| 1 | Найти производную — d/dx | бревно натуральное х | |
| 2 | Оценить интеграл | интеграл натурального логарифма x относительно x | |
| 3 | Найти производную — d/dx | 92)||
| 21 | Оценить интеграл | интеграл от 0 до 1 кубического корня из 1+7x относительно x | |
| 22 | Найти производную — d/dx | грех(2x) | |
| 23 | Найти производную — d/dx | 9(3x) по отношению к x||
| 41 | Оценить интеграл | интеграл от cos(2x) относительно x | |
| 42 | Найти производную — d/dx | 1/(корень квадратный из х) | |
| 43 | Оценка интеграла 9бесконечность | ||
| 45 | Найти производную — d/dx | х/2 | |
| 46 | Найти производную — d/dx | -cos(x) | |
| 47 | Найти производную — d/dx | грех(3x) | 92+1|
| 68 | Оценить интеграл | интеграл от sin(x) по x | |
| 69 | Найти производную — d/dx | угловой синус(х) | |
| 70 | Оценить предел | ограничение, когда x приближается к 0 из (sin(x))/x 92 по отношению к х | |
| 85 | Найти производную — d/dx | лог х | |
| 86 | Найти производную — d/dx | арктан(х) | |
| 87 | Найти производную — d/dx | бревно натуральное 5х92 |
JEE 2022: Математический интеграл от Sin2x
В математике интегрирование — это процесс нахождения функции g(x), производная которой Dg(x) равна заданной функции f(x).
Это представлено интегральным символом «∫», как в ∫f(x), который обычно называют неопределенным интегралом функции.
Интеграл Sin 2x:
∫ sin 2x dx — это интеграл от sin 2x, и его значение равно -(cos 2x) / 2 + C, где «C» — постоянная интегрирования.
Доказательство:
Для доказательства используем интегрирование методом подстановки. Мы будем использовать для этого предположение, что 2x = u. Тогда в игру вступает 2 dx = du (или) dx = du/2. Подставляя эти значения для интеграла ∫ sin 2x dx:
∫ sin 2x dx = ∫ sin u (du/2)
= (1/2) ∫ sin u du
Интеграл sin x равен -cos x + C Таким образом, используя его, мы имеем:
= (1/2) (-cos u) + C
Подставляя u = 2x, мы имеем,
∫ sin 2x dx = -(cos 2x) / 2 + C
Определенный интеграл от Sin 2x
Неопределенный интеграл с нижней и верхней границей называется определенным интегралом.
Чтобы вычислить определенный интеграл, мы заменяем верхнюю и нижнюю границы в значении неопределенного интеграла, а затем удаляем их в той же последовательности, согласно основной теореме исчисления. Мы можем опустить постоянную интегрирования при вычислении определенного интеграла. Теперь мы вычислим некоторые определенные интегралы от интеграла sin 2x dx.
От 0 до пи/2 интеграл от Sin 2x
∫0π/2 sin 2x dx = (-1/2) cos (2x) |π/20
= (-1/2) [cos 2( π/2) – cos 2(0)]
= (-1/2) (-1 – 1)
= (-1/2) (-2)
= 1
Следовательно, интеграл sin 2x от 0 до pi/2 равно 1.
Интеграл от Sin 2x От 0 до pi
∫0π sin 2x dx = (-1/2) cos (2x) |π0
= (-1/2) [cos 2(π) – cos 2(0)]
= (-1/2) (1 – 1)
= 0
Следовательно, интеграл от sin 2x от 0 до pi равен 0,
Примеры:
1.
Найдите интеграцию греха (2x+1).
Интегрирование sin(2x+1) можно записать как: ∫ sin(2x + 1)dx
Известно, что ∫ sin2x dx = -(½) cos2x + C
Итак, ∫ sin(2x + 1) dx = -(½) cos(2x+1) + C
2. Найдите интегрирование Sin2x/1+cosx.
∫Sin2x/1+cosx
= ∫ (sin2x)/(1 + cos x) dx
Используя формулу sin2x, т. е. sin2x = 2 sinx cosx
= ∫ (2 sinx cosx)/(1 + cosx ) dx
= 2 ∫[cosx/(1 + cos x)] sinx dx
Пусть u = cos x
du = -sinx dx
Подставляя эти значения, получаем;
= 2 ∫[u/(1 + u)] (-du)
= -2 ∫ (u + 1 – 1)/(u + 1) du
= -2 ∫ (u + 1)/ (u + 1) du + 2 ∫ 1/(u + 1) du
= -2 ∫ 1 du + 2 log|u + 1|
= -2u + 2log|u + 1| + C
= -2 cosx + 2log|cosx + 1| + C
Формулы для интегрирования тригонометрических функций:
1.
∫sin x dx = -cos x + C
2.∫cos x dx = sin x + C
3.∫tan x dx = ln|sec x| + C
4.∫сек x dx = ln|tan x + сек x| + C
5.∫cosec x dx = ln|cosec x – ctg x| + C = ln|tan(x/2)| + C
6.∫cot x dx = ln|sin x| + C
7.∫sec2x dx = tan x + C
8.∫cosec2x dx = -cot x + C
9.∫sec x tan x dx = sec x + C
10.∫cosec x cot x dx = -cosec x + C
11.∫sin kx dx = -(cos kx/k) + C
12.∫cos kx dx = (sin kx/k) + C
Примеры:
Для нахождения интеграла от sin x cos x будут использоваться следующие формулы:
d(cos x)/dx = -sin x
∫xn dx = xn+1/(n + 1) + C
Пусть cos x = v, тогда имеем -sin x dx = dv ⇒ sin x dx = -dv. Используя приведенные выше формулы, мы имеем
∫ sin x cos x dx = ∫-vdv
= -v2/2 + C
⇒ ∫ sin x cos x dx = (-1/2) cos2x + C
Следовательно, подставив cos x, мы получили интегрирование sin x cos x.