Примеры интегрирования по частям логарифма и обратных тригонометрических функций
Формула интегрирования по частям
Ниже, при решении примеров, применяется формула интегрирования по частям:
;
.
Подробнее >>>
Примеры интегралов, содержащих логарифм и обратные тригонометрические функции
Вот примеры интегралов, которые интегрируются по частям:
, , , , , , .
При интегрировании ту часть подынтегрального выражения, которая содержит логарифм или обратные тригонометрические функции обозначают через u, остальное – через dv.
Ниже приведены примеры с подробными решениями этих интегралов.
Простой пример с логарифмом
Вычислим интеграл, содержащий произведение многочлена и логарифма:
Решение
Здесь подынтегральное выражение содержит логарифм. Делаем подстановки
u = ln x, dv = x2 dx. Тогда
,
.
Интегрируем по частям.
.
Вычисляем оставшийся интеграл:
.
Тогда
.
В конце вычислений добавим постоянную C.
Ответ
Пример логарифма в степени 2
Рассмотрим пример, в котором в подынтегральное выражение входит логарифм в целочисленной степени. Такие интегралы также могут интегрироваться по частям.
Решение
Делаем подстановки
u = (ln x)2, dv = x dx. Тогда
,
.
.
Оставшийся интеграл также вычисляем по частям:
.
Подставляем
.
Ответ
Пример, в котором аргумент логарифма является многочленом
По частям могут вычисляться интегралы, в подынтегральное выражение которого входит логарифм, аргумент которого является многочленом, рациональной или иррациональной функцией. В качестве примера, вычислим интеграл с логарифмом, аргумент которого является многочленом.
.
Решение
Делаем подстановки
u = ln( x2 – 1), dv = x dx.
Тогда
,
.
.
Вычисляем оставшийся интеграл:
.
Мы здесь не пишем знак модуля ln |x2 – 1|, поскольку подынтегральное выражение определено при x2 – 1 > 0.
Подставляем
.
Ответ
Пример с арксинусом
Рассмотрим пример интеграла, в подынтегральное выражение которого входит арксинус.
.
Решение
Делаем подстановки
u = arcsin x,
.
Тогда
,
.
.
Далее замечаем, что подынтегральное выражение определено при |x| < 1. Раскроем знак модуля под логарифмом, учитывая что 1 – x > 0 и 1 + x > 0.
Ответ
Пример с арктангенсом
Решим пример с арктангенсом:
.
Решение
Интегрируем по частям.
.
Выделим целую часть дроби:
x8 = x8 + x6 – x6 – x4 + x4 + x2 – x2 – 1 + 1 = (x2 + 1)(x6 – x4 + x2 – 1) + 1;
.
Интегрируем:
.
Окончательно имеем:
.
Ответ
Еще один пример с арксинусом
Решить интеграл:
.
Решение
Интегрируем по частям.
.
Вычисляем оставшийся интеграл.
При x > 0 имеем:
.
.
.
При x < 0 сделаем подстановку x = – t, t > 0:
.
Окончательно имеем:
Ответ
.
Подготовка школьников к ЕГЭ (Справочник по математике — Элементы математического анализа
| Справочник по математике | Элементы математического анализа | Интегралы |
| Первообразная |
| Неопределенный интеграл |
| Правила интегрирования. Замена переменной в неопределенном интеграле |
| Таблица интегралов |
| Примеры решения задач |
Первообразная
Определение 1. Функцию F (x) , определенную на интервале (a, b), называют первообразной функции f (x) , определенной на интервале (a, b), если для каждого выполнено равенство
F’ (x) = f (x) .
Например, из справедливости равенства
(sin 2x)’ = 2 cos 2x
вытекает, что функция F (x) = sin 2x является первообразной функции f (x) = 2 cos 2x .
Замечание. Функция F (x) = sin 2x не является единственной первообразной функции f (x) = 2 cos 2x , поскольку функция F (x) = sin 2x + 10 , или функция F (x) = sin 2x – 3 , или функции вида F (x) = sin 2x + c , где c – любое число, также являются первообразными функции f (x) = 2 cos 2x .
Справедлива следующая теорема, доказательство которой выходит за рамки школьного курса математики.
Теорема 1. Если функция F (x) является первообразной функции f (x) на интервале (a, b) , то любая другая первообразная функции f (x) на интервале (a, b) имеет вид
F (x) + с ,
где c – некоторое число.
Неопределенный интеграл
Определение 2. Множество всех первообразных функции f (x) называют неопределенным интегралом от функции f (x) и обозначают
| (1) |
Обозначение (1) читается так: «Неопределенный интеграл от функции f (x) по dx» .
Если F (x) является первообразной f (x) , то в силу теоремы 1 смысл формулы (1) заключается в следующем:
| (2) |
Однако для упрощения формулу (2) принято записывать в виде
| (3) |
подразумевая, но не указывая специально, что c – любое число.
В формуле (3) функцию f (x) называют подынтегральной функцией, выражение f (x) dx нызывают подынтегральным выражением, а число c называют постоянной интегрирования.
Операцию вычисления (взятия) интеграла по известной подынтегральной функции называют интегрированием функции.
Правила интегрирования. Замена переменной в неопределенном интеграле
Вычисление интегралов (интегрирование) основано на применении следующих правил, которые непосредственно вытекают из правил вычисления производных.
Правило 1 (интеграл от произведения числа на функцию). Справедливо равенство
где k – любое число.
Другими словами, интеграл от произведения числа на функцию равен произведению этого числа на интеграл от функции.
Правило 2 (интеграл от суммы функций). Интеграл от суммы функций вычисляется по формуле
то есть интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от этих функций.
Правило 3 (интеграл от разности функций). Интеграл от разности функций вычисляется по формуле
то есть интеграл от разности функций равен разности интегралов от этих функций.
Правило 4 (интегрирование при помощи замены переменной). Из справедливости формулы
вытекает, что
| (4) |
если все входящие в формулу (4) функции f (φ (x)), φ’ (x), F (φ (x)) определены.
Доказательство правила 4. Воспользовавшись формулой для производной сложной функции, вычислим производную от правой части формулы (4):
Мы получили подынтегральную функцию из левой части формулы (4), что и требовалось.
Замечание. Рассмотрим частный случай формулы (4), когда функция φ (x) является линейной функцией, то есть
φ (x) = kx + b ,
что k и b – произвольные числа, .
В этом случае
φ’ (x) = k ,
и формула (4) принимает вид
| (5) |
Формула (5) часто используется при решении задач.
Таблица интегралов
Следующая таблица неопределенных интегралов составлена на основе таблицы производных часто встречающихся функций, а также на основе таблицы производных сложных функций
| Основная формула | Обобщения |
, где k – любое число | |
где n – любое число, не равное – 1 | , где n, k, b – любые числа, , |
где n – любое число, | |
, x > 0 | , где k, b – любые числа, , |
где φ (x) > 0 | |
, где k, b – любые числа, | |
где a – любое положительное число, не равное 1 | , где a – любое положительное число, не равное 1, k, b – любые числа, |
, где a – любое положительное число, не равное 1 | |
, где k, b – любые числа, | |
, где k, b – любые числа, | |
, где k, b – любые числа, , | |
, | |
, где k, b – любые числа, , | |
, | |
| x | < 1 | где k, b – любые числа, , |
| φ (x) | < 1 | |
где a, b – любые числа, | |
, где k, b – любые числа, | |
где a, b – любые числа, |
Основная формула: Обобщения: , где k – любое число |
Основная формула: где n – любое число, не равное – 1 . Обобщения: , где n, k, b – любые числа, , _____ где n – любое число, |
Основная формула: , x > 0 Обобщения: , где k, b – любые числа, , kx + b > 0 _____ где φ (x) > 0 |
Основная формула: Обобщения: , где k, b – любые числа, _____ |
Основная формула: , где a – любое положительное число, не равное 1 . Обобщения: , где a – любое положительное число, не равное 1, k, b – любые числа, _____ , где a – любое положительное число, не равное 1 |
Основная формула: Обобщения: , где k, b – любые числа, _____ |
Основная формула: Обобщения: , где k, b – любые числа, _____ |
Основная формула: где Обобщения: , где k, b – любые числа, , _____ , где |
Основная формула: где Обобщения: , где k, b – любые числа, , _____ , |
Основная формула: | x | < 1 Обобщения: где k, b – любые числа, , | kx +b | < 1 _____ где | φ (x) | < 1 _____ где a, b – любые числа, |
Основная формула: Обобщения: , где k, b – любые числа, _____ _____ где a, b – любые числа, |
Примеры решения задач
Пример 1.
Вычислить интеграл
Решение. Воспользовавшись свойствами степеней, а затем правилами интегрирования и формулами из таблицы неопределенных интегралов формулами из таблицы неопределенных интегралов, получаем
Ответ.
Пример 2. Значение первообразной F (x) функции f (x) = – 4 sin x в точке x = 0 равно 9. Найти .
Решение. Поскольку Поскольку
то
| F (x) = 4 cos x + c, | (6) |
Подставляя в формулу (6) значение x = 0 , находим значение постоянной интегрирования c:
F (0) = 4 cos 0 + c = 9,
4 + c = 9, c = 5.
Следовательно,
F (x) = 4 cos x + 5
Поэтому
Ответ.
7
Пример 3. Найти первообразную F (x) функции
если F (2π) = 2e + 3.
Решение. Воспользовавшись формулой из таблицы неопределенных интегралов формулой из таблицы неопределенных интегралов
для функции φ (x) = cos x , получаем
Следовательно,
| (7) |
Подставляя в формулу (7) значение x = 2π, находим значение постоянной интегрирования c:
Итак,
c = 3e +3 .
Ответ.
Пример 4. Вычислить интеграл
Решение. Воспользовавшись формулой из таблицы неопределенных интегралов формулой из таблицы неопределенных интегралов
для функции φ (x) = ex, получаем
Ответ.
На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.
Неопределенный интеграл: значение и расчет
Вы замечали, как члены одной семьи похожи друг на друга? То же верно и для семейств функций! Функции одной формы очень похожи друг на друга, как члены одной семьи. Неопределенные интегралы здесь ничем не отличаются. Они представляют собой семейство первообразных функции, поэтому они очень похожи друг на друга.
В этой статье вы узнаете, что такое неопределенный интеграл, его определение, формулу и свойства. Вы также увидите примеры вычисления неопределенных интегралов.
Определение неопределенного интеграла
Как вы знаете из статьи о первообразных, процесс нахождения первообразной функции называется интегрированием . Помните, что если вам дана функция \( f(x) \), то первообразной \( f(x) \) является любая функция \( F(x) \), которая удовлетворяет условию:
\[ F'(х) = f(х).
\]
Итак, при чем тут неопределенный интеграл?
Ну, это используется для обозначения всего семейства первообразных функции, тогда как первообразная — лишь одна из бесконечных возможностей.
Имея это в виду, вы определяете неопределенный интеграл как: f(x) \) называется неопределенным интегралом . Обозначение для этого неопределенного интеграла:
\[ \int f(x) ~\mathrm{d}x = F(x) + C, \]
, где \(C\) — любая константа.
Обратите внимание:
\( \int \) называется интегральным символом ,
\( f(x) \) называется подынтегральным выражением ,
- 900 02 \(х\) называется переменная интегрирования ,
\( \mathrm{d}x \) называется дифференциалом ,
\( F(x) \) является первообразной , а 9000 3
\( C\) называется константой интегрирования (или константой интегрирования).
Обратите внимание, что термины «неопределенный интеграл» и «первообразная» иногда используются взаимозаменяемо, а в некоторых текстах первообразная также называется «примитивной функцией».
Учитывая терминологию, представленную вам в этом определении, действие по нахождению первообразных функции, \( f \), обычно упоминается как:
- интегрирование \( \mathbf{f} \) o r
- нахождение интеграла от \( \mathbf{f} \).
Для функции \( f(x) \) и ее первообразной \( F(x) \) функции вида \( F(x) + C \), где \( C \ ) — любая константа, часто называют семейством первообразных \( \mathbf{f(x)} \).
Неопределенный интеграл: семейство первообразных
Чтобы лучше понять, что означает «семейство первообразных», рассмотрим этот пример.
Неопределенный интеграл, константа интегрирования и семейство первообразных 9{2} + C, \]
, где \(C\) — постоянная интегрирования.
{2}+C \), где \(C \) — любая константа (при условии, что это действительное число).
Формула неопределенного интеграла
Как и в случае с первообразными вообще, неопределенные интегралы не имеют единственной формулы для их решения. Существует множество правил и свойств, которые вы научитесь использовать для решения неопределенных интегралов — они основаны на уже изученных вами правилах дифференцирования. Причина этого обсуждается в статье об основной теореме исчисления.
При этом суть нахождения неопределенного интеграла функции состоит в обратном выполнении уже известных вам правил дифференцирования.
Свойства неопределенного интеграла
Поскольку неопределенный интеграл — это просто семейство первообразных, их свойства одинаковы. Но, повторяю, неопределенный интеграл линейный; т. е. вы можете интегрировать «почленно» для сумм, разностей и постоянных множителей. Эти свойства линейности резюмируются приведенными ниже правилами.
Свойство суммы/разности :
\[ \int (f(x) \pm g(x)) ~\mathrm{d}x = \int f(x) ~\mathrm{d}x \pm \int г(х) ~\mathrm{d}х \]
Постоянное кратное свойство :
\[ \int kf(x) ~\mathrm{d}x = k \int f(x) ~\mathrm{d}x \]
Доказательства свойств Неопределенный интеграл
- В общем, если \(F\) является первообразной \(f\) и \(G\) является первообразной \(g\), то\[ \frac{d}{ dx} (F(x) \pm G(x)) = F'(x) \pm G'(x) = f(x) \pm g(x). \]Это означает, что \( F(x) \pm G(x) \) является первообразной \( f(x) \pm g(x) \), так что \[ \int (f(x) \pm g(x)) ~\mathrm{d}x = F(x) \pm G(x) + C. \]
- Теперь попробуйте найти первообразную \(kf(x)\), где \(k\) — любая константа. Поскольку вы знаете, что \[ \frac{d}{dx} (kf(x)) = k \frac{d}{dx}F(x) = kf'(x) \]для любой константы \( k \) , можно заключить, что \[ \int kf(x) ~\mathrm{d}x = kF(x) + C. \]
\]Это означает, что \( F(x) \pm G(x) \) является первообразной \( f(x) \pm g(x) \), так что \[ \int (f(x) \pm g(x)) ~\mathrm{d}x = F(x) \pm G(x) + C. \]Правила нахождения неопределенных интегралов
По большей части правила нахождения неопределенного интеграла интеграл функции являются обратными (или обратными) правилам нахождения производных.
Ниже приведен список правил для общих неопределенных интегралов.
T Постоянное правило Если вы рассматриваете функцию \( F(x) = 3 \) и записываете ее производную как \( f(x) \), это означает, что \( f(x) = \frac{dF}{dx} \). Вы уже знаете, что можете найти производную этой функции, применяя константное правило для производных: \( \frac{d}{dx}(k) = 0 \).
Теперь предположим, что вы хотите обратить этот процесс вспять, и спросите себя: какая функция (функции) могла бы иметь производную \(f(x) = 0 \)? Очевидно, \( F(x) = 3 \) — один ответ. Вы говорите, что \(F(x) = 3\) является первообразной \(f(x) = 0\).Однако существуют и другие функции, производная которых равна \( f(x) = 0 \), включая, помимо прочего, \( F(x) = 5 \), \( F(x) = -4 \ ) и \( F(x) = 200 \). Это потому, что когда вы берете производную, константа исчезает.
Следовательно, если вам дана первообразная \(f(x)\), все остальные можно найти, добавив другую константу. Другими словами, если \(F(x)\) является первообразной \(f(x)\), то \(F(x) + C\) также является первообразной \(f(x)\) для любой константы \( C \). Эта группа или семейство первообразных представлена неопределенным интегралом. 9{x}}{\ln a} + C, ~\ a \neq 1\end{align} \]
Правило синусов
\[ \begin{align}\text{Производное правило: } &\frac{d}{dx}(\sin(x)) = \cos(x) \\\text{Неопределенное интегральное правило: } &\int \cos(x) ~\mathrm{d}x = \sin (x) + C\end{align} \]
Правило косинуса
\[ \begin{align}\text{Производное правило: } &\frac{d}{dx}(\cos( x)) = -\sin(x) \\\text{Неопределенное интегральное правило: } &\int \sin(x) ~\mathrm{d}x = -\cos(x) + C\end{align} \ ] 9{2}(x) ~\mathrm{d}x = \tan(x) + C\end{align} \]
Правило косеканса
\[ \begin{align}\text{Производная Правило: } &\frac{d}{dx}(\csc(x)) = -\csc(x)\cot(x) \\\text{Неопределенное интегральное правило: } &\int \csc(x)\ cot(x) ~\mathrm{d}x = -\csc(x) + C\end{align} \]
Секущее правило
\[ \begin{align}\text{Производное правило : } &\frac{d}{dx}(\sec(x)) = \sec(x)\tan(x) \\\text{Неопределенное интегральное правило: } &\int \sec(x)\tan( х) ~\mathrm{d}x = \sec(x) + C\end{align} \] 9{rd} \) правило из списка выше:
\[ \int \frac{1}{x} ~\mathrm{d}x = \ln|x| + C \Rightarrow \int \frac{\mathrm{d}x}{x} = \ln|x| + C \]
Неопределенные интегралы: ошибки, которых следует избегать
Вы заметили, что в приведенном выше списке нет правил произведения, частного или цепных правил для интегралов?
Что это значит?
Это означает, что, как и в случае с производными, правила, применимые к сложению и вычитанию, не применяются в той же мере к умножению и делению.
Другими словами, так же, как и с производными:- Интеграл произведения (или частного) двух функций не равен произведению (или частному) интеграла функций .\[ \begin{align}\int f(x) \cdot g (x) ~\mathrm{d}x &\neq \int f(x) ~\mathrm{d}x \cdot \int g(x) ~\mathrm{d}x \\\int \frac{f( x)}{g(x)} ~\mathrm{d}x &\neq \frac{\int f(x) ~\mathrm{d}x}{\int g(x) ~\mathrm{d}x }\end{align} \]
Вместо:
правила произведения и частного для производных приводят к интегрированию по частям, и
цепное правило для производных приводит к интегрированию путем замены.
Хотя интегрирование по частям выводится специально из правила произведения для производных, оно применяется как к произведению, так и к частному интегралов. Это связано с тем, что для любых двух функций \( f \) и \( g \) вы можете записать частное двух функций в виде произведения:
\[ \frac{f}{g} = f \cdot \ дробь{1}{г}. \]
Другими словами, вы можете думать о частном правиле для деривативов как о замаскированном правиле произведения; то же верно и для интегрирования по частям.
9{2}} ~\mathrm{d}x \]и используйте правило произведения для выполнения интегрирования по частям.
Вычисление неопределенного интеграла
Когда дело доходит до вычисления неопределенного интеграла, точные шаги будут зависеть от самого интеграла. Однако есть несколько очень простых шагов, которые вам нужно будет запомнить для вычисления всех неопределенных интегралов.
Основные шаги для вычисления неопределенного интеграла
Определите, какие свойства и правила применяются.
Если вам нужно использовать более одного свойства или правила, определите порядок их использования.
Используйте выбранные вами правила.
Добавьте константу интегрирования.
Проверьте свой результат, доказав, что \( F'(x) = f(x) \).
Неопределенные интегралы Примеры
В следующих примерах оцените каждый из неопределенных интегралов. Этот первый пример относительно прост.
Оценка 9{2} + 2x + 5 \right) ~\mathrm{d}x \]
Решение :
Определите, какие свойства и правила применяются.
Если вам нужно использовать более одного свойства или правила, определите порядок их использования.
Применение правила суммы/разности для интегралов.
Применение правила постоянного кратного для интегралов.
Применение правила степени для интегралов.
9{2}}{x} + \frac{4\sqrt[3]{x}}{x} \right) ~\mathrm{d}x. \]
Теперь вы можете вычислить интеграл почленно, используя правило суммы/разности и правило степени.
Если вам нужно использовать более одного свойства или правила, определите порядок их использования.
Применение правила суммы/разности.
Применение правила мощности.
Используйте выбранные вами правила.
- 9{2}} ~\checkmark\end{align} \]
Теперь предположим, что вы хотите обратить этот процесс вспять, и спросите себя: какая функция (функции) могла бы иметь производную \(f(x) = 0 \)? Очевидно, \( F(x) = 3 \) — один ответ. Вы говорите, что \(F(x) = 3\) является первообразной \(f(x) = 0\).
Другими словами, так же, как и с производными:
9{2}} ~\mathrm{d}x \]
Этот пример показывает, что упрощение тригонометрических функций в подынтегральном выражении может значительно упростить задачу.
Вычислить
\[ \int \tan(x) \cos(x) ~\mathrm{d}x \]
Решение :
Определите, какие свойства и правила применяются.
Если вам нужно использовать более одного свойства или правила, определите порядок их использования.
Используйте выбранные вами правила.
Добавьте константу интегрирования.
\[ \int \sin(x) ~\mathrm{d}x = -\cos(x) + C \]
Проверьте свой результат, доказав, что \( F'(x) = f(x ) \).\[ \begin{align}f(x) &= \tan(x) \cos(x) = \frac{\sin(x)}{\cancel{\cos(x)}} \cancel {\ cos (x)} = \ sin (x) \\ F (x) & = — \ cos (x) + C \\~ \\ F ‘(x) & = — (- \ sin (x)) \\&= \sin(x) ~\checkmark\end{align} \]
Неопределенный интеграл – основные выводы
- Если \( F(x) \) является первообразной функции \( f( x) \), то семейство первообразных \( f(x) \) называется неопределенный интеграл . Это записывается как: \[ \int f(x) ~\mathrm{d}x = F(x) + C, \]где \(C\) — любая константа.
- Вы можете интегрировать «почленно» для сумм, разностей и постоянных множителей. Эти свойства линейности резюмируются следующим образом:
- Свойство суммы/разности: \[ \int (f(x) \pm g(x)) ~\mathrm{d}x = \int f(x) ~\mathrm{d} x \pm \int g(x) ~\mathrm{d}x \]
- Постоянное кратное свойство:\[ \int kf(x) ~\mathrm{d}x = k \int f(x) ~\mathrm {г}х \]
В большинстве случаев правила нахождения неопределенного интеграла функции обратны правилам нахождения производных.
- Интеграл произведения (или частного) двух функций не равен произведению (или частному) интеграла функций.\[ \begin{align}\int f(x) \cdot g(x ) ~\mathrm{d}x &\neq \int f(x) ~\mathrm{d}x \cdot \int g(x) ~\mathrm{d}x \\\int \frac{f(x) }{g (x)} ~ \ mathrm {d} x &\ neq \ frac {\ int f (x) ~ \ mathrm {d} x} {\ int g (x) ~ \ mathrm {d} x} \ конец {выравнивание} \]
- Основные шаги для вычисления неопределенного интеграла:
Определите, какие свойства и правила применяются.
Если вам нужно использовать более одного свойства или правила, определите порядок их использования.
Используйте выбранные вами правила.
Добавьте константу интегрирования.
Проверьте свой результат, доказав, что \( F'(x) = f(x) \).
Неопределенные интегралы — определение, формулы, свойства, примеры
Производные были действительно полезны практически во всех сферах жизни. Они позволяют найти скорость изменения функции. Иногда бывают ситуации, когда доступна производная функции, и цель состоит в том, чтобы вычислить фактическую функцию, производная которой дана. В этих случаях в игру вступают интегралы. Интуитивно они представляют собой обратную сторону процесса дифференциации. Интегралы также имеют множество приложений в исчислении, а также в реальной жизни. Они полезны при анализе функций и вычислении площадей и объемов различных произвольных форм.
Что такое неопределенный интеграл?
Интегралы также известны как антипроизводные.
Интеграция есть процесс, обратный дифференциации. Вместо дифференцирования функции нам дается производная функции и требуется вычислить функцию по производной. Этот процесс называется интеграцией или антидифференциацией. Рассмотрим функцию f(x) = sin(x), производную этой функции, если f'(x) = cos(x). Итак, интегрирование f'(x) должно вернуть функцию f(x). Обратите внимание, что для каждой функции f(x) = sin(x) + C производная одинакова, потому что после дифференцирования константа становится равной нулю. Таким образом, первообразные не уникальны, для каждой функции ее первообразные бесконечны.
Эта константа C называется произвольной константой.
Для обозначения интегралов используется новый символ . Это будет представлять операцию интегрирования над любой функцией. В таблице ниже представлены символы и значения, относящиеся к интегралам.
| Символ/термин/значение | Значение |
|---|---|
| Интеграл от f по x | |
| f(x) в дюймах | Integrand |
| x in | Переменная интегрирования |
| Интеграл от f(x) | Функция такая, что F'(x) = f(x) |
Правило обратной степени — это одно из правил, которые помогают нам интегрировать многочлены и другие функции. Правило обратной мощности Это правило помогает интегрировать функции, члены которых имеют форму x н .
Здесь C — произвольная константа, а n ≠ 1.
В этом правиле показатель степени переменной увеличивается на 1, а затем результат делится на новое значение показателя степени. В таблице ниже приведены интегралы некоторых стандартных функций.
| Функция | Интеграл |
|---|---|
| sin(x) | -cos(x) | cos(x) | sin(x) |
| e x | e x |
| сек 2 (x) | tan(x) |
| ln(x) |
Графическая интерпретация интегралов
Помимо обычные алгебраические правила вычисления интегралов.
Интегралы можно понять через графики. Ясно, что интегралы есть не что иное, как антипроизводные. Рассмотрим функцию f(x) и скажем, что она является антипроизводной, если задана F(x). В этом случае F'(x) = f(x). Рассматривайте приведенный ниже график как график функции f(x), это означает, что график производных функции F(x) задан и целью является определение интегральной функции F(x).
На графике показана функция f(x) = 2x, это прямая линия, проходящая через начало координат. Проинтегрируем данную функцию, используя упомянутое выше правило обратной мощности.
Теперь, когда это C = 0, уравнение интеграла становится F(x) = x 2 , что представляет собой параболу с центром в начале координат. При С = 1 парабола смещается вверх на одну единицу и аналогично при С = -1 парабола смещается вниз на одну единицу.
Это означает, что функция F(x) = x 2 + C представляет семейство кривых.
Интегралы по графикам Интегралы можно грубо определить по графикам.
Подынтегральные выражения есть не что иное, как производные от интегралов. Они дают информацию о скорости увеличения/уменьшения и максимумах и минимумах интегралов. Рассмотрим график функции f(x),
Предположим, что F(x) =
Поскольку производная функции положительна и возрастает, функция будет возрастать с возрастающей скоростью, и график функция F(x) будет приблизительно иметь вид параболы, устремленной вверх. Рисунок ниже дает примерное представление о графике функции F(x).
Вычисление неопределенного интеграла
Различные шаги для вычисления неопределенного интеграла:
Шаг 1: Нормальные неопределенные интегралы решаются с использованием формул прямого интегрирования.
Шаг 2: Интегралы с рациональными функциями решаются методом частных дробей.
Шаг 3: Неопределенные интегралы можно решать методом подстановки.
Шаг 4: Интегрирование по частям используется для решения интеграла от функции, где две функции представлены как произведение.
Пример: Найдите неопределенный интеграл ∫ x 3 cos x 4 dx
Решение:
Методом подстановки.
Допустим,
x 4 = t
4x 3 dx = dt
Теперь ∫ x 3 cos x 906 71 4 dx
= 1/4∫cos t dt
= 1/4 (sin t) + C
= 1/4 sin (x 4 ) + C
Важные формулы для неопределенных интегралов
Некоторые из важных формул неопределенных интегралов: н + 1 / (н + 1) + C
Свойства неопределенного интеграла
Неопределенные интегралы обладают различными свойствами некоторые из различных свойств неопределенного интеграла:
Свойство суммы
Свойство суммы неопределенного интеграла: ∫ [f(x) + g (x)] dx = ∫ f (x) dx + ∫ g (x) dx
Свойство разности
Свойство разности неопределенного интеграла —
∫ [f (x) × g(x)]dx = ∫ f(x)dx × ∫ g(x)dx
Свойство постоянного кратного
Свойство постоянного кратного неопределенного интеграла:
0002 Некоторые другие свойства неопределенный интеграл равен
- ∫ f(x) dx = ∫ g(x) dx, если ∫ [f(x) – g(x)]dx = 0
- ∫ [k 1 f 1 (x ) + k 2 f 2 (x) + …+k n f n (x)]dx = k 1 ∫ f 1 (x)dx + k 2 ∫ f 2 (x)dx + … + k n ∫ f n (x)dx
Разность между неопределенным интегралом и Определенный интеграл
Неопределенные интегралы используется для нахождения интегрирования любой функции, которая не связана, т.
для неопределенного интеграла,
∫ f (x) dx = f (x) + c
для определенного интеграла,
∫ a b f (x) dx = f (b) — f (a a )
Читать, Подробнее
- Дифференциальные уравнения
- Уравнения с частными производными
- Точные дифференциальные уравнения
In Определенные интегралы Примеры
Пример 1: Найти интеграл для заданной функции f(x), f (х) = грех(х) + 1
Решение:
Задано f(x) = sin(x) + 1
sin(x) — стандартная функция, и ее первообразная равна
=∫ f(x)dx 9000 3
= ∫ (sin(x) + 1)dx
=
=
003
Решение:
Учитывая f(x) = 2e x
e x , это стандартная функция, и ее антипроизводная равна 9.
=
=
Используя упомянутое выше свойство 1,
=
= 2e x + C
Пример 3. Найти интеграл для заданной функции f(x), f(x) = 5x -2
Решение:
Учитывая f(x) = 5x -2
Используя правило обратной степени
=
=
Используя свойство 1, упомянутое выше,
=
=
Пример 4. Найдите интеграл для заданной функции f(x), f(x) = sin(x) + 5cos(x)
Решение:
Учитывая f(x) = sin (x) + 5cos(x)
sin(x) и cos(x) являются стандартными функциями, а их интеграл равен
=
Пример 5. Найдите интеграл для заданной функции f(x), f(x) = 5x -2 + x 4 + x
Решение:
Учитывая f(x) = 5x -2 + x 4 + x
Используя правило обратной степени
=
=
=
=
=
Пример 6: Является ли приведенный ниже график дифференцируемым или нет?
Решение:
Граф, приведенный выше, y = 4 является постоянным графом.
И постоянный граф легко дифференцируемы.
Часто задаваемые вопросы о неопределенном интеграле
Q1: Что представляет собой неопределенный интеграл?
Ответ:
Для любой функции F(x), производной которой является f(x). Неопределенные интегралы представляют собой первообразные функций, таких что ∫f(x) dx есть F(x).
Q2: Неопределенные интегралы похожи на первообразные?
Ответ:
Да, неопределенные интегралы похожи на первообразные. т. е. для любой функции f (x), производной которой является f ‘(x), тогда ∫f’ (x) dx есть f (x), называется ее неопределенным интегралом или антипроизводной.
Q3: Как найти неопределенный интеграл?
Ответ:
Неопределенный Интеграл любой функции вычисляется по интегральным формулам
постоянная интегрирования
Q4: Почему определенные интегралы не имеют C?
Ответ:
Определенные интегралы не имеют константы интегрирования C, так как определенный интеграл имеет диапазон, в котором вычисляется значение интегрирования.
Q5: Каковы границы неопределенного интеграла?
Ответ:
Определенный интеграл вычисляется в диапазоне, тогда как неопределенный интеграл не вычисляется ни в каких границах.
Q6: Что такое неопределенный интеграл любой константы C?
Ответ:
Неопределенный интеграл от константы C равен Cx. Поскольку ∫ C dx = Cx + D, где D — постоянная интегрирования.
Q7: Что такое неопределенный интеграл от e
х ?Ответ:
Неопределенный интеграл от e x равен e x + C, его можно вычислить по формуле
∫ e х дх = е х + С
Q8: В чем разница между неопределенными интегралами и определенными интегралами?
Ответ:
Интегралы также называются антипроизводными, их можно считать обратными дифференцированию.
е. не имеет ни нижнего предела, ни верхнего предела. В то время как определенные интегралы дают значение функции в пределе. т. е. определенные интегралы интегрируются по определенному интервалу. Неопределенные интегралы имеют постоянную интегрирования, тогда как определенный интеграл не имеет постоянной интегрирования.
0003
