Знакомство с комплексными числами на примерах
Тема «Комплексные числа» зачастую вызывает затруднения у учащихся, а ведь на самом деле в них нет ничего страшного, как может показаться на первый взгляд.
Итак, сейчас мы разберем и рассмотрим на простых примерах, что такое комплексное число, как обозначается и из чего состоит. Выражение z = a + bi называется комплексным числом. Это единое число, а не сложение.
Пример 1: z = 6 + 4i
Из чего состоит комплексное число?
Комплексное число имеет действительную и мнимую часть в своем составе.
Число a называется действительной частью комплексного числа и обозначается a = Re (z). А вот то, что стоит вместе с буквой i — т.е. число b называется коэффициентом мнимой части комплексного числа и обозначается b = Im (z). Вместе bi образуют мнимую часть комплексного числа.
Нетрудно догадаться и легко запомнить, что сокращение «Re» происходит от слова «Real» — реальная, действительная часть.
Соответственно, «Im» является сокращением слова «Imaginary» — мнимая, воображаемая часть.
Пример 2: z = 0,5 + 9i. Здесь действительная часть a = Re (z) = 0,5, а мнимая часть b = Im (z) = 9i
Пример 3: z = -5 + 19i. Здесь действительная часть a = Re (z) = -5, а мнимая часть b = Im (z) = 19.
Чисто мнимое комплексное число
Комплексное число, в котором нет действительной части, т.е. Re (z) = 0, называется чисто мнимым.
Пример 4: z = 2i. Действительная часть отсутствует, a = Re (z) = 0, а мнимая часть b = Im (z) = 2.
Пример 5. z = -8i. Здесь мнимая часть b = Im (z) = -8, действительная часть a = Re (z) = 0.
Сопряженные комплексные числа
Комплексно-сопряженное число обозначается «зэт» с чертой и используется, к примеру, для нахождения частного двух комплексных чисел, проще говоря — для реализации деления чисел. Те, кто сейчас задумался, вам сюда — читать про деление комплексных чисел.
Числа называются комплексно-сопряженными, имеют одинаковые действительные части и различаются лишь знаком мнимых частей. Рассмотрим пример:
Пример 6. Комплексно сопряженным к числу z = 7 + 13i является число .
Мнимая единица комплексного числа
И наконец поговорим про букву i. Та самая буква, которая образует в комплексном числе мнимую составляющую. Даже если перед нами выражение z = 5, это просто значит, что мнимая часть данного числа равна нулю, а действительная равна пяти.
Величина i называется мнимой единицей.
Мнимая единица пригодится при решении квадратных уравнений в случае, когда дискриминант меньше нуля.
Мы привыкли считать, что если он отрицательный, решения нет, корней нет. Это не совсем корректно. Корни существуют, просто они комплексные. Но об этом позже. А теперь, переходим к следующей статье по изучению комплексных чисел, узнаем же, как посчитать произведение комплексных чисел.
Понятие комплексного числа — Studies
Содержание страницы:
Лекция 1. Понятие комплексного числа
Комплексным числом z называется число вида z = a + bi , где a и b – действительные числа, i – так называемая мнимая единица. Число a называется
действительной частью (Re z) ) комплексного числа z , число b называется мнимой частью (Im z) ) комплексного числа z . a + bi – это единое число, а не сложение.
Действительную и мнимую части комплексного числа, в принципе, можно переставить местами: z = b + ai или переставить мнимую единицу: z = a + ib – от этого комплексное число не изменится. Но стандартно комплексное число принято записывать именно в таком порядке: z = a + bi
Приведем геометрическую интерпретацию.
Комплексные числа изображаются на комплексной плоскости:
Множество же комплексных чисел принято обозначать «жирной» или утолщенной буквой С. Поэтому на чертеже следует поставить букву С, обозначая тот факт, что у нас комплексная плоскость.
Комплексная плоскость состоит из двух осей:
Re z – действительная ось
Im z – мнимая ось
Построим на комплексной плоскости следующие комплексные числа:
Алгебраическая форма комплексного числа.
Сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел
С алгебраической формой комплексного числа мы уже познакомились, z = a + bi – это и есть алгебраическая форма комплексного числа.
Действия с комплексными числами не представляют особых сложностей и мало чем отличаются от обычной алгебры.
Сложение комплексных чисел
Пример 1 Сложить два комплексных числа
Для того чтобы сложить два комплексных числа нужно сложить их действительные и мнимые части:
Таким способом можно найти сумму любого количества слагаемых: просуммировать действительные части и просуммировать мнимые части.
Для комплексных чисел справедливо правило первого класса: – от перестановки слагаемых сумма не меняется.
Вычитание комплексных чисел
Пример 2 Найти разности комплексных чисел если
Действие аналогично сложению, единственная особенность состоит в том, что вычитаемое нужно взять в скобки, а затем – стандартно раскрыть эти скобки со сменой знака:
Результат не должен смущать, у полученного числа две, а не три части. Просто действительная часть – составная: Для наглядности ответ можно переписать так:
Рассчитаем вторую разность:
Здесь действительная часть тоже составная:
Чтобы не было какой-то недосказанности, приведу короткий пример с «нехорошей» мнимой частью: Вот здесь без скобок уже не обойтись.
Умножение комплексных чисел
Для умножения важно помнить, что
Пример 3 Найти произведение комплексных чисел
Как и сумма, произведение комплексных чисел перестановочно, то есть справедливо равенство:
Деление комплексных чисел
Пример 4 Даны комплексные числа Найти частное
Составим частное:
Деление чисел осуществляется методом умножения знаменателя и числителя на
сопряженное знаменателю выражение.
Вспоминаем формулу (a — b)(a + b) = a2 — b2 и смотрим на наш знаменатель: 7 — 6i . В знаменателе уже есть (a — b) , поэтому сопряженным выражением в данном случае является (a + b) , то есть 7 + 6i
Согласно правилу, знаменатель нужно умножить на 7 + 6i , и, чтобы ничего не изменилось, домножить числитель на то же самое число 7 + 6i:
Распишем подробнее
В ряде случаев перед делением дробь целесообразно упростить, например, рассмотрим частное чисел:
Перед делением избавляемся от лишних минусов: в числителе и в знаменателе выносим минусы за скобки и сокращаем эти минусы:
Пример 5 Дано комплексное число . Записать данное число в алгебраической форме (т.е. в форме a + bi ).
Приём тот же самый – умножаем знаменатель и числитель на сопряженное знаменателю выражение. Знаменатель и числитель нужно домножить на сопряженное выражение на
Пример 6 Даны два комплексных числа Найти их сумму, разность, произведение и частное.
Техническое видео — Мотоциклы Урал
УРАЛ Практическое руководство — Багажник для тяжелых запасных шин
Это видео предназначено ТОЛЬКО для развлекательных целей и не предназначено для обучения. Мотоциклы УРАЛ рекомендует выполнять любое обслуживание или ремонт у авторизованного дилера УРАЛ или в сервисном центре.
URAL Инструкции по установке двух светодиодных фонарей
Это видео предназначено ТОЛЬКО для развлекательных целей и не предназначено для обучения. Мотоциклы УРАЛ рекомендует выполнять любое обслуживание или ремонт у авторизованного дилера УРАЛ или в сервисном центре.
URAL Инструкции — Установка переднего бампера коляски
Это видео предназначено ТОЛЬКО для развлекательных целей и не предназначено для обучения. Мотоциклы УРАЛ рекомендует выполнять любое обслуживание или ремонт у авторизованного дилера УРАЛ или в сервисном центре.
URAL How-To — рулевой демпфер bitubo
Это видео предназначено ТОЛЬКО для развлекательных целей и не предназначено для обучения.
Мотоциклы УРАЛ рекомендует выполнять любое обслуживание или ремонт у авторизованного дилера УРАЛ или в сервисном центре.
URAL Инструкции — Установка защитной пластины поддона
Это видео предназначено ТОЛЬКО для развлекательных целей и не предназначено для обучения. Мотоциклы УРАЛ рекомендует выполнять любое обслуживание или ремонт у авторизованного дилера УРАЛ или в сервисном центре.
URAL How-To — 2014-2021 Ремонт суппорта заднего тормоза
Это видео предназначено ТОЛЬКО для развлекательных целей и не предназначено для обучения. Мотоциклы УРАЛ рекомендует выполнять любое обслуживание или ремонт у авторизованного дилера УРАЛ или в сервисном центре.
URAL Инструкции по регулировке клапана EFI
Это видео предназначено ТОЛЬКО для развлекательных целей и не предназначено для обучения. Мотоциклы УРАЛ рекомендует выполнять любое обслуживание или ремонт у авторизованного дилера УРАЛ или в сервисном центре.
URAL How-To — GEN II EFI Balancing Part 2
Это видео предназначено ТОЛЬКО для развлекательных целей и не предназначено для обучения. Мотоциклы УРАЛ рекомендует выполнять любое обслуживание или ремонт у авторизованного дилера УРАЛ или в сервисном центре.
URAL How-To — диагностический прибор EFI GEN II, часть 1
Это видео предназначено ТОЛЬКО для развлекательных целей и не предназначено для обучения. Мотоциклы УРАЛ рекомендует выполнять любое обслуживание или ремонт у авторизованного дилера УРАЛ или в сервисном центре.
Spring Service — Oil & Filters Part 2
Это видео предназначено ТОЛЬКО для развлекательных целей и не предназначено для обучения. Мотоциклы УРАЛ рекомендует выполнять любое обслуживание или ремонт у авторизованного дилера УРАЛ или в сервисном центре.
Spring Service — Oil & Filters Part 1
Это видео предназначено ТОЛЬКО для развлекательных целей и не предназначено для обучения.
Мотоциклы УРАЛ рекомендует выполнять любое обслуживание или ремонт у авторизованного дилера УРАЛ или в сервисном центре.
Снятие поворотного рычага коляски 2WD
Это видео предназначено ТОЛЬКО для развлекательных целей и не предназначено для обучения. Мотоциклы УРАЛ рекомендует выполнять любое обслуживание или ремонт у авторизованного дилера УРАЛ или в сервисном центре.
Снятие приводного вала коляски 2WD
Это видео предназначено ТОЛЬКО для развлекательных целей и не предназначено для обучения. Мотоциклы УРАЛ рекомендует выполнять любое обслуживание или ремонт у авторизованного дилера УРАЛ или в сервисном центре.
ДВОЙНОЙ USB, МАГНИТНЫЙ ПЕРЕКЛЮЧАТЕЛЬ, УСТАНОВКА ЗАРЯДНОГО УСТРОЙСТВА
Это видео предназначено ТОЛЬКО для развлекательных целей и не предназначено для обучения. Компания «УРАЛ Мотоциклы» рекомендует выполнять любое обслуживание, ремонт или установку аксессуаров у авторизованного дилера или в сервисном центре «УРАЛ».
УСТАНОВКА ШАРОВОГО КРЕПЛЕНИЯ ПРИНАДЛЕЖНОСТЕЙ ДЛЯ ЗАЖИМА РУЛЯ
УСТАНОВКА АМОРТИЗАТОРА NITRON
Это видео предназначено ТОЛЬКО для развлекательных целей и не предназначено для обучения. Мотоциклы УРАЛ рекомендует выполнять любое обслуживание или ремонт у авторизованного дилера УРАЛ или в сервисном центре.
СНЯТИЕ И ЗАМЕНА ТОПЛИВНОГО БАКА НА GEN II EFI
Это видео предназначено ТОЛЬКО для развлекательных целей и не предназначено для обучения. Мотоциклы УРАЛ рекомендует выполнять любое обслуживание или ремонт у авторизованного дилера УРАЛ или в сервисном центре. 9
Передовой опыт погрузки 004
Основы смазки
Как проверить уровень жидкости на вашем Урале
Ural Battery Basics
Воздушный фильтр URAL
СПИДОМЕТР И РУЛЕВОЙ ДЕМПФЕР
Центральная подставка URAL
URAL — ЗАПАСНАЯ УСТАНОВКА / ЗАДНЕЕ ПОЛОЖЕНИЕ
URAL СТОЯНОЧНЫЙ ТОРМОЗ И РЕГУЛИРОВКА КОЛЯСКИ
URAL — ЗАПАСНАЯ УСТАНОВКА / ПОЛОЖЕНИЕ КОЛЯСКИ
+Пакет Adventure — Мотоциклы Урал
2021 GEAR UP с пакетом Adventure , GPR Exhaust и Heidenau K37 TiRES установлены
ЗАПРОС ЦИТАТЫ
Обновите свой Урал с нашим премьерным пакетом приключений:
Регулируемое туристическое ветровое стекло Ural**
Пассажирское ветровое стекло коляски**
Урал Шаровое крепление для зажима руля
Защитная пластина для бездорожья 9 0009
Защита рук + защита от грязи для ног
Светодиодная лампа h5 + защита фар
Защитные кронштейны для коляски + задние фонари
Задний бампер коляски
Адаптер розетки
Наклейка Adventure***
*Рекомендованная розничная цена без стоимости установки.
Цены у дилеров могут отличаться.
** Доступен в прозрачном или дымчатом цвете
*** Доступен в матовом черном или глянцевом белом цвете
Каждый Gear Up стандартно поставляется со следующими функциями:
Передний бампер коляски
Универсальное запасное колесо (подходит для всех 3 положений)
Багажник для запасного колеса
Розетка питания коляски
Крышка багажника коляски
Защита пола коляски и багажника
Канистра
Универсальная лопата
Набор инструментов Урал
Регулируемое туристическое ветровое стекло позволяет быстро настроить поток воздуха в соответствии с вашими потребностями. Эффективная двухточечная система крепления упрощает установку. Доступен в прозрачном и дымчатом цветах.
Защитная пластина обеспечивает надежную защиту масляного поддона, не отклоняя поток охлаждающего воздуха от двигателя. Новый дизайн совместим со стандартной системой Урала, а также с нашим эксклюзивным GPR 2 в 1 высокой трубе*.
*Только для бездорожья.
Шаровое крепление верхнего зажима руля расположено по центру. Прочный и устойчивый, он предназначен для установки большинства аксессуаров с однодюймовым шаровым креплением.
Идеально подходит для защиты GPS, телефона или камеры.
Завершите свое приключение на Урале с нашим выхлопом GPR High Pipe 2 в 1 (только для бездорожья).
*Рекомендованная розничная цена без учета платы за установку. Цены у дилеров могут отличаться.
Покоряйте грязь с нашей самой популярной внедорожной шиной Heidenau K37.
Протектор и профиль K37 идеально дополняют наши полноприводные коляски. Купить полный комплект (4 шины) за
*Рекомендованная производителем розничная цена без учета платы за установку. Цены у дилеров могут отличаться.
Запросить предложение
* Исключая налоги, лицензию, регистрацию, доставку, настройку и опции, устанавливаемые дилером. Велосипед может быть показан с дополнительными опциями. Цены у дилеров могут отличаться.
Посмотреть всех дилеров
Двигатель и трансмиссия
Рабочий объем, см3: 749
Тип двигателя: OHV с воздушным охлаждением, 2-цилиндровый, 4-тактный «боксер» (плоский твин)
Количество клапанов на цилиндр: 2
Диаметр цилиндра и ход поршня (мм x мм): 78 x 78
Максимальная мощность (л.с.): 41 при 5500 об/мин фунты): 42 при 4300 об/мин
Компрессия: 8,6:1
Топливная система: Дроссельная заслонка EFI
Пуск: электрический и кикстарт
901 94Тип коробки передач: механическая
Скорости: 4 вперед, 1 назад 009
Сцепление двухдисковое, сухое
Физические измерения
Габаритная длина, дюйм: 98,8
Габаритная высота, дюйм: 54,3
Габаритная ширина, дюйм: 63,6
Высота сиденья, (без груза), дюйм: 32,0
Дорожный просвет (без груза), дюйм: 6,8
Сухая масса, фунты: 730
Электрооборудование
Al тернатор: Denso, пиковая мощность 40 А при 14 В постоянного тока, 560 Вт
Аккумулятор: FAYTX20HL (12 В, 20 А)
Фара: h5
Свечи зажигания: NGK BPR6HS
Cha ssis
Передняя подвеска: Вилка ведущего рычага IMZ
Задняя подвеска: Двусторонний маятник с двумя гидравлическими пружинными амортизаторами Sachs, 5-кратная регулировка
Подвеска коляски: Односторонний маятник с гидравлическими пружинными амортизаторами Sachs, 5-кратная регулировка
Колеса: 2,15 Х19 Алюминиевые диски со стальными спицами
Шины: Duro HF-308, 4,0×19″
Передний тормоз: 4-поршневой фиксированный суппорт Brembo с 295-мм плавающим ротором NG
Задний тормоз: однопоршневой интегрированный плавающий суппорт HB с большим отверстием и 256-мм фиксированным ротором NG
Тормоз коляски: 2-поршневой фиксированный суппорт Brembo с 245-мм плавающим ротором NG
Разное.