Найти общее решение и фундаментальную систему решений онлайн – Общее решение однородной системы линейных уравнений онлайн

ФРС. Фундаментальное решение системы уравнений

Исходная система уравнений
Исходные данные
Фундаментальная система решений (ФСР) данной системы уравнений
Решение системв
База системы/знаменатель
База

 

Попробуем решить систему уравнений, типа

Решение подобных систем неразрывно связывают с формулой приведения матрицы к треугольному виду. Это наглядно, красиво и никогда не дает сбоев.  Есть только одно но, нужно делать очень много ручной работы и использовать понятия ранга матрицы

Нет никаких сомнений подвергать выверенную веками технологию, но есть не менее красивое решение используя векторное произведение. Информации по ним на январь 2019 года в интернете нет, поэтому скромно назовемся первооткрывателем.

Это решение конечно же не оптимально (по быстродействию), так как при вычислении векторного произведения, надо вычислять определитель матрицы, а это так или иначе  вычисление треугольной матрицы.

Но решение красиво и наглядно, кроме этого легко видеть критерий при котором система не имеет решений.

В чем же суть методики?

Решая эту систему как произведение двух векторов, мы получим

А следоватетельно, корни системы равны 

Для тех кто не верит, это легко проверяется подстановкой

Такой же нехитрый прием используется  и при системах где количество переменных может быть и пять и десять.

Рассмотрим, как же решаются такие системы с помощью векторных произведений.

Итак, у нас есть исходная система

Приведем её вот в такой вид

У нас получилось 6 столбцов.

На этом этапе не будем вводить новых сущностей и не используем в своей работе понятия ранга матрицы. Мы просто видим что уравнений 3, а переменных 5-ть. Следовательно общее решение будет использовать 5-3=2 независимых переменных.

На этом же шаге, мы можем определить, какие же из переменных будут свободными. Так как фантазии ноль, то те из переменных, которые будут правее всех, те  и станут свободными.

То есть свободными у нас будут две переменных 

А теперь за три шага определяем фундаментальное решение исходной системы

Шаг1.

Шаг 2.

Шаг 3.

Нет необходимости подробно рассказывать откуда  мы берем данные. Это очевидно

Интереснее то, что мы с этими "векторами" делать будем.

Разделим их на -81

получаем следующие три вектора

Таким образом фундаментальное решение  принимает вид

Великолепно! Не правда ли....

Хочется еще что то решить.... Еще один пример

Это интересное уравнение, так вектора в любом сочетании будут давать ноль.

Это говорит нам о том, что одно из уравнений "лишнее". Согласимся с этим и уберем его. Например последнее.

Тогда нам надо выбрать две свободных переменных, пусть это будут переменные с индексами 2 и 4.

Тогда вектора находятся как

Разделим на -3 и наше общее решение будет иметь вид

Не каждому сразу становиться ясно откуда у нас появляются нули и единицы в нашем стройном вектором ряде.  Это  связано с тем, что мы свободные переменные выбрали как нашей душе угодно, а не самые крайние правые. 

Если бы мы взяли переменные с индексами 3 и 4  как свободные то решение бы мы переписали так как нам бы выдала машина.

В начале статьи мы упомянули о критерии неразрешимости той или иной системы уравнений. В классической версии для этого исползуется правило Кронекера-Копелли, здесь же просто анализируется результат векторного произведения.

Если результирующий вектор имеет вид 

где , а среди всех оставшихся есть хотя бы один не нулевой, то такая система решений не имеет

Примеры, неразрешимых систем уравнений

Если результирующий вектор имеет все нулевые коэффициенты ( мы такой пример рассмотрели выше), то это говорит о том, что или как минимум одно из уравнений есть линейное представление другого, и/или одна из переменных  пропорциональна другой.

Калькулятор, представленный здесь, дает Вам возможность самому проанализировать исходную систему, за Вас он лишь сделает точные расчеты, по тем данным, что Вы ему введете.

Вот один из примеров

 

Исходная система уравнений
Фундаментальная система решений (ФСР) данной системы уравнений
База системы/знаменатель

 

  • Функция ошибок >>

abakbot.ru

Построение общего решения СЛАУ. Фундаментальная система решений однородной СЛАУ

Задача

Найти общее решение и одно частное решение системы уравнений:

$$
\left\{
\begin{array}{l l}
2x_1&-3x_2&+5x_3&+7x_4&=1 \\
4x_1&-6x_2&+2x_3&+3x_4&=2 \\

2x_1&-3x_2&-11x_3&-15x_4&=1
\end{array}
\right.
$$

Решение:

Составим расширенную матрицу системы и приведем ее к ступенчатому виду элементарными преобразованиями строк.$$
\left(\left.\begin{matrix}
2 & -3 & 5 & 7 \\
4 & -6 & 2 & 3 \\
2 & -3 & -11 & -15
\end{matrix}\right|
\begin{matrix}
1 \\ 2 \\ 1
\end{matrix}\right)
\sim
\left(\left.\begin{matrix}
2 & -3 & 5 & 7 \\
0 & 0 & -8 & -11 \\
0 & 0 & -16 & -22
\end{matrix}\right|
\begin{matrix}
1 \\ 0 \\ 0
\end{matrix}\right)
\sim$$
$$\sim
\left(\left.\begin{matrix}
2 & -3 & 5 & 7 \\
0 & 0 & -8 & -11 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{matrix}\right|
\begin{matrix}
1 \\ 0 \\ 0
\end{matrix}\right)
$$Последняя матрица равносильна следующей системе:$$
\left\{
\begin{array}{l l}
2x_1&-3x_2&+5x_3&+7x_4&=1 \\
& &-8x_3&-11x_4&=0
\end{array}
\right.
$$Главными переменными назовем те, минор из коэффициентов при которых не равен нулю, например $x_1$ и $x_3$, и выразим через них остальные (свободные) переменные:$$

\left\{
\begin{array}{l l}
x_1&=\frac{1 + 3x_2-5x_3-7x_4}{2} \\
x_3&=-\frac{11}{8}x_4
\end{array}
\right.$$ $$
\left\{
\begin{array}{l l}
x_1&=\frac{1 + 3x_2-\frac{1}{8}x_4}{2} \\
x_3&=-\frac{11}{8}x_4
\end{array}
\right.
$$Последняя система является общим решением исходной СЛАУ. Выберем произвольные значения свободных переменных, например $x_2=1$ и $x_4=0$, тогда $x_1=2$, $x_2=1$, $x_3=x_4=0$ является частным решением исходной СЛАУ. Напомним, что общее и частное решения определены неоднозначно в силу неоднозначности выбора главных переменных и значений свободных переменных.

Задача

Найти общее решение и фундаментальную систему решений (ФСР) для следующей системы уравнений:

$$
\left\{
\begin{array}{l l}
x_1&+2x_2&+4x_3&-3x_4&=0 \\
3x_1&+5x_2&+6x_3&-4x_4&=0 \\
4x_1&+5x_2&-2x_3&+3x_4&=0 \\
3x_1&+8x_2&+24x_3&-19x_4&=0
\end{array}
\right. $$

Решение:

Аналогично предыдущему решению, найдем общее решение системы.$$A = \left(\left.\begin{matrix}

1 & 2 & 4 & -3 \\
3 & 5 & 6 & -4 \\
4 & 5 & -2 & 3 \\
3 & 8 & 24 &-19
\end{matrix}\right|
\begin{matrix}
0 \\ 0 \\ 0 \\ 0
\end{matrix}\right)
\sim
\left(\left.\begin{matrix}
1&2&4&-3\\
0&-1&-6&5\\
0&-3&-18&15\\
0&2&12&-10
\end{matrix}\right|
\begin{matrix}
0 \\ 0 \\ 0 \\ 0
\end{matrix}\right)
\sim$$ $$\sim
\left(\left.\begin{matrix}
1&2&4&-3\\
0&-1&-6&5\\
0&0&0&0\\
0&0&0&0
\end{matrix}\right|
\begin{matrix}
0 \\ 0 \\ 0 \\ 0
\end{matrix}\right)$$Заметим, что $\mathrm{rang}A=2$.$$
\left\{
\begin{array}{l l}
x_1&+2x_2&+4x_3&-3x_4&=0 \\
&-x_2&-6x_3&-15x_4&=0
\end{array}
\right.
$$Общее решение исходной СЛАУ:$$
\left\{
\begin{array}{l l}
x_1 & = &+8x_3 &-7x_4\\
x_2 & = &-6x_3 &+5x_4
\end{array}
\right.
$$ФСР состоит из $k=(n-\mathrm{rang}A)$ векторов, где $n$ — количество переменных. В нашем случае $k=2$, значит ФСР будет состоять из двух векторов $c_1$ и $c_2$. Возьмем произвольные значения свободных переменных:$$\begin{array}{c|c|c|c|c}
& x_1 & x_2 & x_3 & x_4 \\
\hline
c_1 & & & 1 & 0\\
\hline
c_2 & & & 0 & 1
\end{array}$$Подставив эти значения в общее решение СЛАУ, найдем значения главных переменных:
$$\begin{array}{c|c|c|c|c}
& x_1 & x_2 & x_3 & x_4 \\
\hline
c_1 & 8 & -6 & 1 & 0\\
\hline
c_2 & -7 & 5 & 0 & 1
\end{array}$$Таким образом, ФСР исходной СЛАУ — это система $$.

Литература

  • Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.:Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1968, с.77-88.

Тест

Лимит времени: 0

Информация

Тест служит проверкой навыков нахождения решений СЛАУ.

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

  1. С ответом
  2. С отметкой о просмотре
  1. Задание 1 из 2

    Количество баллов: 1

    Система $$ \left\{
    \begin{array}{l l}
    2x_1&+5x_2&-8x_3&=8 \\
    4x_1&+3x_2&-9x_3&=9 \\
    2x_1&+3x_2&-5x_3&=7\\
    x_1&+8x_2&-7x_3&=12
    \end{array}
    \right.
    $$ имеет единственное решение: $(x_1, x_2, x_3)$

    Правильно

    Неправильно

  2. Задание 2 из 2

    Количество баллов: 1

    $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$ — частное решение системы
    $$
    \left\{
    \begin{array}{l l}
    6x_1&+4x_2&+5x_3&+2x_4&+3x_5&=1 \\
    3x_1&+2x_2&+4x_3&+x_4&+2x_5&=3 \\
    3x_1&+2x_2&-2x_3&+x_4 & &=-7 \\
    9x_1&+6x_2&+x_3&+3x_4&+2x_5&=2
    \end{array}
    \right.
    $$
    и $x_2=8, x_3=13, x_4=0, x_5=-34$, тогда $x_1$ будет равным:

    Правильно

    Неправильно

Таблица лучших: СЛАУ

максимум из 2 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

ib.mazurok.com

Однородная система линейных уравнений

Рассмотрим систему линейных уравнений (СЛУ):

(1)

Представим (1) в матричном виде:

где A m×n матрица, x вектор столбец порядка n , 0 - нулевой вектор столбец порядка m.

СЛУ (1) (или (2)) называется однородной системой линейных уравнений, т.к. правая часть системы равна нулю.

Однородная система линейных уравнений всегда совместна, т.к. вектор 0 всегда является решением системы (1):

A·0≡0.

Это решение называется нулевым или тривиальным решением.

Возникают вопросы :

  1. Cистема линейных однородных уравнений имеет ли другие решения, кроме нулевого.
  2. При каких условиях система линейных однородных уравнений имеет нетривиальное решение.
  3. Как найти множество всех решений системы однородных линейных уравнений.

Если A n×n матрица и rank(A)=n, то нулевой вектор является единственным решением системы (1), в противном случае система имеет множество решений.

Обшее решение однородной системы линейных уравнений

Пусть A m×n - матрица rankA=r. В общем случае можем предположить что r<n, r<m. Тогда r столбцов матрицы A линейно независимы. Для удобства записи предположим, что это первые r столбцы матрицы A. Переставляя строки матрицы можно добиться того, чтобы подматрица матрицы A порядка r×r, расположенная в левом верхнем углу, была невырожденной. Запишем систему (2) в блочном виде:

(3)

где M - r×r - матрица, rang M=r.

Применяя метод исключения Гаусса для системы (3), получим:

(4)

где M1верхняя треугольная матрица, 0 - нулевые матрицы соответствующих порядков. Далее, применяя обратный ход исключения Гаусса, и, далее, разделив элементы каждой строки на ведущий элемент этой строки (если ведущий элемент существует) получим:

(5)

где E - единичная матрица порядка r×r.

Рассмотрим матрицу

(6)

где F2- r×(n-r) - матрица, En-r- единичная матрица порядка n-r, X - матрица порядка n×(n-r).

В уравнении (5) вместо x подставляя матрицу (6), получим:

(7)

Таким образом, векторы столбцы матрицы X являются решением системы (2) (или (1)). Более того, эти векторы линейно независимы и их линейная комбинация также является решением (2).

Общее решение системы однородных линейных уравнений имеет следующий вид:

(8)

гдe k - произвольный вектор столбец порядка n-r.

Общее решение системы однородных линейных уравнений можно также записать в следующем виде:

(9)

где xi -i-ый вектор-столбец матрицы X, а ki -i-ая координата вектора k

Множество всех решений (8)(или (9)) образует ядро или нуль пространство матрицы A и обозначается через Ker (A) или N(A).

В начале этого параграфа мы предполагали, что линейные независимые r векторы столбцы расположены в начале матрицы A. В общем случае, если они расположены в произвольных местах, аналогично вышеизложенному, применяя метод Гаусса, затем обратный ход Гауссова исключения и, наконец , разделив элементы каждой строки на ведущий элемент этой строки (если ведущий элемент существует), получим

(10)

Сделаем замену переменных:

(11)

где P -матрица перестановок поядка n×n выбрана так, чтобы при подстановке (11) в (10) получили:

(12)

где E - единичная матрица порядка r×r.

Аналогично вышеизложенному векторы столбцы матрицы X':

(13)

образуют множесво всех решений однородной системы линейных уравнений (12).

Учитывая (11) получим:

Общее решение системы однородных линейных уравнений имеет следующий вид:

(14)

гдe k - произвольный вектор столбец порядка n-r.

Общее решение системы однородных линейных уравнений можно также записать в следующем виде:

(15)

где qi -i-ый вектор-столбец матрицы Q, а ki -i-ая координата вектора k

Нахождение общего решения однородной системы линейных уравнений с помощью псевдообратной матрицы

Если rank(A)=r, r<n, то система (2) имеет множество решений, отличных от нуля и общее решение можно представить в следующем виде:

x=(E−A+A)z, для ∀z∈Rn,

(16)

где E —единичная матрица, A+ — псевдообратная к A матрица.

Для проверки подставим (16) в (2):

Ax=A(E−A+A)z=(A−AA+A)z=(A−A)z=0.

Ранг матрицы rank(E−A+A)=n-r. Следовательно столбцы матрицы E−A+A образуют множество всех решений системы (2).

Отметим, что r столбцов матрицы E−A+A линейно зависимы. Для исключения линейно зависимых столбцов можно сделать скелетное разложение. Тогда E−A+A=QS, где Q n×n−r - матрица rank(Q)=n−r, S n−r×n-матрица rank(S)=n−r. Тогда множество всех решений однородной системы линейных уравнений примет следующий вид:

x=Q·k, для ∀k∈Rn-r,

где k=Sz.

Решение однородной системы линейных уравнений онлайн

Для решения однородной системы линейных уравнений пользуйтесь онлайн калькулятором который решает однородную систему по шагам и находит полное решение.

 

matworld.ru

Решение высшей математики онлайн


‹-- Назад


Алгоритм нахождения решений произвольной системы линейных уравнений (метод Гаусса)

Пусть дана система линейных уравнений с неизвестными . Требуется найти ее общее решение, если она совместна, или установить ее несовместность. Метод, который будет изложен в этом разделе, близок к методу вычисления определителя 5.1.с и к методу нахождения ранга матрицы (раздел 5.8). Предлагаемый алгоритм называется методом Гаусса или методом последовательного исключения неизвестных.

Выпишем расширенную матрицу системы

Назовем элементарными операциями следующие действия с матрицами:

  1. перестановка строк;
  2. умножение строки на число, отличное от нуля;
  3. сложение строки с другой строкой, умноженной на число.

Отметим, что при решении системы уравнений, в отличие от вычисления определителя и нахождения ранга, нельзя оперировать со столбцами.

Читатель легко проверит, что если по матрице, полученной из выполнением элементарной операции, восстановить систему уравнений, то новая система будет равносильна исходной.

Цель алгоритма -- с помощью применения последовательности элементарных операций к матрице добиться, чтобы каждая строка, кроме, быть может, первой, начиналась с нулей, и число нулей до первого ненулевого элемента в каждой следующей строке было больше, чем в предыдущей.

Шаг алгоритма заключается в следующем. Находим первый ненулевой столбец в матрице . Пусть это будет столбец с номером . Находим в нем ненулевой элемент и строку с этим элементом меняем местами с первой строкой. Чтобы не нагромождать дополнительных обозначений, будем считать, что такая смена строк в матрице уже произведена, то есть . Тогда ко второй строке прибавим первую, умноженную на число , к третьей строке прибавим первую, умноженную на число , и т.д. В результате получим матрицу

(Первые нулевые столбцы, как правило, отсутствуют.)

Если в матрице встретилась строка с номером , в которой все элементы равны нулю, а , то выполнение алгоритма останавливаем и делаем вывод, что система несовместна. Действительно, восстанавливая систему уравнений по расширенной матрице, получим, что -ое уравнение будет иметь вид

Этому уравнению не удовлетворяет ни один набор чисел .

Матрицу можно записать в виде

где По отношению к матрице выполняем описанный шаг алгоритма. Получаем матрицу где , . Эту матрицу снова можно записать в виде и к матрице снова применим описанный выше шаг алгоритма.

Процесс останавливается, если после выполнения очередного шага новая уменьшенная матрица состоит из одних нулей или если исчерпаны все строки. Заметим, что заключение о несовместности системы могло остановить процесс и ранее.

Если бы мы не уменьшали матрицу, то в итоге пришли бы к матрице вида

Далее выполняется так называемый обратный ход метода Гаусса. По матрице составляем систему уравнений. В левой части оставляем неизвестные с номерами, соответствующими первым ненулевым элементам в каждой строке, то есть . Заметим, что . Остальные неизвестные переносим в правую часть. Считая неизвестные в правой части некоторыми фиксированными величинами, несложно выразить через них неизвестные левой части.

Теперь, придавая неизвестным в правой части произвольные значения и вычисляя значения переменных левой части, мы будем находить различные решения исходной системы . Чтобы записать общее решение, нужно неизвестные в правой части обозначить в каком-либо порядке буквами , включая и те неизвестные, которые явно не выписаны в правой части из-за нулевых коэффициентов, и тогда столбец неизвестных можно записать в виде столбца, где каждый элемент будет линейной комбинацией произвольных величин (в частности, просто произвольной величиной ). Эта запись и будет общим решением системы.

Если система была однородной, то получим общее решение однородной системы. Коэффициенты при , взятые в каждом элементе столбца общего решения, составят первое решение из фундаментальной системы решений, коэффициенты при  -- второе решение и т.д.

Фундаментальную систему решений однородной системы можно получить и другим способом. Для этого одному переменному, перенесенному в правую часть, нужно присвоить значение 1, а остальным -- нули. Вычислив значения переменных в левой части, получим одно решение из фундаментальной системы. Присвоив другому переменному в правой части значение 1, а остальным -- нули, получим второе решение из фундаментальной системы и т.д.

        Замечание 15.4   У читателя может возникнуть вопрос: "Зачем рассматривать случай, когда некоторые столбцы матрицы нулевые? Ведь в этом случае соответствующие им переменные в системе уравнений в явном виде отсутствуют." Но дело том, что в некоторых задачах, например, при нахождении собственных чисел матрицы, такие системы возникают, и игнорировать отсутствующие переменные нельзя, так как при этом происходит потеря важных для задачи решений.                  Пример 15.2   Найдите общее решение системы уравнений где неизвестными являются .

Решение. Выпишем расширенную матрицу системы

Прибавим ко второй строке первую, умноженную на число , к третьей строке прибавим первую, умноженную на . В результате получим Прибавим к третьей строке вторую, умноженную на число . Получим Прямой ход метода Гаусса закончен. Выписываем по матрице систему уравнений Переносим в правую часть неизвестные (неизвестное реально в ней присутствовать не будет, коэффициент перед ним равен нулю). Получаем Пусть , , , . Из уравнений находим:

Ответ: , , , , , , где , , ,  -- произвольные числа.         

        Замечание 15.5   В процессе решения можно также установить, какие ранги у матриц и и где расположены их базисные миноры. В предыдущем примере , базисный минор расположен в строках с номерами 1, 2, столбцах с номерами 2, 5.                  Пример 15.3   Найдите общее решение системы уравнений

Решение. Запишем расширенную матрицу системы:

Ко второй строке прибавим первую, умноженную на , к третьей строке прибавим первую, умноженную на , к четвертой строке прибавим первую, умноженную на : Вторую строку, умноженную на , прибавим к третьей: В третьей строке все элементы равны нулю, а элемент . Значит, система несовместна.

Ответ: Система несовместна.         

        Пример 15.4   Решите систему

Решение. Имеем:

Первую строку, умноженную на числа , , , прибавим соответственно ко второй, третьей и четвертой строкам: К третьей строке прибавим вторую, умноженную на . Получим К четвертой строке прибавим третью, умноженную на : Выписываем по матрице систему уравнений: Находим последовательно значения неизвестных:

Ответ: .         

        Замечание 15.6   Так же, как и при решении системы уравнений по правилу Крамера, при использовании метода Гаусса приходится выполнять большой объем вычислительной работы. Из-за этого вполне возможно, что будет допущена какая-либо ошибка в вычислениях. Поэтому желательно после решения системы выполнить проверку, то есть подставить полученные значения неизвестных в уравнения системы. Для выполнения полной проверки подстановку нужно произвести во все уравнения системы. Если же по каким-то причинам это не выполнимо, то можно подставить найденные значения в одно уравнение. В отличие от правила Крамера в методе Гаусса эту подстановку нужно производить в ПОСЛЕДНЕЕ уравнение исходной системы. При наличии в этом уравнении всех неизвестных эта подстановка почти всегда покажет наличие ошибки, если таковая была допущена.         

        Пример 15.5   Найдите фундаментальную систему решений и общее решение однородной системы линейных уравнений:

Решение. Составляем расширенную матрицу системы:

Умножим первую строку последовательно на , 5 и 1 и прибавим соответственно ко второй, третьей и четвертой строкам. Получим матрицу Вторую строку умножим последовательно на числа 4 и 2 и прибавим соответственно к третьей и четвертой строкам. Получим матрицу Прямой ход метода Гаусса закончен. У полученной матрицы легко определить ранг, ее базисный минор . Отсюда следует, что . По  теореме 15.3 число решений в фундаментальной системе равно разности между числом неизвестных и рангом матрицы, в нашем случае фундаментальная система состоит из трех решений.

Переходим к системе уравнений

Неизвестные и оставляем в левой части, остальные переносим в правую часть:

Положим , . Получим , . Первое решение из фундаментальной системы: .

Положим , . Получим , . Второе решение из фундаментальной системы решений: .

Положим , . Получим , . Третье решение из фундаментальной системы решений: . Фундаментальная система решений найдена. Общее решение имеет вид

Ответ: Фундаментальная система решений:
, , , общее решение: .         

        Замечание 15.7   Если решения, составляющие фундаментальную систему, умножить на любые ненулевые числа, то вновь полученные решения снова будут образовывать фундаментальную систему. Поэтому в предыдущем примере фундаментальную систему образуют и такие решения:
, , . Общее решение можно записать так: .         

Математика, вышка, высшая математика, математика онлайн, вышка онлайн, онлайн математика, онлайн решение математики, ход решения, процес решения, решение, задачи, задачи по математике, математические задачи, решение математики онлайн, решение математики online, online решение математики, решение высшей математики, решение высшей математики онлайн, матрицы, решение матриц онлайн, векторная алгебра онлайн, решение векторов онлайн, система линейных уравнений, метод Крамера, метод Гаусса, метод обратной матрицы, уравнения, системы уравнений, производные, пределы, интегралы, функция, неопределенный интеграл, определенный интеграл, решение интегралов, вычисление интегралов, решение производных, интегралы онлайн, производные онлайн, пределы онлайн, предел функции, предел последовательности, высшие производные, производная неявной функции

mathserfer.narod.ru

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *