квадратный корень –1 . Магия математики [Как найти x и зачем это нужно]
Загадочная природа числа i кроется в формуле
i? = –1
На первый взгляд это кажется совершенно невозможным: разве может быть отрицательным число, умноженное несколько раз на само себя? В конце концов, даже 0? = 0, а любая возведенная в квадрат отрицательная величина обязана стать положительной, разве нет? Не спешите рубить с плеча. Вспомните, ведь было такое время, когда вы вообще ничего не знали об отрицательных числах, да и, узнав, вряд ли сразу же поверили в их существование (как и многие-многие математики до вас). Что это вообще за глупость – количество, меньшее, чем 0? Как что-то может быть меньше, чем ничто? Но потом в вашей жизни появляется некая ось (вроде той, что изображена чуть ниже), а вместе с ней – и все ее обитатели: положительные значения, расположившиеся справа от 0, и отрицательные значения, расположившиеся слева. В точно таком же, нестандартном ключе нам следует рассматривать и число 
Число i считается мнимым – таким, которое при возведении в квадрат дает отрицательный результат. Мнимое число 2i, например, дает (2i)(2i) = 4i? = –4.
В алгебраическом смысле мнимые числа ничем не отличаются от чисел действительных. Судите сами:
Кстати, если взять и возвести в квадрат – i, получится тот же результат (–1), потому что (–i)(–i) = i? = –1. Не менее предсказуемы и последствия перемножения мнимого и действительного чисел – скажем, 3 ? 2i = 6i.
А что со сложением? Чему, например, равна сумма 3 и 4i? Очевидно, что 3 + 4i, и дальше с этим ничего сделать нельзя (равно как и ничего нельзя сделать с 1 +?3). Числа, образованные по модели a + bi (где a и b суть действительные величины), называются комплексными. Получается, что любая величина, будь она действительной (при b = 0) или мнимой (при a = 0), есть, по своей сути, особая форма комплексного числа.
То есть действительное ? и мнимое 7i будут также комплексными.
Давайте попробуем разобраться в этом с помощью нескольких конкретных примеров. Начнем со сложения и вычитания:
(3 + 4i) + (2 + 5i) = 5 + 9i
(3 + 4i) – (2 + 5i) = 1 – i
Для умножения применим алгебраический метод FOIL, описанный в главе 2:
(3 + 4
Для комплексного числа каждый квадратный многочлен ax? + bx + c будет иметь два корня (или же один, но повторяющийся).
Согласно формуле корней квадратного уравнения, многочлен будет равен 0 всякий раз, когда
Помните, в главе 2 мы с вами говорили о том, что нельзя извлечь квадратный корень из отрицательной величины? Но ведь никакие квадратные корни отрицательных величин нам и не нужны. Смотрите сами: уравнение x? + 2x + 5, например, имеет корни
Кстати, формула корней квадратного уравнения будет верна даже при комплексных значениях a, b или c.
В любом квадратном многочлене мы можем найти как минимум один корень, пусть и комплексный. На этот счет есть своя теорема.
Теорема (основная теорема алгебры): Любой многочлен p(x), возводимый в первую или бо?льшую степень, имеет корень z при p(z) = 0.
Обратите внимание, что многочлен первой степени, вроде 3x – 6, может быть представлен как 3(x – 2), где 2 есть единственный корень 3x – 6. Обобщая, можно сказать, что при a ? 0 многочлен ax – b можно представить в виде a(x – (b/a)), где b/a будет являться корнем ax – b.
То же происходит и с многочленами второй степени: разложив ax? + bx + c до
Сопутствующая теорема: Любой многочлен степени n ? 1 может быть разложен на n составляющих. А именно: если p(x) есть многочлен n-ной степени, в котором главный член a ? 0, должно существовать n чисел z1, z2…., zn (которые вполне могут оказаться комплексными величинами, равно как и одной и той же величиной), соответствующих p(x) = a(x – z1)(x – z2)… (x – zn).
Величины zi являются корнями многочлена при p(zi) = 0.
Теорема эта означает, что любой многочлен степени n ? 1 будет иметь как минимум один и как максимум n различных корней.
Например, x4 – 16 есть многочлен четвертой степени. Следовательно, его можно разложить как
x4 – 16 = (x2 – 4)(x2 + 4) = (x –2)(x + 2)(x – 2i)(x + 2i)
из чего очень хорошо видно, что у него будет четыре различных корня: 2, –2, 2i, – 2i.
А вот многочлен третьей степени 3
3x? + 9x? – 12 = 3(x? + 4x + 4)(x – 1) = 3(x + 2)?(x – 1)
то есть имеет только два различных корня: –2 и 1.
Что покажут главные российские телеканалы в новогоднюю ночь ⋆ Тайшет24
Новый год – один из самых главных и долгожданных праздников многих людей. Атрибуты торжества неизменны – ёлка, мандарины, Дед Мороз, фейерверки, стол, который ломится от угощений, и, конечно же, любимые советские фильмы.
Тайшет24 в WhatsApp
31 декабряПервый канал
05:00 Х/ф «Полосатый рейс» 12+
06:30 Х/ф «Девушка без адреса» 0+
07:55 Х/ф «Варвара-краса, длинная коса» 0+
09:15 Х/ф «Золушка»
10:50 Х/ф «Девчата»
12:40 Х/ф «Операция «Ы» и другие приключения Шурика» 6+
14:15 Х/ф «Джентльмены удачи» 6+
15:40 Х/ф «Бриллиантовая рука» 0+
17:15 Х/ф «Любовь и голуби» 12+
19:15 Х/ф «Ирония судьбы, или С легким паром!» 12+
22:22 «Новогодняя ночь на Первом. 20 лет спустя» 16+
23:55 Новогоднее обращение В.
В. Путина
00:00 «Новогодняя ночь на Первом. 20 лет спустя» 16+
«Россия 1»
04:45 Х/ф «Доярка из Хацапетовки» 12+
06:35 Х/ф «Управдомша» 12+
09:45 Х/ф «Карнавальная ночь» 0+
11:00 Вести
11:20 Вести. Местное время
11:30 Х/ф «Москва слезам не верит» 12+
14:00 Х/ф «Служебный роман» 12+
16:50 Х/ф «Кавказская пленница, или Новые приключения Шурика» 6+
18:10 «Песни от всей души» 12+
20:00 Вести
20:30 «Песни от всей души» 12+
21:30 Х/ф «Иван Васильевич меняет профессию» 6+
23:00 «Песни от всей души» 12+
23:55 Новогоднее обращение Президента Российской Федерации В.В. Путина
00:00 Новогодний Голубой Огонек — 2023
НТВ
05:30 Т/с «Улицы разбитых фонарей» 16+
06:15 Т/с «Пёс» 16+
08:00 Сегодня
08:20 Т/с «Пёс» 16+
10:00 Сегодня
10:20 Т/с «Пёс» 16+
13:00 Сегодня
13:20 Т/с «Пёс» 16+
16:00 Сегодня
16:15 Т/с «Пёс» 16+
18:35 Х/ф «Новогодний пёс» 16+
20:23 «Новогодняя Маска + Аватар» 12+
23:55 Новогоднее обращение Президента Российской Федерации В.
В. Путина
00:00 «Новогодняя Маска + Аватар» 12+
02:00 «Новогодний Квартирник НТВ у Маргулиса. Гараж желаний» 16+
1 января«Первый канал»
06:00 «Новогодний календарь» 0+
06:55 Х/ф «Операция «Ы» и другие приключения Шурика» 6+
08:25 Х/ф «Девчата» 0+
10:00 Новости
10:15 Х/ф «Ирония судьбы, или С легким паром!» 12+
12:00 Новости
12:15 Х/ф «Ирония судьбы, или С легким паром!» 12+
13:40 Х/ф «Бриллиантовая рука» 0+
15:15 Х/ф «Любовь и голуби» 12+
17:00 Новогодний «Мечталлион» 12+
17:50 «Наш Новый год». Большой праздничный концерт 12+
19:05 «Клуб Веселых и Находчивых». Высшая лига. Финал 16+
21:00 Время. 55 выплет в эфире
21:45 Х/ф «Мажор возвращается» 16+
23:25 Х/ф «Ирония судьбы. Продолжение» 12+
01:15 «Михаил Задорнов. От первого лица» 16+
02:15 «Новогодний калейдоскоп» 16+
«Россия 1»
05:10 Х/ф «Карнавальная ночь» 0+
06:25 Х/ф «Москва слезам не верит» 12+
09:00 Х/ф «Служебный роман» 12+
11:45 Х/ф «Кавказская пленница, или Новые приключения Шурика» 6+
13:05 Песня года
14:55 Х/ф «Иван Васильевич меняет профессию» 6+
16:30 Х/ф «Одесский пароход» 12+
18:00 Х/ф «Последний богатырь: Корень Зла» 6+
20:00 Вести
20:45 Вести.