Надеюсь, я не ошибся.
теория и примеры решений задач
- Формула Байеса: теория
- Формула Байеса: примеры решения задач
Следствием правила умножения и формулы полной вероятности является формула Байеса, называемая также формулой гипотез.
Представим себе следующую ситуацию. До опыта о его услових можно было сделать ряд гипотез (в литературе можно также встретить их обозначение не буквой B, а буквой H), несовместных и образующих полную группу.
Вероятности гипотез до опыта (называемые также априорными вероятностями) заданы и равны
.
Теперь предположим, что опыт произведён и в его результате
появилось событие A.
Как нужно пересмотреть вероятности гипотез с учётом этого факта?
Формула Байеса позволяет найти вероятность каждой из гипотез о том, в результате какого из событий, образующих полную систему, наступило событие A (или как часто говорят, найти апостериорные вероятности).
Поэтому формула Байеса представляет собой отношение произведения вероятности одного из событий системы на условную вероятность этого события относительно соответствующего события системы к полной вероятности наступления события A с учётом всех событий системы.
То есть, по формуле Байеса вероятность, как и в самых простых случаях, вычисляется как отношение «одного ко всем»:
.
Видим, что знаменатель в этой формуле — ничто иное, как полная
вероятность события A, а числители для каждого
отдельного случая равны первому, второму, и так далее до n-го слагаемому
суммы, находящейся в знаменателе.
Формула Байеса может быть также записана в виде
.
Пример 1. Имеются три урны; в первой 3 белых шара и 1 чёрный, во второй — 2 белых шара и 3 чёрных, в третьей — три белых шара. Некто подходит наугад к одной из урн и вынимает из неё один шар. Этот шар оказался белым. Найти послеопытные (апостериорные) вероятности того, что этот шар вынут из первой, второй, третьей урны.
Решение. Гипотезы:
— выбрана первая урна;
— выбрана вторая урна;
— выбрана третья урна.
Так как урна выбирается наугад, то априорные вероятности гипотез раны:
.
В результате опыта появилось событие A — из выбранной урны вынут белый шар.
Условные вероятности события A относительно каждой из гипотез:
, , .
Применяя формулу Байеса, находим апостериорные вероятности гипотез:
;
;
.
Пример 2. Пример с теми же лампочками, что и в примере 2. Пусть количество и качество электролампочек, поставляемых в магазины некоторого района, определены условиями примера 2. Купленная лампочка оказалась стандартной. Пользуясь формулой Байеса, найти вероятности гипотез о том, что лампочка была изготовлена на первом заводе, на втором, на третьем.
Решение. Итак, для каждой из гипотез в числителе должно быть произведение вероятности одного из событий системы на условную вероятность этого события относительно соответствующего события системы, а в знаменателе — полная вероятность собыия A.
Вероятность того, что купленная лампочка изготовлена на первом
заводе и стандартна:
.
Вероятность того, что купленная лампочка изготовлена на втором
заводе и стандартна:
.
Вероятность того, что купленная лампочка изготовлена на третьем
заводе и стандартна:
.
Вычисляя по формуле Байеса, получаем:
— вероятность того, что купленная стандартная лампочка изготовлена на первом заводе
;
— вероятность того, что купленная стандартная лампочка изготовлена на втором заводе
;
— вероятность того, что купленная стандартная лампочка изготовлена на третьем заводе
.
Статистика — не Ваша специализация? Закажите статистическую обработку данных
Пример 3. До опыта об его условиях можно было сделать четыре гипотезы: , , , с вероятностями, равными, соответственно
;
;
;
.
В результате опыта появилось событие A, которое невозможно при гипотезах , и достоверно при гипотезах , . Найти апостериорные вероятности гипотез.
Решение. Условные вероятности гипотез:
;
.
По формуле Байеса получаем:
;
;
.
Пример 4. Расследуются причины авиационной катастрофы, о которых можно сделать четыре гипотезы: , , , . Согласно статистике вероятности гипотез составляют
;
;
;
.
Осмотр места катастрофы выявляет, что в её ходе произошло событие A — воспламенение горючего. Условные вероятности события A при гипотезах , , , , согласно той же статистике равны
;
;
;
.
Найти апостериорные вероятности гипотез.
Решение. По формуле Байеса получаем:
.
;
;
.
Пример 5.
В учреждении три чиновника готовят копии документов. Первый чиновник () обрабатывает 40% всех форм, второй () – 35%, третий () – 25%. У первого чиновника удельный вес ошибок составляет 0,04, у второго – 0,06, у третьего – 0,03. В конце дня, выбрав случайно один из подготовленных документов, руководитель констатировал, что в нём есть ошибка (событие
Решение. Обозначим события и их вероятности:
: {документ подготовил первый чиновник}
: {документ подготовил второй чиновник}
: {документ подготовил третий чиновник}
A: {в документе допущена ошибка}
Событие | ||||
0,40 | 0,04 | 0,0160 | 0,36 | |
0,35 | 0,06 | 0,0210 | 0,47 | |
0,25 | 0,03 | 0,0075 | 0,17 | |
Всего | 1,00 | — | 0,0445 | 1,00 |
По формуле Байеса находим:
Итак, вероятность того, что ошибку допустил первый чиновник, составляет 0,36, второй – 0,47, третий – 0,17.
| Назад | Листать | Вперёд>>> |
Пройти тест по теме Теория вероятностей и математическая статистика
К началу страницы
Основные понятия теории вероятностей, непосредственное вычисление вероятностей
Действия над вероятностями
Различные задачи на сложение и умножение вероятностей
Независимые испытания и формула Бернулли
Формула полной вероятности
Распределение вероятностей дискретной случайной величины
Распределение вероятностей непрерывной случайной величины
Математическое ожидание и дисперсия случайной величины
Биномиальное распределение дискретной случайной величины
Распределение Пуассона дискретной случайной величины
Равномерное распределение непрерывной случайной величины
Нормальное распределение непрерывной случайной величины
В первой из двух урн лежат 3 белых, 2 черных и 2 красных шара.
Из первой урны наугад вынимают один шар и кладут во вторую урну. Тогда, если из второй урны наугад вынут один шар, найти вероятности того, что он будет черным.Вопрос
Вопрос
Объединенная книжная модель-набор-модель-набор -3-Excise
20 ВидеоРеклама
AB Padhai Karo Bina Ads KE
Khareedo DN Pro и Dekho Sari Videos Bina Kisi Ad Ki RukaAavat Ke!
Ответить
Пошаговое решение от экспертов, которое поможет вам в разрешении сомнений и получении отличных оценок на экзаменах.
Похожие видео
В урне 10 белых и 3 черных шара.В другой урне 3 белых и 5 черных шаров.Из первой урны вынимают два шара и кладут во вторую урну, а затем из второй урны вынимают шар урна и вероятность того, что шар, извлеченный из 2-й урны, будет белым.
Урна А содержит 2 белых, 1 черный и 3 красных шара, урна В содержит 3
белых, 2 черных и 4 красных шара, а в урне C 4 белых, 3 черных и 2 красных
мячи.
Наугад выбирают одну урну и из нее наугад вынимают 2 шара.
Если выбранные шары оказались красными и черными, какова вероятность того, что
оба шара из урны B?
Есть три урны, содержащие 2 белых и 3 черных шара, 3 белых и 2 черных шара и 4 белых и 1 черный шар соответственно. Существует равная вероятность того, что каждая урна будет выбрана. Из выбранной урны случайным образом извлекают шар, и он оказывается белым. Найти вероятность того, что вынутый шар был из второй урны.
32530615
В урне 5 красных и 2 зеленых шара. Из урны случайным образом вынимают шар. Если вытащенный шар зеленый, то в урну добавляется красный шар, а если вытащенный шар красный, то в урну добавляется зеленый шар, первоначальный шар в урну не возвращается. Теперь из него наугад вынимают второй шар. Вероятность того, что второй шар красный, равна 9.0003
35782219
एक कलश में 4 लाल तथा 4 काली गेंद है | उनमे से यादृच्छया एक गेंद निकाली जाती है, इसका ंग नोट क क के ब बाद पुनः कलश में ख ख ज ज है | पुनः निकाले गये रंग की 3 अतिरिक्त गेंदे कलश में ख दी जाती है तथ तथ कलश में एक गेंद निकाली ज ज है | दूसरी गेंद ल लाल होने की प Вивра ज्ञात कीजिए |
76125007
Есть две одинаковые урны, содержащие соответственно 6 черных и 4 красных шара, 2 черных и 2 красных шара.
Наугад выбирают урну и извлекают из нее шар.
(i) найти вероятность того, что шар черный
(ii) если шар черный, какова вероятность того, что он из первой урны?
201227503
Две урны содержат соответственно 2 красных, 3 белых и 3 красных 5 шара. Из первой урны случайным образом вынимают один шар и переносят во вторую. Теперь из второй второй урны вынимают шар, и он оказывается красным. найти вероятность того, что перенесенный из первой урны шар был белым.
234812611
Три одинаковые урны содержат белые и черные шары. В первой урне 2 белых и 3 черных шара, во второй урне 3 белых и 2 черных шара, а в третьей урне 1 черный и 4 белых шара. Наугад выбирают урну и извлекают из нее шар. Если вынутый шар белый, какова вероятность того, что будет выбрана первая урна?
234812974
В одной урне 8 белых и 5 черных шаров, а в другой урне 5 белых и 6 черных шаров. Наугад выбирается одна урна и из нее вынимаются два шара. Найдите вероятность того, что шары белые.
320218559
Текст Решение
В урне 5 красных и 2 зеленых шара. Из урны случайным образом вынимают шар. Если вытащенный шар зеленый, то в урну добавляется красный шар, а если вытащенный шар красный, то в урну добавляется зеленый шар, первоначальный шар в урну не возвращается. Теперь из него наугад вынимают второй шар. Вероятность того, что второй шар красный, равна
642540823
. В урне A 2 белых, 1 черный и 3 красных шара, в урне B 3 белых, 2 черных и 4 красных шара, а в урне C 4 белых, 3 черных и 2 красных мячи. Наугад выбирают одну урну и из нее наугад вынимают 2 шара. Если выбранные шары оказались красными и черными, какова вероятность того, что оба шара из урны B?
642566704
Первая из двух урн содержит 3 белых и 2 черных шара и 2 красных шара. Из первой урны наугад вынимают один шар и кладут во вторую урну. Тогда если один шар взять наугад из второго Найдите вероятности того, что он красный или белый.
643971149
В урне 5 красных и 2 зеленых шара.
Из урны случайным образом вынимают шар. Если вытащенный шар зеленый, то в урну добавляется красный шар, а если вытащенный шар красный, то в урну добавляется зеленый шар, первоначальный шар в урну не возвращается. Теперь из него наугад вынимают второй шар. Вероятность того, что второй шар красный, равна 9.0003
645279610
В урне 5 красных и 2 зеленых шара. Из урны случайным образом вынимают шар. Если вытащенный шар зеленый, то в урну добавляется красный шар, а если вытащенный шар красный, то в урну добавляется зеленый шар, первоначальный шар в урну не возвращается. Теперь из него наугад вынимают второй шар. Вероятность того, что второй шар красный, равна
646279327
В одной урне 4 белых и 2 черных шара. Во второй урне 5 белых и 4 черных шара. Два шара перекладываются из первой урны во вторую урну. Затем из второй урны вынимают один шар. Найдите вероятность того, что он белый.
646429686
Есть две урны. В первой урне лежат m белых и n черных шаров, а во второй урне — p белых и q черных шаров.
Из первой урны вынимают один шар и кладут во вторую. Теперь вероятность вытащить из второй урны белый шар равна А. \[\dfrac{{pm + (p + 1)n}}{{(p + q + 1)(m + n)}}\]B. \[\dfrac{{(p + 1)m + pn}}{{(p + q + 1)(m + n)}}\]C. \[\dfrac{{qm + (q + 1)n}}{{(p + q + 1)(m + n)}}\]D. \[\dfrac{{(q + 1)m + qn}}{{(p + q + 1)(m + n)}}\]Дата последнего обновления: 09Th Apr 2023
•
Общее представление: 280,5K
•
Просмотры сегодня: 4,52K
Ответ
Проверено
280,5K+ виды
СМЕРЫ: Сначала рассматривалось о том, что выбранные шары
С. из \[{u_1}\] быть либо белым, либо черным, а затем, положив его в другую урну, посмотреть на вероятность того, какова будет вероятность того, что во вторую урну будет высыпан белый шар, и какова вероятность, если высыпается черный шар во вторую урну, поэтому вычислите вероятность для обоих следующих случаев, а затем добавьте вероятность для обоих случаев, чтобы получить точную вероятность данного.
Вероятность любого события задается как \[P(a) = \dfrac{{благоприятные\,исходы}}{{всего\,возможные\,исходы}}\]
Полный пошаговый ответ:
Дано:
Урна 1: \[{u_1}\]имеет m белых и n черных шаров.
Урна 2: \[{u_2}\]имеет p белых и q черных шаров.
Тогда вероятность выбора белого шара из \[{u_1}\] равна \[ = \dfrac{m}{{m + n}}\], а вероятность выбора черного шара равна \[ = \dfrac{n}{ {m + n}}\]
Аналогично, вероятность выбора белого шара из \[{u_2} = \dfrac{p}{{p + q}}\] и черного шара равна \[ = \dfrac{ q}{{p + q}}\]
Случай-I: Если переданный шар белый, то в \[{u_2}\] всего \[p + 1\]белых шаров и \[ q\] черные шары.
Итак, теперь вероятность выбора белого шара из \[{u_2} = \dfrac{{p + 1}}{{p + q + 1}}\] и черного шара равна \[ = \dfrac{q }{{p + q + 1}}\]
Случай-II: Если переданный шар черный, то в \[{u_2}\]всего \[p\] белых шаров и \[q + 1\] черные шары.
Итак, теперь вероятность выбора белого шара из \[{u_2} = \dfrac{p}{{p + q + 1}}\] и черного шара равна \[ = \dfrac{{q + 1} }{{p + q + 1}}\]
Следовательно, вероятность вытащить белый шар из второй урны равна
\[ = \dfrac{m}{{m + n}} \times \dfrac{{p + 1}}{{P + q + 1}} + \dfrac{n}{{m + n}} \ раз \dfrac{p}{{P + q + 1}}\]
Теперь, упростив выше, мы получаем,
\[ = \dfrac{{m\left( {p + 1} \right) + np} }{{m + n\left( {P + q + 1} \right)}}\]
Следовательно, вариант (B) является нашим правильным ответом.