Интеграл x e 1: Mathway | Популярные задачи — Таловская средняя школа

Содержание

Интеграл Эйлера — Пуассона. Подробно о способах вычисления / Хабр

В статье подробно, вплоть до самых мелочей, рассмотрены три способа взятия интеграла Эйлера-Пуассона. В одном из способов выводится вспомогательная формула редукции. Для нахождения некоторых сложных интегралов можно использовать формулы редукции, которые позволяют понизить степень подынтегрального выражения и вычислить соответствующие интегралы за конечное число шагов.

Данный интеграл берется от гауссовой функции:
Здесь есть очень интересный математический способ. Чтобы найти исходный интеграл, сначала ищут квадрат этого интеграла, а потом от результата берут корень. Почему? Да потому что так гораздо проще и безболезненно можно перейти в полярный координаты. Поэтому, рассмотрим квадрат Гауссового интеграла:

Мы видим, что у нас получается двойной интеграл от некоторой функции . В конце этого поверхностного интеграла стоит элемент площади в декартовой системе координат .

Теперь давайте переходить в полярную систему координат:

Тут нужно заметить, что r может изменяться в пределах от 0 до +∞, т.к. x изменялось в таких же пределах. А вот угол φ изменяется от 0 до π/2, что описывают область интегрирования в первой четверти декартовой системы координат. Подставляя в исходный, получим:

В силу симметричности интеграла и положительной области значений подынтегральной функции, можно заключить, что

Давайте поищем ещё какие-нибудь решения? Это ведь интересно! 🙂

Рассмотрим функцию
А теперь вспомним школьную математику и проведем простейшее исследование функции с помощью производных и пределов. Не то, чтобы мы здесь будем считать сложные пределы (ведь в школе их не проходят), а просто порассуждаем что будет с функцией, если её аргумент стремится к нулю или к бесконечности, таким образом прикинем асимптотическое поведение, что в математике всегда очень важно.

Это похоже на качественную оценку того, что происходит.

Она ограничена сверху единицей на интервале (-∞;+∞) и нулем на интервале [-1;+∞).

Cделаем следующую замену переменных
И получим:

Ограничим в первом неравенстве изменение (0,1), а во втором — промежутком (0;+∞), возведём оба неравенства в степень n, так как неравенства с положительными членами можно возводить в любую положительную степень. Получим:

Давайте для наглядного доказательства неравенств построим графики при n = 1

Теперь попробуем проинтегрировать неравенства в пределах, которые указаны в соответствующих системах. И сразу объединим всё в одно неравенство:

Опять таки, если посмотреть на графики, то данное неравенство справедливо.

С учетом небольшой замены, легко увидеть, что:

Т. е. в том большом неравенстве в середине у нас интеграл Эйлера-Пуассона, а вот теперь нам нужно найти интегралы, которые стоят на границах данного неравенства.

Найдем интеграл от левой границы:

Для того, чтобы его посчитать и оценить, давайте сначала найдем интеграл общего вида. Сейчас я покажу вам как можно вывести формулу редукции ( в математике под такими формулами подразумевают понижения степени ) для данного интеграла.

Теперь если с помощью формулы редукции рассмотреть тот же интеграл, но с нашими пределами от 0 до π/2, то можно сделать некоторые упрощения:

Как мы видим, понижать можно до бесконечности (зависит от n). Однако, и тут есть одна тонкость. Формула изменяется в зависимости то того, является ли n четным числом или не является.
Для этого рассмотрим два случая.

Где n!! — двойной факториал. Двойной факториал числа n обозначается n!! и определяется как произведение всех натуральных чисел в отрезке [1, n], имеющих ту же чётность что и n

В силу того, что 2n+1 — нечетное число при любом значении n, получим для левой границы нашего неравенства:

Найдем интеграл от правой границы:
(здесь используем ту же формулу редукции, которую доказали ранее)

После того, как мы оценили левую и правую части неравенства, сделаем некоторые преобразования, чтобы оценить пределы левой и правой частей неравенства при условии, что n стремится к ∞:

Возведем обе части неравенства в квадрат:

Теперь сделаем небольшое лирическое отступление. В 1655 году Джон Валлис (английский математик, один из предшественников математического анализа.) предложил формулу для определения числа π. Дж. Валлис пришёл к ней, вычисляя площадь круга. Это произведение сходится крайне медленно, поэтому для практического вычисления числа π формула Валлиса мало пригодна. Но для оценки нашего выражения она отлично подходит 🙂

Теперь преобразуем наше неравенство так, чтобы мы могли увидеть где подставить формулу Валлиса:

Из формулы Валлиса следует, что и левое, и правое выражение стремятся к π/4 при n → ∞

В силу того, что функция exp[-x²] является четной, мы смело полагаем, что

Впервые одномерный гауссов интеграл вычислен в 1729 году Эйлером, затем Пуассон нашел простой приём его вычисления. В связи с этим он получил название интеграла Эйлера — Пуассона.

Давайте еще попробуем вычислить Гауссов интеграл. Его можно написать в разных видах. Ведь ничего не меняет изменение название переменной, по которой идет интегрирование.

Можно перейти от трехмерных декартовых к сферическим координатам и рассмотреть куб интеграла Гаусса.

Якобиан этого преобразования можно посчитать следующим образом:

Посчитаем интегралы последовательно, начиная с внутреннего.

Тогда в результате получим:

Интеграл Эйлера-Пуассона часто применяется в теории вероятностей.

Надеюсь, что для кого-нибудь статья будет полезной и поможет разобраться в некоторых математических приемах 🙂

(-Икс)?

Исчисление

Наука

Анатомия и физиология
астрономия
Астрофизика

Биология
Химия
науки о Земле
Наука об окружающей среде
Органическая химия
Физика

Математика

Алгебра
Исчисление
Геометрия

Преалгебра
Предварительный расчет
Статистика
Тригонометрия

Гуманитарные науки

Английская грамматика
История США
Всемирная история

.

Сократическая мета
Избранные ответы

Темы

Влияние этого вопроса

39203 просмотра по всему миру 9x) равно xe ^x — e ^x + C. Интеграл функции есть не что иное, как обратный процесс дифференцирования. Поэтому интеграл от xe ^x также называют первообразной от xe ^x. Его можно рассчитать с помощью одного из важных методов интегрирования, известного как метод интегрирования по частям. Интеграл функции дает площадь под кривой функции. Итак, мы можем сказать, что интеграл от xe ^x дает площадь под кривой функции f(x) = xe 9x, и его можно оценить с помощью метода ILATE (также известного как метод интегрирования по частям).

Интеграл xe

^x Доказательство

Теперь мы знаем, что формула для интеграла xe ^x задается как интегрирование по частям (продуктовое правило интегрирования). Мы будем использовать формулу ∫f(x) g(x) dx = f(x) ∫g(x) dx — ∫[df/dx × ∫g(x) dx] dx. Здесь мы выбираем f(x) и g(x) в соответствии с ILATE — обратная функция, логарифмическая функция, алгебраическая функция, тригонометрическая функция и экспоненциальная функция. Итак, первая функция f(x) = x (поскольку x — алгебраическая функция) и g(x) = e 9x: ∫e ^x dx = e ^x + C

Производная x: d(x)/dx = 1

Используя формулы, имеем

∫xe ^x dx = x ∫e ^x dx — ∫[dx/dx × ∫e ^x dx] dx x

6 = × e ^x ) dx

= xe ^x — ∫e ^x dx

= xe ^x — e ^x + C

= e ^x (x — 1) + C

Таким образом, мы получили формулу для интеграла от xe 9x с пределами от 0 до 1. Мы подставим эти пределы в формулу интеграла xe ^x, чтобы найти его определенный интеграл. Мы знаем, что ∫xe ^x dx = e ^x (x — 1) + C, где C — постоянная интегрирования. Итак, мы имеем

₀ ∫ ¹ XE ^x DX = [E ^x (x — 1) + C] ₀ ¹

= (E ¹ (1 — 1-1

= (E ¹ (1-1

. ) + С) — (е ⁰ (0 — 1) + С)

= (е × 0 + С) — (1 × -1 + С) 9х

Дифференциация и интеграция

Часто задаваемые вопросы по Integral xe

Что такое интеграл xe

^x в исчислении?

Интеграл от xe ^x равен xe ^x — e ^x + C, где C — постоянная интегрирования. Интеграл xe ^x дает площадь под кривой функции f(x) = xe ^x. Мы можем вычислить этот интеграл, используя формулу интегрирования по частям. 9Икс?

Формула для интегрирования xe ^x определяется как — 1) + C, где C — постоянная интегрирования. Мы можем вычислить этот интеграл, используя последовательность функций ILATE в методе интегрирования по частям.

Как найти интеграл xe

^x ?

Мы можем найти интеграл от xe ^x, используя один из наиболее часто используемых и важных методов интегрирования, известный как интегрирование по частям. Мы можем использовать формулу интегрирования по частям: ∫f(x) g(x) dx = f(x) ∫g(x) dx — ∫[df/dx × ∫g(x) dx] dx или удв = ув — ∫вду. 92) можно рассчитать с помощью подстановочного метода интегрирования.

Как найти интеграл от xe

^{x ²} ?

Интеграл от xe ^{x ²} можно найти методом подстановки интегрирования. Мы можем принять x ² равным некоторой переменной u (скажем) и изменить переменную интегрирования, чтобы упростить интегральную задачу.