Х в степени 3 2: как посчитать 4 в степени 3/2 — Спрашивалка

2

10.2. Закон степени 3/2 и понятие первеанса.

Прежде чем переходить непосредственно к описанию характеристик электронных потоков, вспомним полезные соотношения между плотностью тока с катода j_к и напряжением U между катодом и анодом в диодах разной конфигурации, которые работают в режиме ограничения тока пространственным зарядом.

Для любых диодов в режиме ограничения тока пространственным зарядом величина j_к пропорциональна напряжению U в степеним 3/2. Для плоского диодного зазора шириной d эта связь имеет вид

. (11.2)

На практике для характеристики протекания токов в диодных зазорах часто используют понятие первеанса

, (11.3)

где I_к— ток катода.

Значения первеанса сильно меняются от расстояния между катодом и анодом и площади катода

. В маломощных системах типа осциллографа первеанс может иметь величину порядка 10^-9 А/В^3/2. В мощных же СВЧ приборах эта величина достигает значений (10^-5 -10^-6 ) А/В^3/2. Поэтому для таких устройств чаще пользуются значением микропервеанса

, (11.4)

который имеет значения порядка 1-10 для мощных приборов.

Приведенные соотношения позволяют оценить напряжения, необходимые для получения требуемых токов пучка.

В СВЧ электронике используются три основных типа электронных пучков: ленточные, сплошные по сечению цилиндрические и пучки кольцевого сечения. Оценим поля пространственного заряда для двух первых типов пучков. Начнем с ленточного пучка. Воспользуемся изображением ленточного пучка на рис.11.1.

Рис.11.1.

Предположим, что пучок имеет достаточно большую протяженность в направлениях z и y. Поэтому можно пренебречь действием краевых полей во всяком случае в центральной по оси y части пучка. Тогда вблизи центра пучка составляющие электрического поля Еz=Еy=0, а Еx0. Пусть пучок имеет толщину x. Выберем положение начала координат посредине тонкой стенки

поперечного его сечения. Выделим в пучке объем, имеющий толщину 2x и площадь поверхности S в плоскости xz (см. рис.11.1). В этом выделенном объеме величина x  x /2. По теореме Гаусса

, (11.5)

Здесь в левой части равенства поток нормальной составляющей электрического поля

Е_n через всю поверхность выделенного объема, а в правой части — интеграл от пространственного заряда в этом объеме. Предположим, что пучок однороден по сечению и имеет плотность . Тогда, учитывая равенство нулю всех составляющих поля, кроме x-й, получаем:

и .

Отсюда следует, что в пределах пучка

, (11.6)

т.е. x-ая составляющая электрического поля равна нулю в центре пучка и линейно увеличивается с ростом x вплоть до его границы x_п. Дальше поле не меняется с расстоянием (рис.11.2), так как вне пучка отсутствует пространственный заряд, а линии электрического поля вне пучка не расходятся (параллельны оси x).

Полезно иметь выражение электрического поля через плотность тока пучка. Учитывая, что в моноскоростном пучке со скоростью электронов V плотность тока, а, получаем:

Рис.11.2.

(11.7)

Для полей внутри цилиндрического пучка, воспользовавшись той же теоремой Гаусса и предполагая, что в пучке отсутствуют азимутальные поля, а также поля вдоль оси Z, получаем

и , (11.8)

где r — радиальная координата, отсчитываемая от оси пучка, а L – протяженность вдоль оси Z выделенного кольцевого пояска диаметром 2r. Отсюда следует, что внутри пучка радиальная составляющая поля увеличивается с радиусом:

. (11.9)

Вне пучка пространственного заряда нет, однако, площадь в интеграле по поверхности увеличивается. Поэтому в этой области поле уменьшается (см.рис.11.3) по закону

. (11.10)

Как и для ленточного пучка, можно записать выражение для поля в пучке через его ток. Учитывая, что

, (11.11)

получаем для области внутри пучка, т.е. при r r_п

. (11.12)

Рис.11.3.

Определив электрические поля, мы можем теперь определить и силы, расфокусирующие пучок.

(11.13)

Выражение для электрической силы бывает удобно записать для всей области внутри и вне цилиндрического электронного пучка в виде

 при1 -1 при1

(11. 14)

где =r/r_п и =V/C – соответственно относительные значения координаты и скорости, а С – скорость света.

Здесь ток выражен в А, а линейные размеры в м.

Далее можно оценить и расфокусировку пучков под действием этих сил. Оценки показывают, что при нерелятивистских скоростях (

1), когда можно пренебречь действием собственного магнитного поля пучка и связанной с этим самофокусировкой, расфокусировка зависит от первеанса и меняется следующим образом:

При микропервеансе р_ 1 пучок расширяется в два раза на пути L_x12,3r_по, где r_по — начальный радиус пучка.

Если р_ 3, L_x7,1r_по.

Обычно, L_x(10-10²)r_по, и приходится использовать специальные системы удержания.

Как мы уже говорили при рассмотрении гироконов, при релятивистских скоростях из-за действия собственных магнитных полей пучка расфокусировка замедляется или может даже отсутствовать. Чтобы оценить возможности самофокусировки, необходимо определить не только электрические, но и магнитные поля пучка. Из закона Ампера азимутальная составляющая магнитной индукции цилиндрического пучка с током I_п и радиусом r_п определяется соотношением:

 при1 -1 при1

(11.15)

где =r/r_п, ток выражен в А, линейные размеры в м, а магнитная индукция в Тл

.

Зная магнитное поле, мы определяем и магнитную силу. Внутри пучка

. (11.16)

Сравнение соотношений (11.14) и (11.16) свидетельствует, что внутри пучка на всех радиальных координатах

, (11.17)

т.е. силы приблизительно равны только в ультрарелятивистском случае, когда .

3-8 9 Оценить квадратный корень из 12 10 Оценить квадратный корень из 20 11 Оценить квадратный корень из 50 94 18 Оценить квадратный корень из 45 19 Оценить квадратный корень из 32 20 Оценить квадратный корень из 18 9{\frac{3}{2}}$ по степенному правилу равно $\frac{3}{2} \sqrt{x}$.