Интеграл по площади – .

Вычисление поверхностных интегралов: теория и примеры

Поверхностный интеграл - обобщение понятия криволинейного интеграла на случаи, когда интегрирование происходит не по отрезку кривой, а по ограниченной поверхности. Как и криволинейные интегралы, поверхностные интегралы бывают первого рода и второго рода.

Поверхностный интеграл первого рода записывается в виде

,

где f(M) = f(x,y,z) – функция трёх переменных, а поверхность σ - область интегрирования этой функции. Если f(x,y,z) равна единице, то поверхностный интеграл равен площади поверхности.

Представьте себе довольно большой подсолнух с очень-очень маленькими семечками. Тогда по сумме поверхностей очень-очень маленьких семечек, расположенных на поверхности подсолнуха, можно вычислить поверхность подсолнуха - таким может быть упрощённое толкование поверхностного интеграла. Почему так?

Давайте перейдём к более формальному определению поверхностного интеграла. Поверхность

σ разбита на n частей с площадями Δσ1, Δσ2, ..., Δσn. Если выбрать на каждой частичной поверхности (семечке) произвольную точку Mi с координатами (ζi, ηi, ςi,), то можно составить сумму

.

Эта сумма называется интегральной суммой для функции f(M) по поверхности σ. Теперь будем максимально увеличивать число таких маленьких частей, а наибольший диаметр Δσi - наоборот, уменьшать. Если интегральная сумма при стремлении наибольшего из диаметров частей к нулю (то есть, как мы уже отмечали, все части очень маленькие) имеет предел, то этот предел и называется поверхностным интегралом первого рода от функции f(M) по поверхности σ.

Вычисление поверхностного интеграла первого рода производится сводением к двойному интегралу.

Пусть поверхность σ задана уравнением

z = z(xy), её проекцией на плоскость xOy является область Dxy, при этом функция z = z(xy) и её частные производные и непрерывны в области Dxy.

Тогда

Это и есть формула, выражающая поверхностный интеграл первого рода через двойной интеграл по проекции поверхности σ на плоскость xOy.

Пример 1. Вычислить поверхностный интеграл первого рода

где σ - часть плоскости в первом октанте.

Решение. Чертёж:

Из уравнения плоскости получаем выражение "зет": .

Тогда частные производные: , и

.

Поверхность σ является изображённым на чертеже треугольником ABC, а его проекцией на плоскость xOy - треугольником AOB, который ограничен прямыми

x = 0, y = 0 и 3x + y = 6. От поверхностного интеграла перейдём к двойному интегралу и решим его:

.

Прежде чем перейти к определению поверхностного интеграла второго рода, требуется познакомиться с понятиями стороны поверхностей и ориентированных поверхностей.

Пусть в пространстве дана гладкая поверхность σ. На этой поверхности выберем произвольную точку M и проведём через неё вектор нормали к поверхности. Через точку M проведём также на поверхности σ произвольный контур, не имеющий общих точек с границей поверхности σ. Точку M вместе с вектором нормали будем перемещать по контуру так, чтобы вектор нормали постоянно был перпендикулярен поверхности σ. По возвращении точки M в начальное положение возможны два случая: направление вектора нормали сохранится или же поменяется на противоположное.

Если направление вектора нормали не поменяется, то поверхность

σ называется двусторонней. Если же при обходе контура направление вектора нормали поменяется на противоположное, то поверхность называется односторонней. Двусторонние поверхности называются ориентированными поверхностями, односторонние - неориентированными поверхностями.

Пример односторонней поверхности - лист Мёбиуса (на рисунке выше), который можно сделать из полоски бумаги, одна сторона которой повёрнута на 180 градусов, и затем концы склеены. И вот что здесь важно: для односторонней поверхности понятие поверхностного интеграла второго рода не вводится.

Так что будем рассматривать только двусторонние поверхности. Примеры двусторонних поверхностей - плоскости, сфера, эллипсоил, параболоид.

Положительную сторону двустороней поверхности определяет направление вектора нормали. Противоположная сторона поверхности называется отрицательной. Положительной стороной поверхности называется её верхняя сторона. Если единичные векторы нормали составляют острые углы с осью Oz, то выбрана верхняя сторона поверхности

z = z(xy), если углы тупые, то нижняя сторона поверхности.

Как и в случае поверхностного интеграла первого рода, поверхность можно разбить на n частей. При формулировке понятия поверхностного интеграла первого рода в интегральной сумме присутствовали площади каждой из частей, на которые умножаются значения функции f(Mi). В случае поверхностного интеграла второго рода берутся площади не самих частей, а площади их проекций на координатные плоскости. А функцию трёх переменных для отличия от интеграла первого рода обозначим R(x,y,z). Тогда интегральная сумма запишется так:

,

где Δsi - площади упомянутых проекций частей стороны поверхности на координатную ось (пока будем считать, что на ось xOy).

При таких соглашениях и обозначениях определение поверхностного интеграла второго рода аналогично определению интеграла первого рода. А именно: поверхностным интегралом второго рода называется предел данной интегральной суммы при стремлении к нулю наибольшего из диаметров частей рассматриваемой поверхности.

Записывается он так:

.

В данном случае функция R(x,y,z) интегрируема по переменным x и y, так как части поверхности проецировались на плоскость xOy.

Аналогично можно записать и два других поверхностных интеграла второго рода:

(функция P(x,y,z) интегрируема по переменным y и z, так как части поверхности проецируются на плоскость yOz),

(функция Q(x,y,z) интегрируема по переменным z и x, так как части поверхности проецируются на плоскость zOx).

Сумма этих интегралов

называется общим поверхностным интегралом второго рода и обозначается

Поверхностный интеграл второго рода вычисляется путём разложения общего поверхностного интеграла второго рода на сумму поверхностных интегралов (см. окончание предыдущего параграфа) и сведением каждого из них к двойному интегралу.

Рассмотрим подробно вычисление интеграла

.

Пусть поверхность σ задана уравнением z = z(xy). Положительную сторону поверхности обозначим , отрицателную , а проекцию на плоскость xOy - Dxy.

Таким образом, получаем формулу для вычисления поверхностного интеграла второго рода:

.

Если выбрана отрицательная сторона поверхности, то знак интеграла меняется:

.

Аналогично вычисляются два других отдельных интеграла - слагаемых общего:

,

.

Пример 2. Вычислить поверхностный интеграл второго рода

,

где σ - верхняя сторона части плоскости , отсечённая плоскостями

y = 0 и y = 4 и находящаяся в первом октанте.

Решение. Чертёж - на рисунке сверху. По определению получаем сумму трёх двойных интегралов:

Второй интеграл равен нулю, так как плоскость σ параллельна оси Oy. Поэтому найдём первый и третий интегралы:

Остаётся лишь сложить все отдельные интегралы и получить общий поверхностный интеграл второго рода:

.

Если требуется вычислить поверхностный интеграл второго рода по замкнутой поверхности, можно перейти к тройному интегралу, используя формулу Остроградского. Тогда, если функции P(x,y,z), Q(x,y,z) и R(x,y,z) и их частные производные , , - непрерывные функции в области W, которую ограничивает замкнутая поверхность σ, то при интегрировании по внешней стороне поверхности в силе равенство

Пример 4. Вычислить поверхностный интеграл первого рода

,

где σ - боковая поверхность конуса при .

Решение. Так как частные производные , , то

Сводим данный поверхностный интеграл к двойному:

.

Проекцией поверхности на плоскость xOy является круг с центром в начале координат и радиусом R = 2, поэтому при вычислении двойного интеграла перейдём к полярной системе координат. Для этого сделаем замену переменных:

Получаем следующий интеграл, который окончательно и решаем:

Пример 5. Вычислить поверхностный интеграл второго рода

,

где σ - верхняя часть треугольника, образованного пересечением плоскости с координатными плоскостями.

Решение. Данный поверхностный интеграл разделим на сумму двух интегралов

, где

,

.

Чтобы вычислить интеграл I1, построим проекцию поверхности σ на плоскость yOz. Проекцией является треугольник OCB, который на плоскости yOz ограничивают прямые или , y = 0 и z = 0. Из уравнения плоскости выводится . Поэтому можем вычислить интеграл I1:

Чтобы вычислить интеграл I2, построим проекцию поверхности σ на плоскость zOx. Проекцией является треугольник AOC, который ограничивают прямые или , x = 0 и z = 0. Вычисляем:

Складываем два полученных интеграла и окончательно получаем данный поверхностный интеграл:

.

Пример 6. Вычислить поверхностный интеграл второго рода

,

где σ - внешняя поверхность пирамиды, образованной плоскостью и координатными плоскостями.

Решение. Данный поверхностный интеграл вычислим двумя способами

1) интегрируя по каждой грани пирамиды;

2) используя формулу Остроградского.

1) Вычисление интегрированием по каждой грани пирамиды.

а) Вычислим интеграл по треугольнику ABC. Для этого разделим интеграл на сумму трёх интегралов, которые отдельно решим:

;

Складываем и получаем:

.

б) Вычислим поверхностный интеграл по треугольнику AOB, который находится в плоскости z = 0. Тогда dz = 0 и, учитывая, что нормальный вектор плоскости образует с осью Oz тупой угол, получаем

в) Треугольник AOC находится в плоскости y = 0, таким образом, dy = 0 и (нормальный вектор плоскости образует с осью Oy тупой угол) получаем

г) Осталось вычислить поверхностный интеграл по треугольнику CBO находится в плоскости x = 0, таким образом, dx = 0 и получаем

.

В результате получаем данный поверхностный интеграл второго рода:

.

2) Используя формулу Остроградского, от поверхностного интеграла по замкнутой поверхности перейдём к тройному интегралу, где W - область, ограниченная поверхностью σ. Так как P = xz, Q = 1, R = 2y, то частные производные , , .

Получаем следующее решение данного поверхностного интеграла:

В последнем примере вернёмся к вычислению поверхностного интеграла первого рода.

Пример 7. Вычислить площадь поверхности параболоида во внутренней части сферы .

Решение. Определим, при каком значении z данные поверхности пересекаются:

Значение −3 не подходит, поэтому остаётся только z = 1.

Обозначим через C часть поверхности данного параболоида во внутреней стороне сферы. Проекция поверхности C (обозначим её D) на плоскость xOy является кругом с центром в начале координат и радиусом √2, так как при z = 1 получаем уравнение окружности . Решаем поверхностный интеграл первого рода:

.

Так как

то

.

Проекцией поверхности на плоскость xOy является круг, поэтому при вычислении двойного интеграла перейдём к полярной системе координат. Для этого сделаем замену переменных:

Получаем окончательное решение данного поверхностного интеграла:

Кратные и криволинейные интегралы

Поделиться с друзьями

function-x.ru

Вычисление площади поверхности / Двойной интеграл / 3dstroyproekt.ru

Пример 1

Пусть в пространстве задана кусочно-гладкая поверхность $\sigma $, однозначно проектирующаяся в область $\mathbf { \textit { D } } $ на плоскости $\mathbf { \textit { Оху } } $. Пусть эта поверхность задаётся уравнением $\sigma :\;z=f(x,y),\;(x,y)\in D$. Тогда площадь этой поверхности выражается формулой

$ s(\sigma )=\iint\limits_D { \sqrt { 1+\left( { \frac { \partial f } { \partial x } }\right)^2+\left( { \frac { \partial f } { \partial y } }\right)^2 } dxdy } . $

Мы докажем эту формулу позже, когда будем изучать поверхностные интегралы. Сейчас рассмотрим пример: найти площадь лепестков, вырезаемых цилиндром $\mathbf { \textit { x } } ^ { 2 } +\mathbf { \textit { y } } ^ { 2 } $ = 2$\mathbf { \textit { ax } } $ из сферы $\mathbf { \textit { x } } ^ { 2 } +\mathbf { \textit { y } } ^ { 2 } +\mathbf { \textit { z } } ^ { 2 } $ = 4$\mathbf { \textit { a } } ^ { 2 } $ .

Решение:

На рисунке изображён верхний из этих лепестков. Уравнение поверхности $z=\sqrt { 4a^2-x^2-y^2 } ,$ вычисляем производные $\frac { \partial z } { \partial x } =-\frac { x } { \sqrt { 4a^2-x^2-y^2 } } , \quad \frac { \partial z } { \partial y } =-\frac { y } { \sqrt { 4a^2-x^2-y^2 } } ,$ и $s(\sigma )=\iint\limits_D { \sqrt { 1+\frac { x^2+y^2 } { 4a^2-x^2-y^2 } dxdy } } =2a\iint\limits_D { \frac { dxdy } { \sqrt { 4a^2-x^2-y^2 } } } $.

Область $\mathbf { \textit { D } } $ - сдвинутый на $\mathbf { \textit { а } } $ единиц по оси $\mathbf { \textit { Ох } } $ круг, поэтому вычисляем в полярных координатах, учитывая симметрию поверхности относительно плоскостей $\mathbf { \textit { Оху } } $ и $\mathbf { \textit { Охz } } $:

$s(\sigma )=4\cdot 2a\iint\limits_ { D_ { r,\varphi } } { \frac { rdrd\varphi } { \sqrt { 4a^2-r^2 } } } =8a\int\limits_0^ { \pi /2 } { d\varphi \int\limits_0^ { 2a\cos \varphi } { \left( { 4a^2-r^2 }\right)^ { -1/2 } rdr } } =-8a\int\limits_0^ { \pi /2 } { d\varphi \left. { \left( { 4a^2-r^2 }\right)^ { 1/2 } }\right|_0^ { 2a\cos \varphi } } = \\ =8a\int\limits_0^ { \pi /2 } { \left[ { 2a-2a\sqrt { 1-\cos ^2\varphi } }\right]d\varphi } =16a^2\left. { \left( { \varphi +\cos \varphi }\right) }\right|_0^ { \pi /2 } =16a^2\left( { \pi /2-1 }\right)$.

Пример 2

Вычислить площадь cферы радиуса (a.)

Решение:

Рассмотрим верхнюю полусферу. Ее уравнение имеет вид $ { { x^2 } + { y^2 } + { z^2 } = { a^2 } } \;\; { \text { или } \;\;z = \sqrt { { a^2 } - { x^2 } - { y^2 } } . } $

Очевидно, область интегрирования (R) представляет собой круг с таким же радиусом (a,) расположенный в центре координат. Площадь полусферы вычисляется по формуле $ { S_ { \large\frac { 1 } { 2 } \normalsize } } = \iint\limits_R { \sqrt { 1 + { { \left( { \frac { { \partial z } } { { \partial x } } }\right) } ^2 } + { { \left( { \frac { { \partial z } } { { \partial y } } }\right) } ^2 } } dxdy } .$

Найдем частные производные. $ { \frac { { \partial z } } { { \partial x } } } = { \frac { \partial } { { \partial x } } \sqrt { { a^2 } - { x^2 } - { y^2 } } } = { \frac { { - { 2 } x } } { { { 2 } \sqrt { { a^2 } - { x^2 } - { y^2 } } } } } = { - \frac { x } { z } , } $ $ { \frac { { \partial z } } { { \partial y } } } = { \frac { \partial } { { \partial y } } \sqrt { { a^2 } - { x^2 } - { y^2 } } } = { \frac { { - { 2 } y } } { { { 2 } \sqrt { { a^2 } - { x^2 } - { y^2 } } } } } = { - \frac { y } { z } . } $

Подставляя найденные производные, получаем $ { { S_ { \large\frac { 1 } { 2 } \normalsize } } = \iint\limits_R { \sqrt { 1 + { { \left( { \frac { { \partial z } } { { \partial x } } }\right) } ^2 } + { { \left( { \frac { { \partial z } } { { \partial y } } }\right) } ^2 } } dxdy } } = { \iint\limits_R { \sqrt { 1 + \frac { { { x^2 } } } { { { z^2 } } } + \frac { { { y^2 } } } { { { z^2 } } } } dxdy } } = { \iint\limits_R { \sqrt { \frac { { { z^2 } + { x^2 } + { y^2 } } } { { { z^2 } } } } dxdy } } = { \iint\limits_R { \frac { a } { z } dxdy } . } $

Преобразуем двойной интеграл в полярные координаты. $ { { S_ { \large\frac { 1 } { 2 } \normalsize } } = \iint\limits_R { \frac { a } { z } dxdy } } = { \int\limits_0^ { 2\pi } { \int\limits_0^a { \frac { a } { { \sqrt { { a^2 } - { r^2 } } } } rdrd\theta } } } = { a\int\limits_0^ { 2\pi } { d\theta } \int\limits_0^a { \frac { { rdr } } { { \sqrt { { a^2 } - { r^2 } } } } } } = { - 2\pi a\int\limits_0^a { \frac { { d\left( { { a^2 } - { r^2 } }\right) } } { { 2\sqrt { { a^2 } - { r^2 } } } } } } = { - 2\pi a\left. { \left( { \sqrt { { a^2 } - { r^2 } } }\right) }\right|_ { r = 0 } ^a } = { - 2\pi a\left( { 0 - a }\right) = 2\pi { a^2 } . } $

Площадь поверхности полной сферы, соответственно, равна $S = 2 { S_ { \large\frac { 1 } { 2 } \normalsize } } = 4\pi { a^2 } .$

3dstroyproekt.ru

16.4.3. Поверхностный интеграл первого рода (по площади поверхности).

16.4.3.1. Определение поверхностного интеграла первого рода. Пусть в пространстве переменных x,y,z задана кусочно-гладкая поверхность , на которой определена функция f(x,y,z). Разобьём поверхность на частей , на каждой из частей выберем произвольную точку , найдём и площадь части (которую будем обозначать тем же символом ), и составим интегральную сумму . Если существует предел последовательности интегральных сумм при , не зависящий ни от способа разбиения поверхности на части , ни от выбора точек , то функция f(x,y,z) называется интегрируемой по поверхности , а значение этого предела называется поверхностным интегралом первого рода, или поверхностным интегралом по площади поверхности, и обозначается .

Теорема существования. Если функция f(x,y,z) непрерывна на поверхности , то она интегрируема по этой поверхности.

16.4.3.2. Свойства поверхностного интеграла первого рода. Для этого интеграла имеют место основные шесть свойств, справедливых для определённого, двойного, тройного интеграла, от линейности до теоремы о среднем. Сформулировать и доказать их самостоятельно. Седьмое, персональное, свойство - независимость поверхностного интеграла первого рода от выбора стороны поверхности.

16.4.3.3. Вычисление поверхностного интеграла первого рода.

16.4.3.3.1. Определение единичного вектора нормали к поверхности. Выражения для элемента площади поверхности. Предположим, что поверхность задаётся неявным уравнением ( - непрерывно дифференцируемая функция) и взаимно однозначно проецируется в область на плоскости Оху. Из теории функций нескольких переменных известно, что градиент функции ортогонален поверхности уровня этой функции, проходящей через точку, в которой найден градиент. Рассматривая уравнение как уравнение поверхности уровня функции трёх переменных , получаем, что в каждой точке поверхности ортогонален , т.е. является нормальным к вектором. Чтобы получить единичный нормальный вектор, достаточно просто пронормировать : , где знак перед дробью соответствует возможности выбора двух возможных взаимно противоположных направлений нормали. В координатной форме , где - базисные орты. Если сравнить это выражение с представлением градиента через направляющие косинусы: , то , , . Теперь мы можем выразить элемент площади поверхности через элемент площади в каждой координатной плоскости: , , . В частном случае задания уравнения поверхности в явном виде получим , т.е. , , , , поэтому , , , и . Мы уже пользовались этой формулой при вычислении площади поверхности с помощью двойного интеграла.

16.4.3.3.2. Выражение поверхностного интеграла через двойной интеграл по проекции поверхности на координатную плоскость.Пусть поверхность взаимно однозначно проецируется в область на плоскости Оху. Будем считать, что поверхность задана уравнением , . В интегральной сумме выразим площадь через двойной интеграл по её проекции на плоскость Оху: . Применим к этому интегралу теорему о среднем: существует точка такая, что . Значение подынтегральной функции будем вычислять в точке , такой, что . Тогда .

Слева стоит интегральная сумма для поверхностного интеграла, справа - для двойного; переход к пределу при (при этом и ) даёт

.

Эта формула и применяется для вычисления поверхностных интегралов. Естественно, в каждой задаче надо выбирать, на какую из координатных плоскостей предпочтительней проецировать поверхность; если проецирование не взаимно однозначно, поверхность разбивается на части, которые проецируются однозначно.

Примеры. 1. Найти , где  - часть цилиндра x2 + z2 = 2x, вырезаемая гиперболоидом x2 - y2 + z2 = 1 и плоскостью z = 0 (z > 0).

Решение: Найдем проекцию поверхности  на плоскость OXY. Исключим из уравнений цилиндра и гиперболоида переменную z:

2x = y2+1 - уравнение проекции линии пересечения двух поверхностей на OXY. Полагая в уравнении цилиндраz = 0, получим уравнение линии пересечения цилиндра и плоскости OXY. Таким образом, поверхность  проецируется в область D, ограниченную параболой x =(y2+1) и прямой x=2. Часть цилиндра, удовлетворяющая условию z>0, задается уравнением z = . Тогда = =. Таким образом, .

2. Найти, где - полная поверхность цилиндра x2+y2 = 1, 0 ≤ z ≤ 1.

Решение: Искомый интеграл равен сумме трех интегралов: по нижнему и верхнему основаниям 1 и 2 и боковой поверхности (рис.18). Так как на нижнем основании z=0, то =0. Для верхнего основания2 имеем z(x,y)=1, ==0, поэтому поверхностный интеграл по2 совпадает с двойным интегралом от функции z(x,y)|xy| = |xy|, взятым по кругу D ={x2+ y2<1}:

Найдем интеграл по боковой поверхности. Она состоит из двух частей: 3 и 4 , симметричных относительно плоскости OYZ. Так как функция z|xy| - четная по x, то интегралы по 3 и 4 равны.

Проекция 3 на плоскость OYZ - прямоугольник D:{-1 ≤ у ≤ 1, 0 ≤ z ≤1}. Уравнение 3 : х=Отсюда:

Окончательно получаем:

3. Найти , где - сфера x2 + y2 + z2 = R2.

Решение: Использование соображений симметрии позволяет иногда существенно упростить вычисление интегралов. Очевидно, что для сферы . Тогда

studfiles.net

Поверхностный интеграл первого рода и его свойства / Поверхностный интеграл / 3dstroyproekt.ru

Определение поверхностного интеграла первого рода

Пусть в пространстве переменных $\mathbf { \textit { x,y,z } } \mathbf { } $ задана кусочно-гладкая поверхность $\sigma $, на которой определена функция $\mathbf { \textit { f } } (\mathbf { \textit { x } } $,$\mathbf { \textit { y } } $,$\mathbf { \textit { z } } )$.$\mathbf { } $

Разобьём поверхность на $n$ частей $\sigma _1 ,\sigma _2 ,\ldots \sigma _i ,\ldots \sigma _n $, на каждой из частей $\sigma _i $ выберем произвольную точку $M_i (x_i ,y_i ,z_i )$, найдём $f(M_i )=f(x_i ,y_i ,z_i )$ и площадь части $\sigma _i $ { которую будем обозначать тем же символом $\sigma _i )$ и составим интегральную сумму $\sum\limits_ { i=1 } ^n { f(M_i )\cdot \sigma _i } $.

Если существует предел последовательности интегральных сумм при $\mathop { \max } \limits_ { i=1,2,\ldots n } diam\sigma _i \to 0$, не зависящий ни от способа разбиения поверхности $\sigma $ на части $\sigma _i (i=1,2,\ldots ,n)$, ни от выбора точек $M_i $, то функция $\mathbf { \textit { f } } (\mathbf { \textit { x } } $,$\mathbf { \textit { y } } $,$\mathbf { \textit { z } } )$ называется интегрируемой по поверхности $\sigma $, а значение этого предела называется поверхностным интегралом первого рода, или поверхностным интегралом по площади поверхности и обозначается $\iint\limits_\sigma { f(M)\cdot d\sigma } $.

Теорема существования Если функция $\mathbf { \textit { f } } (\mathbf { \textit { x } } $,$\mathbf { \textit { y } } $,$\mathbf { \textit { z } } )$ непрерывна на поверхности $\sigma $, то она интегрируема по этой поверхности.

Свойства поверхностного интеграла первого рода

Аналогичны по формулировке и доказательству свойствам рассмотренных ранее интегралов первого рода.

  1. Линейность. $\iint\limits_\sigma { (\lambda \,f+ } \mu \,g)d\sigma =\lambda \iint\limits_\sigma { fd\sigma } +\mu \iint\limits_\sigma { gd\sigma } $
  2. Аддитивность $\iint\limits_ { \sigma _1 \cup \sigma _2 } { fd\sigma } =\iint\limits_ { \sigma _1 } { fd\sigma } \iint\limits_ { \sigma _2 } { fd\sigma } $
  3. $\iint\limits_\sigma { d\sigma } =S_\sigma -$ площадь поверхности.
  4. Если $f(x,\,y,\,z)\geqslant g(x,\,y,\,z)$, то $\iint\limits_\sigma { fd\sigma \geqslant \iint\limits_\sigma { gd\sigma } } $ { если $f\geqslant 0$, то $\iint\limits_\sigma { fd\sigma } \geqslant 0)$,
  5. Теорема об оценке Если $m\leqslant f\left( { x,\,y,\,z }\right)\leqslant M$, то $mS_\sigma \leqslant \iint\limits_\sigma { fd\sigma } \leqslant MS_\sigma $,
  6. Теорема о среднем Пусть функция $f(M)=f(x,\,y,\,z)$ непрерывна на кусочно-гладкой ограниченной поверхности $\sigma $. Тогда на поверхности найдется точка С, такая что $f(C)=\frac { 1 } { S_\sigma } \iint\limits_\sigma { f\left( { x,\,y,\,z }\right)d\sigma } $

Доказательство

Первые четыре свойства доказываются аналогично подобным свойствам в двойном, тройном интегралах, криволинейном интеграле первого рода { записью соотношений в интегральных суммах и предельным переходом } . Во втором свойстве используется возможность такого разбиения поверхности на две части, чтобы ни один элемент разбиения не содержал граничные точки этих частей в качестве своих внутренних точек.

Теорема об оценке следует из свойств 3, 4.

Теорема о среднем, как и ранее, использует теоремы Вейерштрасса и Больцано-Коши для функций, непрерывных на замкнутых ограниченных множествах.

Седьмое, персональное, свойство - независимость поверхностного интеграла первого рода от выбора стороны поверхности

3dstroyproekt.ru

16.4.3. Поверхностный интеграл первого рода (по площади поверхности).

16.4.3.1. Определение поверхностного интеграла первого рода. Пусть в пространстве переменных x,y,z задана кусочно-гладкая поверхность , на которой определена функция f(x,y,z). Разобьём поверхность на частей , на каждой из частей выберем произвольную точку , найдём и площадь части (которую будем обозначать тем же символом ), и составим интегральную сумму . Если существует предел последовательности интегральных сумм при , не зависящий ни от способа разбиения поверхности на части , ни от выбора точек , то функция f(x,y,z) называется интегрируемой по поверхности , а значение этого предела называется поверхностным интегралом первого рода, или поверхностным интегралом по площади поверхности, и обозначается .

Теорема существования. Если функция f(x,y,z) непрерывна на поверхности , то она интегрируема по этой поверхности.

16.4.3.2. Свойства поверхностного интеграла первого рода. Для этого интеграла имеют место основные шесть свойств, справедливых для определённого, двойного, тройного интеграла, от линейности до теоремы о среднем. Сформулировать и доказать их самостоятельно. Седьмое, персональное, свойство - независимость поверхностного интеграла первого рода от выбора стороны поверхности.

16.4.3.3. Вычисление поверхностного интеграла первого рода.

16.4.3.3.1. Определение единичного вектора нормали к поверхности. Выражения для элемента площади поверхности. Предположим, что поверхность задаётся неявным уравнением ( - непрерывно дифференцируемая функция) и взаимно однозначно проецируется в область на плоскости Оху. Из теории функций нескольких переменных известно, что градиент функции ортогонален поверхности уровня этой функции, проходящей через точку, в которой найден градиент. Рассматривая уравнение как уравнение поверхности уровня функции трёх переменных , получаем, что в каждой точке поверхности ортогонален , т.е. является нормальным к вектором. Чтобы получить единичный нормальный вектор, достаточно просто пронормировать : , где знак перед дробью соответствует возможности выбора двух возможных взаимно противоположных направлений нормали. В координатной форме , где - базисные орты. Если сравнить это выражение с представлением градиента через направляющие косинусы: , то , , . Теперь мы можем выразить элемент площади поверхности через элемент площади в каждой координатной плоскости: , , . В частном случае задания уравнения поверхности в явном виде получим , т.е. , , , , поэтому , , , и . Мы уже пользовались этой формулой при вычислении площади поверхности с помощью двойного интеграла.

16.4.3.3.2. Выражение поверхностного интеграла через двойной интеграл по проекции поверхности на координатную плоскость.Пусть поверхность взаимно однозначно проецируется в область на плоскости Оху. Будем считать, что поверхность задана уравнением , . В интегральной сумме выразим площадь через двойной интеграл по её проекции на плоскость Оху: . Применим к этому интегралу теорему о среднем: существует точка такая, что . Значение подынтегральной функции будем вычислять в точке , такой, что . Тогда .

Слева стоит интегральная сумма для поверхностного интеграла, справа - для двойного; переход к пределу при (при этом и ) даёт

.

Эта формула и применяется для вычисления поверхностных интегралов. Естественно, в каждой задаче надо выбирать, на какую из координатных плоскостей предпочтительней проецировать поверхность; если проецирование не взаимно однозначно, поверхность разбивается на части, которые проецируются однозначно.

Примеры. 1. Найти , где  - часть цилиндра x2 + z2 = 2x, вырезаемая гиперболоидом x2 - y2 + z2 = 1 и плоскостью z = 0 (z > 0).

Решение: Найдем проекцию поверхности  на плоскость OXY. Исключим из уравнений цилиндра и гиперболоида переменную z:

2x = y2+1 - уравнение проекции линии пересечения двух поверхностей на OXY. Полагая в уравнении цилиндраz = 0, получим уравнение линии пересечения цилиндра и плоскости OXY. Таким образом, поверхность  проецируется в область D, ограниченную параболой x =(y2+1) и прямой x=2. Часть цилиндра, удовлетворяющая условию z>0, задается уравнением z = . Тогда = =. Таким образом, .

2. Найти, где - полная поверхность цилиндра x2+y2 = 1, 0 ≤ z ≤ 1.

Решение: Искомый интеграл равен сумме трех интегралов: по нижнему и верхнему основаниям 1 и 2 и боковой поверхности (рис.18). Так как на нижнем основании z=0, то =0. Для верхнего основания2 имеем z(x,y)=1, ==0, поэтому поверхностный интеграл по2 совпадает с двойным интегралом от функции z(x,y)|xy| = |xy|, взятым по кругу D ={x2+ y2<1}:

Найдем интеграл по боковой поверхности. Она состоит из двух частей: 3 и 4 , симметричных относительно плоскости OYZ. Так как функция z|xy| - четная по x, то интегралы по 3 и 4 равны.

Проекция 3 на плоскость OYZ - прямоугольник D:{-1 ≤ у ≤ 1, 0 ≤ z ≤1}. Уравнение 3 : х=Отсюда:

Окончательно получаем:

3. Найти , где - сфера x2 + y2 + z2 = R2.

Решение: Использование соображений симметрии позволяет иногда существенно упростить вычисление интегралов. Очевидно, что для сферы . Тогда

studfiles.net

3.3. Интеграл и задача об определении площади

Заканчивая главу о первообразной, покажем, как понятие первообразной (неопределенного интеграла) теснейшим образом связано с определением площади плоской фигуры. Причем воспользуемся здесь интуитивным представлением о площади плоской фигуры, отложив точную постановку этого вопроса.

Пусть имеем непрерывную на отрезке [a,b] функциюf(x), принимающую лишь положительные (неотрицательные) значения.

Рассмотрим фигуру ABCD(рис. 24), ограниченную кривойy =f(x), прямымиx = a,x =bи отрезком оси0X; такую фигуру называют криволинейной трапецией. Изучим вопрос о площади криволинейной трапеции. Для этого возьмем некоторую переменную точкуx, лежащую на интервале [a,b], и рассмотрим площадь фигурыABLK. При измененииxэта последняя площадь будет, очевидно, соответственно изменяться, причем каждому значению переменнойxотвечает вполне определенное значение площади криволинейной трапеции. Поэтому площадь криволинейной трапецииABLKявляется некоторой функцией отx; обозначим эту функциюS(x). Найдем (если это возможно) производную функцииS(x) при измененииx. Для этого дадимxприращение (например, положительное); тогда площадьS(x) получит приращение. ОбозначимmиMсоответственно наименьшее и наибольшее значенияf(x) на промежуткеи сравним площадьс площадями прямоугольникови. Очевидно,или.

Рис. 24

Если теперь , то, вследствие непрерывностиf(x) значения,; существует предел. Таким образом, мы получили замечательный результат.

Теорема.Производная от переменной площади по переменной абсциссеxравна значению функции в этой переменной точкеf(x).

Иными словами, переменная площадь S(x) представляет собой одну из первообразных – для данной функцииy =f(x):.

Так как все первообразные отличаются друг от друга на постоянную величину c, то еслиF(x) какая-либо первообразная дляf(x), тогдаS(x) =F(x) +c.

Положив здесь x=aи считая (очевидно)S(a)=0, получим 0 =F(a) +c,c= –F(a).

Окончательно, S(x)=F(x)–F(a), гдеx– любая точка из интервала [a,b]. В частности, для получения площади всей криволинейной трапецииABCDследует взятьx=b:

.

Этот важный результат называют теоремой Ньютона-Лейбница. Мы еще встретимся с этой теоремой в дальнейшем: площадь криволинейной трапеции Sравна разности значений (произвольной) первообразнойF(x) в концах интервала [a,b].

3.4. Определенный интеграл

Вернемся вновь к задаче определения площади криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной кривой y=f(x),, прямымиx=a,x=bи отрезком осиOX.

Разобьем отрезок [a,b] точкаминаnравных частей (рис. 25). Получимn“малых” отрезков; длина каждого отрезкаобозначается, k=1, 2, …,n; в нашем случае длины всех отрезков одинаковы:.

Рис. 25

Проведя через точки деления прямые, параллельные оси 0Y, мы разобьем криволинейную трапециюABCDнаnмалых криволинейных трапеций – полосок с площадью(k=1, 2,…,n). Очевидно, площадь всей криволинейной трапецииABCD

.

Эту последнюю сумму записывают так: , где греческая буква ∑ – это знак суммы, а символозначает, что суммируютсяnслагаемых при изменении индексаkот 1 доn.

Заменим теперь площадь малой криволинейной фигурыMLPQ(рис. 26) площадью прямоугольникаMLPQ, равной. Искомая площадьSкриволинейной трапеции приближенно равна площади ступенчатой фигуры:

.

Рис. 26

Очевидно, чем меньше длина промежутков ,тем точнее ступенчатая фигура приближает нашу криволинейную трапецию.

Будем теперь увеличивать вдвое число n точек деления, уменьшая вдвое длину интервалов разбиения.

Получим последовательность сумм

, (*)

где – площадь ступенчатой фигуры изnпрямоугольников. Естественно за точное значение площадиSкриволинейной трапеции принять предел последовательностиплощадей ступенчатых фигур, когда(при этом все длиныстремятся к нулю,).

Сумма вида (*)называется интегральной суммой, а предел, к которому стремится последовательность интегральных суммпри, если такой предел существует, называется определенным интегралом функцииf(x) на отрезке [a,b] и обозначается символом(читается – интеграл отaдоbфункцииf(x)).

Итак,

.

Замечание.Мы рассмотрели здесь только частный случай последовательности интегральных сумм: разбиение отрезка [a,b] сделано так, что все(k=1, 2,…,n) равны между собой,, точкиявляются правыми концами промежутка, а функцияf(x) – непрерывна и неотрицательна. Вообще говоря, рассматриваются интегральные суммы более общего вида, а именно:

1) точки деления выбираются произвольно, не обязательно на равном расстоянии друг от друга;

2) на каждом отрезке длинывыбирается произвольная точка;

3) сумму называют интегральной суммой (Римана) для функцииf(x) на отрезке [a, b];

4) определенным интеграломназывается такое числоI, которое удовлетворяет условию: для любого (сколь угодно малого) положительного числанайдется такое положительное числоδ, что прии любом выборе точеквыполняется неравенство

.

Фактически определенный интеграл Iявляется пределом интегральных сумм при стремлении к нулю всех отрезков разбиения, если этот предел существует и не зависит от выбора точек деленияи выбора точек.

Функции f(x), для которых определенный интегралсуществует, называются интегрируемыми (по Риману) на отрезке [a,b]. К таким функциям относятся любые непрерывные на [a,b] функции, а также кусочно-непрерывные, т.е. имеющие на отрезке интегрирования лишь конечное число точек разрыва первого рода. Очевидно, что интегрируемые на отрезке функции ограничены на этом отрезке.

Возвращаясь к задаче о площади, с которой мы начали, видим, что площадь криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной кривой y=f(x), гдена [a,b], численно равна определенному интегралу.

Этот факт выражает геометрический смысл определенного интеграла.

studfiles.net

16.4.3. Поверхностный интеграл первого рода (по площади поверхности).

16.4.3.1. Определение поверхностного интеграла первого рода. Пусть в пространстве переменных x,y,z задана кусочно-гладкая поверхность , на которой определена функция f(x,y,z). Разобьём поверхность на частей , на каждой из частей выберем произвольную точку , найдём и площадь части (которую будем обозначать тем же символом ), и составим интегральную сумму . Если существует предел последовательности интегральных сумм при , не зависящий ни от способа разбиения поверхности на части , ни от выбора точек , то функция f(x,y,z) называется интегрируемой по поверхности , а значение этого предела называется поверхностным интегралом первого рода, или поверхностным интегралом по площади поверхности, и обозначается .

Теорема существования. Если функция f(x,y,z) непрерывна на поверхности , то она интегрируема по этой поверхности.

16.4.3.2. Свойства поверхностного интеграла первого рода. Для этого интеграла имеют место основные шесть свойств, справедливых для определённого, двойного, тройного интеграла, от линейности до теоремы о среднем. Сформулировать и доказать их самостоятельно. Седьмое, персональное, свойство - независимость поверхностного интеграла первого рода от выбора стороны поверхности.

16.4.3.3. Вычисление поверхностного интеграла первого рода.

16.4.3.3.1. Определение единичного вектора нормали к поверхности. Выражения для элемента площади поверхности. Предположим, что поверхность задаётся неявным уравнением ( - непрерывно дифференцируемая функция) и взаимно однозначно проецируется в область на плоскости Оху. Из теории функций нескольких переменных известно, что градиент функции ортогонален поверхности уровня этой функции, проходящей через точку, в которой найден градиент. Рассматривая уравнение как уравнение поверхности уровня функции трёх переменных , получаем, что в каждой точке поверхности ортогонален , т.е. является нормальным к вектором. Чтобы получить единичный нормальный вектор, достаточно просто пронормировать : , где знак перед дробью соответствует возможности выбора двух возможных взаимно противоположных направлений нормали. В координатной форме , где - базисные орты. Если сравнить это выражение с представлением градиента через направляющие косинусы: , то , , . Теперь мы можем выразить элемент площади поверхности через элемент площади в каждой координатной плоскости: , , . В частном случае задания уравнения поверхности в явном виде получим , т.е. , , , , поэтому , , , и . Мы уже пользовались этой формулой при вычислении площади поверхности с помощью двойного интеграла.

16.4.3.3.2. Выражение поверхностного интеграла через двойной интеграл по проекции поверхности на координатную плоскость.Пусть поверхность взаимно однозначно проецируется в область на плоскости Оху. Будем считать, что поверхность задана уравнением , . В интегральной сумме выразим площадь через двойной интеграл по её проекции на плоскость Оху: . Применим к этому интегралу теорему о среднем: существует точка такая, что . Значение подынтегральной функции будем вычислять в точке , такой, что . Тогда .

Слева стоит интегральная сумма для поверхностного интеграла, справа - для двойного; переход к пределу при (при этом и ) даёт

.

Эта формула и применяется для вычисления поверхностных интегралов. Естественно, в каждой задаче надо выбирать, на какую из координатных плоскостей предпочтительней проецировать поверхность; если проецирование не взаимно однозначно, поверхность разбивается на части, которые проецируются однозначно.

Примеры. 1. Найти , где  - часть цилиндра x2 + z2 = 2x, вырезаемая гиперболоидом x2 - y2 + z2 = 1 и плоскостью z = 0 (z > 0).

Решение: Найдем проекцию поверхности  на плоскость OXY. Исключим из уравнений цилиндра и гиперболоида переменную z:

2x = y2+1 - уравнение проекции линии пересечения двух поверхностей на OXY. Полагая в уравнении цилиндраz = 0, получим уравнение линии пересечения цилиндра и плоскости OXY. Таким образом, поверхность  проецируется в область D, ограниченную параболой x =(y2+1) и прямой x=2. Часть цилиндра, удовлетворяющая условию z>0, задается уравнением z = . Тогда = =. Таким образом, .

2. Найти, где - полная поверхность цилиндра x2+y2 = 1, 0 ≤ z ≤ 1.

Решение: Искомый интеграл равен сумме трех интегралов: по нижнему и верхнему основаниям 1 и 2 и боковой поверхности (рис.18). Так как на нижнем основании z=0, то =0. Для верхнего основания2 имеем z(x,y)=1, ==0, поэтому поверхностный интеграл по2 совпадает с двойным интегралом от функции z(x,y)|xy| = |xy|, взятым по кругу D ={x2+ y2<1}:

Найдем интеграл по боковой поверхности. Она состоит из двух частей: 3 и 4 , симметричных относительно плоскости OYZ. Так как функция z|xy| - четная по x, то интегралы по 3 и 4 равны.

Проекция 3 на плоскость OYZ - прямоугольник D:{-1 ≤ у ≤ 1, 0 ≤ z ≤1}. Уравнение 3 : х=Отсюда:

Окончательно получаем:

3. Найти , где - сфера x2 + y2 + z2 = R2.

Решение: Использование соображений симметрии позволяет иногда существенно упростить вычисление интегралов. Очевидно, что для сферы . Тогда

studfiles.net

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *