| 1 | Найти производную — d/dx | бревно натуральное х | |
| 2 | Оценить интеграл | интеграл натурального логарифма x относительно x | |
| 3 | Найти производную — d/dx | 92)||
| 21 | Оценить интеграл | интеграл от 0 до 1 кубического корня из 1+7x относительно x | |
| 22 | Найти производную — d/dx | грех(2x) | |
| 23 | Найти производную — d/dx | 9(3x) по отношению к x||
| 41 | Оценить интеграл | интеграл от cos(2x) относительно x | |
| 42 | Найти производную — d/dx | 1/(корень квадратный из х) | |
| 43 | Оценка интеграла 9бесконечность | ||
| 45 | Найти производную — d/dx | х/2 | |
| 46 | Найти производную — d/dx | -cos(x) | |
| 47 | Найти производную — d/dx | грех(3x) | 92+1|
| 68 | Оценить интеграл | интеграл от sin(x) по x | |
| 69 | Найти производную — d/dx | угловой синус(х) | |
| 70 | Оценить предел | ограничение, когда x приближается к 0 из (sin(x))/x 92 по отношению к х | |
| 85 | Найти производную — d/dx | лог х | |
| 86 | Найти производную — d/dx | арктан(х) | |
| 87 | Найти производную — d/dx | бревно натуральное 5х92 |
Степенное правило интегрирования — формула, вывод, примеры
Чтобы применить степенное правило интегрирования, показатель степени x может быть любым числом (положительным, 0 или отрицательным), отличным от -1.Давайте узнаем, как вывести и применить степенное правило интегрирования, а также множество других примеров.
| 1. | Что такое мощное правило интеграции? |
| 2. | Степенное правило вывода интегрирования |
| 3. | Интегрирование многочленов с использованием степенного правила |
| 4. | Интегрирование отрицательных показателей с использованием степенного правила |
| 5. | Интегрирование радикалов с использованием степенного правила |
| 6. | Применение мощного правила интеграции |
| 7. | Часто задаваемые вопросы о мощном правиле интеграции |
Что такое мощное правило интеграции?
Степенное правило интегрирования используется для интегрирования функций с показателями степени.
Например, с помощью этого правила можно найти интегралы x 2 , x 1/2 , x -2 и т. д. т. е. степенное правило интегрирования может быть применено для:
- Полиномиальные функции (например, x 3 , x 2 и т. д.)
- Радикальные функции (например, √x, ∛x и т. д.), поскольку их можно записать в виде показателей степени
- Некоторые типы рациональных функций, которые можно записать в экспоненциальной форме (например, 1/x 2 , 1/x 3 и т. д.)
Правило степеней гласит:
Чтобы применить это правило, мы просто добавляем «1» к показателю степени и делим результат на тот же показатель степени результата. Наконец, добавьте C к конечному результату (константа интегрирования). Вот несколько примеров этого правила:
- ∫ x 2 dx = x (2+1) /(2+1) + C = x 3 /3 + C
- ∫ x -2 dx = x (-2+1) /(-2+1) + C = -1/x + C
- ∫ √x dx = x (1/2+1) /(1/2+1) + C = x 3/2 /(3/2) + C = (2x 3/2 ) /3 + С
Степенное правило вывода интегрирования
Мы знаем, что интегрирование — это процесс, обратный дифференцированию, и если интеграл функции F(x) равен f(x), то дифференцирование f(x) возвращает F(x).
Итак, чтобы доказать степенное правило интегрирования, мы просто интегрируем результат (x n+1 ) / (n+1) + C и посмотрим, получим ли мы обратно x n .
d/dx ((x n+1 ) / (n+1) + C) = d/dx ((x n+1 ) / (n+1)) + d/dx (C)
= 1/(n+1) d/dx (x n+1 ) + 0 (поскольку производная константы равна 0)
= 1/(n+1) [ (n + 1) x n+1-1 ] (по степенному правилу производных)
= x n ( ∵ (n+1) сократилось)
Таким образом, d/dx ((x n+1 ) / (n+1) + C) = x n и, следовательно, ∫ x n dx = (x n+1 ) / (n+1) + C. Следовательно, доказано.
Интегрирование полиномов с использованием степенного правила
Степенное правило предназначено для интегрирования показателей степени, а полиномиальное включает показатели степени переменной. Следовательно, правило степени применяется для интегрирования полиномиальных функций. В этом процессе нам, возможно, придется применить свойства интегралов (например, ∫ c f(x) dx = c ∫ f(x) dx).
∫ (2x 2 — 3x) dx = ∫ 2x 2 dx — ∫ 3x dx (∵ ∫ (f(x) + g(x)) dx = ∫f(x) dx + ∫ g(x ) дх)
= 2 ∫ x 2 dx — 3 ∫ x 1 dx (∵ ∫ c f(x) dx = c ∫ f(x) dx)
= 2 (x 3 /3) — 3 (x 2 /2) + C (по степенному правилу интегрирования)
= (2x 3 )/3 — (3x 2 )/2 + C
Интегрирование отрицательных показателей с использованием степенного правила
У нас есть свойство отрицательных показателей, которое говорит 1/a м = а -м . Это основное свойство, которое используется для интегрирования обратных функций путем преобразования их в отрицательные показатели. Например, ∫ 1/x 2 dx = ∫ x -2
dx, и, интегрируя это с помощью степенного правила, мы получаем ∫ x -2 dx = (x -2+1 )/(-2 +1) + C = (x -1 )/(-1) + C = -1/x + C.
Вот еще несколько примеров:- ∫ 3x -4 dx = 3 ∫ x — 4 dx = 3 (x -3 /(-3)) + C = -1/x 3 + С
- ∫ (5x -2 )/3 dx = 3 ∫ x -2 dx = (5/3) (x -1 /(-1)) + C = -5/(3x) + C
Примечание: Мы не можем интегрировать ∫ (1/x) dx, используя степенное правило, записав его как ∫ x -1 dx. Потому что, если мы применим для этого правило степени, мы получим x 0 /0 + C. Но x 0 /0 не определено. Таким образом, степенное правило интегрирования нельзя применять только тогда, когда показатель степени равен -1. Обратите внимание, что ∫ (1/x) dx = ln x + C.
Интегрирование радикалов с использованием степенного правила
Радикал имеет форму n √x и может быть записан как x 1/n . Это представление помогает преобразовать радикал в экспоненциальную форму. Таким образом, можно интегрировать радикалы, используя степенное правило интегрирования.
Вот некоторые примеры.
- ∫ √x dx = ∫ x 1/2 dx = (x 3/2 ) / (3/2) + C = (2 x 3/2 ) / 3 + C
- ∫ ∛x dx = ∫ x 1/3 дх = (х 4/3 ) / (4/3) + С = (3 х 4/3 ) / 4 + С
Применение мощного правила интеграции
До сих пор мы понимали, что степенное правило интегрирования полезно всякий раз, когда мы видим экспоненту, и мы можем найти такие интегралы, как ∫ x dx, ∫ x -3 dx, ∫ x 1/2 dx и т. д. используя это правило. Но это правило используется для нахождения интегралов от ненулевых констант, а также интеграла от нуля. Давайте узнаем больше об этом.
- Интеграл от 1 равен x + C. Это потому, что мы знаем, что 1 = x 0 и
∫ 1 dx = ∫ x 0 dx = (x 0+1 )/(0+1) + C = x 1 + C = x + C - Интеграл любой константы по x равен произведению этой константы на x. Но добавьте C в конце.
Например,
∫ 2 dx = 2 ∫ 1 dx = 2 x + C - Интеграл от 0 равен C. Это потому, что
∫ 0 dx = 0 ∫ 1 dx = 0(x) + C = C
Например, Важные замечания по степенному правилу интегрирования:
- Степенное правило интегрирования используется для интегрирования терминов, которые имеют вид «переменная, возведенная в степень».
- По степенному правилу интеграл от x n равен (x n+1 ) / (n+1) + C.
- Степенное правило интегрирования не может быть применено, когда n = -1.
- Мы можем интегрировать многочлены, отрицательные показатели и радикалы, используя степенное правило.
☛ Похожие темы:
- Интегральный калькулятор
- Расчетный калькулятор
- Калькулятор производных
Часто задаваемые вопросы о мощном правиле интеграции
Что такое Формула мощности Правило интегрирования?
Формула для степенного правила интегрирования гласит: ∫ x n dx = (x n+1 ) / (n+1) + C, где
- ‘n’ — любое действительное число, отличное от — 1 (т.
