Интеграл в полярных координатах онлайн: Вычислить площадь фигуры в полярных координатах

Решение высшей математики онлайн

‹— Назад

Напомним, что определением интеграла служит предел интегральных сумм, взятый при условии измельчения разбиения отрезка интегрирования. Этим определением мы воспользуемся для нахождения площади в следующем случае.

Пусть на плоскости фиксирована система полярных координат: полярными координатами точки служат два числа (  — полярный радиус,  — полярный угол).

Рис.6.4.

Уравнение, задающее зависимость величины от полярного угла ,

задаёт некоторую линию на плоскости. Будем предполагать, что функция непрерывна при . Рассмотрим область на плоскости, расположенную между выходящими из начала координат лучами и и линией (эта область заштрихована на следующем чертеже).

Рис.6.5.

Найдём площадь области , вначале приблизив область ступенчатой фигурой следующего устройства. Область изменения угла , то есть отрезок , разобьём на части точками деления

и выберем на каждом участке некоторую отмеченную точку . Получаем размеченное разбиение отрезка . Приближённо будем считать площадь сектора области , лежащего между лучами и , равной площади кругового сектора с тем же центральным углом и радиусом, равным (см. рис.):

Рис.6.6.

Площадь кругового сектора подсчитывается по формуле

Значит, площадь всей области приближённо равна интегральной сумме

построенной по выбранному размеченному разбиению отрезка для функции

При неограниченном измельчении разбиения , то есть при условии , эта интегральная сумма будет стремиться к площади области . С другой стороны, предел интегральных сумм для функции даст определённый интеграл от этой функции. Таким образом, получаем формулу площади:

Более кратко эту формулу можно записать так:

(6.3)

где имеется в виду, что вместо полярного радиуса нужно подставить его выражение через полярный угол для зависимости, график которой ограничивает область снаружи.

        Пример 6.3   Найдём площадь области, ограниченной частью спирали ( ) при и отрезком оси (см. рис.).

Рис.6.7.

Применяя формулу (6.3), получаем:

    

Если область имеет границу, состоящую из двух отрезков лучей и (эти отрезки могут вырождаться в одну точку) и двумя линиями, заданными уравнениями в полярных координатах: и , причём при всех (см.  рис.), то площадь области можно представить как разность двух площадей:  — площади области, лежащей между лучами , и линией , — и  — площади области, лежащей между лучами , и линией .

Рис.6.8.

Каждую из площадей и можно подсчитать по формуле (6.3), так что получаем в итоге

(6.4)

Математика, вышка, высшая математика, математика онлайн, вышка онлайн, онлайн математика, онлайн решение математики, ход решения, процес решения, решение, задачи, задачи по математике, математические задачи, решение математики онлайн, решение математики online, online решение математики, решение высшей математики, решение высшей математики онлайн, матрицы, решение матриц онлайн, векторная алгебра онлайн, решение векторов онлайн, система линейных уравнений, метод Крамера, метод Гаусса, метод обратной матрицы, уравнения, системы уравнений, производные, пределы, интегралы, функция, неопределенный интеграл, определенный интеграл, решение интегралов, вычисление интегралов, решение производных, интегралы онлайн, производные онлайн, пределы онлайн, предел функции, предел последовательности, высшие производные, производная неявной функции

Онлайн-уроки по математике Взрослый

Русский языкРусская литератураАнглийский языкНемецкий языкМатематикаИстория РоссииОбществознаниеГеографияБиологияФизикаХимияИспанский языкФранцузский языкВсеобщая историяИнформатика и ИКТЛитературное чтениеВысшая математикаПольский языкТурецкий языкИтальянский языкКитайский языкРусский язык как иностранныйЭкономикаПрограммированиеЛогикаШахматыАнглийский язык IELTS TOEFLТеоретическая механикаМатематическая статистикаЭконометрикаМастерство актерскоеПравоЯпонский языкКорейский языкPhotoshopТеория вероятностейПодготовка к школеЖивописьРисованиеРКИ для детей-билингвовРиторикаЛогистикаПсихологияИгра на гитареИстория БеларусиУправление человеческими ресурсами

1 класс2 класс3 класс4 класс5 класс6 класс7 класс8 класс9 класс10 класс11 класс1 курс2 курс3 курсВзрослыйНе указан

Применить фильтр

Векторы и операции с ними;модули, тригонометрия

Просмотреть

Хотелось бы вспомнить как находить лимиты, производные и интегралы

Просмотреть

https://www. sevsu.ru/images/postuplenie/programms/common/maths.pdf

Просмотреть

Подготовка к вступительным экзаменам в универ

Просмотреть

Определители. Метод эффективного понижения порядка. Домашняя работа 2.

Просмотреть

Уравнения с одной переменной

Просмотреть

Решение задач. Алгебра 7 класс.

Просмотреть

Неопределенный интеграл

Просмотреть

Предыдущая рассмотренная тема: решение дифференциальных уравнений методами операционного исчисления.

Просмотреть

Логарифмические уровнения

Просмотреть

Предыдущая рассмотренная тема: поток векторного поля через поверхность, дивергенция. Решение задач.

Просмотреть

Множественные интегралы. Пройденная на предыдущем занятии тема: решение задач на тройные интегралы в сферических координатах.

Просмотреть

Множественные интегралы. Пройденная на предыдущем занятии тема: тройные интегралы в цилиндрических и сферических координатах.

Просмотреть

Множественные интегралы. Темы, рассмотренные на предыдущем занятии: нахождение пределов тройного интеграла; вычисление объемов фигур при помощи тройного интеграла.

Просмотреть

Множественные интегралы. На предыдущем занятии пройдены пределы тройного интеграла.

Просмотреть

Множественные интегралы. На предыдущем занятием пройдены: применения двойного интеграла, понятие тройного интеграла (начало).

Просмотреть

Рябушко стр. 177 задачи 1.21 +

Просмотреть

Двойные интегралы. Ранее пройденные темы: понятие двойного интеграла и вычисление его пределов, вычисление двойного интеграла в полярных координатах и метод замены переменной.

Просмотреть

Алгебра. Возведение в степень.

Просмотреть

Теория вероятностей. Комбинаторика.

Просмотреть

Геометрия. Подобие треугольников

Просмотреть

Подобие треугольников. Средняя линия, sin/cos.

Просмотреть

Подготовка к ЕГЭ. Функции

Просмотреть

Геометрия. Площади многоугольников

Просмотреть

Теорема Больцано-Вейерштрасса, верхний и нижний пределы.

Просмотреть

На этой странице вы найдете бесплатные онлайн-уроки по математике. Они помогут вам освоить темы, вызывающие трудности в понимании, и повторить весь материал школьного курса по алгебре и геометрии.

Видео-уроки записаны ведущими преподавателями, которые понятно и доходчиво объясняют сложные вопросы школьной программы.

Онлайн формат позволяет в комфортной обстановке, в удобное время, дома или в дороге, просматривать уроки на компьютере или другом устройстве, имеющем выход в интернет.

В разделе имеются уроки для учеников всех классов школы – от 1 до 11, а также уроки по отдельным темам для студентов техникумов и вузов.

Видеоуроки будут полезны всем, кто стремится хорошо подготовиться к урокам в школе, повторить пройденный материал, качественно выполнить домашнее задание, наверстать пропущенную тему.

Приятного обучения!

10.4: Площади и длины в полярных координатах

1. Последнее обновление

2. Сохранить как PDF

Идентификатор страницы

4508

Цели обучения

• Применить формулу площади региона в полярных координатах. 92}дх. \nonumber \]

  В этом разделе мы изучаем аналогичные формулы для площади и длины дуги в полярной системе координат.

  Площади областей, ограниченных полярными кривыми

  Мы изучили формулы площади под кривой, заданной в прямоугольных координатах, и параметрически заданных кривых. Теперь обратим внимание на вывод формулы площади области, ограниченной полярной кривой. Напомним, что в доказательстве основной теоремы исчисления использовалось понятие суммы Римана для аппроксимации площади под кривой с помощью прямоугольников. Для полярных кривых мы снова используем сумму Римана, но прямоугольники заменяем секторами окружности.

  Рассмотрим кривую, определяемую функцией \(r=f(θ),\), где \(α≤θ≤β.\) Наш первый шаг — разбить интервал \([α,β]\) на n подынтервалов одинаковой ширины. Ширина каждого подинтервала определяется формулой \(Δθ=(β−α)/n\), а i -я точка разбиения \(θ_i\) определяется формулой \(θ_i=α+iΔθ\ ). Каждая точка разбиения \(θ=θ_i\) определяет линию с наклоном \(\tan θ_i\), проходящую через полюс, как показано на следующем графике.

  Рисунок \(\PageIndex{1}\): Разбиение типичной кривой в полярных координатах.

  Отрезки соединяются дугами постоянного радиуса. Это определяет сектора, площади которых можно рассчитать с помощью геометрической формулы. Затем площадь каждого сектора используется для аппроксимации площади между последовательными сегментами линии. Затем мы суммируем площади секторов, чтобы аппроксимировать общую площадь. Этот подход дает приближение суммы Римана для общей площади. Формула площади сектора круга показана на следующем рисунке. 92 дθ. \label{areapolar}\end{align} \]

  Пример \(\PageIndex{1}\): Нахождение площади полярной области

  Найдите площадь одного лепестка розы, определяемой уравнением \(r =3\sin(2θ).\)

  Решение

  График \(r=3\sin(2θ)\) следует.

  Рисунок \(\PageIndex{3}\): График \(r=3\sin (2θ).\)

  Когда \(θ=0\) имеем \(r=3\sin(2 (0))=0\). Следующее значение, для которого \(r=0\), равно \(θ=π/2\). Это можно увидеть, решив уравнение \(3\sin (2θ)=0\) для \(θ\). Следовательно, значения от \(θ=0\) до \(θ=π/2\) очерчивают первый лепесток розы. Чтобы найти площадь внутри этого лепестка, используйте уравнение \ref{areapolar} с \(f(θ)=3\sin (2θ), α=0,\) и \(β=π/2\): 9{π/2}_0 \\[4pt] &=\dfrac{9}{4}(\dfrac{π}{2}-\dfrac{\sin 2π}{4})-\dfrac{9}{4} }(0−\dfrac{\sin 4(0)}{4}) \\[4pt] &=\dfrac{9π}{8}\end{align*}\]

  Упражнение \(\PageIndex{1 }\)

  Найдите площадь внутри кардиоиды, определяемой уравнением \(r=1−\cos θ\).

  Подсказка

  Использовать уравнение \ref{areapolar}. Обязательно определите правильные пределы интегрирования перед оценкой.

  Ответ

  \(А=3π/2\)

  Пример \(\PageIndex{1}\) включал поиск площади внутри одной кривой. Мы также можем использовать уравнение \ref{areapolar}, чтобы найти площадь между двумя полярными кривыми. Однако нам часто нужно найти точки пересечения кривых и определить, какая функция определяет внешнюю кривую или внутреннюю кривую между этими двумя точками.

  Пример \(\PageIndex{2}\): нахождение площади между двумя полярными кривыми

  Найдите площадь вне кардиоиды \(r=2+2\sin θ\) и внутри круга \(r=6\ sin θ\).

  Решение

  Сначала нарисуйте график, содержащий обе кривые, как показано на рисунке.

  Рисунок \(\PageIndex{4}\): Область между кривыми \(r=2+2\sin θ\) и \(r=6\sin θ.\)

  Для определения пределов интегрирования, сначала найдите точки пересечения, установив две функции равными друг другу и решив для \(θ\):

  \[\begin{align*} 6 \sin θ &=2+2\sin θ \ \[4pt] 4\sin θ &=2 \\[4pt] \sin θ &=\dfrac{1}{2} \end{align*}. \номер\]

  Это дает решения \(θ=\dfrac{π}{6}\) и \(θ=\dfrac{5π}{6}\), которые являются пределами интегрирования. Окружность \(r=3\sin θ\) — это красный график, который является внешней функцией, а кардиоида \(r=2+2\sin θ\) — это синий график, который является внутренней функцией. Чтобы вычислить площадь между кривыми, начните с площади внутри круга между \(θ=\dfrac{π}{6}\) и \(θ=\dfrac{5π}{6}\), затем вычтите площадь внутри кардиоиды между \(θ=\dfrac{π}{6}\) и \(θ=\dfrac{5π}{6}\):

  9{5π/6}_{π/6}\)

  \(=9(\dfrac{5π}{6}−\dfrac{\sin(10π/6)}{2})−9(\dfrac{ π}{6}-\dfrac{\sin(2π/6)}{2})-(3(\dfrac{5π}{6})-4\cos\dfrac{5π}{6}-\dfrac{ \sin(10π/6)}{2})+(3(\dfrac{π}{6})−4\cos\dfrac{π}{6}−\dfrac{\sin(2π/6)}{ 2})\)

  \(=4π\).

  Упражнение \(\PageIndex{2}\)

  Найдите площадь внутри круга \(r=4\cos θ\) и вне круга \(r=2\).

  Подсказка

  Используйте уравнение \ref{areapolar} и пользуйтесь преимуществом симметрии.

  Ответить

  \(A=\dfrac{4π}{3}+2\sqrt{3}\)

  В примере \(\PageIndex{2}\) мы нашли площадь внутри круга и вне кардиоиды, сначала найдя их точки пересечения. Обратите внимание, что непосредственное решение уравнения для \(θ\) дало два решения: \(θ=\dfrac{π}{6}\) и \(θ=\dfrac{5π}{6}\).

  Однако на графике есть три точки пересечения. Третья точка пересечения является исходной точкой. Причина, по которой эта точка не появилась в качестве решения, заключается в том, что начало координат находится на обоих графиках, но для разных значений \(θ\). Например, для кардиоиды получаем

  \[\begin{align*} 2+2\sin θ =0 \\[4pt] \sin θ =−1 ,\end{align*}. \nonumber \]

  , поэтому значения для \(θ\), которые решают это уравнение, равны \(θ=\dfrac{3π}{2}+2nπ\), где \(n\) — любое целое число. Для окружности получаем

  \[6\sin θ=0. \nonumber \]

  Решения этого уравнения имеют вид \(θ=nπ\) для любого целого значения \(n\). Эти два набора решений не имеют общих точек. Независимо от этого кривые пересекаются в начале координат. Этот случай нужно всегда учитывать. 92}дт. \nonumber \]

  В полярных координатах мы определяем кривую уравнением \(r=f(θ)\), где \(α≤θ≤β.\) Чтобы адаптировать формулу длины дуги для полярной кривой , мы используем уравнения

  \[x=r\cos θ=f(θ)\cos θ \nonumber \]

  и

  \[y=r\sin θ=f(θ)\sin θ, \ nonumber \]

  и заменяем параметр \(t\) на \(θ\). 2dθ\). 92}dθ \номер\]

---

1. Наверх

• Была ли эта статья полезной?

1. Тип изделия

   Раздел или Страница

   Показать страницу TOC

   нет

2. Теги

   На этой странице нет тегов.

Онлайн-калькулятор полярных координат

Что говорят наши клиенты…

Тысячи пользователей используют наше программное обеспечение, чтобы справиться со своими домашними заданиями по алгебре. Вот некоторые из их опытов:

Похоже, вы улучшили и без того хорошую программу. Еще раз спасибо и поздравления.

Давид Могорит, ДЦ

Квадратные уравнения доставляли мне массу хлопот. Затем у меня появился Алгебратор, и он помог мне не только с квадратичными уравнениями, но и с практически любым уравнением или выражением, которое я только мог придумать!

P.K., California

Я только что впервые закончил пользоваться Алгебратором. Я просто должен был сообщить вам, насколько я доволен тем, насколько это просто и мощно. Отличный продукт. Продолжайте хорошую работу.

Южная Каролина, Коннектикут

Алгебратор потрясающий и не от мира сего! Спасибо, что сделали мою жизнь намного проще!

Марша Стоунвич, Техас

У меня нет проблем. Я просто хотел, чтобы вы знали, что я рад, что я купил ваш продукт. Я также ценю обновления, поскольку они не только улучшают внешний вид продукта, но и делают его более удобным для пользователя.

Давид Могорит, DC

Поисковые фразы, использованные 22 октября 2007 г.