Х а производная: Производная показательной функции (a^x)’

Таблица производных простых функций

Описание курса Элементарная математика Умножение и его свойства. Множення та його властивості Деление и его свойства. Ділення і його властивості Умножение и деление в столбик Дроби, задачи на нахождение частей от целого Найти наименьшее общее кратное (НОК) Привести дробь к наименьшему общему знаменателю Нахождение целого по его части Скорость поедания яблока Сложение и вычитание простых дробей Сложение и вычитание дробей. Додавання і віднімання дробів Вычислить выражение с простыми и десятичными дробями Проценты Нахождение процентов от суммы Задачи на нахождение процентов Задачи про втекающую в бассейн воду Задачи на тему «Найти число», «Найти два числа» Задачи на нахождение двух чисел Задачи на нахождение двух чисел (часть 2) Найти трехзначное число Задачи о прохождении пути Задача про велосипедистов Задача про туриста Нахождение общей величины пройденного пути Задачи про лодку и течение реки Задачи с решением элементарных уравнений Задача про бросание гранаты Корни и степени, возведение в степень, извлечение корня Дробь в степени числа. Нахождение дробной степени числа Операции с корнями на основе ствойств степени Квадратный корень. Квадратний корінь Свойства квадратного корня. Властивості квадратного кореня Таблица степеней натуральных чисел Показательная функция. Показова функція Функции Область определения функции Эллипс Свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций Уравнения Простейшие уравнения Квадратные уравнения Неравенства (Нерівності) Решаем неравенства Векторы Трехмерное пространство Равенство векторов. Рiвнiсть векторiв Логарифм Дифференциальное исчисление Что такое производная. Практический смысл производной Правила дифференцирования Таблица производных простых функций Таблица производных экспоненциальных и логарифмических функций Таблица производных тригонометрических функций Производная числа Производная дроби Производная корня Нахождение экстремума функции Комбинаторика Найти количество возможных комбинаций Теория вероятности Вероятность появления карт Вероятность наступления события Вероятность одновременного прихода пароходов Тесты (1) Вычисление производной — одна из самых важных операций в дифференциальном исчислении. Ниже приводится таблица нахождения производных простых функций. Более сложные правила дифференцирования смотрите в других уроках:  Таблица производных экспоненциальных и логарифмических функций  Таблица производных тригонометрических функций. Приведенные формулы используйте как справочные значения. Они помогут в решении дифференциальных уравнений и задач.  На картинке, в таблице производных простых функций, приведена «шпаргалка» основных случаев нахождения производной в понятном для применения виде, рядом с ним даны пояснения для каждого случая. 1. Производная от числа равна нулю с´ = 0 Пример: 5´ = 0  Пояснение: Производная показывает скорость изменения значения функции при изменении аргумента. Поскольку число никак не меняется ни при каких условиях — скорость его изменения всегда равна нулю.   2. Производная переменной равна единице x´ = 1  Пояснение: При каждом приращении аргумента (х) на единицу значение функции (результата вычислений) увеличивается на эту же самую величину. Таким образом, скорость изменения значения функции y = x точно равна скорости изменения значения аргумента. 3. Производная переменной и множителя равна этому множителю сx´ = с Пример: (3x)´ = 3 (2x)´ = 2 Пояснение: В данном случае, при каждом изменении аргумента функции (х) ее значение (y) растет в с раз. Таким образом, скорость изменения значения функции по отношению к скорости изменения аргумента точно равно величине с. Откуда следует, что (cx + b)’ = c то есть дифференциал линейной функции y=kx+b равен угловому коэффициенту наклона прямой (k). 4. Производная переменной по модулю равна частному этой переменной к ее модулю |x|’ = x / |x| при условии, что х ≠ 0 Пояснение: Поскольку производная переменной (см. формулу 2) равна единице, то производная модуля отличается лишь тем, что значение скорости изменения функции меняется на противоположное при пересечении точки начала координат (попробуйте нарисовать график функции y = |x| и убедитесь в этом сами. Именно такое значение и возвращает  выражение x / |x| . Когда x < 0 оно равно (-1), а когда x > 0 — единице. То есть при отрицательных значениях переменной х при каждом увеличении изменении аргумента значение функции уменьшается на точно такое же значение, а при положительных — наоборот, возрастает, но точно на такое же значение. 5. Производная переменной в степени равна произведению числа этой степени и переменной в степени, уменьшенной на единицу ( xc )’= cxc-1, при условии, что xc и сxc-1,определены а с ≠ 0 Пример: (x2 )’ = 2x (x3)’  = 3x2 Для запоминания формулы: Снесите степень переменной «вниз» как множитель, а потом уменьшите саму степень на единицу. Например, для x2  — двойка оказалась впереди икса, а потом уменьшенная степень (2-1=1) просто дала нам 2х. То же самое произошло для x3 — тройку «спускаем вниз», уменьшаем ее на единицу и вместо куба имеем квадрат, то есть 3x2 . Немного «не научно», но очень просто запомнить. 6. Производная дроби 1/х (1/х)’ = — 1 / x2 Пример: Поскольку дробь можно представить как возведение в отрицательную степень (1/x)’ = (x-1 )’ , тогда можно применить формулу из правила 5 таблицы производных (x-1 )’ = -1x-2 = — 1 / х2 7. Производная дроби с переменной произвольной степени в знаменателе ( 1 / xc )’ = — c / xc+1 Пример: ( 1 / x2 )’ = — 2 / x3 8. Производная корня (производная переменной под квадратным корнем)   ( √x )’ = 1 / ( 2√x )   или 1/2 х-1/2 Пример: ( √x )’ = ( х1/2 )’   значит можно применить формулу из правила 5 ( х1/2 )’ = 1/2 х-1/2 = 1 / (2√х) 9. Производная переменной под корнем произвольной степени ( n√x )’ = 1 / ( n n√xn-1 ) . Приведенная здесь таблица производных простых функций содержит только основные преобразования, которые (по большому счету) следует запомнить наизусть. Нахождение более сложных производных приведены в соответствующих таблицах других уроков:  Таблица производных экспоненциальных и логарифмических функций   Таблица производных тригонометрических функций. 2080.1947    Правила дифференцирования | Описание курса | Таблица производных экспоненциальных и логарифмических функций      Обсудить на форуме Записаться на курсы Обратиться к консультанту Пройти тест Полный список курсов обучения Бесплатные видеоуроки Нужна информация!

Таблица производных. Доказательство формул

Приведем сводную таблицу для удобства и наглядности при изучении темы.

Константа y=C (C)’=0 Степенная функция y=xp (xp)’=p·xp-1	Показательная функция y=ax (ax)’=ax·ln a В частности, при a=e имеем  y=ex (ex)’=ex
Логарифмическая функция (logax)’=1x·ln a В частности, при a=e имеем  y=ln x (ln x)’=1x	Тригонометрические функции (sin x)’=cos x(cos x)’=-sin x(tgx)’=1cos2x(ctgx)’=-1sin2x
Обратные тригонометрические функции (arcsin x)’=11-x2(arccos x)’=-11-x2(arctg x)’=11+x2(arcctg x)’=-11+x2	Гиперболические функции (shx)’=chx(chx)’=shx(thx)’=1ch3x(cthx)’=-1sh3x

Разберем, каким образом были получены формулы указанной таблицы или, иначе говоря, докажем вывод формул производных для каждого вида функций.

Производная постоянной

Доказательство 1

Для того, чтобы вывести данную формулу, возьмем за основу определение производной функции в точке. Используем x0=x, где x принимает значение любого действительного числа, или, иначе говоря, x является любым числом из области определения функции f(x)=C. Составим запись предела отношения приращения функции к приращению аргумента при ∆x→0:

lim∆x→0∆f(x)∆x=lim∆x→0C-C∆x=lim∆x→00∆x=0

Обратите внимание, что под знак предела попадает выражение 0∆x. Оно не есть неопределенность «ноль делить на ноль», поскольку в числителе записана не бесконечно малая величина, а именно нуль. Иначе говоря, приращение постоянной функции всегда есть нуль.

Итак, производная постоянной функции f(x)=C равна нулю на всей области определения.

Пример 1

Даны постоянные функции:

f1(x)=3,f2(x)=a, a∈R,f3(x)=4.13722,f4(x)=0,f5(x)=-87

Необходимо найти их производные.

Решение

Опишем заданные условия. В первой функции мы видим производную натурального числа 3. В следующем примере необходимо брать производную от а, где а — любое действительное число. Третий пример задает нам производную иррационального числа 4.13722, четвертый — производную нуля (нуль – целое число). Наконец, в пятом случае имеем производную рациональной дроби -87.

Ответ: производные заданных функций есть нуль при любом действительном x (на всей области определения)

f1′(x)=(3)’=0,f2′(x)=(a)’=0, a∈R,f3′(x)=4.13722’=0,f4′(x)=0’=0,f5′(x)=-87’=0

Производная степенной функции

Переходим к степенной функции и формуле ее производной, имеющей вид: (xp)’=p·xp-1, где показатель степени p является любым действительным числом.

Доказательство 2

Приведем доказательство формулы, когда показатель степени – натуральное число: p=1, 2, 3, …

Вновь опираемся на определение производной. Составим запись предела отношения приращения степенной функции к приращению аргумента:

(xp)’=lim∆x→0=∆(xp)∆x=lim∆x→0(x+∆x)p-xp∆x

Чтобы упростить выражение в числителе, используем формулу бинома Ньютона:

(x+∆x)p-xp=Cp0+xp+Cp1·xp-1·∆x+Cp2·xp-2·(∆x)2+. ..++Cpp-1·x·(∆x)p-1+Cpp·(∆x)p-xp==Cp1·xp-1·∆x+Cp2·xp-2·(∆x)2+…+Cpp-1·x·(∆x)p-1+Cpp·(∆x)p

Таким образом:

(xp)’=lim∆x→0∆(xp)∆x=lim∆x→0(x+∆x)p-xp∆x==lim∆x→0(Cp1·xp-1·∆x+Cp2·xp-2·(∆x)2+…+Cpp-1·x·(∆x)p-1+Cpp·(∆x)p)∆x==lim∆x→0(Cp1·xp-1+Cp2·xp-2·∆x+…+Cpp-1·x·(∆x)p-2+Cpp·(∆x)p-1)==Cp1·xp-1+0+0+…+0=p!1!·(p-1)!·xp-1=p·xp-1

Так, мы доказали формулу производной степенной функции, когда показатель степени – натуральное число.

Доказательство 3

Чтобы привести доказательство для случая, когда p — любое действительное число, отличное от нуля, используем логарифмическую производную (здесь следует понимать отличие от производной логарифмической функции). Чтобы иметь более полное понимание желательно изучить производную логарифмической функции и дополнительно разобраться с производной неявно заданной функции и производной сложной функции.

Рассмотрим два случая: когда x положительны и когда x отрицательны.

Итак, x>0. Тогда: xp>0. Логарифмируем равенство y=xp по основанию e и применим свойство логарифма:

y=xpln y=ln xpln y=p·ln x

На данном этапе получили неявно заданную функцию. Определим ее производную:

(ln y)’=(p·ln x)1y·y’=p·1x⇒y’=p·yx=p·xpx=p·xp-1

Теперь рассматриваем случай, когда x – отрицательное число.

Если показатель p есть четное число, то степенная функция определяется и при x<0, причем является четной: y(x)=-y((-x)p)’=-p·(-x)p-1·(-x)’==p·(-x)p-1=p·xp-1

Тогда xp<0 и возможно составить доказательство, используя логарифмическую производную.

Если p есть нечетное число, тогда степенная функция определена и при x<0, причем является нечетной: y(x)=-y(-x)=-(-x)p. Тогда xp<0, а значит логарифмическую производную задействовать нельзя. В такой ситуации возможно взять за основу доказательства правила дифференцирования и правило нахождения производной сложной функции:

y'(x)=(-(-x)p)’=-((-x)p)’=-p·(-x)p-1·(-x)’==p·(-x)p-1=p·xp-1

Последний переход возможен в силу того, что если p — нечетное число, то p-1 либо четное число, либо нуль (при p=1), поэтому, при отрицательных x верно равенство (-x)p-1=xp-1.

Итак, мы доказали формулу производной степенной функции при любом действительном p.

Пример 2

Даны функции:

f1(x)=1×23,f2(x)=x2-14,f3(x)=1xlog712

Определите их производные.

Решение

Часть заданных функций преобразуем в табличный вид y=xp, опираясь на свойства степени, а затем используем формулу:

f1(x)=1×23=x-23⇒f1′(x)=-23·x-23-1=-23·x-53f2′(x)=x2-14=2-14·x2-14-1=2-14·x2-54f3(x)=1xlog712=x-log712⇒f3′(x)=-log712·x-log712-1=-log712·x-log712-log77=-log712·x-log784

Производная показательной функции

Доказательство 4

Выведем формулу производной, взяв за основу определение:

(ax)’=lim∆x→0ax+∆x-ax∆x=lim∆x→0ax(a∆x-1)∆x=ax·lim∆x→0a∆x-1∆x=00

Мы получили неопределенность. Чтобы раскрыть ее, запишем новую переменную z=a∆x-1 (z→0 при ∆x→0). В таком случае a∆x=z+1⇒∆x=loga(z+1)=ln(z+1)ln a. Для последнего перехода использована формула перехода к новому основанию логарифма.

Осуществим подстановку в исходный предел:

(ax)’=ax·lim∆x→0a∆x-1∆x=ax·ln a·lim∆x→011z·ln(z+1)==ax·ln a·lim∆x→01ln(z+1)1z=ax·ln a·1lnlim∆x→0(z+1)1z

Вспомним второй замечательный предел и тогда получим формулу производной показательной функции:

(ax)’=ax·ln a·1lnlimz→0(z+1)1z=ax·ln a·1ln e=ax·ln a

Пример 3

Даны показательные функции:

f1(x)=23x,f2(x)=53x,f3(x)=1(e)x

Необходимо найти их производные.

Решение

Используем формулу производной показательной функции и свойства логарифма:

f1′(x)=23x’=23x·ln23=23x·(ln 2-ln 3)f2′(x)=53x’=53x·ln 513=13·53x·ln 5f3′(x)=1(e)x’=1ex’=1ex·ln1e=1ex·ln e-1=-1ex

Производная логарифмической функции

Доказательство 5

Приведем доказательство формулы производной логарифмической функции для любых x в области определения и любых допустимых значениях основания а логарифма. Опираясь на определение производной, получим:

(logax)’=lim∆x→0loga(x+∆x)-logax∆x=lim∆x→0logax+∆xx∆x==lim∆x→01∆x·loga1+∆xx=lim∆x→0loga1+∆xx1∆x==lim∆x→0loga1+∆xx1∆x·xx=lim∆x→01x·loga1+∆xxx∆x==1x·logalim∆x→01+∆xxx∆x=1x·logae=1x·ln eln a=1x·ln a

Из указанной цепочки равенств видно, что преобразования строились на основе свойства логарифма. Равенство lim∆x→01+∆xxx∆x=e является верным в соответствии со вторым замечательным пределом.

Пример 4

Заданы логарифмические функции:

f1(x)=logln3 x,f2(x)=ln x

Необходимо вычислить их производные.

Решение

Применим выведенную формулу:

f1′(x)=(logln3 x)’=1x·ln(ln 3);f2′(x)=(ln x)’=1x·ln e=1x

Итак, производная натурального логарифма есть единица, деленная на x.

Производные тригонометрических функций

Доказательство 6

Используем некоторые тригонометрические формулы и первый замечательный предел, чтобы вывести формулу производной тригонометрической функции.

Согласно определению производной функции синуса, получим:

(sin x)’=lim∆x→0sin (x+∆x)-sin x∆x

Формула разности синусов позволит нам произвести следующие действия:

(sin x)’=lim∆x→0sin (x+∆x)-sin x∆x==lim∆x→02·sin x+∆x-x2·cosx+∆x+x2∆x==lim∆x→0sin ∆x2·cosx+∆x2∆x2==cosx+02·lim∆x→0sin ∆x2∆x2

Наконец, используем первый замечательный предел:

sin’ x=cos x+02·lim∆x→0sin∆x2∆x2=cos x

Итак, производной функции sin x будет cos x.

Совершенно также докажем формулу производной косинуса:

cos’ x=lim∆x→0cos (x+∆x)-cos x∆x==lim∆x→0-2·sin x+∆x-x2·sinx+∆x+x2∆x==-lim∆x→0sin∆x2·sinx+∆x2∆x2==-sinx+02·lim∆x→0sin∆x2∆x2=-sin x

Т. е. производной функции cos x будет –sin x.

Формулы производных тангенса и котангенса выведем на основе правил дифференцирования:

tg’x=sin xcos x’=sin’ x·cos x-sin x·cos’ xcos2 x==cos x·cos x-sin x·(-sin x)cos2 x=sin2 x+cos2 xcos2 x=1cos2 xctg’x=cos xsin x’=cos’x·sin x-cos x·sin’xsin2 x==-sin x·sin x-cos x·cos xsin2 x=-sin2 x+cos2 xsin2 x=-1sin2 x

Производные обратных тригонометрических функций

Раздел о производной обратных функций дает исчерпывающую информацию о доказательстве формул производных арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса, поэтому дублировать материал здесь не будем.

Производные гиперболических функций

Доказательство 7

Вывод формул производных гиперболического синуса, косинуса, тангенса и котангенса осуществим при помощи правила дифференцирования и формулы производной показательной функции:

sh’x=ex-e-x2’=12ex’-e-x’==12ex—e-x=ex+e-x2=chxch’x=ex+e-x2’=12ex’+e-x’==12ex+-e-x=ex-e-x2=shxth’x=shxchx’=sh’x·chx-shx·ch’xch3x=ch3x-sh3xch3x=1ch3xcth’x=chxshx’=ch’x·shx-chx·sh’xsh3x=sh3x-ch3xsh3x=-1sh3x

Рекомендуется выучить формулы из таблицы производных: они не столь сложны для запоминания, но экономят много времени, когда необходимо решать задачи дифференцирования.

Автор: Ирина Мальцевская

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Мэтуэй | Популярные задачи

92) 9(3x) по отношению к x 92+1

1	Найти производную — d/dx	бревно натуральное х
2	Оценить интеграл	интеграл натурального логарифма x относительно x
3	Найти производную — d/dx
21	Оценить интеграл	интеграл от 0 до 1 кубического корня из 1+7x относительно x
22	Найти производную — d/dx	грех(2x)
23	Найти производную — d/dx
41	Оценить интеграл	интеграл от cos(2x) относительно x
42	Найти производную — d/dx	1/(корень квадратный из х)
43	Оценка интеграла 9бесконечность
45	Найти производную — d/dx	х/2
46	Найти производную — d/dx	-cos(x)
47	Найти производную — d/dx	грех(3x)
68	Оценить интеграл	интеграл от sin(x) по x
69	Найти производную — d/dx	угловой синус(х)
70	Оценить предел	ограничение, когда x приближается к 0 из (sin(x))/x 92 по отношению к х
85	Найти производную — d/dx	лог х
86	Найти производную — d/dx	арктан(х)
87	Найти производную — d/dx	бревно натуральное 5х92

Дифференциальное исчисление

Производные и выражения дифференцирования.

Рекламные ссылки

Дифференциальное исчисление — это раздел исчисления, изучающий скорость изменения величин.

44 DAY/DY = Sec (θ) 9244 DAY/DO). (Θ)
= sin(Θ) / cos ² (Θ)

Expression	Derivatives
y = x n	dy/dx = n x n-1
y = a x n	dy/dx = a n x n-1
f(x) = a x n	f'(x) = a n x n-1
y = e x	dy/dx = e x
y = e a x	dy/dx = a e х
y = a x	dy/dx = a x ln(a)
y = ln(x)	dy/dx = 1 / x
y = sin (θ)	dy/dθ = cos (θ)
y = cos (θ)	dy/dθ = -sin (θ)	dy/dθ = -sin (θ)			dy/dθ = -sin (θ)			dy/dθ = —	y = tan(Θ)	dy/dΘ = сек 2 (Θ)
y = cot (θ)	DY/Dθ = COSEC 2 (θ)
y = sec (θ)	4 DAH = Sec (θ)	44 DAY/DY = Sec (θ)	444444444 DAY/D (θ)
y = cosec(Θ)	dy/dΘ = — cot(Θ) cosec(Θ) = — cos(Θ) / sin 2 (Θ)
y = sin -1 (x / a)	DY/ DX = 1/ (A 2 — x 2 ) 1/2
Y = COS -1 ( y = cos -1 (./ A = Cos -1 (./ A = COS -1 (. ( y = cos -1 ( y = cos -1 (. DX = — 1 / (A 2 — x 2 ) 1/2
Y = TAN -1 (x / A)	4 DY / DX / DX / DX / DX / DX / DX / DX / DX / DX / DX / DX / DX / DX / DX / DX / DX / DX. а 2 + х 2 )
у = кроватка -1 (х/а)	dy/dx = — a / (a ​​ 2 + x 2 )
y = sec -1 (x / a) /dy 9x	0 ( (x 2 — A 2 ) 1/2 )
Y = COSEC -1 (x / A)	DY / DX / DX / DX = -а (x / a)	DY / DX = — A / A (x / A)	DY / DX / DX / DX / DX / DX / DX / DX / DX / DX / DX / DX / DX / DX / DX / DX / DX / DX / DX / DX / DX / DX / DX / DX / DX / DX / (x / A)	. 2 — a 2 ) 1/2 )

Рекламные ссылки

Похожие темы

Связанные документы

Engineering ToolBox — Расширение SketchUp — 3D-моделирование онлайн!

Добавляйте стандартные и настраиваемые параметрические компоненты, такие как балки с полками, пиломатериалы, трубопроводы, лестницы и т. д., в свою модель Sketchup с помощью Engineering ToolBox — расширения SketchUp, которое можно использовать с потрясающими, увлекательными и бесплатными программами SketchUp Make и SketchUp Pro. .Добавьте расширение Engineering ToolBox в свой SketchUp из хранилища расширений SketchUp Pro Sketchup!

Перевести

О Engineering ToolBox!

Мы не собираем информацию от наших пользователей. В нашем архиве сохраняются только электронные письма и ответы. Файлы cookie используются только в браузере для улучшения взаимодействия с пользователем.

Некоторые из наших калькуляторов и приложений позволяют сохранять данные приложения на локальном компьютере.