Интеграл функции: простыми словами об интегрировании функций / Skillbox Media

alexxlab / / Разное

1.6. Примеры интегралов, не выражающихся через элементарные функции

  1. Интеграл вида :

      1. Р(х) – многочлен третей или четвёртой степени без кратных

корней, такой многочлен называется эллиптическим:

    • –эллиптический интеграл 1 рода;

    • –эллиптический интеграл 2 рода;

    • –эллиптический интеграл 3 рода.

    (0 < k < 1, h – комплексное число)

        1. Р(х) – многочлен степени выше четвертой, то интеграл называется ультраэллиптическим.

        2. Р(х) – многочлен выражаемый через элементарные функции называется псевдоэллиптическим.

    1. — интеграл Пуассона2.

    2. — интегралы Френеля3.

    3. — интегральный логарифм.

    4. — интегральная показательная функция.

    5. — интегральный синус.

    1.7. Задания для самопроверки №1

    Вычислить:

    1. Ответ:

    2. Ответ:

    3. Ответ:

    4. Ответ:

    5. Ответ:

    6. Ответ:

    7. Ответ:

    8. Ответ:

    9. Ответ:

    10. Ответ:

    11. Ответ:

    12. Ответ:

    13. Ответ:

    14. Ответ:

    15. Ответ:

    16. Ответ:

    17. Ответ:

    18. Ответ:

    19. Ответ:

    20. Ответ:

    21. Ответ:

    22. Ответ:

    23. Ответ:

    24. Ответ:

    25. Используя метод интегрирования по частям, доказать, что:

    а) ;

    b) ;

    c) .

    §2. Определенный интеграл

    2.1. Основные понятия и методы решения определенного интеграла

    Пусть на отрезке [a, b] задана непрерывная функция f(x) [см. § 1]. Разобьём отрезок [a, b] произвольным образом на п частей точками . На каждом отрезкедлинывыберем произвольную точку. Составим сумму, называемуюинтегральной суммой

    для функции f(x) на отрезке [a, b].

    Определённым интегралом от функции f(x) на отрезке [a, b] называется число равное пределу интегральных сумм при стремлении к нулю

    максимальной из длин отрезков разбиения:, этот предел конечен и не зависит от способов разбиения отрезка [a, b] на части и выбора точек , на отрезках.

    Определённый интеграл обозначается символом , где а называется нижним пределом, b называется верхним пределом, х называется переменной интегрирования, f(x) называется подынтегральной функцией, f(x)dx называется подынтегральным выражением, [a, b] – отрезок интегрирования.

    Пусть на отрезке [a, b] задана непрерывная функция . Фигура, ограниченная сверху графиком функции, снизу – осьюOx

    , сбоку прямыми x=a и x=b, называется криволинейной трапецией.

    Геометрический смысл определённого интеграла: определённый интеграл равен площади «криволинейной трапеции» ограниченной функцией , осью ОY, и прямыми х=а и у=b.

    Теорема. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то определённый интеграл существует.

    Отметим, что если оставить постоянным нижний предел интегрирования а, а верхний х изменить так, что бы , то величина интеграла будет изменяться. Интеграл:, называетсяопределённым интегралом с переменным верхним пределом и является функцией верхнего предела х.

    Теорема (Связь между неопределённым интегралом и определённым интегралами). Всякая непрерывная на отрезке [a, b] функция имеет первообразную, равную интегралу, и тогда согласно определению неопределённого интеграла имеет место равенство.

    Теорема (Ньютона – Лейбница). Если функция F(x) – какая- либо первообразная от непрерывной функции f(x), то – это выражение известно под названием формулы Ньютона – Лейбница4.

    Основные свойства определенного интеграла:

    1. .

    2. .

    3. .

    4. Если f(x)(x) на отрезке [a, b] a < b, то.

    5. Если m и M – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f(x) на отрезке [a, b], то: .

    6. Теорема о среднем. Если функция f

      (x) непрерывна на отрезке [a, b], то на этом отрезке существует точка  такая, что .

    7. Для произвольных чисел a, b, c справедливо равенство: , где равенство выполняется, если существует каждый из входящих в него интегралов.

    8. .

    Методы интегрирования определенного интеграла:

    Открытое образование — Математический анализ. Интегрирование и функции многих переменных

    Select the required university:

    ———

    Закрыть

    • About
    • Format
    • Requirements
    • Course program
    • Education results
    • Education directions

    About

    Курс ориентирован на бакалавров и магистров, специализирующихся по математическим, экономическим или естественнонаучным дисциплинам, а также на учителей математики средних школ и на преподавателей вузов. Может быть также полезен школьникам, углубленно занимающимся математикой.

    Построение курса традиционно. Курс охватывает классический материал по математическому анализу, изучающийся на первом курсе университета во втором семестре. Будут представлены разделы «Неопределенный интеграл и методы его вычисления», «Определенный интеграл», «Приложения определенного интеграла», «Предел и непрерывность функции многих переменных», «Дифференцируемость функции многих переменных».  Мы познакомимся с понятием интегрирования как операции, обратной к дифференцированию, изучим основные методы интегрирования и классы функций, интегрируемых стандартными методами. Затем мы рассмотрим определенный интеграл Римана как предел интегральных сумм, изучим основные свойства определенного интеграла. С помощью основной теоремы интегрального исчисления установим связь между определенным и неопределенным интегралом. Далее мы познакомимся с обобщением определенного интеграла – несобственным интегралом. В качестве приложения интеграла Римана рассмотрим задачи вычисления длины дуги кривой, площади плоской области, объема тела. В завершение первой части изучим некоторые методы приближенного вычисления определенного интеграла.

    Во второй части курса мы дадим определение многомерного вещественного пространства и действующей на нем функции многих переменных. Изучим понятия предела и непрерывности функции многих переменных, рассмотрим основные свойства непрерывных функций. Затем перейдем к понятию дифференцируемости функции многих переменных, докажем различные теоремы о свойствах дифференцируемых функций и познакомимся с такими приложениями дифференцируемости функций многих переменных как решение систем функциональных уравнений, задача о функциональной зависимости и поиск экстремумов (безусловных и условных) функций многих переменных.

    Format

    Форма обучения заочная (дистанционная)

    Еженедельные занятия будут включать просмотр тематических видео-лекций и выполнение тестовых заданий с автоматизированной проверкой результатов.

    Важным элементом изучения дисциплины является самостоятельное решение вычислительных задач и задач на доказательство. Решение должно будет содержать строгие и логически верные рассуждения, приводящие к верному ответу (в случае задачи на вычисление) или полностью доказывающие необходимое утверждение (для теоретических задач).

    Requirements

    Курс рассчитан на бакалавров 1-2 года обучения. Является продолжением курса «Математический анализ. Теория функций одной переменной».

    Требуется знание элементарной математики в объеме средней школы (11 классов) и знакомство с курсом математического анализа, читаемого в университетах в 1 семестре.

    Course program

    Лекция 1. Неопределенный интеграл. Основные понятия.
    Лекция 2. Интегрирование рациональных дробей.
    Лекция 3. Интегрирование различных типов функций.
    Лекция 4. Определенный интеграл. Основные понятия.
    Лекция 5. Классы интегрируемых функций. Свойства определенного интеграла.
    Лекция 6. Формула Ньютона-Лейбница. теоремы о среднем.
    Лекция 7. Несобственный интеграл.
    Лекция 8. Геометрические приложения определенного интеграла. Длина кривой и площадь области. 
    Лекция 9. Геометрические приложения определенного интеграла. Объем тела и площадь поверхности вращения.
    Лекция 10. Приближенные методы вычисления определенного интеграла.
    Лекция 11. Понятие функции многих переменных.
    Лекция 12. Непрерывность функции многих переменных. 
    Лекция 13. Дифференцирование функции многих переменных.
    Лекция 14. Производная по направлению и градиент. Производные и дифференциалы высших порядков.
    Лекция 15. Формула Тейлора для функции многих переменных. Экстремум функции многих переменных.
    Лекция 16. Функции, заданные неявно. Система функциональных уравнений.
    Лекция 17. Взаимно однозначные отображения. Задача о функциональной зависимости.
    Лекция 18.  Условный экстремум функции многих переменных.

    Education results

    В результате освоения курса слушатель получит представление о фундаментальных понятиях математического анализа – интеграле и функции многих переменных, познакомится с методами вычисления определенного и неопределенного интеграла и научится применять эти методы при решении прикладных задач, а также изучит свойства функций многих переменных и способы решения задач, связанных с такими функциями.

    Education directions

    01.00.00 Математика и механика
    01.03.01 Математика

    Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова

    Садовничая Инна Викторовна

    Доктор физико-математических наук, доцент МГУ имени М.В.Ломоносова
    Position: доцент кафедры общей математики факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ имени М.В.Ломоносова

    Certificate

    A participant certificate is usually issued upon reaching 60 % of the overall rating, subject to the delivery of works before a hard deadline. The honors certificate is usually issued upon reaching 90 % of the overall rating, subject to the delivery of the work before the soft deadline.

    Similar courses

    15 February 2021 — 31 December 2023 г.

    Базы данных

    СПбГУ

    15 February 2021 — 31 December 2023 г.

    Всеобщая история. Часть 1

    СПбГУ

    15 February 2021 — 31 December 2023 г.

    История России

    СПбГУ

    К сожалению, мы не гарантируем корректную работу сайта в вашем браузере. Рекомендуем заменить его на один из предложенных.

    Также советуем ознакомиться с полным списком рекомендаций.

    Google Chrome

    Mozilla Firefox

    Apple Safari

    0,25, абс.доп = отн.доп, stop.on.error = TRUE, keep.xy = FALSE, aux = NULL)

    Аргументы

    f

    функция R, принимающая числовой первый аргумент и возвращающая числовой вектор той же длины. Возврат не конечного элемента будет генерировать ошибку.

    нижний, верхний

    пределы интегрирования. Может быть бесконечным.

    …

    дополнительные аргументы для передачи в f .

    подразделения

    максимальное количество подынтервалов.

    rel.tol

    Запрошена относительная точность.

    абс. доп.

    требуется абсолютная точность.

    стоп.при.ошибке

    логический. Если true (по умолчанию), ошибка останавливает функция. Если false, некоторые ошибки дадут результат с предупреждением в компонент сообщения .

    keep.xy

    не используется. Для совместимости с S.

    aux

    не используется. Для совместимости с S.

    Значение

    Список класса "интегрировать" с компонентами

    значение

    окончательная оценка интеграла.

    абс.ошибка

    оценка модуля абсолютной ошибки.

    подразделений

    количество подынтервалов, произведенных в процесс подразделения.

    сообщение

    "ОК" или строка символов, содержащая сообщение об ошибке.

    звоните

    совпадающий вызов.

    Подробности

    Обратите внимание, что аргументы после … должны точно совпадать.

    Если один или оба предела бесконечны, бесконечный диапазон отображается на конечный интервал.

    Для конечного интервала используется глобально адаптивное подразделение интервала в связи с экстраполяцией по алгоритму Wynn’s Epsilon, с базовым шагом является квадратура Гаусса-Кронрода.

    rel.tol

    не может быть меньше max(50*.Machine$double.eps, 0,5е-28) , если абс.доп <= 0 .

    В версиях R \(\le\) 3.2.x первые записи нижний и верхний использовались, тогда как сигнализировалась ошибка теперь, если они не длины один.

    Ссылки

    Р. Писсенс, Э. де Донкер--Капенга, К. Уберхубер, Д. Каханер (1983) Quadpack: пакет подпрограмм для автоматической интеграции ; Спрингер Верлаг.

    Примеры

    Запустить этот код

     # NOT RUN {
интегрировать (dnorm, -1,96, 1.96)
интегрировать (dnorm, -Inf, Inf)
## медленно сходящийся интеграл
подынтегральное выражение <- function(x) {1/((x+1)*sqrt(x))}
интегрировать (подынтегральное выражение, нижнее = 0, верхнее = Inf)
## не делайте этого, если вам действительно нужен интеграл от 0 до Inf
интегрировать(подынтегральная функция, нижняя = 0, верхняя = 10)
интегрировать(подынтегральная функция, нижняя = 0, верхняя = 100000)
интегрировать (подынтегральное выражение, нижнее = 0, верхнее = 1000000, стоп.при ошибке = ЛОЖЬ)
## некоторые функции неправильно обрабатывают векторный ввод
f <- функция (x) 2.0
попробовать (интегрировать (f, 0, 1))
интегрировать (векторизировать (f), 0, 1) ## правильно
интегрировать (функция (x) rep (2.0, длина (x)), 0, 1) ## правильно
## интеграция может завершиться ошибкой при неправильном использовании
интегрировать (dnorm, 0, 2)
интегрировать(dnorm, 0, 20)
интегрировать(dnorm, 0, 200)
интегрировать(dnorm, 0, 2000)
интегрировать(dnorm, 0, 20000) ## не работает на многих системах
интегрировать(dnorm, 0, Inf) ## работает
# }
# НЕ РАБОТАТЬ {
интегрировать(dnorm, 0:1, 20) #->
     
     ошибка!
## "тихо" давала интеграцию(dnorm, 0, 20) в более ранних версиях R
# }

    Запустите приведенный выше код в браузере с помощью DataCamp Workspace

    Интегральная функция Определение и значение

    • Основные определения
    • Викторина
    • Примеры

    Показывает уровень оценки в зависимости от сложности слова.

    Сохрани это слово!

    Показывает уровень сложности слова.

    существительное Математика (преимущественно британская).

    целая функция.

    ВИКТОРИНА

    ВЫ ПРОЙДЕТЕ ЭТИ ГРАММАТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ ИЛИ НАТЯНУТСЯ?

    Плавно переходите к этим распространенным грамматическим ошибкам, которые ставят многих людей в тупик. Удачи!

    Вопрос 1 из 7

    Заполните пропуск: Я не могу понять, что _____ подарил мне этот подарок.

    Происхождение интегральной функции

    Впервые записано в 1810–20 гг.0005

    Dictionary.com Полный текст На основе Random House Unabridged Dictionary, © Random House, Inc. 2023

    Как использовать целочисленную функцию в предложении

    • Но медь выполняет еще одну важную функцию: работает как катализатор в процессе дистилляции.

      Когда дело доходит до хорошего виски, размер вашего виски по-прежнему имеет значение||9 декабря 2014|DAILY BEAST

    • iPad стал еще большим хитом, тем более, что он имел новую функцию, которая позволяла ему играть в рисунок назад.

      Множество жизней художника Дэвида Хокни|Уильям О’Коннор|23 ноября 2014 г.|DAILY BEAST

    • Открытость также может быть функцией сексуальности и пола.

      Извращенный выход к своему доктору в черном и синем|Хизер Бернер|25 октября 2014 г.|DAILY BEAST

    • Под названием «Пожалуйста, идите домой» пародия на Даниэля Францезе, более известного как «слишком гей, чтобы функционировать». Дамиан из «Дрянных девчонок».

      Аниме-голограмма поп-звезд, возвращение «Fresh Prince» Карлтона и другие вирусные видео|Алекс Чанси|12 октября 2014 г.|DAILY BEAST

    • Секс — основная функция человека; физиологический драйв, который мы не можем игнорировать.

      Христианские правые любят порно: новые исследования показывают, что библейский пояс имеет извращенную сторону|Аврора Сноу|11 октября 2014 г.|DAILY BEAST

    • Тормозная функция Внимания.

      Ассимиляционная память | Маркус Дуайт Ларроу (он же профессор А.

      No related posts.

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *