Интегралы от рациональных функций: Интегрирование рациональных дробей и функций

Содержание

Интегрирование рациональных дробей и функций

1. Интегрирование рациональных дробей.

2. Алгоритм интегрирования рациональной дроби.

3. Примеры интегрирования рациональных функций.

 

Интегрирование рациональных дробей

 

Рациональной дробью называется дробь вида

– многочлены степени m и n соответственно. Рациональная дробь называется правильной , если степень числителя меньше степени знаменателя (m<n), в противном случае дробь называется неправильной .

Простейшими элементарными дробями называются дроби следующего вида:

Пример 1

Пример 2

Интегралы, содержащие в знаменателе квадратный трехчлен, можно вычислить, применяя прием выделения полного квадрата разности или суммы. Рассмотрим пример такого интеграла.

Пример 3.

Алгоритм интегрирования рациональной дроби

1. Если дробь неправильная, надо выделить целую часть рациональной дроби, разделив числитель на знаменатель по правилу деления многочлена на многочлен, т.е. представить в виде:

2. Знаменатель разложим на простейшие сомножители: Q

n(x)

3. Представим дробь 

виде суммы простейших дробей с неопределенными коэффициентами.

  1. Приведем все дроби в разложении к общему знаменателю и приравняем числители в обеих частях равенства.
  2. Составим систему уравнений, используя равенство многочленов, стоящих в числителе, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x.
  3. Решим систему уравнений, находя некоторые коэффициенты методом частных значений, полагая равным действительным корням знаменателя.
  4. Подставим найденные коэффициенты A1,A2,…,Cs,Ds в разложение дроби.
  5. Проинтегрируем простейшие дроби.

 

Примеры интегрирования рациональных функций

Пример 4.

Корни знаменателя: x=1, а x2+1 = 0 не имеет действительных корней.

Тогда разложение для данной дроби имеет вид:

 

Приводя полученные дроби к общему знаменателю, получим тождество:

Пример 5.

Вычислим коэффициенты разложения, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях. Так как знаменатель имеет три действительных различных корня, то три коэффициента найдем методом частных значений.

Подставим найденные коэффициенты в разложение и проинтегрируем дроби.

Страница не найдена — ПриМат

© 2012-2016: Нохум-Даниэль Блиндер (11), Анастасия Лозинская (10), Денис Стехун (8), Валентин Малявко (8), Елизавета Савицкая (8), Игорь Любинский (8), Юлия Стерлянко (8), Олег Шпинарев (7), Александр Базан (7), Анна Чалапчий (7), Константин Берков (7), Максим Швандт (6), Людмила Рыбальченко (6), Кирилл Волков (6), Татьяна Корнилова (6), Влад Радзивил (6), Валерия Заверюха (5), Елизавета Снежинская (5), Вадим Покровский (5), Даниил Радковский (5), Влад Недомовный (5), Александр Онищенко (5), Андрей Метасов (5), Денис Базанов (5), Александр Ковальский (5), Александр Земсков (5), Марина Чайковская (5), Екатерина Шибаева (5), Мария Корень (5), Анна Семененко (5), Мария Илларионова (5), Сергей Черкес (5), Алиса Ворохта (5), Артём Романча (4), Анна Шохина (4), Иван Киреев (4), Никита Савко (4), Кондрат Воронов (4), Алина Зозуля (4), Иван Чеповский (4), Артем Рогулин (4), Игорь Чернега (4), Даниил Кубаренко (4), Ольга Денисова (4), Татьяна Осипенко (4), Яков Юсипенко (4), Ольга Слободянюк (4), Руслан Авсенин (4), Екатерина Фесенко (4), Дмитрий Заславский (4), Алина Малыхина (4), Андрей Лисовой (4), Полина Сорокина (4), Кирилл Демиденко (4), Дмитрий Стеценко (4), Александр Рапчинский (4), Святослав Волков (4), Иван Мясоедов (4), Владислав Стасюк (4), Алёна Гирняк (4), Николай Царев (4), Валентин Цушко (4), Павел Жуков (4), Роман Бронфен-Бова (4), Дмитрий Дудник (3), Дарья Кваша (3), Игорь Стеблинский (3), Артем Чернобровкин (3), Виктор Булгаков (3), Дмитрий Мороз (3), Богдан Павлов (3), Игорь Вустянюк (3), Андрей Яроцкий (3), Лаура Казарян (3), Екатерина Мальчик (3), Анатолий Осецимский (3), Иван Дуков (3), Дмитрий Робакидзе (3), Вячеслав Зелинский (3), Данила Савчак (3), Дмитрий Воротов (3), Стефания Амамджян (3), Валерия Сиренко (3), Георгий Мартынюк (3), Виктор Иванов (3), Вячеслав Иванов (3), Валерия Ларикова (3), Евгений Радчин (3), Андрей Бойко (3), Милан Карагяур (3), Александр Димитриев (3), Иван Василевский (3), Руслан Масальский (3), Даниил Кулык (3), Стас Коциевский (3), Елизавета Севастьянова (3), Павел Бакалин (3), Антон Локтев (3), Андрей-Святозар Чернецкий (3), Николь Метри (3), Евелина Алексютенко (3), Константин Грешилов (3), Марина Кривошеева (3), Денис Куленюк (3), Константин Мысов (3), Мария Карьева (3), Константин Григорян (3), Колаев Демьян (3), Станислав Бондаренко (3), Ильдар Сабиров (3), Владимир Дроздин (3), Кирилл Сплошнов (3), Карина Миловская (3), Дмитрий Козачков (3), Мария Жаркая (3), Алёна Янишевская (3), Александра Рябова (3), Дмитрий Байков (3), Павел Загинайло (3), Томас Пасенченко (3), Виктория Крачилова (3), Таисия Ткачева (3), Владислав Бебик (3), Илья Бровко (3), Максим Носов (3), Филип Марченко (3), Катя Романцова (3), Илья Черноморец (3), Евгений Фищук (3), Анна Цивинская (3), Михаил Бутник (3), Станислав Чмиленко (3), Катя Писова (3), Юлиана Боурош (2), Никита Семерня (2), Владимир Захаренко (2), Дмитрий Лозинский (2), Яна Колчинская (2), Юрий Олейник (2), Кирилл Бондаренко (2), Елена Шихова (2), Татьяна Таран (2), Наталья Федина (2), Настя Кондратюк (2), Никита Гербали (2), Сергей Запорожченко (2), Николай Козиний (2), Георгий Луценко (2), Владислав Гринькив (2), Александр Дяченко (2), Анна Неделева (2), Никита Строгуш (2), Настя Панько (2), Кирилл Веремьев (2), Даниил Мозгунов (2), Андрей Зиновьев (2), Андрей Данилов (2), Даниил Крутоголов (2), Наталия Писаревская (2), Дэвид Ли (2), Александр Коломеец (2), Александра Филистович (2), Евгений Рудницкий (2), Олег Сторожев (2), Евгения Максимова (2), Алексей Пожиленков (2), Юрий Молоканов (2), Даниил Кадочников (2), Александр Колаев (2), Александр Гутовский (2), Павел Мацалышенко (2), Таня Спичак (2), Радомир Сиденко (2), Владислав Шиманский (2), Илья Балицкий (2), Алина Гончарова (2), Владислав Шеванов (2), Андрей Сидоренко (2), Александр Мога (2), Юлия Стоева (2), Александр Розин (2), Надежда Кибакова (2), Майк Евгеньев (2), Евгений Колодин (2), Денис Карташов (2), Александр Довгань (2), Нина Хоробрых (2), Роман Гайдей (2), Антон Джашимов (2), Никита Репнин (2), Инна Литвиненко (2), Яна Юрковская (2), Гасан Мурадов (2), Богдан Подгорный (2), Алексей Никифоров (2), Настя Филипчук (2), Гук Алина (2), Михаил Абабин (2), Дмитрий Калинин (2), Бриткариу Ирина (2),

Интегрирование рациональных функций (дробей)

Стандартные методы интегрирования рациональных функций

Рациональная функция R(x) от переменной x – это функция, образованная, из переменной x и произвольного конечного количества постоянных, с помощью конечного числа операций сложения, вычитания, умножения и деления. Алгебраическими преобразованиями ее можно привести к дроби из двух многочленов от переменной x:
,
где ,
– многочлены степеней k и n, соответственно.

Рассмотрим интеграл от рациональной функции:
(1)  
Далее приводится стандартный метод вычисления таких интегралов.

1. Если k ≥ n, то мы делим многочлен Pk(x) на многочлен Qn(x). В результате получаем:
(2)   ,
где – многочлен степени k–n;
– многочлен степени m < n.

См. подробнее: Деление и умножение многочлена на многочлен уголком и столбиком >>>

2. Раскладываем многочлен Qn(x) на множители:

См. подробнее: Методы разложения многочленов на множители >>>
Примеры разложения многочленов на множители >>>

3. Раскладываем правильную рациональную дробь на простейшие:

См. подробнее: Методы разложения рациональных дробей на простейшие >>>

4. Подставляем в (2) и интегрируем. В результате исходный интеграл (1) выражается через более простые интегралы следующих видов:
;
;
.

5. Вычисляем интегралы от простейших дробей.
См. подробнее: Интегрирование простейших дробей >>>
Примеры интегрирования рациональных функций >>>

Нестандартные методы интегрирования рациональных функций

Иногда удается найти подстановку, которая приводит к более простым интегралам. Ниже рассмотрены подобные случаи.

Применение простых степенных подстановок

В некоторых случаях удается найти степенную подстановку вида t = xn, которая приводит интеграл к более простому виду.

Пример

Вычислить интеграл:

Решение

Умножим числитель и знаменатель на x7:
.

Делаем подстановку t = x8:
.

Разложим дробь на простейшие.
.

Интегрируем:
.
Поскольку x8 ≥ 0, то знак модуля можно убрать. По свойству модуля и логарифма:
.

Ответ

.

Дробно-линейные подстановки

Интегралы вида легко находятся с помощью дробно-линейной подстановки   , применяя формулы:
;
;
.

Пример

Вычислить интеграл:
.

Решение

Преобразуем знаменатель.
x2 – 1 = (x – 1)(x + 1);
;
.

Делаем дробно-линейную подстановку:
.
;
;
;
;

.

Применяем формулу бинома Ньютона:
.
;
.

Интегрируем.
.

Ответ

;
.

Возвратные многочлены

Некоторые интегралы, содержащие возвратные многочлены и множитель x2 – 1 или x2 + 1, находятся подстановкой     или   . Вот примеры таких интегралов:
, , , .

Пример

Вычислить интеграл
.

Решение

Введем вспомогательные интегралы:
,
,
.

Разделим числитель и знаменатель на x2 и делаем подстановку   .

.

Разделим числитель и знаменатель на x2 и делаем подстановку   .

.
Поскольку уравнения

корней не имеют, то   . Поэтому знак модуля можно опустить.

Искомый интеграл
.

Ответ

.

Использованная литература:
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано:

Примеры интегрирования рациональных функций (дробей)

Здесь мы приводим подробные решения трех примеров интегрирования следующих рациональных дробей:
,   ,   .

Пример 1

Вычислить интеграл:
.

Решение

Здесь под знаком интеграла стоит рациональная функция, поскольку подынтегральное выражение является дробью из многочленов. Степень многочлена знаменателя (3) меньше степени многочлена числителя (4). Поэтому, вначале необходимо выделить целую часть дроби.

1.   Выделим целую часть дроби. Делим x4 на x 3 – 6x 2 + 11x – 6:

Отсюда
.

2.   Разложим знаменатель дроби на множители. Для этого нужно решить кубическое уравнение:
.
Предположим, что оно имеет хотя бы один целый корень. Тогда он является делителем числа 6 (члена без x). То есть целый корень может быть одним из чисел:
1, 2, 3, 6, –1, –2, –3, –6.
Подставим x = 1:
.

Итак, мы нашли один корень x = 1. Делим на x – 1:

Отсюда
.
Решаем квадратное уравнение   .
.
Корни уравнения: ,   .
Тогда
.

3.   Разложим дробь на простейшие.

.

Итак, мы нашли:
.
Интегрируем.

Ответ

.

Пример 2

Вычислить интеграл:
.

Решение

Здесь в числителе дроби – многочлен нулевой степени (1 = x 0). В знаменателе – многочлен третьей степени. Поскольку 0 < 3, то дробь правильная. Разложим ее на простейшие дроби.

1.   Разложим знаменатель дроби на множители. Для этого нужно решить уравнение третьей степени:
.
Предположим, что оно имеет хотя бы один целый корень. Тогда он является делителем числа 3 (члена без x). То есть целый корень может быть одним из чисел:
1, 3, –1, –3.
Подставим x = 1:
.

Итак, мы нашли один корень x = 1. Делим x 3 + 2x – 3 на x – 1:

Итак,
.

Решаем квадратное уравнение:
x 2 + x + 3 = 0.
Находим дискриминант: D = 1 2 – 4·3 = –11. Поскольку D < 0, то уравнение не имеет действительных корней. Таким образом, мы получили разложение знаменателя на множители:
.

2.   Разложим дробь на простейшие. Ищем разложение в виде:
.
Освобождаемся от знаменателя дроби, умножаем на (x – 1)(x 2 + x + 3):
(2.1)   .
Подставим x = 1. Тогда x – 1 = 0,
.

Подставим в (2.1) x = 0:
1 = 3A – C;
.

Приравняем в (2.1) коэффициенты при x 2:
;
0 = A + B;
.

Итак, мы нашли разложение на простейшие дроби:
.

3.   Интегрируем.
(2.2)   .
Для вычисления второго интеграла, выделим в числителе производную знаменателя и приведем знаменатель к сумме квадратов.

;
;
.

Вычисляем I2.


.
Поскольку уравнение x 2 + x + 3 = 0 не имеет действительных корней, то x 2 + x + 3 > 0. Поэтому знак модуля можно опустить.

Поставляем в (2.2):
.

Ответ

.

Пример 3

Вычислить интеграл:
.

Решение

Здесь под знаком интеграла стоит дробь из многочленов. Поэтому подынтегральное выражение является рациональной функцией. Степень многочлена в числителе равна 3. Степень многочлена знаменателя дроби равна 4. Поскольку 3 < 4, то дробь правильная. Поэтому ее можно раскладывать на простейшие дроби. Но для этого нужно разложить знаменатель на множители.

1.   Разложим знаменатель дроби на множители. Для этого нужно решить уравнение четвертой степени:
.
Предположим, что оно имеет хотя бы один целый корень. Тогда он является делителем числа 2 (члена без x). То есть целый корень может быть одним из чисел:
1, 2, –1, –2.
Подставим x = –1:
.

Итак, мы нашли один корень x = –1. Делим на x – (–1) = x + 1:

Итак,
.

Теперь нужно решить уравнение третьей степени:
.
Если предположить, что это уравнение имеет целый корень, то он является делителем числа 2 (члена без x). То есть целый корень может быть одним из чисел:
1, 2, –1, –2.
Подставим x = –1:
.

Итак, мы нашли еще один корень x = –1. Можно было бы, как и в предыдущем случае, разделить многочлен     на   , но мы сгруппируем члены:
.

Поскольку уравнение x 2 + 2 = 0 не имеет действительных корней, то мы получили разложение знаменателя на множители:
.

2.   Разложим дробь на простейшие. Ищем разложение в виде:
.
Освобождаемся от знаменателя дроби, умножаем на (x + 1) 2(x 2 + 2):
(3.1)   .
Подставим x = –1. Тогда x + 1 = 0,
.

Продифференцируем (3.1):

;

.
Подставим x = –1 и учтем, что x + 1 = 0:
;
;   .

Подставим в (3.1) x = 0:
0 = 2A + 2B + D;
.

Приравняем в (3.1) коэффициенты при x 3:
;
1 = B + C;
.

Итак, мы нашли разложение на простейшие дроби:
.

3.   Интегрируем.


.

Ответ

.

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано:

Примеры интегрирования дробно-рациональных функций

Контрольную работу на интегрирование функций, в том числе и рациональных дробей задают студентам 1, 2 курсов. Примеры интегралов в основном будут интересны для математиков, экономистов, статистов. Данные примеры задавали на контрольной работе в ЛНУ им. И. Франка. Условия следующих примеров «Найти интеграл» или «Вычислить интеграл», поэтому для экономии места и Вашего времени их не выписывали.


Пример 15. Мы пришли к интегрированию дробно-рациональных функций. Они занимают особое место среди интегралов, поскольку требуют много времени на вычисление и помогают преподавателям проверить Ваши знания не только по интегрированию. Для упрощения функции под интегралом добавим и вычтем в числителе выражение, которое позволит разбить функцию под интегралом на две простые


В результате один интеграл находим довольно быстро, во втором нужно дробь разложить на суму элементарных дробей

При сведении к общему знаменателю получим такие числительные

Далее раскрываем скобки и группируем

Приравниваем значение при одинаковых степенях «икс» справа и слева. В результате придем к системе трех линейных уравнений (СЛАУ) с тремя неизвестными.

Как решать системы уравнений описано в других статьях сайта. В конечном варианте Вы получите следующее решения СЛАУ
A=4; B=-9/2; C=-7/2.
Подставляем постоянные в разложение дроби на простейшие и выполняем интегрирование


На этом пример решен.


Пример 16. Опять нужно найти интеграл от дробно-рациональной функции. Для начала кубическое уравнение, которое содержится в знаменателе дроби разложим на простые множители

Далее выполняем разложение дроби на простейшие

Сводим правую сторону к общему знаменателю и раскрываем скобки в числителе.


Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях переменной. Снова придем к СЛАУ с тремя неизвестными

Подставляем значения А,В,С в разложение и вычисляем интеграл

Первые два слагаемых дают логарифм, последний тоже легко найти.


Пример 17. В знаменателе дробно-рациональной функции имеем разницу кубов. Ее по формулам сокращенного умножения раскладываем на два простых множителя

Далее полученную дробную функцию расписываем на сумму простых дробей и сводим их под общий знаменатель

В числителе получим следующее выражение.

Из него формируем систему линейных уравнений для вычисления 3 неизвестных

A=1/3; B=-1/3; C=1/3.
Подставляем А, В, С в формулу и выполняем интегрирование. В результате придем к такому ответу


Здесь числитель второго интеграла превращали в логарифм, при этом остаток под интегралом дает арктангенс.
Подобных примеров на интегрирование рациональных дробей в интернете очень много. Похожие примеры Вы можете найти из приведенных ниже материалов.

Готовые решения контрольной по интегрированию

3.1.5. Интегрирование дробно-рациональных функций | Контрольные работы

Дробно-рациональной функцией (рациональной дробью) называется отношение двух многочленов. Если степень многочлена, стоящего в числителе дроби, не меньше, чем степень многочлена в знаменателе, то в этой дроби следует выделить целую часть, т. е. представить ее в виде:

где R(x), P(x), Q(x) — многочлены, причем степень P(x) меньше степени Q(x). Рациональная дробьОбладающая этим свой

ством, называется правильной. Для интегрирования такой дроби ее необходимо разложить в сумму простейших дробей, которые легко интегрируются: казано ниже на примере). Остановимся подробнее на методике разложения правильной рациональной дробиВ сумму про

т. е. этот квадратный трехчлен не имеет действительных корней (интегрирование простейших дробей последнего типа будет по-

стейших дробей. Это выполняется по следующей схеме:

1. Сначала знаменатель дроби Q(x) необходимо разложить на множители вида: x — a, (x — b)k, (x2 + px + q)k.

При этом часто используется теорема Виета: если квадратный трехчлен ax2 + bx + с имеет корни X1, х2, то

2. Далее следует записать разложение дробиВ сумму простейших дробей, оставляя неопределенными коэффициентами А, B, C, D и т. д. При этом каждому множителю вида (x — а) соответствует дробь, множителю вида (x — b)k соответствует сумма дробей:

а множителю вида x2 + px + q, если он не имеет действительных корней (p2 — 4q < 0), соответствует дробь вида:

3. Для определения коэффициентов А, B, C, D, E в этом разложении следует приравнять коэффициенты при одинаковых степенях х у многочлена P(x) и многочлена, который получается в числителе после приведения записанной суммы простейших дробей к общему знаменателю (метод неопределенных коэффициентов). Можно также находить эти коэффициенты путем сравнения значений указанных многочленов при конкретных значениях х (в первую очередь, при х, совпадающих с корнями знаменателя Q(x)).

Пример 3.8. Вычислить интегралПодинтеграль-

ная функция представляет собой неправильную рациональную 156

дробь, поэтому выделим сначала целую часть дроби, поделив с остатком числитель на знаменатель

Таким образом

и

Для нахождения оставшегося интеграла выделим в числителе дифференциал знаменателя

Затем разобьем интеграл на два слагаемых и в последнем выделим полный квадрат квадратного трехчлена, стоящего в знаменателе. Тем самым получим:

1. Подинтегральная функция — правильная рациональная дробь.

2. Разложим знаменатель правильной рациональной дроби на простейшие действительные множители:

3. Разложим правильную рациональную дробь на простейшие:

Так как в знаменателе правильной дроби есть кратный линейный множитель, то в разложении появилась простейшая дробь

II типа.

4. Приведем к общему знаменателю все дроби и затем отбросим его:

Таким образом, имеем

5. Составляем систему уравнений:

6. Решая систему уравнений, получим A0 = -4, A1 = 0 и В = 1, а исходная подинтегральная функция разложится на простейшие дроби следующим образом:

Пример 3.10. Найти интеграл

I»>

Решение. Заметим, что.

Наименьшим общим кратным знаменателем дробейЯвляется

6. Поэтому, если применить подстановку 2х + 3 = t6, то будет иметь:

т. е. иррациональности в подинтегральном выражении исчезают. Так как:

Подставляя найденные выражения в искомый интеграл, получаем:

Таким образом, данный интеграл сведен к интегралу от рациональной функции. Для его нахождения выделим целую часть подинтегральной функции:

Интегрируя каждое из слагаемых, находим:

Возвратимся к старой переменной. Так какТо по

лучаем следующий окончательный результат:

159

2

Так как cos 2x = 2cos x — 1, то подинтегральная функция имеет вид R(sin x, cos x). Заметим, что при замене sin x на — sin x она меняет знак, т. е. является нечетной относительно sin x. Применяем подстановку cos x = t. Тогда

< Предыдущая   Следующая >

Интегрирование рациональных функций

Рациональной функцией называется функция, равная отношению двух многочленов:

(1)

где n, m — целые положительные числа;

Если m < n, то называетсяправильной дробью, если mnнеправильной дробью.

Всякую неправильную дробь путем деления числителя на знаменатель можно представить в виде суммы некоторого многочлена и правильной дроби:

где — многочлены;- правильная, дробь;l < n.

Так как всякий многочлен легко интегрируется, то интегрирование рациональных функций сводится к интегрированию правильных дробей. Поэтому в дальнейшем будем рассматривать правильные рациональные функции .

Интегрирование правильных рациональных дробей начинают с разложения их на простейшие рациональные дроби.

Простейшей дробью называется дробь одного из следующих четырех типов:

1). ; 2).; 3).; 4).

где A,M,N,a,p,q– постоянные числа;h2 иh– целое;.

Покажем схему нахождения интегралов от простейших рациональных дробей:

где

Аналогичные приемы используются при интегрировании простейших дробей четвертого типа. При этом задача отыскания интеграла четвертого типа сводится к отысканию интеграла следующего вида

,

где ;, который может быть найден с помощью рекуррентной формулы понижения степени знаменателя

Таким образом, всякая простейшая рациональная дробь может быть проинтегрирована в элементарных функциях.

Известно, что всякий многочлен с действительными коэффициентами на множестве действительных чисел может быть представлен в виде

, (2)

где — действительные корни многочленакратностей, а;

Всякая правильная рациональная дробь (1) со знаменателем, представленным в виде (2), можно разложить в сумму простейших рациональных дробей типа 1)-4). В данном разложении каждому корню кратностимногочлена(множителю) соответствует суммадробей вида

(3)

Каждой паре комплексно-сопряженных корней кратности многочлена(множителю) соответствует суммаэлементарных дробей

(4)

Для вычисления значений A, М, N в разложении функции R(x) на сумму простейших рациональных дробей часто используют метод не­определенных коэффициентов, суть которого заключается в следующем. С учетом формул (3), (4) данную дробь R(x) представим в виде суммы простейших рациональных дробей с неопределенными коэффициентами А, М, N. Полученное равенство является тождеством. Поэтому, если привести все дроби к общему знаменателю в числителе получим многочленстепени (

n — 1), тождественно равный многочлену , стоящему в числителе выражения (1). Приравняв коэффициенты при одинаковых степеняхх в этих многочленах, получим систему n уравнений для определения n неизвестных коэффициентов А, М, N (с индексами).

В некоторых случаях с целью упрощения вычислений можно воспользоваться следующим соображением. Так как многочлены итождественно равны, то их значения равны при любых числовых значенияхх. Придавая х конкретные числовые значения, получаем систему уравнений для определения коэффициентов. Такой метод нахождения неизвестных коэффициентов называется методом частных значений. Если значения х совпадают с действительными корнями знаменателя, получаем уравнение с одним неизвестным коэффициентом.

Таким образом, всякая рациональная функция в принципе может быть проинтегрирована указанным выше способом.

В заданиях 3 и 5 необходимо найти интегралы от рациональных функций.

Задание 3. Найти неопределенный интеграл. Результат интегрирования проверить дифференцированием

a). ,b). , c). .

Решение: Во всех примерах задания 3 подынтегральная функция является неправильной рациональной дробью, так как степень многочлена стоящего в числителе больше или равна степени многочлена стоящего в знаменателе. Путем деления числителя на знаменатель выделим целую часть рациональной дроби и правильную рациональную дробь.

Задание 3 a). .

Таким образом . Используя свойство 50, разбиваем исходный интеграл на три интеграла. Первые два являются табличными, где, для первого интеграла, для второго -. Третий интеграл сводится к табличному, где, при помощи внесения под знак дифференциала функции.

Проверим полученный результат. Продифференцируем

Таким образом, производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции.

Задание 3 b). .

Путем деления числителя на знаменатель выделим целую часть рациональной дроби и правильную рациональную дробь. Разобьем полученный интеграл на два интеграла. Первый является табличным , где,. Второй интеграл является простейшей правильной рациональной дробью третьего типа. Первый этап (выделение полного квадрата в знаменателе) опускается. Подынтегральную функцию разбиваем на сумму двух дробей, после чего второй интеграл представляется в виде суммы двух интегралов. Первый интеграл сводится к табличному, где, при помощи внесения под знак дифференциала функции, второй интеграл является табличным, где,.

Проверка найденного интеграла осуществляется аналогично тому, как это было сделано в пункте а).

Задание 3 c). .

Путем деления числителя на знаменатель выделим целую часть рациональной дроби и правильную рациональную дробь. Разобьем полученный интеграл на три интеграла. Первый и второй интегралы является табличным , где; для первого интеграла, для второго -. Третий интеграл — табличный, где,. Тогда

Проверка найденного интеграла осуществляется аналогично тому, как это было сделано в пункте а).

Задание 5. Найти неопределенный интеграл. Результат интегрирования проверить дифференцированием

a). ,b). .

Решение: Во всех примерах задания 5 подынтегральная функция является рациональной дробью. Для интегрирования их воспользуемся разложением подынтегральных дробей на сумму простейших.

Задание 5 a). .

Подынтегральная функция является правильной рациональной дробью, так как степень многочлена стоящего в числителе () меньше степени многочлена стоящего в знаменателе (). Разложим знаменатель подынтегральной функции на множители. Для этого найдем корни квадратного уравнения Тогда . Согласно формуле (3), в разложении правильной дроби на простейшие каждому множителю знаменателя видасоответствует слагаемое. Поэтому в данном случае имеем

Приведя правую часть разложения на сумму простейших дробей к общему знаменателю, и приравняв числители дробей, получим тождество

Коэффициенты A,B,Cопределим, например, с помощью метода частных значений (подставим одни и те же значенияxв правую и левую часть тождества):

Подставим в тождество. Получим, так как.

Аналогично при получим:; приполучим:.

Таким образом, получаем систему трех уравнений с тремя неизвестными

Подставим найденные коэффициенты в разложение подынтегральной функции на простейшие дроби, получим

Замечание: результат интегрирования можно оставить в виде суммы логарифмических функций.

Результат интегрирования проверим дифференцированием.

Таким образом, производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции.

Задание 5 b). .

Так как подынтегральная функция является неправильной дробью (степень многочлена в числителе () больше, чем степень многочлена знаменателя ()), то путем деления числителя на знаменатель можно представить ее в виде суммы целого многочлена и правильной рациональной дроби. Удобно раскрыть скобки в знаменателе и поделить «уголком» числитель на знаменатель.

Так как и, то

Тогда исходный интеграл примет вид

Вычислим отдельно оставшийся интеграл. Подынтегральная функция является правильной рациональной дробью, которая может быть разложена на сумму трех простейших дробей (аналогично тому, как это было сделано в пункте a)).

Тогда окончательно получим

Проверка найденного интеграла осуществляется аналогично тому, как это было сделано в пункте а).

2 − x − 2} \, dx = \ int \ left (\ dfrac {1} {x + 1} + \ dfrac {2} {x − 2} \ right) \, dx. \ Nonumber \]

дюйма В этом разделе мы исследуем метод разложения на частичную дробь , который позволяет нам разложить рациональных функций на суммы более простых и легко интегрируемых рациональных функций. Используя этот метод, мы можем переписать такое выражение, как:

Ключ к методу декомпозиции частичной дроби — это способность предвидеть форму, которую примет разложение рациональной функции.Как мы увидим, эта форма предсказуема и сильно зависит от факторизации знаменателя рациональной функции. Также чрезвычайно важно помнить, что разложение на частичную дробь может применяться к рациональной функции \ (\ dfrac {P (x)} {Q (x)} \), только если \ (deg (P (x)) < град (Q (х)) \). В случае, когда \ (deg (P (x)) ≥deg (Q (x)) \), мы должны сначала выполнить длинное деление, чтобы переписать частное \ (\ dfrac {P (x)} {Q (x)} \) в виде \ (A (x) + \ dfrac {R (x)} {Q (x)} \), где \ (deg (R (x))

Чтобы интегрировать \ (\ Displaystyle \ int \ dfrac {P (x)} {Q (x)} \, dx \), где \ (deg (P (x))

Неповторяющиеся линейные множители

Если \ (Q (x) \) можно разложить на множители как \ ((a_1x + b_1) (a_2x + b_2)… (a_nx + b_n) \), где каждый линейный множитель различен, то можно найти константы \ (A_1, A_2,… A_n \) удовлетворяющие

\ [\ dfrac {P (x)} {Q (x)} = \ dfrac {A_1} {a_1x + b_1} + \ dfrac {A_2} {a_2x + b_2} + ⋯ + \ dfrac {A_n} {a_nx + b_n}.2−2x = x (x − 2) (x + 1) \). Таким образом, существуют константы \ (A \), \ (B \) и \ (C \), удовлетворяющие уравнению \ ref {eq: 7.4.1}, такие что

\ [\ dfrac {3x + 2} {x (x − 2) (x + 1)} = \ dfrac {A} {x} + \ dfrac {B} {x − 2} + \ dfrac {C} { х + 1}. \ nonumber \]

Теперь мы должны найти эти константы. Для этого мы начнем с получения общего знаменателя справа. Таким образом,

\ [\ dfrac {3x + 2} {x (x − 2) (x + 1)} = \ dfrac {A (x − 2) (x + 1) + Bx (x + 1) + Cx (x− 2)} {х (х — 2) (х + 1)}. \ nonumber \]

Теперь мы устанавливаем числители равными друг другу, получая

\ [3x + 2 = A (x − 2) (x + 1) + Bx (x + 1) + Cx (x − 2).2 + (- А + В − 2С) х + (- 2А). \ nonumber \]

Приравнивание коэффициентов дает систему уравнений

\ [\ begin {align *} A + B + C & = 0 \\ [4pt] −A + B − 2C & = 3 \\ [4pt] −2A & = 2. \ end {align *} \]

Чтобы решить эту систему, сначала заметим, что \ (−2A = 2⇒A = −1. \). Подставляя это значение в первые два уравнения, мы получаем систему

\ (В + С = 1 \)

\ (B − 2C = 2 \).

Умножение второго уравнения на \ (−1 \) и прибавление полученного уравнения к первому дает

\ (-3C = 1, \)

, что, в свою очередь, означает \ (C = — \ dfrac {1} {3} \).Подстановка этого значения в уравнение \ (B + C = 1 \) дает \ (B = \ dfrac {4} {3} \). Таким образом, решение этих уравнений дает \ (A = −1, B = \ dfrac {4} {3} \) и \ (C = — \ dfrac {1} {3} \).

Важно отметить, что система, созданная этим методом, является непротиворечивой тогда и только тогда, когда мы правильно настроили декомпозицию. Если система несовместима, в нашей декомпозиции есть ошибка.

Стратегия вторая: Метод стратегической замены

Метод стратегической замены основан на предположении, что мы правильно настроили декомпозицию.Если разложение настроено правильно, тогда должны быть значения \ (A, B, \) и \ (C \), которые удовлетворяют уравнению \ (\ ref {Ex2Numerator} \) для всех значений \ (x \). То есть это уравнение должно быть истинным для любого значения \ (x \), которое мы хотим подставить в него. Следовательно, тщательно выбирая значения \ (x \) и подставляя их в уравнение, мы можем легко найти \ (A, B \) и \ (C \). Например, если мы подставим \ (x = 0 \), уравнение сведется к \ (2 = A (−2) (1) \). Решение относительно \ (A \) дает \ (A = −1 \).Затем, подставив \ (x = 2 \), уравнение сводится к \ (8 = B (2) (3) \) или, что эквивалентно, \ (B = 4/3 \). Наконец, мы подставляем \ (x = −1 \) в уравнение и получаем \ (−1 = C (−1) (- 3). \) Решая, мы имеем \ (C = — \ dfrac {1} {3 } \).

Важно помнить, что если мы попытаемся использовать этот метод с некорректной декомпозицией, мы все равно сможем найти значения для констант, но эти константы бессмысленны. Если мы все же решим использовать метод стратегической замены, то будет хорошей идеей проверить результат, алгебраически перекомбинируя термины.2x− \ sin x} \, dx = — \ ln | u | + \ ln | u − 1 | + C = — \ ln | \ sin x | + \ ln | \ sin x − 1 | + C. \ nonumber \]

Упражнение \ (\ PageIndex {2} \)

Вычислить \ (\ displaystyle \ int \ dfrac {x + 1} {(x + 3) (x − 2)} \, dx. \)

Подсказка

\ [\ dfrac {x + 1} {(x + 3) (x − 2)} = \ dfrac {A} {x + 3} + \ dfrac {B} {x − 2} \ nonumber \]

Ответ

\ [\ dfrac {2} {5} \ ln | x + 3 | + \ dfrac {3} {5} \ ln | x − 2 | + C \ nonumber \]

Повторяющиеся линейные множители

Для некоторых приложений нам необходимо интегрировать рациональные выражения со знаменателями с повторяющимися линейными множителями, то есть рациональные функции с хотя бы одним множителем вида \ ((ax + b) ^ n, \), где \ (n \) является целым положительным числом, большим или равным \ (2 \).2 + (- 3A + B − 4C) x + (A − B + C). \ nonumber \]

Приравнивание коэффициентов дает \ (2A + 4C = 0 \), \ (- 3A + B − 4C = 1 \) и \ (A − B + C = −2 \). Решение этой системы дает \ (A = 2, B = 3, \) и \ (C = −1. \)

В качестве альтернативы можно использовать метод стратегической замены. В этом случае замена \ (x = 1 \) и \ (x = 1/2 \) в уравнение \ (\ ref {Ex5Numerator} \) легко дает значения \ (B = 3 \) и \ (C = — 1 \). На данный момент может показаться, что у нас закончился хороший выбор для \ (x \), однако, поскольку у нас уже есть значения для \ (B \) и \ (C \), мы можем подставить эти значения и выбрать любое значение для \ (x \), которое ранее не использовалось.2} \) и ось x на интервале \ ([0,1] \) относительно оси y .

Решение

Начнем с наброска области, которую нужно повернуть (см. Рисунок \ (\ PageIndex {1} \)). Из эскиза мы видим, что метод оболочки — хороший выбор для решения этой проблемы.

Рисунок \ (\ PageIndex {1} \): Мы можем использовать метод оболочки, чтобы найти объем вращения, полученный путем вращения области, показанной вокруг оси \ (y \). 2} \, dx.2} \ nonumber \]

Интеграция рациональных функций | Блестящая вики по математике и науке

Метод частичной дроби сильно зависит от предположения, что мы можем разложить знаменатель на линейные и квадратичные члены. Иногда это неприятно или не дает хорошего результата. В таких случаях мы должны попробовать uuu-substitution.

Напомним, что мы используем uuu-замену, когда интеграл имеет следующий тип:

∫g (f (x)) ⋅f ′ (x) dx, \ int g \ big (f (x) \ big) \ cdot f ‘(x) \, dx, ∫g (f (x)) ⋅ f ′ (x) dx,

, где ggg легко интегрировать.2 + 1} \, dx ∫x4 + λx2 + 1νx2 + μ dx для λ, μ, ν∈R \ lambda, \ mu, \ nu \ in \ mathbb {R} λ, μ, ν∈R.

Отправьте свой ответ

Учитывая

∫01×3 + x + 2×4 + 2×2 + 1dx = pq + rπs + ln⁡tu, \ int_0 ^ 1 \ frac {x ^ 3 + x + 2} {x ^ 4 + 2x ^ 2 + 1} dx = \ frac {p} {q} + \ frac {r \ pi} {s} + \ frac {\ ln t} {u}, ∫01 x4 + 2×2 + 1×3 + x + 2 dx = qp + srπ + ulnt,

где t \, tt и u \, uu — точные квадраты. c} ∫ (x7 + x2 + 1) 37×13 + 5×15 dx = a1 ⋅ (x7 + x2 + 1) cxb

Учитывая, что неопределенный интеграл выше верен, каково значение a + b + c, a + b + c, a + b + c, где a, b и ca, b, \ text {и} ca, b , А c — целые положительные числа?

404 не найдено

404 не найдено

Запрашиваемый URL-адрес / ~ ebender / complements / stewart / 78_rat.pdf не найден на этом сервере.


Наиболее частые причины этой ошибки:
  • Вы неправильно ввели URL-адрес, к которому вы пытаетесь получить доступ. Тщательно проверьте орфографию, пунктуацию и чувствительность к регистру URL-адреса и повторите попытку.
  • Файл или каталог, к которому вы пытаетесь получить доступ, больше не существует или был перемещен в другое место.
Если вам нужна помощь в разрешении этой проблемы, обратитесь к владельцу веб-страницы или веб-мастеру, как описано ниже.
Информацию о веб-сайтах класса можно найти в списке веб-сайтов класса по адресу http://www.math.ucsd.edu/resources/course-websites/.

Для других веб-страниц, пожалуйста, начните с веб-сайта верхнего уровня математического факультета UCSD по адресу http://www.math.ucsd.edu/.


Чтобы связаться с администраторами веб-сервера, отправьте электронное письмо по адресу [email protected]

Чтобы мы могли должным образом устранить проблему, включите:

  • Точный URL-адрес, который вы пытаетесь получить, указан в вашем веб-браузере:
    REQUEST_URI = http: // www.math.ucsd.edu/~ebender/supplements/stewart/78_rat.pdf
  • Предыдущая ссылающаяся веб-страница или ссылка, которая привела вас на этот URL:
    HTTP_REFERER = (нет)
  • Полное имя используемого вами веб-браузера, включая номер его версии:
    HTTP_USER_AGENT = Mozilla / 5.0 (X11; Linux x86_64; rv: 33.0) Gecko / 20100101 Firefox / 33.0
  • Любые сообщения об ошибках или подробное описание возникшей проблемы.
  • Название вашей операционной системы, включая номер ее версии.
  • Текущий IP-адрес или имя хоста вашего компьютера:
    REMOTE_ADDR (REMOTE_HOST) = 31.13.144.56 ((нет))
  • Точная дата и время, когда вы столкнулись с проблемой:
    DATE_LOCAL = четверг, 29-июл-2021 21:42:52 PDT
Спасибо!

Интегрирование рациональных функций с использованием неполных дробей

Интегрирование рациональных функций с использованием неполных дробей
Сегодня: 7.4: Интеграция рациональных функций и Supp.4: Частичное расширение фракции
Далее: 7.7: Примерная интеграция

Наша цель сегодня — вычислить интегралы от форма

разложив . Это называется расширением частичной фракции. Теорема 5.5.1 (Основная теорема алгебры над действительными числами) Действительный многочлен степени можно разложить на множители как константу. умноженное на произведение линейных множителей и неприводимых квадратичных факторы.

Обратите внимание, что , куда , являются комплексно сопряженными.

Типы рациональных функций . Сделать частичное расширение фракции, сначала убедитесь с использованием длинного деления. Тогда есть четыре возможных ситуации: каждый из возрастающих общностей (и сложности):

  1. — произведение различных линейных факторов;
  2. — это произведение линейных факторов, некоторые из которых повторяются;
  3. — произведение различных неприводимых квадратичных множителей, наряду с линейными факторами, некоторые из которых могут повторяться; и,
  4. имеет повторяющиеся неприводимые квадратичные множители, а также возможно, некоторые линейные факторы, которые могут повторяться.

Общая теорема о разложении частичной дроби выходит за рамки объем этого курса. Однако вы можете найти следующие частный случай и его доказательство интересно.

Пример 5.5.3 Вычислить Сначала делайте в столбик. Получите частное от и остальная часть. Это значит, что Поскольку у нас есть различные линейные факторы, мы знаем что мы можем написать для реальных чисел. Умный способ найти — заменить соответствующие значения в следующем. У нас есть Настройка с обеих сторон у нас есть (беря лимит): Точно так же у нас есть Таким образом
Пример 5.5,5 Вычислим . Обратите внимание, что это фактор, поскольку это корень. У нас есть Существуют такие константы, что Затем Вы можете найти, разложив квадратичное на множители комплексные числа и получение комплексного числа ответы. Вместо этого мы оцениваем по паре значений. Например, при получаем так . Далее используйте, чтобы получить.
так Наконец,
Осталось вычислить Сначала заполните квадрат, чтобы получить Позволять , так и . Затем
Наконец, собираем все вместе и получаем
Обсудите вторую задачу викторины. {4} -2x + C_0 $

8.2-1}, $$ все рациональные функции от $ x $. Есть общая методика называется «частичными дробями», что в принцип, позволяет нам интегрировать любую рациональную функцию. В алгебраические шаги в технике довольно громоздки, если многочлен в знаменателе имеет степень больше 2, а техника требует, чтобы мы разложили знаменатель на множители, то есть не всегда возможно. Однако на практике нечасто запускается через рациональные функции с многочленами высокой степени от знаменатель, для которого нужно найти первообразную функцию.3 \ над (x-2) (x + 3)} \, dx = \ int x-1 \, dx + \ int {7x-6 \ над (х-2) (х + 3)} \, dx. $$ Первый интеграл прост, поэтому только второй требует некоторой работы. $ \ квадрат $

Теперь рассмотрим следующую простую алгебру дробей: $$ {A \ над x-r} + {B \ over x-s} = {A (x-s) + B (x-r) \ over (x-r) (x-s)} = {(A + B) x-As-Br \ over (x-r) (x-s)}. $$ То есть сложение двух дробей с постоянным числителем и знаменателями $ (x-r) $ и $ (x-s) $ дают дробь со знаминателем $ (x-r) (x-s) $ и полином степени меньше 2 для числителя.3 \ над (x-2) (x + 3)} \, dx $. Мы начинаем с записывая $ \ ds {7x-6 \ over (x-2) (x + 3)} $ как сумму двух дробей. Мы хочу закончить с $$ {7x-6 \ over (x-2) (x + 3)} = {A \ over x-2} + {B \ over x + 3}. $$ Если мы продолжим и сложим дроби в правой части, мы получим $$ {7x-6 \ over (x-2) (x + 3)} = {(A + B) x + 3A-2B \ over (x-2) (x + 3)}. $$ Итак, все, что нам нужно сделать, это найти $ A $ и $ B $ так, чтобы $ 7x-6 = (A + B) x + 3A-2B $, то есть нам нужно $ 7 = A + B $ и $ -6 = 3A-2B $. Это проблема вы уже видели: решить систему из двух уравнений за два неизвестные.2 + 3x} \, dx $ (отвечать)

Интеграция рациональных функций | Superprof

Все приведенные выше примеры являются примерами многочленов. Полиномиальная функция может иметь любую комбинацию из одночленов.

Лучшие доступные репетиторы по математике

Первый урок бесплатно

Рациональная функция

Рациональная функция определяется как функция, которая делит один многочлен на другой. Это легко запомнить по слову « рациональный».

Выше вы можете видеть, что рациональная функция — это просто отношение двух полиномиальных функций.Имейте в виду, что даже обычные многочлены могут быть рациональными функциями .

Разделив полином на 1, мы получим отношение любой полиномиальной функции и одночлена. Рациональная функция может быть простой, как в приведенных выше примерах, или более сложной. В таблице ниже приведены несколько примеров более сложных рациональных функций.

Упрощение рациональных функций

Всякий раз, когда вы имеете дело с рациональными функциями, первое, что вам нужно сделать, это упростить их .Давайте сначала рассмотрим простой пример.

Рисуем ли мы график этой рациональной функции или интегрируем ее, мы всегда должны пытаться ее упростить. Это упростит выполнение любых операций на нем впоследствии. Шаги по упрощению этой рациональной функции приведены в таблице ниже.

2
Описание Проблема
Шаг 1 Посмотрите, есть ли общие члены в числителе и знаменателе В обоих словах есть x-член
Разделите числитель
Шаг 3 Удалите все одинаковые термины

Вот еще несколько советов, которые вы можете использовать, чтобы упростить любой рациональный функция.

Интеграция

Интеграция — одно из наиболее важных понятий в исчислении . Вы можете думать об интегрировании двумя способами:

1 Интегрирование противоположно взятию производной
2 Интегрирование функции дает нам уравнение для область

Обратите внимание, что обозначения одинаковы для обеих точек обзора . Независимо от того, думаете ли вы об этом первым или вторым, процесс интеграции всегда один и тот же. Вы также можете увидеть такое обозначение:

C
A Знак интеграла Знак для интеграции
B Функция Функция, которую мы хотим интегрировать
Нижняя граница Нижняя граница интервала, для которого мы хотим найти площадь
D Верхняя граница Верхняя граница интервала, на котором мы хотим найти площадь
E dx Задает переменную для интегрирования

Интегрирование дроби

Есть несколько способов интегрировать дробь . Во-первых, взглянем на некоторые основные правила интеграции.

Взгляните на несколько примеров ниже.

Это означает, что, в зависимости от того, какая у вас доля, вы можете интегрировать несколькими способами . Первый способ — использовать следующее правило.

Возьмем для примера следующую дробь .

Чтобы упростить интеграцию этой функции, мы можем использовать правила степени , чтобы получить следующее:

Второй метод — использовать правило , обратное .Во многих случаях мы можем комбинировать это с u-заменой:

Интеграция рациональной функции

Интеграция рациональной функции требует использования всех методов , упомянутых выше. Вы можете столкнуться с более сложными функциями, которые имеют следующие правила:

Взгляните на несколько примеров ниже.

Поскольку рациональные функции являются дробями, мы можем использовать правила мощности , как в предыдущих примерах.Однако вам также понадобится u-подстановка и интеграция по частям.

Где:

Производная от
A Функция f (x)
B Функция g (x)
C

Рассмотрим пример.

Используя интеграцию по частям, мы делаем следующее:

Теперь мы просто следуем правилам интеграции.

Теперь упростим.

Пример 1

Давайте сделаем пошаговое интегрирование рациональной функции. В качестве примера возьмем функцию ниже.

Здесь мы можем просто использовать правило интегрирования power . Сначала воспользуйтесь правилом, чтобы найти результат.

Затем упростите уравнение, чтобы получить окончательный результат .

Пример 2

В последнем примере вы работали с неопределенным интегралом. Давайте возьмем тот же пример, но вместо этого поработаем с определенным интегралом .

Мы работаем с результатами из предыдущего примера .

Пример 3

Давайте поработаем с u-подстановкой в ​​этом примере.У вас есть , следующий за интегралом .

Давайте заменим 3x + 1 на u. Итак, давайте найдем производную члена u.

Найдите член dx .

Заменить эти термины в исходном интеграле .

Упростим этот интеграл .

Решите, используя правило степени .

Заглушка u клемма обратно.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.

© 2015 - 2019 Муниципальное казённое общеобразовательное учреждение «Таловская средняя школа»

Карта сайта