Угол между касательной и хордой. Теоремы об отрезках и окружности 11 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей |
Введение
На этом уроке мы поговорим об окружностях. Вспомним, что такое касательная и хорда и что мы про них знаем.
Хорда – отрезок, соединяющий две любые точки на окружности (Рис. 1). В частности, диаметр – это наибольшая из хорд.
Рис. 1. Хорда
Касательная – это прямая, которая имеет с окружностью только одну общую точку (Рис. 2).
Рис. 2. Касательная к окружности
Что мы знаем про касательную? Самое главное – что радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной (Рис. 3).
Рис. 3. Радиус перпендикулярен касательной
Теорема о хорде и касательной
Теорема. Угол меду касательной и хордой равен половине дуги, которую стягивает данная хорда (Рис. 4).
Рис. 4. Иллюстрация к теореме
Нужно доказать: .
Доказательство
– касательная, – хорда.
Рассмотрим (центр окружности) и проведем радиусы и , тогда треугольник – равнобедренный (Рис. 5). Пусть . По теореме о касательной и радиусе , тогда , а значит, .
Рис. 5. Иллюстрация к доказательству
Осталось заметить, что , а значит, , ч.т.д.
Чаще всего используется не эта теорема, а следствие из нее. Мы ведь помним, что половине дуги равен еще один угол – вписанный. Значит, в силу теоремы угол между касательной и хордой равен вписанному углу, опирающемуся на ту дугу, которую стягивает хорда. Посмотрим, как это применяется на примерах.
Пример (теорема о хорде и касательной)
Пример (из ЕГЭ)
Угол между хордой и касательной к окружности равен (Рис. 6). Найдите величину меньшей дуги, стягиваемой хордой . Ответ дайте в градусах.
Рис. 6. Иллюстрация к условию
Решение
Угол между касательной и хордой равен половине дуги, заключённый между ними, . Значит, искомая величина дуги равна .
Ответ: .
Теорема о касательной и секущей
Теорема. Пусть – касательная к окружности, – секущая, которая пересекает окружность в первый раз в точке (Рис. 7). Тогда .
Рис. 7. Иллюстрация к теореме
Теорема о касательной и секущей
Докажем теорему о касательной и секущей.
Рис. 1. Иллюстрация к доказательству
Заметим, что – угол между касательной и хордой (Рис. 1). по сформулированному нами следствию.
Рассмотрим треугольники и . Угол у них общий, а . Значит, треугольники подобны по двум углам (Рис. 2).
Рис. 2. Равные углы
Тогда из подобия имеем: , откуда .
Обратите внимание, что все отрезки содержат общую вершину . Иногда эту теорему ошибочно применяют, записывая в правой части равенства . Это, конечно, неверно, так что не забудьте про общую вершину.
В свою очередь и теорема о касательной и секущей имеет широкое применение в задачах и других теоремах.
Примеры (теорема о касательной и секущей)
Пример
В окружности провели диаметр . Прямая, проходящая через точку , пересекает в точке касательную к окружности, проведенную через точку . Отрезок делится окружностью пополам. Найти угол (Рис. 8).
Рис. 8. Иллюстрация к примеру 2
Решение
- , так как это угол между касательной и радиусом, проведенным в точку касания.
- Пусть , где – точка пересечения и окружности. Тогда, по теореме о касательной и секущей, .
- Из треугольника : , значит,
Ответ: .
Пример
Из точки , лежащей вне окружности, проведены касательная и секущая : , , расстояние от центра окружности до секущей равно . Найти радиус окружности (Рис. 9).
Рис. 9. Иллюстрация к примеру 3
Решение
Пусть – центр окружности. По теореме о касательной и секущей, . Тогда .
Рассмотрим треугольник .
Рис. 10. Треугольник
По условию, . Но – и медиана, тогда , значит, по теореме Пифагора в треугольнике : .
Ответ: .
Теорема о двух секущих
Теорема. Из точки провели две секущие, первая пересекает окружность в точках и , вторая – в точках и (Рис. 11). Тогда .
Рис. 11. Иллюстрация к теореме
Доказательство
Проведем касательную (Рис. 12).
Рис. 12. Иллюстрация к доказательству теоремы
Тогда, по теореме о касательной и секущей, имеем и . Приравнивая правые части, получаем требуемое равенство.
Теорема о пересекающихся хордах
Теорема. Пусть хорды и пересекаются в точке (Рис. 13). Тогда .
Рис. 13. Две пересекающиеся хорды
Теорема о пересекающихся хордах
Докажем эту теорему. Рассмотрим треугольники и .
(как вертикальные), (опираются на одну дугу). Значит, (по двум углам, Рис. 1).
Рис. 1. Иллюстрация к доказательству
Отсюда, . Пользуясь свойством пропорции, имеем: .
Примеры (теорема о пересекающихся хордах)
Пример
В окружности с центром проведены хорды и , пересекающиеся в точке , причем , , . Найти угол (Рис. 14).
Рис. 14. Иллюстрация к примеру 4
Решение
По теореме об отрезках пересекающихся хорд , т.е. , значит, . Тогда в равнобедренном треугольнике (: – медиана (. Но тогда – высота. Получается, что искомый угол .
Ответ: .
Пример 5
Расстояние от точки окружности до ее центра равно . Радиус окружности равен . Через точку провели хорду длиной . Найти отрезки хорды, на которые она делится точкой (Рис. 15).
Рис. 15. Иллюстрация к примеру 5
Решение
Пусть – проведенная хорда, – диаметр, содержащий .
Тогда по условию , , , .
Пусть , тогда .
По теореме о пересекающихся хордах: . Решаем полученное уравнение: . Значит, искомые отрезки – и .
Ответ: и .
Степень точки относительно окружности
Рассмотрим произвольную точку и окружность. Точка может находиться внутри окружности или вне ее.
Обозначим точку вне окружности и точку внутри окружности. Проведем через точку произвольную прямую, которая имеет с окружностью две общие точки и , и через точку произвольную прямую, которая имеет с окружностью две общие точки и (Рис. 1).
Рис. 1. Иллюстрация к условию
Тогда степенью точки относительно окружности называется произведение , а степенью точки относительно окружности называется произведение .
Что же получается? Мы же можем провести разные прямые. Что, будут разные степени? Ничего подобного. Мы ведь доказали, что такое произведение постоянно для любой прямой, проходящей через точку : если внутри окружности, то это теорема о пересекающихся хордах, а если вне – то теорема о секущих.
Так что определение не зависит от выбора прямой.
Иногда степень точки определяют и для точек, лежащих на окружности. В этом случае логично взять степень, равную нулю (в нашей формуле один из множителей будет равен ).
Заключение
На этом уроке мы разобрали несколько важных теорем, связанных с окружностью и отрезками в ней, выяснили, чему равен угол между касательной и хордой, и научились применять все эти теоремы на практике.
Список рекомендованной литературы
- Геометрия. Учебник для 10-11 классов. Атанасян Л.С. и др. М.: Просвещение, 2009.
- Геометрия 11 класс, А.В. Погорелов, М.: Просвещение, 2002.
- Рабочая тетрадь по геометрии 11 класс, В.Ф. Бутузов, Ю.А. Глазков.
Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
- Интернет-портал «youclever.org» (Источник)
- Интернет-портал «samlib.ru» (Источник)
- Интернет-портал «ja-znaju.
ru» (Источник)
ru» (Источник)
Домашнее задание
- – точка пересечения хорд и . , , . Найти .
- Из точки к окружности проведена касательная см и секущая , которая первый раз пересекает окружность в точке , а второй раз – в точке . Известно, что в два раза меньше . Найти длину секущей.
- Из одной точки проведены к окружности две секущие, внутренние отрезки которых равны и . Внешний отрезок второй секущей на меньше внешнего отрезка первой. Найти длину каждой секущей.
Окружность, хорда, диаметр — презентация онлайн
Похожие презентации:
Элементы комбинаторики ( 9-11 классы)
Применение производной в науке и в жизни
Проект по математике «Математика вокруг нас. Узоры и орнаменты на посуде»
Знакомство детей с математическими знаками и монетами
Тренажёр по математике «Собираем урожай». Счет в пределах 10
Методы обработки экспериментальных данных
Лекция 6.
Корреляционный и регрессионный анализ
Решение задач обязательной части ОГЭ по геометрии
Дифференциальные уравнения
Подготовка к ЕГЭ по математике. Базовый уровень Сложные задачи
1
МБОУ
«СОШ №2»
г.Сосногорск
Окружность
хорда
диаметр
Учитель математики: Жукова Н.Л.
Задачи урока
• Определить, что такое окружность.
• Узнать, какие отрезки есть в
окружности.
• Научиться изображать окружность.
• Приводить примеры аналогов в
окружающем мире.
3
В
А
С
АВ – хорда
СD – диаметр — d
ОМ – радиус — r
О – центр
окружности
О
D
М
4
Определения
• Окружность — геометрическая фигура на плоскости,
все точки которой равноудалены от данной точки
(центра окружности).
• Ра́диус (лат. radius — спица колеса, луч) — отрезок,
соединяющий центр окружности с любой точкой,
лежащей на окружности. Радиус составляет половину
диаметра.
• Диаметр — отрезок, соединяющий две точки на
окружности и проходящий через центр окружности.
Диаметр равен двум радиусам.
соединяющий две точки окружности.
•Диаметр — это хорда, проходящая через центр
5
Сколько различных
хорд можно провести в
окружности?
В
Решение:
(4*5)/2=10
Ответ: 10
А
О
С
D
М
6
7
А́льбрехт Дю́рер (нем. Albrecht Dürer, 21
мая 1471, Нюрнберг — 6 апреля 1528,
Нюрнберг) — немецкий живописец и график,
признан крупнейшим европейским
мастером ксилографии, поднявшим её на
уровень настоящего искусства. Один из
величайших мастеров западноевропейского
Ренессанса. Первый теоретик искусства
среди североевропейских художников, автор
практического руководства для художников
на немецком языке. Основоположник
сравнительной антропометрии. Первый из
европейских художников, написавший
автобиографию. Он мог нарисовать
окружность одним движением руки. Никто не
мог её отличить от окружности,
нарисованной циркулем.
8
Рисуем по клеточкам
1
2
3
4
9
Задача 1
А) Перечислите все
хорды.
Б) Какие из них
являются диаметрами,
если О центр
окружности?
В
А
О
С
D
10
Задача 2
В окружности с центром
О и радиусом 3 см
проведена хорда АВ
длиной 2 см
В
А
О
А) Как называется ΔАОВ?
Б) Найдите, чему равна
высота в ΔАОВ,
проведённая из вершины
О к стороне АВ
11
В окружности с центром О
проведена хорда АВ так,
что угол ОАВ равен 26 °
Задача 3
Чему равны
ےОВА и ےАОВ, если
В
ےА = 26̊ ?
О
А
12
Задача 4
Дано: АС = 3 см
r = 2,5 см
Найти: СВ — ?
С
А
О
В
13
Ответы на тест
1.
1.1) 3
1.2) 2
2.
2.1) 2; 3
2.2) 1; 3
14
Продолжите фразу
Было всё понятно.
Было интересно.
Было трудно.
Прибавилось знаний.
Пришлось задуматься.
Могу рассказать другим.
15
Самооценивание:
Знаю, что такое окружность.
Умею её чертить с помощью
циркуля и от руки.
Определю радиус, хорду, диаметр
на чертеже.
Умею решать задачи на
равнобедренный треугольник в
окружности.
Знаю, где мне это пригодится.
16
Домашнее задание:
1) Нарисовать рисунок только из
одних окружностей.
2) Узнать: почему
канализационные люки делают
круглыми, а не квадратными?
17
Какие знакомые вам предметы имеют
форму круга, а какие форму
окружности?
18
19. Задача про козу
• Хозяйка, приведя козу на пастбище,вбила два колышка на расстоянии 10 м
один от другого, натянула между
колышками верёвку с кольцом так, что
кольцо может скользить от колышка к
колышку, а к кольцу верёвкой длиной 5м
привязала козу. Нарисуйте фигуру,
состоящую из точек, до которых может
добраться коза.
19
20. Басня Крылова.
Рисунок служит иллюстрацией кизвестной басне Крылова.
Какая это басня и какая строка её
проиллюстрирована?
20
English Русский Правила
Все о хордах и диаметрах
Хорда — это отрезок, соединяющий две точки на кривой. Диаметр – это хорда, проходящая через центр окружности. Длина хорды или диаметр — это расстояние между двумя точками. Хорды и диаметры можно использовать для решения задач по геометрии.
Аккорды
Аккорды можно использовать для решения задач по геометрии. Например, длину хорды можно использовать для нахождения длины окружности. Чтобы найти длину окружности, разделите длину хорды на 2 и умножьте на 3,14. Эта формула работает и для диаметров.
Диаметры
Диаметры также можно использовать для нахождения длины окружности. Чтобы найти длину окружности, разделите длину диаметра на 2 и умножьте на 3,14. Эта формула работает и для аккордов.
Хорды и диаметры являются важной частью геометрии. Хорды можно использовать для нахождения длины окружности, а диаметры также можно использовать для этой цели.
Что такое хорда и диаметр?
Хорда — это отрезок, соединяющий две точки на кривой. Диаметр – это длина наибольшей хорды кривой. Обе концепции могут применяться в различных контекстах, от геометрии до музыки.
В геометрии хорда иногда используется как синоним отрезка, соединяющего две точки на кривой. В этом контексте часто полезно думать о хорде как о гипотенузе прямоугольного треугольника, образованного двумя точками и кривой. Длина хорды равна длине этой гипотенузы, которую можно вычислить по теореме Пифагора.
Диаметр кривой — это длина самой длинной хорды кривой. Другими словами, это расстояние между двумя точками на кривой, которые наиболее удалены друг от друга. Как и хорду, диаметр можно рассматривать как гипотенузу прямоугольного треугольника, две другие стороны которого образованы кривой. Диаметр можно вычислить и по теореме Пифагора.
И аккорд, и диаметр используются в теории музыки. Аккорд является основным строительным блоком гармонии, а диаметр используется для расчета интервала между двумя нотами.
Понятия хорды и диаметра могут применяться и в других контекстах. Например, в круглом бассейне хорда — это отрезок линии, соединяющий две точки на дне бассейна, которые находятся ближе всего к краю бассейна, а диаметр — это отрезок линии, соединяющий две точки на дне бассейна, которые являются самыми дальними. Кроме.
Почему все диаметры хордовые?
Диаметр — это самая длинная хорда кривой, поэтому это обязательно хорда. Однако не все хорды являются диаметрами. Хорда может быть любой длины, и только самая длинная хорда является диаметром.
Как найти диаметр хорды?
Диаметр хорды можно найти, вычислив длину самого длинного отрезка, соединяющего две точки на кривой. Это можно сделать с помощью теоремы Пифагора.
Каковы 5 свойств аккорда?
Пять свойств хорды: длина, направление, конечная точка, середина и наклон. Эти свойства можно использовать для описания множества математических объектов, от отрезков до окружностей.
Длина хорды — это расстояние между двумя ее концами. Направление хорды — это угол, образованный отрезком прямой и горизонтальной осью. Конечная точка хорды — это точка, в которой отрезок пересекает кривую. Середина хорды — это точка на полпути между двумя ее концами. Наклон хорды — это отношение длины отрезка прямой к длине кривой.
Эти свойства можно использовать для вычисления длины аккорда, интервала между двумя нотами и центра окружности. Их также можно использовать для описания формы кривой.
Оценка пи. Площадь круга. Темы по тригонометрии
Темы | Дом
14
Вписанный многоугольник
Отношение хорды к диаметру
Площадь круга
π ЭТО ОТНОШЕНИЕ длины окружности к диаметру.
(Тема 2.) Но как мы можем сравнить кривую линию с прямой линией? Ответ заключается в том, что мы не можем сделать это напрямую. Мы можем связать прямые линии только с прямыми, поэтому мы должны аппроксимировать кривую линию серией прямых линий. В этом случае мы аппроксимируем окружность вписанным многоугольником или описанным многоугольником.
Периметр вписанного многоугольника будет меньше длины окружности, а периметр вписанного многоугольника будет больше. Затем мы можем сформировать отношение каждого периметра к диаметру. Это даст меньшее и большее приближение к π.
В третьем веке до нашей эры Архимед Сиракузский рассматривал вписанные и описанные многоугольники с 96 сторонами. Он доказал, что π больше , но меньше .
.
В современных десятичных дробях:
3.140845
Вот процедура.
Вписанный многоугольник
Каждая сторона вписанного многоугольника является хордой окружности. Периметр многоугольника — приближение к окружности — будет суммой всех хорд.
Из следующей теоремы мы можем вычислить π.
Отношение хорды окружности к диаметру
определяется синусом половины центрального угла
, на который опирается хорда.
Мы говорим, что хорда стягивается — буквально тянется под — центральным углом.
Таким образом, если AB — хорда окружности, а CD — диаметр, то
| АВ CD | = грех | θ 2 | . |
Прежде чем доказывать эту теорему, приведем несколько примеров.
Пример 1. Хорда стягивает центральный угол 100°. Какое отношение имеет хорда к диаметру?
Ответить . По теореме
| Пояс Диаметр | = sin ½(100°) |
| Пояс Диаметр | = sin 50° |
| Пояс Диаметр | = .766, из Таблицы. |
Это означает, что хорда составляет 766 тысячных — или чуть больше трех четвертей — диаметра.
Задача 1. В каком отношении к диаметру имеет хорда, стягивающая центральный угол 60°?
Чтобы увидеть ответ, наведите указатель мыши на цветную область.
Чтобы снова закрыть ответ, нажмите «Обновить» («Reload»).
| Пояс Диаметр | = sin ½(60°) = sin 30° = ½ |
Эта хорда составляет половину диаметра. Эта хорда равна радиусу!
Пример 2. Правильный многоугольник с 8 сторонами вписан в окружность. На какой центральный угол опирается каждая сторона? Какое отношение имеет каждая сторона к диаметру? Какое отношение имеет весь периметр к диаметру?
Ответить . Так как у многоугольника 8 сторон, то каждый центральный угол составляет восьмую часть всей окружности, то есть восьмую часть 360°. 360° ÷ 8 = 45°.
Далее,
| Пояс Диаметр | = sin ½(45°) |
| Пояс Диаметр | = sin 22,5° |
| Аккорд Диаметр | .383, из Таблицы. |
Что касается всего периметра, то он состоит из 8 таких хорд. Следовательно, отношение периметра к диаметру будет
.8 × 0,383 = 3,064
Это приближение к π. Для,
| № | = | Окружность Диаметр | Периметр Диаметр |
Аппроксимация не очень хорошая, потому что мы аппроксимировали окружность многоугольником всего с 8 сторонами.
Задача 2. В окружность вписан правильный многоугольник с 20 сторонами.
а) Какой центральный угол образует каждая сторона? 360° ÷ 20 = 18°
б) Какое отношение имеет каждая сторона к диаметру? (Таблица)
| Пояс Диаметр | = sin ½(18°) = sin 9° = 0,156 |
| в) | Какое отношение имеет весь периметр к диаметру? То есть |
приблизительное число π. |
Весь периметр состоит из 20 таких хорд. Следовательно, отношение периметра к диаметру будет равно 9.0003
20 × 0,156 = 3,12
Мы можем обобщить то, что мы сделали, следующим образом. Впишем в окружность многоугольник из n сторон. Тогда каждая сторона будет стягивать центральный угол θ:
.| θ = | 360° n |
Следовательно,
| θ 2 | = | 180° н | , |
| Пояс Диаметр | = грех | 180° n |
Наконец, поскольку n таких хорд аппроксимируют длину окружности, то отношение этих n хорд к диаметру является приближением к π:
| π n sin | 180° n |
Мы будем использовать это ниже, чтобы доказать, что площадь круга A равна
| А = | № 4 | Д 2 | . |
Вот доказательство отношения хорды к диаметру.
Теорема. Отношение хорды окружности к диаметру равно синусу половины центрального угла, на который опирается хорда.
Пусть E — центр окружности с хордой AB, диаметром CD и центральным углом AEB, который мы будем называть θ; затем
| АВ CD | = грех | θ 2 | . |
Нарисуйте EF так, чтобы угол θ делился пополам. Тогда EF также является серединным перпендикуляром к AB,
, потому что EA и EB — радиусы, а треугольник AEB — равнобедренный. (теорема 2).
Следовательно,
| АФ | = | ½ AB | . |
| А поскольку EA является радиусом, | |||
| ЕА | = | ½ компакт-диска | . |
Сейчас,
| AF EA | = | грех | θ 2 | . |
| То есть | ||||
| ½ AB ½ CD | = | грех | θ 2 | . |
| Следовательно, при умножении обоих членов на 2, | ||||
| AB CD | = | грех | θ 2 | . |
| Пояс Диаметр | = | грех | θ 2 | . |
Это то, что мы решили доказать.
Площадь круга
В предыдущем Уроке мы видели, как узнать эту область методом перестановки.
Здесь мы докажем формулу с помощью вписанных многоугольников.
Теорема. Площадь А круга равна
| А = | π r 2 или | № 4 | Д 2 |
, где r — радиус окружности, а D — диаметр.
Доказательство . Пусть правильный многоугольник из n сторон быть вписанным в окружность радиусом r , и пусть s будет длиной каждой стороны.
Разобьем многоугольник на n равнобедренных треугольников и обозначим площадь каждого треугольника через A T . Тогда площадь этих n треугольников будет приблизительно равна площади круга.
Теперь площадь каждого треугольника равна половине основания s умноженной на высоту h .
А Т = ½ ш . . . . . . . (1)
Теперь мы выразим s и h через радиус r , а затем подставим эти выражения в строку (1).
Как мы видели выше, каждая хорда s стягивает центральный угол .
Так как стороной каждого равнобедренного треугольника является радиус r , то h/r является косинусом половины этого центрального угла:
| ч р | = cos ½ | 360° n | = cos | 180° n |
или
| h = r cos | 180° n | . . . . . . . . (2) |
Также в каждом равнобедренном треугольнике
| с /2 р | = грех | 180° n |
так что
| s = 2 r sin | 180° n | . . . . . . . . (3) |
Подставив строки (3) и (2) в строку (1), получим
| A T = ½ ш | = | ½ · 2 r sin | 180° н | · r cos | 180° n |
| A T = ½ ш | = | р 2 грех | 180° n | · кос | 180° n |
Это площадь одного из треугольников. Площадь A всего круга аппроксимируется всеми n треугольниками:
| А = n А Т | = | n · r 2 sin | 180° n | · кос | 180° н |
Но мы видели, что
| п грех | 180° n | π. |
Следовательно, наконец,
| Aπ r 2 кос | 180° n | . . . . . . . . (4) |
Предположим теперь, что число сторон n чрезвычайно велико — больше, чем количество звезд в миллионе галактик. Тогда многоугольник «исчерпает» круг. Центральный угол (линия 4) будет неотличим от 0°. У нас будет
A = π r 2 cos 0°.
Но cos 0° = 1. Следовательно,
А = π r 2 .
| А при замене р 2 на ( | Д 2 | ) 2 = | Д 2 4 | , |
| А | = | № 4 | Д 2 . |
Что мы и хотели доказать.