Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа
Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа
ОглавлениеПРЕДИСЛОВИЕГЛАВА I. § 1. НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ § 2. СЛОЖЕНИЕ И ЗАКОНЫ СЛОЖЕНИЯ § 3.  ВЫЧИТАНИЕ§ 4. УМНОЖЕНИЕ И ЗАКОНЫ УМНОЖЕНИЯ § 6. ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ ЧИСЕЛ § 7. ПОНЯТИЕ МНОЖЕСТВА § 8. ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ § 9. ВЗАИМНО ОДНОЗНАЧНОЕ СООТВЕТСТВИЕ § 10. ПРОСТЫЕ И СОСТАВНЫЕ ЧИСЛА § 11. НАИБОЛЬШИЙ ОБЩИЙ ДЕЛИТЕЛЬ § 12. НАИМЕНЬШЕЕ ОБЩЕЕ КРАТНОЕ Контрольные вопросы ГЛАВА II § 1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДРОБИ § 2. ПРАВИЛЬНЫЕ И НЕПРАВИЛЬНЫЕ ДРОБИ § 3. ОСНОВНОЕ СВОЙСТВО ДРОБИ § 4. СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ ДРОБЕЙ § 5. УМНОЖЕНИЕ ДРОБЕЙ § 6. ДЕЛЕНИЕ ДРОБЕЙ § 7. ДЕСЯТИЧНЫЕ ДРОБИ § 8. ОБРАЩЕНИЕ ДЕСЯТИЧНОЙ ДРОБИ В ОБЫКНОВЕННУЮ И ОБЫКНОВЕННОЙ В ДЕСЯТИЧНУЮ. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ДРОБИ § 9. ОТНОШЕНИЕ. ПРОПОРЦИЯ § 10. СВОЙСТВА ПРОПОРЦИИ § 11. ПРОЦЕНТ. ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ НА ПРОЦЕНТЫ § 12. ДЕЛЕНИЕ ЧИСЛА НА ЧАСТИ, ПРЯМО И ОБРАТНО ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЕ ДАННЫМ ЧИСЛАМ Контрольные вопросы ГЛАВА III § 1. КООРДИНАТНАЯ ПРЯМАЯ § 2. МНОЖЕСТВО ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ § 3. МНОЖЕСТВО РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ § 4. МОДУЛЬ ЧИСЛА § 5.  СРАВНЕНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ§ 6. СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ § 7. УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ § 8. ВОЗВЕДЕНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ В СТЕПЕНЬ С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ Контрольные вопросы ГЛАВА IV § 1. СВОЙСТВА СТЕПЕНИ С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ § 2. ЧИСЛОВЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ § 3. ВЫРАЖЕНИЯ С ПЕРЕМЕННЫМИ § 4. ТОЖДЕСТВЕННО РАВНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ § 5. ОДНОЧЛЕНЫ § 6. МНОГОЧЛЕНЫ § 7. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СУММЫ И РАЗНОСТИ МНОГОЧЛЕНОВ § 8. УМНОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНА НА ОДНОЧЛЕН И МНОГОЧЛЕНА НА МНОГОЧЛЕН § 9. РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНА НА МНОЖИТЕЛИ СПОСОБОМ ВЫНЕСЕНИЯ ОБЩЕГО МНОЖИТЕЛЯ ЗА СКОБКИ § 10. РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНА НА МНОЖИТЕЛИ СПОСОБОМ ГРУППИРОВКИ § 11. ФОРМУЛЫ СОКРАЩЕННОГО УМНОЖЕНИЯ Контрольные вопросы ГЛАВА V § 1. ДРОБЬ § 2. ЦЕЛЫЕ И ДРОБНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ § 3. ТОЖДЕСТВЕННОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СУММЫ И РАЗНОСТИ ДВУХ ДРОБЕЙ § 5. СТЕПЕНЬ ДРОБИ Контрольные вопросы ГЛАВА VI § 1.  ПОНЯТИЕ ОБ ИРРАЦИОНАЛЬНОМ ЧИСЛЕ§ 2. РАЗВИТИЕ ПОНЯТИЯ О ЧИСЛЕ. МНОЖЕСТВО ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ § 3. КОРЕНЬ СТЕПЕНИ ИЗ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ЧИСЛА § 4. АЛГОРИТМ ИЗВЛЕЧЕНИЯ КВАДРАТНОГО КОРНЯ ИЗ ЧИСЛА § 5. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ДЕЙСТВИЯ С ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫМИ ЧИСЛАМИ § 6. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ АРИФМЕТИЧЕСКИХ КОРНЕЙ § 7. СТЕПЕНЬ С ЦЕЛЫМ И ДРОБНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ Контрольные вопросы ГЛАВА VII § 1. УРАВНЕНИЯ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ § 2. ПОНЯТИЕ О РАВНОСИЛЬНОСТИ УРАВНЕНИЙ § 3. СВОЙСТВА ЧИСЛОВЫХ РАВЕНСТВ И ТЕОРЕМЫ О РАВНОСИЛЬНОСТИ УРАВНЕНИЙ § 4. ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ, СОДЕРЖАЩЕЕ ПАРАМЕТР Контрольные вопросы ГЛАВА VIII § 1. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ § 2. СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ФУНКЦИИ § 3. МОНОТОННОСТЬ ФУНКЦИИ § 4. ЧЕТНЫЕ И НЕЧЕТНЫЕ ФУНКЦИИ СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ § 5. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ § 6. ПРОМЕЖУТКИ ЗНАКОПОСТОЯНСТВА И КОРНИ ФУНКЦИИ Контрольные вопросы ГЛАВА IX § 1. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ § 2. ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ И ЕЕ ГРАФИК § 3.  КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ И ЕЕ ГРАФИК§ 4. ФУНКЦИЯ y=k/x И ЕЕ ГРАФИК § 5. ДРОБНО-ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ И ЕЕ ГРАФИК Контрольные вопросы ГЛАВА X § 1. КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ § 2. ТЕОРЕМА ВИЕТА § 3. ГРАФИЧЕСКИЙ СПОСОБ РЕШЕНИЯ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ § 4. УРАВНЕНИЕ СО МНОГИМИ ПЕРЕМЕННЫМИ § 5. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ Контрольные вопросы ГЛАВА XI § 1. НЕРАВЕНСТВА § 2. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА НЕРАВЕНСТВ § 3. ДЕЙСТВИЯ С НЕРАВЕНСТВАМИ § 4. ДОКАЗАТЕЛЬСТВА НЕРАВЕНСТВ § 5. НЕРАВЕНСТВА, СОДЕРЖАЩИЕ ПЕРЕМЕННУЮ § 6. РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ И КВАДРАТНЫХ НЕРАВЕНСТВ Контрольные вопросы § 1. СИСТЕМЫ И СОВОКУПНОСТИ НЕРАВЕНСТВ § 2. НЕРАВЕНСТВА И СИСТЕМЫ НЕРАВЕНСТВ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ § 3. РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ, СОДЕРЖАЩИХ ПЕРЕМЕННУЮ ПОД ЗНАКОМ МОДУЛЯ § 4. РЕШЕНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ НЕРАВЕНСТВ МЕТОДОМ ПРОМЕЖУТКОВ Контрольные вопросы ГЛАВА XIII § 1. ЧИСЛОВАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ § 2. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ § 3. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ § 4.  СУММА БЕСКОНЕЧНОЙ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИИ ПРИ |q|Контрольные вопросыГЛАВА XIV § 1. ГРАДУСНОЕ ИЗМЕРЕНИЕ УГЛОВЫХ ВЕЛИЧИН § 2. РАДИАННОЕ ИЗМЕРЕНИЕ УГЛОВЫХ ВЕЛИЧИН § 3. СИНУС И КОСИНУС ЧИСЛОВОГО АРГУМЕНТА § 4. ТАНГЕНС И КОТАНГЕНС ЧИСЛОВОГО АРГУМЕНТА. СЕКАНС И КОСЕКАНС ЧИСЛА а § 5. ОСНОВНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ТОЖДЕСТВА § 6. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ Контрольные вопросы ГЛАВА XV § 1. ФОРМУЛЫ ПРИВЕДЕНИЯ § 2. ФОРМУЛЫ СЛОЖЕНИЯ § 3. ФОРМУЛЫ ДВОЙНОГО УГЛА СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ § 4. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В СУММУ § 5. ФОРМУЛЫ СУММЫ И РАЗНОСТИ ОДНОИМЕННЫХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ § 6. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ПОЛОВИННОГО АРГУМЕНТА § 7. ВЫРАЖЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ЧЕРЕЗ ТАНГЕНС ПОЛОВИННОГО АРГУМЕНТА Контрольные вопросы ГЛАВА XVI § 1. СВОЙСТВА ФУНКЦИИ y = sin(x) И ЕЕ ГРАФИК § 2. СВОЙСТВА ФУНКЦИ И у = cos(x) И ЕЕ ГРАФИК § 3. СВОЙСТВА ФУНКЦИ И у=tg(x) И ЕЕ ГРАФИК § 4.  СВОЙСТВА ФУНКЦИ И y=ctg(x) И ЕЕ ГРАФИК§ 5. НАХОЖДЕНИЕ ПЕРИОДОВ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ Контрольные вопросы ГЛАВА XVII § 1. АРКСИНУС И АРККОСИНУС § 2. АРКТАНГЕНС И АРККОТАНГЕНС Контрольные вопросы ГЛАВА XVIII § 1. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ВИДА cos(x)=а § 2. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ВИДА sin(x)=a § 3. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ВИДА tg(х)=а § 5. РЕШЕНИЕ ОДНОРОДНЫХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ § 6. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ, РЕШАЕМЫЕ С ПОМОЩЬЮ ФОРМУЛ СЛОЖЕНИЯ, ПОНИЖЕНИЯ СТЕПЕНИ § 7. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Контрольные вопросы ГЛАВА XIX § 1. РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ ВИДА sin(х) > а, sin(х) § 2. РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ ВИДА cos(x) > a, cos(x) § 3. РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ ВИДА tg(х) > a, tg(х) § 4. РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ ГЛАВА XX § 1. ПРИРАЩЕНИЕ АРГУМЕНТА И ПРИРАЩЕНИЕ ФУНКЦИИ § 2.  ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ§ 3. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ § 4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ § 5. ПРОИЗВОДНАЯ СУММЫ, ПРОИЗВЕДЕНИЯ, ЧАСТНОГО § 6. ПРОИЗВОДНАЯ СТЕПЕННОЙ И СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ § 7. ПРОИЗВОДНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ Контрольные вопросы ГЛАВА XXI § 1. ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ К НАХОЖДЕНИЮ ПРОМЕЖУТКОВ МОНОТОННОСТИ ФУНКЦИИ § 2. КРИТИЧЕСКИЕ ТОЧКИ ФУНКЦИИ, ЕЕ МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ § 3. ОБЩАЯ СХЕМА ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИИ § 4. ЗАДАЧИ НА НАХОЖДЕНИЕ НАИМЕНЬШЕГО И НАИБОЛЬШЕГО ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ Контрольные вопросы ГЛАВА XXII § 1. ФОРМУЛЫ ПРИБЛИЖЕННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ § 2. КАСАТЕЛЬНАЯ К ГРАФИКУ ФУНКЦИИ § 3. СКОРОСТЬ И УСКОРЕНИЕ В ДАННЫЙ МОМЕНТ ВРЕМЕНИ § 4. ГРАФИКИ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ Контрольные вопросы ГЛАВА XXIII § 1. ПОТЕРЯННЫЕ И ПОСТОРОННИЕ КОРНИ ПРИ РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЙ (НА ПРИМЕРАХ) § 2. ПОСТОРОННИЕ КОРНИ ИРРАЦИОНАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ (НА ПРИМЕРАХ) § 3. РЕШЕНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ § 4. РЕШЕНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ НЕРАВЕНСТВ СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ Контрольные вопросы ГЛАВА XXIV § 1.  ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ, ЕЕ СВОЙСТВА И ГРАФИК§ 3. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА § 4. СИСТЕМЫ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ Контрольные вопросы ГЛАВА XXV § 1. ОБРАТНАЯ ФУНКЦИЯ § 2. ПОНЯТИЕ ЛОГАРИФМА § 3. СВОЙСТВА ЛОГАРИФМОВ § 4. ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ, ЕЕ СВОЙСТВА И ГРАФИК § 5. ТЕОРЕМЫ О ЛОГАРИФМЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ, ЧАСТНОГО И СТЕПЕНИ. ФОРМУЛА ПЕРЕХОДА К НОВОМУ ОСНОВАНИЮ § 6. ДЕСЯТИЧНЫЕ ЛОГАРИФМЫ И ИХ СВОЙСТВА § 7. ЛОГАРИФМИРОВАНИЕ И ПОТЕНЦИРОВАНИЕ Контрольные вопросы ГЛАВА XXVI § 1. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ § 2. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА § 3. СИСТЕМЫ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ § 4. ПРОИЗВОДНЫЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ И ПОКАЗАТЕЛЬНОЙ ФУНКЦИЙ. ЧИСЛО e Контрольные вопросы ГЛАВА XXVII § 1. ПОНЯТИЕ ПЕРВООБРАЗНОЙ ФУНКЦИИ § 2. ОСНОВНОЕ СВОЙСТВО ПЕРВООБРАЗНОЙ ФУНКЦИИ § 3. ТРИ ПРАВИЛА НАХОЖДЕНИЯ ПЕРВООБРАЗНЫХ § 4. КРИВОЛИНЕЙНАЯ ТРАПЕЦИЯ И ЕЕ ПЛОЩАДЬ Контрольные вопросы ГЛАВА XXVIII § 1.  ФОРМУЛА НЬЮТОНА—ЛЕЙБНИЦА§ 2. ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА ИНТЕГРИРОВАНИЯ § 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ С ПОМОЩЬЮ ИНТЕГРАЛА § 4. МЕХАНИЧЕСКИЕ И ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА ПРИЛОЖЕНИЕ Введение 1. Задачи на движение 2. Задачи на совместную работу 3. Задачи на планирование 4. Задачи на зависимость между компонентами арифметических действий 5. Задачи на проценты 6. Задачи на смеси (сплавы) 7. Задачи на разбавление |
Задача на нахождение корней тригонометрического уравнения — «Шпаргалка ЕГЭ»
Решите уравнение: .
Решение задачи
Данный урок показывает, как правильно решить тригонометрическое уравнение, представленное в виде дроби, у которой числитель представлен квадратным тригонометрическим выражением, а знаменатель – иррациональной тригонометрической функцией. Для решения подобного необходимо представить решение в виде системы, в которой первое выражение – это числитель дроби приравненный к нулю, а второе выражение – неравенство, полученное из условия положительности подкоренного выражения.
Исключив лишние корни, получаем итоговый ответ.Решение данной задачи рекомендовано для учащихся 10-х классов при изучении тем «Тригонометрические функции» («Синус и косинус»), «Тригонометрические уравнения» («Арккосинус», «Арккосинус и решение уравнения cost=a», «Арксинус», «Арксинус и решение уравнения sint=a»). При подготовке к ЕГЭ урок рекомендован при повторении тем «Тригонометрические функции», «Тригонометрические уравнения».
Рекомендуем
Отзывы учеников
- Светлана Иванова
К ЕГЭ по математике я готовилась сама, без репетитора. Ничего сверхъестественного я не делала: зубрила формулы и решала задачи на сайте ШпаргалкаЕГЭ.
Вообще к части В я готовилась в основном в конце 10-го класса, в 11-ом я занималась только частью С. Мой результат — 75 баллов.
- Влад Долгорукий
Большое спасибо! Сервис нереально помог.
К ЕГЭ готовился с репетитором. На занятиях использовали сайт для закрепления навыков решения различных типов задач, особенно части С. Всем рекомендую Генератор Вариантов. - Александр Шпик
Hello People. Я продвигаю свою идеологию «Втопку книжки». Зайди в ВК или на сайт ShpargalkaEGE смотри ролики по задачам. Все, что не знаешь, включая самые мелочи конспектируй и учи. Не ленись закреплять результат. Мои баллы ЕГЭ — 82.
К ЕГЭ готовился с репетитором. На занятиях использовали сайт для закрепления навыков решения различных типов задач, особенно части С. Всем рекомендую Генератор Вариантов.О решении тригонометрических уравнений | Crystal Clear Mathematics
Все уравнения решаются с использованием обратных функций. То есть мы «отменяем» операции над переменной, чтобы в конечном итоге найти значение этой переменной.
Например, когда мы решаем 2x + 3 = 15, мы сначала вычитаем 3 из обеих частей уравнения. Это потому, что -3 является операцией, обратной +3, и это позволяет нам удалить + 3 из левой части уравнения.
Теперь у нас есть 2x = 12. Теперь обратите внимание, что 2x означает, что x умножается на два. Операция, обратная умножению на два, — это деление на два (÷2 или /2), поэтому мы делим обе части уравнения на два и получаем наше «решение» x = 6!
Аналогичным образом, когда нам нужно решить, например, sin(x) = 0,5, нам нужна некоторая функция или операция, чтобы «удалить синусоидальную функцию из x» в левой части уравнения. Математики придумали такую функцию и назвали ее функцией «обратный синус». Она может быть записана как sin‾¹ (или arcsin в США) и называется функцией «обратный синус». Поэтому наше решение должно выглядеть примерно так, как показано на изображении выше.
По мере усложнения уравнений появляется больше «трюков», но принцип, который я показал вам здесь, лежит в их основе.
Как решить тригонометрическое уравнение ~ Пример №1 ~ tany — 2 = coty
Один из моих подписчиков YouTube предложил мне решить два тригонометрических уравнения.
Это первое из них:
tany — 2 = coty, где 0° ≤ y ≤ 180°
Если вы посмотрите это видео, вы обнаружите:
- ключевые вещи, которые нужно искать в таком уравнении,
- как решить его в квадратное уравнение,
- как проверить характер корней/нулей
- как найти корни/нули,
- как использовать единичный круг для нахождения соответствующих углов и
- как идентифицировать углы в ограниченной области.
Видео немного длиннее, чем могло бы быть, потому что я объясняю каждый шаг, не пропуская слишком много деталей. Если у вас есть трудности с решением уравнений этого типа, вы должны получить здесь некоторые полезные навыки.
Как решить тригонометрическое уравнение ~ Пример №2 ~ 2sin(x + π/3) = -1
Это второе из двух тригонометрических уравнений, которые один из моих подписчиков на YouTube попросил меня решить.
Уравнение, о котором идет речь:
2.sin(x + π/3) = -1, где 0 ≤ x ≤ 2π
Если вы посмотрите это видео, вы обнаружите:
- ключевых моментов, которые нужно искать в таком уравнении
- как упростить уравнение,
- как использовать треугольники и единичный круг для определения углов, и
- как идентифицировать углы в ограниченной области.
Благодаря подходу Грэма к объяснению математических формул моим детям было легко их понять. У Грэма было несколько методов, с помощью которых он мог объяснить каждую задачу, давая ученикам четкое представление о том, как подходить к каждой области математики. Мои ученики ушли с уверенностью в том, когда и как применять каждую формулу для решения математических задач.
Сара Г. (родитель, 2011 г.)
Просмотреть все отзывы
Линейные тригонометрические уравнения
На предыдущей странице мы видели линейные однородные тригонометрические уравнения вида
\[а\sin x + b\cos x = 0.
\]
Теперь рассмотрим линейные неоднородные тригонометрические уравнения относительно синуса и косинуса. Они пишутся как
\[а\sin x + b\cos x = c\]
, где \(a, b, c \ne 0.\)
Такие уравнения можно решить несколькими способами. Здесь мы будем иметь дело с двумя методами — методом \(R\) и подстановкой касательного половинного угла.
92\разрыв{х}{2}}\]Такая замена ограничивает область определения уравнения:
\[\cos \frac{x}{2} \ne 0, \Rightarrow \frac{x}{2} \ne \frac{\pi }{2} + \pi n, \Rightarrow x \ne \pi + 2\pi n,\,n \in \mathbb{Z}.\]
Однако исходное линейное уравнение определено для всех действительных углов \(x \in \mathbb{R}.\) Таким образом, вы всегда должны проверять, является ли \(x = \pi + 2\pi n \) решением к уравнению.
С заменой тангенса половинного угла линейное уравнение синуса и косинуса может быть преобразовано в рациональное выражение, включающее только функцию тангенса половины угла.
Решенные проблемы
Щелкните или коснитесь проблемы, чтобы увидеть решение.
Пример 1
Решить тригонометрическое уравнение
\[\sin x + \sqrt 3 \cos x = \sqrt 2 .\]
Пример 2
Решить тригонометрическое уравнение x = 1.\]
Пример 3
Решить уравнение
\[2\sin x + 5\cos x = 8.\]
Пример 4
Решить уравнение
\[3\sin 2x + 2\cos 2x = 3.\]
Пример 5
Решить уравнение
\[4\sin 3x + \frac{1}{3}\cos 3x = 3.\]
Пример 6
Найти все решения уравнения в интервале \ (\left[ {0,2\pi } \right):\)
\[\sqrt 3 \sin \frac{x}{2} — \cos \frac{x}{2} = 1.\]
Пример 1.
Решить тригонометрическое уравнение
\[\sin x + \sqrt 3 \cos x = \sqrt 2 .\]
Раствор.
Решим это уравнение методом \(R-\). Легко видеть, что \(a = 1,\) \(b = \sqrt{3}.\) Вычислить число \(R\) и угол \(\varphi:\) 92}} = 2;\]
\[\varphi = \arctan \frac{b}{a} = \arctan \sqrt 3 = \frac{\pi }{3}.\]
Тогда левая часть \(\left( {LHS} \right)\) уравнения может быть записана как
\[LHS = \sin x + \sqrt 3 \cos x = 2\sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right).
n} \ frac {\ pi} {4} — \ frac {\ pi} {3} + \ pi n ,\,n \in \mathbb{Z}.\] 92} — 2t = 0, \Rightarrow 2t\left( {t — 1} \right) = 0, \Rightarrow {t_{1,2}} = 0,1.\]
Когда \(t_1 = 0,\) мы имеем
\[\tan \frac{x}{2} = {t_1} = 0, \Rightarrow \frac{x}{2} = \pi n, \Rightarrow {x_2} = 2\pi n,\,n \ в \mathbb{Z}.\]
Когда \(t_2 = 1,\) решение дается как
\[\tan \frac{x}{2} = {t_2} = 1, \Rightarrow \frac{x}{2} = \frac{\pi }{4} + \pi k, \Rightarrow {x_2} = \frac{\pi }{2} + 2\pi k,\,k \in \mathbb{Z}.\]
Таким образом, полный ответ равен 9.0003
\[{x_1} = 2\pi n,\;{x_2} = \frac{\pi }{2} + 2\pi k,\;n,k \in \mathbb{Z}.\]
Пример 3.
Решить уравнение
\[2\sin x + 5\cos x = 8.\]
Раствор.
Поскольку синус и косинус не могут быть больше \(1,\), левая часть уравнения не может быть больше \(7.\) Следовательно,
\[LHS = 2\sin x + 5\cos x \lt 8 = RHS.\]
Следовательно, уравнение не имеет решения: \(x \in \varnothing.
2} — 6t + 1 = 0.\] 92}, \Rightarrow {t_{1,2}} = \frac{{6 \pm 4}}{{10}} = \frac{1}{5},1.\]
Таким образом, здесь возможны два случая:
\[\tan x = {t_1} = \frac{1}{5}, \Rightarrow {x_1} = \arctan \frac{1}{5} + \pi n,\,n \in \mathbb{Z };\]
\[\tan x = {t_2} = 1, \Rightarrow {x_2} = \frac{\pi }{4} + \pi k,\,k \in \mathbb{Z}.\]
Ответ дан
\[{x_1} = \arctan \frac{1}{5} + \pi n,\;{x_2} = \frac{\pi }{4} + \pi k,\;n,k \in \ mathbb{Z}.\]
Пример 5.
Решить уравнение
\[4\sin 3x + \frac{1}{3}\cos 3x = 3.\]
Раствор.
Решим это уравнение, используя замену касательной на половинный угол. При такой замене мы можем потерять рут
\[3x = \pi + 2\pi n, \Rightarrow x = \frac{\pi }{3} + \frac{{2\pi n}}{3}.\]
Следовательно, мы должны проверить, что эти точки не являются решениями:
\[LHS = 4\sin \left[ {3\left( {\ frac {\pi} {3} + \frac{{2\pi n}}{3}} \right)} \right] + \ frac {1} {3} \ cos \ left [ {3 \ left ( {\ frac {\ pi} {3} + \ frac {{2 \ pi n}} {3}} \ right)} \ right] = 3\sin\left( {\pi + 2\pi n} \right) + \frac{1}{3}\cos \left({\pi + 2\pi n} \right) = 0 — \frac{ 1}{3} = — \frac{1}{3} \ne RHS = 3.
\] 92} — 12t + 4 = 0.\]
Корни квадратного уравнения равны \({t_{1,2}} = \frac{2}{5},2.\) Таким образом, у нас есть два возможных решения:
\[\tan \frac{{3x}}{2} = {t_1} = \frac{2}{5}, \Rightarrow \frac{{3x}}{2} = \arctan \frac{2}{ 5} + \pi n, \Rightarrow {x_1} = \frac{2}{3}\arctan \frac{2}{5} + \frac{{2\pi n}}{3},\,n \ в \mathbb{Z};\]
\[\tan \frac{{3x}}{2} = {t_2} = 2, \Rightarrow \frac{{3x}}{2} = \arctan 2 + \pi k, \Rightarrow {x_2} = \ frac{2}{3}\arctan 2 + \frac{{2\pi k}}{3},\;k \in \mathbb{Z}.\]
Полный ответ:
\[{x_1} = \frac{2}{3}\arctan \frac{2}{5} + \frac{{2\pi n}}{3},\;{x_2} = \frac{2 }{3}\arctan 2 + \frac{{2\pi k}}{3},\;n,k \in \mathbb{Z}.\]
Пример 6.
Найти все решения уравнения в интервале \(\left[ {0,2\pi } \right):\)
\[\sqrt 3 \sin \frac{x}{2} — \cos \frac{x}{2} = 1.\]
Раствор.
Мы будем использовать формулу \(R-\):
\[a\sin x — b\cos x = R\sin \left( {x — \varphi } \right).