Как перемножить 2 скобки: Раскрытие скобок: правила, примеры, решения

Раскрытие скобок: правила, примеры, решения

Раскрытие скобок является одним из видов преобразования выражения. В этом разделе мы опишем правила раскрытия скобок, а также рассмотрим наиболее часто встречающиеся примеры задач.

Что называется раскрытием скобок?

Скобки используются для указания на порядок выполнения действий в числовых и буквенных выражениях, а также в выражениях с переменными. От выражения со скобками удобно перейти к тождественно равному выражению без скобок. Например, заменить выражение 2·(3+4) на выражение вида 2·3+2·4без скобок. Этот прием носит название раскрытия скобок.

Под раскрытием скобок подразумевают приемы избавления от скобок и рассматривают его обычно в отношении выражений, которые могут содержать:

• знаки «+» или «-» перед скобками, в которые заключены суммы или разности;
• произведение числа, буквы или нескольких букв и суммы или разности, которая помещена в скобки.

Так мы привыкли рассматривать процесс раскрытия скобок в курсе школьной программы. Однако никто не мешает нам посмотреть на это действие шире. Мы можем назвать раскрытием скобок переход от выражения, которое содержит отрицательные числа в скобках, к выражению, не имеющему скобок. К примеру, мы можем перейти от 5+(−3)−(−7) к 5−3+7. Фактически, это тоже раскрытие скобок.

Точно также мы можем заменить произведение выражений в скобках вида (a+b)·(c+d) на сумму a·c+a·d+b·c+b·d. Такой прием также не противоречит смыслу раскрытия скобок.

Вот еще один пример. Мы можем допустить, что в выражениях вместо чисел и переменных могут быть использованы любые выражения. Например, выражению x2·1a-x+sin(b)  будет соответствовать выражение без скобок вида x2·1a-x2·x+x2·sin(b) .

Отдельного внимания заслуживать еще один момент, который касается особенностей записи решений при раскрытии скобок. Мы можем записать начальное выражение со скобками и полученный после раскрытия скобок результат как равенство. Например, после раскрытия скобок вместо выражения 3−(5−7) мы получаем выражение 3−5+7.

Проведение действий с громоздкими выражениями может потребовать записи промежуточных результатов. Тогда решение будет иметь вид цепочки равенств. Например, 5−(3−(2−1))=5−(3−2+1)=5−3+2−1 или 5−(3−(2−1))=5−3+(2−1)=5−3+2−1.

Правила раскрытия скобок, примеры

Приступим к рассмотрению правил раскрытия скобок.

У одиночных чисел в скобках

Отрицательные числа в скобках часто встречаются в выражениях. Например, (−4) и 3+(−4). Положительные числа в скобках тоже имеют место быть.

Сформулируем правило раскрытия скобок, в которых заключены одиночные положительные числа. Предположим, что а – это любое положительное число. Тогда (а) мы можем заменить на а, +(а) на +а, -(а) на –а. Если вместо а взять конкретное число, то согласно правилу: число (5) запишется как 5, выражение 3+(5) без скобок примет вид 3+5, так как +(5) заменяется на +5, а выражение 3+(−5) эквивалентно выражению 3−5, так как +(−5) заменяется на −5.

Положительные числа обычно записываются без использования скобок, так как скобки в этом случае излишни.

Теперь рассмотрим правило раскрытия скобок, внутри которых содержится одиночное отрицательное число. +(−a) мы заменяем на −a,  −(−a) заменяется на +a. Если выражение начинается с отрицательного числа (−a), которое записано в скобках, то скобки опускаются и вместо (−a) остается −a.

Приведем примеры:  (−5) можно записать как  −5,  (−3)+0,5 принимает вид −3+0,5,  4+(−3) превращается в 4−3, а −(−4)−(−3) после раскрытия скобок принимает вид 4+3, так как −(−4) и −(−3) заменяется на +4 и +3.

Следует понимать, что записать выражение 3·(−5) как 3·−5 нельзя. Об этом речь пойдет в следующих пунктах.

Давайте посмотрим, на чем основываются правила раскрытия скобок.

Согласно правилу разность a−b равна a+(−b). На основе свойств действий с числами мы можем составить цепочку равенств (a+(−b))+b=a+((−b)+b)=a+0=a, которая будет справедлива. Эта цепочка равенств в силу смысла вычитания доказывает, что выражение a+(−b)  — это разность a−b.

Основываясь на свойствах противоположных чисел и правил вычитания отрицательных чисел мы можем утверждать, что −(−a)=a, a−(−b)=a+b.

Встречаются выражения, которые составляются из числа, знаков минуса и нескольких пар скобок. Использование приведенных выше правил позволяет последовательно избавляться от скобок, продвигаясь от внутренних скобок к наружным или в обратном направлении. Примером такого выражения может быть −(−((−(5)))). Раскроем скобки, продвигаясь изнутри наружу: −(−((−(5))))=−(−((−5)))=−(−(−5))=−(5)=−5. Также этот пример можно разобрать и в обратном направлении: −(−((−(5))))=((−(5)))=(−(5))=−(5)=−5.

Под a и b можно понимать не только числа, но также произвольные числовые или буквенные выражения со знаком «+» впереди, которые не являются суммами или разностями. Во всех этих случаях можно применять правила точно также, как мы делали это в отношении одиночных чисел в скобках.

К примеру, после раскрытия скобок выражение −(−2·x)−(x2)+(−1x)−(2·x·y2:z) примет вид 2·x−x2−1x−2·x·y2:z. Как мы это сделали? Мы знаем, что −(−2·x) есть +2·x, а так как это выражение стоит вначале, то +2·x можно записать как 2·x, −(x2)=−x2, +(−1x)=−1x и −(2·x·y2:z)=−2·x·y2:z.

В произведениях двух чисел

Начнем с правила раскрытия скобок в произведении двух чисел.

Предположим, что a и b – это два положительных числа. В этом случае произведение двух отрицательных чисел −a и −b вида (−a)·(−b) мы можем заменить на (a·b), а произведения двух чисел с противоположными знаками вида (−a)·b и a·(−b) заменить на (−a·b). Умножение минуса на минус дает плюс, а умножение минуса на плюс, как и умножение плюса на минус дает минус.

Верность первой части записанного правила подтверждается правилом умножения отрицательных чисел. Для подтверждения второй части правила мы можем использовать правила умножения чисел с разными знаками.

Рассмотрим несколько примеров.

Рассмотрим алгоритм раскрытия скобок в произведении двух отрицательных чисел -435 и -2, вида(-2)·-435 . Для этого заменим исходное выражение на 2·435 . Раскроем скобки и получим 2·435 .

А если мы возьмем частное отрицательных чисел (−4):(−2), то запись после раскрытия скобок будет иметь вид 4:2

На месте отрицательных чисел −a и −b могут быть любые выражения со знаком минус впереди, которые  не являются суммами или разностями. К примеру, это могут быть произведения, частные, дроби, степени, корни, логарифмы, тригонометрические функции и т.п.

Раскроем скобки в выражении  -3·xx2+1·x·(ln5). Согласно правилу, мы можем произвести следующие преобразования:   -3·xx2+1·x·(ln5)=-3·xx2+1·x·ln5=3·xx2+1·x·ln5.

Выражение (−3)·2 можно преобразовать в выражение (−3·2). После этого можно раскрыть скобки: −3·2

 23·-45=-23·45=-23·45

 Деление чисел с разными знаками также может потребовать предварительного раскрытия скобок:  (−5):2=(−5:2)=−5:2 и  234:(-3,5)=-234:3,5=-234:3,5.

Правило может быть использовано для выполнения умножения и деления выражений с разными знаками. Приведем два  примера.

-1x+1:x-3=-1x+1:x-3=-1x+1:x-3

и 

sin(x)·(-x2)=(-sin(x)·x2)=-sin(x)·x2

В произведениях трех и большего количества чисел

Перейдем к произведенимя и частным, которые содержат большее количество чисел. Для раскрытия скобок здесь будет действовать следующее правило. При четном количестве отрицательных чисел можно опустить скобки, заменив числа противоположными. После этого необходимо заключить полученное выражение в новые скобки. При нечетном количестве отрицательных чисел, опустив скобки, заменить числа на противоположные. После этого полученное выражение необходимо взять в новые скобки и поставить перед ним знак минус.

Для примера, возьмем выражение 5·(−3)·(−2), которое представляет собой произведение трех чисел. Отрицательных чисел два, следовательно, мы можем записать выражение как  (5·3·2) и затем окончательно раскрыть скобки, получив выражение 5·3·2.

В произведении (−2,5)·(−3):(−2)·4:(−1,25):(−1)  пять чисел являются отрицательными. поэтому (−2,5)·(−3):(−2)·4:(−1,25):(−1)=(−2,5·3:2·4:1,25:1). Окончательно раскрыв скобки, получаем  −2,5·3:2·4:1,25:1.

Обосновать приведенное выше правило можно следующим образом. Во-первых, такие выражения мы можем переписать как произведение, заменив умножением на обратное число деление. Представляем каждое отрицательное число как произведение множительного числа и -1 или -1 заменяем на (−1)·a.

Используя переместительное свойство умножения меняем местами множители и переносим все множители, равные 

Если бы мы не использовали правило, то цепочка действий по раскрытию скобок в выражении -23:(-2)·4:-67 выглядела бы следующим образом:

-23:(-2)·4:-67=-23·-12·4·-76==(-1)·23·(-1)·12·4·(-1)·76==(-1)·(-1)·(-1)·23·12·4·76=(-1)·23·12·4·76==-23·12·4·76

Приведенное выше правило может быть использовано при раскрытии скобок в выражениях, которые представляют собой произведения и частные со знаком минус, не являющихся суммами или разностями. Возьмем для примера выражение

 x2·(-x):(-1x)·x-3:2.

Его можно привести к выражению без скобок  x2·x:1x·x-3:2 .

Раскрытие скобок, перед которыми стоит знак «+»

Рассмотрим правило, которое можно применить для раскрытия скобок, перед которыми стоит знак плюс, а «содержимое» этих скобок не умножается и не делится на какое-либо число или выражение.

Согласно правилу скобки вместе со стоящим перед ними знаком опускаются, при этом знаки всех слагаемых в скобках сохраняются. Если перед первым слагаемым в скобках не стоит никакого знака, то нужно поставить знак плюс.

Для примера приведем выражение (12−3,5)−7.  Опустив скобки, мы сохраняем знаки слагаемых в скобках и ставим перед первым слагаемым знак плюс. Запись будет иметь вид (12−3,5)−7=+12−3,5−7. В приведенном примере знак перед первым слагаемым ставить не обязательно, так как +12−3,5−7=12−3,5−7.

Рассмотрим еще один пример. Возьмем выражение  x+2a-3×2+1-x2-4+1x и проведем с ним действия  x+2a-3×2+1-x2-4+1x==x+2a-3×2+1-x2-4+1x

Вот еще один пример раскрытия скобок:

2+x2+1x-x·y·z+2·x-1+(-1+x-x2)==2+x2+1x-x·y·z+2·x-1-1+x+x2

Как раскрываются скобки, перед которыми стоит знак минус

Рассмотрим случаи, когда перед скобками стоит знак минус, и которые не не умножаются (или делятся) на какое-либо число или выражение.

К примеру:

—12=12,-1x+1=-1x+1,-(-x2)=x2

Выражения с переменными могут быть преобразованы с использованием того же правила:

—x+x3-3—2·x2+3·x3·x+1x-1-x+2,

получаем x-x3-3+2·x2-3·x3·x+1x-1-x+2.

Раскрытие скобок при умножении числа на скобку, выражения на скобку

Здесь мы рассмотрим случаи, когда нужно раскрыть скобки, которые умножаются или делятся на какое-либо число или выражение. Тут применимы формулы вида (a1±a2±…±an)·b=(a1·b±a2·b±…±an·b) или b·( a1±a2±…±an)=(b·a1±b·a2±…±b·an), где a1, a2, …, an и b – некоторые числа или выражения.

Например, проведем раскрытие скобок в выражении (3−7)·2. Согласно правилу, мы можем провести следующие преобразования: (3−7)·2=(3·2−7·2). Получаем 3·2−7·2.

Раскрыв скобки в выражении 3·x2·1-x+1x+2, получаем  3×2·1-3·x2·x+3·x2·1x+2.

Умножение скобки на скобку

Рассмотрим произведение двух скобок вида (a1+a2)·(b1+b2). Это поможет нам получить правило для раскрытия скобок при проведении умножения скобки на скобку.

Для того, чтобы решить приведенный пример, обозначим выражение (b1+b2) как b. Это позволит нам использовать правило умножения скобки на выражение. Получим (a1+a2)·(b1+b2)=(a1+a2)·b=(a1·b+a2·b)=a1·b+a2·b. Выполнив обратную замену b на (b1+b2), снова применим правило умножения выражения на скобку:  a1·b+a2·b==a1·(b1+b2)+a2·(b1+b2)==(a1·b1+a1·b2)+(a2·b1+a2·b2)==a1·b1+a1·b2+a2·b1+a2·b2

Благодаря ряду несложных приемов мы можем прийти к сумме произведений каждого из слагаемых из первой скобки на каждое из слагаемых из второй скобки. Правило можно распространить на любое количество слагаемых внутри скобок.

Сформулируем правила умножения скобки на скобку: чтобы перемножить между собой две суммы, необходимо каждое из слагаемых первой суммы перемножить на каждое из слагаемых второй суммы и сложить полученные результаты.

Формула будет иметь вид:

(a1+a2+…+am)·(b1+b2+…+bn)==a1b1+a1b2+…+a1bn++a2b1+a2b2+…+a2bn++…++amb1+amb1+…ambn

Проведем раскрытие скобок в выражении (1+x)·(x2+x+6) Оно представляет собой произведение двух сумм.  Запишем решение: (1+x)·(x2+x+6)==(1·x2+1·x+1·6+x·x2+x·x+x·6)==1·x2+1·x+1·6+x·x2+x·x+x·6

Отдельно стоит остановиться на тех случаях, когда в скобках присутствует знак минус наряду со знаками плюс. Для примера возьмем выражение  (1−x)·(3·x·y−2·x·y3).

Сначала представим выражения в скобках в виде сумм: (1+(−x))·(3·x·y+(−2·x·y3)). Теперь мы можем применить правило: (1+(−x))·(3·x·y+(−2·x·y3))==(1·3·x·y+1·(−2·x·y3)+(−x)·3·x·y+(−x)·(−2·x·y3))

Раскроем скобки: 1·3·x·y−1·2·x·y3−x·3·x·y+x·2·x·y3.

Раскрытие скобок в произведениях нескольких скобок и выражений

При наличии в выражении трех и более выражений в скобках, раскрывать скобки необходимо последовательно. Начать преобразование необходимо с того, что два первых множителя берут в скобки. Внутри этих скобок мы можем проводить преобразования согласно правилам, рассмотренным выше. Например, скобки в выражении (2+4)·3·(5+7·8).

В выражении содержится сразу три множителя (2+4), 3 и (5+7·8). Будем раскрывать скобки последовательно. Заключим первые два множителя еще в одни скобки, которые для наглядности сделаем красными: (2+4)·3·(5+7·8)=((2+4)·3)·(5+7·8).

В соответствии с правилом умножения скобки на число мы можем провести следующие действия: ((2+4)·3)·(5+7·8)=(2·3+4·3)·(5+7·8).

Умножаем скобку на скобку: (2·3+4·3)·(5+7·8)=2·3·5+2·3·7·8+4·3·5+4·3·7·8.

Скобка в натуральной степени

Степени, основаниями которых являются некоторые выражения, записанные в скобках, с натуральными показателями можно рассматривать как произведение нескольких скобок. При этом по правилам из двух предыдущих пунктов их можно записать без этих скобок.

Рассмотрим процесс преобразования выражения  (a+b+c)2. Его можно записать в виде произведения двух скобок  (a+b+c)·(a+b+c).  Произведем умножение скобки на скобку и получим a·a+a·b+a·c+b·a+b·b+b·c+c·a+c·b+c·c.

Разберем еще один пример:

1x+23=1x+2·1x+2·1x+2==1x·1x+1x·2+2·1x+2·2·1x+2==1x·1x·1x+1x·2·1x+2·1x·1x+2·2·1x+1x·1x·2++1×2·2+2·1x·2+2·2·2

Деление скобки на число и скобки на скобку

Деление скобки на число предполагает, что необходимо разделить на число все заключенные в скобки слагаемые. Например, (x2-x):4=x2:4-x:4 .

Деление можно предварительно заменить умножением, после чего можно воспользоваться подходящим правилом раскрытия скобок в произведении. Это же правило применимо и при делении скобки на скобку.

Например, нам необходимо раскрыть скобки в выражении (x+2):23 . Для этого сначала заменим деление умножением на обратное число (x+2):23=(x+2)·23. Умножим скобку на число (x+2)·23=x·23+2·23.

Вот еще один пример деления на скобку:

1x+x+1:(x+2) .

Заменим деление умножением: 1x+x+1·1x+2.

Выполним умножение:  1x+x+1·1x+2=1x·1x+2+x·1x+2+1·1x+2.

Порядок раскрытия скобок

Теперь рассмотрим порядок применения правил, разобранных выше в выражениях общего вида, т.е. в выражениях, которые содержат суммы с разностями, произведения с частными, скобки в натуральной степени.

Порядок выполнения действий:

• первым делом необходимо выполнить возведение скобок в натуральную степень;
• на втором этапе производится раскрытие скобок в произведениях и частных;
• заключительным шагом будет раскрытие скобок в суммах и разностях.

Рассмотрим порядок выполнения действий на примере выражения  (−5)+3·(−2):(−4)−6·(−7). Намнем преобразование с выражений 3·(−2):(−4) и 6·(−7), которые должны принять вид (3·2:4) и (−6·7). При подстановке полученных результатов в исходное выражение получаем: (−5)+3·(−2):(−4)−6·(−7)=(−5)+(3·2:4)−(−6·7). Раскрываем скобки:−5+3·2:4+6·7.

Имея дело с выражениями, которые содержат скобки в скобках, удобно проводить преобразования, продвигаясь изнутри наружу.

Решение задач от 1 дня / от 150 р. Курсовая работа от 5 дней / от 1800 р. Реферат от 1 дня / от 700 р.

Как научиться перемножать большие числа и зачем вам это нужно

В школе было важно правильно писать слова «задача» и «решение» и красиво рисовать скобки.

Математика для безнадежных гуманитариев. Для тех, кто учил языки, литературу и прочую лирику

Нелли Литвак, Алла Кечеджан

АСТ. 2019

18 × 5

Начнем с задания из книги Джо Боулер «Математическое мышление». Это одно из ее любимых заданий. Оно очень простое, пожалуйста, выполните его полностью.

Задание: Умножьте в уме 18 на 5. Напишите подробно, как именно вы это сделали. То есть что на что умножили сначала, что потом, что складывали. Или, может, вы помнили ответ наизусть? Удачи!

Это простенькое задание Джо Боулер задавала многим, в том числе ребятам из технологического стартапа, у которых с умножением все в порядке. Тем не менее, они бурно обсуждали задание, горячились, выбегали к доске, а потом даже предложили выпустить футболку с надписью 18 × 5.

Что их так потрясло? То, что все они решили эту простую задачку разными способами! Наверное, многие из вас посчитали вот так:

18 × 5 = 10 × 5 + 8 × 5 = 50 + 40 = 90.

Кто-то посчитал по-другому:

18 × 5 = 20 × 5 — 2 × 5 = 100 — 10 = 90.

А можно еще вот так:

9 × 2 × 5 = 9 × 10 = 90.

Еще один удобный способ умножить на 5 — это сначала умножить на 10, а потом поделить пополам. Вот так:

18 × 5 = (18 × 10) / 2 = 180 / 2 = 90.

Знаете ли вы, что во французском языке считают не десятками, а двадцатками? Число 90 по-французски звучит так: quatre vingt dix, что в буквальном переводе означает «четырежды двадцать десять». И мы могли бы посчитать на французский манер:

18 × 5 = 4(4 × 5) + 2 × 5 = 4 × 20 + 10 = 90.

Надеемся, мы вас убедили, что даже при элементарном умножении нет единственно правильного подхода. Прийти к ответу можно самыми разными способами, и все они правильные.

Путь к решению — это и есть самое интересное в математике. А вовсе не правильный ответ!

Решение важнее ответа

«Одна из самых первых и самых сложных задач, с которой я сталкиваюсь как университетский преподаватель, — это заставить студентов (да, именно заставить!) правильно записывать математику. Их первые домашние задания — это обычно нечитабельная коллекция цифр и символов… „Зачем писать полные предложения? — удивляется первокурсник. — Я же нашел правильный ответ, вот, смотрите, внизу страницы!“»

Автор этих строк — профессор математики Кевин Хьюстон из Лидского университета в Англии и автор книги «Думать как математик» (How to Think Like a Mathematician). Под его словами подпишется подавляющее большинство университетских преподавателей.

В школе на уроках математики мы привыкли, что самое главное — это правильный ответ и что учитель из обрывков формул поймет, как мы до него добрались. Но на самом деле в математике, по словам того же Хьюстона, главное — «получить ответ с помощью обоснованных аргументов и убедить других, что ваши аргументы обоснованы».

В этом еще один колоссальный разрыв между школьной математикой и математикой на самом деле. Главное не ответ, главное — решение. Математические статьи в основном состоят из слов, а не из формул. И даже формулы, если приглядеться внимательно, это просто часть предложения! Мы могли бы это все записать словами, но формулы просто короче. Как пишет Джейсон Уилкс в книге «Математика в огне», формулы — это всего-навсего сокращения.

Работа по математике — это связное рассуждение. В этом смысле она ничем не отличается от работы, скажем, по истории.

Муж Нелли тоже университетский преподаватель математики. И, конечно, он тоже тратит много сил и времени, чтобы убедить студентов записывать решения подробно, с помощью полных предложений. Убедить бывших школьников, что решение важнее ответа, очень непросто! На рисунке его любимый пример, который он приводит на своих занятиях.

Ответ совершенно правильный, можете сами проверить. Но если рассуждать так, то можно получить и много всякой ерунды, например, что ¹²/₂₄ тоже равно ¼, или что ¹³/₃₉ равно ⅑.

На всякий случай приведем правильное решение. Можете в нем не разбираться, мы просто хотим показать, что оно выглядит совершенно по-другому.

Как видите, правильный ответ мало что значит. Получилась одна четвертая — ну и что. Это может посчитать любой калькулятор. Для математиков самое важное — это подход. Если нам нужно упростить дробь, то нельзя взять и зачеркнуть шестерку, а нужно искать общие множители!

Главное не ответ, а решение. И мы уже видели, что даже такую простую задачку, как 18 × 5, можно решить самыми разными способами. Поэтому математика — это не набор стандартных приемов, а творческий процесс.

В математике есть понятие вкуса: кому-то больше нравится одно решение, кому-то другое. У математиков могут быть свои любимые способы доказательств, теоремы, алгоритмы. И уж конечно, в математике есть мода и даже устаревшие задачи и устаревшие методы решения!

Устаревшая математика?

В блестящем TED-выступлении в октябре 2014 года Эдуардо Саенц де Кабесон сказал: «Если вы хотите сделать подарок навечно, не дарите бриллианты, подарите теорему!»

Если математический результат доказан, то он верен всегда. Любая теорема — на века. В других науках это не так. Например, сначала люди считали, что земля плоская; потом стали полагать, что круглая. Сначала думали, что брожение вина — это химический процесс, потом Луи Пастер доказал, что брожение происходит из-за бактерий (кстати, именно в честь Пастера мы называем молоко пастеризованным). Математика в этом плане занимает особенное место.

Если математический результат доказан, то он — как ни крути — всегда останется верным.

Тем не менее, в математике, как в искусстве, что-то становится классикой, а что-то устаревает. Например, теорема Пифагора — это золотая классика, которая не устареет никогда! Не случайно профессор математики и популяризатор Алексей Савватеев сказал, что именно эту теорему он передал бы в капсуле инопланетянам как одно из основных достижений человеческого разума.

Что же такое устаревшая теорема? Нелли запомнилась история, которую ей рассказал коллега из университета Твенте, профессор по вычислительным методам.

Вычислительные методы — это область математики, которая разрабатывает алгоритмы, чтобы решать задачи приблизительно, с помощью вычислений, а не с помощью формул. Коллега Нелли рассказал ей, как лет двадцать назад уходил на пенсию старый профессор и оставил ему журналы по вычислительным методам 60-х годов. Это были отличные журналы, в них публиковались известные авторы. Но только тогда еще не было общедоступных быстрых компьютеров. Ученые пользовались так называемыми специальными функциями и таблицами, которые занимали целые тома.

С появлением компьютеров все изменилось, потому что машины считают очень быстро. Обычный ноутбук выполняет 2 миллиарда операций в секунду! Многие результаты и подходы докомпьютерной эпохи безнадежно устарели. Коллега Нелли глубоко вздохнул и отнес все эти журналы в макулатуру.

Вы уже раскрыли скобки!

Посмотрим снова на пример 18 × 5. Допустим, вы подсчитали так:

18 × 5 = 10 × 5 + 8 × 5 = 50 + 40 = 90.

Когда мы умножаем в уме, мы очень легко и естественно разбиваем числа на части и умножаем по отдельности. Это и есть раскрытие скобок. Скобки нам нужны, просто чтобы записать то, что мы делаем в уме:

(10 + 8) × 5 = 10 × 5 + 8 × 5 = 50 + 40 = 90.

Математики называют раскрытие скобок великими и ужасными словами «распределительный закон».

Звучит умно, но терминология не так важна. В книге «Математика в огне» Уилкс называет раскрытие скобок «естественным законом о разрывании вещей». Мы «разрываем» 18 на две части — 10 и 8, умножаем каждую из них на 5, а потом складываем.

Две скобки

Скобок может быть и больше. Принцип остается тот же самый.

Задание: Умножьте 12 на 13. Объясните, как это можно сделать с помощью раскрытия скобок. Считать в столбик, на калькуляторе или пользоваться Интернетом можно, только чтобы проверить ответ. Удачи!

Начать можно, как и раньше:

12 × 13 = (10+ 2) × 13 = 10 × 13 + 2 × 13.

В принципе теперь можно сразу посчитать ответ:

130 + 26 = 156.

Но, если подумать: как мы умножаем на 13? Может, кто-то делает это на автомате. Но обычно (может, даже незаметно для себя) мы все-таки разрываем 13 на 10 и 3. Тогда получается:

10 × 13 + 2 × 13 = 10 × (10 + 3) + 2 × (10 + 3) = 10 × 10 + 10 × 3 + 2 × 10 + 2 × 3 = 100 + 30 + 20 + 6 = 156.

Конечно, скобок может быть и больше:

12 × 13 × 14 = (10 + 2) × (10 + 3) × (10 + 4).

И чисел в скобках тоже может быть больше:

112 × 113 = (100 + 10 + 2) × (100 + 10 + 3).

Принцип тот же, просто вычисления длиннее. Сколько бы ни было скобок.

Скобки и площади

Со школы мы привыкли считать, что есть две математики — алгебра и геометрия, и каждая тема сама по себе. На самом деле в математике все взаимосвязано и наука движется вперед, как раз когда идеи из одного раздела проникают в другой.

Площадь прямоугольника — скорее геометрия. Раскрытие скобок — типичная алгебра. Но площадь прямоугольника — это одна сторона, умноженная на другую. И скобки мы раскрываем тоже, когда умножаем числа. Значит, связь есть!

Алла долго воевала со скобками, пока не решила их нарисовать. Когда она увидела связь между скобками, умножением и площадью прямоугольника, все встало на свои места.

Нелли долго удивлялась: неужели на числах было непонятно? Но многим детям и взрослым — в точности как Алле — гораздо проще работать с рисунками, фигурами и площадями, чем с абстрактными числами и скобками. Классическая школьная программа обычно не рассчитана на визуалов. Мы постараемся немножко восполнить этот пробел и нарисовать тему скобок.

Нарисуйте прямоугольник 12 на 13 см. Ничего страшного, если у вас под рукой нет бумаги с карандашом — на своем любимом пляже в Варне Алла начертила прямоугольник, конечно же, пером чайки на песке.

Теперь сделайте десять «насечек» для десятков по вертикали и горизонтали, а потом две и три для единиц соответственно. Теперь проведем линию раздела между десятками и единицами. Получилось 4 прямоугольника.

Теперь перемножаем длину и ширину в каждом из прямоугольников между собой:

10 × 10 = 100

2 × 10 = 20

2 × 3 = 6

3 × 10 = 30

Потом складываем все результаты и получаем 156.

Это работает всегда! Фактически Алла предложила геометрическую трактовку раскрытия скобок. Когда мы раскрывали скобки без рисунка, мы разбивали 12 × 13 на те же самые числа:

12 × 13 = (10 + 2) × (10 + 3) = 10 × (10 + 3) + 2 × (10 + 3) = 100 + 30 + 20 + 6 = 156.

Задание: С помощью площадей прямоугольников умножьте 21 на 33. Удачи!

a плюс b в квадрате

Может быть, вы помните (а может, и нет) знаменитую формулу для вычисления (a + b) в квадрате:

a-квадрат-плюс-два-ab-плюс-b-квадрат

Мы написали эту формулу на рисунке. У кого-то она вызовет легкую ностальгию, у кого-то — давно забытое, но знакомое смятение.

Задание: Получите сами формулу для вычисления (a + b)². У нас для этого уже все есть! Вспомните, что (a + b) — это всего лишь число. А квадрат — это число, умноженное на само себя! То есть (a + b)² = (a + b)(a + b). Получив формулу, проверьте ее на числах. Удачи!

Надеемся, вы увидели связь этой формулы с предыдущей. Это в точности то же самое, что (a + b)(a + b), но только скобки одинаковые. Заметим, что когда мы перемножаем букву саму на себя, например, a × a, то знак умножения упускать не принято. На письме aa смотрится как-то некрасиво и неуместно, как крик о помощи или заикание. Принято писать a × a или a². Давайте попробуем применить эту формулу. Вот что получилось:

(a + b)² = (a + b)(a + b) = a × a + ab + ba + b × b.

Что тут можно заметить? Во-первых, a × a — это a², а b × b — это b². Кроме того, ab и ba — это одно и то же, потому что буквы просто обозначают числа, и перемножать их можно в любом порядке. Тогда ab + ba = ab + ab = 2ab. В результате выходит:

(a + b)² = (a + b)(a + b) = a × a + ab + ba + b × b = a² + 2ab + b².

То, что слева, равно тому, что справа, то есть:

(a + b)² = a² + 2ab + b².

Что и требовалось доказать.

Естественно, геометрическая интерпретация через площади по-прежнему в силе. Мы приводим рисунок ниже, но сначала попробуйте выполнить задание сами!

Задание: Объясните формулу (a + b)² = a² + 2ab + b² с помощью площадей. Удачи!

Если у вас получилось выполнить это задание, то можете снять видео и выложить его на «Ютьюбе». Как вы думаете, сколько просмотров оно наберет? Не стоит недооценивать интерес людей к раскрытию скобок. В 2012 году тридцатисекундное видео учителя математики из Индии Кхуршеда Батливалы про (a + b)² взорвало Интернет, собрав более миллиона просмотров! И это всего лишь визуализация того, как раскрыть скобки с помощью площадей.

Давайте попробуем повторить успех Батливалы. Нарисуем горизонтальную линию, состоящую из двух отрезков — a и b.

Так как в формуле мы возводим a и b в квадрат, то и рисуем квадрат — проводим вертикальную линию, также состоящую из отрезков — a и b (помните, что у квадрата все стороны равны?), и достраиваем чертеж до нужной нам фигуры. Площадь такого квадрата равна (a + b)(a + b), или (a + b)².

А теперь разделим квадрат изнутри на 4 части, соединив между собой противоположные стороны.

Из чего состоит эта площадь? a² и b² — это площади внутренних заштрихованных квадратов. Осталось два одинаковых внутренних прямоугольника, у каждого из которых площадь равна ab. Сложим четыре площади вместе и получим a × a + ab + ab + b × b. Узнаете? Это же та же формула, a² + 2ab + b²!

Если вам, как и Алле, непросто раскрывать скобки, то по картинке всегда можно вспомнить формулу или даже вывести ее заново! К этому волшебному квадрату мы еще не раз вернемся. Именно он позволит нам добраться до самых глубоких корней квадратного уравнения и доказать теорему Пифагора.

Ну и наконец, подставим числа. Давайте a примем за 4, а b — за 3. Тогда (4 + 3)² = 7² = 7 × 7 = 49. А по формуле (4 + 3)² = 42 + 2 × 4 × 3 + 32 = 16 + 24 + 9 = 49. Красота!

Игры с умножением

В Интернете можно найти много интересных игр и примеров с умножением чисел. Вот один забавный.

Задание: Возьмите калькулятор, умножьте 481 на 21 и на ваш возраст. Понимаете, как получился результат? Для самых любознательных вопрос посложнее: всегда ли это работает? Удачи!

Конечно, числа 481 и 21 выбраны не случайно. Если их перемножить, то получится 10101. Допустим вам 34 года. Тогда 10101 × 34 = 343434. Это работает, если вам от 10 до 99. Кстати, этот трюк напрямую связан с раскрытием скобок.

Смотрите, мы можем разорвать 10101 на части:

10101 = 10000 + 100 + 1. Перемножим по частям:

10000 × 34 = 340000

100 × 34 = 3400

1 × 34 = 34.

Сложим и получим 343434.

Стихия скобок

Тему раскрытия скобок можно продолжать бесконечно. Если бы мы не ограничились (a + b)², а добавили побольше скобок, например, (a + b)³ = (a + b) (a + b) (a + b), то очень быстро столкнулись бы с комбинаторикой, биномом Ньютона, треугольником Паскаля и теорией вероятностей. И предела этому нет…

Наш гуманитарий Алла, находясь под впечатлением от скобок в математике, стояла на черноморском берегу и смотрела на отплывающие от берега судна. Она заметила, что паруса издалека выглядят как скобки, и можно представить, что это числа ходят под парусами: те, что побольше, отплывают на шхунах, поменьше — на утлых лодочках. С берегом расставаться всегда немного грустно. Вот на какие стихи Аллу вдохновила математика:

Мне жалко цифры разрывать,

Они, как лодки от причала,

Не отрываются сначала,

На помощь нужно ветер звать.

И гнутся скобки — столько ветра,

А на борту одно весло.

От круглых чисел словно ветка

Откалывается колесо.

В рубрике «Открытое чтение» мы публикуем отрывки из книг в том виде, в котором их предоставляют издатели. Незначительные сокращения обозначены многоточием в квадратных скобках. Мнение автора может не совпадать с мнением редакции.

Читайте нас в Facebook, VK, Twitter, Instagram, Telegram (@tandp_ru) и Яндекс.Дзен.

Раскрытие скобок

Продолжаем изучать основы алгебры. В данном уроке мы научимся раскрывать скобки в выражениях. Раскрыть скобки означает избавить выражение от этих скобок.

Чтобы раскрывать скобки, нужно выучить наизусть два правила. При регулярных занятиях раскрывать скобки можно с закрытыми глазами, и про те правила которые требовалось заучивать наизусть, можно благополучно забыть.

Первое правило раскрытия скобок

Рассмотрим следующее выражение:

8 + (−9 + 3)

Значение данного выражения равно 2. Раскроем скобки в данном выражении. Раскрыть скобки означает избавиться от них, не влияя на значение выражения. То есть после избавления от скобок значение выражения 8 + (−9 + 3) по прежнему должно быть равно двум.

Первое правило раскрытия скобок выглядит следующим образом:

При раскрытии скобок, если перед скобками стоит плюс, то этот плюс опускается вместе со скобками.

Итак, мы видим что в выражении 8 + (−9 + 3) перед скобками стоит плюс. Этот плюс нужно опустить вместе со скобками. Иными словами, скобки исчезнут вместе с плюсом, который перед ними стоял. А то, что было в скобках запишется без изменений:

Мы получили выражение без скобок 8−9+3. Данное выражение равно 2, как и предыдущее выражение со скобками было равно 2.

8 + (−9 + 3) = 2

8 − 9 + 3 = 2

Таким образом, между выражениями 8+(−9+3) и 8−9+3 можно поставить знак равенства, поскольку они равны одному и тому же значению:

8 + (−9 + 3) = 8 − 9 + 3

2 = 2

Пример 2. Раскрыть скобки в выражении 3 + (−1 − 4)

Перед скобками стоит плюс, значит этот плюс опускается вместе со скобками. То, что было в скобках останется без изменений:

3 + (−1 − 4) = 3 − 1 − 4

Пример 3. Раскрыть скобки в выражении 2 + (−1)

Перед скобками стоит плюс, значит этот плюс опускается вместе со скобками. То, что было в скобках останется без изменений:

2 + (−1) = 2 − 1

В данном примере раскрытие скобок стало своего рода обратной операцией замене вычитания сложением. Как это понимать?

В выражении 2 − 1 происходит вычитание, но его можно заменить сложением. Тогда получится выражение 2 + (−1). Но если в выражении 2 + (−1) раскрыть скобки, то получится изначальное 2 − 1.

Поэтому первое правило раскрытия скобок можно использовать для упрощения выражений после каких-нибудь преобразований. То есть избавить его от скобок и сделать проще.

Например, упростим выражение 2a + a− 5b + b.

Чтобы упростить данное выражение, можно привести подобные слагаемые. Напомним, что для приведения подобных слагаемых, нужно сложить коэффициенты подобных слагаемых и результат умножить на общую буквенную часть:

Получили выражение 3a + (−4b). В этом выражении раскроем скобки. Перед скобками стоит плюс, поэтому используем первое правило раскрытия скобок, то есть опускаем скобки вместе с плюсом, который стоит перед этими скобками:

3a + (−4b) = 3a − 4b

Таким образом, выражение 2a+a−5b+b упрощается до 3a−4b.

Раскрыв одни скобки, по пути могут встретиться другие. К ним применяем те же правила, что и к первым. Например, раскроем скобки в следующем выражении:

2 + (−3 + 1) + 3 + (−6)

Здесь два места, где нужно раскрыть скобки. В данном случае применимо первое правило раскрытия скобок, а именно опускание скобок вместе с плюсом, который стоит перед этими скобками:

2 + (−3 + 1) + 3 + (−6) = 2 − 3 + 1 + 3 − 6

Пример 3. Раскрыть скобки в выражении 6+(−3)+(−2)

В обоих местах, где имеются скобки, перед ними стоит плюс. Здесь опять же применяется первое правило раскрытия скобок:

6 + (−3) + (−2) = 6 − 3 − 2

Иногда первое слагаемое в скобках записано без знака. Например, в выражении 1+(2+3−4) первое слагаемое в скобках 2 записано без знака. Возникает вопрос, а какой знак будет стоять перед двойкой после того, как скобки и плюс, стоящий перед скобками опустятся? Ответ напрашивается сам — перед двойкой будет стоять плюс.

На самом деле даже будучи в скобках перед двойкой стоит плюс, но мы его не видим по причине того, что его не записывают. Мы уже говорили, что полная запись положительных чисел выглядит как +1, +2, +3. Но плюсы по традиции не записывают, поэтому мы и видим привычные для нас положительные числа 1, 2, 3.

Поэтому, чтобы раскрыть скобки в выражении 1+(2+3−4), нужно как обычно опустить скобки вместе с плюсом, стоящим перед этими скобками, но первое слагаемое которое было в скобках записать со знаком плюс:

1 + (2 + 3 − 4) = 1 + 2 + 3 − 4

Пример 4. Раскрыть скобки в выражении −5 + (2 − 3)

Перед скобками стоит плюс, поэтому применяем первое правило раскрытия скобок, а именно опускаем скобки вместе с плюсом, который стоит перед этими скобками. Но первое слагаемое, которое в скобках записываем со знаком плюс:

−5 + (2 − 3) = −5 + 2 − 3

Пример 5. Раскрыть скобки в выражении (−5)

Перед скобками стоит плюс, но он не записан по причине того, что до него не было других чисел или выражений. Наша задача убрать скобки, применив первое правило раскрытия скобок, а именно опустить скобки вместе с этим плюсом (даже если он невидим)

(−5) = −5

Пример 6. Раскрыть скобки в выражении 2a + (−6a + b)

Перед скобками стоит плюс, значит этот плюс опускается вместе со скобками. То, что было в скобках запишется без изменений:

2a + (−6a + b) = 2a −6a + b

Пример 7. Раскрыть скобки в выражении 5a + (−7b + 6c) + 3a + (−2d)

В данном выражении имеется два места, где нужно раскрыть скобки. В обоих участках перед скобками стоит плюс, значит этот плюс опускается вместе со скобками. То, что было в скобках запишется без изменений:

5a + (−7b + 6c) + 3a + (−2d) = 5a −7b + 6c + 3a − 2d

Второе правило раскрытия скобок

Теперь рассмотрим второе правило раскрытия скобок. Оно применяется тогда, когда перед скобками стоит минус.

Если перед скобками стоит минус, то этот минус опускается вместе со скобками, но слагаемые, которые были в скобках, меняют свой знак на противоположный.

Например, раскроем скобки в следующем выражении

5 − (−2 − 3)

Видим, что перед скобками стоит минус. Значит нужно применить второе правило раскрытия, а именно опустить скобки вместе с минусом, стоящим перед этими скобками. При этом слагаемые, которые были в скобках, поменяют свой знак на противоположный:

Мы получили выражение без скобок 5 + 2 + 3. Данное выражение равно 10, как и предыдущее выражение со скобками было равно 10.

5 − (−2 − 3) = 10

5 + 2 + 3 = 10

Таким образом, между выражениями 5−(−2−3) и 5+2+3 можно поставить знак равенства, поскольку они равны одному и тому же значению:

5 − (−2 − 3) = 5 + 2 + 3

10 = 10

Пример 2. Раскрыть скобки в выражении 6 − (−2 − 5)

Перед скобками стоит минус, поэтому применяем второе правило раскрытия скобок, а именно опускаем скобки вместе с минусом, который стоит перед этими скобками. При этом слагаемые, которые были в скобках, записываем с противоположными знаками:

6 − (−2 − 5) = 6 + 2 + 5

Пример 3. Раскрыть скобки в выражении 2 − (7 + 3)

Перед скобками стоит минус, поэтому применяем второе правило раскрытия скобок:

2 − (7 + 3) = 2 − 7 − 3

Пример 4. Раскрыть скобки в выражении −(−3 + 4)

Перед скобками стоит минус, поэтому применяем второе правило раскрытия скобок:

−(−3 + 4) = 3 − 4

Пример 5. Раскрыть скобки в выражении −(−8 − 2) + 16 + (−9 − 2)

Здесь два места, где нужно раскрыть скобки. В первом случае нужно применить второе правило раскрытия скобок, а когда очередь доходит до выражения +(−9 − 2) нужно применить первое правило:

−(−8 − 2) + 16 + (−9 − 2) = 8 + 2 + 16 − 9 − 2

Пример 6. Раскрыть скобки в выражении −(−a − 1)

Перед скобками стоит минус, поэтому применяем второе правило раскрытия скобок:

−(−a − 1) = a + 1

Пример 7. Раскрыть скобки в выражении −(4a + 3)

Перед скобками стоит минус, поэтому применяем второе правило раскрытия скобок:

−(4a + 3) = −4a − 3

Пример 8. Раскрыть скобки в выражении a − (4b + 3) + 15

Перед скобками стоит минус, поэтому применяем второе правило раскрытия скобок:

a − (4b + 3) + 15 = a − 4b − 3 + 15

Пример 9. Раскрыть скобки в выражении 2a + (3b − b) − (3c + 5)

Здесь два места, где нужно раскрыть скобки. В первом случае нужно применить первое правило раскрытия скобок, а когда очередь доходит до выражения −(3c+5) нужно применить второе правило:

2a + (3b − b) − (3c + 5) = 2a + 3b − b − 3c − 5

Пример 10. Раскрыть скобки в выражении −a − (−4a) + (−6b) − (−8c + 15)

Здесь три места, где нужно раскрыть скобки. Вначале нужно применить второе правило раскрытия скобок, затем первое, а затем опять второе:

−a − (−4a) + (−6b) − (−8c + 15) = −a + 4a − 6b + 8c − 15

Механизм раскрытия скобок

Правила раскрытия скобок, которые мы сейчас рассмотрели, основаны на распределительном законе умножения:

a(b + c) = ab + ac

На самом деле раскрытием скобок называют ту процедуру, когда общий множитель умножают на каждое слагаемое в скобках. В результате такого умножения скобки исчезают. Например, раскроем скобки в выражении 3×(4+5)

3 × (4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5

Поэтому, если нужно умножить число на выражение в скобках (или выражение в скобках умножить на число) надо говорить раскроем скобки.

Но как связан распределительный закон умножения с правилами раскрытия скобок, которые мы рассматривали ранее?

Дело в том, что перед любыми скобками стоит общий множитель. В примере 3 × (4 + 5) общий множитель это 3. А в примере a(b + c) общий множитель это переменная a.

Если перед скобками нет чисел или переменных, то общим множителем является 1 или −1, в зависимости от того, какой знак стоит перед скобками. Если перед скобками стоит плюс, значит общим множителем является 1. Если перед скобками стоит минус, значит общим множителем является −1.

К примеру, раскроем скобки в выражении −(3b − 1). Перед скобками стоит минус, поэтому нужно воспользоваться вторым правилом раскрытия скобок, то есть опустить скобки вместе с минусом, стоящим перед скобками. А выражение, которое было в скобках, записать с противоположными знаками:

−(3b − 1) = −3b + 1

Мы раскрыли скобки, воспользовавшись правилом раскрытия скобок. Но эти же скобки можно раскрыть, воспользовавшись распределительным законом умножения. Для этого сначала записываем перед скобками общий множитель 1, который не был записан:

−1(3b −1)

Минус, который раньше стоял перед скобками относился к этой единице. Теперь можно раскрыть скобки, применяя распределительный закон умножения. Для этого общий множитель −1 нужно умножить на каждое слагаемое в скобках и полученные результаты сложить.

Для удобства заменим разность, находящуюся в скобках на сумму:

−1(3b −1) = −1( 3b + (−1) )

Далее умножаем общий множитель −1 на каждое слагаемое в скобках:

−1(3b −1) = −1(3b + (−1)) = −1 × 3b + (−1) × (−1) = −3b + 1

Как и в прошлый раз мы получили выражение −3b + 1. Каждый согласится с тем, что в этот раз затрачено больше времени на решение столь простейшего примера. Поэтому разумнее пользоваться готовыми правилами раскрытия скобок, которые мы рассматривали в данном уроке:

−(3b − 1) = −3b + 1

Но не мешает знать, как эти правила работают.

В данном уроке мы научились ещё одному тождественному преобразованию. Вместе с раскрытием скобок, вынесением общего за скобки и приведением подобных слагаемых можно немного расширить круг решаемых задач. Например:

Раскрыть скобки и привести подобные слагаемые в следующем выражении:

Здесь нужно выполнить два действия — сначала раскрыть скобки, а потом привести подобные слагаемые. Итак, по порядку:

1) Раскрываем скобки:

2) Приводим подобные слагаемые:

В получившемся выражении −10b+(−1) можно раскрыть скобки:

Пример 2. Раскрыть скобки и привести подобные слагаемые в следующем выражении:

1) Раскроем скобки:

2) Приведем подобные слагаемые. В этот раз для экономии времени и места, не будем записывать, как коэффициенты умножаются на общую буквенную часть

Пример 3. Упростить выражение 8m+3m и найти его значение при m=−4

1) Сначала упростим выражение. Чтобы упростить выражение 8m+3m, можно вынести в нём общий множитель m за скобки:

8m + 3m = m(8 + 3)

2) Находим значение выражения m(8 + 3) при m = −4. Для этого в выражение m(8 + 3) вместо переменной m подставляем число −4

m (8 + 3) = −4 (8 + 3) = −4 × 8 + (−4) × 3 = −32 + (−12) = −44

Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Раскройте скобки в следующем выражении:

Показать решение

Задание 2. Раскройте скобки в следующем выражении:

Показать решение

Задание 3. Раскройте скобки в следующем выражении:

Показать решение

Задание 4. Раскройте скобки в следующем выражении:

Показать решение

Задание 5. Раскройте скобки в следующем выражении:

Показать решение

Задание 6. Раскройте скобки в следующем выражении:

Показать решение

Задание 7. Раскройте скобки в следующем выражении:

Показать решение

Задание 8. Раскройте скобки в следующем выражении:

Показать решение

Задание 9. Раскройте скобки в следующем выражении:

Показать решение

Задание 10. Раскройте скобки в следующем выражении:

Показать решение

Задание 11. Раскройте скобки в следующем выражении:

Показать решение

Задание 12. Раскройте скобки в следующем выражении:

Показать решение

Задание 13. Раскройте скобки в следующем выражении:

Показать решение

Задание 14. Раскройте скобки в следующем выражении:

Показать решение

Задание 15. Раскройте скобки в следующем выражении:

Показать решение

Задание 16. Раскройте скобки в следующем выражении:

Показать решение

Задание 17. Раскройте скобки в следующем выражении:

Показать решение

Задание 18. Раскройте скобки в следующем выражении:

Показать решение

Задание 19. Раскройте скобки в следующем выражении:

Показать решение

Задание 20. Раскройте скобки в следующем выражении:

Показать решение

Задание 21. Раскройте скобки в следующем выражении:

Показать решение

Задание 22. Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые в следующем выражении:

Показать решение

Задание 23. Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые в следующем выражении:

Показать решение

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Расширяющиеся скобки — GCSE Maths

Здесь мы разберем все, что вам нужно знать о раскрывающихся скобках. Вы узнаете, как раскрывать одинарные и двойные скобки, чтобы получить упрощенное алгебраическое выражение.

В конце вы найдете рабочие листы с расширяющимися скобками, основанные на экзаменационных вопросах Edexcel, AQA и OCR, а также дополнительные рекомендации о том, что делать дальше, если вы все еще застряли.

Что означают раскрывающиеся скобки?

Раскрытие скобок означает умножение каждого члена в скобках на выражение вне скобок. 9{2} − 5x − 3 \]

Этот урок является частью нашей серии уроков, посвященных повторению алгебраических выражений. Связанные пошаговые руководства включают:

• Расширить и упростить
• Перестановка уравнений
• Сделать x предметом
• Подстановка
• Алгебраические дроби

Расширяющие скобки с рабочим листом причин и расширяющими скобками

СКАЧАТЬ БЕСПЛАТНО

Рабочий лист по раскрывающимся скобкам

Загрузите бесплатный рабочий лист по раскрывающимся скобкам с более чем 20 аргументирующими и прикладными вопросами, ответами и схемой выставления оценок, чтобы помочь вашим учащимся подготовиться к GCSE. Включает рассуждения и прикладные вопросы.

СКАЧАТЬ БЕСПЛАТНО

Умножение скобок

«Умножение скобок» или «умножение вне» — еще один термин для раскрытия скобок. Это означает ровно то же самое. «Раскрыть скобки» — это то же самое, что «умножить скобки», это просто дает дополнительную подсказку, что когда мы раскрываем скобки, мы умножаем все, что находится за скобками, на все, что внутри скобок.

Использование квадратных скобок

Одно из применений квадратных скобок в математике — группировка элементов, другое — предоставление информации о порядке операций.

Например,

Вот прямоугольник.

Его периметр:

(х+8)+(х-3)+(х+8)+(х-3)

Здесь скобки используются для группировки терминов, чтобы выражения для сторон были понятны.

Периметр также может быть записан как:

2(х+8)+2(х-3)

Здесь скобки нужны для сохранения того, что все выражения для сторон удваиваются для нахождения периметра прямоугольника.

Как раскрыть скобки

Чтобы раскрыть скобки, нужно умножить слагаемое вне скобок (или круглых скобок) на слагаемое внутри скобок. Есть три основных способа сделать это, каждый из которых описан ниже.

• Расширение отдельных кронштейнов
• Расширение двойных кронштейнов
• Расширение тройных кронштейнов

1. Расширение одиночных кронштейнов

3 (2x + 1) = 6x + 3

.0084 два члена , такие как 6x + 3, известны как биномы .

2. Раскрывающие двойные скобки

(x + 5)(x – 1) = x ² + 4x – 5 известный как трехчленов .

Члены, возведенные в степень 2 , например x ² , известны как квадратичные члены .

3. Кронштейны тройные распорные

(x + 1)(x + 2)(x + 3) = x ³ + 6x + 11x + 6

Полином выражение состоит из двух или более алгебраических членов .

Расширяющие скобки с помощью surds

Существует четвертая, более сложная ситуация, в которой вам может понадобиться использовать свои знания о расширяющих скобках, но это обычно встречается только в контрольных работах по математике более высокого уровня GCSE, поэтому не является частью этого урока.

Таким образом, чтобы расширить скобки, включающие сурды, мы умножаем каждый член вне скобок на каждый член в скобках и следуем правилам сурдов.

Например, если мы расширим

\[\sqrt{5}(\sqrt{3} – 2\sqrt{5})\]

, мы получим

\[\sqrt{5}(\sqrt{ 3} – 2\sqrt{5}) = \sqrt{15} – 10\]

Пошаговое руководство: Surds

кронштейна.

Чтобы раскрыть одинарные скобки:

1. Умножьте член вне скобок на первый член внутри скобок.
2. Умножить член вне скобок на второй член в скобках.

Example 1: two terms in the bracket

Expand:

 2(x + 3) 

1. Умножьте член вне скобок (2) на первый член в скобках (x).

2 ✕ x = 2x

2Умножьте значение за скобками (2) на второе слагаемое внутри скобок (3).

2 ✕ 3 = 6

The answer is positive so we need to write + 6 .

2(x + 3) = 2x + 6

Пример 2: два члена в скобках и отрицательный член вне скобок − 3) первым слагаемым в скобке (y).

− 3 ✕ y = − 3y

− ✕ + = − so the answer is отрицательный .

Умножить член вне скобок (- 3) на второй член в скобках (- 4).

− 3 x − 4 = + 12

− ✕ − = +, поэтому ответ положительный. Нам нужно написать + 12.

− 3(y − 4) = − 3y + 12

Пример 3: два слагаемых в скобках и переменные с коэффициентами больше 1

Развернуть:

 3x(4x − 2y ) 

Умножьте член вне скобок (3x) на первый член внутри скобок (4x).

3x ✕ 4x = 12x ²

Умножить член за скобками (2y3x на член в скобках).

3x ✕ − 2y = − 6xy

− ✕ + = − so the ответ отрицательный. {2}). 9{2}+20x

При раскрытии одной скобки мы должны обязательно умножать каждый член внутри скобки на число перед скобкой. Убедитесь, что вы указали правильные порядковые номера. Следует соблюдать осторожность, когда умножение включает отрицательные числа.

32-12x-8y

32+12x+8y

32-12x+8y

32-3x+2y

При разложении в одну скобку мы должны обязательно умножить каждый член внутри скобки на число перед кронштейном.

 x ✕ x = х  2 
х ✕ 3 = 3x
х ✕ 2 = 2х
2 ✕ 3 = 6 

 х  2  + 3х + 2х + 6
= x  2  + 5x + 6 

 (x + 5)(x − 1) 

 x ✕ x = х  2 
х ✕ - 1 = - х 

 х ✕ 5 = 5х
5 ✕ - 1 = - 5 

 х  2  - х + 5х - 5
x  2  + 4x − 5 

 (2x − 3)(x + 4) 

 2x ✕ x = 2x  2 
2x ✕ 4 = 8x
х ✕ - 3 = - 3x 

 4 ✕ - 3 = - 12 

 2x  2  + 8x - 3x - 12
2x  2  + 5x − 12 

 (3x − 4)  2  

 (3x - 4)  2  = (3x - 4)(3x - 4) 

 3x ✕ 3x = 9x  2 
3x ✕ - 4 = - 12x
3x ✕ - 4 = - 12x 

 - 4 ✕ - 4 = + 16 

 9{2}+20x+25
                                         

  
 3) Раскрытие тройных скобок 
 
 Для раскрытия тройных скобок сначала умножаем первые две скобки. Затем мы умножаем каждый член этого нового выражения на каждый член в третьей скобке. 
 
 Как раскрыть тройные скобки 
 
 Чтобы раскрыть тройные скобки: 
 
 
 Нарисуйте сетку, вставьте члены первой и второй скобки, затем заполните ее, перемножив каждое из членов вместе. 
 
 Выпишите каждое из условий и упростите выражение, собрав одинаковые термины. 
 
 Нарисуйте сетку, вставьте термины из этого нового выражения и третьей скобки, затем заполните ее, перемножая каждый из терминов вместе. 
 
 Выпишите каждое из слагаемых и упростите выражение, собрав одинаковые слагаемые. 
 
 
 
 Примеры раскрывающихся скобок (тройные скобки) 
 
 
 Пример 1: умножение трех скобок 
  
 Расширить и упростить: 
 
 (x + 1)(x + 2)(x + 3) 
 Нарисуйте сетку, вставьте члены первой и второй скобок, затем заполните ее, перемножив каждое из членов вместе.
 ✕
 x
 + 2
 x
 x  2 
 + 2x
 + 1
 + x
 + 2
 x ✕ х = х  2 
х ✕ 2 = 2х
х ✕ 1 = х
1 ✕ 2 = 2 
 2Выпишите каждое из слагаемых и упростите выражение, собрав одинаковые слагаемые.
 х  2  + 2х + х + 2
x  2  + 3x + 2 
 3 Начертите сетку, вставьте члены из этого нового выражения и третью скобку, затем заполните ее, перемножив каждый из членов вместе.
 ✕
 x  2 
 + 3x
 + 2
 x
 x  3 
 + 3x  2 
 + 2x
 + 3
 + 3x  2 
 + 9x
 + 6
 х ✕ х  2  = х  3 
х ✕ 3х = 3х  2 
х ✕ 6 = 6х
3 ✕ х  2  = 3 х  2 
3 ✕ 3x = 9x
3 ✕ 6 = 18 
 4Выпишите каждое из слагаемых и упростите выражение, собрав одинаковые слагаемые.
 x  3  + 3x  2  + 3x  2  + 9x + 2x + 6
x  3  + 6x  2  + 11x + 6 
 Пример 2: квадратные скобки умножить на третью скобку 
 Расширьте и упростите:
 (x + 3)  2  (x − 1) 
 Нарисуйте сетку, вставьте члены первой и второй скобок, затем заполните ее, перемножив каждое из членов вместе.
 ✕
 x
 + 3x
 x
 x  2 
 + 3x
 + 3
 + 3x
 + 9
 (x + 3)  2  = (х + 3)(х + 3)
х ✕ х = х  2 
х ✕ 3 = 3x
х ✕ 3 = 3x
3 ✕ 3 = 9 
 Выпишите каждое из слагаемых и упростите выражение, собрав одинаковые слагаемые.
 х  2  + 3х + 3х + 9
x  2  + 6x + 9 
 Нарисуйте сетку, вставьте члены из этого нового выражения и третью скобку, затем заполните ее, перемножив каждый из членов вместе.
 ✕
 x  2 
 + 6x
 + 9
 x
 x
1 3 
 + 6x  2 
 + 9x
 − 1
 − x  2 
 − 6x
 − 9
 x ✕ x  2   = x  3 
х ✕ 6х = 6х  2 
х ✕ 9 = 9х
− 1 ✕ х  2  = − х  2 
− 1 ✕ 6x = − 6x
− 1 ✕ 9= − 9 
 Выпишите каждое из слагаемых и упростите выражение, собрав одинаковые слагаемые.
 x  3  + 6x  2  − x  2 9{2}+6x+1
                                         

  
 Распространенные заблуждения 
  
 
  Мы должны умножить значение вне скобок на каждый член в скобках.   
 
 
 2(6x  2  − 3x) = 12x  2  − 3x ✖ 
 Здесь мы умножили значение за скобками на первый член в скобках, но не на второй член.
 Правильный ответ: 2(6x  2  − 3x) = 12x  2  − 6x ✔
 Нам нужно перемножить все члены в скобках.
  Чтобы два числа умножались на +, их знаки должны быть одинаковыми. 
 + ✕ + = + 
 - ✕ - = +
 напр. 2 ✕ 3 = 6 
 напр. − 2 ✕ − 3 = 6
 4 ✕ 5 = 20 
 − 4 ✕ − 5 = 20
  Чтобы два числа умножались на a −, их знаки должны быть разными. 
 + ✕ - = - 
 - ✕ + = -
 напр. 2 ✕ - 3 = - 6 
 напр. − 2 ✕ 3 = − 6
 4 ✕ − 5 = − 20 
 − 4 ✕ 5 = − 20
 − 4(3y − 5) = − 12y − 20  ✖  
 Здесь мы не использовали − ✕7 − = +
 40 ✕ − 5 = + 20 
 Правильный ответ: − 4(3y − 5) = − 12y + 20  ✔ 
  Когда мы что-то возводим в квадрат, мы умножаем это само на себя. 
 3  2  = 3 ✕ 3
х  2  = х ✕ х
(5y)  2  = 5y ✕ 5y 
  Когда мы возводим скобку в квадрат, мы умножаем ее на всю скобку. 
 (х + 3)  2  = (х + 3)(х + 3) ✔
NOT x  2  + 9 ✖ 
 Раскрывающие скобки Вопросы GCSE 
 1. Расширить: 3(x – 2)
 Показать ответ
 3x – 6
 (1 балл)
 2x .2 9000: – 7)
 Показать ответ
 8x  2  – 28x
 (1 балл)
 3. Развернуть и упростить: 5(x – 3) – 3(x + 5)
 Показать ответ
3
 30
 (2 балла)
 Контрольный список для обучения 
 Теперь вы научились:
 Умножать одно слагаемое над скобкой
 Раскладывать произведения двух или более двучленов
 Все еще застряли? 
 Подготовьте своих учеников KS4 к успешной сдаче выпускных экзаменов по математике с помощью программы Third Space Learning. Еженедельные онлайн-уроки повторения GCSE по математике, которые проводят опытные преподаватели математики.
 Узнайте больше о нашей программе повторения GCSE по математике.
 Раскрывающие скобки Рабочие листы | Умножение скобок 
 GCSE 1 - 3GCSE 4 - 5KS3AQAEdexcelOCRWJECAQA ноябрь 2022Edexcel ноябрь 2022OCR ноябрь 2022WJEC ноябрь 2022Foundation
 
 Уровень 1-3
GCSE
КС3
 Раскрытие одиночных скобок 
 Процесс удаления скобок называется раскрытием (или умножением) скобок. Это процесс, противоположный факторингу.
 Чтобы расширить 3(x+2), нам нужно умножить 3 на x и на 2
 \textcolor{red}{3}(\textcolor{limegreen}{x}+\textcolor{blue}{2}) = (\textcolor{red}{3}\times \textcolor{limegreen}{x}) + (\textcolor{red}{3}\times \textcolor{blue}{2}) = \textcolor{red}{3} \textcolor{limegreen}{x} + \textcolor{purple}{6}
 Это может усложняться по мере усложнения терминов.
 Уровень 1-3
GCSE
КС3
 Пример 1: одинарные скобки стрелка  показывает второе вычисление 2 х 5 = 10
 Это дает окончательный ответ как 6a+10
 Уровень 1-3
GCSE
КС3
 92 
 Уровень 1-3
GCSE
КС3
 
 Уровень 4-5
GCSE
КС3
 Расширяющиеся двойные скобки – Метод фольги 
 Когда  раскрываются двойные скобки  , нам нужно  умножить  каждого элемента в первом квадрате на каждый элемент во втором квадрате. Метод  FOIL  обеспечивает это каждый раз.
  F  – Первая,  O  – Наружная,  I  – Внутренняя, 92
 Связанные темы 
 MME
 Сбор похожих терминов – пересмотр и рабочие листы 
 Уровень 1-3GCSEKS3
 Проверка
 MME
 Полномочия и корни Рабочие листы, вопросы и проверка 
 Уровень 4-5GCSEKS3
 Пересмотреть
 Рабочий лист и примеры вопросов 
 (НОВИНКА) Вопросы в стиле экзамена с расширением одиночных скобок — MME 
 Уровень 4–5 GCSENewOfficial MME
 Экзаменационные вопросы  Отметить схему
 Учебные вопросы 
 Алгебра, расширение и факторизация 
 Уровень 4-5 GCSE
 Экзаменационные вопросы
 Квадратичная алгебра, расширение и факторизация 
 Уровень 4-5 GCSE
 Экзаменационные вопросы
 Вам также может понравиться.
 ..
  Расширяющиеся скобки Рабочий лист, вопросы и редакция  были добавлены к вашим сохраненным темам. Вы можете просмотреть все свои
сохраненные темы, посетив
Мои сохраненные темы.
  Раскрытие скобок Рабочий лист, вопросы и редакция  удален из ваших сохраненных тем. Вы можете просмотреть все
ваши сохраненные темы, посетив
Мои сохраненные темы.
 Расширение скобок с помощью распределительного правила 
 
 Image Copyright 2012 by Passy’s World
 Мы используем некоторые специальные методы для умножения терминов алгебры, включающих скобки.
 Это связано с тем, что обычные методы BODMAS/Pemdas для скобок не подходят для алгебры.
 В этом уроке мы рассмотрим, как расширить один набор скобок.
 В этих выражениях есть один термин вне скобок и два термина алгебры внутри скобок.
 Термины в скобках могут быть добавлены или вычтены, в зависимости от того, что содержится в исходном вопросе.
 Специальное правило умножения, которое мы используем, называется «распределяющим свойством» и означает, что мы распределяем термин за скобками на все термины внутри скобок.
 Это та же идея, что и Красный Крест, раздающий продуктовые наборы всем домам в городе, пострадавшем от стихийного бедствия.
 
 Источник изображения: http://www.icrc.org
 Процесс распределения также используется в автомобильных двигателях.
 Распределение Зарядка всех свечей зажигания в двигателе осуществляется с помощью устройства, называемого «Распределитель».
   
  
 Видеоролик о распределении свойств
 Следующее видео профессора Переса дает хороший обзор того, что мы рассматриваем в этом уроке.
 Мы рекомендуем посмотреть это видео, прежде чем читать оставшуюся часть этого урока.
 
   
  
 Введение в правило распределения
 Рассмотрим выражение с одной скобкой: 2 ( 4 + 3)
 Большинство людей используют BODMAS или Pemdas, чтобы сначала построить скобки, а затем умножить на 2.
3 
 Тогда ответ будет 2 x 7 = 14.
 На самом деле мы можем решить этот вопрос на умножение тремя способами:
 
 Image Copyright 2012 by Passy's World
 Самый быстрый способ получить правильный ответ 14 — использовать BODMAS или Pemdas Order of Операции и сделайте «Скобки» (или «Скобки»), прежде чем делать «Умножение».
 
 Image Copyright 2012 by Passy’s World
 Второй способ ответить на этот вопрос — преобразовать умножение в сумму сложения.
 Напр. 2 x (4 + 3) означает «две партии по четыре и три», поэтому мы можем написать: (4 + 3) + (4 + 3), 7 + 7 = 14.
 
 Image Copyright 2012 by Passy’s World
 Третье решение этого вопроса — это новый способ, который нам нужно изучить для алгебры.
 Он называется «Распределительный закон», или «Распределительное свойство», или «Распределительное правило», или «Расширение одинарных скобок», или «Распределительный метод», или «Метод клешни краба».
 
 Image Copyright 2012 by Passy's World
   
  
 Метод клешни краба как тот, который студенты, кажется, легко запоминают.
 Концепция включает в себя представление о внешнем числе как о большом красном крабе, который протягивает свою клешню, хватает оба числа внутри скобок и умножает их.
 Схематично это можно представить следующим образом.
 
 Image Copyright 2012 by Passy's World
 Итак, каждый раз, когда мы рисуем красные стрелки на вопросе на доске, чтобы показать, что внешнее число распределяется на оба внутренних числа, мы упоминаем, что это клешня краба, которая достигает и умножает оба числа.
 Клешня краба никогда не меняет знак сложения или вычитания между терминами, и этот знак остается нетронутым, пока мы работаем над этим процессом.
 Не спрашивайте почему, но эта концепция, кажется, хорошо работает, помогая учащимся понять и запомнить процесс Распределения.
 Большим недостатком является то, что идея «крабовой клешни» работает только тогда, когда у нас есть два термина внутри скобок, и на самом деле не охватывает три термина внутри скобок.
 
 Image Copyright 2012 by Passy’s World
   
  
 Зачем использовать свойство Distribution
 Метод Distribution необходимо использовать всякий раз, когда у нас есть буквенные термины в скобках, потому что BODMAS / Pemdas не будут работать с ними.
 
 Изображение Copyright 2012 by Passy’s World
 Нам нужно расширить скобки алгебры, чтобы мы могли решать уравнения и рисовать графики.
 
 Image Copyright 2012 by Passy’s World
 Мы не будем рассматривать уравнения и графики в этом уроке, но они рассматриваются в других уроках на нашем сайте.
 (Проверьте нашу страницу «Указатель», чтобы найти эти уроки).
   
  
 Распределительное правило и вычитание
 Мы также можем использовать Распределительное свойство в квадратных скобках, которые содержат знак вычитания.
 
 Image Copyright 2012 by Passy’s World
   
  
 Правило распределения с целыми числами и показателями степени
 Свойство распределения также можно использовать для трех терминов элементов, показателей степени и целых чисел, как показано в следующих примерах.
 Для трех предметов просто убедитесь, что внешний номер умножается на все три внутренних номера.
 Это приводит к тому, что в результирующем ответе будет три термина.
 
 Изображение Copyright 2012 by Passy’s World
   
  
 Если за скобками стоит отрицательное целое число, используйте правила целочисленного умножения, чтобы получить знаки членов ответов.
 Также может быть необходимо использовать правило «Сохранить переворот» для некоторых вычитаний и инвертировать знак вычитания в знак сложения, а также изменить знак отрицательного члена на положительный.
 Это показано в следующем примере.
 
 Изображение Copyright 2012 by Passy’s World
   
  
 К терминам, содержащим экспоненты, можно также применить дистрибутивное умножение.
 
 Image Copyright 2012 by Passy's World
 Если вы не уверены в экспонентах, ознакомьтесь с нашими предыдущими уроками по этому материалу по ссылкам ниже:
 http://passyworldofmathematics. com/multiplying-basic-alegebra-terms/
Basic Exponents and Indices
 http://passyworldofmathematics.com/multiplying-алгебра-exponents/
   
  
 Размер распределенного ответа
 Большинство ответов на дистрибутивное умножение содержат два элемента, соединенных друг с другом знаком сложения или вычитания.
 Если в вашем ответе нет двух отдельных терминов, внимательно проверьте свою работу.
 В ответе может быть только одно слагаемое, и оно будет правильным; но это происходит только тогда, когда некоторые подобные термины отменяются после расширения.
 Также возможно наличие трех и более условий в окончательном ответе, если исходный вопрос содержал три или более условий в скобках.
 
 Изображение Copyright 2012 by Passy’s World
   
  
 Видео о распределении собственности
 В следующем видео четко объясняется, как использовать метод распределительного умножения.
 
   
  
 В следующем видео показаны распространенные ошибки, которые можно допустить при использовании свойства Distribution.
 
   
  
 Распространяемое свойство с похожими терминами
 В более сложных вопросах часто встречаются «похожие термины», которые необходимо собрать вместе после того, как мы выполнили шаги по распространению.
 
 Image Copyright 2012 by Passy’s World
   
  
 Некоторые вопросы довольно длинные, в них нам нужно раскрыть две группы скобок, а затем собрать похожие условия.
 
 Image Copyright 2012 by Passy’s World
   
  
 В этом последнем примере показано, как выполнить вопрос о свойстве двойного распределения, который содержит показатели степени.
 
 Изображение Copyright 2012 by Passy’s World
   
  
 Собственность для распространения Музыкальное видео
 Эта история, за которой следует музыкальное видео, действительно существует, но демонстрирует Распространяемое свойство с анимированной историей, песней бурундуков и небольшим пластилином. Он конечно уникален!
 
   
  
 Связанные элементы
 Выражения алгебры 
 Термины алгебры Коэффициенты Переменные и константы. 
 Подстановка в алгебре с использованием положительных чисел. 
 Подстановка в алгебре с использованием отрицательных чисел. 
 Экспоненты и индексы основных степеней. 
 Подстановка с использованием показателей степени и индексов. 
 Идентификация и объединение похожих терминов. 
 Базовое алгебраическое умножение. 
 Алгебра Экспоненты Умножение. 
 Деление алгебры. 
 Формулы алгебры в реальном мире 
 Алгебра выжившего — классная работа
 Если вам понравился этот пост, почему бы не получить бесплатную подписку на наш веб-сайт. 
 После этого вы сможете получать уведомления о новых страницах прямо на свой адрес электронной почты.
 Перейдите в область подписки на правой боковой панели, введите свой адрес электронной почты и нажмите кнопку «Подписаться».
 Чтобы точно узнать, как работает бесплатная подписка, нажмите на следующую ссылку:
 Как работает бесплатная подписка
 Если вы хотите предложить идею для статьи или стать приглашенным автором в нашем блоге, напишите нам по адресу адрес горячей почты, показанный ниже.
 Если вы являетесь подписчиком Passy’s World of Mathematics и хотели бы получить бесплатную версию этого урока в PowerPoint стоимостью 4,99 доллара США, но на 100 % бесплатно для вас как подписчика, напишите нам по следующему адресу:
 Пожалуйста, укажите в своем электронном письме, что вы хотите получить бесплатную подписную копию «Distributive Property» PowerPoint.
 Не стесняйтесь размещать ссылки на любые наши уроки, делиться ими в социальных сетях или использовать их в системах управления обучением в школах.
  
 Нравится нам на Facebook
 На нашей странице Facebook есть много дополнительных элементов, которые не размещены на этом сайте.
 Сюда входят предметы, представляющие математический интерес, забавные математические картинки и мультфильмы, а также случайные зарисовки из личной жизни «Пасси».
 Проверьте это по следующей ссылке:
 https://www.facebook.com/PassysWorldOfMathematics
 Пока вы там, ставьте НРАВИТСЯ странице, чтобы вы могли получать наши обновления FB в своей ленте новостей Facebook.
  
 Помогите Passy's World расти
 Каждый день Passy's World предоставляет сотням людей бесплатные уроки математики.
 Помогите нам поддерживать этот бесплатный сервис и поддерживать его рост.
 Пожертвуйте любую сумму от $2 и выше через PayPal, щелкнув изображение PayPal ниже. Благодарю вас!
 
 
 
 
 PayPal принимает кредитные карты, но вам нужно будет указать адрес электронной почты и пароль, чтобы PayPal мог создать для вас учетную запись PayPal для обработки транзакции. За это действие с вас не будет взиматься плата за обработку, так как PayPal вычитает комиссию из вашего пожертвования до того, как оно попадет в Passy’s World.
   
  
 Enjoy, 
 Passy
 Эта запись была опубликована в Алгебра, Экспоненты и помечена как расширение алгебры, помощь по алгебре, законы алгебры, алгебраическое умножение, метод крабового клешня, дистрибутив, дистрибутивное расширение, показатели дистрибутивности, дистрибутивное право, дистрибутивное право с подобными терминами, дистрибутивным методом, дистрибутивным умножением, дистрибутивным методом умножения, дистрибутивным свойством, алгеброй дистрибутивных свойств, определением дистрибутивного свойства, дистрибутивным свойством в умножении, математикой дистрибутивного свойства, дистрибутивным свойством умножения, дистрибутивным свойством с подобными терминами, дистрибутивным правилом, дистрибутивным правилом с одинаковыми терминами, расширяя одиночные скобки, как делать алгебру, как делать алгебраическое умножение, как делать дистрибутив, как умножать, как умножать скобки, как умножать скобки, помощь по математике, умножать скобки, умножать скобки. Добавьте постоянную ссылку в закладки.
No related posts.