность
45	Найти производную — d/dx	х/2
46	Найти производную — d/dx	-cos(x)
47	Найти производную — d/dx	грех(3x)
68	Оценить интеграл	интеграл от sin(x) по x
69	Найти производную — d/dx	угловой синус(х)
70	Оценить предел	ограничение, когда x приближается к 0 из (sin(x))/x 92 по отношению к х
85	Найти производную — d/dx	лог х
86	Найти производную — d/dx	арктан(х)
87	Найти производную — d/dx	бревно натуральное 5х92

Мэтуэй | Популярные задачи

92) 9(3x) по отношению к x 92+1

1	Найти производную — d/dx	бревно натуральное х
2	Оценить интеграл	интеграл натурального логарифма x относительно x
3
21	Оценить интеграл	интеграл от 0 до 1 кубического корня из 1+7x относительно x
22	Найти производную — d/dx	грех(2x)
23	Найти производную — d/dx
41	Оценить интеграл	интеграл от cos(2x) относительно x
42	Найти производную — d/dx	1/(корень квадратный из х)
43	Оценка интеграла 9бесконечность
45	Найти производную — d/dx	х/2
46	Найти производную — d/dx	-cos(x)
47	Найти производную — d/dx	грех(3x)
68	Оценить интеграл	интеграл от sin(x) по x
69	Найти производную — d/dx	угловой синус(х)
70	Оценить предел	ограничение, когда x приближается к 0 из (sin(x))/x 92 по отношению к х
85	Найти производную — d/dx	лог х
86	Найти производную — d/dx	арктан(х)
87	Найти производную — d/dx	бревно натуральное 5х92

Простые примеры использования цепного правила

Цепное правило представляет собой формулу для вычисления производной композиции функций. Как только вы поймете основную идею цепного правила, следующий шаг — попробовать свои силы на нескольких примерах.

Пример 1

Пусть $f(x)=6x + 3$ и $g(x)=-2x+5$. Используйте цепное правило для вычисления $h'(x)$, где $h(x)=f(g(x))$.

Решение : Производные от $f$ и $g$ равны \начать{выравнивать*} f'(x)&=6\\ g'(x)&=-2. \конец{выравнивание*} Согласно цепному правилу, \начать{выравнивать*} h'(x) &= f'(g(x)) g'(x)\\ &= f'(-2x +5) (-2)\\ &= 6 (-2)=-12. \конец{выравнивание*}

Поскольку функции были линейными, этот пример был тривиален. Несмотря на то, что нам пришлось оценивать $f’$ при $g(x)=-2x+5$, это не имело значения, поскольку $f’=6$ не имеет значения, каковы его входные данные. Перемещение, в этом случае, если мы вычисляем $h(x)$, \начать{выравнивать*} ч (х) &= е (г (х)) \\ &= f(-2x+5)\\ &= 6(-2x+5)+3\\ &= -12x+30+3 = -12x + 33, \конец{выравнивание*} тогда мы можем довольно легко вычислить его производную напрямую и получить, что $h'(x)=-12$.

No related posts.