Х3 1 разложить: Решение на Упражнение 678 из ГДЗ по Алгебре за 7 класс: Мерзляк А.Г.

Идентификатор страницы

10268

92−x−2}\]

как выражение, такое как

\[ \dfrac{1}{x+1}+\dfrac{2}{x−2}. \]

Ключом к методу разложения на неполные дроби является способность предвидеть форму, которую примет разложение рациональной функции. Как мы увидим, эта форма предсказуема и сильно зависит от факторизации знаменателя рациональной функции. Также чрезвычайно важно иметь в виду, что разложение на неполные дроби может быть применено к рациональной функции \( \dfrac{P(x)}{Q(x)}\) только в том случае, если \( deg(P(x))< град(Q(x))\). В случае, когда \( deg(P(x))≥deg(Q(x))\), мы должны сначала выполнить деление в длину, чтобы переписать частное \( \dfrac{P(x)}{Q(x)} \) в виде \( A(x)+\dfrac{R(x)}{Q(x)}\), где \( deg(R(x))

Посетите этот веб-сайт для ознакомления с делением многочленов в длину.

Упражнение \(\PageIndex{1}\)

Оценить

\[ \int \dfrac{x−3}{x+2}dx. \номер\]

Подсказка

Используйте длинное деление, чтобы получить \( \dfrac{x−3}{x+2}=1−\dfrac{5}{x+2}. \nonumber \)

Ответить

\[ x−5\ln |x+2|+C \не число \]

Чтобы проинтегрировать \( \int \dfrac{P(x)}{Q(x)}dx\), где \( deg(P(x))

Неповторяющиеся линейные множители

Если \( Q(x)\) можно разложить на множители как \( (a_1x+b_1)(a_2x+b_2)…(a_nx+b_n)\), где каждый линейный множитель различен, то можно найти константы \( A_1,A_2,…A_n\), удовлетворяющие

\[ \dfrac{P(x)}{Q(x)}=\dfrac{A_1}{a_1x+b_1}+\dfrac{A_2} {a_2x+b_2}+⋯+\dfrac{A_n}{a_nx+b_n}.\]

Доказательство существования таких констант выходит за рамки этого курса. 92−2x=x(x−2)(x+1)\). Таким образом, существуют константы \(A, B\) и \(C\), удовлетворяющие

\( \dfrac{3x+2}{x(x−2)(x+1)}=\dfrac{A} {x}+\dfrac{B}{x−2}+\dfrac{C}{x+1}. \nonumber\)

Теперь мы должны найти эти константы. Для этого начнем с получения общего знаменателя справа. Таким образом,

\( \dfrac{3x+2}{x(x−2)(x+1)}=\dfrac{A(x−2)(x+1)+Bx(x+1)+Cx (x−2)}{x(x−2)(x+1)}. \nonumber\)

Теперь установим числители равными друг другу, получив

\( 3x+2=A(x− 2)(х+1)+Вх(х+1)+Сх(х-2).\номер\) 92+(-А+В-2С)х+(-2А). \номер\)

Приравнивание коэффициентов дает систему уравнений )

Чтобы решить эту систему, сначала заметим, что \( −2A=2⇒A=−1.\) Подстановка этого значения в первые два уравнения дает нам систему

\( B+C=1\)

\(В-2С=2\).

Умножение второго уравнения на \( −1\) и добавление полученного уравнения к первому дает

\( −3C=1,\)

, что, в свою очередь, подразумевает, что \( C=−\dfrac{1}{3}.\) Подстановка этого значения в уравнение \(B+C=1\) дает \( B=\dfrac{4}{3 }\). Таким образом, решение этих уравнений дает \( A=−1, B=\dfrac{4}{3},\) и \( C=−\dfrac{1}{3}.\)

Важно отметить что система, полученная этим методом, непротиворечива тогда и только тогда, когда мы правильно установили декомпозицию. Если система противоречива, в нашей декомпозиции есть ошибка.

Вторая стратегия: Метод стратегического замещения

Метод стратегической замены основан на предположении, что мы правильно настроили декомпозицию. Если разложение настроено правильно, то должны быть значения \(A, B,\) и \(C\), которые удовлетворяют уравнению для всех значений \(x\). То есть это уравнение должно быть истинным для любого значения \(х\), которое мы хотим подставить в него. Следовательно, тщательно выбирая значения \(x\) и подставляя их в уравнение, мы можем легко найти \(A, B\) и \(C\). Например, если мы подставим \(x=0\), уравнение сведется к \(2=A(−2)(1)\). Решение для \(A\) дает \(A=−1\). Затем, подставив \(x=2\), уравнение сводится к \(8=B(2)(3)\) или, что то же самое, \(B=4/3\). Наконец, мы подставляем \( x=−1\) в уравнение и получаем \( −1=C(−1)(−3).\) Решая, мы имеем \( C=−\dfrac{1}{3 }\).

Важно иметь в виду, что если мы попытаемся использовать этот метод с неправильно настроенной декомпозицией, мы все равно сможем найти значения констант, но эти константы бессмысленны.

2−2x}dx=\int (−\dfrac{1}{x}+\dfrac{4}{3}⋅\dfrac{1}{(x−2)}−\dfrac{1}{3}⋅ \dfrac{1}{(x+1)})dx. \номер\] 92x−sinx}dx=−\ln |u|+\ln |u−1|+C=−\ln |sinx|+\ln |sinx−1|+C. \nonumber\]

Упражнение \(\PageIndex{2}\)

Вычислить \[ \int \dfrac{x+1}{(x+3)(x−2)}dx.\]

Подсказка

\[ \dfrac{x+1}{(x+3)(x−2)}=\dfrac{A}{x+3}+\dfrac{B}{x−2} \nonumber\]

Ответить

\[ \dfrac{2}{5}\ln |x+3|+\dfrac{3}{5}\ln |x−2|+C \nonumber\]

Повторяющиеся линейные коэффициенты 92+(-3А+В-4С)х+(А-В+С). \nonumber\]

Приравнивание коэффициентов дает \( 2A+4C=0\), \(−3A+B−4C=1\) и \(A−B+C=−2\). Решение этой системы дает \(A=2, B=3,\) и \(C=−1.\)

В качестве альтернативы мы можем использовать метод стратегической замены. В этом случае подстановка \(x=1\) и \(x=1/2\) в уравнение легко дает значения \(B=3\) и \(C=−1\). На данный момент может показаться, что у нас закончились хорошие варианты для \(x\), однако, поскольку у нас уже есть значения для \(B\) и \(C\), мы можем подставить эти значения и выбрать любое значение для \(x\), которое ранее не использовалось.

2\) или, что то же самое, \(A=2 .\) 92} \номер\]

Общий метод

Теперь, когда мы начинаем понимать, как работает метод разложения на неполные дроби, давайте наметим основной метод в следующей стратегии решения задач.

Стратегия решения задач: разложение дробей

Чтобы разложить рациональную функцию \( P(x)/Q(x)\), выполните следующие действия:

1. Убедитесь, что \( степень(P(x) )<степень(Q(x)).\) Если нет, выполнить деление многочленов в длину.
2. Разложите \( Q(x)\) на произведение линейных и неприводимых квадратичных множителей. Неприводимый квадратик — это квадратик, не имеющий действительных нулей.
3. Предполагая, что \( deg(P(x))
4. Если \(Q(x)\) можно разложить на множители как \( (a_1x+b_1)(a_2x+b_2)…(a_nx+b_n)\), где каждый линейный множитель различен, то можно найти константы \( A_1,A_2,…A_n\), удовлетворяющих \[ \dfrac{P(x)}{Q(x)}=\dfrac{A_1}{a_1x+b_1}+\dfrac{A_2}{a_2x+b_2 }+⋯+\dfrac{A_n}{a_nx+b_n}.

   No related posts.